ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

การทำงานที่ดีไปที่ไซต์">

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์บน http://www.allbest.ru/

หัวข้อการคำนวณรากโดยประมาณนั้นมีความเกี่ยวข้องเสมอ เนื่องจากมีงานที่มีรากที่สองในทุกวิชาของวิชาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ในหลักสูตรการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมายตลอดจนปัญหาเรขาคณิต ฟิสิกส์ เคมี ฯลฯ คุณต้องจัดการกับรากที่สอง เพื่อสกัด รากที่สองมีตารางสี่เหลี่ยมสำหรับตัวเลขสองหลัก แต่บางครั้งก็ไม่เพียงพอ แยกรากด้วยการแยกตัวประกอบด้วย ไม่ใช่งานง่ายซึ่งไม่ได้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเสมอไป และฉันตัดสินใจศึกษาวิธีต่างๆ ในการสกัด รากที่สองเพื่อประโยชน์ในการนำไปปฏิบัติจริง

ดังนั้นเป้าหมายของงานจึงมีวัตถุประสงค์เพื่อเปรียบเทียบวิธีการต่าง ๆ ของการสกัดรากที่สองโดยประมาณโดยกำหนดภารกิจดังต่อไปนี้: ศึกษาเนื้อหา, ระบุมากที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพขึ้นอยู่กับงานที่ทำอยู่

ลองแก้สมการแบบกราฟิกกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะสร้างพาราโบลาและเส้นตรงในระบบพิกัดเดียวกัน การขาดดุลของจุด A และ B คือรากของสมการ มาแก้สมการกัน. เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสองรากและยิ่งกว่านั้น ตัวเลขเหล่านี้เช่นเดียวกับในสองกรณีก่อนหน้านี้ มีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์และตรงกันข้ามในเครื่องหมาย () จากรูปวาด เราไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนของรากได้ เลข x1 ที่เราสนใจอยู่ระหว่างเลข 1 กับ 2 แต่ระหว่างเลข 1 กับ 2 มี ชุดอนันต์จำนวนตรรกยะ เป็นต้น งานพิสูจน์ว่าการมีเฉพาะจำนวนตรรกยะเราไม่สามารถแก้สมการได้

นักคณิตศาสตร์นำมาพิจารณา สัญลักษณ์ใหม่ซึ่งเรียกว่ารากที่สอง และใช้สัญลักษณ์นี้รากของสมการเขียนได้ดังนี้: และ อ่านว่า: "รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของสอง" ทีนี้สำหรับสมการใดๆ ในรูปแบบที่ คุณสามารถค้นหารากได้ มันคือตัวเลขและ

รากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ หมายเลขนี้ถูกกำหนดไว้ ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

การดำเนินการค้นหารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่าการรูตกำลังสอง

ในระหว่างการศึกษาวิธีการคำนวณรากที่สอง พบได้หลายวิธี เช่น วิธีทางคณิตศาสตร์ วิธีการประมาณค่าคร่าวๆ คอลัมน์; วิถีชาวบาบิโลน วิธีของนกกระสาและวิธีการของนิวตัน วิธีทางเรขาคณิต บทความนี้จะกล่าวถึงเพียงบางส่วนเท่านั้น

วิธีเลขคณิต

การสกัดรากที่สองโดยประมาณ

สำหรับกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

นั่นคือ ในการค้นหาส่วนจำนวนเต็มของรากที่สองของตัวเลข คุณสามารถลบเลขคี่ทั้งหมดออกจากมันตามลำดับจนกว่าเศษจะน้อยกว่าตัวเลขถัดไปที่จะลบหรือเท่ากับศูนย์ และนับจำนวนการกระทำ ดำเนินการ

ตัวอย่างเช่น ลองหารากที่สองของ 16 ดังนี้:

ดำเนินการไปแล้ว 4 ขั้นตอน ซึ่งหมายความว่ารากที่สองของหมายเลข 16 คือ 4 ในทำนองเดียวกัน เราจะพบรากที่สองของหมายเลข 12:

มีการดำเนินการ 3 รายการ รากที่สองของหมายเลข 12 เท่ากับจำนวนเต็ม 3 ตัว

ข้อเสียของวิธีนี้คือหากรากที่ถูกแยกออกมาไม่ใช่จำนวนเต็ม คุณจะสามารถค้นหาได้เฉพาะส่วนทั้งหมดเท่านั้น แต่ไม่แม่นยำกว่านี้ ในขณะเดียวกัน วิธีนี้ค่อนข้างเหมาะสำหรับการประมาณค่าคร่าวๆ สำหรับนักเรียนในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ ที่ต้องแยกรากที่สอง

วิธีบาบิโลนหรือวิธีแรกของนกกระสา

ถ้า เป็นจำนวนบวกและเป็นค่าโดยประมาณของส่วนที่เกิน แสดงว่าเป็นค่าโดยประมาณของส่วนที่ขาด

การพิสูจน์ทฤษฎีบทได้รับการพิจารณาในงาน เนื่องจาก และ เป็นค่าประมาณสำหรับส่วนที่เกินและขาด และเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลข ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเลือกค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้เป็นค่าประมาณที่ดีที่สุด เช่น ตัวเลข. และเพื่อให้ได้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น คุณจะต้องหาค่าเฉลี่ย เลขคณิตและนั่นคือ ตัวเลข. ด้วยวิธีนี้ ค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นจะถูกคำนวณทีละค่า การประมาณจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งค่าทั้งสองที่ได้รับมาตรงกันภายในความแม่นยำที่กำหนด จากนั้นเราก็จะได้สูตร:

. (1)

สูตรนี้สามารถได้มาจากการให้เหตุผลที่แตกต่างกันเล็กน้อย

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแยกรากที่สองของเลข 32 ออก ก่อนอื่นให้เราเลือกค่าประมาณของรากนี้ก่อน เช่น เราแสดงข้อผิดพลาดของค่าประมาณนี้โดยจากนั้น ในการค้นหาค่า เรายกกำลังสองทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนี้ เราจะได้:

,

. (2)

ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสอง ถ้าแก้ได้แล้ว... ปรากฎว่าเรากำลังเดินเป็นวงกลม เพื่อค้นหา เราต้องนับ และเพื่อค้นหา เราต้องคำนวณ การพิจารณาต่อไปนี้มาเพื่อช่วยเหลือ ความคลาดเคลื่อนของค่าโดยประมาณจะมีน้อยนั่นเอง น้อยกว่าหนึ่งซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะยิ่งน้อยลง ดังนั้นในความเท่าเทียมกัน (2) จึงสามารถละทิ้งได้ ในกรณีนี้จะได้สมการโดยประมาณซึ่งหมายถึง จึงได้ค่าประมาณของการแก้ไขมา

ตั้งแต่นั้นมาการประมาณครั้งที่สองสำหรับ หากต้องการหาค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น เราจะทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้

.

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วละทิ้งพจน์เล็กๆ:

,

.

จากนั้นการประมาณค่าที่สามสำหรับแสดงโดยสูตร:

. ตั้งแต่นั้นมา.

ในทำนองเดียวกัน เมื่อพิจารณาจากค่าโดยประมาณ ก็จะสามารถหาค่าประมาณถัดไปได้ จากนั้น หากพบค่าโดยประมาณ สูตรจะแสดงค่าต่อไปนี้:

.

ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละขั้นตอนต่อมายังนำไปสู่การประมาณค่าที่แม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ สูตรที่ได้จะเป็นกรณีพิเศษของสูตร (1) ซึ่งมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

เมื่อใช้สูตร (1) คุณจะพบค่าประมาณซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 1.414213562

กฎสำหรับการค้นหาค่าประมาณของรากที่สองของค่าใดๆ จำนวนธรรมชาติเป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนโบราณเมื่อกว่า 4,000 ปีที่แล้ว พวกเขารวบรวมตารางกำลังสองของตัวเลขและรากที่สองของตัวเลข ในเวลาเดียวกัน พวกเขาสามารถหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ได้

สูตรที่ใช้ในการคำนวณการประมาณต่อเนื่องโดยใช้วิธีบาบิโลนสามารถเขียนได้ดังนี้

.

ในกรณีนี้ ที่ไหน ถูกใช้เป็นฟังก์ชัน โดยที่ คือตัวเลขที่ต้องการหาราก ผลงานเผยให้เห็นความแม่นยำของวิธีการแบบบาบิโลน

วิธีนี้เป็นที่รู้จักกลับเข้ามา กรีกโบราณและเป็นของนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรีย จากนั้นวิธีนี้ก็ถูกยกเลิกไป แต่ตอนนี้ได้ใช้ในการแยกรากที่สองจากเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์แล้ว

งานในการศึกษานี้แสดงให้เห็นว่าการศึกษารากที่สองมีความจำเป็นตามวัตถุประสงค์: ใน ชีวิตจริงสถานการณ์เกิดขึ้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีการดำเนินการแยกรากที่สอง แต่เราไม่ได้มีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือเสมอไป นอกจากนี้ ยังมีสถานการณ์ที่ไม่สามารถยอมรับการใช้เครื่องคิดเลขได้ เช่น การสอบ Unified State

ฉันต้องการเลือกวิธีการที่มีเหตุผลเหมาะสมที่สุดในการแยกรากที่สอง แน่นอนว่าวิธีทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการประมาณค่าคร่าวๆ นั้นใช้งานง่าย แต่ไม่แม่นยำ แม้ว่าจะค่อนข้างเหมาะสำหรับการประมาณครั้งแรกก็ตาม นอกจากนี้ เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ในการแยกรากที่สอง ข้อผิดพลาดใดๆ ที่เกิดขึ้นในบางจุดจะทำให้การคำนวณเพิ่มเติมเป็นโมฆะโดยสิ้นเชิง สถานการณ์จะแตกต่างออกไปเมื่อใช้วิธีบาบิโลนหรือวิธีการประมาณค่าต่อเนื่องกัน แม้ว่าจะต้องใช้แรงงานมาก แต่ก็สามารถคำนวณค่าของรูตได้อย่างถูกต้องด้วยความแม่นยำที่กำหนด

โพสต์บน Allbest.ru

เอกสารที่คล้ายกัน

แนวคิดและสาระสำคัญทางคณิตศาสตร์ของรากที่สอง วัตถุประสงค์และวิธีการคำนวณ ทฤษฎีบทที่สะท้อนคุณสมบัติของแกนสี่เหลี่ยม เหตุผล และการพิสูจน์ การประยุกต์คุณลักษณะของรากที่สองในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 01/05/2010


ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เปรียบเทียบเทคโนโลยีวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการระดับสอง ตัวอย่างการประยุกต์ ทฤษฎีสั้น ๆโซลูชั่น สมการกำลังสอง, รวบรวมหนังสือปัญหา

บทคัดย่อ เพิ่มเมื่อ 12/18/2012


ศึกษาวิธีการประมาณแก้สมการโดยใช้ฟังก์ชันกราฟิกแทน ศึกษาวิธีการหารากที่แท้จริงของสมการกำลังสองโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดสำหรับสมการทั้งเจ็ดที่กำหนดเพื่อสร้างกราฟ

งานสร้างสรรค์เพิ่มเมื่อ 09/04/2010


วิธีเกาส์เซียน การสลายตัวแบบแอลยู วิ่งไปแก้. ระบบเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สามเหลี่ยม วิธีสแควร์รูทสำหรับการแก้ระบบ: คำอธิบายสั้น ๆ ของ, พื้นฐานทางทฤษฎีการใช้งาน การทดสอบ และการลงรายการโปรแกรม

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 15/01/2556


ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น สูตรพื้นฐานของแครเมอร์ วิธีการโดยประมาณที่แน่นอนสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้น อัลกอริทึมสำหรับการนำวิธีสแควร์รูทไปใช้ในภาษาการเขียนโปรแกรมใน Matlab 6.5 อิทธิพลของมิติและสภาพของเมทริกซ์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 27/04/2554


การศึกษาวิธีรากที่สองสำหรับเมทริกซ์สมมาตรซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์พารามิเตอร์เมทริกซ์ต่างๆ และอิทธิพลที่มีต่อความแม่นยำของโซลูชัน: มิติข้อมูล สภาพเงื่อนไข และความกระจัดกระจาย

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 27/03/2554


ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสูตรรากของสมการกำลังสอง สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ การแก้สมการกำลังสองโดยไดโอแฟนทัส สมการกำลังสองในอินเดีย โคเรซเมีย และยุโรปในศตวรรษที่ 13 - 17 ทฤษฎีบทของเวียตา สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 27/11/2553


ค้นหารากของสมการ (สมการตอนที่ 1) โดยใช้วิธี: นิวตัน, ริดเดอร์, เบรนต์, โลบาเชฟสกี และลาเกอร์เร การคำนวณรากของพหุนามโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ ฟังก์ชั่นทุกประเภท (เมื่อใช้แพ็คเกจ Mathcad) การหารากของพหุนาม

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 14/08/2010


ศึกษาประวัติความเป็นมาของสมการกำลังสอง การวิเคราะห์กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสอง กำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาโด ฟีโบนักชี การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด โนโมแกรม โดยใช้วิธี "ถ่ายโอน"

ผลงานที่เสร็จแล้ว

งานระดับปริญญา

หลายอย่างผ่านไปแล้วและตอนนี้คุณสำเร็จการศึกษาแล้วแน่นอนว่าคุณเขียนวิทยานิพนธ์ตรงเวลา แต่ชีวิตเป็นสิ่งที่ชัดเจนสำหรับคุณแล้วว่าเมื่อเลิกเป็นนักเรียนแล้ว คุณจะสูญเสียความสุขของนักเรียนไปทั้งหมด ซึ่งหลายอย่างคุณไม่เคยลองเลย ละทิ้งทุกสิ่งและเลื่อนมันออกไปในภายหลัง และตอนนี้ แทนที่จะตามทัน คุณกำลังทำวิทยานิพนธ์ของคุณอยู่เหรอ? มีวิธีแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยม: ดาวน์โหลดวิทยานิพนธ์ที่คุณต้องการจากเว็บไซต์ของเรา - แล้วคุณจะมีเวลาว่างมากมายทันที!
วิทยานิพนธ์ได้รับการปกป้องเรียบร้อยแล้วที่มหาวิทยาลัยชั้นนำของสาธารณรัฐคาซัคสถาน
ต้นทุนงานจาก 20,000 tenge

หลักสูตรได้ผล

โครงการหลักสูตรนี้เป็นงานภาคปฏิบัติอย่างจริงจังงานแรก ด้วยการเขียนรายวิชาที่การเตรียมการสำหรับการพัฒนาโครงการอนุปริญญาเริ่มต้นขึ้น หากนักเรียนเรียนรู้ที่จะนำเสนอเนื้อหาของหัวข้อในโครงการหลักสูตรอย่างถูกต้องและจัดรูปแบบอย่างมีประสิทธิภาพในอนาคตเขาจะไม่มีปัญหากับการเขียนรายงานหรือการรวบรวม วิทยานิพนธ์และไม่ปฏิบัติงานภาคปฏิบัติอื่น ๆ เพื่อช่วยนักเรียนในการเขียนงานนักเรียนประเภทนี้และเพื่อชี้แจงคำถามที่เกิดขึ้นระหว่างการเตรียมงาน อันที่จริงส่วนข้อมูลนี้จึงถูกสร้างขึ้น
ต้นทุนงานจาก 2,500 tenge

วิทยานิพนธ์ของอาจารย์

ปัจจุบันในสถาบันการศึกษาระดับสูงของคาซัคสถานและกลุ่มประเทศ CIS ระดับที่สูงขึ้น อาชีวศึกษาซึ่งต่อจากระดับปริญญาตรี-ปริญญาโท ในหลักสูตรปริญญาโท นักศึกษาจะเรียนโดยมีเป้าหมายเพื่อให้ได้ปริญญาโท ซึ่งเป็นที่ยอมรับในประเทศส่วนใหญ่ของโลกมากกว่าปริญญาตรี และยังเป็นที่ยอมรับจากนายจ้างชาวต่างชาติอีกด้วย ผลการศึกษาระดับปริญญาโทคือการป้องกันวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท
เราจะจัดเตรียมเนื้อหาเชิงวิเคราะห์และข้อความที่ทันสมัยให้กับคุณ ราคานี้รวมบทความทางวิทยาศาสตร์ 2 บทความและบทคัดย่อ
ต้นทุนงานจาก 35,000 tenge

รายงานการปฏิบัติ

หลังจากเสร็จสิ้นการฝึกงานของนักศึกษาทุกประเภท (การศึกษา อุตสาหกรรม ก่อนสำเร็จการศึกษา) จะต้องมีรายงาน เอกสารนี้จะได้รับการยืนยัน งานภาคปฏิบัตินักเรียนและเป็นพื้นฐานในการประเมินการปฏิบัติ โดยปกติในการจัดทำรายงานการฝึกงานจำเป็นต้องรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลเกี่ยวกับสถานประกอบการ พิจารณาโครงสร้างและกิจวัตรการทำงานขององค์กรที่ฝึกงาน และรวบรวม แผนปฏิทินและอธิบายกิจกรรมการปฏิบัติของคุณ
เราจะช่วยคุณเขียนรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานของคุณโดยคำนึงถึงกิจกรรมเฉพาะขององค์กรนั้น ๆ

ก่อนเครื่องคิดเลข นักเรียนและครูจะคำนวณรากที่สองด้วยมือ มีหลายวิธีในการคำนวณรากที่สองของตัวเลขด้วยตนเอง บางส่วนเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณเท่านั้น บางส่วนให้คำตอบที่แน่นอน

ขั้นตอน

ตัวประกอบที่สำคัญ

แยกตัวประกอบของจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบที่เป็นเลขยกกำลังสองคุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือที่แน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนราก ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่ใช้หารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นเลขกำลังสอง เนื่องจาก √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 ตัวประกอบกำลังสอง คือตัวประกอบซึ่งเป็นเลขยกกำลังสอง ขั้นแรก ให้ลองแยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสอง

• เช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยมือ) ขั้นแรกให้ลองแยกตัวประกอบ 400 ออกเป็นกำลังสองก่อน 400 เป็นผลคูณของ 100 กล่าวคือ หารด้วย 25 ลงตัว ซึ่งเป็นเลขกำลังสอง การหาร 400 ด้วย 25 จะได้ 16 เลข 16 ก็เป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 ได้ ซึ่งก็คือ 25 x 16 = 400
• สามารถเขียนได้ดังนี้: √400 = √(25 x 16)

1. รากที่สองของผลคูณของบางเทอมจะเท่ากับผลคูณของรากที่สองของแต่ละเทอม ซึ่งก็คือ √(a x b) = √a x √b ใช้กฎนี้หาค่ารากที่สองของแต่ละตัวประกอบกำลังสองแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

   • ในตัวอย่างของเรา หารากของ 25 และ 16
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. หากจำนวนรากไม่สลายตัวเป็นสอง ตัวประกอบกำลังสอง(และกรณีส่วนใหญ่จะเกิดขึ้น) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนในรูปของจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถทำให้ปัญหาง่ายขึ้นได้โดยการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสองและตัวประกอบสามัญ (จำนวนที่ไม่สามารถหารากที่สองทั้งหมดได้) จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสอง และหารากของตัวประกอบร่วม

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 จำนวน 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นกำลังสองได้ แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้ได้: 49 และ 3 แก้ปัญหาดังนี้:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. หากจำเป็น ให้ประเมินค่าของรูตตอนนี้คุณสามารถประมาณค่าของรูท (ค้นหาค่าโดยประมาณ) ได้โดยเปรียบเทียบกับค่าของรากของตัวเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุด (ทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนราก คุณจะได้รับค่ารูทเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมายรูท

   • กลับไปที่ตัวอย่างของเรา จำนวนรากคือ 3 จำนวนกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดจะเป็นตัวเลข 1 (√1 = 1) และ 4 (√4 = 2) ดังนั้น ค่าของ √3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ √3 น่าจะใกล้กับ 2 มากกว่าถึง 1 การประมาณค่าของเราคือ: √3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายราก: 7 x 1.7 = 11.9 ถ้าคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งค่อนข้างใกล้เคียงกับคำตอบของเรา
     • วิธีนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขจำนวนมากอีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณา √35 จำนวนรากคือ 35 จำนวนกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 25 (√25 = 5) และ 36 (√36 = 6) ดังนั้น ค่าของ √35 จึงอยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่าของ √35 อยู่ใกล้กับ 6 มากกว่า 5 มาก (เนื่องจาก 35 มีค่าน้อยกว่า 36 เพียง 1 เท่านั้น) เราจึงสามารถพูดได้ว่า √35 น้อยกว่า 6 เล็กน้อย การตรวจสอบเครื่องคิดเลขทำให้เราได้คำตอบ 5.92 - เราพูดถูก

4. อีกวิธีหนึ่งคือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวประกอบเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น เขียนมันลง ปัจจัยสำคัญติดต่อกันและค้นหาคู่ของตัวประกอบที่เหมือนกัน ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายรากได้

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแยกตัวประกอบเลขรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 = 9 x 5 และ 9 = 3 x 3 ดังนั้น √45 = √(3 x 3 x 5) 3 สามารถนำออกมาเป็นเครื่องหมายรากได้: √45 = 3√5 ตอนนี้เราสามารถประมาณ √5 ได้
   • ลองดูตัวอย่างอื่น: √88
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้รับตัวคูณสามตัวจาก 2; เอาสองสามอันแล้วย้ายออกไปเลยเครื่องหมายรูต
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11 ตอนนี้คุณสามารถประเมิน √2 และ √11 และค้นหาคำตอบโดยประมาณได้แล้ว

   การคำนวณรากที่สองด้วยตนเอง

   การใช้การหารยาว

   1. วิธีนี้เกี่ยวข้องกับกระบวนการคล้ายกับการหารยาวและให้คำตอบที่แม่นยำขั้นแรก ให้วาดเส้นแนวตั้งโดยแบ่งแผ่นงานออกเป็นสองซีก จากนั้นไปทางขวาและต่ำกว่าขอบด้านบนของแผ่นงานเล็กน้อย ให้วาดเส้นแนวนอนเป็นเส้นแนวตั้ง ตอนนี้ให้แบ่งเลขรากออกเป็นคู่ๆ โดยเริ่มจากเศษส่วนหลังจุดทศนิยม ดังนั้น หมายเลข 79520789182.47897 จึงเขียนเป็น "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"

      • ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สองของจำนวน 780.14 ลากเส้นสองเส้น (ตามภาพ) แล้วเขียนตัวเลขที่กำหนดในรูปแบบ “7 80, 14” ที่ด้านซ้ายบน เป็นเรื่องปกติที่หลักแรกจากซ้ายจะเป็นตัวเลขที่ไม่มีการจับคู่ คุณจะเขียนคำตอบ (รากของตัวเลขนี้) ที่มุมขวาบน

   2. สำหรับตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย ให้หาจำนวนเต็ม n ที่มากที่สุดซึ่งมีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับคู่ของตัวเลข (หรือเลขตัวเดียว) ที่ต้องการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้หาเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดแต่น้อยกว่าเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย แล้วหารากที่สองของเลขกำลังสองนั้น คุณจะได้หมายเลข n เขียน n ที่คุณพบที่มุมขวาบน และเขียนกำลังสองของ n ที่มุมขวาล่าง

      • ในกรณีของเรา ตัวเลขแรกทางซ้ายจะเป็น 7 ต่อไปคือ 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. ลบกำลังสองของตัวเลข n ที่คุณเพิ่งได้จากตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) ทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์การคำนวณไว้ใต้เครื่องหมายย่อย (กำลังสองของตัวเลข n)

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 4 จาก 7 แล้วได้ 3

   4. นำตัวเลขคู่ที่สองออกมาแล้วจดไว้ข้างค่าที่ได้รับในขั้นตอนที่แล้วจากนั้นเพิ่มตัวเลขเป็นสองเท่าที่มุมขวาบน แล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยบวก "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ที่สองคือ "80" เขียน "80" หลัง 3 จากนั้นเพิ่มตัวเลขด้านขวาบนเป็นสองเท่าจะได้ 4 เขียน "4_×_=" ที่ด้านขวาล่าง

   5. กรอกข้อมูลลงในช่องว่างทางด้านขวา

      • ในกรณีของเรา ถ้าเราใส่ตัวเลข 8 แทนขีดกลาง ดังนั้น 48 x 8 = 384 ซึ่งมากกว่า 380 ดังนั้น 8 จึงเป็นตัวเลขที่มากเกินไป แต่ 7 ได้ผล เขียน 7 แทนเครื่องหมายขีดกลางแล้วได้: 47 x 7 = 329 เขียน 7 ที่มุมขวาบน - นี่คือหลักที่สองในรากที่สองที่ต้องการของหมายเลข 780.14

   6. ลบตัวเลขผลลัพธ์จากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์จากขั้นตอนที่แล้วไว้ใต้ตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย หาผลต่างแล้วเขียนไว้ใต้เครื่องหมายย่อย

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 329 จาก 380 ซึ่งเท่ากับ 51

   7. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4หากคู่ของตัวเลขที่จะถ่ายโอนเป็นส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขเดิม ให้ใส่ตัวคั่น (ลูกน้ำ) ระหว่างจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมขวาบน ทางด้านซ้ายดึงตัวเลขคู่ถัดไปลงมา เพิ่มตัวเลขที่มุมขวาบนเป็นสองเท่าแล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยเติม "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ถัดไปที่จะลบออกจะเป็นเศษส่วนของตัวเลข 780.14 ดังนั้นให้วางตัวคั่นของจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมบนขวา เอา 14 ลงมาแล้วเขียนไว้ที่ด้านซ้ายล่าง. สองเท่าของตัวเลขที่มุมขวาบน (27) คือ 54 ดังนั้นให้เขียน "54_×_=" ที่มุมขวาล่าง

   8. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6ค้นหาจำนวนที่มากที่สุดแทนที่เครื่องหมายขีดทางขวา (แทนที่จะใช้เครื่องหมายขีดกลาง คุณต้องใช้ตัวเลขเดียวกันแทน) เพื่อให้ผลลัพธ์ของการคูณน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

      • ในตัวอย่างของเรา 549 x 9 = 4941 ซึ่งน้อยกว่าตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย (5114) เขียน 9 ที่มุมขวาบน แล้วลบผลการคูณออกจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย: 5114 - 4941 = 173

   9. หากคุณต้องการหาตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสำหรับรากที่สอง ให้เขียนเลขศูนย์สองสามตัวทางด้านซ้ายของตัวเลขปัจจุบันแล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 4, 5 และ 6 ทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะได้คำตอบที่แม่นยำ (จำนวนตำแหน่งทศนิยม) ความต้องการ.

      ทำความเข้าใจกับกระบวนการ

      1. หากต้องการเชี่ยวชาญวิธีนี้ ลองจินตนาการถึงจำนวนรากที่สองที่คุณต้องค้นหาเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส S ในกรณีนี้ คุณจะต้องมองหาความยาวของด้าน L ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว เราคำนวณค่าของ L เพื่อให้ L² = S

         ให้ตัวอักษรสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในคำตอบให้เราแสดงด้วย A เป็นตัวเลขตัวแรกในค่า L (รากที่สองที่ต้องการ) B จะเป็นเลขตัวที่สอง C เป็นตัวที่สาม และต่อๆ ไป

         ระบุตัวอักษรสำหรับตัวเลขหลักแรกแต่ละคู่ให้เราแสดงด้วย S a ตัวเลขคู่แรกที่มีค่าของ S, โดย S b แทนตัวเลขคู่ที่สอง และอื่นๆ

         เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างวิธีนี้กับการหารยาว.เช่นเดียวกับในการหาร โดยที่เราสนใจเฉพาะตัวเลขหลักถัดไปของตัวเลขที่เราหารในแต่ละครั้ง เมื่อคำนวณรากที่สอง เราจะทำงานผ่านตัวเลขคู่หนึ่งตามลำดับ (เพื่อให้ได้ตัวเลขหนึ่งหลักถัดไปในค่ารากที่สอง ).

      2. พิจารณาเลขคู่แรกของ Sa ของเลข S (Sa = 7 ในตัวอย่างของเรา) แล้วหารากที่สองของมันในกรณีนี้ หลักแรกของ A ของค่ารากที่สองที่ต้องการจะเป็นตัวเลขที่มีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับ S a (นั่นคือ เรากำลังมองหา A ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • สมมติว่าเราต้องหาร 88962 ด้วย 7; ขั้นตอนแรกจะคล้ายกันที่นี่: เราพิจารณาตัวเลขตัวแรกของจำนวนที่หารได้ 88962 (8) และเลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งเมื่อคูณด้วย 7 จะให้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 นั่นคือเรากำลังมองหา ตัวเลข d ซึ่งอสมการเป็นจริง: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่คุณกำลังมองหา L นั่นคือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่ S. A, B, C คือตัวเลขในตัวเลข L คุณสามารถเขียนให้แตกต่างออกไป: 10A + B = L (สำหรับ หมายเลขสองหลัก) หรือ 100A + 10B + C = L (สำหรับตัวเลขสามหลัก) เป็นต้น

         • อนุญาต (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². โปรดจำไว้ว่า 10A+B คือตัวเลขที่หลัก B หมายถึงหน่วย และหลัก A หมายถึงหลักสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้า A=1 และ B=2 ดังนั้น 10A+B จะเท่ากับตัวเลข 12 (10A+B)²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด 100A²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในขนาดใหญ่ บี²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในเล็ก 10A×บี- พื้นที่ของแต่ละสี่เหลี่ยมทั้งสอง เมื่อรวมพื้นที่ของตัวเลขที่อธิบายไว้ คุณจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดั้งเดิม

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

วันที่:

บทเรียนหมายเลข 9

หัวข้อ: การคำนวณรากที่สองโดยประมาณ

วัตถุประสงค์: 1. สอนให้นักเรียนค้นหาค่าประมาณของรากที่สอง

2. พัฒนาทักษะการสังเกต ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ และสรุปผล

ส่งเสริมทัศนคติที่ดีต่องานวิชาการ

ประเภทบทเรียน: รวม

รูปแบบการจัดบทเรียน: รายบุคคล, กลุ่ม

อุปกรณ์: กระดานโปรเจ็กต์ การ์ดแสดงอารมณ์ เครื่องคิดเลขไมโคร

เส้นทางสามทางนำไปสู่ความรู้: เส้นทางแห่งการไตร่ตรอง

นี้เป็นแนวทางอันประเสริฐที่สุด

เส้นทางเลียนแบบเป็นเส้นทางที่ง่ายที่สุด

และเส้นทางแห่งประสบการณ์เป็นเส้นทางที่ขมขื่นที่สุด

ขงจื๊อ

ในระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน

ขั้นตอนการตรวจสอบ การบ้าน

หมายเลข 60 – นักเรียน 1 คนแสดงบนกระดาน นักเรียนอีกคนตรวจสอบตรงจุดว่างานเสร็จสมบูรณ์ถูกต้องหรือไม่

งานช่องปาก: ฉายบนกระดาน

ก) ค้นหาค่าของรูต:

b) นิพจน์นี้สมเหตุสมผลหรือไม่:

c) ค้นหาจำนวนที่มีรากที่สองทางคณิตศาสตร์เป็น 0 1; 3; 10; 0.6

ขั้นตอนการอธิบายเนื้อหาใหม่

ในการคำนวณค่าโดยประมาณของรากที่สอง คุณต้องใช้เครื่องคิดเลขขนาดเล็ก ในการดำเนินการนี้ ให้ป้อนนิพจน์รากลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่มที่มีเครื่องหมายราก แต่คุณไม่ได้มีเครื่องคิดเลขติดตัวเสมอไป ดังนั้นคุณจึงสามารถหาค่าประมาณของรากที่สองได้ดังนี้:

สมมติว่าเราต้องค้นหาค่า

ตั้งแต่นั้นมา. ตอนนี้ในบรรดาตัวเลขที่อยู่ในเซ็กเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 2 เราใช้ตัวเลขใกล้เคียง 1.4 และ 1.5 เราได้รับ: จากนั้นเราก็นำตัวเลข 1.41 และ 1.42 ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน หากเราดำเนินกระบวนการยกกำลังสองตัวเลขข้างเคียงต่อไป เราจะได้ ระบบต่อไปนี้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ฉายลงบนกระดาน

จากระบบนี้ เมื่อเปรียบเทียบตัวเลขหลังจุดทศนิยม เราจะได้:

ค่าโดยประมาณของรากที่สองสามารถหาได้จากส่วนที่เกินและขาดเช่น โดยขาดด้วยความแม่นยำ 0.0001 และเกิน

การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

ระดับ "เอ"

0.2664 0.2 – โดยการขาดดุล

№93 (ใช้เครื่องคิดเลข)

5. Valeological Pause: การออกกำลังกายเพื่อดวงตา

ระดับ "บี"

6. การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับความจำเป็นในการหาค่าของรากที่สอง

(เชิญนักเรียนที่สนใจเตรียมข้อความในหัวข้อนี้ล่วงหน้าโดยใช้อินเทอร์เน็ต)

มีการเสนอสูตรเพื่อค้นหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวนอตรรกยะ:

ระดับ "C" หมายเลข 105

7. การสะท้อนกลับ

สรุปบทเรียน

การบ้าน: หมายเลข 102,

ตอนนี้คำถามคือ: จะเพิ่มตัวเลขเป็น ir ได้อย่างไร? ระดับเหตุผล? ตัวอย่างเช่น เราต้องการทราบว่า 10 √2 คืออะไร โดยหลักการแล้ว คำตอบคือง่ายมาก ลองใช้การประมาณในรูปแบบของทศนิยมจำกัด ddby แทน √2 - นี่คือจำนวนตรรกยะ เรารู้วิธียกระดับพลังแห่งเหตุผล มันลงมาเพื่อยกกำลังจำนวนเต็มและแยกรากออก เราจะได้ค่าประมาณของตัวเลข คุณสามารถใช้เศษส่วนทศนิยมที่ยาวขึ้นได้ (ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะอีกครั้ง) จากนั้นคุณจะต้องแยกรากออกในระดับที่มากขึ้น ท้ายที่สุดแล้ว ตัวส่วน เศษส่วนตรรกยะจะเพิ่มขึ้น แต่เราจะได้ค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น แน่นอน หากคุณหาค่าประมาณ √2 เป็นเศษส่วนที่ยาวมาก การยกกำลังจะเป็นเรื่องยากมาก จะรับมือกับงานนี้ได้อย่างไร?

การคำนวณรากที่สอง รากที่สาม และรากอื่นๆ ในระดับต่ำเป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่เราเข้าถึงได้ เมื่อคำนวณเราจะเขียนเครื่องหมายทศนิยมตามลำดับทีละรายการ แต่เพื่อที่จะยกกำลังไม่ลงตัวหรือใช้ลอการิทึม (เพื่อแก้ปัญหาผกผัน) จำเป็นต้องมีงานดังกล่าวเพื่อให้ใช้ขั้นตอนก่อนหน้านี้ไม่ง่ายอีกต่อไป โต๊ะมาช่วยเหลือ เรียกว่าตารางลอการิทึมหรือตารางยกกำลัง ขึ้นอยู่กับว่ามีไว้สำหรับอะไร ช่วยประหยัดเวลา: เราไม่ได้คำนวณเพื่อเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังที่ไม่ลงตัว แต่เปลี่ยนเฉพาะหน้าเท่านั้น

แม้ว่าการคำนวณค่าที่รวบรวมในตารางจะเป็นขั้นตอนทางเทคนิคล้วนๆ แต่ก็ยังเป็นเรื่องที่น่าสนใจและมี เรื่องใหญ่. มาดูกันว่ามันทำอย่างไร เราจะไม่เพียงแต่คำนวณ x = 10 √2 แต่ยังแก้ปัญหาอื่นด้วย: 10 x = 2 หรือ x = log 10 2 ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราจะไม่ค้นพบตัวเลขใหม่ นี่เป็นเพียงปัญหาทางการคำนวณ ผลเฉลยจะเป็นจำนวนอตรรกยะ, อนันต์ ทศนิยมแต่อย่างใดไม่สะดวกที่จะประกาศให้เป็นตัวเลขประเภทใหม่

ลองคิดดูว่าจะแก้สมการของเราอย่างไร แนวคิดทั่วไปนั้นง่ายมาก ถ้าเราคำนวณ 10 1 และ 10 1/10 และ 10 1/100 และ 10 1/1000 เป็นต้น แล้วคูณผลลัพธ์เราจะได้ 10 1.414... หรือ l0 √2 ทำแบบนี้ เราจะแก้ได้ ปัญหาใด ๆ ดังกล่าว อย่างไรก็ตาม แทนที่จะเป็น 10 1/10 เป็นต้น เราจะคำนวณ 10 1/2 และ 10 1/4 เป็นต้น ก่อนเริ่มการคำนวณ เราจะอธิบายด้วยว่าทำไมเราถึงอ้างถึงตัวเลข 10 บ่อยกว่าตัวเลขอื่นๆ เรารู้ว่าค่าของตารางลอการิทึมไปไกลเกินกว่าปัญหาทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณรากเพราะว่า

ข้อมูลนี้เป็นที่รู้จักสำหรับทุกคนที่เคยใช้ตารางลอการิทึมในการคูณตัวเลข ฐาน b ใดใช้หาลอการิทึม? มันไม่สำคัญหรอก ท้ายที่สุดแล้วการคำนวณดังกล่าวขึ้นอยู่กับหลักการเท่านั้น ทรัพย์สินทั่วไป ฟังก์ชันลอการิทึม. เมื่อคำนวณลอการิทึมหนึ่งครั้งในฐานใดฐานหนึ่งแล้ว คุณสามารถย้ายไปยังลอการิทึมในฐานอื่นได้โดยใช้การคูณ หากคุณคูณสมการ (22.3) ด้วย 61 มันจะยังคงเป็นจริง ดังนั้นหากคุณคูณตัวเลขทั้งหมดในตารางลอการิทึมให้เป็นฐาน b ด้วย 61 คุณจะสามารถใช้ตารางดังกล่าวได้ สมมติว่าเรารู้ลอการิทึมของตัวเลขทั้งหมดถึงฐาน b กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถแก้สมการ b a = c สำหรับ c ใดๆ ได้ มีโต๊ะสำหรับสิ่งนี้ ปัญหาคือจะหาลอการิทึมของจำนวน c เดียวกันในฐานอื่น เช่น x ได้อย่างไร เราจำเป็นต้องแก้สมการ x a' = c วิธีนี้ทำได้ง่ายเพราะ x สามารถแสดงได้ดังนี้: x = b t การค้นหา t โดยรู้ x และ b นั้นง่ายมาก: t = log b x ตอนนี้ให้เราแทน x = b t ลงในสมการ x a’ = c; มันจะเปลี่ยนเป็นสมการต่อไปนี้: (b t) a' = b ta' = c กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณ ta' คือลอการิทึมของ c ถึงฐาน b ซึ่งหมายความว่า a' = a/t ดังนั้น ลอการิทึมถึงฐาน x จะเท่ากับผลคูณของลอการิทึมถึงฐาน b และจำนวนคงที่ l/t ดังนั้น ตารางลอการิทึมทั้งหมดจึงเทียบเท่ากับการคูณด้วยตัวเลข l/log b x สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถเลือกฐานใด ๆ สำหรับการรวบรวมตาราง แต่เราตัดสินใจว่าจะสะดวกที่สุดที่จะใช้หมายเลข 10 เป็นฐาน (คำถามอาจเกิดขึ้น: ไม่มีฐานธรรมชาติบางอย่างที่ทุกอย่างดูง่ายกว่านี้หรือ? เราจะพยายามตอบคำถามนี้ในภายหลัง (สำหรับตอนนี้ ลอการิทึมทั้งหมดจะถูกคำนวณในฐาน 10)

ตอนนี้เรามาดูวิธีสร้างตารางลอการิทึมกัน งานเริ่มต้นด้วยการแยกรากที่สองของ 10 อย่างต่อเนื่อง ผลลัพธ์สามารถดูได้ในตาราง 22.1. เลขชี้กำลังเขียนอยู่ในคอลัมน์แรกและตัวเลข 10 วินาทีอยู่ในคอลัมน์ที่สาม เห็นได้ชัดว่า 10 1 = 10 การเพิ่ม 10 เป็นครึ่งกำลังเป็นเรื่องง่าย มันคือรากที่สองของ 10 และทุกคนรู้วิธีหารากที่สองของจำนวนใดๆ ก็ตาม (วิธีที่ดีที่สุดคือแยกรากที่สองไม่ใช่วิธีที่ปกติสอนที่โรงเรียน แต่ใช้วิธีที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย หากต้องการแยกรากที่สองของจำนวน N เราจะเลือกตัวเลข a ที่ใกล้เคียงกับคำตอบเพียงพอ คำนวณ N/a และค่าเฉลี่ย a' = 1/2 ซึ่งค่าเฉลี่ยนี้จะเป็นตัวเลข a ใหม่ ซึ่งเป็นการประมาณค่ารากของ N ใหม่ กระบวนการนี้บรรลุเป้าหมายอย่างรวดเร็ว: จำนวนตัวเลขที่มีนัยสำคัญจะเพิ่มขึ้นสองเท่าหลังจากแต่ละขั้นตอน ) ดังนั้นเราจึงพบรากที่สองตัวแรกแล้ว มันเท่ากับ 3.16228 สิ่งนี้ให้อะไร? มันให้บางสิ่งบางอย่าง เราสามารถบอกได้ว่า 10 0.5 เท่ากับอะไร และเรารู้อย่างน้อยหนึ่งลอการิทึม

ลอการิทึมของ 3.16228 อยู่ใกล้กับ 0.50000 มาก อย่างไรก็ตาม เรายังต้องใช้ความพยายามอีกเล็กน้อย: เราต้องการตารางที่มีรายละเอียดมากขึ้น ลองหารากที่สองอีกอันแล้วหา 10 1/4 ซึ่งเท่ากับ 1.77828 ตอนนี้เรารู้ลอการิทึมอีกอันแล้ว: 1.250 คือลอการิทึมของจำนวน 17.78; นอกจากนี้เราสามารถพูดได้ว่า 10 0.75 เท่ากับเท่าใด: ท้ายที่สุดคือ 10 (0.5 + 0.25) นั่นคือผลคูณของตัวเลขที่สองและสามจากคอลัมน์ที่สามของตาราง 22.1. ถ้าคุณทำให้คอลัมน์แรกของตารางยาวพอ ตารางก็จะมีตัวเลขเกือบทั้งหมด เมื่อคูณตัวเลขจากคอลัมน์ที่สาม เราจะได้ 10 ยกกำลังใดๆ ก็ได้ นี่คือแนวคิดพื้นฐานของตาราง ตารางของเรามีราก 10 ต่อเนื่องกัน 10; งานหลักในการรวบรวมตารางคือการลงทุนในการคำนวณรากเหล่านี้

ทำไมเราไม่ปรับปรุงความแม่นยำของตารางให้ดียิ่งขึ้นต่อไปล่ะ? เพราะเราสังเกตเห็นอะไรบางอย่างแล้ว เมื่อเพิ่ม 10 ให้เป็นกำลังที่น้อยมาก เราจะได้อันที่บวกเพิ่มเล็กน้อย แน่นอนว่าเป็นเพราะถ้าเราเพิ่ม เช่น 10 1/1000 ยกกำลัง 1,000 เราจะได้ 10 อีกครั้ง เป็นที่แน่ชัดว่า 10 1/1000 ไม่สามารถเป็นตัวเลขจำนวนมากได้ เนื่องจากอยู่ใกล้เลข 1 มาก ยิ่งไปกว่านั้น การเพิ่มเติมเล็กๆ น้อยๆ เพื่อความสามัคคีจะมีลักษณะราวกับว่าถูกหารด้วย 2 ในแต่ละครั้ง ลองดูตารางให้ละเอียดยิ่งขึ้น: 1815 กลายเป็น 903 จากนั้นเป็น 450, 225 เป็นต้น ดังนั้น หากเราคำนวณรากที่สองที่สิบเอ็ดอีกหนึ่งรายการ มันจะเท่ากับ 1.00112 ด้วยความแม่นยำอย่างยิ่ง และเราเดาผลลัพธ์นี้ได้ ก่อนการคำนวณ เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่าการบวกความสามัคคีจะเป็นอย่างไรหากเราเพิ่ม 10 ยกกำลัง ∆/1024 เมื่อ ∆ มีแนวโน้มเป็นศูนย์? สามารถ. การบวกจะอยู่ที่ประมาณ 0.0022511∆ แน่นอนว่าไม่ใช่ 0.0022511∆; เพื่อคำนวณการบวกนี้ให้แม่นยำยิ่งขึ้น พวกเขาใช้เคล็ดลับต่อไปนี้: ลบหนึ่งออกจาก 10 วินาทีแล้วหารผลต่างด้วยเลขชี้กำลัง s ความเบี่ยงเบนของผลหารที่ได้รับในลักษณะนี้จากค่าที่แน่นอนของมันจะเท่ากันสำหรับระดับ s ใดๆ จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้ (ตารางที่ 22.1) มีค่าเท่ากันโดยประมาณ ในตอนแรกพวกเขาจะแตกต่างกันมาก แต่แล้วพวกเขาก็เข้ามาใกล้กันมากขึ้นเรื่อยๆ และพยายามอย่างหนักเพื่อให้ได้ตัวเลขที่แน่นอน หมายเลขนี้คืออะไร? มาดูกันว่าตัวเลขในคอลัมน์ที่สี่เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเราเลื่อนลงไปตามคอลัมน์ อย่างแรก ผลต่างระหว่างตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกันคือ 0.0211 จากนั้น 0.0104 จากนั้น 0.0053 และสุดท้าย 0.0026 ความแตกต่างลดลงครึ่งหนึ่งในแต่ละครั้ง ก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง เราทำให้มันเป็น 0.0013 จากนั้นเป็น 0.0007, 0.0003, 0.0002 และสุดท้ายคือประมาณ 0.0001 เราต้องหาร 26 ด้วย 2 ตามลำดับ ดังนั้นเราจะลงไปอีก 26 หน่วยและหาลิมิตได้ 2.3025 (ต่อมาเราจะเห็นว่าการใช้ 2.3026 จะถูกกว่า แต่เอาสิ่งที่เราได้มาดีกว่า) เมื่อใช้ตารางนี้ คุณจะสามารถเพิ่ม 10 ยกกำลังใดๆ ก็ได้ หากเลขชี้กำลังแสดงด้วยวิธีใดๆ ผ่าน I/I024

ตอนนี้การสร้างตารางลอการิทึมเป็นเรื่องง่าย เพราะเราได้เก็บทุกสิ่งที่เราต้องการไว้แล้ว ขั้นตอนนี้แสดงไว้ในตาราง 22.2 และตัวเลขที่ต้องการนำมาจากคอลัมน์ที่สองและสามของตาราง 22.1.

สมมติว่าเราต้องการทราบลอการิทึมของ 2 ซึ่งหมายความว่าเราต้องการทราบว่าเราต้องยกกำลัง 10 เพื่อให้ได้ 2 ยกกำลังอะไร หรืออาจยก 10 ยกกำลัง 1/2 ก็ได้? ไม่ จำนวนจะมากเกินไป เมื่อดูที่ตาราง 22.1 เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนที่เราต้องการอยู่ระหว่าง 1/4 ถึง 1/2 มาเริ่มค้นหากันตั้งแต่ 1/4; หาร 2 ด้วย 1.778... เราจะได้ 1.124...; เมื่อหาร เราลบ 0.250000 จากลอการิทึมของสอง และตอนนี้เราสนใจลอการิทึมของ 1.124…. เมื่อพบแล้ว เราจึงบวก 1/4 = 256/1024 เข้ากับผลลัพธ์ ลองหาตัวเลขในตารางที่ 22.1 ว่าเมื่อเลื่อนไปตามคอลัมน์ที่ 3 จากบนลงล่าง จะอยู่หลัง 1.124 ทันที.... นี่คือ 1.074607 อัตราส่วน 1.124... ต่อ 1.074607 คือ 1.046598 ในท้ายที่สุด เราจะแทน 2 เป็นผลคูณของตัวเลขจากตาราง 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
ไม่มีตำแหน่งในตารางของเราสำหรับปัจจัยสุดท้าย (1.000573) หากต้องการค้นหาลอการิทึม คุณต้องแสดงตัวเลขนี้ในรูปแบบ 10∆/1024 µ 1 + 2.3025∆/1024 จากตรงนี้จะพบได้ง่ายว่า ∆ = 0.254 ดังนั้นผลคูณของเราจึงสามารถแสดงเป็นสิบยกกำลัง 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0.254) เมื่อเพิ่มและหารเราจะได้ลอการิทึมที่ต้องการ: log 10 2 = 0.30103; ผลลัพธ์นี้ถูกต้องเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ห้า!

เราคำนวณลอการิทึมด้วยวิธีเดียวกับที่นายบริกส์แห่งแฮลิแฟกซ์ทำในปี 1620 เมื่อเขาทำงานเสร็จ เขาพูดว่า: "ฉันได้คำนวณ 54 รากที่สองของ 10 อย่างต่อเนื่อง" ที่จริงแล้ว เขาคำนวณเพียง 27 รากแรกเท่านั้น แล้วจึงทำเคล็ดลับด้วย ∆ การคำนวณรากที่สองของ 10 27 ครั้งนั้นยากกว่าเล็กน้อย
10 เท่าอย่างที่เราทำ อย่างไรก็ตาม มิสเตอร์บริกส์ทำมากกว่านั้นมาก: เขาคำนวณรากให้เป็นทศนิยมตำแหน่งที่สิบหก และเมื่อเขาเผยแพร่ตารางของเขา เขาเหลือทศนิยมเพียง 14 ตำแหน่งเพื่อปัดเศษข้อผิดพลาด การรวบรวมตารางลอการิทึมที่แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 14 โดยใช้วิธีนี้ถือเป็นงานที่ยากมาก แต่อีก 300 ปีต่อมา ผู้รวบรวมตารางลอการิทึมกำลังยุ่งอยู่กับการลดตารางของมิสเตอร์บริกส์ และโยนทิ้งไป หมายเลขที่แตกต่างกันตำแหน่งทศนิยม เฉพาะใน เมื่อเร็วๆ นี้ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ ทำให้สามารถรวบรวมตารางลอการิทึมโดยไม่ขึ้นอยู่กับมิสเตอร์บริกส์ ในกรณีนี้มากกว่า วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณขึ้นอยู่กับการขยายอนุกรมของลอการิทึม

ขณะรวบรวมตารางเราก็เจอ ความจริงที่น่าสนใจ; หากเลขชี้กำลัง ε มีขนาดเล็กมาก การคำนวณ 10 ε ก็ง่ายมาก มันก็แค่ 1+2.3025ε ซึ่งหมายความว่า 10 n/2.3025 = 1 + n สำหรับ n ที่น้อยมาก นอกจากนี้เราพูดตั้งแต่ต้นว่าเราคำนวณลอการิทึมในฐาน 10 เพียงเพราะว่าเรามี 10 นิ้วในมือและสะดวกกว่าสำหรับเราที่จะนับเป็นสิบ ลอการิทึมในฐานอื่นใดได้มาจากลอการิทึมในฐาน 10 โดยการคูณอย่างง่าย ตอนนี้ถึงเวลาที่จะค้นหาว่าไม่มีฐานลอการิทึมที่แยกทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่ ซึ่งแยกออกด้วยเหตุผลที่ไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนนิ้วบนมือ ในระดับธรรมชาตินี้ สูตรที่มีลอการิทึมควรดูเรียบง่ายกว่านี้ มาสร้างตารางลอการิทึมใหม่โดยการคูณลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐาน 10 ด้วย 2.3025…. สิ่งนี้สอดคล้องกับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ - ธรรมชาติหรือฐาน e โปรดทราบว่าบันทึก e (l + n) data n หรือ e n asym 1 + n เมื่อ n → 0

มันง่ายที่จะหาตัวเลข e เอง เท่ากับ 101/ 2.3025 หรือ 10 0.4342294... นี่คือ 10 ยกกำลังไม่ลงตัว ในการคำนวณ e คุณสามารถใช้ตารางรากของ 10 นำเสนอ 0.434294... อันดับแรกเป็น 444.73/1024 และตัวเศษของเศษส่วนนี้เป็นผลรวม 444.73 = 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0.73 . ตัวเลข e จึงเท่ากับผลคูณของตัวเลข
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(ตัวเลข 0.73 ไม่ได้อยู่ในตารางของเรา แต่ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสามารถแสดงเป็น 1 + 2.3025∆/1024 และคำนวณที่ ∆ = 0.73) เมื่อคูณทั้ง 7 ตัว เราจะได้ 2.7184 (โดยที่จริงแล้วควรเป็น 2.7183 แต่ ผลลัพธ์นี้ก็ดีเช่นกัน) เมื่อใช้ตารางดังกล่าว คุณสามารถเพิ่มตัวเลขเป็นกำลังไม่ลงตัวและคำนวณลอการิทึมได้ ตัวเลขอตรรกยะ. นี่คือวิธีจัดการกับความไร้เหตุผล!