การแก้สมการตรรกยะโดยใช้วิธีช่วง เครื่องคิดเลขออนไลน์

⁰

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจวิธีนี้และรู้เหมือนหลังมือ! หากเพียงเพราะมันถูกใช้เพื่อแก้อสมการเชิงตรรกศาสตร์ และเพราะว่าการรู้วิธีนี้อย่างถูกต้อง การแก้ไขอสมการเหล่านี้จึงเป็นเรื่องง่ายอย่างน่าประหลาดใจ อีกไม่นาน ฉันจะบอกเคล็ดลับสองสามข้อเกี่ยวกับวิธีการประหยัดเวลาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมเหล่านี้ แล้วคุณสนใจไหม? ถ้าอย่างนั้นไปกันเลย!

สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแยกความไม่เท่าเทียมกันออกเป็นปัจจัยต่างๆ (ทำซ้ำหัวข้อ) และกำหนด ODZ และสัญลักษณ์ของปัจจัยต่างๆ ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่าง ลองยกตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: .

ไม่จำเป็นต้องเขียนช่วงของค่าที่ยอมรับได้ () ที่นี่ เนื่องจากไม่มีการหารด้วยตัวแปร และไม่มีการสังเกตราก (ราก) ทุกอย่างที่นี่ถูกแยกตัวประกอบสำหรับเราแล้ว แต่อย่าผ่อนคลาย ทั้งหมดนี้เพื่อเตือนคุณถึงพื้นฐานและเข้าใจแก่นแท้!

สมมุติว่าคุณไม่รู้วิธีหาช่วง คุณจะแก้อสมการนี้ได้อย่างไร? เข้าถึงอย่างมีเหตุผลและสร้างจากสิ่งที่คุณรู้อยู่แล้ว ประการแรก ทางด้านซ้ายจะมากกว่าศูนย์ถ้าทั้งสองนิพจน์ในวงเล็บมีค่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ เนื่องจาก “บวก” เมื่อ “บวก” ให้ “บวก” และ “ลบ” เมื่อ “ลบ” ให้ “บวก” ใช่ไหม? และถ้าสัญญาณของนิพจน์ในวงเล็บแตกต่างกัน ด้านซ้ายจะน้อยกว่าศูนย์ในที่สุด เราจำเป็นต้องค้นหาค่าใดที่นิพจน์ในวงเล็บจะเป็นค่าลบหรือบวก?

เราจำเป็นต้องแก้สมการมันเหมือนกับอสมการทุกประการมีเพียงเครื่องหมายเท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายรากของสมการนี้จะช่วยให้เรากำหนดค่าขอบเขตเหล่านั้นได้เมื่อแยกออกจากปัจจัยที่จะยิ่งใหญ่กว่า หรือน้อยกว่าศูนย์

และตอนนี้ช่วงเวลานั้นเอง ช่วงเวลาคืออะไร? นี่คือช่วงหนึ่งของเส้นจำนวน นั่นคือ ตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อยู่ระหว่างตัวเลขสองตัว - จุดสิ้นสุดของช่วง มันไม่ง่ายเลยที่จะจินตนาการถึงช่วงเวลาเหล่านี้ในหัวของคุณ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะวาดช่วงเวลา ฉันจะสอนคุณตอนนี้

เราวาดแกน โดยชุดตัวเลขทั้งหมดจากและถึงตั้งอยู่บนนั้น จุดจะถูกพล็อตบนแกนซึ่งเรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชันซึ่งเป็นค่าที่นิพจน์เท่ากับศูนย์ ประเด็นเหล่านี้ "ถูกตรึงไว้" ซึ่งหมายความว่าไม่อยู่ในค่านิยมที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ในกรณีนี้พวกเขาถูกแทงเพราะว่า ลงนามในความไม่เท่าเทียมกัน และไม่ กล่าวคือ มากกว่าและไม่มากกว่าหรือเท่ากับโดยเคร่งครัด

ฉันอยากจะบอกว่าไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายศูนย์ แต่อยู่ที่นี่โดยไม่มีวงกลม แต่เพียงเพื่อความเข้าใจและการวางแนวตามแนวแกน โอเค เราได้วาดแกน ใส่จุด (หรือก็คือวงกลม) อะไรต่อไป สิ่งนี้จะช่วยฉันแก้ปัญหาได้อย่างไร - คุณถาม. ตอนนี้แค่นำค่าของ x จากช่วงเวลาตามลำดับแล้วแทนที่มันเป็นอสมการของคุณ แล้วดูว่าผลลัพธ์ของการคูณออกมาเป็นเครื่องหมายใด

กล่าวโดยสรุป เราแค่ยกตัวอย่าง แทนที่ที่นี่ มันจะได้ผล ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันจะมีผลตลอดช่วงเวลาทั้งหมด (ตลอดช่วงเวลาทั้งหมด) จาก ถึง จากจุดที่เราเอามา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า x มาจากถึง แสดงว่าอสมการเป็นจริง

เราทำเช่นเดียวกันกับช่วงเวลาจาก ถึง รับ หรือ ตัวอย่างเช่น แทนที่ กำหนดเครื่องหมาย เครื่องหมายจะเป็น "ลบ" และเราทำเช่นเดียวกันกับช่วงสุดท้ายและช่วงที่สามจากถึงโดยที่เครื่องหมายกลายเป็น "บวก" ข้อความเยอะมากแต่ยังไม่ชัดเจนพอใช่ไหม?

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกครั้ง

ตอนนี้เรายังใช้สัญญาณที่จะได้รับตามผลลัพธ์บนแกนเดียวกัน ในตัวอย่างของฉัน เส้นแบ่งหมายถึงส่วนบวกและลบของแกน

ดูความไม่เท่าเทียมกัน - ที่รูปวาด อีกครั้งที่ความไม่เท่าเทียมกัน - และอีกครั้งที่รูปวาด, มีอะไรชัดเจนไหม? ทีนี้ลองบอกว่าช่วง X เท่าไหร่ อสมการจะเป็นจริง ถูกต้อง จากถึง อสมการก็เป็นจริงจาก ถึง แต่ในช่วงเวลาจาก ถึง อสมการจะเป็นศูนย์ และช่วงนี้ไม่ค่อยสนใจเรา เพราะเรามีสัญญาณของอสมการ.

เมื่อคุณคิดออกแล้ว สิ่งเดียวที่ต้องทำคือจดคำตอบ! ในการตอบสนอง เราเขียนช่วงเวลาที่ด้านซ้ายมากกว่าศูนย์ ซึ่งอ่านได้ว่า X อยู่ในช่วงจากลบอนันต์ถึงลบ 1 และจากสองถึงบวกอนันต์ เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การชี้แจงว่าวงเล็บหมายความว่าค่าที่จำกัดช่วงเวลานั้นไม่ใช่วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกัน นั่นคือค่าเหล่านั้นจะไม่รวมอยู่ในคำตอบ แต่เพียงบ่งชี้ว่าจนถึง ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่ สารละลาย.

ตอนนี้ตัวอย่างที่คุณไม่เพียงแต่ต้องวาดช่วงเวลาเท่านั้น:

คุณคิดว่าจะต้องทำอะไรก่อนที่จะวางจุดบนแกน? ใช่แล้ว แยกตัวประกอบเป็นปัจจัย:

เราวาดช่วงเวลาและวางป้าย สังเกตว่าเรามีจุดเจาะเพราะเครื่องหมายมีค่าน้อยกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด:

ถึงเวลาบอกความลับข้อหนึ่งที่ฉันสัญญาไว้ตั้งแต่ต้นหัวข้อนี้แล้ว! จะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกคุณว่าคุณไม่จำเป็นต้องแทนที่ค่าจากแต่ละช่วงเวลาเพื่อกำหนดเครื่องหมาย แต่คุณสามารถกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งได้ และเพียงสลับเครื่องหมายในช่วงที่เหลือ!

ดังนั้นเราจึงประหยัดเวลาเล็กน้อยในการติดป้าย - ฉันคิดว่าเวลาที่ได้รับในการสอบ Unified State จะไม่เสียหาย!

เราเขียนคำตอบ:

ทีนี้ลองพิจารณาตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน - ความไม่เท่าเทียมกันที่ทั้งสองฝ่ายเป็นอยู่ การแสดงออกที่มีเหตุผล(ซม. ).

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้บ้าง? แล้วคุณมองมันเป็นสมการเศษส่วน-ตรรกยะ เราทำอะไรเป็นอย่างแรก? เราเห็นทันทีว่าไม่มีราก ซึ่งหมายความว่ามีเหตุผลอย่างแน่นอน แต่ต่อมาก็เป็นเศษส่วน และถึงแม้จะไม่ทราบในตัวส่วนก็ตาม!

ถูกต้อง เราต้องการ ODZ!

มาดูกันต่อ ตรงนี้ปัจจัยทั้งหมดยกเว้นตัวหนึ่งที่มีตัวแปรเป็นดีกรี 1 แต่มีตัวประกอบที่ x มีดีกรี 2 โดยปกติแล้ว เครื่องหมายของเราเปลี่ยนไปหลังจากผ่านจุดใดจุดหนึ่งซึ่งด้านซ้ายของอสมการมีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งเรากำหนดว่า x ควรเท่ากับเท่าใดในแต่ละตัวประกอบ แต่ที่นี่มันเป็นแง่บวกเสมอเพราะว่า จำนวนใดๆ ที่กำลังสอง > ศูนย์ และพจน์ที่เป็นบวก

คุณคิดว่าสิ่งนี้จะส่งผลต่อความหมายของความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ถูกต้อง - มันจะไม่ส่งผลกระทบ! เราสามารถแบ่งความไม่เท่าเทียมกันออกเป็นทั้งสองส่วนได้อย่างปลอดภัย และด้วยเหตุนี้จึงขจัดปัจจัยนี้ออกไปเพื่อไม่ให้เป็นที่ขัดตา

ถึงเวลาแล้วที่จะต้องวาดช่วงเวลาในการทำเช่นนี้คุณต้องกำหนดค่าขอบเขตเหล่านั้นเมื่อแยกออกจากตัวคูณจะมากกว่าและน้อยกว่าศูนย์ แต่สังเกตว่ามีป้ายอยู่ตรงนี้ หมายความว่าเราจะไม่เลือกจุดที่ด้านซ้ายของอสมการมีค่าเป็นศูนย์ รวมไว้ในจำนวนคำตอบแล้ว เรามีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว นี่คือจุดที่ x เท่ากับ 1 เราควรระบายสีจุดที่ตัวส่วนเป็นลบไหม? - ไม่แน่นอน!

ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นช่วงเวลาจะมีลักษณะดังนี้:

เมื่อใช้แผนภาพนี้ คุณสามารถเขียนคำตอบได้อย่างง่ายดาย ฉันจะบอกว่าตอนนี้คุณมีวงเล็บเหลี่ยมรูปแบบใหม่ให้คุณเลือกแล้ว - สี่เหลี่ยมจัตุรัส! นี่คือวงเล็บ [ บอกว่าค่านั้นรวมอยู่ในช่วงการแก้ปัญหา เช่น เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ วงเล็บนี้สอดคล้องกับจุดที่เติม (ไม่ได้ปักหมุด) บนแกน

แล้วคุณได้รับคำตอบเดียวกันหรือไม่?

เราแยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัยแล้วย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่ง ท้ายที่สุด เราเพียงแต่ต้องปล่อยศูนย์ไว้ทางขวาเพื่อเปรียบเทียบกับมัน:

ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าในการแปลงครั้งล่าสุด เพื่อให้ได้ทั้งตัวเศษและตัวส่วน ฉันต้องคูณอสมการทั้งสองข้างด้วย จำไว้ว่าเมื่อคูณอสมการทั้งสองข้าง สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม!!!

เราเขียน ODZ:

มิฉะนั้น ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ และอย่างที่คุณจำได้ คุณจะหารด้วยศูนย์ไม่ได้!

เห็นด้วย ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นทำให้ต้องลดตัวเศษและส่วนลง! สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ คุณอาจสูญเสียการตัดสินใจหรือ ODZ บางอย่าง!

ทีนี้ลองวางจุดบนแกนด้วยตัวเอง ฉันจะสังเกตเพียงว่าเมื่อพล็อตจุดคุณจะต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าจุดที่มีค่าซึ่งตามเครื่องหมายนั้นดูเหมือนว่าจะถูกพล็อตบนแกนเป็นสีเทาจะไม่ถูกแรเงามันจะเป็น ควักออก! คุณถามทำไม? และจำ ODZ ไว้ คุณจะไม่หารด้วยศูนย์แบบนั้นใช่ไหม

จำไว้ว่า ODZ มาก่อน! หากความไม่เท่าเทียมและเครื่องหมายที่เท่ากันทั้งหมดพูดอย่างใดอย่างหนึ่ง และ ODZ พูดอีกอย่างหนึ่ง ไว้วางใจ ODZ ยิ่งใหญ่และทรงพลัง! คุณสร้างช่วงเวลา ฉันแน่ใจว่าคุณทำตามคำแนะนำของฉันเกี่ยวกับการสลับและคุณเข้าใจสิ่งนี้ (ดูภาพด้านล่าง) ทีนี้ขีดฆ่าออกและอย่าทำผิดพลาดอีก! ผิดพลาดอะไร? - คุณถาม.

ความจริงก็คือในความไม่เท่าเทียมกันนี้ ปัจจัยถูกทำซ้ำสองครั้ง (จำได้ไหมว่าคุณพยายามลดมันอย่างไร) ดังนั้น หากปัจจัยบางอย่างถูกทำซ้ำในความไม่เท่าเทียมกันเป็นจำนวนคู่ จากนั้นเมื่อผ่านจุดบนแกนที่เปลี่ยนปัจจัยนี้เป็นศูนย์ (ในกรณีนี้คือจุด) เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยน ถ้าเป็นเลขคี่ แล้วสัญญาณก็เปลี่ยน!

แกนต่อไปนี้พร้อมช่วงเวลาและเครื่องหมายจะถูกต้อง:

และโปรดสังเกตด้วยว่าเครื่องหมายที่เราสนใจนั้นไม่ใช่เครื่องหมายที่อยู่ตอนเริ่มต้น (เมื่อแรกเราเห็นความไม่เท่าเทียมกันก็มีเครื่องหมายอยู่ตรงนั้น) หลังจากแปลงแล้วเครื่องหมายก็เปลี่ยนเป็น แสดงว่า เราสนใจเป็นช่วงๆ มีเครื่องหมาย

คำตอบ:

ฉันจะบอกด้วยว่ามีสถานการณ์ที่มีรากเหง้าของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาใด ๆ ในการตอบสนองพวกเขาจะเขียนในวงเล็บปีกกาเช่นนี้เช่น: . คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับสถานการณ์ดังกล่าวได้ในบทความระดับเฉลี่ย

สรุปวิธีแก้ปัญหาอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

เราย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายโดยเหลือเพียงศูนย์ทางด้านขวา
เราพบ ODZ;
เราพล็อตรากทั้งหมดของอสมการบนแกน
เราใช้สิ่งหนึ่งจากช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งและกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาที่รูตอยู่สลับสัญญาณโดยให้ความสนใจกับรากที่ทำซ้ำหลายครั้งในความไม่เท่าเทียมกัน ไม่ว่าเครื่องหมายจะเปลี่ยนไปเมื่อผ่านหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับ ความสม่ำเสมอหรือคี่ของจำนวนครั้งที่ซ้ำกันหรือไม่;
ในการตอบสนอง เราเขียนช่วงเวลา โดยสังเกตจุดที่ถูกเจาะและไม่ถูกเจาะ (ดู ODZ) ประเภทที่ต้องการวงเล็บระหว่างพวกเขา

และสุดท้าย ส่วนที่เราชื่นชอบ “ทำมันเอง”!

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

วิธีการเว้นช่วง ระดับเฉลี่ย

ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มเรียกว่าเชิงเส้น ลองใช้ฟังก์ชันเป็นตัวอย่าง เป็นบวกที่และลบที่ จุดคือศูนย์ของฟังก์ชัน () เรามาแสดงสัญญาณของฟังก์ชันนี้บนแกนตัวเลข:

เราว่า “ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนั้น”

จะเห็นได้ว่าสัญลักษณ์ของฟังก์ชันสอดคล้องกับตำแหน่งของกราฟฟังก์ชัน: หากกราฟอยู่เหนือแกน เครื่องหมายจะเป็น “ ” หากอยู่ด้านล่างคือ “ ”

หากเราสรุปกฎผลลัพธ์ให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตามอำเภอใจ เราจะได้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน
เราทำเครื่องหมายไว้บนแกนจำนวน
เรากำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันที่ด้านตรงข้ามของศูนย์

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฉันหวังว่าคุณจะจำวิธีแก้อสมการกำลังสองได้ไหม ถ้าไม่ก็อ่านหัวข้อ ผมขอเตือนคุณถึงมุมมองทั่วไป ฟังก์ชันกำลังสอง: .

ทีนี้มาจำไว้ว่าฟังก์ชันกำลังสองมีสัญญาณอะไร กราฟของมันคือพาราโบลา และฟังก์ชันจะใช้เครื่องหมาย " " สำหรับพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน และ " " - ถ้าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน:

หากฟังก์ชันมีศูนย์ (ค่าที่) พาราโบลาจะตัดแกนที่จุดสองจุด - รากของค่าที่สอดคล้องกัน สมการกำลังสอง. ดังนั้นแกนจึงถูกแบ่งออกเป็นสามช่วงและสัญญาณของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปสลับกันเมื่อผ่านแต่ละรูต

เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดสัญญาณโดยไม่ต้องวาดพาราโบลาทุกครั้ง?

โปรดจำไว้ว่าสามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้:

ตัวอย่างเช่น: .

ทำเครื่องหมายรากบนแกน:

เราจำได้ว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เมื่อผ่านรูทเท่านั้น ลองใช้ข้อเท็จจริงนี้: สำหรับแต่ละช่วงเวลาที่แกนถูกหารด้วยรากก็เพียงพอที่จะกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันที่จุดที่เลือกโดยพลการเพียงจุดเดียวเท่านั้น: ที่จุดที่เหลือของช่วงเวลาเครื่องหมายจะเหมือนกัน .

ในตัวอย่างของเรา: ที่นิพจน์ทั้งสองในวงเล็บเป็นบวก (แทนที่ เช่น :)) เราใส่เครื่องหมาย " " ไว้บนแกน:

เมื่อ (เช่น แทนค่า) วงเล็บทั้งสองเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าผลคูณเป็นบวก:

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น วิธีช่วงเวลา: เมื่อทราบสัญญาณของปัจจัยแต่ละช่วงแล้วเราจะกำหนดสัญญาณของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด

ลองพิจารณากรณีที่ฟังก์ชันไม่มีศูนย์หรือมีเพียงอันเดียว

หากไม่มีก็ไม่มีราก ซึ่งหมายความว่าจะไม่มีการ "ผ่านราก" ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะใช้เครื่องหมายเดียวบนเส้นจำนวนทั้งหมด สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่ลงในฟังก์ชัน

หากมีรากเพียงรากเดียว พาราโบลาจะแตะแกน ดังนั้นเครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านราก เราจะคิดกฎอะไรได้บ้างสำหรับสถานการณ์เช่นนี้?

หากคุณแยกตัวประกอบฟังก์ชันดังกล่าว คุณจะได้ตัวประกอบที่เหมือนกันสองตัว:

และนิพจน์กำลังสองใดๆ ไม่เป็นลบ! ดังนั้นเครื่องหมายของฟังก์ชันจึงไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีเช่นนี้ เราจะเน้นรากเมื่อผ่านซึ่งเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง โดยวงกลมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

เราจะเรียกรูทดังกล่าวว่าพหุคูณ

วิธีช่วงเวลาในอสมการ

ตอนนี้อสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องวาดพาราโบลา เพียงวางเครื่องหมายของฟังก์ชันกำลังสองบนแกนก็เพียงพอแล้วและเลือกช่วงเวลาขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น:

มาวัดรากบนแกนแล้ววางเครื่องหมาย:

เราต้องการส่วนของแกนที่มีเครื่องหมาย " " เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด รากจึงรวมอยู่ในการแก้ปัญหาด้วย:

ตอนนี้ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอย่างมีเหตุผล - ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งทั้งสองฝ่ายเป็นการแสดงออกอย่างมีเหตุผล (ดู)

ตัวอย่าง:

ปัจจัยทั้งหมดยกเว้นปัจจัยหนึ่งถือเป็น "เชิงเส้น" ในที่นี้ กล่าวคือ มีตัวแปรเฉพาะกำลังแรกเท่านั้น เราต้องการปัจจัยเชิงเส้นดังกล่าวเพื่อใช้วิธีช่วงเวลา - เครื่องหมายจะเปลี่ยนเมื่อผ่านรากของมัน แต่ตัวคูณไม่มีรากเลย ซึ่งหมายความว่าเป็นบวกเสมอ (ตรวจสอบด้วยตัวคุณเอง) และดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการได้ และกำจัดมันออกไป:

ตอนนี้ทุกอย่างเหมือนเดิมกับอสมการกำลังสอง: เรากำหนดว่าแต่ละปัจจัยจะกลายเป็นศูนย์ที่จุดใด ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนและจัดเรียงเครื่องหมาย ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงที่สำคัญมาก:

คำตอบ: . ตัวอย่าง: .

หากต้องการใช้วิธีช่วงเวลา ต้องมีส่วนของอสมการส่วนหนึ่ง ดังนั้นให้เลื่อนด้านขวาไปทางซ้าย:

ตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบเท่ากัน แต่อย่ารีบลด! ท้ายที่สุดเราอาจลืมทิ่มแทงจุดนี้ไป เป็นการดีกว่าที่จะทำเครื่องหมายรูทนี้เป็นทวีคูณนั่นคือเมื่อผ่านมันไปเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยน:

คำตอบ: .

และอีกตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน:

ขอย้ำอีกครั้ง เราไม่ตัดตัวประกอบของทั้งเศษและส่วนออก เพราะถ้าเราตัด เราจะต้องจำเจาะจงให้เจาะจุดด้วย

: ซ้ำหลายครั้ง;
: ครั้ง;
: ครั้ง (ในตัวเศษและหนึ่งในตัวส่วน)

ในกรณีของเลขคู่ เราทำเหมือนเดิม: เราวนจุดด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านรูต แต่ในกรณีของเลขคี่ กฎนี้ใช้ไม่ได้: เครื่องหมายจะยังคงเปลี่ยนเมื่อผ่านรูท ดังนั้นเราจึงไม่ทำอะไรเพิ่มเติมกับรูทดังกล่าว ราวกับว่ามันไม่ใช่จำนวนทวีคูณ กฎข้างต้นใช้กับเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ทั้งหมด

เราควรเขียนอะไรในคำตอบ?

หากฝ่าฝืนการสลับป้ายต้องระวังให้มากเพราะถ้าความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวดคำตอบก็ควรประกอบด้วย จุดที่แรเงาทั้งหมด. แต่บางคนก็มักจะแยกจากกันนั่นคือไม่รวมอยู่ในพื้นที่สีเทา ในกรณีนี้ เราจะเพิ่มลงในคำตอบเป็นจุดแยก (ในวงเล็บปีกกา):

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

คำตอบ:

ถ้าในบรรดาปัจจัยต่างๆ มันง่าย มันเป็นราก เพราะสามารถแสดงเป็นได้
.

วิธีการเว้นช่วง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

วิธีช่วงเวลาใช้ในการแก้อสมการเชิงตรรกยะ ประกอบด้วยการกำหนดเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จากสัญญาณของปัจจัยในช่วงเวลาต่างๆ

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลา

เราย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายโดยเหลือเพียงศูนย์ทางด้านขวา
เราพบ ODZ;
เราพล็อตรากทั้งหมดของอสมการบนแกน
เราใช้สิ่งหนึ่งจากช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งและกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาที่รูตอยู่สลับสัญญาณโดยให้ความสนใจกับรากที่ทำซ้ำหลายครั้งในความไม่เท่าเทียมกัน ไม่ว่าเครื่องหมายจะเปลี่ยนไปเมื่อผ่านหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับ ความสม่ำเสมอหรือคี่ของจำนวนครั้งที่ซ้ำกันหรือไม่;
ในการตอบสนอง เราเขียนช่วงเวลาโดยสังเกตจุดที่เจาะและไม่เจาะ (ดู ODZ) โดยวางวงเล็บประเภทที่จำเป็นไว้ระหว่างจุดเหล่านั้น

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ในบทนี้ เราจะดำเนินการแก้ไขอสมการเชิงตรรกยะต่อไปโดยใช้วิธีช่วงเวลาสำหรับอสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น ให้เราพิจารณาคำตอบของอสมการกำลังสองเชิงเส้นและเศษส่วนและปัญหาที่เกี่ยวข้องกัน

ทีนี้ กลับมาที่ความไม่เท่าเทียมกันกัน

ลองดูงานที่เกี่ยวข้องกัน

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เล็กที่สุดสำหรับอสมการ

ค้นหาจำนวนวิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติของอสมการ

ค้นหาความยาวของช่วงเวลาที่ประกอบกันเป็นชุดคำตอบของอสมการ

2. พอร์ทัล วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

3. อิเล็กทรอนิกส์ การฝึกอบรมและระเบียบวิธีการที่ซับซ้อนเพื่อเตรียมเกรด 10-11 สำหรับการสอบเข้าสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย ()

5. ศูนย์การศึกษา “เทคโนโลยีการสอน” ()

6. ส่วน College.ru เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ()

1. มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตเกรด 9: หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ฯลฯ - ฉบับที่ 4 - อ.: Mnemosyne, 2002.-143 หน้า: ป่วย ลำดับที่ 28(ข,ค); 29(ข,ค); 35(ก,ข); 37(ข,ค); 38(ก)

จำเป็นต้องเปรียบเทียบปริมาณและปริมาณเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในเวลาเดียวกัน คำว่ามากขึ้นและน้อยลง สูงขึ้นและต่ำลง เบาและหนักขึ้น เงียบขึ้นและดังขึ้น ถูกลงและมีราคาแพงขึ้น ฯลฯ ปรากฏขึ้น ซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน

แนวคิดเรื่องมากขึ้นเรื่อยๆ เกิดขึ้นจากการนับวัตถุ การวัด และการเปรียบเทียบปริมาณ ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ในยุคกรีกโบราณรู้ว่าด้านของสามเหลี่ยมใดๆ น้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ และด้านที่ใหญ่กว่านั้นอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม ขณะคำนวณเส้นรอบวงของอาร์คิมิดีส พบว่าเส้นรอบวงของวงกลมใดๆ มีค่าเท่ากับสามเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยส่วนที่เกินนั้นน้อยกว่าหนึ่งในเจ็ดของเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่มากกว่าสิบเจ็ดสิบเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง

เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและปริมาณเชิงสัญลักษณ์โดยใช้เครื่องหมาย > และ b บันทึกที่มีตัวเลขสองตัวเชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง: > (มากกว่า) คุณยังพบความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในเกรดที่ต่ำกว่าอีกด้วย คุณรู้ว่าความไม่เท่าเทียมกันสามารถเป็นจริงได้ หรืออาจเป็นเท็จก็ได้ ตัวอย่างเช่น \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) คืออสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 0.23 > 0.235 คืออสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง

ความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับสิ่งไม่รู้อาจเป็นจริงสำหรับค่าบางอย่างของสิ่งที่ไม่รู้และเป็นเท็จสำหรับค่าอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น อสมการ 2x+1>5 เป็นจริงสำหรับ x = 3 แต่เป็นเท็จสำหรับ x = -3 สำหรับความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณสามารถกำหนดงานได้: แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ปัญหาการแก้ไขอสมการในทางปฏิบัตินั้นถูกวางและแก้ไขไม่น้อยไปกว่าปัญหาการแก้สมการ ตัวอย่างเช่น ปัญหาทางเศรษฐกิจมากมายเกิดขึ้นที่การศึกษาและการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ อสมการเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าสมการ

อสมการบางอย่างทำหน้าที่เป็นวิธีช่วยเพียงวิธีเดียวในการพิสูจน์หรือพิสูจน์การมีอยู่ของวัตถุบางอย่าง เช่น รากของสมการ

อสมการเชิงตัวเลข

คุณสามารถเปรียบเทียบจำนวนเต็มได้หรือไม่? ทศนิยม. คุณรู้กฎการเปรียบเทียบหรือไม่? เศษส่วนสามัญมีตัวส่วนเท่ากันแต่มีตัวเศษต่างกัน ที่มีตัวเศษเท่ากันแต่มีตัวส่วนต่างกัน ที่นี่คุณจะได้เรียนรู้วิธีการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวใดๆ โดยการค้นหาสัญลักษณ์ของความแตกต่าง

การเปรียบเทียบตัวเลขมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น นักเศรษฐศาสตร์เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ที่วางแผนไว้กับตัวบ่งชี้ที่เกิดขึ้นจริง แพทย์จะเปรียบเทียบอุณหภูมิของผู้ป่วยกับอุณหภูมิปกติ ช่างกลึงจะเปรียบเทียบขนาดของชิ้นส่วนที่กลึงกับมาตรฐาน ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด จะมีการเปรียบเทียบตัวเลขบางจำนวน ผลจากการเปรียบเทียบตัวเลขทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข

คำนิยาม.จำนวน a มากกว่าจำนวน b ถ้า ความแตกต่าง a-bเชิงบวก. จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b ถ้าผลต่าง a-b เป็นลบ

ถ้า a มากกว่า b แสดงว่า: a > b; ถ้า a น้อยกว่า b ก็เขียนว่า: a ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน a > b หมายความว่าความแตกต่าง a - b เป็นบวก เช่น a - b > 0 อสมการ a สำหรับตัวเลขสองตัว a และ b จากความสัมพันธ์สามค่าต่อไปนี้ a > b, a = b a ในการเปรียบเทียบตัวเลข a และ b หมายถึงการหาว่าเครื่องหมายใด >, = หรือ ทฤษฎีบท.ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

ทฤษฎีบท.หากคุณบวกเลขเดียวกันทั้งสองด้านของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง
ผลที่ตามมาคำใดๆ สามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำนี้ไปเป็นคำตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท.หากอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยจำนวนบวกเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าอสมการทั้งสองข้างคูณกัน จำนวนลบแล้วสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม
ผลที่ตามมาหากอสมการทั้งสองข้างหารด้วยจำนวนบวกเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง หากอสมการทั้งสองข้างหารด้วยจำนวนลบเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม

คุณรู้ไหมว่า ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขคุณสามารถเพิ่มและคูณคำศัพท์ได้ ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้วิธีดำเนินการที่คล้ายกันกับความไม่เท่าเทียมกัน ความสามารถในการบวกและคูณความไม่เท่าเทียมกันแบบคำต่อคำมักใช้ในทางปฏิบัติ การกระทำเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหาในการประเมินและเปรียบเทียบความหมายของสำนวน

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มักจำเป็นต้องบวกหรือคูณด้านซ้ายและขวาของอสมการทีละเทอม ในขณะเดียวกันก็มีการกล่าวกันว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเพิ่มขึ้นหรือทวีคูณ ตัวอย่างเช่น หากนักท่องเที่ยวเดินมากกว่า 20 กม. ในวันแรก และมากกว่า 25 กม. ในวันที่สอง เราสามารถพูดได้ว่าในสองวันเขาเดินมากกว่า 45 กม. ในทำนองเดียวกัน หากความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่า 13 ซม. และความกว้างน้อยกว่า 5 ซม. เราก็บอกได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้น้อยกว่า 65 ซม. 2

เมื่อพิจารณาตัวอย่างเหล่านี้ มีการใช้สิ่งต่อไปนี้: ทฤษฎีบทการบวกและการคูณอสมการ:

ทฤษฎีบท.เมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน จะได้ความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b และ c > d แล้ว a + c > b + d

ทฤษฎีบท.เมื่อคูณอสมการของเครื่องหมายเดียวกันซึ่งมีด้านซ้ายและขวาเป็นบวก จะได้ค่าอสมการของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b, c > d และ a, b, c, d เป็นจำนวนบวก แล้ว ac > bd

อสมการที่มีเครื่องหมาย > (มากกว่า) และ 1/2, 3/4 b, c พร้อมด้วยเครื่องหมายของอสมการเข้มงวด > และในทำนองเดียวกัน อสมการ \(a \geq b \) หมายความว่าจำนวน a คือ มากกว่าหรือเท่ากับ b นั่นคือ . และไม่น้อยกว่า b

อสมการที่มีเครื่องหมาย \(\geq \) หรือเครื่องหมาย \(\leq \) เรียกว่าไม่เข้มงวด ตัวอย่างเช่น \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ไม่ใช่อสมการที่เข้มงวด

คุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเข้มงวดยังใช้ได้กับอสมการที่ไม่เข้มงวดเช่นกัน ยิ่งกว่านั้น หากสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด เครื่องหมาย > ถือว่าตรงกันข้าม และคุณรู้ว่าในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์จำนวนหนึ่ง คุณต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของสมการหรือระบบสมการ ต่อไปคุณจะพบว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหามากมาย มีความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้ เราจะนำเสนอแนวคิดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและวิธีทดสอบว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันโดยเฉพาะหรือไม่

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax > b, \quad ax โดยให้ a และ b เป็นตัวเลข ส่วน x เป็นค่าที่ไม่รู้จัก เรียกว่า อสมการเชิงเส้นกับค่าที่ไม่รู้จัก.

คำนิยาม.วิธีแก้อสมการโดยมีค่าที่ไม่ทราบคือค่าของค่าที่ไม่ทราบ ซึ่งอสมการนี้จะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย

คุณแก้สมการโดยลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด ในทำนองเดียวกัน เมื่อแก้ไขอสมการ เราพยายามลดอสมการเหล่านี้ให้อยู่ในรูปของอสมการธรรมดาโดยใช้คุณสมบัติ

การแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรตัวเดียว

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax^2+bx+c >0 \) และ \(ax^2+bx+c โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \) เรียกว่า อสมการระดับที่สองกับตัวแปรหนึ่งตัว.

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c >0 \) หรือ \(ax^2+bx+c ถือได้ว่าเป็นการค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c \) รับค่าบวกหรือค่าลบ ค่า ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะวิเคราะห์ว่ากราฟของฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c\) ตั้งอยู่ในระนาบพิกัดอย่างไร: โดยที่กิ่งก้านของพาราโบลาถูกชี้ทิศทาง - ขึ้นหรือลงไม่ว่า พาราโบลาตัดแกน x และถ้ามันตัด แล้วจุดที่ใด

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรเดียว:
1) ค้นหาการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง \(ax^2+bx+c\) และค้นหาว่าตรีโกณมิติมีรากหรือไม่
2) ถ้าตรีโกณมิติมีราก ให้ทำเครื่องหมายไว้บนแกน x และวาดพาราโบลาแผนผังผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ โดยกิ่งก้านของมันจะชี้ขึ้นด้านบนสำหรับ a > 0 หรือด้านล่างสำหรับ 0 หรือด้านล่างสำหรับ 3) หาช่วงเวลาบนแกน x ซึ่งจุดพาราโบลาอยู่เหนือแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ \(ax^2+bx+c >0\)) หรือต่ำกว่าแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c การแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

พิจารณาฟังก์ชัน
ฉ(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของตัวเลขทั้งหมด ศูนย์ของฟังก์ชันคือตัวเลข -2, 3, 5 โดยแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) และ \( (5; +\infty)\)

ให้เราดูว่าสัญญาณของฟังก์ชันนี้คืออะไรในแต่ละช่วงเวลาที่ระบุ

นิพจน์ (x + 2)(x - 3)(x - 5) เป็นผลคูณของปัจจัย 3 ตัว เครื่องหมายของแต่ละปัจจัยเหล่านี้ในช่วงเวลาที่พิจารณาแสดงไว้ในตาราง:

โดยทั่วไป ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร
ฉ(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
โดยที่ x คือตัวแปร และ x 1, x 2, ..., xn คือตัวเลขที่ไม่เท่ากัน ตัวเลข x 1 , x 2 , ..., xn เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน ในแต่ละช่วงเวลาที่โดเมนของคำจำกัดความถูกหารด้วยศูนย์ของฟังก์ชัน เครื่องหมายของฟังก์ชันจะยังคงอยู่ และเมื่อผ่านศูนย์ เครื่องหมายก็จะเปลี่ยนไป

คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) โดยที่ x 1, x 2, ..., xn เป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากัน

วิธีพิจารณา การแก้อสมการเรียกว่าวิธีแบบเป็นช่วง

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

\(x(0.5-x)(x+4) แน่นอนว่า ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน f(x) = x(0.5-x)(x+4) คือจุด \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

เราพล็อตค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนแกนตัวเลขและคำนวณเครื่องหมายในแต่ละช่วงเวลา:

เราเลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์แล้วจดคำตอบไว้

คำตอบ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

วิธีช่วงเวลา(หรือที่บางครั้งเรียกว่าวิธี gap) คือ วิธีการสากลการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน เหมาะสำหรับแก้อสมการต่าง ๆ แต่สะดวกที่สุดในการแก้ไข ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง ดังนั้นในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน วิธีการเว้นช่วงจะเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยเฉพาะ และในทางปฏิบัติแล้วแทบไม่ได้ให้ความสนใจกับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันอื่น ๆ ด้วยความช่วยเหลือ

ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีช่วงเวลาโดยละเอียด และสัมผัสถึงความซับซ้อนทั้งหมดของการแก้ไขอสมการโดยใช้ตัวแปรตัวเดียว เริ่มต้นด้วยการนำเสนออัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา ต่อไปเราจะอธิบายว่าอันไหน ด้านทฤษฎีมันเป็นพื้นฐานและเราจะวิเคราะห์ขั้นตอนของอัลกอริทึมโดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะอาศัยรายละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความของสัญญาณในช่วงเวลา หลังจากนี้ เราจะไปฝึกฝนและแสดงวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปหลายๆ ตัวอย่าง โดยสรุปให้พิจารณาวิธีช่วงเวลาใน ปริทัศน์(นั่นคือ โดยไม่มีการอ้างอิงถึงอสมการเชิงตรรกยะ) หรืออีกนัยหนึ่งคือวิธีทั่วไปของช่วงเวลา

การนำทางหน้า

อัลกอริทึม

ความคุ้นเคยกับวิธีช่วงเวลาในโรงเรียนเริ่มต้นด้วยการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >หรือ ≥) โดยที่ f(x) เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ ทวินามเชิงเส้นด้วย 1 สำหรับตัวแปร x และ/หรือ ตรีโกณมิติกำลังสอง โดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 และมีตัวแยกแยะเชิงลบและกำลังของพวกมัน หรืออัตราส่วนของพหุนามดังกล่าว เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

เพื่อให้การสนทนามีสาระสำคัญมากขึ้น เรามาเขียนอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของประเภทข้างต้นทันทีโดยใช้วิธีช่วงเวลา แล้วเราจะหาคำตอบว่าอะไร อย่างไร และเพราะเหตุใด ดังนั้นการใช้วิธีช่วงเวลา:

ขั้นแรกให้ค้นหาศูนย์ของตัวเศษและศูนย์ของตัวส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเศษและส่วนของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะเท่ากับศูนย์ และสมการผลลัพธ์จะถูกแก้ไข
หลังจากนี้จุดที่ตรงกับศูนย์ที่พบจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายขีดกลาง การวาดแผนผังก็เพียงพอแล้วโดยไม่จำเป็นต้องสังเกตมาตราส่วน สิ่งสำคัญคือการยึดตามตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กัน: จุดที่มีพิกัดเล็กกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดโดยมี พิกัดที่ใหญ่กว่า หลังจากนั้นจะชัดเจนว่าควรนำเสนออย่างไร: ปกติหรือเจาะ (โดยมีช่องตรงกลางว่าง) เมื่อตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด(พร้อมป้าย.< или >) ทุกจุดจะแสดงเป็นรอยเจาะ เมื่อแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด (ด้วยเครื่องหมาย ≤ หรือ ≥) จุดที่สอดคล้องกับศูนย์ของตัวส่วนจะถูกเจาะ และจุดที่เหลือที่มีเครื่องหมายขีดกลางเป็นจุดปกติ จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วงตัวเลขหลายช่วง
ต่อไป สัญญาณของนิพจน์ f(x) จะถูกกำหนดจากด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันที่จะแก้ไขในแต่ละช่วงเวลา (เราจะอธิบายรายละเอียดวิธีการดำเนินการในย่อหน้าใดย่อหน้าหนึ่งต่อไปนี้) และ + หรือ - วางไว้ด้านบน ตามป้ายที่กำหนดไว้
ในที่สุดเมื่อแก้ไขอสมการที่ลงนามแล้ว< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >หรือ ≥ - เหนือช่องว่างที่มีเครื่องหมาย + ผลลัพธ์คือ ซึ่งเป็นคำตอบที่ต้องการสำหรับอสมการ

โปรดทราบว่าอัลกอริทึมข้างต้นสอดคล้องกับคำอธิบายของวิธีช่วงเวลาในตำราเรียนของโรงเรียน

วิธีการขึ้นอยู่กับอะไร?

วิธีการที่เป็นรากฐานของวิธีการเป็นช่วงเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้: ถ้าในช่วงเวลา (a, b) ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องและไม่หายไป ก็จะยังคงมีเครื่องหมายคงที่ในช่วงเวลานี้ (เราจะ เพิ่มว่าคุณสมบัติที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับรังสีจำนวน (−∞, a) และ (a, +∞) ) และคุณสมบัตินี้ก็เป็นไปตามทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชี (การพิจารณาอยู่นอกเหนือขอบเขตของ หลักสูตรของโรงเรียน) สูตรและข้อพิสูจน์ (หากจำเป็น) สามารถพบได้ในหนังสือ

สำหรับนิพจน์ f(x) ที่มีแบบฟอร์มระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ความคงตัวของเครื่องหมายในช่วงเวลาสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีอื่นโดยเริ่มจากคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขและคำนึงถึงกฎสำหรับการคูณและหารตัวเลขด้วยค่าเดียวกัน ป้ายและป้ายต่างๆ

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน ศูนย์ของเศษและส่วนจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง (−∞, −1), (−1, 5) และ (5, +∞) ให้เราแสดงว่าในช่วงเวลา (−∞, −1) นิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะมีเครื่องหมายคงที่ (เราสามารถใช้ช่วงเวลาอื่น การให้เหตุผลจะคล้ายกัน) ลองหาเลข t ใดๆ จากช่วงนี้กัน มันจะสนองความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างชัดเจน<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

ดังนั้นเราจึงเข้าหาปัญหาการกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาได้อย่างราบรื่น แต่เราจะไม่ข้ามขั้นตอนแรกของวิธีช่วงเวลาซึ่งเกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของตัวเศษและตัวส่วน

จะค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนได้อย่างไร?

การหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนประเภทที่ระบุในย่อหน้าแรกมักจะไม่มีปัญหาใดๆ สำหรับสิ่งนี้ นิพจน์จากตัวเศษและส่วนจะถูกตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ และสมการผลลัพธ์จะถูกแก้ไข หลักการแก้สมการประเภทนี้อธิบายไว้โดยละเอียดในบทความ การแก้สมการโดยวิธีแยกตัวประกอบ. ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างเท่านั้น

พิจารณาเศษส่วน และหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนของมัน เริ่มจากศูนย์ของตัวเศษกันก่อน เราเปรียบตัวเศษให้เป็นศูนย์ เราได้สมการ x·(x−0.6)=0 จากนั้นเราจะไปยังเซตของสมการสองตัว x=0 และ x−0.6=0 จากจุดที่เราพบรากสองตัวคือ 0 และ 0.6 . สิ่งเหล่านี้คือเลขศูนย์ที่จำเป็นของตัวเศษ ตอนนี้เราพบศูนย์ของตัวส่วนแล้ว มาสร้างสมการกันเถอะ x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0มันเทียบเท่ากับชุดของสมการสามสมการ x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 แล้ว x=0, x 2 +2 x+7 =0 , x+5=0 . รากของสมการแรกของสมการเหล่านี้ชัดเจน มันคือ 0 สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากตัวแยกแยะของมันคือลบ และรากของสมการที่สามคือ −5 ดังนั้นเราจึงพบศูนย์ของตัวส่วน ซึ่งมีสองตัว: 0 และ −5 โปรดทราบว่า 0 กลายเป็นทั้งศูนย์ในตัวเศษและศูนย์ในตัวส่วน

ในการค้นหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนในกรณีทั่วไป เมื่อด้านซ้ายของอสมการเป็นเศษส่วนแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นตรรกยะ ตัวเศษและส่วนจะเท่ากับศูนย์ด้วย และสมการที่เกี่ยวข้องจะถูกแก้

จะตรวจสอบสัญญาณตามช่วงเวลาได้อย่างไร?

วิธีที่น่าเชื่อถือที่สุดในการระบุเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการในแต่ละช่วงเวลาคือการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ที่จุดใดจุดหนึ่งในแต่ละช่วงเวลา ในกรณีนี้ เครื่องหมายที่ต้องการในช่วงเวลานั้นเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของค่าของนิพจน์ที่จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้ ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

มาดูความไม่เท่าเทียมกันกัน . นิพจน์ทางด้านซ้ายไม่มีเลขศูนย์ในตัวเศษ และศูนย์ในตัวส่วนคือเลข −3 โดยแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสองช่วง (−∞, −3) และ (−3, +∞) เรามาพิจารณาสัญญาณบนพวกเขากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้หนึ่งจุดจากช่วงเวลาเหล่านี้และคำนวณค่าของนิพจน์ในนั้น ให้เราทราบทันทีว่าขอแนะนำให้ใช้ประเด็นดังกล่าวเพื่อให้สามารถคำนวณได้ง่าย ตัวอย่างเช่น จากช่วงแรก (−∞, −3) เราสามารถหา −4 ได้ สำหรับ x=−4 เรามี ได้รับค่าที่มีเครื่องหมายลบ (ลบ) ดังนั้นจะมีเครื่องหมายลบในช่วงเวลานี้ เราไปยังการกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาที่สอง (−3, +∞) สะดวกในการรับ 0 จากนั้น (หากรวม 0 ในช่วงเวลานั้นขอแนะนำให้ใช้เสมอเนื่องจากที่ x=0 การคำนวณจะง่ายที่สุด) ที่ x=0 เรามี . ค่านี้มีเครื่องหมายบวก (บวก) ดังนั้นจะมีเครื่องหมายบวกในช่วงเวลานี้

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดสัญญาณซึ่งประกอบด้วยการค้นหาเครื่องหมายในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งและคงไว้หรือเปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปยังช่วงที่อยู่ติดกันจนถึงศูนย์ คุณต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ เมื่อผ่านศูนย์ของตัวเศษแต่ไม่ใช่ตัวส่วน หรือผ่านศูนย์ของตัวส่วนแต่ไม่ใช่ตัวเศษ เครื่องหมายจะเปลี่ยนถ้าระดับของนิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่ และไม่เปลี่ยนถ้าเป็นเลขคู่ . และเมื่อผ่านจุดที่เป็นทั้งศูนย์ของตัวเศษและศูนย์ของตัวส่วน เครื่องหมายจะเปลี่ยนถ้าผลรวมของกำลังของนิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่ และไม่เปลี่ยนแปลงหากเป็นเลขคู่

อย่างไรก็ตาม หากนิพจน์ทางด้านขวาของอสมการมีแบบฟอร์มระบุไว้ที่จุดเริ่มต้นของย่อหน้าแรกของบทความนี้ ก็จะมีเครื่องหมายบวกที่ช่องว่างขวาสุด

เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจนเรามาดูตัวอย่างกัน

ให้มีความไม่เท่าเทียมกันต่อหน้าเรา และเราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้เราจะค้นหาศูนย์ของตัวเศษ 2, 3, 4 และศูนย์ของตัวส่วน 1, 3, 4 ทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัดก่อนด้วยเครื่องหมายขีดกลาง

จากนั้นเราจะแทนที่ศูนย์ของตัวส่วนด้วยรูปภาพของจุดที่เจาะทะลุ

และเนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด เราจึงแทนที่ขีดที่เหลือด้วยจุดธรรมดา

และแล้วก็มาถึงช่วงเวลาแห่งการระบุสัญญาณเป็นระยะ ดังที่เราสังเกตเห็นก่อนหน้าตัวอย่างนี้ ในช่วงเวลาขวาสุด (4, +∞) จะมีเครื่องหมาย +:

เรามาพิจารณาสัญญาณที่เหลือในขณะที่ย้ายจากช่องว่างหนึ่งไปอีกช่องว่างจากขวาไปซ้าย ไปยังช่วงถัดไป (3, 4) เราจะผ่านจุดที่มีพิกัด 4 นี่คือศูนย์ของทั้งตัวเศษและตัวส่วน ศูนย์เหล่านี้ให้นิพจน์ (x−4) 2 และ x−4 ผลรวมของกำลังของพวกมันคือ 2+1=3 และนี่คือเลขคี่ ซึ่งหมายความว่า เมื่อผ่านจุดนี้ต้องเปลี่ยนป้าย ดังนั้นในช่วงเวลา (3, 4) จะมีเครื่องหมายลบ:

เราไปไกลกว่านั้นไปยังช่วงเวลา (2, 3) ในขณะที่ผ่านจุดที่มีพิกัด 3 นี่ยังเป็นศูนย์ของทั้งตัวเศษและตัวส่วน โดยกำหนดได้จากนิพจน์ (x−3) 3 และ (x−3) 5 ผลรวมของกำลังของพวกมันคือ 3+5=8 และนี่คือเลขคู่ ดังนั้นเครื่องหมายจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง:

เราก้าวต่อไปตามช่วงเวลา (1, 2) เส้นทางไปถูกบล็อกโดยจุดที่มีพิกัด 2 นี่คือศูนย์ของตัวเศษ ซึ่งได้มาจากนิพจน์ x−2 ระดับของมันคือ 1 กล่าวคือ มันเป็นเลขคี่ ดังนั้นเมื่อผ่านจุดนี้ เครื่องหมายจะเปลี่ยน:

ท้ายที่สุดก็ยังคงต้องกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาสุดท้าย (−∞, 1) กว่าจะไปถึงจุดนั้นได้ เราต้องเอาชนะจุดนั้นด้วยพิกัด 1 นี่คือศูนย์ของตัวส่วน ซึ่งได้มาจากนิพจน์ (x−1) 4 ระดับของมันคือ 4 นั่นคือเป็นเลขคู่ ดังนั้นเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดนี้ ดังนั้นเราจึงระบุสัญญาณทั้งหมดแล้วและภาพวาดจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

เป็นที่ชัดเจนว่าการใช้วิธีที่พิจารณานั้นมีความสมเหตุสมผลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการคำนวณค่าของนิพจน์เกี่ยวข้องกับงานจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น คำนวณค่าของนิพจน์ ณ จุดใดช่วงหนึ่ง .

ตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตอนนี้คุณสามารถรวบรวมข้อมูลทั้งหมดที่นำเสนอได้ ซึ่งเพียงพอต่อการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา และวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาจากหลายตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

ให้เราแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วงเวลา แน่นอนว่า ศูนย์ของตัวเศษคือ 1 และ −5 และศูนย์ของตัวส่วนคือ 1 เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน โดยจุดที่มีพิกัดและ 1 คั่นด้วยศูนย์ของตัวส่วน และศูนย์ที่เหลือของตัวเศษ −5 แสดงเป็นจุดปกติ เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด:

ตอนนี้เราใส่เครื่องหมายตามช่วงเวลาโดยปฏิบัติตามกฎการรักษาหรือเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านศูนย์ จะมีเครื่องหมาย + อยู่เหนือช่องว่างขวาสุด (สามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณค่าของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการที่จุดใดจุดหนึ่งในช่องว่างนี้ เช่น ที่ x=3) เมื่อผ่านเครื่องหมายเราจะเปลี่ยน เมื่อผ่าน 1 เราก็จะคงไว้เหมือนเดิม และเมื่อผ่าน −5 เราก็จะปล่อยเครื่องหมายไว้เหมือนเดิมอีกครั้ง:

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย ≤ จึงยังคงต้องแรเงาตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย − และจดคำตอบจากภาพที่ได้

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหาคือ: .

คำตอบ:

เพื่อความเป็นธรรม ให้เราให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าในกรณีส่วนใหญ่ที่ล้นหลาม เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล พวกเขาจะต้องถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ต้องการก่อน เพื่อที่จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา เราจะหารือโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวในบทความ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลและตอนนี้เราจะยกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นจุดสำคัญจุดหนึ่งเกี่ยวกับตรีโกณมิติกำลังสองในการบันทึกอสมการ

ตัวอย่าง.

ค้นหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

เมื่อดูอสมการนี้ครั้งแรก ดูเหมือนว่ารูปแบบจะเหมาะสมสำหรับการใช้วิธีการหาช่วงเวลา แต่ก็ไม่เสียหายที่จะตรวจสอบว่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบของเขานั้นเป็นลบจริงๆ หรือไม่ ลองคิดดูเพื่อทำให้จิตสำนึกของเราผ่อนคลายลง สำหรับตรีนาม x 2 +3 x+3 เรามี D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนตรีนาม x 2 +2 x−8 เป็น (x+4) (x−2) แล้วแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา .

คำตอบ:

วิธีช่วงเวลาทั่วไป

วิธีช่วงเวลาทั่วไปช่วยให้คุณสามารถแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f(x)<0 (≤, >, ≥) โดยที่ f(x) เป็นอิสระจากตัวแปร x ตัวเดียว มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า อัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลาทั่วไป:

ก่อนอื่นคุณต้องมี f และศูนย์ของฟังก์ชันนี้
จุดขอบเขต รวมถึงจุดแต่ละจุด ของขอบเขตคำจำกัดความจะถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน ตัวอย่างเช่น ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซต
(−5, 1]∪(3)∪ (เราไม่ได้กำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลา (−6, 4) เนื่องจากไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้จุดหนึ่ง จากแต่ละช่วง เช่น 16 , 8 , 6 และ −8 และคำนวณค่าของฟังก์ชัน f ในนั้น:

หากคุณมีคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาว่าค่าที่คำนวณได้ของฟังก์ชันเป็นค่าบวกหรือลบให้ศึกษาเนื้อหาในบทความ การเปรียบเทียบตัวเลข.

เราวางเครื่องหมายที่กำหนดไว้ใหม่และใช้การแรเงาเหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมายลบ:

ในคำตอบเราเขียนการรวมกันของสองช่วงด้วยเครื่องหมาย − เรามี (−∞, −6]∪(7, 12) โปรดทราบว่าคำตอบจะรวม −6 ไว้ด้วย (จุดที่สอดคล้องกันคือจุดทึบ ไม่ถูกเจาะ) . ความจริงก็คือว่านี่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชัน (ซึ่งเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเราจะไม่รวมไว้ในคำตอบ) แต่เป็นจุดขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ (เป็นสี ไม่ใช่สีดำ) และรวมอยู่ด้วย ในโดเมนของคำจำกัดความ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะเป็นลบ (ตามที่เห็นด้วยเครื่องหมายลบในช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน) นั่นคือเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน แต่ไม่จำเป็นต้องรวม 4 ไว้ในคำตอบ (เช่น เช่นเดียวกับช่วงเวลาทั้งหมด ∪(7, 12)

บรรณานุกรม.
1. พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
3. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
4. คุดรยาฟต์เซฟ แอล.ดี.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (สองเล่ม): หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยและวิทยาลัย – ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2524 เล่ม 1. – 687 น. ป่วย
วิธีช่วงเวลา– วิธีง่ายๆ ในการแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน นี่คือชื่อของอสมการที่มีนิพจน์เหตุผล (หรือเศษส่วน-ตรรกยะ) ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร

1. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

วิธีช่วงเวลาช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ภายในไม่กี่นาที

ทางด้านซ้ายของอสมการนี้คือฟังก์ชันเศษส่วน ตรรกยะเนื่องจากไม่มีราก ไซน์ หรือลอการิทึม - มีเพียงนิพจน์ที่เป็นตรรกยะเท่านั้น ทางด้านขวาเป็นศูนย์

วิธีช่วงเวลาจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น

ให้เรานึกถึงวิธีการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งก็คือการแสดงออกของรูปแบบ

ที่ไหน และ รากของสมการกำลังสองอยู่ที่ไหน

เราวาดแกนและวางจุดที่ตัวเศษและส่วนไปที่ศูนย์

ศูนย์ของตัวส่วนและเป็นจุดที่เจาะเนื่องจาก ณ จุดเหล่านี้ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ศูนย์ของตัวเศษและ - จะถูกแรเงา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด เมื่อใด และ อสมการของเราจะเป็นที่น่าพอใจ เนื่องจากทั้งสองด้านมีค่าเท่ากับศูนย์

จุดเหล่านี้จะแบ่งแกนออกเป็นช่วงๆ

ขอให้เราพิจารณาเครื่องหมายของฟังก์ชันเศษส่วนทางด้านซ้ายของอสมการในแต่ละช่วงเหล่านี้ เราจำได้ว่าฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในแต่ละช่วงเวลาระหว่างจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์ สัญลักษณ์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะคงที่ - ไม่ว่าจะเป็น "บวก" หรือ "ลบ"

ดังนั้น เพื่อกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา เราจะหาจุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลานี้ อันที่สะดวกสำหรับเรา
. ยกตัวอย่างและตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการ "วงเล็บ" แต่ละอันเป็นค่าลบ ด้านซ้ายมีป้าย

ช่วงถัดไป: . ลองตรวจสอบป้ายได้ที่ เราพบว่าทางด้านซ้ายมีการเปลี่ยนป้ายเป็น

เอาล่ะ. เมื่อนิพจน์เป็นบวก ดังนั้น จึงเป็นค่าบวกตลอดช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง

เมื่อด้านซ้ายของอสมการเป็นลบ

และสุดท้าย class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

เราพบว่านิพจน์เป็นบวกในช่วงใด สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

คำตอบ: .

โปรดทราบ: ป้ายจะสลับระหว่างช่วงต่างๆ เรื่องนี้เกิดขึ้นเพราะว่า เมื่อผ่านแต่ละจุด ปัจจัยเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะที่ส่วนที่เหลือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง.

เราจะเห็นว่าวิธีช่วงเวลานั้นง่ายมาก เพื่อแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลา เราลดมันให้อยู่ในรูปแบบ:

หรือ class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}หรือหรือ

(ทางด้านซ้ายคือฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ทางด้านขวาคือศูนย์)

จากนั้นเราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์
จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นจำนวนทั้งหมดออกเป็นระยะๆ โดยแต่ละช่วงจะมีฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคงเครื่องหมายไว้
สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาสัญญาณของมันในแต่ละช่วงเวลา
เราทำเช่นนี้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ ณ จุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนั้นเราก็เขียนคำตอบ นั่นคือทั้งหมดที่

แต่คำถามก็เกิดขึ้น: สัญญาณต่างๆ สลับกันอยู่เสมอหรือไม่? ไม่ไม่เสมอไป! คุณต้องใช้ความระมัดระวังและไม่วางป้ายโดยกลไกและไร้ความคิด

2. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ซ้าย(x-3 \ขวา))>0"> !}

วางจุดบนแกนอีกครั้ง จุดและถูกเจาะเพราะเป็นศูนย์ของตัวส่วน ประเด็นนี้ก็ถูกตัดออกไปเช่นกัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบทั้งสองในตัวส่วนจะเป็นลบ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการนำตัวเลขใดๆ จากช่วงเวลาที่กำหนด เช่น ด้านซ้ายมีป้ายว่า

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนคือบวก ตัวประกอบที่สองคือลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สถานการณ์ก็เหมือนเดิม! ตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนเป็นบวก ตัวที่สองเป็นลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สุดท้ายด้วย class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

คำตอบ: .

เหตุใดการสลับป้ายจึงหยุดชะงัก? เพราะเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งตัวคูณจะ “รับผิดชอบ” ต่อมัน ไม่ได้เปลี่ยนป้าย. ผลก็คือความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้ายทั้งหมดของเราจึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

บทสรุป: หากตัวคูณเชิงเส้นเป็นกำลังคู่ (เช่นกำลังสอง) จากนั้นเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง. ในกรณีที่เป็นระดับคี่ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไปแน่นอน

3. ลองพิจารณากรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ แตกต่างจากครั้งก่อนตรงที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด:

ด้านซ้ายเหมือนกับในปัญหาก่อนหน้า ภาพของป้ายจะเหมือนกัน:

บางทีคำตอบอาจจะเหมือนกัน? เลขที่! มีการเพิ่มวิธีแก้ปัญหา สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นคำตอบ

คำตอบ: .

สถานการณ์นี้มักเกิดขึ้นในปัญหาในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือจุดที่ผู้สมัครตกหลุมพรางและเสียคะแนน ระวัง!

4. จะทำอย่างไรถ้าตัวเศษหรือส่วนไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้? พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้: ค่าจำแนกเป็นค่าลบ และไม่มีราก แต่นี่เป็นสิ่งที่ดี! ซึ่งหมายความว่าสัญลักษณ์ของการแสดงออกของทุกคนนั้นเหมือนกันและโดยเฉพาะในเชิงบวก คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

และตอนนี้เราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างด้วยค่าที่เป็นบวกสำหรับทุกคนได้ ให้เรามาถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน:

ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้วิธี Interval

โปรดทราบว่าเราหารทั้งสองด้านของความไม่เท่าเทียมกันด้วยค่าที่เรารู้ว่าเป็นบวก โดยทั่วไปแล้ว คุณไม่ควรคูณหรือหารอสมการด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบเครื่องหมาย

5 . ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างง่าย:

ผมแค่อยากจะคูณมันด้วย. แต่เราฉลาดอยู่แล้ว และเราจะไม่ทำเช่นนี้ ท้ายที่สุดแล้วมันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ และเรารู้ว่าถ้าอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยค่าลบ สัญญาณของอสมการก็จะเปลี่ยนไป

เราจะทำมันแตกต่างออกไป - เราจะรวบรวมทุกอย่างไว้ในส่วนเดียวแล้วนำไปสู่ ตัวส่วนร่วม. ด้านขวาจะยังคงเป็นศูนย์:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

และหลังจากนั้น - สมัคร วิธีช่วงเวลา.