ปัญหาบางอย่างทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องมีความสามารถในการคำนวณค่าของรากที่สอง ปัญหาดังกล่าวรวมถึงการแก้สมการอันดับสองด้วย ในบทความนี้เราจะนำเสนอ วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณรากที่สองและใช้เมื่อทำงานกับสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

รากที่สองคืออะไร?

ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดนี้สอดคล้องกับสัญลักษณ์ √ ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ระบุว่ามีการใช้ครั้งแรกประมาณครึ่งแรกของศตวรรษที่ 16 ในประเทศเยอรมนี (งานเยอรมันเรื่องพีชคณิตชิ้นแรกโดยคริสตอฟ รูดอล์ฟ) นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าสัญลักษณ์นี้เป็นอักษรละตินที่แปลงแล้ว r (radix แปลว่า "ราก" ในภาษาละติน)

รากของจำนวนใดๆ จะเท่ากับค่าที่มีกำลังสองซึ่งสอดคล้องกับนิพจน์ราก ในภาษาคณิตศาสตร์ คำจำกัดความนี้จะมีลักษณะดังนี้: √x = y ถ้า y 2 = x

รากของจำนวนบวก (x > 0) ก็เป็นจำนวนบวกเช่นกัน (y > 0) แต่ถ้าคุณหารากของจำนวนลบ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ สองตัวอย่าง:

√9 = 3 เนื่องจาก 3 2 = 9; √(-9) = 3i เนื่องจาก i 2 = -1

สูตรวนซ้ำของ Heron เพื่อค้นหาค่าของรากที่สอง

ตัวอย่างข้างต้นนั้นง่ายมากและการคำนวณรากในนั้นก็ไม่ใช่เรื่องยาก ปัญหาเริ่มปรากฏขึ้นเมื่อค้นหาค่ารูตสำหรับค่าใด ๆ ที่ไม่สามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ จำนวนธรรมชาติตัวอย่างเช่น √10, √11, √12, √13 ไม่ต้องพูดถึงข้อเท็จจริงที่ว่าในทางปฏิบัติ จำเป็นต้องค้นหารากของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น √(12,15), √(8,5) และอื่น ๆ

ในกรณีทั้งหมดข้างต้น ควรใช้วิธีการพิเศษในการคำนวณรากที่สอง ปัจจุบันมีวิธีดังกล่าวหลายวิธี เช่น การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ การแบ่งคอลัมน์ และอื่นๆ ของทั้งหมด วิธีการที่ทราบบางทีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากที่สุดคือการใช้สูตรวนซ้ำของ Heron ซึ่งรู้จักกันในชื่อวิธีการหารากที่สองของชาวบาบิโลน (มีหลักฐานว่าชาวบาบิโลนโบราณใช้สูตรนี้ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ)

ปล่อยให้จำเป็นต้องกำหนดค่าของ √x สูตรการหารากที่สองเป็นดังนี้:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n) โดยที่ lim n->∞ (a n) => x

มาถอดรหัสสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์นี้กัน ในการคำนวณ √x คุณควรใช้ตัวเลข 0 (อาจเป็นค่าใดก็ได้ แต่สำหรับ ใบเสร็จรับเงินด่วนควรเลือกผลลัพธ์โดยให้ (a 0) 2 อยู่ใกล้ x มากที่สุด จากนั้นแทนที่ลงในสูตรที่ระบุเพื่อคำนวณรากที่สองและรับตัวเลขใหม่ 1 ซึ่งจะใกล้กับค่าที่ต้องการมากขึ้น หลังจากนี้ คุณจะต้องแทนที่ 1 ลงในนิพจน์แล้วได้ 2 ควรทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าจะได้ความแม่นยำที่ต้องการ

ตัวอย่างการใช้สูตรวนซ้ำของ Heron

อัลกอริธึมที่อธิบายไว้ข้างต้นในการหาค่ารากที่สองของจำนวนที่กำหนดอาจฟังดูซับซ้อนและน่าสับสนสำหรับหลาย ๆ คน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างกลับกลายเป็นง่ายกว่ามาก เนื่องจากสูตรนี้มาบรรจบกันเร็วมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเลือกหมายเลขที่ประสบความสำเร็จ 0) .

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ: คุณต้องคำนวณ √11 ลองเลือก 0 = 3 เนื่องจาก 3 2 = 9 ซึ่งใกล้กับ 11 มากกว่า 4 2 = 16 เมื่อแทนสูตร เราจะได้:

ก 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

ก 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

ก 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662

ไม่มีประโยชน์ที่จะคำนวณต่อไป เนื่องจากเราพบว่า 2 และ 3 เริ่มต่างกันเพียงทศนิยมตำแหน่งที่ 5 เท่านั้น ดังนั้น ใช้สูตรเพียง 2 ครั้งในการคำนวณ √11 ด้วยความแม่นยำ 0.0001 ก็เพียงพอแล้ว

ปัจจุบันเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณราก อย่างไรก็ตาม การจำสูตรที่ทำเครื่องหมายไว้ไว้เพื่อให้สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนด้วยตนเองได้นั้นมีประโยชน์

สมการอันดับสอง

การทำความเข้าใจว่ารากที่สองคืออะไรและความสามารถในการคำนวณจะใช้ในการแก้สมการกำลังสอง สมการเหล่านี้เรียกว่าความเท่าเทียมกันโดยไม่ทราบค่า รูปแบบทั่วไปดังแสดงในรูปด้านล่าง

ที่นี่ c, b และ a เป็นตัวแทนของตัวเลขบางตัว และ a จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ และค่าของ c และ b สามารถเป็นค่าใดก็ได้โดยสมบูรณ์ รวมถึงเท่ากับศูนย์ด้วย

ค่าใด ๆ ของ x ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ระบุในรูปเรียกว่ารากของมัน (ไม่ควรสับสนแนวคิดนี้กับรากที่สอง√) เนื่องจากสมการที่พิจารณาอยู่ในลำดับที่ 2 (x 2) จึงไม่สามารถมีรากเกินสองรากได้ ลองดูเพิ่มเติมในบทความเกี่ยวกับวิธีค้นหารากเหล่านี้

การหารากของสมการกำลังสอง (สูตร)

วิธีการแก้ประเภทของความเสมอภาคที่กำลังพิจารณานี้เรียกอีกอย่างว่าวิธีสากลหรือวิธีจำแนก สามารถใช้กับสมการกำลังสองใดก็ได้ สูตรสำหรับการแบ่งแยกและรากของสมการกำลังสองมีดังนี้:

มันแสดงให้เห็นว่ารากขึ้นอยู่กับค่าของแต่ละสัมประสิทธิ์ทั้งสามของสมการ ยิ่งไปกว่านั้น การคำนวณ x 1 ยังแตกต่างจากการคำนวณ x 2 เพียงแต่มีเครื่องหมายอยู่หน้ารากที่สองเท่านั้น การแสดงออกที่รุนแรงซึ่งเท่ากับ b 2 - 4ac นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งแยกความเท่าเทียมกันในคำถาม การแยกแยะในสูตรหารากของสมการกำลังสองมีบทบาทสำคัญเพราะเป็นตัวกำหนดจำนวนและประเภทของคำตอบ ดังนั้น ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว ถ้ามันเป็นบวก สมการก็จะมีรากจำนวนจริง 2 ราก และสุดท้าย การแบ่งแยกเชิงลบจะนำไปสู่รากเชิงซ้อน 2 ราก x 1 และ x 2

ทฤษฎีบทของเวียตนามหรือสมบัติบางประการของรากของสมการอันดับสอง

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 16 หนึ่งในผู้ก่อตั้งพีชคณิตสมัยใหม่ชาวฝรั่งเศสที่ศึกษาสมการอันดับสองก็สามารถรับคุณสมบัติของรากของมันได้ ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

x 1 + x 2 = -b / a และ x 1 * x 2 = c / a

ใครๆ ก็สามารถหาความเท่าเทียมกันทั้งสองอย่างได้ง่ายๆ ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมโดยใช้รากที่ได้จากสูตรพร้อมค่าจำแนก

การรวมกันของทั้งสองนิพจน์สามารถเรียกได้อย่างถูกต้องว่าสูตรที่สองสำหรับรากของสมการกำลังสองซึ่งทำให้สามารถเดาคำตอบได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องจำแนก ควรสังเกตว่าแม้ว่านิพจน์ทั้งสองจะใช้ได้เสมอ แต่ก็สะดวกในการใช้นิพจน์เหล่านี้ในการแก้สมการเฉพาะในกรณีที่สามารถแยกตัวประกอบได้

งานรวบรวมความรู้ที่ได้รับ

มาแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งเราจะสาธิตเทคนิคทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความ เงื่อนไขของปัญหามีดังนี้: คุณต้องค้นหาตัวเลขสองตัวที่ผลคูณคือ -13 และผลรวมคือ 4

เงื่อนไขนี้ทำให้เรานึกถึงทฤษฎีบทของ Vieta ทันที เราเขียนโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของรากที่สองและผลิตภัณฑ์ของพวกมัน:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = ค / ก = -13

ถ้าเราสมมุติว่า a = 1 แล้ว b = -4 และ c = -13 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ช่วยให้เราสามารถสร้างสมการอันดับสองได้:

x 2 - 4x - 13 = 0.

ลองใช้สูตรกับตัวจำแนกและรับค่ารากต่อไปนี้:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68

นั่นคือปัญหาลดลงเหลือเพียงการหาเลข √68 โปรดทราบว่า 68 = 4 * 17 จากนั้นเมื่อใช้คุณสมบัติรากที่สอง เราจะได้: √68 = 2√17

ตอนนี้ ลองใช้สูตรรากที่สองที่พิจารณาแล้ว: a 0 = 4 จากนั้น:

ก 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

ก 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231

ไม่จำเป็นต้องคำนวณ 3 เนื่องจากค่าที่พบต่างกันเพียง 0.02 ดังนั้น √68 = 8.246 เมื่อแทนลงในสูตรสำหรับ x 1,2 เราจะได้:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 และ x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123

ดังที่เราเห็น ผลรวมของตัวเลขที่พบเท่ากับ 4 จริงๆ แต่ถ้าเราพบผลคูณของมัน ก็จะเท่ากับ -12.999 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาด้วยความแม่นยำ 0.001

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *ต่อไปนี้เรียกว่า “มก.”เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรจะง่ายไปกว่านี้ในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูว่ายานเดกซ์ให้การแสดงผลตามความต้องการจำนวนเท่าใดต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่ามีผู้คนประมาณ 70,000 คนต่อเดือนที่กำลังมองหาข้อมูลนี้ ฤดูร้อนนี้เกี่ยวข้องกับอะไร และจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง ปีการศึกษา— จะมีคำขอเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเพราะชายและหญิงที่สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเมื่อนานมาแล้วและกำลังเตรียมสอบ Unified State กำลังมองหาข้อมูลนี้และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีเว็บไซต์จำนวนมากที่บอกวิธีแก้สมการนี้ให้คุณ แต่ฉันก็ตัดสินใจมีส่วนร่วมและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สอง ในบทความอื่นๆ เมื่อมีหัวข้อ “มก.” ผมจะใส่ลิงค์บทความนี้ให้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่ระบุไว้ในเว็บไซต์อื่น ๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ขและ c เป็นตัวเลขใดๆ โดยที่ a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียน เนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - สมการแบ่งออกเป็นสามชั้นเรียน:

1. มีสองราก

2. *มีรากเดียวเท่านั้น

3. พวกมันไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าที่นี่ไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ใต้คำที่ “แย่มาก” มีสูตรง่ายๆ อยู่ดังนี้:

สูตรรากมีดังนี้:

*คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีราก 2 อัน

2. ถ้า D = 0 แสดงว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูต

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูที่สมการ:

ในเรื่องนี้เมื่อผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รับหนึ่งรูตซึ่งนี่ก็เท่ากับเก้า ทุกอย่างถูกต้องก็เป็นเช่นนั้น แต่...

ความคิดนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง ในความเป็นจริงมีสองราก ใช่ ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ คุณจะได้สองรากที่เท่ากัน และเพื่อให้แม่นยำทางคณิตศาสตร์ คำตอบควรเขียนเป็นสองราก:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถจดไว้และบอกว่ามีรากเดียว

ตอนนี้ตัวอย่างถัดไป:

อย่างที่เราทราบกันดีว่าไม่สามารถหารากของจำนวนลบได้ ในกรณีนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่แสดงให้เห็นว่าโซลูชันมีลักษณะอย่างไรในเชิงเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่งเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c – กำหนดตัวเลข โดยมี ≠ 0

กราฟเป็นรูปพาราโบลา:

นั่นคือปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (จุดเลือกปฏิบัติเป็นบวก) จุดหนึ่ง (จุดเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) และไม่มีเลย (จุดเลือกปฏิบัติเป็นลบ) รายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: แก้ 2x 2 +8 x–192=0

ก=2 ข=8 ค= –192

ด=ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = –12

*สามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการได้ทันทีด้วย 2 ซึ่งก็คือ ลดรูปลง การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

ก=1 ข=–22 ค=121

ง = ข 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราพบว่า x 1 = 11 และ x 2 = 11

อนุญาตให้เขียน x = 11 ในคำตอบได้

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

ก=1 ข= –8 ค=72

ง = ข 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ตัวจำแนกเป็นลบ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการแยกแยะเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับ จำนวนเชิงซ้อน? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่ว่าทำไมและเกิดขึ้นที่ไหนและบทบาทและความจำเป็นเฉพาะของพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร นี่คือหัวข้อสำหรับบทความขนาดใหญ่แยกต่างหาก

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ

z = ก + ไบ

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือสิ่งที่เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

เอ+บี – นี่เป็นตัวเลขเดียว ไม่ใช่การบวก

หน่วยจินตภาพเท่ากับรากของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

เราได้รากคอนจูเกตสองตัว

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองอย่างเท่ากับศูนย์) สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยไม่มีการเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงกัน:

ตัวอย่าง:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

กรณีที่ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะกลายเป็น:

ลองแปลงและแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

ตรงนี้ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก + ข+ ค = 0,ที่

- ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก+ ส =ข, ที่

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของอัตราต่อรองคือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ซึ่งหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกันถือ ก+ ส =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 + 37x + 6 = 0

x 1 = –6 x 2 = –1/6

2. หากในสมการ ax 2 – bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx – c = 0 สัมประสิทธิ์ “b” เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 +288x – 17 = 0

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. หากในสมการ ax 2 – bx – c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และค่าสัมประสิทธิ์ c เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x 2 – 99x –10 = 0

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Francois Vieta เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา เราสามารถแสดงผลรวมและผลคูณของรากของ KU ใดๆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ได้

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยรวมแล้วหมายเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือราก ด้วยทักษะบางอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากด้วยวาจาได้ทันที

นอกจากนี้ทฤษฎีบทของเวียตนาม สะดวกตรงที่หลังจากแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีปกติ (ผ่านการจำแนก) แล้ว สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้เสมอ

วิธีการขนส่ง

ด้วยวิธีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยเงื่อนไขอิสระราวกับว่า "ถูกโยน" ลงไปซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการ "โอน"วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า ก± บี+ซี≠ 0 จากนั้นจะใช้เทคนิคการถ่ายโอน เช่น:

2เอ็กซ์ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => เอ็กซ์ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

การใช้ทฤษฎีบทของเวียตตาในสมการ (2) ทำให้ง่ายต่อการตัดสินว่า x 1 = 10 x 2 = 1

ผลลัพธ์รากของสมการจะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 = 5 x 2 = 0.5

มีเหตุผลอะไร? ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

การแบ่งแยกสมการ (1) และ (2) เท่ากัน:

หากคุณดูที่รากของสมการ คุณจะเห็นเพียงตัวส่วนที่แตกต่างกัน และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ของ x 2 อย่างแน่นอน:

อันที่สอง (แก้ไข) มีรากที่ใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*หากเราทอยทั้งสามอีกครั้ง เราจะหารผลลัพธ์ด้วย 3 เป็นต้น

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร.ม. ur-ie และ Unified State Examination

ฉันจะบอกคุณสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณต้องสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการเลือกปฏิบัติด้วยใจ ปัญหาหลายอย่างที่รวมอยู่ในงาน Unified State Examination เกิดขึ้นจนถึงการแก้สมการกำลังสอง (รวมเรขาคณิตด้วย)

มีบางอย่างที่น่าสังเกต!

1. รูปแบบของการเขียนสมการอาจเป็นแบบ "โดยนัย" ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องพาเขาไป มุมมองมาตรฐาน(เพื่อไม่ให้สับสนในการตัดสินใจ)

2. โปรดจำไว้ว่า x เป็นปริมาณที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นได้ - t, q, p, h และอื่นๆ

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันดูเหมือนอะไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".ซึ่งหมายความว่าในสมการ อย่างจำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และเพียงตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี X ยกกำลังมากกว่า 2

ในแง่คณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบดังนี้

ที่นี่ ก ข และค- ตัวเลขบางตัว ข และ ค- อะไรก็ได้ แต่. ก– สิ่งอื่นใดที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

ในสมการกำลังสองทางด้านซ้ายนี้จะมี ชุดเต็มสมาชิก. X กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรี

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เต็ม.

และถ้า ข= 0 เราได้อะไร? เรามี X จะหายไปยกกำลังแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

และอื่นๆ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยังง่ายกว่า:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 =0

สมการดังกล่าวที่มีบางสิ่งหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? และคุณทดแทนแทน กศูนย์) X กำลังสองของเราจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สมการกำลังสองแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรกมีความจำเป็น สมการที่กำหนดนำไปสู่รูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ มาทดแทนกันเถอะ ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ทุกอย่างง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค. หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ การเขียนบรรทัดเพิ่มเติมจะใช้เวลาประมาณ 30 วินาที และจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว. ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ให้มันลอง. ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะถ้าคุณใช้ เทคนิคการปฏิบัติซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

คุณจำได้ไหม?) ใช่! นี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์.

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ ก ข และค.

คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;ก ค? มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 ! นั่นคือทั้งหมดที่ แทนศูนย์ลงในสูตรแทน ค,และเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ ลองพิจารณาสิ่งแรก สมการที่ไม่สมบูรณ์. ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ

แล้วจากนี้ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงาน, ไม่เป็นผล? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้สูตรทั่วไปมาก โปรดทราบว่า X ตัวไหนจะเป็นตัวแรกและตัวไหนจะเป็นตัวที่สอง - ไม่แยแสเลย สะดวกที่จะเขียนตามลำดับ x1- อะไรที่เล็กกว่าและ x2- สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน เลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย มันจะเปิดออก:

สองรากเช่นกัน . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ ! นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปที่สุด ใดๆสมการกำลังสอง:

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วการเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร ดี. สูตรจำแนก:

ง = ข 2 - 4เอซี

และอะไรที่น่าทึ่งเกี่ยวกับสำนวนนี้? เหตุใดจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากนั้น -ข,หรือ 2กในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้เรียกมันว่าอะไรโดยเฉพาะ... ตัวอักษรและตัวอักษร

นี่คือสิ่งที่ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ก็เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีก็เป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณจะมีทางออกหนึ่ง เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน. แต่ในเวอร์ชันที่เรียบง่ายเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ โอเค. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

พูดตรงๆ เมื่อไหร่. วิธีแก้ปัญหาง่ายๆสมการกำลังสอง แนวคิดเรื่องการแบ่งแยกไม่จำเป็นเป็นพิเศษ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้วนับ ทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นที่นั่นด้วยตัวของมันเอง มี 2 ราก 1 และไม่มีเลย แต่เมื่อต้องแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรของการเลือกปฏิบัติไม่พอ. โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวคือ ไม้ลอยสำหรับการสอบของรัฐและการสอบ Unified State!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือคุณได้เรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค. คุณรู้ไหมว่าทำอย่างไร? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูตและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจไหมว่า คำสำคัญที่นี่ - อย่างตั้งใจ?

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก . อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่า?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูต! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สอง เช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ สิ่งสุดท้ายสมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูตลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ ก = 1การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ . หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด

หากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น ขกับ ตรงข้าม คุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ก = 1แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงเรื่อยๆ

แผนกต้อนรับที่สาม . หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วย ตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "จะแก้สมการได้อย่างไร การแปลงที่เหมือนกัน" เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! นี่เขา.

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

นั่นคือทั้งหมด! การแก้ปัญหาคือความสุข!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ทำมัน!

ตอนนี้เราตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ใช่สิ่งที่คุณชอบ ปวดศีรษะ. สามตัวแรกได้ผล แต่ที่เหลือไม่ได้ผลเหรอ? ปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ที่การแปลงสมการที่เหมือนกัน ลองดูตามลิงค์ครับ เป็นประโยชน์ครับ

ไม่ค่อยได้ผลใช่ไหม? หรือมันไม่ได้ผลเลย? แล้วมาตรา 555 จะช่วยท่าน ตัวอย่างทั้งหมดนี้แจกแจงไว้ตรงนั้น แสดงแล้ว หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าเรายังพูดถึงการใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้มาก!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ยาคูโปวา M.I. 1

สมีร์โนวา ยู.วี. 1

1 สถานศึกษางบประมาณเทศบาล โรงเรียนมัธยม ลำดับที่ 11

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

ประวัติความเป็นมาของสมการกำลังสอง

บาบิโลน

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินด้วยการพัฒนาทางด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน. กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับกฎสมัยใหม่ แต่ตำราเหล่านี้ขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

กรีกโบราณ

การแก้สมการกำลังสองก็ทำเช่นกัน กรีกโบราณนักวิทยาศาสตร์เช่น Diophantus, Euclid และ Heron ไดโอแฟนตัส ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ สันนิษฐานว่ามีชีวิตอยู่ในช่วงคริสตศตวรรษที่ 3 งานหลักของไดโอแฟนทัสคือเรื่อง “เลขคณิต” ในหนังสือ 13 เล่ม ยุคลิด. Euclid เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเรื่องแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่รู้จักเรา นั่นคือ Heron นกกระสา - นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวกรีกคนแรกในกรีซในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ให้วิธีพีชคณิตล้วนๆ ในการแก้สมการกำลังสอง

อินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานรูปแบบเดียว: ax2 + bx = c, a> 0 (1) ในสมการ (1) ค่าสัมประสิทธิ์สามารถเป็นลบได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบังเกิดความรุ่งโรจน์ใน การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

“ฝูงลิงขี้เล่น

และสิบสองเถาองุ่นกินจนพอใจก็สนุกสนาน

พวกเขาเริ่มกระโดดแขวนคอ

ส่วนที่แปดกำลังสอง

มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง

บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าผู้เขียนรู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า Bhaskar เขียนสมการที่สอดคล้องกับปัญหาเป็น x2 - 64x = - 768 และในการที่จะเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้บวก 322 เข้ากับทั้งสองข้าง จะได้: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48

สมการกำลังสองในยุโรปศตวรรษที่ 17

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สร้างแบบจำลองตามอัลโคเรซมีในยุโรปถูกกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งจากประเทศอิสลามและจากกรีกโบราณมีความโดดเด่นด้วยการนำเสนอที่สมบูรณ์และชัดเจน ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำ ตัวเลขติดลบ. หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ ปริทัศน์เวียดนามมีสิ่งนั้น แต่เวียตยอมรับเพียงรากเหง้าที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

นิยามของสมการกำลังสอง

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข เรียกว่า สมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์สมการกำลังสอง

ตัวเลข a, b, c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a คือสัมประสิทธิ์ตัวแรก (ก่อน x²), a ≠ 0; b คือสัมประสิทธิ์ที่สอง (ก่อน x); c คือพจน์อิสระ (ไม่มี x)

สมการใดต่อไปนี้ไม่เป็นกำลังสอง??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5 ¼ x² - 6x + 1 = 0;6 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12 -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

ประเภทของสมการกำลังสอง

ชื่อ	รูปแบบทั่วไปของสมการ	คุณลักษณะ (ค่าสัมประสิทธิ์คืออะไร)	ตัวอย่างสมการ
	ขวาน 2 + bx + c = 0	a, b, c - ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
ไม่สมบูรณ์
			x 2 - 1/5x = 0
ที่ให้ไว้	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

ลดลงคือสมการกำลังสองซึ่งค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง สมการดังกล่าวสามารถหาได้โดยการหารนิพจน์ทั้งหมดด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำ ก:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

สมการกำลังสองเรียกว่าสมบูรณ์ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์

สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์ โดยสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า ยกเว้นค่านำหน้า (ไม่ว่าจะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่สองหรือเทอมอิสระ) มีค่าเท่ากับศูนย์

วิธีการแก้สมการกำลังสอง

วิธีที่ 1 สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณราก

เพื่อค้นหารากของสมการกำลังสอง ขวาน 2 + ข + ค = 0โดยทั่วไป คุณควรใช้อัลกอริทึมด้านล่าง:

คำนวณค่าการแบ่งแยกสมการกำลังสอง: นี่คือนิพจน์สำหรับค่านั้น ด=ข 2 - 4เอซี

ที่มาของสูตร:

บันทึก:เห็นได้ชัดว่าสูตรสำหรับรากของการคูณ 2 เป็นกรณีพิเศษของสูตรทั่วไป ซึ่งได้มาโดยการแทนที่ความเท่าเทียมกัน D=0 ลงไป และข้อสรุปเกี่ยวกับการไม่มีรากจริงที่ D0 และ (displaystyle (sqrt ( -1))=ผม) = ผม.

วิธีการที่นำเสนอนั้นเป็นสากล แต่ก็ยังห่างไกลจากวิธีเดียว การแก้สมการเดียวสามารถทำได้หลายวิธี โดยมักจะขึ้นอยู่กับผู้แก้โจทย์ นอกจากนี้ บ่อยครั้งเพื่อจุดประสงค์นี้ วิธีการบางอย่างกลับกลายเป็นวิธีการที่หรูหรา เรียบง่าย และใช้แรงงานน้อยกว่าวิธีมาตรฐานมาก

วิธีที่สอง รากของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ข วิธีการที่สาม การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

วิธี IV การใช้อัตราส่วนบางส่วนของสัมประสิทธิ์

มีกรณีพิเศษของสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์มีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ทำให้แก้ได้ง่ายกว่ามาก

รากของสมการกำลังสองซึ่งผลรวมของสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง

ถ้าอยู่ในสมการกำลังสอง ขวาน 2 + bx + ค = 0ผลรวมของสัมประสิทธิ์แรกและเทอมอิสระเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง: ก+ข=คจากนั้นรากของมันคือ -1 และจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับอัตราส่วนของเทอมอิสระต่อค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า ( -ค/เอ).

ดังนั้น ก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองใดๆ คุณควรตรวจสอบความเป็นไปได้ในการใช้ทฤษฎีบทนี้: เปรียบเทียบผลรวมของสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระกับสัมประสิทธิ์ที่สอง

รากของสมการกำลังสองซึ่งผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์

หากในสมการกำลังสอง ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้นรากของสมการดังกล่าวคือ 1 และอัตราส่วนของเทอมอิสระต่อสัมประสิทธิ์นำหน้า ( ค/ก).

ดังนั้นก่อนที่จะแก้สมการ วิธีการมาตรฐานคุณควรตรวจสอบการบังคับใช้ทฤษฎีบทนี้: เพิ่มสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการนี้แล้วดูว่าผลรวมนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่

วิธีวี แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

ถ้าตรีโกณมิติอยู่ในรูป (รูปแบบการแสดงผล ขวาน^(2)+bx+c(anot =0))ขวาน 2 + bx + ค(ก ≠ 0)สามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยเชิงเส้นได้ (รูปแบบการแสดงผล (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n) จากนั้นเราจะหารากของสมการได้ ขวาน 2 + bx + ค = 0- พวกมันจะเป็น -m/k และ n/l จริงๆ แล้ว (รูปแบบการแสดงผล (kx+m)(lx+n)=0ลูกศรยาวซ้ายขวา kx+m=0ถ้วย lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n และเมื่อแก้สมการเชิงเส้นที่ระบุแล้ว เราก็จะได้สมการข้างต้น โปรดทราบว่า ตรีโกณมิติกำลังสองไม่ได้สลายตัวเป็นปัจจัยเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงเสมอไป ซึ่งเป็นไปได้หากสมการที่เกี่ยวข้องมีรากจริง

ลองพิจารณากรณีพิเศษบางกรณี

ใช้สูตรผลรวมกำลังสอง (ผลต่าง)

หากตรีโกณมิติกำลังสองมีรูปแบบ (รูปแบบการแสดงผล (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 จากนั้นโดยการใช้สูตรข้างต้น เราสามารถแยกตัวประกอบมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ และ ดังนั้น จงหาราก:

(ขวาน) 2 + 2abx + b 2 = (ขวาน + b) 2

การแยกกำลังสองเต็มของผลรวม (ผลต่าง)

สูตรข้างต้นยังใช้วิธีที่เรียกว่า "การเลือกกำลังสองเต็มของผลรวม (ผลต่าง)" สัมพันธ์กับสมการกำลังสองข้างต้นด้วยสัญกรณ์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

บันทึก:ถ้าคุณสังเกตเห็น สูตรนี้ตรงกับที่เสนอไว้ในส่วน “รากของสมการกำลังสองที่ลดลง” ซึ่งหาได้จากสูตรทั่วไป (1) โดยการแทนค่าความเท่าเทียมกัน a=1 ความจริงข้อนี้ไม่ใช่แค่เรื่องบังเอิญ: การใช้วิธีการที่อธิบายไว้แม้ว่าจะมีเหตุผลเพิ่มเติมบางประการ แต่ก็สามารถหาสูตรทั่วไปและพิสูจน์คุณสมบัติของผู้จำแนกได้ด้วย

วิธี VI การใช้ทฤษฎีบทเวียตาแบบตรงและแบบผกผัน

ทฤษฎีบทโดยตรงของเวียตา (ดูด้านล่างในหัวข้อชื่อเดียวกัน) และทฤษฎีบทผกผันทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองข้างต้นได้ด้วยวาจา โดยไม่ต้องอาศัยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยากโดยใช้สูตร (1)

ตามทฤษฎีบทกลับกัน ตัวเลขทุกคู่ (ตัวเลข) (รูปแบบการแสดง x_(1),x_(2))x 1, x 2 ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการด้านล่างนี้ คือรากของสมการ

ในกรณีทั่วไป นั่นคือ สำหรับสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

ทฤษฎีบทโดยตรงจะช่วยคุณค้นหาตัวเลขที่ตรงกับสมการเหล่านี้ด้วยวาจา ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถระบุสัญญาณของรากโดยไม่ต้องรู้รากของมันเอง ในการดำเนินการนี้คุณควรปฏิบัติตามกฎ:

1) ถ้าพจน์อิสระเป็นลบ รากจะมีเครื่องหมายต่างกัน และค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดของรากจะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการ

2) ถ้าเทอมอิสระเป็นบวก รากทั้งสองจะมีเครื่องหมายเหมือนกัน และนี่คือเครื่องหมายที่อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สอง

วิธีปกเกล้าเจ้าอยู่หัว วิธีการโอน

วิธีที่เรียกว่า "การถ่ายโอน" ช่วยให้คุณสามารถลดการแก้สมการที่ไม่ได้ลดลงและไม่สามารถลดได้ให้อยู่ในรูปของสมการที่ลดลงด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มโดยการหารด้วยสัมประสิทธิ์นำไปยังการแก้สมการที่ลดลงด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม มันเป็นดังนี้:

จากนั้น แก้สมการด้วยวาจาในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นจึงกลับไปที่ตัวแปรเดิมและค้นหารากของสมการ (displaystyle y_(1)=ax_(1)) ย 1 =ขวาน 1 และ ย 2 =ขวาน 2 .(รูปแบบการแสดง y_(2)=ax_(2))

ความหมายทางเรขาคณิต

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา ผลเฉลย (ราก) ของสมการกำลังสองคือจุดตัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา หากพาราโบลาอธิบายไว้ ฟังก์ชันกำลังสอง, ไม่ตัดกับแกน x, สมการไม่มีรากจริง ถ้าพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดหนึ่ง (ที่จุดยอดของพาราโบลา) สมการนั้นจะมีรากจริงเพียงรากเดียว (สมการดังกล่าวมีรากที่ตรงกันสองรากด้วย) หากพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดสองจุด สมการจะมีรากจำนวนจริงสองตัว (ดูภาพด้านขวา)

ถ้าสัมประสิทธิ์ (displaystyle a) กแง่บวก กิ่งก้านของพาราโบลาหงายขึ้นและในทางกลับกัน ถ้าสัมประสิทธิ์ (รูปแบบการแสดงผล ข) bpositive (หากเป็นค่าบวก (รูปแบบการแสดงผล a) กหากเป็นลบ ในทางกลับกัน) จุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านซ้ายและในทางกลับกัน

การประยุกต์สมการกำลังสองในชีวิต

สมการกำลังสองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย มันถูกใช้ในการคำนวณ โครงสร้าง กีฬา และรอบตัวเราด้วย

ให้เราพิจารณาและให้ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สมการกำลังสอง

กีฬา. การกระโดดสูง: ในระหว่างที่จัมเปอร์วิ่งขึ้น การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับพาราโบลาจะถูกนำมาใช้เพื่อให้เกิดการชนที่ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กับแถบนำขึ้นเครื่องและการบินที่สูง

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องมีการคำนวณที่คล้ายกันในการขว้าง ระยะการบินของวัตถุขึ้นอยู่กับสมการกำลังสอง

ดาราศาสตร์. วิถีโคจรของดาวเคราะห์สามารถพบได้โดยใช้สมการกำลังสอง

เที่ยวบินเครื่องบิน. การขึ้นเครื่องบินเป็นองค์ประกอบหลักของการบิน ที่นี่เราจะคำนวณความต้านทานต่ำและความเร่งในการบินขึ้น

สมการกำลังสองยังใช้ในสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์ต่างๆ ในโปรแกรมสำหรับประมวลผลกราฟิกเสียง วิดีโอ เวกเตอร์ และแรสเตอร์

บทสรุป

จากการทำงานเสร็จสิ้นปรากฎว่าสมการกำลังสองดึงดูดนักวิทยาศาสตร์ย้อนกลับไปในสมัยโบราณพวกเขาพบพวกมันแล้วเมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างและพยายามแก้ไขพวกมัน เมื่อพิจารณาวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการกำลังสอง ฉันจึงได้ข้อสรุปว่าไม่ใช่ทุกวิธีจะง่าย ในความคิดของฉันมากที่สุด วิธีที่ดีที่สุดการแก้สมการกำลังสองคือการแก้โดยใช้สูตร สูตรง่ายต่อการจำวิธีนี้เป็นสากล สมมติฐานที่ว่าสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตและคณิตศาสตร์ได้รับการยืนยันแล้ว หลังจากศึกษาหัวข้อนี้แล้วฉันได้เรียนรู้มากมาย ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับสมการกำลังสอง การใช้ การประยุกต์ ประเภท วิธีแก้ และฉันก็ยินดีที่จะศึกษาพวกเขาต่อไป ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันทำข้อสอบได้ดี

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

วัสดุของไซต์:

วิกิพีเดีย

เปิดบทเรียน.rf

คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา Vygodsky M. Ya.

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป ศตวรรษที่ 13 - 17

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองสมบูรณ์ด้วย เช่น:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 . สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาว ผู้รอบรู้ก็จะเฉิดฉายรัศมีของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะฉันนั้น เพื่อเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จตุรัส ตอนที่ 8 มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นกำลังสอง ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนได้กำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญะบรีและอัลมุคาบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ อัล-โคเรซมีจะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ สิ่งที่เหลืออยู่คือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-ควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งจากประเทศอิสลามและจากกรีกโบราณมีความโดดเด่นด้วยการนำเสนอที่สมบูรณ์และชัดเจน ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จากViète แต่Vièteจำได้เพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการกำหนดโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไปเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย. เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เอ็กซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม อตรรกยะ และอนันต์และอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา