สมการเศษส่วนกับราก การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

⁰

ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)

ค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วน (หรือตัวคูณร่วมน้อย) NOZ คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัว

บางครั้ง NPD ก็เป็นตัวเลขที่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น หากกำหนดสมการ: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 จะเห็นได้ชัดว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 3, 2 และ 6 คือ 6
หาก NCD ไม่ชัดเจน ให้เขียนผลคูณของตัวส่วนที่ใหญ่ที่สุดและหาค่าหนึ่งในนั้นที่จะเป็นตัวคูณของตัวส่วนอื่นๆ บ่อยครั้งที่ NOD สามารถหาได้โดยการคูณตัวส่วนสองตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าให้สมการเป็น x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ดังนั้น NOS = 8*9 = 72
หากตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวมีตัวแปร กระบวนการก็จะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้น (แต่ไม่ใช่เป็นไปไม่ได้) ในกรณีนี้ NOC คือนิพจน์ (ประกอบด้วยตัวแปร) ที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ในสมการ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) เนื่องจากนิพจน์นี้ถูกหารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)

คูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวเลขเท่ากับผลการหาร NOC ด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันของแต่ละเศษส่วน เนื่องจากคุณคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจึงคูณเศษส่วนด้วย 1 ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (เช่น 2/2 = 1 หรือ 3/3 = 1)

ในตัวอย่างของเรา คูณ x/3 ด้วย 2/2 เพื่อให้ได้ 2x/6 และ 1/2 คูณ 3/3 เพื่อให้ได้ 3/6 (ไม่จำเป็นต้องคูณเศษส่วน 3x +1/6 เนื่องจาก ตัวส่วนคือ 6)
ทำเช่นเดียวกันเมื่อตัวแปรอยู่ในตัวส่วน ในตัวอย่างที่สอง NOZ = 3x(x-1) ดังนั้นให้คูณ 5/(x-1) ด้วย (3x)/(3x) เพื่อให้ได้ 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x คูณด้วย 3(x-1)/3(x-1) แล้วคุณจะได้ 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) คูณด้วย (x-1)/(x-1) แล้วคุณจะได้ 2(x-1)/3x(x-1)

หาเอ็กซ์ตอนนี้คุณได้ลดเศษส่วนลงแล้ว ตัวส่วนร่วม, คุณสามารถกำจัดตัวส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแต่ละด้านของสมการด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นแก้สมการผลลัพธ์นั่นคือหา "x" เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวแปรไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ

ในตัวอย่างของเรา: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6 คุณสามารถบวกเศษส่วน 2 ตัวด้วยตัวส่วนเดียวกัน ดังนั้นให้เขียนสมการเป็น: (2x+3)/6=(3x+1)/6 คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 แล้วกำจัดตัวส่วนออก: 2x+3 = 3x +1 แก้โจทย์แล้วได้ x = 2
ในตัวอย่างที่สอง (โดยมีตัวแปรในตัวส่วน) สมการจะมีลักษณะดังนี้ (หลังจากลดเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1) ด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย N3 คุณจะกำจัดตัวส่วนออกและได้: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) หรือ 15x = 3x - 3 + 2x -2 หรือ 15x = x - 5 แก้โจทย์แล้วได้: x = -5/14

สารละลาย เศษส่วน สมการตรรกยะ

คู่มืออ้างอิง

สมการตรรกยะคือสมการที่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ที่เป็นตรรกยะ

(จำได้ว่า: นิพจน์เหตุผลเป็นจำนวนเต็มและ นิพจน์เศษส่วนโดยไม่มีราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการบวก ลบ คูณ หาร - เช่น 6x; (ม – น)2; x/3ปี ฯลฯ)

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะลดลงเป็นรูปแบบ:

ที่ไหน ป(x) และ ถาม(x) เป็นพหุนาม

ในการแก้สมการดังกล่าว ให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย Q(x) ซึ่งสามารถทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องได้ ดังนั้นในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่พบ

สมการตรรกยะเรียกว่าทั้งหมดหรือพีชคณิต หากไม่ได้หารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร

ตัวอย่างของสมการตรรกยะทั้งหมด:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

ถ้าในสมการตรรกยะมีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (x) สมการนั้นเรียกว่าตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างสมการตรรกยะเศษส่วน:

15
x + - = 5x – 17
x

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะแก้ได้ดังนี้:

1) ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย

2) แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด;

3) แยกสิ่งที่ลดตัวส่วนร่วมของเศษส่วนออกจากรากของมัน

ตัวอย่างการแก้สมการจำนวนเต็มและสมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 มาแก้สมการทั้งหมดกัน

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

สารละลาย:

การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นี่คือ 6 หาร 6 ด้วยตัวส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเศษของแต่ละเศษส่วน เราได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสิ่งนี้:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

เนื่องจากด้านซ้ายและด้านขวามีตัวส่วนเท่ากัน จึงสามารถละเว้นได้ จากนั้นเราจะได้สมการที่ง่ายกว่า:

3(x – 1) + 4x = 5x

เราแก้ไขมันโดยการเปิดวงเล็บและรวมคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

การหาตัวส่วนร่วม นี่คือ x(x – 5) ดังนั้น:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

ทีนี้ เรากำจัดตัวส่วนออกอีกครั้ง เพราะมันเหมือนกันทุกนิพจน์. เราลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ถือสมการให้เป็นศูนย์และรับสมการกำลังสอง:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0

หลังจากแก้สมการกำลังสองแล้ว เราก็พบรากของมัน: –2 และ 5

ลองตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

ที่ x = –2 ตัวส่วนร่วม x(x – 5) จะไม่หายไป ซึ่งหมายความว่า –2 คือรากของสมการดั้งเดิม

ที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์ และสองในสามนิพจน์จะไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าเลข 5 ไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ: x = –2

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

คำตอบ: -2,2;6.

ตัวอย่างที่ 2

เราได้เรียนรู้ที่จะแก้ไขแล้ว สมการกำลังสอง. ทีนี้มาขยายวิธีการศึกษาไปสู่สมการตรรกยะกัน

การแสดงออกที่มีเหตุผลคืออะไร? เราเจอแนวคิดนี้แล้ว การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลัง และสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น สมการตรรกยะจึงเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ: , โดยที่ - การแสดงออกที่มีเหตุผล.

ก่อนหน้านี้เราพิจารณาเฉพาะสมการตรรกยะที่สามารถลดทอนให้เป็นเชิงเส้นได้ ทีนี้ลองดูสมการตรรกยะที่สามารถลดเป็นสมการกำลังสองได้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: .

สารละลาย:

เศษส่วนจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 และตัวส่วนไม่เท่ากับ 0

เราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง ก่อนที่จะแก้มัน เรามาหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 3 กันก่อน เราได้:

เราได้สองราก: ; .

เนื่องจาก 2 ไม่เคยเท่ากับ 0 จึงต้องตรงตามเงื่อนไขสองข้อ: . เนื่องจากไม่มีรากของสมการที่ได้รับข้างต้นตรงกับค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรที่ได้รับเมื่อแก้ไขอสมการที่สอง ทั้งสองจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. เลื่อนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ด้านขวาลงท้ายด้วย 0

2. แปลงและลดรูปทางด้านซ้าย นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม

3. เท่ากับเศษส่วนผลลัพธ์เป็น 0 โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: .

4. เขียนรากที่ได้มาจากสมการแรกและตอบอสมการที่สองในคำตอบ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: .

สารละลาย

ในตอนแรก เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา เราได้รับ:

ทีนี้ลองนำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้: . เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

เราได้สองราก: ; .

ทีนี้มาแก้อสมการที่สองกัน: ผลคูณของปัจจัยไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อไม่มีปัจจัยใดเท่ากับ 0

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: . เราพบว่ารากทั้งสองของสมการแรก มีเพียงรากเดียวเท่านั้นที่เหมาะสม - 3

คำตอบ:.

ในบทเรียนนี้ เราจำได้ว่านิพจน์ตรรกยะคืออะไร และยังได้เรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะซึ่งลดเหลือเป็นสมการกำลังสองด้วย

ในบทต่อไป เราจะดูสมการตรรกยะเป็นแบบจำลองของสถานการณ์จริง และยังดูปัญหาการเคลื่อนที่ด้วย

บรรณานุกรม

บาชมาคอฟ M.I. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2547.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่นๆ พีชคณิต 8. 5th ed. - อ.: การศึกษา, 2553.
Nikolsky S.M. , Potapov M.A. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป - อ.: การศึกษา, 2549.

งานเทศกาล แนวคิดการสอน "บทเรียนสาธารณะ" ().
School.xvatit.com ()
Rudocs.exdat.com ()

การบ้าน

ก่อนอื่น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีทำงานกับเศษส่วนตรรกยะโดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจำเป็นต้องเรียนรู้สูตรการคูณแบบย่อ และการเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องง่าย - จำเป็นต้องจดจำแม้ว่าบทบาทของคำศัพท์จะเป็นไซน์ ลอการิทึม และรากก็ตาม

อย่างไรก็ตาม เครื่องมือหลักยังคงเป็นการแยกตัวประกอบของเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ สามารถทำได้สามวิธี:

จริงๆ แล้ว ตามสูตรการคูณแบบย่อ: มันทำให้คุณสามารถยุบพหุนามให้เป็นตัวประกอบหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นได้
การใช้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองผ่านการแยกแยะ วิธีการเดียวกันนี้ทำให้สามารถยืนยันได้ว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติใดๆ ได้เลย
วิธีการจัดกลุ่มเป็นเครื่องมือที่ซับซ้อนที่สุด แต่เป็นวิธีเดียวที่จะได้ผลหากสองวิธีก่อนหน้านี้ไม่ได้ผล

ตามที่คุณอาจเดาได้จากชื่อวิดีโอนี้ เราจะพูดถึงเศษส่วนตรรกยะอีกครั้ง เมื่อไม่กี่นาทีที่แล้ว ฉันเรียนบทเรียนกับนักเรียนเกรด 11 จบ และเราได้วิเคราะห์สำนวนเหล่านี้อย่างชัดเจนที่นั่น นั่นเป็นเหตุผล บทเรียนนี้จะมีไว้สำหรับนักเรียนมัธยมปลายโดยเฉพาะ

ตอนนี้หลายคนคงมีคำถาม: “ทำไมนักเรียนเกรด 10-11 จึงควรศึกษาเรื่องง่ายๆ เช่น เศษส่วนตรรกยะ เพราะสิ่งนี้สอนในเกรด 8” แต่ปัญหาคือคนส่วนใหญ่ "ผ่าน" หัวข้อนี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 พวกเขาจำไม่ได้อีกต่อไปว่าจะต้องทำอย่างไรในการคูณ การหาร การลบและการบวกเศษส่วนตรรกยะจากชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 แต่ด้วยความรู้ง่ายๆ นี้เองที่ได้สร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเพิ่มเติม เช่น การแก้ลอการิทึม สมการตรีโกณมิติและนิพจน์ที่ซับซ้อนอื่นๆ อีกมากมาย ดังนั้นจึงแทบจะไม่มีอะไรทำในโรงเรียนมัธยมปลายหากไม่มีเศษส่วนตรรกยะ

สูตรการแก้ปัญหา

มาทำธุรกิจกันเถอะ ก่อนอื่น เราต้องการข้อเท็จจริงสองข้อ - สูตรสองชุด ก่อนอื่น คุณต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อ:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — ผลต่างของกำลังสอง;
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ คือกำลังสองของผลรวมหรือส่วนต่าง ;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ คือผลรวมของลูกบาศก์
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ คือผลต่างของลูกบาศก์

ไม่พบพวกมันในรูปแบบที่บริสุทธิ์ในตัวอย่างใด ๆ หรือในการแสดงออกที่จริงจังอย่างแท้จริง ดังนั้น งานของเราคือการเรียนรู้ที่จะเห็นโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นภายใต้ตัวอักษร $a$ และ $b$ เช่น ลอการิทึม ราก ไซน์ ฯลฯ คุณสามารถเรียนรู้ที่จะเห็นสิ่งนี้ได้ผ่านการฝึกฝนอย่างต่อเนื่องเท่านั้น นี่คือเหตุผลว่าทำไมการแก้เศษส่วนตรรกยะจึงมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สูตรที่สองที่ชัดเจนคือการสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ เป็นราก

เราได้จัดการกับส่วนทางทฤษฎีแล้ว แต่จะแก้เศษส่วนตรรกยะจริงซึ่งครอบคลุมอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ได้อย่างไร? ตอนนี้เราจะฝึก

ภารกิจที่ 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

ลองใช้สูตรข้างต้นเพื่อแก้เศษส่วนตรรกยะ ก่อนอื่น ผมอยากอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องแยกตัวประกอบเลย ความจริงก็คือเมื่อมองแวบแรกในส่วนแรกของงาน คุณต้องการลดลูกบาศก์ด้วยกำลังสอง แต่สิ่งนี้เป็นสิ่งต้องห้ามอย่างเคร่งครัด เนื่องจากเป็นเงื่อนไขในตัวเศษและตัวส่วน แต่ไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นปัจจัย

ย่อมาจากอะไรกันแน่? การลดลงคือการใช้กฎพื้นฐานในการทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสมบัติหลักของเศษส่วนคือเราสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันนอกเหนือจาก "ศูนย์" ในกรณีนี้ เมื่อเราลด ในทางกลับกัน เราก็หารด้วยจำนวนเดียวกัน ซึ่งต่างจาก "ศูนย์" อย่างไรก็ตาม เราต้องหารพจน์ทั้งหมดในตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และเรามีสิทธิ์ลดตัวเศษด้วยตัวส่วนก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งคู่แล้ว. ลงมือทำกันเถอะ.

ตอนนี้คุณต้องดูว่ามีกี่พจน์ในองค์ประกอบหนึ่งๆ แล้วจึงดูว่าจะใช้สูตรใด

มาแปลงแต่ละนิพจน์ให้เป็นคิวบ์ที่แน่นอน:

ลองเขียนตัวเศษใหม่:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\ซ้าย (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

มาดูตัวส่วนกัน. ลองขยายมันโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ ขวา)\]

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่สองของนิพจน์กัน:

เศษ:

มันยังคงต้องหาตัวส่วน:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

มาเขียนโครงสร้างทั้งหมดใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

ความแตกต่างของการคูณเศษส่วนตรรกยะ

ข้อสรุปที่สำคัญจากการก่อสร้างเหล่านี้คือ:

ไม่ใช่ทุกพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบได้
แม้ว่าจะสลายตัวไปแล้ว แต่คุณต้องดูอย่างละเอียดว่าสูตรการคูณแบบย่อคืออะไร

ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรก เราต้องประมาณว่ามีพจน์อยู่กี่พจน์ (หากมีสองพจน์ สิ่งที่เราทำได้คือขยายพจน์ด้วยผลรวมของผลต่างของกำลังสอง หรือด้วยผลรวมหรือผลต่างของลูกบาศก์ และถ้า มีสามค่า ดังนั้นนี่ โดยไม่ซ้ำกัน ไม่ว่าจะเป็นกำลังสองของผลรวมหรือกำลังสองของผลต่าง) บ่อยครั้งเกิดขึ้นที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบเลย อาจเป็นเส้นตรง หรือตัวแบ่งแยกของมันจะเป็นลบ

ปัญหาหมายเลข 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

โดยทั่วไปแผนการแก้ปัญหานี้ไม่แตกต่างจากครั้งก่อน - จะมีการดำเนินการมากขึ้นและจะมีความหลากหลายมากขึ้น

เริ่มจากเศษส่วนแรกกันก่อน: ดูตัวเศษแล้วทำการแปลงที่เป็นไปได้:

ตอนนี้เรามาดูตัวส่วนกัน:

ด้วยเศษส่วนที่สอง: ไม่สามารถทำอะไรได้เลยในตัวเศษ เนื่องจากมันเป็นนิพจน์เชิงเส้น และเป็นไปไม่ได้ที่จะลบตัวประกอบใดๆ ออกจากมัน ลองดูตัวส่วน:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

ไปที่เศษส่วนที่สามกัน. เศษ:

ลองดูตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

มาเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \ขวา))\]

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

อย่างที่คุณเห็น ไม่ใช่ทุกอย่างและไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตรการคูณแบบย่อเสมอไป - บางครั้งก็เพียงพอที่จะใส่ค่าคงที่หรือตัวแปรออกจากวงเล็บ อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เกิดขึ้นเช่นกัน เมื่อมีคำศัพท์มากมายหรือถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทำให้สูตรการคูณแบบย่อโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ ในกรณีนี้เราใช้เครื่องมือสากลมาช่วย กล่าวคือ วิธีการจัดกลุ่ม นี่คือสิ่งที่เราจะนำไปใช้ในปัญหาถัดไป

ปัญหาหมายเลข 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

มาดูส่วนแรกกัน:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\ขวา)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

มาเขียนนิพจน์ดั้งเดิมใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (ข)^(2))+25-10a)(((ก)^(2))-((b)^(2)))\]

ตอนนี้เรามาดูวงเล็บที่สอง:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \ขวา)\]

เนื่องจากไม่สามารถจัดกลุ่มสององค์ประกอบได้ เราจึงจัดกลุ่มสามรายการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

ตอนนี้เรามาเขียนโครงสร้างทั้งหมดของเราใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีอะไรสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ที่นี่

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เราหาการจัดกลุ่มได้และได้รับเครื่องมืออันทรงพลังอีกอย่างหนึ่งที่ขยายขีดความสามารถของการแยกตัวประกอบ แต่ปัญหาอยู่ที่ว่าใน ชีวิตจริงไม่มีใครยกตัวอย่างที่ละเอียดกว่านี้ให้เราได้ โดยที่มีเศษส่วนหลายตัวที่คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน แล้วถ้าเป็นไปได้ ให้ลดขนาดลง การแสดงออกที่แท้จริงจะซับซ้อนกว่านี้มาก

เป็นไปได้มากว่านอกเหนือจากการคูณและการหารแล้วจะมีการลบและการบวกวงเล็บทุกประเภทโดยทั่วไปคุณจะต้องคำนึงถึงลำดับของการกระทำด้วย แต่ที่แย่ที่สุดคือเวลาลบบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันพวกเขาจะต้องถูกลดทอนให้เหลือสิ่งเดียวทั่วไป ในการทำเช่นนี้ แต่ละรายการจะต้องถูกแยกตัวประกอบ จากนั้นจึงแปลงเศษส่วนเหล่านี้: ให้เศษส่วนที่คล้ายกันและอีกมากมาย ทำอย่างไรให้ถูกต้อง รวดเร็ว และในขณะเดียวกันก็ได้คำตอบที่ถูกต้องชัดเจน? นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงตอนนี้โดยใช้โครงสร้างต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

ปัญหาหมายเลข 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \ขวา)\]

ลองเขียนเศษส่วนแรกแล้วลองแยกกัน:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

มาดูวินาทีกันต่อ มาคำนวณการแบ่งแยกของตัวส่วนทันที:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นเราจึงเขียนดังนี้:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

เราจะเขียนตัวเศษแยกกัน:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

ด้วยเหตุนี้ จึงไม่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามนี้ได้

เราได้ทำเต็มที่เท่าที่เราจะทำได้และย่อยสลายแล้ว

ดังนั้นเราจึงเขียนโครงสร้างเดิมของเราใหม่และได้รับ:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

พูดตามตรง มันไม่ใช่งานยากเลย ทุกอย่างแยกตัวประกอบได้ง่าย เงื่อนไขที่คล้ายกันลดลงอย่างรวดเร็ว และทุกอย่างก็ลดลงอย่างสวยงาม ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้กันดีกว่า

ปัญหาหมายเลข 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

ก่อนอื่นมาจัดการกับวงเล็บแรกกันก่อน จากจุดเริ่มต้น เราจะแยกตัวประกอบของเศษส่วนที่สองออกจากกัน:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ทีนี้มาทำงานกับเศษส่วนที่สองกันดีกว่า:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ ซ้าย(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและเขียนว่า:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

ประเด็นสำคัญ

ข้อเท็จจริงสำคัญของบทเรียนวิดีโอวันนี้อีกครั้ง:

คุณจำเป็นต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อด้วยใจจริง ไม่ใช่แค่รู้ แต่ต้องสามารถเห็นสำนวนที่คุณจะพบในปัญหาจริงด้วย กฎที่ยอดเยี่ยมสามารถช่วยเราได้: หากมีพจน์สองพจน์ แสดงว่าเป็นผลต่างของกำลังสอง หรือผลต่างหรือผลรวมของลูกบาศก์ หากเป็นสาม ก็จะเป็นเพียงกำลังสองของผลรวมหรือผลต่างเท่านั้น
ถ้าโครงสร้างใดๆ ไม่สามารถขยายโดยใช้สูตรคูณแบบย่อได้ เราก็จะใช้สูตรมาตรฐานสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติหรือวิธีจัดกลุ่มก็ได้
หากมีบางอย่างไม่ได้ผล ให้ดูที่นิพจน์ต้นฉบับอย่างละเอียดเพื่อดูว่าจำเป็นต้องมีการแปลงใดๆ หรือไม่ บางทีแค่เอาตัวประกอบออกจากวงเล็บก็เพียงพอแล้ว และนี่มักจะเป็นเพียงค่าคงที่
ในนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งคุณต้องดำเนินการหลายอย่างติดต่อกัน อย่าลืมลดให้เหลือตัวส่วนร่วม และหลังจากนั้น เมื่อเศษส่วนทั้งหมดถูกลดขนาดลง อย่าลืมนำค่าเดียวกันในตัวเศษใหม่มาด้วย และ จากนั้นแยกตัวเศษใหม่อีกครั้ง - เป็นไปได้ว่าบางสิ่งจะลดลง

นั่นคือทั้งหมดที่ผมอยากบอกคุณวันนี้เกี่ยวกับเศษส่วนตรรกยะ หากบางอย่างไม่ชัดเจน ก็ยังมีวิดีโอบทช่วยสอนมากมายบนเว็บไซต์ รวมถึงงานอื่นๆ มากมาย การตัดสินใจที่เป็นอิสระ. ดังนั้นคอยติดตาม!

การนำเสนอและบทเรียนในหัวข้อ "สมการตรรกยะ อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้สมการตรรกยะ"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
คู่มือตำราเรียนโดย Makarychev Yu.N. คู่มือตำราเรียนโดย Mordkovich A.G.

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมการไม่ลงตัว

เพื่อนๆ เราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแล้ว แต่คณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่เพียงพวกเขาเท่านั้น วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะ แนวคิดของสมการตรรกยะมีความคล้ายคลึงกับแนวคิดนี้หลายประการ สรุปตัวเลข. นอกจากตัวเลขแล้ว ตอนนี้เราได้แนะนำตัวแปร $x$ บางตัวแล้ว ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์ที่แสดงการดำเนินการของการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม

ให้ $r(x)$ เป็น การแสดงออกอย่างมีเหตุผล. นิพจน์ดังกล่าวอาจเป็นพหุนามอย่างง่ายในตัวแปร $x$ หรืออัตราส่วนของพหุนาม (มีการใช้การดำเนินการหาร เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ)
เรียกสมการ $r(x)=0$ สมการตรรกยะ.
สมการใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ $p(x)=q(x)$ โดยที่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นนิพจน์ตรรกยะก็จะเป็นสมการเช่นกัน สมการตรรกยะ.

ลองดูตัวอย่างการแก้สมการตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการ: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$

สารละลาย.
ลองย้ายนิพจน์ทั้งหมดไปทางซ้าย: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$
หากทางด้านซ้ายของสมการแสดงด้วยจำนวนสามัญ เราจะลดเศษส่วนทั้งสองให้เป็นตัวส่วนร่วม
ลองทำสิ่งนี้: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$
เราได้สมการ: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษของเศษส่วนเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ จากนั้นเราแยกตัวเศษให้เป็นศูนย์และค้นหารากของตัวเศษ
$3(x^2+2x-3)=0$ หรือ $x^2+2x-3=0$
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ทีนี้ มาตรวจสอบตัวส่วนของเศษส่วน: $(x-3)*x≠0$
ผลคูณของตัวเลขสองตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อตัวเลขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้น: $x≠0$ หรือ $x-3≠0$
$x≠0$ หรือ $x≠3$
รากที่ได้ในตัวเศษและส่วนไม่ตรงกัน เราจึงเขียนรากทั้งสองของตัวเศษไว้ในคำตอบ.
คำตอบ: $x=1$ หรือ $x=-3$

หากจู่ๆ รากตัวใดตัวหนึ่งของตัวเศษตรงกับรากของตัวส่วนก็ควรจะแยกออก รากดังกล่าวเรียกว่าไม่เกี่ยวข้อง!

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. ย้ายนิพจน์ทั้งหมดที่มีอยู่ในสมการไปทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ
2. แปลงส่วนของสมการนี้เป็น เศษส่วนพีชคณิต: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. กำหนดให้ตัวเศษที่ได้เท่ากับศูนย์ นั่นคือ แก้สมการ $p(x)=0$
4. แบ่งส่วนให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์ หากรากของตัวส่วนตรงกับรากของตัวเศษ ก็ควรแยกรากเหล่านั้นออกจากคำตอบ

ตัวอย่างที่ 2
แก้สมการ: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$

สารละลาย.
มาแก้ตามคะแนนของอัลกอริทึมกัน
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. กำหนดให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์: $3x^2+7x-10=0$
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. แบ่งส่วนให้เป็นศูนย์:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ และ $x=-1$.
หนึ่งในราก $x=1$ เกิดขึ้นพร้อมกับรากของตัวเศษ จากนั้นเราจะไม่เขียนมันลงในคำตอบ
คำตอบ: $x=-1$.

การแก้สมการตรรกยะโดยใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรทำได้สะดวก มาสาธิตสิ่งนี้กัน

ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ: $x^4+12x^2-64=0$

สารละลาย.
ขอแนะนำการแทนที่: $t=x^2$
จากนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:
$t^2+12t-64=0$ - สมการกำลังสองสามัญ
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
เรามาแนะนำการแทนที่แบบย้อนกลับ: $x^2=4$ หรือ $x^2=-16$
รากของสมการแรกคือคู่ของตัวเลข $x=±2$ อย่างที่สองคือมันไม่มีราก
คำตอบ: $x=±2$

ตัวอย่างที่ 4
แก้สมการ: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$
สารละลาย.
ขอแนะนำตัวแปรใหม่: $t=x^2+x+1$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: $t=\frac(15)(t+2)$
ต่อไปเราจะดำเนินการตามอัลกอริทึม
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - รากไม่ตรงกัน
เรามาแนะนำการทดแทนแบบย้อนกลับกัน
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
มาแก้แต่ละสมการแยกกัน:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ไม่ ราก.
และสมการที่สอง: $x^2+x-2=0$
รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลข $x=-2$ และ $x=1$
คำตอบ: $x=-2$ และ $x=1$

ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการ: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$

สารละลาย.
เรามาแนะนำการแทนที่กัน: $t=x+\frac(1)(x)$
แล้ว:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ หรือ $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$
เราได้สมการ: $t^2-2+t=4$
$t^2+t-6=0$.
รากของสมการนี้คือคู่:
$t=-3$ และ $t=2$.
เรามาแนะนำการทดแทนแบบย้อนกลับ:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
เราจะตัดสินใจแยกกัน
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$
มาแก้สมการที่สองกัน:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
รากของสมการนี้คือตัวเลข $x=1$
คำตอบ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$