รากที่สอง. การดำเนินการกับรากที่สอง

ถึงเวลาที่จะจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของรากโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นจริงสำหรับสิ่งใด ๆ จำนวนลบข.

ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางตั้งอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะจะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้แก้ไขหมายเลข 83 แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับบางคอลัมน์ และมีช่องสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .

เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก

แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากของจำนวนธรรมชาติ (หากแยกรากออกแล้ว) ก็คือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาชี้แจงประเด็นนี้กัน

ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง เบอร์ b เหมือนๆ กัน จำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 · p 2 · … · p m และเลขราก a ในกรณีนี้แสดงเป็น (p 1 · p 2 · … · น.) น. เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น .

โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด

ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12

แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้

มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของดีกรีและคุณสมบัติของราก อาจทำให้สูตรการแก้ปัญหาแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

คำตอบ:

หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของรูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นจะไม่แสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็ม เนื่องจากระดับ ปัจจัยสำคัญ 7 ไม่เป็นจำนวนเท่าของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์

คำตอบ:

เลขที่

แยกรากออกจากเลขเศษส่วน

ถึงเวลาที่จะหาวิธีแยกรากออกมา จำนวนเศษส่วน. ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร มันเป็นจริง ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้. จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

สแควร์รูทของอะไร เศษส่วนทั่วไป 25/169 .

สารละลาย.

จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว . เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169

คำตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ลองจินตนาการถึงต้นฉบับ ทศนิยมเป็นเศษส่วนร่วม: 474.552=474552/1000 แล้ว . มันยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ . สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .

คำตอบ:

.

การหารากของจำนวนลบ

คุ้มค่าที่จะจดจ่ออยู่กับการแยกรากออกจากจำนวนลบ เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 . ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของราก

สารละลาย.

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: . ตอนนี้แทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนสามัญ: . เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: . ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .

คำตอบ:

.

การกำหนดค่ารูตในระดับบิต

ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องรู้ความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนรากที่ได้รับ จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกข้อมูล รากที่สองจากห้า นำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งเราได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูท

ขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดของอัลกอริธึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูตที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปยังค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของตัวเลขได้อย่างไร

พบตัวเลขโดยการค้นหาผ่านค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะทำการเปลี่ยนไปสู่ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูต หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า

ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5 , а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหาค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:

นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 ฯลฯ จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกัน

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูทแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

สูตรราก คุณสมบัติของรากที่สอง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาได้ว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะรู้ว่ามีอันไหนอยู่บ้าง สูตรสำหรับรากสิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้ทั้งหมดนี้

สูตรของราก คุณสมบัติของราก และกฎการทำงานกับราก- โดยพื้นฐานแล้วนี่คือสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่สูตรสำหรับรากที่สองอย่างน่าประหลาดใจ ซึ่งทำให้ฉันมีความสุขอย่างแน่นอน! หรือมากกว่านั้นคุณสามารถเขียนสูตรที่แตกต่างกันได้มากมาย แต่เพียงสามสูตรเท่านั้นก็เพียงพอแล้วสำหรับงานที่ใช้งานได้จริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากทั้งสามนี้ แม้ว่าหลายคนจะสับสนกับสูตรรากทั้งสามใช่แล้ว...

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน เธออยู่นี่:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ในบรรดาความรู้มากมายที่เป็นสัญลักษณ์ของการอ่านออกเขียนได้ ตัวอักษรมาก่อน องค์ประกอบ "เครื่องหมาย" ถัดไปที่เท่าเทียมกันคือทักษะของการบวกการคูณและที่อยู่ติดกัน แต่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหารการลบที่ตรงกันข้ามกับความหมาย ทักษะที่เรียนรู้ในวัยเด็กในโรงเรียนที่อยู่ห่างไกลนั้นมีประโยชน์ทั้งกลางวันและกลางคืน: ทีวี หนังสือพิมพ์ SMS และทุกที่ที่เราอ่าน เขียน นับ บวก ลบ คูณ และบอกฉันหน่อยว่าคุณมักจะต้องแยกรากในชีวิตของคุณยกเว้นที่เดชาหรือไม่? เช่นปัญหาบันเทิงอย่างรากที่สองของเลข 12345... ยังมีดินปืนอยู่ในขวดอีกเหรอ? เราจะจัดการมันได้ไหม? ไม่มีอะไรจะง่ายไปกว่านี้แล้ว! เครื่องคิดเลขของฉันอยู่ที่ไหน... แล้วถ้าไม่มีมัน การต่อสู้แบบประชิดตัวจะอ่อนแอเหรอ?

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจกันก่อนว่ามันคืออะไร - รากที่สองของตัวเลข โดยทั่วไปแล้ว “การหยั่งรากของตัวเลข” หมายถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตรงข้ามกับการยกกำลัง - ที่นี่คุณมีเอกภาพของสิ่งที่ตรงกันข้ามในการใช้งานในชีวิต สมมติว่ากำลังสองคือการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเอง เช่น ตามที่สอนที่โรงเรียน X * X = A หรืออีกรูปแบบหนึ่ง X2 = A และในคำว่า "X กำลังสองเท่ากับ A" ปัญหาผกผันจะเป็นดังนี้ รากที่สองของเลข A คือเลข X ซึ่งเมื่อยกกำลังสองจะเท่ากับ A

หารากที่สอง

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน รู้จักวิธีการคำนวณ "ในคอลัมน์" ซึ่งช่วยในการคำนวณโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สี่รายการแรก อนิจจา... สำหรับสแควร์และไม่เพียงแต่รูทสแควร์เท่านั้นไม่มีอัลกอริธึมดังกล่าวอยู่ และในกรณีนี้ จะแยกรากที่สองโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร? ตามคำจำกัดความของรากที่สอง มีข้อสรุปเพียงข้อเดียว - จำเป็นต้องเลือกค่าของผลลัพธ์โดยการแจกแจงตัวเลขตามลำดับซึ่งมีกำลังสองเข้าใกล้ค่าของนิพจน์ราก นั่นคือทั้งหมด! ก่อนผ่านไปหนึ่งหรือสองชั่วโมง คุณสามารถคำนวณรากที่สองใดๆ ก็ได้โดยใช้วิธีการคูณใน "คอลัมน์" ที่รู้จักกันดี หากคุณมีทักษะนี้จะใช้เวลาเพียงไม่กี่นาที แม้แต่ผู้ใช้เครื่องคิดเลขหรือพีซีที่ไม่เชี่ยวชาญก็สามารถทำสิ่งนี้ได้ในคราวเดียว - ความคืบหน้า

แต่จริงๆ แล้ว การคำนวณหารากที่สองมักดำเนินการโดยใช้เทคนิค "ปืนใหญ่แยก" ขั้นแรกให้หาตัวเลขที่มีค่ากำลังสองโดยประมาณซึ่งสอดคล้องกับการแสดงออกของราก จะดีกว่าถ้า "สี่เหลี่ยมของเรา" เล็กกว่านิพจน์นี้เล็กน้อย จากนั้นจึงปรับตัวเลขตามทักษะและความเข้าใจของตนเอง เช่น คูณสอง แล้ว... ยกกำลังสองอีกครั้ง หากผลลัพธ์มากกว่าจำนวนที่อยู่ใต้ราก ให้ปรับจำนวนเดิมอย่างต่อเนื่อง โดยค่อยๆ เข้าใกล้ "เพื่อนร่วมงาน" ของตนที่อยู่ใต้ราก อย่างที่คุณเห็น - ไม่มีเครื่องคิดเลข มีเพียงความสามารถในการนับ "ในคอลัมน์" เท่านั้น แน่นอนว่ามีอัลกอริธึมที่ได้รับการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์และปรับให้เหมาะสมสำหรับการคำนวณรากที่สอง แต่สำหรับ "การใช้ที่บ้าน" เทคนิคข้างต้นให้ความมั่นใจ 100% ในผลลัพธ์

ใช่ ฉันเกือบลืมไปแล้ว เพื่อยืนยันการรู้หนังสือที่เพิ่มขึ้นของเรา มาคำนวณรากที่สองของหมายเลข 12345 ที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้กัน เราทำทีละขั้นตอน:

1. ลองพิจารณาตามสัญชาตญาณล้วนๆ X=100 มาคำนวณกัน: X * X = 10,000 สัญชาตญาณดีที่สุด - ผลลัพธ์น้อยกว่า 12345

2. มาลองกันโดยสัญชาตญาณล้วนๆ X = 120 จากนั้น: X * X = 14400 และอีกครั้ง สัญชาตญาณเป็นไปตามลำดับ - ผลลัพธ์คือมากกว่า 12345

3. ด้านบนเราได้ "ทางแยก" 100 และ 120 มาเลือกตัวเลขใหม่ - 110 และ 115 เราได้ 12100 และ 13225 ตามลำดับ - ทางแยกแคบลง

4. ลอง "อาจจะ" X=111 กัน เราได้รับ X * X = 12321 ตัวเลขนี้ค่อนข้างใกล้กับ 12345 แล้ว ตามความแม่นยำที่ต้องการ "พอดี" สามารถดำเนินการต่อหรือหยุดที่ผลลัพธ์ที่ได้รับ นั่นคือทั้งหมดที่ ตามที่สัญญาไว้ - ทุกอย่างง่ายมากและไม่มีเครื่องคิดเลข

ประวัติเพียงเล็กน้อย...

ชาวพีทาโกรัสนักเรียนของโรงเรียนและสาวกของพีทาโกรัสเกิดแนวคิดในการใช้รากที่สองเมื่อ 800 ปีก่อนคริสตกาล จากนั้นเราก็ "พบกับ" การค้นพบใหม่ในด้านตัวเลข และสิ่งนั้นมาจากไหน?

1. การแก้ปัญหาด้วยการแตกรากให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลขของคลาสใหม่ พวกเขาถูกเรียกว่าไม่มีเหตุผลหรืออีกนัยหนึ่งว่า "ไม่สมเหตุสมผล" เพราะ มันไม่ได้เขียนเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่คลาสสิกที่สุดของประเภทนี้คือรากที่สองของ 2 กรณีนี้สอดคล้องกับการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 - นี่คืออิทธิพลของสำนักพีทาโกรัส ปรากฎว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดด้านเป็นหน่วยเฉพาะ ด้านด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดที่แสดงเป็นตัวเลขที่ “ไม่มีที่สิ้นสุด” นี่คือลักษณะที่ปรากฏในทางคณิตศาสตร์

2. เป็นที่ทราบกันดีว่าปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้มีการจับอีกอย่าง - เมื่อแยกรากเราไม่รู้ว่าจำนวนใดบวกหรือลบคือกำลังสองของนิพจน์ราก ความไม่แน่นอนนี้ซึ่งเป็นผลลัพธ์สองเท่าจากการผ่าตัดครั้งเดียว จะถูกบันทึกในลักษณะนี้

การศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์นี้ได้กลายเป็นทิศทางทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อนซึ่งมีความสำคัญเชิงปฏิบัติอย่างยิ่งในฟิสิกส์คณิตศาสตร์

เป็นที่น่าแปลกใจที่ I. Newton ที่แพร่หลายเหมือนกันใช้การกำหนดรูท - ราก - ใน "เลขคณิตสากล" ของเขาและรูปแบบใหม่ของสัญกรณ์รูตนั้นเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่ปี 1690 จากหนังสือของ Frenchman Rolle "Manual ของพีชคณิต”

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาเราต้องเผชิญกับปัญหาจำนวนมากซึ่งเราต้องแยกออกมา รากที่สอง. นักเรียนหลายคนตัดสินใจว่านี่เป็นข้อผิดพลาดและเริ่มแก้ไขตัวอย่างทั้งหมดใหม่ ไม่ควรทำเช่นนี้ไม่ว่าในกรณีใด! มีสองเหตุผลสำหรับสิ่งนี้:

1. รากจำนวนมากมักปรากฏอยู่ในปัญหา โดยเฉพาะในข้อความ
2. มีอัลกอริธึมที่ใช้คำนวณรากเหล่านี้เกือบจะเป็นปากเปล่า

เราจะพิจารณาอัลกอริทึมนี้ในวันนี้ บางทีบางสิ่งอาจดูไม่เข้าใจสำหรับคุณ แต่ถ้าคุณใส่ใจกับบทเรียนนี้ คุณจะได้รับอาวุธที่ทรงพลังในการต่อต้าน รากที่สอง.

ดังนั้นอัลกอริทึม:

1. จำกัดรากที่ต้องการด้านบนและด้านล่างให้เป็นตัวเลขที่ทวีคูณของ 10 ดังนั้น เราจะลดช่วงการค้นหาลงเหลือ 10 หมายเลข
2. จากตัวเลขทั้ง 10 นี้ ให้กำจัดสิ่งที่ไม่สามารถหยั่งรากได้อย่างแน่นอน เป็นผลให้ตัวเลข 1-2 จะยังคงอยู่
3. ยกกำลังสองตัวเลข 1-2 นี้ ผู้ที่มีกำลังสองเท่ากับตัวเลขเดิมจะเป็นราก

ก่อนที่จะนำอัลกอริทึมนี้ไปปฏิบัติ มาดูแต่ละขั้นตอนกันก่อน

ข้อจำกัดของรูท

ก่อนอื่น เราต้องค้นหาก่อนว่ารูทของเราอยู่ระหว่างเลขใด เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่ตัวเลขจะเป็นทวีคูณของสิบ:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

เราได้รับชุดตัวเลข:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ตัวเลขเหล่านี้บอกอะไรเรา? ง่ายมาก: เรามีขอบเขต ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1296 อยู่ระหว่าง 900 ถึง 1600 ดังนั้นรากของมันต้องไม่น้อยกว่า 30 และมากกว่า 40:

[คำบรรยายภาพ]

เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่ใช้หารากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น 3364:

[คำบรรยายภาพ]

ดังนั้น แทนที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถเข้าใจได้ เราจะได้ช่วงที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งมีรากดั้งเดิมอยู่ หากต้องการจำกัดพื้นที่การค้นหาให้แคบลง ให้ไปยังขั้นตอนที่สอง

กำจัดตัวเลขที่ไม่จำเป็นอย่างเห็นได้ชัด

เรามีตัวเลข 10 ตัว - ตัวเลือกสำหรับรูท เราได้มันมาเร็วมาก โดยไม่ต้องคิดที่ซับซ้อนและการคูณในคอลัมน์เดียว ได้เวลาไปต่อแล้ว.

เชื่อหรือไม่ว่า ตอนนี้เราจะลดจำนวนผู้สมัครลงเหลือ 2 คน - อีกครั้งโดยไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนใดๆ! ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพิเศษ นี่คือ:

หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมจะขึ้นอยู่กับหลักสุดท้ายเท่านั้น หมายเลขเดิม.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพียงดูที่หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมแล้วเราจะเข้าใจทันทีว่าตัวเลขเดิมสิ้นสุดที่ใด

มีเพียง 10 หลักเท่านั้นที่จะมาอยู่อันดับสุดท้ายได้ ลองหาดูว่าพวกมันกลายเป็นอะไรเมื่อยกกำลังสอง ลองดูที่ตาราง:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

ตารางนี้เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งในการคำนวณรูท อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขในบรรทัดที่สองกลายเป็นสมมาตรสัมพันธ์กับทั้งห้า ตัวอย่างเช่น:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

อย่างที่คุณเห็นตัวเลขหลักสุดท้ายจะเหมือนกันในทั้งสองกรณี ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น รากของ 3364 จะต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ในทางกลับกัน เราจำข้อจำกัดจากย่อหน้าก่อนหน้าได้ เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

สี่เหลี่ยมสีแดงแสดงว่าเรายังไม่ทราบตัวเลขนี้ แต่รากอยู่ในช่วง 50 ถึง 60 ซึ่งมีเพียงตัวเลขสองตัวที่ลงท้ายด้วย 2 และ 8:

[คำบรรยายภาพ]

นั่นคือทั้งหมด! จากรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเหลือเพียงสองทางเลือกเท่านั้น! และนี่คือในกรณีที่ยากที่สุด เพราะหลักสุดท้ายอาจเป็น 5 หรือ 0 แล้วจะมีผู้สมัครเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเป็นราก!

การคำนวณขั้นสุดท้าย

ดังนั้นเราจึงเหลือหมายเลขผู้สมัคร 2 ตัว. จะรู้ได้อย่างไรว่าอันไหนคือต้นตอ? คำตอบนั้นชัดเจน: ยกกำลังสองตัวเลขทั้งสอง ตัวที่ยกกำลังสองให้ตัวเลขเดิมจะเป็นราก

ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 3364 เราพบหมายเลขที่เป็นตัวเลือกสองตัว: 52 และ 58 ลองยกกำลังสองกัน:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364

นั่นคือทั้งหมด! ปรากฎว่ารูตอยู่ที่ 58! ในเวลาเดียวกัน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันใช้สูตรกำลังสองของผลรวมและผลต่าง ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงไม่ต้องคูณตัวเลขลงในคอลัมน์ด้วยซ้ำ! นี่เป็นอีกระดับของการเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณ แต่แน่นอนว่านี่เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ :)

ตัวอย่างการคำนวณราก

แน่นอนว่าทฤษฎีก็ดี แต่ลองตรวจสอบในทางปฏิบัติ

[คำบรรยายภาพ]

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าหมายเลข 576 อยู่ระหว่างหมายเลขใด:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

ทีนี้มาดูตัวเลขสุดท้ายกัน เท่ากับ 6. สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อใด? เฉพาะในกรณีที่รากลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 เราได้ตัวเลขสองตัว:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการยกกำลังสองแต่ละหมายเลขแล้วเปรียบเทียบกับตัวเลขดั้งเดิม:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

ยอดเยี่ยม! สี่เหลี่ยมแรกกลายเป็นเลขเดิม นี่คือราก

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

1369 → 9;
33; 37.

ยกกำลังสอง:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1,089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369

นี่คือคำตอบ: 37.

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เราจำกัดจำนวน:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

2704 → 4;
52; 58.

ยกกำลังสอง:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

เราได้รับคำตอบ: 52 ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองอีกต่อไป

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เราจำกัดจำนวน:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

4225 → 5;
65.

อย่างที่คุณเห็นหลังจากขั้นตอนที่สองเหลือเพียงตัวเลือกเดียว: 65 นี่คือรูทที่ต้องการ แต่เรายังคงยกกำลังสองและตรวจสอบ:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

ทุกอย่างถูกต้อง เราเขียนคำตอบ

บทสรุป

อนิจจาไม่ดีกว่า มาดูสาเหตุกัน มีสองคน:

• ในการสอบคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการสอบ State หรือ Unified State Exam ห้ามใช้เครื่องคิดเลข และถ้าคุณนำเครื่องคิดเลขมาเรียน คุณจะถูกไล่ออกจากข้อสอบได้ง่ายๆ
• อย่าเป็นเหมือนคนอเมริกันโง่ ๆ ซึ่งไม่เหมือนกับราก - ไม่สามารถบวกเลขจำนวนเฉพาะสองตัวได้ และเมื่อพวกเขาเห็นเศษส่วน พวกเขามักจะมีอาการวิตกกังวล