ประวัติพัฒนาการของข้อความตัวเลขลบ ให้เวลาแห่งการเปลี่ยนแปลงทำงานแทนคุณ

เก่าแก่และยาวนานมาก เนื่องจากตัวเลขติดลบเป็นสิ่งที่อยู่ได้เพียงชั่วคราวและไม่เป็นจริง เป็นเวลานานไม่รับรู้ถึงการดำรงอยู่ของพวกเขา

ทุกอย่างเริ่มต้นที่จีนประมาณนั้นครั้งที่สอง ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช บางทีพวกเขาอาจจะรู้จักในประเทศจีนมาก่อน แต่การกล่าวถึงครั้งแรกนั้นย้อนกลับไปในสมัยนั้น ที่นั่นพวกเขาเริ่มใช้ตัวเลขติดลบและถือว่าเป็น "หนี้" ในขณะที่เรียกพวกเขาว่า "ทรัพย์สิน" บันทึกที่มีอยู่ในขณะนี้ไม่มีอยู่ในตอนนั้น และตัวเลขลบเขียนด้วยสีดำ และตัวเลขบวกเขียนด้วยสีแดง

การกล่าวถึงครั้งแรก ตัวเลขติดลบเราพบในหนังสือ “คณิตศาสตร์ในเก้าบท” ของนักวิทยาศาสตร์ชาวจีน จาง คาน

ต่อไปใน V-VI หลายศตวรรษ ตัวเลขติดลบเริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในจีนและอินเดีย จริงอยู่ในประเทศจีนพวกเขาได้รับการปฏิบัติด้วยความระมัดระวังและพยายามลดการใช้ให้เหลือน้อยที่สุด แต่ในอินเดียกลับกันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายมาก มีการคำนวณกับพวกเขาและตัวเลขติดลบดูเหมือนจะไม่สามารถเข้าใจได้

นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียชื่อดัง Brahmagupta Bhaskara (ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว-VIII ศตวรรษ) ซึ่งละทิ้งคำสอนของตน คำอธิบายโดยละเอียดการทำงานกับจำนวนลบ

และในสมัยโบราณ เช่น ในบาบิโลนและใน อียิปต์โบราณ, ไม่ได้ใช้จำนวนลบเลย และหากคำนวณออกมาเป็นจำนวนติดลบก็ถือว่าไม่มีทางออก

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขติดลบในยุโรปไม่เป็นที่รู้จักมาเป็นเวลานานแล้ว พวกเขาถูกมองว่าเป็น "จินตนาการ" และ "ไร้สาระ" พวกเขาไม่ได้ดำเนินการใดๆ กับพวกเขา แต่เพียงละทิ้งพวกเขาหากคำตอบเป็นลบ พวกเขาเชื่อว่าหากคุณลบตัวเลขใดๆ ออกจาก 0 คำตอบจะเป็น 0 เนื่องจากไม่มีสิ่งใดจะน้อยกว่าศูนย์ได้ - ความว่างเปล่า

เป็นครั้งแรกในยุโรปที่ Leonardo แห่งปิซา (Fibonacci) หันความสนใจไปที่ตัวเลขติดลบ และเขาได้บรรยายไว้ในงานของเขาเรื่อง The Book of Abacus ในปี 1202

ต่อมาในปี 1544 มิคาอิล สตีเฟลได้แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนลบเป็นครั้งแรกในหนังสือของเขาเรื่อง "Complete Arithmetic" และอธิบายรายละเอียดการดำเนินการด้วย “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขไร้สาระกับจำนวนจริง”

และในปีที่ 17 ศตวรรษ นักคณิตศาสตร์ เรอเน เดการ์ต เสนอให้วางตัวเลขลบบนแกนดิจิทัลทางด้านซ้ายของศูนย์

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ตัวเลขติดลบเริ่มถูกนำมาใช้และยอมรับอย่างกว้างขวาง แม้ว่านักวิทยาศาสตร์หลายคนจะปฏิเสธตัวเลขเหล่านี้มาเป็นเวลานานแล้วก็ตาม

ในปี พ.ศ. 2374 เกาส์ได้เรียก ตัวเลขติดลบเทียบเท่ากับค่าบวกอย่างแน่นอน และฉันไม่ได้พิจารณาว่าการกระทำทั้งหมดนั้นไม่สามารถดำเนินการกับพวกเขาได้ว่าจะเป็นสิ่งที่แย่มาก ตัวอย่างเช่น เศษส่วนก็ไม่สามารถดำเนินการทั้งหมดได้เช่นกัน

และในศตวรรษที่ XIX ศตวรรษ วิลแมน แฮมิลตัน และแฮร์มันน์ กราสมันน์ ได้สร้างทฤษฎีจำนวนลบที่สมบูรณ์ขึ้นมา ตั้งแต่นั้นมา ตัวเลขติดลบได้รับสิทธิ์ และตอนนี้ไม่มีใครสงสัยในความจริงของพวกเขา

มนุษย์คิดค้นตัวเลขเพื่อระบุผลลัพธ์ของการนับและการวัดสำหรับตัวเขาเองและผู้อื่น เห็นได้ชัดว่าแนวคิดแรกเกี่ยวกับจำนวนในหมู่ผู้คนปรากฏในยุคหินเก่า แต่มีการพัฒนาแล้วในยุคหินใหม่ ขั้นตอนแรกในการปรากฏตัวของตัวเลขคือการตระหนักถึงการแบ่งการวัดเป็น "หนึ่ง" และ "หลาย"

ในโลกโบราณ เป็นครั้งแรกที่มีการใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อระบุตัวเลข: ภาพของพวกเขาถูกเก็บรักษาไว้บนแผ่นดินเหนียวของเมโสโปเตเมีย บนปาปิรุสของอียิปต์ เป็นต้น

คณิตศาสตร์ก็พัฒนาต่อไป และใน ประเทศต่างๆระบบตัวเลขพิเศษ แท้จริง และแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดเริ่มก่อตัวขึ้น แม้แต่เด็กนักเรียนตอนนี้ก็รู้แล้วว่าการเขียนตัวเลขแบบโรมันและอารบิกแตกต่างกันอย่างไร ตัวเลขได้รับการถ่ายทอดจากประเทศหนึ่งไปอีกประเทศหนึ่ง วัฒนธรรมหนึ่งไปอีกวัฒนธรรม ในฐานะสิ่งประดิษฐ์และมรดกที่สำคัญและมีคุณค่า ตัวเลขสมัยใหม่ซึ่งสร้างทั้งอารยธรรมสลาฟและตะวันตกเป็นตัวเลขอารบิก แต่ยืมมาจากอินเดีย ตัวเลขจำนวนมากที่ทุกคนคุ้นเคยในปัจจุบันถูกประดิษฐ์ขึ้นในอินเดีย เช่น เลข "0"

การแบ่งตัวเลขออกเป็นค่าบวกและลบย้อนกลับไปถึงพัฒนาการของนักคณิตศาสตร์ในยุคกลาง ขอย้ำอีกครั้งว่าตัวเลขติดลบถูกนำมาใช้ครั้งแรกในอินเดีย ทำให้พ่อค้าสามารถคำนวณความสูญเสียและหนี้สินได้ง่ายขึ้น ในเวลานั้น เลขคณิตเป็นสาขาประยุกต์ที่มีการพัฒนาอย่างมาก และพีชคณิตก็เริ่มมีการพัฒนา ด้วยการแนะนำเรขาคณิตคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดของเขา ตัวเลขลบจึงถูกนำมาใช้อย่างมั่นคง พวกเขาไม่ได้ออกจากที่นี่จนถึงทุกวันนี้

จำนวนเชิงซ้อนคือ แนวคิดที่ทันสมัยตัวเลขดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า "จำนวนจินตภาพ" และได้มาจากผลเฉลยอย่างเป็นทางการของลูกบาศก์ และ สมการกำลังสอง. “พ่อ” ของพวกเขาคือเจอโรลาโม คาร์ดาโน นักคณิตศาสตร์ยุคกลาง ในสมัยของเดการ์ต จำนวนเชิงซ้อนเช่นเดียวกับเชิงลบ ได้เข้าสู่การใช้ทางคณิตศาสตร์อย่างมั่นคง

เมื่อเราระบุเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อนการประสูติของพระคริสต์ เช่น เมื่อ Euclid เขียนองค์ประกอบของเขา เราชอบพูดว่า "300 ปีก่อนคริสตกาล" มากกว่า "-300 AD" และนักบัญชีโดยทั่วไปมีหลายวิธีในการหลีกเลี่ยงเครื่องหมายลบ: เขียนหนี้ด้วยสีแดง เพิ่มตัวย่อ DR (จากลูกหนี้) หรือใส่จำนวนเงินที่ไม่พึงประสงค์ไว้ในวงเล็บ

ทั้งนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ อียิปต์ และบาบิโลนต่างก็ไม่ได้สร้างแนวคิดเรื่องจำนวนติดลบ ในสมัยโบราณมีการใช้ตัวเลขเพื่อนับและวัด แต่จะนับหรือวัดสิ่งที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ได้อย่างไร เรามาลองสวมบทบาทของผู้อาศัยในโลกยุคโบราณเพื่อทำความเข้าใจว่าพวกเขาจำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าทางปัญญาแบบใด

เรารู้ว่า 2 + 3 = 5 เพราะเมื่อเรามีขนมปังสองก้อนและได้รับเพิ่มอีกสามก้อน เราก็จะมีขนมปังห้าก้อน เรารู้ว่า 2 - 1 = 1 เพราะเมื่อเรามีขนมปังสองก้อนแจกหนึ่งก้อน เราก็ยังมีอีกก้อนหนึ่ง แต่ 2 - 3 หมายถึงอะไร? ถ้าฉันมีขนมปังแค่สองก้อน ฉันก็แจกสามก้อนไม่ได้ อย่างไรก็ตาม สมมติว่าฉันยังทำเช่นนี้ได้ - จากนั้นฉันจะเหลือเพียงลบหนึ่งก้อน “ลบหนึ่งก้อน” หมายความว่าอย่างไร นี่ไม่ใช่ขนมปังธรรมดา มันค่อนข้างจะขาดไป และถ้าคุณเพิ่มขนมปังลงไปอีกสักก้อน คุณจะ "ไม่มีอะไรเลย" ไม่น่าแปลกใจที่คนสมัยก่อนถือว่าแนวคิดนี้ไร้สาระ

อย่างไรก็ตาม ในเอเชียโบราณการมีอยู่ของปริมาณเชิงลบได้รับการยอมรับ - แม้ว่าจะอยู่ในระดับหนึ่งก็ตาม เมื่อถึงสมัยยุคลิด ชาวจีนมีระบบคอมพิวเตอร์ที่ใช้แท่งไม้ไผ่อยู่แล้ว ตะเกียบธรรมดาแสดงถึงจำนวนบวก ซึ่งชาวจีนเรียกว่า “จริง” ในขณะที่ตะเกียบสีดำแสดงถึงตัวเลขลบ เรียกว่า “เท็จ” ดังที่แสดงด้านล่าง ชาวจีนวางไม้บนกระดานเพื่อให้แต่ละตัวเลขอยู่ในเซลล์แยกกัน และแต่ละคอลัมน์ตรงกับสมการเดียว เครื่องคิดเลขที่มีประสบการณ์แก้สมการด้วยการขยับแท่งไม้ไผ่ หากการตัดสินใจประกอบด้วยไม้ธรรมดา นี่คือจำนวนจริงที่ได้รับการยอมรับ ถ้าสารละลายมีแท่งสีดำแสดงว่าเป็นตัวเลขปลอมและทิ้งไป

ความจริงที่ว่าชาวจีนใช้วัตถุทางกายภาพเพื่อแสดงปริมาณลบเป็นหลักฐานของการมีอยู่ของตัวเลขเหล่านี้ แม้ว่าจะเป็นเพียงเครื่องมือในการคำนวณปริมาณบวกก็ตาม ชาวจีนเข้าใจความจริงที่สำคัญมากข้อหนึ่ง: หากวัตถุทางคณิตศาสตร์มีประโยชน์ ก็ไม่สำคัญว่าวัตถุเหล่านั้นจะไม่สอดคล้องกับประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ให้นักปรัชญาจัดการกับปัญหานี้

ชาวจีนวางไม้ไผ่บนกระดานกราฟ แท่งปกติเป็นสัญลักษณ์ของจำนวนบวก ส่วนแท่งสีดำเป็นสัญลักษณ์ของจำนวนลบ ซึ่งทำให้สามารถเขียนและแก้สมการได้

ไม่กี่ศตวรรษต่อมาในอินเดีย นักคณิตศาสตร์พบบริบทที่สำคัญสำหรับตัวเลขติดลบ นั่นก็คือเงิน ถ้าฉันยืมเงินห้ารูปีจากคุณ ฉันจะมีหนี้ห้ารูปี ซึ่งเป็นค่าลบที่จะกลายเป็นศูนย์หลังจากที่ฉันคืนเงินจำนวนนั้นให้คุณแล้วเท่านั้น

พระพรหมคุปตะ นักดาราศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 7 ได้กำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนบวกและลบ ซึ่งเขาเรียกว่า "ทรัพย์สิน" และ "หนี้" นอกจากนี้ เขายังแนะนำเลขศูนย์ในความหมายสมัยใหม่อีกด้วย

หนี้ลบศูนย์คือหนี้
คุณสมบัติลบศูนย์คือทรัพย์สิน
ศูนย์ลบศูนย์ก็คือศูนย์
หนี้ที่ลบออกจากศูนย์คือทรัพย์สิน
สินทรัพย์ที่ลบออกจากศูนย์คือหนี้
และอื่นๆ

พระพรหมคุปตะอธิบายมูลค่าที่แน่นอนของทรัพย์สินและหนี้โดยใช้ศูนย์และตัวเลขเก้าหลักอื่นๆ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการแสดงตัวเลขทศนิยมในปัจจุบัน

ตัวเลขอินเดียกระจายไปทั่วตะวันออกกลาง แอฟริกาเหนือและภายในสิ้นศตวรรษที่ 10 - ในสเปน อย่างไรก็ตาม ต้องใช้เวลาอีกสามศตวรรษก่อนที่ตัวเลขติดลบจะได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในยุโรป

ความล่าช้านี้เกิดจากสาเหตุสามประการ: ความเชื่อมโยงกับหนี้ในอดีต และด้วยเหตุนี้ด้วยการใช้ดอกเบี้ยที่เลวร้าย ความสงสัยทั่วไปเกี่ยวกับวิธีการใหม่ที่มาจากดินแดนมุสลิม อิทธิพลอันยาวนานของปรัชญากรีกโบราณซึ่งมีปริมาณไม่น้อยไปกว่าสิ่งใดเลย

เมื่อเวลาผ่านไป นักบัญชีเริ่มคุ้นเคยกับการใช้ตัวเลขติดลบในอาชีพของตน แต่นักคณิตศาสตร์กลับระมัดระวังตัวเลขเหล่านี้มาเป็นเวลานาน ในวันที่ 15 และ ศตวรรษที่ 16จำนวนลบเป็นที่รู้จักในชื่อตัวเลขไร้สาระ (numeri absurdi) และแม้แต่ในศตวรรษที่ 17 หลายคนก็ถือว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่มีความหมาย ในศตวรรษที่ 18 มีการโต้แย้งกับจำนวนลบดังต่อไปนี้ พิจารณาสมการนี้:

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นข้อความที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม มันขัดแย้งกันเพราะระบุว่าอัตราส่วนของจำนวนที่น้อยกว่า (-1) ต่อจำนวนที่มากกว่า (1) เทียบเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนที่มากกว่า (1) ต่อจำนวนที่น้อยกว่า (-1) ความขัดแย้งนี้เป็นประเด็นที่มีการถกเถียงกันมากมาย แต่ไม่มีใครสามารถอธิบายได้ ในการพยายามเข้าใจความหมายของจำนวนลบ นักคณิตศาสตร์หลายคน รวมทั้งลีโอนาร์ด ออยเลอร์ ได้ข้อสรุปที่น่าเหลือเชื่อว่าตัวเลขเหล่านี้มากกว่าอนันต์ แนวคิดนี้ตามมาจากการวิเคราะห์ลำดับต่อไปนี้:

10/3, 10/2, 10/1, 10/(1/2)

ซึ่งเทียบเท่ากับซีรีย์:

เมื่อตัวเลขที่อยู่ด้านล่างสุดของเศษส่วน (ตัวส่วน) ลดลงจาก 3 เป็น 2 แล้วจึงเหลือ 1 และ 1/2 ค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนจะมีขนาดใหญ่ขึ้น และเมื่อค่าของตัวส่วนเข้าใกล้ศูนย์ ค่าของ เศษส่วนมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด มีการตั้งสมมติฐานว่าเมื่อตัวส่วนเป็นศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่มีที่สิ้นสุด และเมื่อมันน้อยกว่าศูนย์ (หรืออีกนัยหนึ่ง เมื่อมันเป็นจำนวนลบ) เศษส่วนจะต้องมากกว่าค่าอนันต์ ในปัจจุบัน เราหลีกเลี่ยงสถานการณ์ที่ขัดแย้งกันโดยการโต้แย้งว่าการหารตัวเลขด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย เศษส่วน 10/0 ไม่มีที่สิ้นสุด มันคือ "ไม่ได้กำหนด"

ในการผสมผสานความคิดเห็นที่แตกต่างกันนี้ มีการเปล่งแนวคิดหนึ่งที่ชัดเจนและเข้าใจได้ซึ่งเป็นของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น วาลลิส ผู้คิดค้น วิธีการที่มีประสิทธิภาพการตีความจำนวนลบด้วยภาพ. ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งเขียนขึ้นเมื่อปี 1685 วาลลิสได้แนะนำเส้นจำนวนเป็นครั้งแรก (ดูรูปด้านล่าง) ซึ่งตัวเลขบวกและลบแสดงถึงระยะห่างจากศูนย์ในทิศทางตรงกันข้าม วาลลิสเขียนว่า ถ้าคนๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไปข้างหน้าห้าหลาจากศูนย์แล้วถอยกลับไปแปดหลา เขาจะ "เคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งที่ไกลกว่าไม่มีอะไรเลย 3 หลา" ซึ่งหมายความว่า -3 เป็นจุดเดียวกันกับ +3 แต่ไม่ได้ไปข้างหน้าอย่างที่ควรจะเป็น แต่ย้อนกลับ”

ด้วยการแทนที่แนวคิดเรื่องปริมาณด้วยแนวคิดเรื่องตำแหน่ง วาลลิสแสดงให้เห็นว่าจำนวนลบถือได้ว่า "ไม่มีประโยชน์หรือไร้สาระ" เมื่อปรากฏออกมา นี่เป็นการพูดที่น้อยเกินไปอย่างชัดเจน แนวคิดของวาลลิสใช้เวลาหลายปีกว่าจะแพร่หลาย แต่เมื่อเวลาผ่านไป ก็เป็นที่แน่ชัดว่าแกนจำนวนเป็นรูปแบบการอธิบายที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดตลอดกาล มีการใช้งานที่หลากหลาย ตั้งแต่แผนภูมิไปจนถึงเทอร์โมมิเตอร์ ตอนนี้เราเห็นจำนวนลบบนเส้นจำนวนแล้ว เราก็ไม่มีปัญหาในการจินตนาการอีกต่อไปว่าพวกมันคืออะไร

แกนจำนวน

นักปรัชญาชาวเยอรมัน อิมมานูเอล คานท์ ยังได้เข้าสู่ความขัดแย้งเรื่องจำนวนลบ โดยประกาศในงานของเขาที่พยายามแนะนำแนวคิดเรื่องปริมาณเชิงลบเข้าสู่ปัญญาโลกว่า การใช้ข้อโต้แย้งเชิงอภิปรัชญาต่อต้านตัวเลขเหล่านั้นไม่มีประโยชน์ เขาพิสูจน์ว่าในโลกแห่งความเป็นจริง หลายๆ สิ่งสามารถมีทั้งความหมายเชิงบวกและเชิงลบ เช่น แรงสองแรงที่ตรงข้ามกันที่กระทำต่อวัตถุ จำนวนลบไม่ได้แสดงถึงการปฏิเสธของตัวเลข แต่เป็นค่าตรงข้ามที่เทียบเคียงได้

อย่างไรก็ตาม แม้กระทั่งใน ปลาย XVIIIหลายศตวรรษที่ผ่านมา ยังมีนักคณิตศาสตร์ที่เชื่อมั่นอย่างลึกซึ้งว่าจำนวนลบนั้นเป็น “คำพิเศษ ที่ไม่มีเลย” การใช้ความคิดเบื้องต้น; แต่เมื่อเผยแพร่แล้ว เช่นเดียวกับสิ่งประดิษฐ์อื่นๆ พบว่ามีผู้สนับสนุนที่กระตือรือร้นที่สุดในบรรดาผู้ที่ชอบทำทุกอย่างด้วยศรัทธา และไม่อดทนต่อการทำงานหนักของการใคร่ครวญอย่างจริงจัง

วิลเลียม เฟรนด์ นักเรียนคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดอันดับสองของเคมบริดจ์ เขียนคำเหล่านี้ในปี 1796 ลงในหนังสือที่กลายมาเป็นเอกลักษณ์เฉพาะในวรรณคดีคณิตศาสตร์ นั่นคือ พีชคณิตเบื้องต้นที่ไม่มีจำนวนลบแม้แต่ตัวเดียว

เมื่อเราเรียนรู้ตัวเลขลบในโรงเรียน เราจะไม่เข้าใจเรื่องราวเบื้องหลังทั้งหมดนั้น เรายอมรับจำนวนลบในลักษณะเดียวกันกับเส้นจำนวน แล้วเราก็ได้เรียนรู้ข่าวที่น่าอัศจรรย์:

ลบคูณด้วยลบให้บวก. ว้าว!

ประวัติความเป็นมาของตัวเลขติดลบนั้นเก่าแก่และยาวนานมาก เนื่องจากตัวเลขติดลบเป็นสิ่งที่ไม่เกิดขึ้นจริงและไม่เกิดขึ้นจริง ผู้คนมาเป็นเวลานานจึงไม่ตระหนักถึงการดำรงอยู่ของพวกเขา

ทุกอย่างเริ่มต้นในประเทศจีน ประมาณศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช บางทีพวกเขาอาจจะรู้จักในประเทศจีนมาก่อน แต่การกล่าวถึงครั้งแรกนั้นย้อนกลับไปในสมัยนั้น ที่นั่นพวกเขาเริ่มใช้จำนวนลบและถือว่ามันเป็น "หนี้" ในขณะที่จำนวนที่เป็นบวกเรียกว่า "ทรัพย์สิน" บันทึกที่มีอยู่ในขณะนี้ไม่มีอยู่ในตอนนั้น และตัวเลขลบเขียนด้วยสีดำ และตัวเลขบวกเขียนด้วยสีแดง

เราพบการกล่าวถึงตัวเลขติดลบครั้งแรกในหนังสือ “คณิตศาสตร์ในเก้าบท” โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวจีน จาง คาน

นอกจากนี้ ในศตวรรษที่ 5-6 ตัวเลขติดลบเริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในจีนและอินเดีย จริงอยู่ในประเทศจีนพวกเขาได้รับการปฏิบัติด้วยความระมัดระวังและพยายามลดการใช้ให้เหลือน้อยที่สุด แต่ในอินเดียกลับกันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายมาก มีการคำนวณกับพวกเขาและตัวเลขติดลบดูเหมือนจะไม่สามารถเข้าใจได้

นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย Brahmagupta Bhaskara (ศตวรรษที่ 7-8) มีชื่อเสียงซึ่งในคำสอนของพวกเขาได้ทิ้งคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการทำงานกับจำนวนลบ

และในสมัยโบราณ เช่น ในบาบิโลนและอียิปต์โบราณ ตัวเลขติดลบไม่ได้ใช้เลย และหากคำนวณออกมาเป็นจำนวนติดลบก็ถือว่าไม่มีทางออก

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขติดลบในยุโรปไม่เป็นที่รู้จักมาเป็นเวลานานแล้ว พวกเขาถูกมองว่าเป็น "จินตนาการ" และ "ไร้สาระ" พวกเขาไม่ได้ดำเนินการใดๆ กับพวกเขา แต่เพียงละทิ้งพวกเขาหากคำตอบเป็นลบ พวกเขาเชื่อว่าหากคุณลบตัวเลขใดๆ ออกจาก 0 คำตอบจะเป็น 0 เนื่องจากไม่มีสิ่งใดจะน้อยกว่าศูนย์ได้ นั่นคือความว่างเปล่า

เป็นครั้งแรกในยุโรปที่ Leonardo แห่งปิซา (Fibonacci) หันความสนใจไปที่ตัวเลขติดลบ และเขาได้บรรยายไว้ในงานของเขาเรื่อง The Book of Abacus ในปี 1202

เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี
ต่อมาในปี 1544 มิคาอิล สตีเฟลได้แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนลบเป็นครั้งแรกในหนังสือของเขาเรื่อง "Complete Arithmetic" และอธิบายรายละเอียดการดำเนินการด้วย “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขไร้สาระกับจำนวนจริง”

และในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ เรอเน เดการ์ต เสนอให้ใส่ตัวเลขลบบนแกนดิจิทัลทางด้านซ้ายของศูนย์

เรเน่ เดการ์ต เรเน่ เดการ์ต
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ตัวเลขติดลบเริ่มถูกนำมาใช้และยอมรับอย่างกว้างขวาง แม้ว่านักวิทยาศาสตร์หลายคนจะปฏิเสธตัวเลขเหล่านี้มาเป็นเวลานานแล้วก็ตาม

ในปี ค.ศ. 1831 เกาส์เรียกจำนวนลบว่ามีค่าเท่ากับจำนวนบวกอย่างแน่นอน และฉันไม่ได้พิจารณาว่าการกระทำทั้งหมดนั้นไม่สามารถดำเนินการกับพวกเขาได้ว่าจะเป็นสิ่งที่แย่มาก ตัวอย่างเช่น เศษส่วนก็ไม่สามารถดำเนินการทั้งหมดได้เช่นกัน

และในศตวรรษที่ 19 วิลแมน แฮมิลตัน และเฮอร์มันน์ กราสมันน์ ได้สร้างทฤษฎีจำนวนลบที่สมบูรณ์ ตั้งแต่นั้นมา ตัวเลขติดลบได้รับสิทธิ์ และตอนนี้ไม่มีใครสงสัยในความจริงของพวกเขา

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

โลกแห่งตัวเลขนั้นลึกลับและน่าสนใจมาก ตัวเลขมีความสำคัญมากในโลกของเรา ฉันต้องการเรียนรู้ให้มากที่สุดเกี่ยวกับที่มาของตัวเลขและความหมายในชีวิตของเรา จะใช้อย่างไรและมีบทบาทอย่างไรในชีวิตของเรา?

ปีที่แล้วในบทเรียนคณิตศาสตร์เราเริ่มศึกษาหัวข้อ "จำนวนบวกและลบ" ฉันมีคำถาม: ตัวเลขติดลบปรากฏขึ้นเมื่อใด ในประเทศใด ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ได้ศึกษาปัญหานี้ ฉันอ่านในวิกิพีเดียว่าจำนวนลบเป็นองค์ประกอบของเซตของจำนวนลบ ซึ่ง (รวมศูนย์ด้วย) ปรากฏในคณิตศาสตร์เมื่อมีการขยายเซต ตัวเลขธรรมชาติ. จุดประสงค์ของการขยายคือเพื่อให้สามารถดำเนินการลบกับจำนวนใดๆ ก็ได้ จากผลของการขยายตัว จะได้ชุด (วงแหวน) ของจำนวนเต็ม ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขบวก (ธรรมชาติ) ตัวเลขลบ และศูนย์

ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงตัดสินใจสำรวจประวัติความเป็นมาของจำนวนลบ

งานนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของจำนวนลบและจำนวนบวก

วัตถุประสงค์ของการศึกษา - จำนวนลบและจำนวนบวก

ประวัติความเป็นมาของจำนวนบวกและลบ

ผู้คนใช้เวลานานกว่าจะคุ้นเคยกับตัวเลขติดลบ ตัวเลขติดลบดูเหมือนจะเข้าใจยากสำหรับพวกเขา ไม่ได้ใช้ แต่ไม่เห็นความหมายในตัวมันมากนัก ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏช้ากว่าจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนสามัญมาก

ข้อมูลแรกเกี่ยวกับจำนวนลบถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีนในศตวรรษที่ 2 พ.ศ จ. และถึงอย่างนั้นก็รู้เพียงกฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนบวกและลบเท่านั้น กฎการคูณและการหารใช้ไม่ได้

ในคณิตศาสตร์จีน ปริมาณบวกเรียกว่า “เฉิน” ปริมาณลบเรียกว่า “ฟู” พวกเขาถูกพรรณนา สีที่ต่างกัน: “เฉิน” - แดง, “ฟู” - ดำ สามารถดูได้ในหนังสือ “เลขคณิตในเก้าบท” (ผู้เขียน Zhang Can) วิธีการพรรณนานี้ใช้ในประเทศจีนจนถึงกลางศตวรรษที่ 12 จนกระทั่งหลี่เย่เสนอการกำหนดจำนวนลบที่สะดวกกว่า - ตัวเลขที่แสดงจำนวนลบจะถูกขีดฆ่าด้วยเส้นทแยงมุมจากขวาไปซ้าย

เฉพาะในศตวรรษที่ 7 เท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเริ่มใช้ตัวเลขติดลบอย่างกว้างขวาง แต่ก็ปฏิบัติต่อตัวเลขเหล่านี้ด้วยความไม่ไว้วางใจอยู่บ้าง Bhaskhara เขียนโดยตรงว่า: “ผู้คนไม่เห็นด้วยกับจำนวนลบเชิงนามธรรม…” นี่คือวิธีที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Brahmagupta กำหนดกฎของการบวกและการลบ: "ทรัพย์สินและทรัพย์สินคือทรัพย์สิน ผลรวมของหนี้ทั้งสองคือหนี้ ผลรวมของทรัพย์สินและศูนย์คือทรัพย์สิน ผลรวมของศูนย์สองตัวคือศูนย์... หนี้ซึ่งลบออกจากศูนย์จะกลายเป็นทรัพย์สิน และทรัพย์สินกลายเป็นหนี้ ถ้าจำเป็นต้องริบทรัพย์สินจากหนี้ และหนี้จากทรัพย์สิน ก็เอาเงินก้อนนั้นไป” “ผลรวมของทรัพย์สินทั้งสองคือทรัพย์สิน”

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

ชาวอินเดียเรียกเลขบวกว่า dhana หรือ sva (ทรัพย์สิน) และเลขลบว่า rina หรือ kshaya (หนี้) นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พยายามค้นหาตัวอย่างของการลบดังกล่าวในชีวิต ได้ตีความมันจากมุมมองของการคำนวณทางการค้า หากพ่อค้ามีเงิน 5,000 รูเบิล และซื้อสินค้าในราคา 3,000 รูเบิล เขาเหลือ 5,000 - 3,000 = 2,000 รูเบิล หากเขามี 3,000 รูเบิล แต่ซื้อ 5,000 รูเบิล เขายังคงเป็นหนี้ 2,000 รูเบิล ตามนี้เชื่อกันว่าที่นี่มีการลบ 3,000 - 5,000 ผลลัพธ์คือตัวเลข 2,000 โดยมีจุดอยู่ด้านบนหมายถึง "หนี้สองพัน" การตีความนี้เป็นของปลอม พ่อค้าไม่เคยพบจำนวนหนี้ด้วยการลบ 3,000 - 5,000 แต่จะลบ 5,000 - 3,000 เสมอ

เข้ามาอีกหน่อย. อินเดียโบราณและจีนพวกเขาเดาว่าแทนที่จะใช้คำว่า "หนี้ 10 หยวน" พวกเขาควรเขียนเพียง "10 หยวน" แต่วาดอักษรอียิปต์โบราณเหล่านี้ด้วยหมึกสีดำ และในสมัยโบราณไม่มีเครื่องหมาย "+" และ "-" สำหรับตัวเลขหรือการกระทำ

ชาวกรีกก็ไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ในตอนแรกเช่นกัน นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนทัส ไม่รู้จักจำนวนลบเลย และหากเมื่อแก้สมการแล้วได้รากที่เป็นลบ เขาก็ละทิ้งมันว่า "ไม่สามารถเข้าถึงได้" และไดโอแฟนทัสพยายามกำหนดปัญหาและเขียนสมการเพื่อหลีกเลี่ยงรากที่เป็นลบ แต่ในไม่ช้า ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียก็เริ่มแสดงการลบด้วยเครื่องหมาย

กฎสำหรับจัดการกับจำนวนบวกและลบถูกเสนอไว้แล้วในศตวรรษที่ 3 ในอียิปต์ การแนะนำปริมาณที่เป็นลบเกิดขึ้นครั้งแรกกับไดโอแฟนทัส เขายังใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับพวกเขาด้วยซ้ำ ในเวลาเดียวกัน ไดโอแฟนทัสใช้อุปมาอุปไมยเช่น "ให้เราบวกค่าลบทั้งสองด้าน" และยังกำหนดกฎของสัญญาณ: "ค่าลบคูณด้วยค่าลบจะให้ค่าบวก ในขณะที่ค่าลบคูณด้วยค่าบวกจะให้ เชิงลบ”

ในยุโรป ตัวเลขติดลบเริ่มใช้ตั้งแต่ศตวรรษที่ 12-13 แต่ยังไม่ถึงศตวรรษที่ 16 นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ถือว่าพวกเขา "เท็จ" "จินตนาการ" หรือ "ไร้สาระ" ตรงกันข้ามกับจำนวนบวก - "จริง" ตัวเลขที่เป็นบวกยังถูกตีความว่าเป็น “ทรัพย์สิน” และตัวเลขที่ติดลบคือ “หนี้สิน” “การขาดแคลน” แม้แต่นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง แบลส ปาสคาล ยังแย้งว่า 0 − 4 = 0 เนื่องจากไม่มีอะไรจะน้อยกว่าไม่มีอะไรเลย ในยุโรป Leonardo Fibonacci แห่งเมืองปิซาค่อนข้างใกล้เคียงกับแนวคิดเรื่องปริมาณเชิงลบเมื่อต้นศตวรรษที่ 13 ในการแข่งขันการแก้ปัญหากับนักคณิตศาสตร์ในศาลของ Frederick II นั้น Leonardo of Pisa ถูกขอให้แก้ปัญหา: จำเป็นต้องค้นหาเมืองหลวงของบุคคลหลายคน Fibonacci ได้รับค่าลบ “กรณีนี้” ฟีโบนัชชีกล่าว “เป็นไปไม่ได้ เว้นแต่เราจะยอมรับว่าไม่มีเงินทุน แต่เป็นหนี้” อย่างไรก็ตาม ตัวเลขติดลบถูกใช้ครั้งแรกอย่างชัดเจนในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 โดย Chuquet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้เขียนบทความที่เขียนด้วยลายมือเกี่ยวกับเลขคณิตและพีชคณิต “ศาสตร์แห่งตัวเลขในสามส่วน” สัญลักษณ์ของ Shuque ใกล้เคียงกับความทันสมัย

การรับรู้จำนวนลบได้รับการอำนวยความสะดวกโดยผลงานของนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส เรอเน เดการ์ต เขาเสนอการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบ - เขาแนะนำเส้นพิกัด (1637)

ตัวเลขบวกจะแสดงบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น 0 ตัวเลขลบ - ไปทางซ้าย การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบมีส่วนทำให้จดจำได้

ในปี 1544 Michael Stiefel นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ถือว่าตัวเลขติดลบเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์เป็นครั้งแรก (เช่น "น้อยกว่าไม่มีเลย") จากจุดนี้ไป ตัวเลขติดลบจะไม่ถูกมองว่าเป็นหนี้อีกต่อไป แต่ถือเป็นรูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิง สตีเฟลเขียนเองว่า “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขจริงและตัวเลขไร้สาระ...”

เกือบจะพร้อมกันกับ Stiefel แนวคิดเรื่องตัวเลขติดลบได้รับการปกป้องโดย Bombelli Raffaele (ประมาณปี 1530-1572) นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลีผู้ค้นพบผลงานของ Diophantus อีกครั้ง

ในทำนองเดียวกัน กิราร์ดถือว่าจำนวนลบเป็นที่ยอมรับและมีประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อบ่งบอกถึงการขาดบางสิ่งบางอย่าง

นักฟิสิกส์ทุกคนเกี่ยวข้องกับตัวเลขอยู่ตลอดเวลา เขามักจะวัด คำนวณ และคำนวณบางอย่างอยู่เสมอ ทุกที่ในเอกสารของเขามีตัวเลข ตัวเลข และตัวเลข หากคุณดูบันทึกของนักฟิสิกส์อย่างใกล้ชิด คุณจะพบว่าเมื่อเขียนตัวเลข เขามักจะใช้เครื่องหมาย "+" และ "-" (เช่น เทอร์โมมิเตอร์ สเกลความลึกและความสูง)

เฉพาะใน ต้น XIXวี. ทฤษฎีจำนวนลบได้เสร็จสิ้นการพัฒนา และ "จำนวนไร้สาระ" ได้รับการยอมรับในระดับสากล

คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องจำนวน

ใน โลกสมัยใหม่ผู้คนใช้ตัวเลขอยู่ตลอดเวลาโดยไม่ได้คำนึงถึงที่มาของมันด้วยซ้ำ หากไม่มีความรู้ในอดีตก็ไม่สามารถเข้าใจปัจจุบันได้ ตัวเลขเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องจำนวนที่พัฒนาขึ้นโดยเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาปริมาณ การเชื่อมต่อนี้ยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทุกสาขา เราต้องพิจารณาปริมาณและการใช้ตัวเลขที่แตกต่างกัน Number เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมที่ใช้ในการหาปริมาณวัตถุ กลับปรากฏตัวขึ้นแล้ว สังคมดึกดำบรรพ์จากความต้องการในการนับ แนวคิดเรื่องจำนวนได้เปลี่ยนแปลงและเพิ่มคุณค่าและกลายเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด

มีอยู่ จำนวนมากคำจำกัดความของแนวคิด "ตัวเลข"

ยุคลิดให้คำจำกัดความทางวิทยาศาสตร์ประการแรกเกี่ยวกับตัวเลขไว้ใน Elements ของเขา ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเขาได้รับมรดกมาจาก Eudoxus of Cnidus เพื่อนร่วมชาติของเขา (ประมาณ 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล): "หน่วยคือตามที่แต่ละสิ่งที่มีอยู่เรียกว่าเป็นหนึ่งเดียว . ตัวเลขคือชุดที่ประกอบด้วยหน่วย” นี่คือวิธีที่ Magnitsky นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียให้คำจำกัดความแนวคิดเรื่องตัวเลขไว้ใน "เลขคณิต" ของเขา (1703) อริสโตเติลให้คำจำกัดความต่อไปนี้แม้จะเร็วกว่ายุคลิด: “ตัวเลขคือเซตที่วัดโดยใช้หน่วย” ใน “เลขคณิตทั่วไป” ของเขา (1707) นักฟิสิกส์ ช่างเครื่อง นักดาราศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้ยิ่งใหญ่ ไอแซก นิวตัน เขียนว่า “ตามจำนวนแล้ว เราหมายถึงชุดของหน่วยไม่มากนัก แต่เป็นความสัมพันธ์เชิงนามธรรมของปริมาณหนึ่งกับปริมาณอีกจำนวนหนึ่งที่เป็นชนิดเดียวกัน มาเป็นหน่วย” ตัวเลขมีสามประเภท: จำนวนเต็ม เศษส่วน และจำนวนตรรกยะ จำนวนเต็มคือสิ่งที่วัดด้วยหนึ่ง เศษส่วนคือผลคูณของหนึ่ง ส่วนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สมส่วนกับหนึ่ง”

นักคณิตศาสตร์ Mariupol S.F. Klyuykov ยังมีส่วนทำให้คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องตัวเลข: “ตัวเลขคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โลกแห่งความจริงมนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นเพื่อความรู้ของเขา” นอกจากนี้เขายังได้นำสิ่งที่เรียกว่า "จำนวนเชิงฟังก์ชัน" มาใช้ในการจำแนกตัวเลขแบบเดิมๆ ซึ่งหมายถึงสิ่งที่มักเรียกว่าฟังก์ชันทั่วโลก

จำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นเมื่อนับวัตถุ ฉันเรียนเรื่องนี้ตอนป.5 จากนั้น ฉันได้เรียนรู้ว่าความต้องการของมนุษย์ในการวัดปริมาณไม่ได้แสดงเป็นจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากขยายชุดของจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วน ก็เป็นไปได้ที่จะหารจำนวนเต็มใดๆ ด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์) ปรากฏขึ้น ตัวเลขเศษส่วน. เป็นเวลานานแล้วที่การลบจำนวนเต็มออกจากจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง เมื่อจำนวนที่ถูกลบออกนั้นมากกว่าจำนวนที่ถูกลดขนาดลง ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ สิ่งที่น่าสนใจสำหรับฉันคือความจริงที่ว่า เป็นเวลานานแล้วที่นักคณิตศาสตร์หลายคนไม่รู้จักจำนวนลบ โดยเชื่อว่าตัวเลขเหล่านั้นไม่สอดคล้องกับปรากฏการณ์จริงใดๆ

ที่มาของคำว่าบวกและลบ

เงื่อนไขมาจากคำว่าบวก - "มากกว่า" ลบ - "น้อยกว่า" ในตอนแรกการกระทำจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรก p; ม. นักคณิตศาสตร์หลายคนชอบหรือที่มาของเครื่องหมายสมัยใหม่ “+” และ “-” นั้นยังไม่ชัดเจนนัก เครื่องหมาย “+” อาจมาจากตัวย่อ เช่น "และ". อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นจากการปฏิบัติทางการค้า: ปริมาณไวน์ที่ขายได้มีเครื่องหมาย "-" บนถัง และเมื่อมีการคืนสต็อกไวน์ ก็ถูกขีดฆ่าออก ส่งผลให้มีเครื่องหมาย "+"

ในอิตาลี ผู้ให้กู้เงินเมื่อให้ยืมเงินให้ใส่จำนวนหนี้และขีดหน้าชื่อลูกหนี้เช่นเครื่องหมายลบของเราและเมื่อลูกหนี้คืนเงินให้พวกเขาก็ขีดฆ่ามันกลับกลายเป็นว่าเป็นบวกของเรา

เครื่องหมาย “+” สมัยใหม่ปรากฏในเยอรมนีในช่วงทศวรรษสุดท้ายของศตวรรษที่ 15 ในหนังสือของวิดมันน์ซึ่งเป็นคู่มือการนับพ่อค้า (ค.ศ. 1489) ยาน วิดมาน ชาวเช็กได้เขียน "+" และ "-" ไว้สำหรับการบวกและการลบแล้ว

หลังจากนั้นไม่นาน Michel Stiefel นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันก็เขียน "Complete Arithmetic" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 ประกอบด้วยรายการตัวเลขต่อไปนี้: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. เขาเรียกตัวเลขประเภทแรกว่า “น้อยกว่าไม่มีอะไร” หรือ “ต่ำกว่าไม่มีอะไรเลย” เขาเรียกตัวเลขประเภทที่สองว่า “มากกว่าไม่มีอะไร” หรือ “สูงกว่าไม่มีอะไรเลย” แน่นอน คุณเข้าใจชื่อเหล่านี้ เพราะ “ไม่มีอะไร” จะเป็น 0

ตัวเลขติดลบในอียิปต์

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีข้อสงสัยดังกล่าว แต่ก็มีการเสนอกฎสำหรับการดำเนินการด้วยจำนวนบวกและลบในศตวรรษที่ 3 ในอียิปต์ การแนะนำปริมาณที่เป็นลบเกิดขึ้นครั้งแรกกับไดโอแฟนทัส เขายังใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับพวกเขาด้วยซ้ำ (ปัจจุบันเราใช้เครื่องหมายลบเพื่อจุดประสงค์นี้) จริงอยู่ นักวิทยาศาสตร์โต้แย้งว่าสัญลักษณ์ของไดโอแฟนทัสแสดงถึงจำนวนลบหรือเพียงการดำเนินการลบ เพราะในจำนวนลบของไดโอแฟนทัสไม่ได้เกิดขึ้นอย่างโดดเดี่ยว แต่อยู่ในรูปแบบของความแตกต่างเชิงบวกเท่านั้น และเขาถือว่าเพียงจำนวนบวกที่เป็นเหตุเป็นผลเท่านั้นเป็นคำตอบของปัญหา แต่ในเวลาเดียวกัน ไดโอแฟนทัสใช้อุปมาอุปไมยเช่น "ให้เราบวกค่าลบทั้งสองด้าน" และยังกำหนดกฎของสัญญาณ: "ค่าลบคูณด้วยค่าลบจะได้ค่าบวก ในขณะที่ค่าลบคูณด้วยค่าบวก ให้ค่าลบ” (นั่นคือ ซึ่งปัจจุบันมีการกำหนดสูตรไว้แล้ว: “ลบทีละลบให้บวก ลบด้วยบวกให้ลบ”)

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

ตัวเลขติดลบในเอเชียโบราณ

ในคณิตศาสตร์จีน ปริมาณบวกเรียกว่า “เฉิน” ปริมาณลบเรียกว่า “ฟู” มีการแสดงเป็นสีต่างๆ: "เฉิน" - แดง, "ฟู" - ดำ วิธีการพรรณนานี้ใช้ในประเทศจีนจนถึงกลางศตวรรษที่ 12 จนกระทั่งหลี่เย่เสนอการกำหนดจำนวนลบที่สะดวกกว่า - ตัวเลขที่แสดงจำนวนลบจะถูกขีดฆ่าด้วยเส้นทแยงมุมจากขวาไปซ้าย นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พยายามค้นหาตัวอย่างของการลบดังกล่าวในชีวิต ได้ตีความมันจากมุมมองของการคำนวณทางการค้า

หากพ่อค้ามีเงิน 5,000 รูเบิล และซื้อสินค้าในราคา 3,000 รูเบิล เขาเหลือ 5,000 - 3,000 = 2,000 รูเบิล หากเขามี 3,000 รูเบิล แต่ซื้อ 5,000 รูเบิล เขายังคงเป็นหนี้ 2,000 รูเบิล ตามนี้เชื่อกันว่าที่นี่มีการลบ 3,000 - 5,000 ผลลัพธ์คือตัวเลข 2,000 โดยมีจุดอยู่ด้านบนหมายถึง "หนี้สองพัน"

การตีความนี้เป็นของปลอม พ่อค้าไม่เคยพบจำนวนหนี้ด้วยการลบ 3,000 - 5,000 แต่จะลบ 5,000 - 3,000 เสมอ นอกจากนี้บนพื้นฐานนี้ มีความเป็นไปได้ที่จะอธิบายกฎการเพิ่มและลบ "ตัวเลข" เท่านั้น ด้วยจุด” แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายกฎของการคูณหรือการหาร

ในศตวรรษที่ 5-6 ตัวเลขติดลบปรากฏขึ้นและแพร่หลายมากในคณิตศาสตร์อินเดีย ในอินเดีย มีการใช้จำนวนลบอย่างเป็นระบบ เช่นเดียวกับที่เราทำอยู่ตอนนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียใช้จำนวนลบมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 n. AD: พระพรหมคุปต์เป็นผู้กำหนดกฎเกณฑ์ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา. ในงานของเขาเราอ่านว่า: “ทรัพย์สินและทรัพย์สินก็คือทรัพย์สิน ผลรวมของหนี้สองอย่างคือหนี้ ผลรวมของทรัพย์สินและศูนย์คือทรัพย์สิน ผลรวมของศูนย์สองตัวคือศูนย์... หนี้ซึ่งลบออกจากศูนย์จะกลายเป็นทรัพย์สิน และทรัพย์สินกลายเป็นหนี้ ถ้าจำเป็นต้องริบทรัพย์สินจากหนี้ และหนี้จากทรัพย์สิน ก็เอาเงินก้อนนั้นไป”

ชาวอินเดียเรียกเลขบวกว่า dhana หรือ sva (ทรัพย์สิน) และเลขลบว่า rina หรือ kshaya (หนี้) อย่างไรก็ตาม ในอินเดียมีปัญหาในการทำความเข้าใจและยอมรับตัวเลขติดลบ

ตัวเลขติดลบในยุโรป

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปไม่เห็นด้วยกับสิ่งเหล่านี้มาเป็นเวลานานเนื่องจากการตีความ "ทรัพย์สิน - หนี้" ทำให้เกิดความสับสนและความสงสัย อันที่จริง ทรัพย์สินและหนี้สินจะ “บวก” หรือ “ลบ” ทรัพย์สินและหนี้ได้อย่างไร ทรัพย์สิน “ทวีคูณ” หรือ “แบ่ง” ทรัพย์สินด้วยหนี้มีความหมายที่แท้จริงอย่างไร? (G.I. Glazer, ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในโรงเรียนเกรด IV-VI. มอสโก, Prosveshchenie, 1981)

นั่นคือเหตุผลว่าทำไมตัวเลขติดลบจึงเข้ามามีบทบาทในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง ในยุโรป เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชีแห่งปิซาค่อนข้างใกล้เคียงกับแนวคิดเรื่องปริมาณลบเมื่อต้นศตวรรษที่ 13 แต่ตัวเลขที่เป็นลบถูกนำมาใช้ครั้งแรกอย่างชัดเจนในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 โดย Chuquet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้เขียนบทความที่เขียนด้วยลายมือเกี่ยวกับเลขคณิตและพีชคณิต “ศาสตร์แห่งตัวเลขในสามส่วน” สัญลักษณ์ของ Shuquet กำลังเข้าใกล้ความทันสมัย ​​(คณิตศาสตร์ พจนานุกรมสารานุกรม. ม., ส. สารานุกรม, 1988)

การตีความตัวเลขลบสมัยใหม่

ในปี 1544 Michael Stiefel นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ถือว่าตัวเลขติดลบเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์เป็นครั้งแรก (เช่น "น้อยกว่าไม่มีเลย") จากจุดนี้ไป ตัวเลขติดลบจะไม่ถูกมองว่าเป็นหนี้อีกต่อไป แต่ถือเป็นรูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิง สตีเฟลเขียนเองว่า “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขจริงและตัวเลขไร้สาระ…” (G.I. Glazer, History of Mathematics in School Grade IV-VI. Moscow, Prosveshchenie, 1981)

หลังจากนั้น Stiefel ทุ่มเทงานของเขาให้กับวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด ซึ่งเขาเป็นอัจฉริยะที่เรียนรู้ด้วยตนเอง ครั้งแรกในยุโรปหลังจาก Nicola Chuquet เริ่มทำงานด้วยตัวเลขติดลบ

เรอเน เดการ์ต นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังใน "เรขาคณิต" (1637) อธิบายการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบ จำนวนบวกจะแสดงบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น 0 ตัวเลขลบ - ไปทางซ้าย การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบทำให้เข้าใจธรรมชาติของจำนวนลบได้ชัดเจนขึ้น และมีส่วนช่วยในการจดจำตัวเลขเหล่านี้

เกือบจะพร้อมกันกับ Stiefel แนวคิดเรื่องตัวเลขติดลบได้รับการปกป้องโดย R. Bombelli Raffaele (ประมาณปี 1530-1572) นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลีผู้ค้นพบผลงานของ Diophantus อีกครั้ง

ในทางกลับกัน บอมเบลลีและจิราร์ดถือว่าจำนวนลบเป็นที่ยอมรับและมีประโยชน์ โดยเฉพาะในการบ่งชี้ว่าขาดบางสิ่งบางอย่าง Widmann นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันใช้การกำหนดสมัยใหม่สำหรับจำนวนบวกและลบที่มีเครื่องหมาย “+” และ “-” สำนวน "ต่ำกว่าไม่มีอะไรเลย" แสดงให้เห็นว่าสตีเฟลและคนอื่นๆ คิดในใจว่าตัวเลขบวกและลบเป็นจุดบนสเกลแนวตั้ง (เช่น สเกลเทอร์โมมิเตอร์) จากนั้นได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ A. Girard แนวคิดเรื่องจำนวนลบเป็นจุดบนเส้นหนึ่งซึ่งอยู่อีกด้านหนึ่งของศูนย์มากกว่าจำนวนบวกกลายเป็นสิ่งที่ชี้ขาดในการให้สิทธิการเป็นพลเมืองแก่ตัวเลขเหล่านี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะ ผลการพัฒนาวิธีพิกัดโดย P. Fermat และ R. Descartes

บทสรุป

ในงานของฉัน ฉันศึกษาประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของจำนวนลบ ในระหว่างการวิจัย ฉันสรุปว่า:

วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ต้องเผชิญกับธรรมชาติที่ซับซ้อนมากมายจนต้องศึกษาตัวเลขเหล่านี้จึงจำเป็นต้องประดิษฐ์ตัวเลขประเภทใหม่ขึ้นมา

เมื่อแนะนำตัวเลขใหม่ ความสำคัญอย่างยิ่งมีสองสถานการณ์:

ก) กฎการดำเนินการเหนือสิ่งเหล่านั้นจะต้องถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์และไม่นำไปสู่ความขัดแย้ง

b) ระบบตัวเลขใหม่ควรช่วยแก้ไขปัญหาใหม่หรือปรับปรุงวิธีแก้ปัญหาที่ทราบอยู่แล้ว

ปัจจุบัน เวลามีระดับลักษณะทั่วไปของตัวเลขที่ยอมรับกันทั่วไปอยู่ 7 ระดับ ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน เวกเตอร์ เมทริกซ์ และจำนวนทรานส์ฟินิท นักวิทยาศาสตร์บางคนเสนอให้พิจารณาฟังก์ชันเป็นตัวเลขเชิงฟังก์ชันและขยายระดับของลักษณะทั่วไปของตัวเลขเป็นสิบสองระดับ

ฉันจะพยายามศึกษาชุดตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด

แอปพลิเคชัน

บทกวี

“การบวกจำนวนลบและจำนวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน”

ถ้าอยากพับจริงๆ

ตัวเลขเป็นลบ ไม่ต้องกังวล:

เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของโมดูลอย่างรวดเร็ว

จากนั้นนำไปบวกเครื่องหมายลบลงไป

หากให้ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน

เพื่อหาผลรวม เราทุกคนอยู่ตรงนี้แล้ว

เราสามารถเลือกโมดูลที่ใหญ่กว่าได้อย่างรวดเร็ว

จากนั้นเราจะลบอันที่เล็กกว่า

สิ่งสำคัญที่สุดคืออย่าลืมป้าย!

คุณจะใส่อันไหน? - เราอยากจะถาม

เราจะบอกความลับแก่คุณ ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว

เขียนเครื่องหมายตรงส่วนที่โมดูลใหญ่กว่าในคำตอบของคุณ

กฎสำหรับการบวกจำนวนบวกและลบ

บวกลบกับลบ,

คุณสามารถรับลบได้

ถ้าคุณบวก ลบ บวก

มันจะกลายเป็นเรื่องน่าอายมั้ย?!

คุณเลือกเครื่องหมายของหมายเลข

อันไหนแรงกว่ากัน อย่าหาว!

นำพวกมันออกจากโมดูล

สร้างสันติกับตัวเลขทั้งหมด!

กฎการคูณสามารถตีความได้ดังนี้:

“ เพื่อนของเพื่อนของฉันคือเพื่อนของฉัน”: + ∙ + = + .

“ ศัตรูของศัตรูคือเพื่อนของฉัน”: ─ ∙ ─ = +

“ มิตรของศัตรูก็คือศัตรูของฉัน”: + ∙ ─ = ─

“ ศัตรูของเพื่อนก็คือศัตรูของฉัน”: ─ ∙ + = ─

เครื่องหมายคูณคือจุด โดยมีเครื่องหมาย 3 ประการ:

ครอบคลุมสองข้อที่สามจะให้คำตอบ

ตัวอย่างเช่น.

จะตรวจสอบสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ 2∙(-3) ได้อย่างไร?

เรามาปิดเครื่องหมายบวกและลบด้วยมือของเรากัน ยังคงมีเครื่องหมายลบ

บรรณานุกรม

"เรื่องราว โลกโบราณ"ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 โคลปาคอฟ, เซลันสกายา.

“ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในสมัยโบราณ” โดย E. Kolman

"คู่มือนักเรียน" สำนักพิมพ์ "VES" เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2546

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ยาคุเชวา จี.เอ็ม. และอื่น ๆ.

Vigasin A.A., Goder G.I., “ประวัติศาสตร์โลกโบราณ” หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5, 2544

วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี.

การเกิดขึ้นและพัฒนาการของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์: หนังสือ สำหรับคุณครู. - อ.: การศึกษา, 2530.

เกลฟ์แมน อี.จี. "จำนวนบวกและลบ" หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 พ.ศ. 2544

ศีรษะ. เอ็ด M.D. Aksyonova - อ.: อแวนตา+, 1998.

Glazer G. I. "ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน", มอสโก, "Prosveshchenie", 1981

สารานุกรมเด็ก "ฉันรู้จักโลก", มอสโก, "การตรัสรู้", 1995

ประวัติคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ระดับ IV-VI จี.ไอ. เกลเซอร์, มอสโก, การศึกษา, 2524

ม.: ฟิโล. LLC "คำ": OLMA-PRESS, 2005

มาลีกิน เค.เอ.

พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์ ม., ส. สารานุกรม, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6", มอสโก, "การตรัสรู้", 2532

หนังสือเรียน ป.5. วิเลนคิน, โชคอฟ, เชสโนคอฟ, ชวาร์ตสเบิร์ก

ฟรีดแมน แอล.เอ็ม. "Studying Mathematics", สิ่งพิมพ์ด้านการศึกษา, 1994.

เช่น. Gelfman และคณะ ตัวเลขบวกและลบในโรงละคร Buratino บทช่วยสอนในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ฉบับที่ 3 แก้ไข - Tomsk: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Tomsk, 1998

สารานุกรมสำหรับเด็ก. ต.11. คณิตศาสตร์