Cos2x ทุกสูตร สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานและอัตลักษณ์ sin, cos, tg, ctg

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานคือสูตรที่สร้างการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์หลายอย่าง ด้านล่างนี้เป็นหลัก สูตรตรีโกณมิติและเพื่อความสะดวก เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์ การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้ปัญหาได้เกือบทุกปัญหาจากหลักสูตรตรีโกณมิติมาตรฐาน โปรดทราบทันทีว่าด้านล่างนี้เป็นเพียงสูตรเท่านั้นไม่ใช่ข้อสรุปซึ่งจะกล่าวถึงในบทความแยกต่างหาก

อัตลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติให้ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ทำให้ฟังก์ชันหนึ่งสามารถแสดงในรูปของอีกมุมหนึ่งได้

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 แอลฟา

อัตลักษณ์เหล่านี้เป็นไปตามคำจำกัดความของวงกลมหน่วยโดยตรง ไซน์ (sin) โคไซน์ (cos) แทนเจนต์ (tg) และโคแทนเจนต์ (ctg)

สูตรลด

สูตรการลดช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมที่กว้างโดยพลการไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

สูตรลด

บาป α + 2 π z = บาป α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - บาป α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = บาป α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

สูตรลดเป็นผลมาจากระยะเวลา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.

สูตรการบวกตรีโกณมิติ

สูตรการบวกในวิชาตรีโกณมิติช่วยให้คุณแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้ได้

สูตรการบวกตรีโกณมิติ

บาป α ± β = บาป α · cos β ± cos α · บาป β cos α + β = cos α · cos β - บาป α · บาป β cos α - β = cos α · cos β + บาป α · บาป β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

จากสูตรการบวก จะได้สูตรตรีโกณมิติสำหรับหลายมุม

สูตรสำหรับหลายมุม: สอง สาม ฯลฯ

สูตรมุมคู่และสามมุม

บาป 2 α = 2 · บาป α · cos α cos 2 α = cos 2 α - บาป 2 α , cos 2 α = 1 - 2 บาป 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α ด้วย t g 2 α = ด้วย t g 2 α - 1 2 · ด้วย t g α sin 3 α = 3 บาป α · cos 2 α - บาป 3 α , บาป 3 α = 3 บาป α - 4 บาป 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมในตรีโกณมิติเป็นผลมาจากสูตร มุมคู่และแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันพื้นฐานของครึ่งมุมกับโคไซน์ของมุมทั้งหมด

สูตรครึ่งมุม

บาป 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

สูตรลดระดับ

สูตรลดระดับ

บาป 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 คอส 2 α + คอส 4 α 8 คอส 4 α = 3 + 4 คอส 2 α + คอส 4 α 8

มักจะไม่สะดวกในการทำงานกับพลังที่ยุ่งยากเมื่อทำการคำนวณ สูตรการลดระดับช่วยให้คุณสามารถลดระดับของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากขนาดใหญ่ไปเป็นค่าแรกโดยพลการ นี่คือมุมมองทั่วไปของพวกเขา:

มุมมองทั่วไปของสูตรการลดระดับ

สำหรับแม้แต่ n

บาป n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

สำหรับคี่ n

บาป n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ผลต่างและผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงเป็นผลคูณได้ การแยกตัวประกอบผลต่างของไซน์และโคไซน์เป็นวิธีที่สะดวกมากในการแก้สมการตรีโกณมิติและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2 , cos α - cos β = 2 บาป α + β 2 บาป β - α 2

ผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันอนุญาตให้ไปที่ผลิตภัณฑ์ของตน สูตรสำหรับผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะดำเนินการย้อนกลับ - จากผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม พิจารณาสูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

สูตรสำหรับผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บาป α · บาป β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) บาป α cos β = 1 2 (บาป (α - β) + บาป (α + β))

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สามารถแสดงในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุมได้

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

บาป α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 ตัน ก α 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ บทเรียนหมายเลข 1

จำนวนสูตรที่ใช้ในตรีโกณมิติค่อนข้างมาก (โดย "สูตร" เราไม่ได้หมายถึงคำจำกัดความ (เช่น tgx=sinx/cosx) แต่มีความเท่าเทียมกันเช่น sin2x=2sinxcosx) เพื่อให้ง่ายต่อการสำรวจสูตรที่มีมากมายนี้ และไม่ทำให้นักเรียนเบื่อกับการยัดเยียดอย่างไร้ความหมาย จำเป็นต้องเน้นสูตรที่สำคัญที่สุดในหมู่พวกเขา มีเพียงไม่กี่คน - เพียงสามเท่านั้น ส่วนอื่นๆ ทั้งหมดเป็นไปตามจากทั้งสามสูตรนี้ นี่คือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่าง:

บาป 2 x+คอส 2 x=1 (1)

บาป(x±y)=ซินxโคซี่±ซินคอสx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

จากสูตรทั้งสามนี้เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งหมดของไซน์และโคไซน์ (คาบ ค่าคาบ ค่าไซน์ 30 0 = π/6=1/2 ฯลฯ) จากมุมมองนี้ ข้อมูลซ้ำซ้อนที่ไม่จำเป็นอย่างเป็นทางการจำนวนมาก ใช้ในหลักสูตรของโรงเรียน ดังนั้น สูตร “1-3” จึงเป็นผู้ปกครองอาณาจักรตรีโกณมิติ เรามาดูสูตรข้อพิสูจน์กันดีกว่า:

1) ไซน์และโคไซน์ของหลายมุม

หากเราแทนค่า x=y ลงใน (2) และ (3) เราจะได้:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-บาป 2 x; cos0=คอส 2 x+บาป 2 x=1

เราอนุมานได้ว่า sin0=0; cos0=1 โดยไม่ต้องใช้การตีความทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์ ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้สูตร "2-3" สองครั้ง เราก็จะได้นิพจน์สำหรับ sin3x ได้ cos3x; บาป4x; cos4x ฯลฯ

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

งานสำหรับนักเรียน: รับนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับ cos3x บาป4x; cos4x

2) สูตรลดระดับ

แก้ปัญหาผกผันโดยแสดงกำลังของไซน์และโคไซน์ในรูปของโคไซน์และไซน์ของหลายมุม

ตัวอย่างเช่น: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1 ดังนั้น: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x ดังนั้น: sin 2 x=1/2-cos2x/2

สูตรเหล่านี้ใช้บ่อยมาก เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น ฉันแนะนำให้คุณวาดกราฟด้านซ้ายและด้านขวา กราฟของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ "ตัด" รอบกราฟของเส้นตรง "y=1/2" (นี่คือค่าเฉลี่ยของ cos 2 x และ sin 2 x ในหลายช่วง) ในกรณีนี้ ความถี่การสั่นจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเมื่อเทียบกับความถี่ดั้งเดิม (จุด ฟังก์ชันคอส 2 x sin 2 x เท่ากับ 2π /2=π) และแอมพลิจูดของการแกว่งจะลดลงครึ่งหนึ่ง (สัมประสิทธิ์ 1/2 ก่อน cos2x)

ปัญหา: แสดงบาป 3 x; เพราะ 3 x; บาป 4 x ; cos 4 x ผ่านโคไซน์และไซน์ของหลายมุม

3) สูตรลด

พวกเขาใช้คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้สามารถคำนวณค่าในไตรมาสใดก็ได้ของวงกลมตรีโกณมิติจากค่าในไตรมาสแรก สูตรลดเป็นกรณีพิเศษของสูตร “หลัก” (2-3) ตัวอย่างเช่น: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

ดังนั้น Cos(x+ π/2) = sinx

ภารกิจ: หาสูตรลดความบาป(x+ π/2) คอส(x+ 3 π/2)

4) สูตรที่แปลงผลรวมหรือผลต่างของโคไซน์และไซน์เป็นผลคูณและในทางกลับกัน

ลองเขียนสูตรสำหรับไซน์ของผลรวมและผลต่างของสองมุม:

บาป(x+y) = ซินโคซี+ไซนิคอสx (1)

บาป(x-y) = ซินโคซี-ซินีคอสx (2)

มาบวกด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันเหล่านี้กัน:

บาป(x+y) +ซิน(x-y) = ซินโคซี +ซินิคอสx +ซินโคซี –ซินิคอสx

ข้อกำหนดที่คล้ายกันจะยกเลิก ดังนั้น:

บาป(x+y) +บาป(x-y) = 2ซินxโคซี (*)

ก) เมื่ออ่าน (*) จากขวาไปซ้าย เราจะได้:

Sinxcosy= 1/2(บาป(x+y) + บาป(x-y)) (4)

ผลคูณของไซน์ของสองมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของผลรวมและผลต่างของมุมเหล่านี้

b) เมื่ออ่าน (*) จากซ้ายไปขวาสะดวกในการแสดงว่า:

x-y = ค จากนี้เราจะพบกับ เอ็กซ์และ ที่ผ่าน รและ กับการบวกและการลบด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2 โดยแทนที่ด้วย (*) แทน (x+y) และ (x-y) ตัวแปรใหม่ที่ได้รับ รและ กับลองจินตนาการถึงผลรวมของไซน์ผ่านผลคูณ:

ไซน์ + ไซน์ =2ซิน(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

ดังนั้น ผลลัพธ์โดยตรงของสูตรพื้นฐานสำหรับไซน์ของผลรวมและผลต่างของมุมจึงกลายเป็นความสัมพันธ์ใหม่สองรายการ (4) และ (5)

c) ตอนนี้ แทนที่จะเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) เราจะลบพวกมันออกจากกัน:

บาป(x+y) – บาป(x-y) = 2sinycosx (6)

การอ่านเอกลักษณ์นี้จากขวาไปซ้ายจะได้สูตรคล้ายกับ (4) ซึ่งกลับกลายเป็นว่าไม่น่าสนใจเลยเพราะว่า เรารู้วิธีแยกย่อยผลคูณของไซน์และโคไซน์ให้เป็นผลรวมของไซน์แล้ว (ดู (4)) การอ่าน (6) จากซ้ายไปขวาจะได้สูตรที่ยุบส่วนต่างของไซน์ลงในผลคูณ:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

ดังนั้น จากอัตลักษณ์พื้นฐานหนึ่ง sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx เราได้ค่าใหม่สามค่า (4), (5), (7)

งานที่คล้ายกันที่ทำกับเอกลักษณ์พื้นฐานอีกอัน cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny นำไปสู่อันใหม่สี่อันแล้ว:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc ​​​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

ซินซินี = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)บาป((p+c)/2)

ภารกิจ: แปลงผลรวมของไซน์และโคไซน์ให้เป็นผลคูณ:

ซินซ์ +สบาย = ? วิธีแก้ไข: หากคุณพยายามที่จะไม่รับสูตร แต่ดูคำตอบในตารางสูตรตรีโกณมิติบางตารางทันที คุณอาจไม่พบผลลัพธ์สำเร็จรูป นักเรียนควรเข้าใจว่าไม่จำเป็นต้องท่องจำและป้อนสูตรอื่นสำหรับ sinx+cosy = ... ลงในตารางเนื่องจากโคไซน์ใด ๆ สามารถแสดงเป็นไซน์ได้และในทางกลับกันโดยใช้สูตรการลดขนาดเช่น sinx = cos ( π/2 – x), สบาย = sin (π/2 – y) ดังนั้น: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2