คำจำกัดความของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง ขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทนิก

เนื่องจากพื้นที่ที่ระบุมีค่าเท่ากันตามลำดับ

SΔOAC=0,5∙โอ.ซี.∙โอเอ∙บาป α= 0.5ซินα, นิกาย โอเอซี = 0,5∙โอ.ซี. 2 ∙α=0.5α, SΔOBC=0,5∙โอ.ซี.∙พ.ศ.= 0.5tgα

เพราะฉะนั้น,

บาป α< α < tg α.

ให้เราหารเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการด้วย sin α > 0:

แต่ . ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่ 4 เกี่ยวกับลิมิต เราจึงสรุปว่าสูตรที่ได้รับมาเรียกว่าลิมิตที่น่าทึ่งอันแรก

ดังนั้น ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งจึงทำหน้าที่เผยให้เห็นความไม่แน่นอน โปรดทราบว่าไม่ควรสับสนสูตรผลลัพธ์กับขีดจำกัด ตัวอย่าง.

11.จำกัด และข้อจำกัดที่เกี่ยวข้อง

ข้อจำกัดอันน่าทึ่งประการที่สอง

ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองทำหน้าที่เปิดเผยความไม่แน่นอนของ 1 ∞ และมีลักษณะดังนี้:

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าในสูตรสำหรับขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สอง เลขชี้กำลังจะต้องมีนิพจน์ที่ผกผันกับนิพจน์ที่บวกเข้ากับหน่วยที่ฐาน (เนื่องจากในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและ ลดขีดจำกัดที่ต้องการลงเหลือขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง)

ตัวอย่าง.

1. ฟังก์ชั่น ฉ(x)=(x-1) 2 มีค่าน้อยมากที่ x→1 เนื่องจาก (ดูรูป)

2. ฟังก์ชั่น ฉ(x)= ทีจี x– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→0.

3. ฉ(x)= บันทึก (1+ x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→0.

4. ฉ(x) = 1/x– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→∞.

ให้เราสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท.ถ้าฟังก์ชั่น y=ฉ(x)เป็นตัวแทนได้ด้วย x→กเป็นผลรวมของจำนวนคงที่ ขและขนาดอันไม่สิ้นสุด α(x): ฉ (x)=b+ α(x)ที่ .

ในทางกลับกัน ถ้า แล้ว ฉ (x)=ข+α(x), ที่ไหน ขวาน)– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก

การพิสูจน์.

1. ให้เราพิสูจน์ส่วนแรกของข้อความนี้ จากความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ข+α(x)ควร |ฉ(x) – ข|=| α|. แต่ตั้งแต่ ขวาน)มีค่าน้อยมาก ดังนั้นสำหรับ ε โดยพลการ จะมี δ – ย่านใกล้เคียงของจุด ก,ต่อหน้าทุกคน xซึ่งคุณค่าต่างๆ ขวาน)ตอบสนองความสัมพันธ์ |α(x)|< ε. แล้ว |ฉ(x) – ข|< ε. และนี่ก็หมายความว่า

2. ถ้า แล้วสำหรับ ε ใด ๆ >0 สำหรับทุกอย่าง เอ็กซ์จากบาง δ – ย่านใกล้เคียงของจุด กจะ |ฉ(x) – ข|< ε. แต่ถ้าเราแสดงว่า ฉ(x) – ข= α, ที่ |α(x)|< ε ซึ่งหมายความว่า ก– ไม่มีที่สิ้นสุด

ลองพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเล็กๆ กัน

ทฤษฎีบท 1ผลบวกเชิงพีชคณิตของ 2, 3 และโดยทั่วไปแล้ว จำนวนอนันต์ใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัดถือเป็นฟังก์ชันอนันต์

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์สองเทอม อนุญาต ฉ(x)=α(x)+β(x), ที่ไหน และ . เราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับ ε เล็กๆ ใดๆ ก็ตาม > พบ 0 δ> 0 เช่นนั้นสำหรับ x, สนองความเหลื่อมล้ำ |x – ก|<δ ดำเนินการ |ฉ(x)|< ε.

งั้นมาแก้ไขตัวเลขตามใจชอบกันดีกว่า ε > 0. เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท α(x)เป็นฟังก์ชันเล็กๆ น้อยๆ แล้วก็มี δ 1 แบบนั้น > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 1 เรามี |α(x)|< ε / 2. ในทำนองเดียวกันเนื่องจาก เบต้า(x)มีค่าน้อยมาก แล้วก็จะมี δ 2 ดังกล่าว > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 2 เรามี | β(x)|< ε / 2.

เอาล่ะ δ=นาที(δ 1 , δ2 } .จากนั้นในบริเวณใกล้จุด กรัศมี δ ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างก็จะเป็นที่พอใจ |α(x)|< ε / 2 และ | β(x)|< ε / 2. เพราะฉะนั้นในย่านนี้ก็จะมี

|ฉ(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

เหล่านั้น. |ฉ(x)|< ε ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2สินค้าไม่มีที่สิ้นสุด ฟังก์ชั่นขนาดเล็ก ขวาน)สำหรับฟังก์ชันที่จำกัด ฉ(x)ที่ x→ก(หรือเมื่อ x→∞) เป็นฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

การพิสูจน์. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น ฉ(x)มีจำนวนจำกัดก็มีจำนวนจำกัด มเช่นนั้นสำหรับทุกค่า xจากบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง ก|ฉ(x)|≤Mนอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ขวาน)เป็นฟังก์ชันขั้นต่ำที่ x→กจากนั้นสำหรับ ε โดยพลการ > 0 มีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด กซึ่งความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ |α(x)|< ε /ม. จากนั้นในย่านเล็กๆ เหล่านี้ เราก็มี | อัลฟ่า|< ε /ม= ε. และนี่หมายความว่า อัฟ– ไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับโอกาสนี้ x→∞การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้:

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้า และ แล้ว

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้า ค= const แล้ว

ทฤษฎีบท 3อัตราส่วนของฟังก์ชันอนันต์ α(x)ต่อฟังก์ชัน ฉ(x)ลิมิตที่แตกต่างจากศูนย์คือฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

การพิสูจน์. อนุญาต . จากนั้น 1 /ฉ(x)มี ฟังก์ชั่นจำกัด. ดังนั้น เศษส่วนจึงเป็นผลคูณของฟังก์ชันน้อยและฟังก์ชันจำกัด เช่น ฟังก์ชันมีน้อยมาก

ตัวอย่าง.

1.เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อใด x→+∞การทำงาน y=x 2 + 1 มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ แต่ตามทฤษฎีบทที่เขียนไว้ข้างต้น ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยมากที่ x→+∞, เช่น. .

ทฤษฎีบทสนทนาก็สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน

ทฤษฎีบท 2ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x)- ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก(หรือ x→∞)และไม่หายไปแล้ว ย= 1/ฉ(x)เป็นฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

ดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยตัวเอง

ตัวอย่าง.

3. เนื่องจากฟังก์ชัน และ มีจำนวนไม่สิ้นสุดที่ x→+∞ดังนั้น เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชันขั้นต่ำคือฟังก์ชันที่เล็กที่สุด ฟังก์ชันคือผลรวมของจำนวนคงที่และฟังก์ชันจำนวนไม่สิ้นสุด ด้วยเหตุนี้ ตามทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับฟังก์ชันเล็กๆ เราจึงได้ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ

ดังนั้น คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดสามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ก≠ 0

13. ฟังก์ชันขั้นต่ำของลำดับเดียวกัน, ฟังก์ชันจิ๋วที่เทียบเท่ากัน

ฟังก์ชันที่เล็กที่สุด และเรียกว่า เล็กสุดของลำดับขนาดเล็กเดียวกัน ถ้า , แสดงว่า และสุดท้าย ถ้ามันไม่มีอยู่จริง ฟังก์ชันเล็กๆ น้อยๆ ก็หาที่เปรียบมิได้

ตัวอย่างที่ 2 การเปรียบเทียบฟังก์ชันจำนวนไม่สิ้นสุด

ฟังก์ชันอนันต์ที่เทียบเท่ากัน

ถ้า แล้วฟังก์ชันที่เล็กที่สุดจะถูกเรียก เทียบเท่า, แสดงถึง ~ .

ฟังก์ชันที่เทียบเท่าภายในเครื่อง:

เมื่อไหร่ถ้า

ความเท่าเทียมกันบางประการ(ที่ ):

ข้อจำกัดด้านเดียว

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณากำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อใด x→กในลักษณะตามอำเภอใจ เช่น ขีดจำกัดของฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามันอยู่อย่างไร xต่อ กไปทางซ้ายหรือขวาของ ก. อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะค้นหาฟังก์ชันที่ไม่มีขีดจำกัดภายใต้เงื่อนไขนี้ แต่ก็มีขีดจำกัดหาก x→กเหลืออยู่อีกด้านหนึ่งของ กซ้ายหรือขวา (ดูรูป) ดังนั้นจึงมีการแนะนำแนวคิดเรื่องขีดจำกัดด้านเดียว

ถ้า ฉ(x)มีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด ขที่ xพุ่งไปเป็นจำนวนหนึ่ง กดังนั้น xยอมรับเฉพาะค่าที่น้อยกว่า กจากนั้นพวกเขาก็เขียนและโทร blimit ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด a ทางด้านซ้าย

ดังนั้นจำนวน ขเรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ที่ x→กทางด้านซ้าย ถ้าจำนวนบวก ε เป็นจำนวนใดก็ตาม ก็จะมีจำนวน δ (น้อยกว่า ก

ในทำนองเดียวกันหาก x→กและรับค่ามหาศาล กจากนั้นพวกเขาก็เขียนและโทร ขขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น กด้านขวา. เหล่านั้น. ตัวเลข ขเรียกว่า ขีดจำกัดของฟังก์ชัน y=f(x) โดย x→a ทางด้านขวาหากจำนวนบวกใดๆ ε เป็นจำนวนใดก็ตาม δ ก็จะมีจำนวนดังกล่าว (มากกว่า ก) ความไม่เท่าเทียมกันนั้นคงอยู่สำหรับทุกคน

โปรดทราบว่าหากจำกัดด้านซ้ายและขวาตรงจุด กสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x)ไม่ตรงกัน ฟังก์ชันจึงไม่มีขีดจำกัด (สองด้าน) ณ จุดนั้น ก.

ตัวอย่าง.

1. พิจารณาฟังก์ชัน y=ฉ(x)กำหนดไว้ในส่วนดังต่อไปนี้

มาหาลิมิตของฟังก์ชันกัน ฉ(x)ที่ x→ 3. ชัดเจน และ

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเอปไซลอนจำนวนเล็กน้อยโดยพลการจะมีจำนวนเดลต้าขึ้นอยู่กับเอปไซลอนเช่นนั้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ x ใด ๆ ที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันจะตามมาว่าความแตกต่างของค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้จะเป็น เล็กโดยพลการ

เกณฑ์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง:

การทำงานจะ อย่างต่อเนื่องที่จุด A ถ้าหากว่ามันต่อเนื่องกันที่จุด A ทั้งทางขวาและทางซ้าย กล่าวคือ ที่จุด A มีลิมิตด้านเดียวสองอัน พวกมันจะเท่ากันและเท่ากับค่าของ ฟังก์ชันที่จุด A

คำจำกัดความ 2: ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องบนเซตหนึ่งถ้ามันต่อเนื่องกันทุกจุดของเซตนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ให้ดาน่าถูกกำหนดในละแวกใกล้เคียง ลองพิจารณาดู

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่ ก็จะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด .

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน– ขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น

การดำเนินการคำนวณหรือค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเรียกว่า ความแตกต่าง .

กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ฟังก์ชั่น ฉ(x)ตรงจุด x=x 0เรียกว่าอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เนื่องจากค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ การค้นหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคำนวณตามกฎทั่วไปของการสร้างความแตกต่าง: ให้เราแสดงว่า ฉ(x) = คุณ, ก.(x) = โวลต์- ฟังก์ชั่นหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์. กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง 1) (อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน) 2) (จากตรงนี้ เป็นไปตามที่อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันและค่าคงที่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของค่านี้ ฟังก์ชันและค่าคงที่) 3) อนุพันธ์ของผลหาร: , ถ้า g  0 4) อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน: 5) หากมีการระบุฟังก์ชันแบบพาราเมตริก: จากนั้น

ตัวอย่าง.

1. ย = x a คือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามใจชอบ

ฟังก์ชันโดยนัย

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสมการ y=ƒ(x) ซึ่งหาค่าด้วยความเคารพต่อ y ฟังก์ชันนั้นก็จะถูกกำหนดในรูปแบบที่ชัดเจน (ฟังก์ชันโจ่งแจ้ง)

ภายใต้ งานโดยนัยฟังก์ชันเข้าใจคำจำกัดความของฟังก์ชันในรูปแบบของสมการ F(x;y)=0 ซึ่งไม่ได้คำนวณด้วยค่า y

ฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดอย่างชัดเจน y=ƒ (x) สามารถเขียนเป็นนัยได้ กำหนดโดยสมการƒ(x)-y=0 แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน

มันไม่ง่ายเสมอไปและบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของ y (เช่น y+2x+cozy-1=0 หรือ 2 y -x+y=0)

หากฟังก์ชันโดยนัยกำหนดไว้ตามสมการ F(x; y) = 0 ดังนั้นหากต้องการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x ก็ไม่จำเป็นต้องแก้สมการด้วยความเคารพกับ y: ก็เพียงพอที่จะแยกแยะสมการนี้ด้วยความเคารพกับ x ในขณะที่พิจารณา y เป็นฟังก์ชันของ xแล้วแก้สมการผลลัพธ์ของ y"

อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยแสดงในรูปของอาร์กิวเมนต์ x และฟังก์ชัน y

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y โดยสมการ x 3 + y 3 -3xy = 0

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชัน y ถูกระบุโดยปริยาย เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x ความเท่าเทียมกัน x 3 + y 3 -3xy = 0 จากความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

ตามมาด้วยว่า y 2 y"-xy"=y-x 2 เช่น y"=(y-x 2)/(y 2 -x)

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

เป็นที่ชัดเจนว่าอนุพันธ์

ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่นจาก x:

ย" =ฉ " (x)

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ" (x)สามารถหาอนุพันธ์ได้ จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ย"" =ฉ "" (x) xสองครั้ง.
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองคือ ฟังก์ชั่น ย""=ฉ""(x), เรียกว่า อนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชัน y=f(x)หรือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ของลำดับที่สามและแสดงด้วยสัญลักษณ์

เลย n-i อนุพันธ์หรืออนุพันธ์ nฟังก์ชันลำดับที่ y=ฉ(x)ระบุด้วยสัญลักษณ์

ฟิล ไลบ์นิซ:

ให้เราสมมติว่าฟังก์ชัน และ สามารถสร้างความแตกต่างได้พร้อมกับอนุพันธ์ของพวกมันจนถึงลำดับที่ n รวมอยู่ด้วย เราได้รับกฎสำหรับการแยกความแตกต่างผลคูณของสองฟังก์ชัน

ลองเปรียบเทียบนิพจน์เหล่านี้กับกำลังของทวินาม:

กฎการติดต่อมีความโดดเด่น: เพื่อให้ได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ลำดับที่ 1, 2 หรือ 3 ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน และ คุณต้องแทนที่กำลังและในนิพจน์สำหรับ (โดยที่ n= 1,2,3) อนุพันธ์ของคำสั่งที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ กำลังของปริมาณเป็นศูนย์ และควรถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ของลำดับศูนย์ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันและ:

การสรุปกฎนี้กับกรณีของอนุพันธ์ที่มีคำสั่งโดยพลการ n, เราได้รับ สูตรของไลบ์นิซ,

ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามอยู่ที่ไหน:

ทฤษฎีบทของโรลล์

ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณค้นหาจุดวิกฤตแล้วนำไปใช้ได้ เงื่อนไขที่เพียงพอตรวจสอบการทำงานของ extrema

กำหนดให้ 1) f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงปิดบางช่วง 2) มีอนุพันธ์ที่มีขอบเขตจำกัด อย่างน้อยก็ในช่วงเปิด (a;b) 3) ที่ส่วนท้าย ช่วงเวลา f-iรับค่าเท่ากัน f(a) = f(b) จากนั้นระหว่างจุด a และ b จะมีจุด c โดยที่อนุพันธ์ ณ จุดนี้จะเป็น = 0

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชัน f(x) จะใช้ค่าสูงสุดและต่ำสุดในช่วงเวลานี้

f(x 1) = M – สูงสุด, f(x 2) = ม. – นาที; x 1 ;x 2 โอ

1) ให้ M = ม. เช่น ม £ f(x) £ ม

Þ f(x) จะใช้ค่าคงที่ในช่วงเวลาจาก a ถึง b และ Þ อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ ฉ'(x)=0

2) ให้ M>m

เพราะ ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท f(a) = f(b) Þ มีค่าน้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด ค่า f-iจะไม่รับที่ส่วนท้ายของส่วน แต่ Þ จะนำ M หรือ m ที่จุดภายในของส่วนนี้ จากนั้นตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ f’(c)=0

ทฤษฎีบทของลากรองจ์

สูตรการเพิ่มจำนวนจำกัดหรือ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์ระบุว่าถ้าเป็นฟังก์ชัน ฉมีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก;ข] และหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา ( ก;ข) แล้วมีประเด็นเช่นนั้น

ทฤษฎีบทของคอชี

หากฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (a, b) และ g¢(x) ¹ 0 ในช่วงเวลา (a, b) แล้วจะมีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน จุด e, a< e < b, такая, что

เหล่านั้น. อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดจะเท่ากับอัตราส่วนของอนุพันธ์ที่จุด e ตัวอย่างรายวิชาการแก้ปัญหาการบรรยาย การคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ใช้ สี่เหลี่ยมที่มีชื่อเสียงส่วนขนานของมัน แคลคูลัสอินทิกรัล

ตัวอย่างการดำเนินการ งานหลักสูตร วิศวกรรมไฟฟ้า

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เมื่อมองแวบแรก การใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์จะสะดวกมาก เขียนสูตรผลต่างอันจำกัดสำหรับแต่ละฟังก์ชันแล้วหารด้วยฟังก์ชันอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ความคิดนี้ผิดพลาดเพราะว่า จุด e สำหรับแต่ละฟังก์ชันโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน แน่นอนว่า ในกรณีพิเศษ จุดช่วงเวลานี้อาจกลายเป็นจุดเดียวกันสำหรับทั้งสองฟังก์ชัน แต่นี่เป็นเรื่องบังเอิญที่หายากมาก และไม่ใช่กฎเกณฑ์ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทได้

การพิสูจน์. พิจารณาฟังก์ชันตัวช่วย

เนื่องจาก x→x 0 ค่าของ c มีแนวโน้มเป็น x 0 เช่นกัน ให้เราไปถึงขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันก่อนหน้า:

เพราะ , ที่ .

นั่นเป็นเหตุผล

(ขีดจำกัดของอัตราส่วนของค่าจิ๋วสองตัวจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ถ้ามีค่าหลัง)

กฎของโลปิตาล ที่ ∞/∞

โปรดทราบ: คำจำกัดความทั้งหมดเกี่ยวข้องกับชุดตัวเลข X ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโดเมนของฟังก์ชัน: X พร้อม D(f) ในทางปฏิบัติ มักจะมีกรณีที่ X เป็นช่วงตัวเลข (เซ็กเมนต์ ช่วง รังสี ฯลฯ)

คำจำกัดความ 1.

ฟังก์ชัน y = f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซต X โดยมี D(f) ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของเซต X โดยที่ x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f(x) กล่าวกันว่าลดลงบนเซต X โดยมี D(f) ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของเซต X โดยที่ x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >ฉ(x 2)

ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหากค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะลดลงหากค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 และ 8 เราใช้การตีความทางเรขาคณิตต่อไปนี้ของแนวคิดในการเพิ่มหรือลดฟังก์ชัน: การเคลื่อนที่ไปตามกราฟของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวา ดูเหมือนว่าเราจะปีนขึ้นไปบนเนินเขา (รูปที่ 55) การเคลื่อนที่ไปตามกราฟของฟังก์ชันที่ลดลงจากซ้ายไปขวา เหมือนกับว่าเรากำลังลงเนิน (รูปที่ 56)
โดยปกติแล้ว คำว่า "ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น" และ "ฟังก์ชันการลด" จะถูกรวมกันภายใต้ชื่อทั่วไปของฟังก์ชันโมโนโทนิก และการศึกษาฟังก์ชันเพื่อเพิ่มหรือลดเรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซ้อน

ขอให้เราสังเกตอีกกรณีหนึ่ง: หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ในโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความ เราก็มักจะบอกว่าฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) - โดยไม่ระบุชุดตัวเลข X

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความน่าเบื่อ:

ก) y = x 3 + 2; ข) y = 5 - 2x

สารละลาย:

ก) รับค่าที่กำหนดเองของอาร์กิวเมนต์ x 1 และ x 2 และให้ x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

อสมการสุดท้ายหมายความว่า f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

ดังนั้นจาก x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดลดลง (บนเส้นจำนวนทั้งหมด)

คำจำกัดความ 3

ฟังก์ชัน y - f(x) ถูกจำกัดขอบเขตจากด้านล่างบนเซต X ด้วย D(f) หากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันบนเซต X มากกว่าตัวเลขที่กำหนด (กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้ามี ตัวเลข m โดยที่ค่าใดๆ x є X คืออสมการ f( x) >m)

คำจำกัดความที่ 4

ฟังก์ชัน y = f(x) กล่าวกันว่ามีขอบเขตจากด้านบนบนเซต X โดยมี D(f) หากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด (กล่าวคือ ถ้ามีตัวเลข M ดังกล่าว ว่าสำหรับค่าใด ๆ x є X ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) ถืออยู่< М).

หากไม่ได้ระบุเซต X แสดงว่าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันที่ถูกผูกจากด้านล่างหรือด้านบนในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

หากฟังก์ชันมีขอบเขตทั้งด้านล่างและด้านบน ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียกว่ามีขอบเขต

ขอบเขตของฟังก์ชันสามารถอ่านได้ง่ายจากกราฟ: หากฟังก์ชันถูกขอบเขตจากด้านล่าง กราฟของมันจะอยู่เหนือเส้นแนวนอนเส้นใดเส้นหนึ่ง y = m (รูปที่ 57) หากฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านบน กราฟของฟังก์ชันนั้นจะอยู่ใต้เส้นแนวนอนบางส่วน y = M (รูปที่ 58)

ตัวอย่างที่ 2ตรวจสอบขอบเขตของฟังก์ชัน
สารละลาย.ในด้านหนึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันค่อนข้างชัดเจน (ตามคำจำกัดความ รากที่สองซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านล่าง ในทางกลับกัน เรามี และดังนั้น
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันมีขอบเขตบน ตอนนี้ดูกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด (รูปที่ 52 จากย่อหน้าก่อนหน้า) ข้อจำกัดของฟังก์ชันทั้งด้านบนและด้านล่างสามารถอ่านได้จากกราฟค่อนข้างง่าย

คำจำกัดความที่ 5

ตัวเลข m เรียกว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซต X C D(f) ถ้า:

1) ใน X มีจุด x 0 โดยที่ f(x 0) = m;

2) สำหรับ x ทั้งหมดจาก X จะมีอสมการ m>f(x 0) อยู่

คำนิยาม 6

ตัวเลข M เรียกว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซต X C D(f) ถ้า:
1) ใน X มีจุด x 0 โดยที่ f(x 0) = M;
2) สำหรับ x ทั้งหมดจาก X ความไม่เท่าเทียมกัน
เราแสดงค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันทั้งในเกรด 7 และ 8 ด้วยสัญลักษณ์ y และค่าที่ใหญ่ที่สุดด้วยสัญลักษณ์ y

หากไม่ได้ระบุเซต X จะถือว่าเรากำลังพูดถึงการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดของฟังก์ชันในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

ข้อความที่เป็นประโยชน์ต่อไปนี้ค่อนข้างชัดเจน:

1) หากฟังก์ชันมี Y แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีขอบเขตด้านล่าง
2) หากฟังก์ชันมี Y แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีขอบเขตด้านบน
3) ถ้าฟังก์ชันไม่มีขอบเขตด้านล่าง แสดงว่าไม่มี Y
4) ถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกจำกัดไว้ด้านบน แสดงว่าไม่มี Y

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาที่เล็กที่สุดและ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น
สารละลาย.

ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะถ้าคุณใช้กราฟฟังก์ชัน (รูปที่ 52) นั่น = 0 (ฟังก์ชันไปถึงค่านี้ที่จุด x = -3 และ x = 3), a = 3 (ฟังก์ชันไปถึงค่านี้ที่ x = 0.
ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 และชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันอีกสองประการ อย่างแรกเรียกว่าคุณสมบัตินูนของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะถือว่านูนลงในช่วงเวลา X หากโดยการเชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ ของกราฟ (โดยมีจุดหักล้างจาก X) กับส่วนของเส้นตรง เราพบว่าส่วนที่สอดคล้องของกราฟอยู่ใต้ส่วนที่วาด (รูปที่ .59) ความต่อเนื่อง ฟังก์ชันจะนูนขึ้นด้านบนในช่วงเวลา X หากโดยการเชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ ของกราฟ (โดยมีจุดหักล้างจาก X) ของฟังก์ชันด้วยส่วนของเส้นตรง เราจะพบว่าส่วนที่สอดคล้องของกราฟอยู่เหนือส่วนที่วาด ( รูปที่ 60)

คุณสมบัติที่สอง - ความต่อเนื่องของฟังก์ชันในช่วง X - หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันในช่วง X มีความต่อเนื่องนั่นคือ ไม่มีการเจาะหรือการกระโดด

ความคิดเห็น

ในความเป็นจริงในคณิตศาสตร์ทุกอย่างเป็นไปตามที่พวกเขากล่าวว่า "ตรงกันข้าม": กราฟของฟังก์ชันจะแสดงเป็นเส้นทึบ (โดยไม่มีการเจาะหรือกระโดด) เฉพาะเมื่อมีการพิสูจน์ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเท่านั้น แต่คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของความต่อเนื่องของฟังก์ชันซึ่งค่อนข้างซับซ้อนและละเอียดอ่อนนั้นยังไม่อยู่ในความสามารถของเรา สิ่งเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับความนูนของฟังก์ชัน เมื่อพูดถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันทั้งสองนี้ เราจะยังคงใช้แนวคิดที่เป็นภาพและสัญชาตญาณต่อไป

ตอนนี้เรามาทบทวนความรู้ของเรากัน เมื่อนึกถึงฟังก์ชันที่เราศึกษาในเกรด 7 และ 8 มาทำความเข้าใจว่ากราฟมีลักษณะอย่างไรและแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันซึ่งเป็นไปตามลำดับที่แน่นอน เช่น: โดเมนของคำจำกัดความ; โมโนโทน; ข้อจำกัด; , ; ความต่อเนื่อง; พิสัย; นูน

จากนั้น คุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชันจะปรากฏขึ้น และรายการคุณสมบัติจะเปลี่ยนไปตามนั้น

1. ฟังก์ชันคงที่ y = C

กราฟของฟังก์ชัน y = C แสดงในรูปที่ 1 61 - เส้นตรงขนานกับแกน x นี่เป็นคุณสมบัติที่ไม่น่าสนใจจนไม่มีประโยชน์ที่จะแสดงรายการคุณสมบัติของมัน

กราฟของฟังก์ชัน y = kx + m เป็นเส้นตรง (รูปที่ 62, 63)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = kx + m:

1)
2) เพิ่มขึ้นถ้า k > 0 (รูปที่ 62) ลดลงถ้า k< 0 (рис. 63);

4) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด
5) ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
6)
7) มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงความนูน

กราฟของฟังก์ชัน y = kx 2 เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและมีกิ่งก้านชี้ขึ้นหาก k > O (รูปที่ 64) และชี้ลงหาก k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y - kx 2:

สำหรับกรณี k> 0 (รูปที่ 64):

1) ง(ฉ) = (-oo,+oo);


4) = ไม่มีอยู่จริง;
5) ต่อเนื่อง;
6) E(f) = ฟังก์ชันลดลง และในช่วงเวลา ลดลงบนรังสี
7) นูนขึ้น

กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ถูกพล็อตทีละจุด ยิ่งเราใช้คะแนนในรูปแบบ (x; f(x)) มากเท่าใด เราก็จะได้แนวคิดเกี่ยวกับกราฟที่แม่นยำยิ่งขึ้นเท่านั้น หากคุณใช้จุดเหล่านี้มาก คุณจะได้ภาพกราฟที่สมบูรณ์มากขึ้น ในกรณีนี้ สัญชาตญาณบอกเราว่ากราฟควรแสดงเป็นเส้นทึบ (ในกรณีนี้ อยู่ในรูปพาราโบลา) จากนั้นเมื่ออ่านกราฟเราจะได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันเกี่ยวกับความนูนขึ้นหรือลงเกี่ยวกับช่วงค่าของฟังก์ชัน คุณต้องเข้าใจว่าจากคุณสมบัติทั้งเจ็ดที่ระบุไว้ มีเพียงคุณสมบัติ 1), 2), 3), 4) เท่านั้นที่ "ถูกต้องตามกฎหมาย" - "ถูกต้องตามกฎหมาย" ในแง่ที่ว่าเราสามารถให้เหตุผลโดยอ้างอิงถึงคำจำกัดความที่ชัดเจนได้ เรามีเพียงแนวคิดที่เป็นภาพและสัญชาตญาณเกี่ยวกับคุณสมบัติที่เหลือเท่านั้น โดยวิธีการนี้ไม่มีอะไรผิดปกติกับเรื่องนี้ จากประวัติความเป็นมาของการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่ามนุษยชาติมักใช้คุณสมบัติต่าง ๆ ของวัตถุบางอย่างบ่อยครั้งและเป็นเวลานานโดยไม่รู้ คำจำกัดความที่แม่นยำ. จากนั้นเมื่อสามารถกำหนดคำจำกัดความดังกล่าวได้ ทุกอย่างก็เข้าที่

กราฟของฟังก์ชันคือไฮเปอร์โบลา แกนพิกัดทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 66, 67)

1) ง(ฉ) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ถ้า k > 0 ฟังก์ชันจะลดลงบนรังสีเปิด (-oo, 0) และบนรังสีเปิด (0, +oo) (รูปที่ 66) ถ้าจะ< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) ไม่จำกัดจากด้านล่างหรือด้านบน;
4) ไม่มีค่าที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด
5) ฟังก์ชั่นต่อเนื่องบนรังสีเปิด (-oo, 0) และบนรังสีเปิด (0, +oo)
6) จ(ฉ) = (-oo,0) คุณ (0,+oo);
7) ถ้า k > 0 แล้วฟังก์ชันจะนูนขึ้นที่ x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0 เช่น บนลำแสงเปิด (0, +oo) (รูปที่ 66) ถ้าจะ< 0, то функция выпукла вверх при х >O และนูนลงมาที่ x< О (рис. 67).
กราฟของฟังก์ชันเป็นสาขาหนึ่งของพาราโบลา (รูปที่ 68) คุณสมบัติฟังก์ชั่น:
1) D(f) = , เพิ่มขึ้นบนรังสี )