ข้อผิดพลาดแน่นอน g. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สัมบูรณ์

X = X เฉลี่ย X

แน่นอน

ข้อผิดพลาด

ญาติ

ข้อผิดพลาด

ก+ ข

เอ+ ข

เอ+ ข

ข้อผิดพลาดในการวัดปริมาณทางกายภาพ

1.บทนำ(การวัดและการวัดข้อผิดพลาด)

2.ข้อผิดพลาดแบบสุ่มและเป็นระบบ

3. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพันธ์กัน

4. ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัด

5. ระดับความแม่นยำของเครื่องมือวัดทางไฟฟ้า

6. ข้อผิดพลาดในการอ่าน

7.เต็ม ข้อผิดพลาดแน่นอนการวัดโดยตรง

8.บันทึกผลสุดท้ายของการวัดโดยตรง

9. ข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อม

10.ตัวอย่าง

1. บทนำ (ข้อผิดพลาดในการวัดและการวัด)

ฟิสิกส์ในฐานะวิทยาศาสตร์ถือกำเนิดเมื่อกว่า 300 ปีที่แล้วเมื่อกาลิเลโอสร้างการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ของปรากฏการณ์ทางกายภาพเป็นหลัก: กฎทางกายภาพถูกสร้างขึ้นและทดสอบเชิงทดลองโดยการสะสมและเปรียบเทียบข้อมูลการทดลองซึ่งแสดงด้วยชุดตัวเลขกฎหมายถูกกำหนดในภาษา ของคณิตศาสตร์เช่น การใช้สูตรที่เชื่อมโยงค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพกับการพึ่งพาฟังก์ชัน ดังนั้นฟิสิกส์จึงเป็นวิทยาศาสตร์เชิงทดลอง ฟิสิกส์จึงเป็นวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ

มาทำความคุ้นเคยกับคุณลักษณะเฉพาะของการวัดต่างๆ กัน

การวัดคือการค้นหาค่าตัวเลข ปริมาณทางกายภาพทดลองใช้เครื่องมือวัด (ไม้บรรทัด โวลต์มิเตอร์ นาฬิกา ฯลฯ)

การวัดอาจเป็นทางตรงหรือทางอ้อม

การวัดโดยตรงคือการค้นหาค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพโดยตรงโดยการวัด ตัวอย่างเช่น ความยาว - ด้วยไม้บรรทัด ความกดอากาศ - ด้วยบารอมิเตอร์

การวัดทางอ้อมคือการค้นหาค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพโดยใช้สูตรที่เชื่อมโยงปริมาณที่ต้องการกับปริมาณอื่นที่กำหนดโดยการวัดโดยตรง ตัวอย่างเช่น ความต้านทานของตัวนำถูกกำหนดโดยสูตร R=U/I โดยที่ U และ I วัดด้วยเครื่องมือวัดทางไฟฟ้า

ลองดูตัวอย่างการวัด

วัดความยาวของแท่งด้วยไม้บรรทัด (ค่าส่วนคือ 1 มม.) เราบอกได้แค่ว่าความยาวของแท่งอยู่ระหว่าง 22 ถึง 23 มม. ความกว้างของช่วง "ไม่ทราบ" คือ 1 มม. ซึ่งเท่ากับราคาหาร การเปลี่ยนไม้บรรทัดด้วยอุปกรณ์ที่ละเอียดอ่อนกว่า เช่น คาลิเปอร์ จะช่วยลดช่วงเวลานี้ ซึ่งจะทำให้ความแม่นยำในการวัดเพิ่มขึ้น ในตัวอย่างของเรา ความแม่นยำในการวัดไม่เกิน 1 มม.

ดังนั้นการวัดจึงไม่แม่นยำอย่างแน่นอน ผลลัพธ์ของการวัดใดๆ ถือเป็นค่าประมาณ ความไม่แน่นอนในการวัดมีลักษณะเป็นข้อผิดพลาด - การเบี่ยงเบนของค่าที่วัดได้ของปริมาณทางกายภาพจากค่าจริง

ให้เราระบุสาเหตุที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด

1. ความแม่นยำในการผลิตเครื่องมือวัดมีจำกัด

2. อิทธิพลต่อการวัดสภาวะภายนอก (การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ ความผันผวนของแรงดันไฟฟ้า...)

3. การกระทำของผู้ทดลอง (ความล่าช้าในการเริ่มจับเวลา ตำแหน่งตาที่ต่างกัน...)

4. ลักษณะโดยประมาณของกฎที่ใช้ในการหาปริมาณที่วัดได้

สาเหตุของข้อผิดพลาดที่ระบุไว้ไม่สามารถกำจัดได้แม้ว่าจะสามารถย่อให้เล็กสุดได้ก็ตาม เพื่อสร้างความน่าเชื่อถือของข้อสรุปที่ได้รับจากการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ มีวิธีการประเมินข้อผิดพลาดเหล่านี้

2. ข้อผิดพลาดแบบสุ่มและเป็นระบบ

ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นระหว่างการวัดจะแบ่งออกเป็นระบบและแบบสุ่ม

ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบคือข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กับการเบี่ยงเบนของค่าที่วัดได้จากค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพในทิศทางเดียวเสมอ (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) ด้วยการวัดซ้ำๆ ข้อผิดพลาดจะยังคงเหมือนเดิม

สาเหตุของข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ:

1) การไม่ปฏิบัติตามเครื่องมือวัดตามมาตรฐาน

2) การติดตั้งเครื่องมือวัดไม่ถูกต้อง (การเอียงความไม่สมดุล)

3) ความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้เริ่มต้นของเครื่องมือกับศูนย์และไม่สนใจการแก้ไขที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับสิ่งนี้

4) ความแตกต่างระหว่างวัตถุที่วัดได้กับสมมติฐานเกี่ยวกับคุณสมบัติของวัตถุ (การมีอยู่ของช่องว่าง ฯลฯ )

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มคือข้อผิดพลาดที่เปลี่ยนแปลงค่าตัวเลขในลักษณะที่คาดเดาไม่ได้ ข้อผิดพลาดดังกล่าวมีสาเหตุหลายประการที่ไม่สามารถควบคุมได้ซึ่งส่งผลต่อกระบวนการวัด (ความผิดปกติบนพื้นผิวของวัตถุ ลมพัด ไฟกระชาก ฯลฯ) อิทธิพลของข้อผิดพลาดแบบสุ่มสามารถลดลงได้โดยทำการทดสอบซ้ำหลายๆ ครั้ง

3. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง

ในการระบุปริมาณคุณภาพของการวัด เราจะนำแนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดในการวัดแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์มาใช้

ดังที่กล่าวไปแล้ว การวัดใดๆ จะให้เฉพาะค่าโดยประมาณของปริมาณทางกายภาพ แต่คุณสามารถระบุช่วงที่มีค่าจริงได้:

โปร - ดี เอ< А ист < А пр + D А

ค่า D A เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการวัดปริมาณ A ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะแสดงเป็นหน่วยของปริมาณที่กำลังวัด ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่ากับโมดูลัสของค่าเบี่ยงเบนสูงสุดที่เป็นไปได้ของค่าปริมาณทางกายภาพจากค่าที่วัดได้ และ pr คือค่าของปริมาณทางกายภาพที่ได้รับจากการทดลอง หากทำการวัดซ้ำๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการวัดเหล่านี้

แต่เพื่อประเมินคุณภาพของการวัดจำเป็นต้องระบุข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องจ. e = DA/A pr หรือ e= (DA/A pr)*100%

หากได้รับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มากกว่า 10% ในระหว่างการวัด แสดงว่ามีเพียงการประมาณค่าที่วัดได้เท่านั้น ในห้องปฏิบัติการเวิร์กช็อปฟิสิกส์ แนะนำให้ทำการวัดโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงถึง 10% ในห้องปฏิบัติการทางวิทยาศาสตร์ การวัดที่แม่นยำบางอย่าง (เช่น การกำหนดความยาวคลื่นของแสง) จะดำเนินการด้วยความแม่นยำหนึ่งในล้านของเปอร์เซ็นต์

4. ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัด

ข้อผิดพลาดเหล่านี้เรียกว่าเครื่องมือหรือเครื่องมือ ถูกกำหนดโดยการออกแบบอุปกรณ์วัดความแม่นยำของการผลิตและการสอบเทียบ โดยปกติแล้วพวกเขาจะพอใจกับข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือที่อนุญาตซึ่งรายงานโดยผู้ผลิตในหนังสือเดินทางสำหรับอุปกรณ์นี้ ข้อผิดพลาดที่อนุญาตเหล่านี้ได้รับการควบคุมโดย GOST สิ่งนี้ใช้กับมาตรฐานด้วย โดยปกติแล้วจะแสดงข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือสัมบูรณ์ดี และ เอ

หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่อนุญาต (เช่น ด้วยไม้บรรทัด) ค่าการหารครึ่งหนึ่งอาจถือเป็นข้อผิดพลาดนี้ได้

เมื่อชั่งน้ำหนัก ข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือสัมบูรณ์จะประกอบด้วยข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือของเครื่องชั่งและตุ้มน้ำหนัก ตารางแสดงข้อผิดพลาดที่อนุญาตที่พบบ่อยที่สุด

เครื่องมือวัดที่พบในการทดลองในโรงเรียน

5. ระดับความแม่นยำของเครื่องมือวัดทางไฟฟ้า

เครื่องมือวัดทางไฟฟ้าของตัวชี้ตามค่าความผิดพลาดที่อนุญาตแบ่งออกเป็นคลาสความแม่นยำซึ่งระบุบนสเกลเครื่องมือด้วยตัวเลข 0.1 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. ระดับความแม่นยำกรัมราคา อุปกรณ์จะแสดงเปอร์เซ็นต์ของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จากขนาดทั้งหมดของอุปกรณ์

g pr = (D และ A/A สูงสุด)*100%

ตัวอย่างเช่น ข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือสัมบูรณ์ของอุปกรณ์คลาส 2.5 คือ 2.5% ของขนาดอุปกรณ์

หากทราบระดับความแม่นยำของอุปกรณ์และสเกลของอุปกรณ์ ก็สามารถระบุข้อผิดพลาดในการวัดค่าเครื่องมือสัมบูรณ์ได้

D และ A = (g pr * A สูงสุด)/100

เพื่อเพิ่มความแม่นยำในการวัดด้วยเครื่องมือวัดทางไฟฟ้าของตัวชี้จำเป็นต้องเลือกอุปกรณ์ที่มีมาตราส่วนซึ่งในระหว่างกระบวนการวัดนั้นจะอยู่ในครึ่งหลังของมาตราส่วนของเครื่องมือ

6. การอ่านผิดพลาด

ข้อผิดพลาดในการอ่านเป็นผลมาจากการอ่านค่าเครื่องมือวัดที่มีความแม่นยำไม่เพียงพอ

ในกรณีส่วนใหญ่ ข้อผิดพลาดในการอ่านค่าสัมบูรณ์จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าการหาร มีข้อยกเว้นเมื่อทำการวัดด้วยนาฬิกา (เข็มเดินกระตุก)

ข้อผิดพลาดในการอ่านมักจะแสดงแทนดีโอเอ

7. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์รวมของการวัดโดยตรง

เมื่อดำเนินการวัดปริมาณทางกายภาพ A โดยตรง จะต้องประเมินข้อผิดพลาดต่อไปนี้: D และ A, D oA และ D сА (สุ่ม) แน่นอนว่า แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการติดตั้งเครื่องมือไม่ถูกต้อง การวางตำแหน่งเริ่มต้นของลูกศรเครื่องมือด้วย 0 ที่ไม่ตรง ฯลฯ ควรได้รับการยกเว้น

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์รวมของการวัดโดยตรงต้องมีข้อผิดพลาดทั้งสามประเภท

หากข้อผิดพลาดแบบสุ่มมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับค่าที่น้อยที่สุดที่สามารถวัดได้ด้วยเครื่องมือวัดที่กำหนด (เทียบกับค่าหาร) ก็อาจละเลยได้ และการวัดเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอที่จะระบุค่าของปริมาณทางกายภาพได้ มิฉะนั้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นแนะนำให้ค้นหาผลการวัดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์ของการวัดหลายชุดทั้งหมด และคำนวณข้อผิดพลาดของผลลัพธ์โดยใช้วิธีสถิติทางคณิตศาสตร์ ความรู้เกี่ยวกับวิธีการเหล่านี้นอกเหนือไปจากหลักสูตรของโรงเรียน

8. บันทึกผลสุดท้ายของการวัดโดยตรง

ผลลัพธ์สุดท้ายของการวัดปริมาณทางกายภาพ A ควรเขียนในรูปแบบนี้

A=A ราคา + DA, e= (DA/A pr)*100%

และ pr คือค่าของปริมาณทางกายภาพที่ได้รับจากการทดลอง หากทำการวัดซ้ำๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการวัดเหล่านี้ดี A คือความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์รวมของการวัดโดยตรง

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์มักจะแสดงเป็นตัวเลขนัยสำคัญตัวเดียว

ตัวอย่าง: L=(7.9 + 0.1) มม.อี=13%.

9. ข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อม

เมื่อประมวลผลผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับเชิงหน้าที่กับปริมาณทางกายภาพ A, B และ C ซึ่งได้รับการวัดโดยตรง ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการวัดทางอ้อมจะถูกกำหนดก่อนอี=ดี X/X pr โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ในตาราง (ไม่มีหลักฐาน)

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ถูกกำหนดโดยสูตร D X=X ราคา *e,

ที่ไหนอี แสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแทนที่จะเป็นเปอร์เซ็นต์

ผลลัพธ์สุดท้ายจะถูกบันทึกในลักษณะเดียวกับในกรณีของการวัดโดยตรง

ตัวอย่าง: มาคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานโดยใช้ไดนาโมมิเตอร์ การทดลองประกอบด้วยการดึงบล็อกให้เท่าๆ กันบนพื้นผิวแนวนอนและวัดแรงที่ใช้ ซึ่งเท่ากับแรงเสียดทานแบบเลื่อน

ใช้ไดนาโมมิเตอร์ชั่งน้ำหนักบล็อกด้วยน้ำหนัก: 1.8 N F tr =0.6 น

μ = 0.33 ข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือของไดนาโมมิเตอร์ (เราพบจากตาราง) คือ Δ และ = 0.05 N ข้อผิดพลาดในการอ่าน (ครึ่งหนึ่งของค่าหาร)

Δ o =0.05 N ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ในการวัดน้ำหนักและแรงเสียดทานคือ 0.1 N

ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ (บรรทัดที่ 5 ในตาราง)

ดังนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการวัดทางอ้อม μ คือ 0.22*0.33=0.074

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์

เมื่อต้องจัดการกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ในการคำนวณ คุณต้องประมาณตัวเลขเหล่านี้เพื่อความสะดวก นั่นคือ ปัดเศษ ตัวเลขโดยประมาณยังได้มาจากการวัดต่างๆ

การทราบว่าค่าโดยประมาณของตัวเลขแตกต่างจากค่าที่แน่นอนมากน้อยเพียงใดอาจเป็นประโยชน์ เป็นที่ชัดเจนว่ายิ่งความแตกต่างนี้น้อยเท่าไร การวัดหรือการคำนวณก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น

เพื่อกำหนดความแม่นยำของการวัด (การคำนวณ) ได้มีการนำแนวคิดเช่นข้อผิดพลาดในการประมาณมาใช้ อีกวิธีหนึ่งเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

ข้อผิดพลาดแน่นอน กำลังใกล้เข้ามา โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนของตัวเลขและค่าโดยประมาณเรียกว่า

ที่ไหน เอ็กซ์ - นี่คือค่าที่แน่นอนของตัวเลข ก - ค่าประมาณของมัน

ตัวอย่างเช่น จากผลการวัดที่ได้ตัวเลขมา อย่างไรก็ตาม จากการคำนวณโดยใช้สูตร ค่าที่แน่นอนของตัวเลขนี้คือ จากนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณ

ในกรณีของเศษส่วนไม่สิ้นสุด ความคลาดเคลื่อนในการประมาณจะถูกกำหนดโดยใช้สูตรเดียวกัน แทนที่จำนวนที่แน่นอน จะมีการเขียนเศษส่วนอนันต์นั่นเอง ตัวอย่างเช่น, . ปรากฎว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณแสดงเป็นจำนวนอตรรกยะ

การประมาณสามารถทำได้ดังนี้ โดยขาด , ดังนั้น โดยส่วนเกิน .

จำนวนเดียวกันπเมื่อประมาณความบกพร่องด้วยความแม่นยำ 0.01 จะเท่ากับ 3.14 และเมื่อประมาณด้วยส่วนเกินด้วยความแม่นยำ 0.01 จะเท่ากับ 3.15

กฎการปัดเศษ: ถ้าหลักแรกที่จะทิ้งคือห้าหรือมากกว่าห้า จะมีการประมาณค่าส่วนเกิน ถ้าน้อยกว่าห้าก็แสดงว่าขาด

เช่น เพราะว่า หลักที่สามหลังจุดทศนิยมของตัวเลข π คือ 1 จากนั้นเมื่อประมาณด้วยความแม่นยำ 0.01 จะดำเนินการโดยขาด

ลองคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณ 0.01 ของจำนวน π โดยการขาดและส่วนเกิน:

ดังที่เราเห็น ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณค่าความบกพร่องนั้นน้อยกว่าค่าส่วนเกิน ซึ่งหมายความว่าการประมาณโดยข้อเสียในกรณีนี้มีความแม่นยำสูงกว่า

ข้อผิดพลาดในการประมาณสัมพัทธ์

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์มีข้อเสียเปรียบที่สำคัญประการหนึ่ง - ไม่อนุญาตให้ประเมินระดับความสำคัญของข้อผิดพลาด

ตัวอย่างเช่นเราซื้อมันฝรั่ง 5 กิโลกรัมที่ตลาดและผู้ขายที่ไร้ยางอายเมื่อวัดน้ำหนักก็ทำผิดพลาด 50 กรัมเพื่อประโยชน์ของเขา เหล่านั้น. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 50 กรัม สำหรับเราการกำกับดูแลดังกล่าวจะเป็นเพียงเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ และเราจะไม่ใส่ใจกับมันด้วยซ้ำ จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดข้อผิดพลาดที่คล้ายกันขณะเตรียมยา? ที่นี่ทุกอย่างจะจริงจังกว่านี้มาก และเมื่อบรรทุกสินค้าบรรทุกสินค้าความเบี่ยงเบนมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมาก มูลค่าที่กำหนด.

ดังนั้นข้อผิดพลาดที่แท้จริงจึงไม่ได้ให้ข้อมูลมากนัก นอกจากนี้ ยังมีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์เพิ่มเติมอีกด้วย

ข้อผิดพลาดในการประมาณสัมพัทธ์ เรียกว่าอัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต่อค่าที่แน่นอนของตัวเลข

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือปริมาณที่ไม่มีมิติหรือวัดเป็นเปอร์เซ็นต์

ลองยกตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1 บริษัทมีพนักงานและพนักงาน 1,284 คน ปัดเศษจำนวนพนักงานให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดโดยมีค่าเกินและขาด ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์) วาดข้อสรุป

ดังนั้น, .

ข้อผิดพลาดแน่นอน:

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์:

ซึ่งหมายความว่าความถูกต้องของการประมาณค่าที่มีข้อบกพร่องจะสูงกว่าความถูกต้องของการประมาณค่าส่วนที่เกิน

ตัวอย่างที่ 2 โรงเรียนมีนักเรียน 197 คน ปัดเศษจำนวนนักเรียนให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดโดยให้เกินและขาด ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์) วาดข้อสรุป

ดังนั้น, .

ข้อผิดพลาดแน่นอน:

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์:

ซึ่งหมายความว่าความถูกต้องของการประมาณค่าส่วนที่เกินจะสูงกว่าความถูกต้องของการประมาณค่าส่วนที่ขาด

ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณ:

1. หมายเลข 2.87 หมายเลข 2.9; หมายเลข 2.8;

   หมายเลข 0.6595 หมายเลข 0.7; หมายเลข 0.6;

   ตัวเลขต่อจำนวน

   หมายเลข 0.3;

   หมายเลข 4.63 หมายเลข 4.6; หมายเลข 4.7;

   หมายเลข 0.8535 หมายเลข 0.8; หมายเลข 0.9;

   จำนวนต่อจำนวน

   หมายเลขคือ 0.2

ค่าประมาณของตัวเลขเอ็กซ์ เท่ากับก - ค้นหาข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์หาก:

เขียนมันเป็นอสมการสองเท่า:

ค้นหาค่าประมาณของตัวเลขเอ็กซ์ เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการประมาณค่าขาดและส่วนเกินหาก:

พิสูจน์ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขก และข เป็นค่าโดยประมาณของตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้ ซึ่งแม่นยำถึง

ปัดเศษตัวเลข:

จนถึงหน่วย

มากถึงสิบ

ถึงหนึ่งในพัน

มากถึงหลายพัน

มากถึงแสน

จนถึงหน่วย

มากถึงสิบ

มากถึงสิบ

ถึงหนึ่งในพัน

มากถึงร้อย

มากถึงหนึ่งหมื่น

จินตนาการ เศษส่วนทั่วไปเป็นทศนิยมและปัดเศษให้เป็นทศนิยมและค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์:

พิสูจน์ว่าตัวเลขแต่ละตัว 0.368 และ 0.369 เป็นการประมาณตัวเลขภายใน 0.001 ข้อใดมีค่าประมาณของตัวเลขที่แม่นยำถึง 0.0005

พิสูจน์ว่าตัวเลขแต่ละตัว 0.38 และ 0.39 เป็นค่าประมาณของตัวเลขภายใน 0.01 ข้อใดคือค่าประมาณของตัวเลขภายใน 0.005

ปัดเศษตัวเลขเป็นหน่วยและค้นหาข้อผิดพลาดในการปัดเศษแบบสัมพันธ์:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

แสดงตัวเลขแต่ละตัวในแบบฟอร์ม ทศนิยม- เมื่อปัดเศษเศษส่วนที่ได้ให้เป็นสิบแล้ว ให้ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณ

รัศมีของโลกอยู่ที่ 6,380 กม. โดยมีความแม่นยำ 10 กม. ประมาณการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากโลกถึงดวงจันทร์คือ 356,400 กม. โดยมีความแม่นยำ 100 กม. ประมาณการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณ

เปรียบเทียบคุณภาพการวัดมวลม หัวรถจักรไฟฟ้าและมวลต เม็ดยาถ้า t (ถึง 0.5 ตันที่ใกล้ที่สุด) และกรัม (ถึง 0.01 กรัมที่ใกล้ที่สุด)

เปรียบเทียบคุณสมบัติของการวัดความยาวของแม่น้ำโวลก้ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล เทเบิลเทนนิส, ถ้า km (ด้วยความแม่นยำ 5 กม.) และ mm (ด้วยความแม่นยำ 1 มม.)

สมมติว่าความกว้างที่แน่นอนของโต๊ะคือ A = 384 มม. และเราวัดแล้วได้ = 381 มม. โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนของปริมาณที่วัดได้และค่าโดยประมาณเรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอน- ใน ในตัวอย่างนี้ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ 3 มม. แต่ในทางปฏิบัติ เราไม่มีทางทราบค่าที่แน่นอนของค่าที่วัดได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถทราบข้อผิดพลาดที่แท้จริงได้อย่างแม่นยำ

แต่โดยปกติแล้วเราจะรู้ถึงความแม่นยำของเครื่องมือวัด ประสบการณ์ของผู้สังเกตในการวัด ฯลฯ ทำให้สามารถเข้าใจข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ได้ ตัวอย่างเช่น หากเราวัดความยาวของห้องด้วยสายวัด มันก็ง่ายสำหรับเราที่จะคำนึงถึงหน่วยเมตรและเซนติเมตร แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะคำนึงถึงหน่วยมิลลิเมตรได้ ใช่ ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้ ดังนั้นเราจึงจงใจอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดภายใน 1 ซม. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในความยาวของห้องนั้นน้อยกว่า 1 ซม. เมื่อวัดความยาวของส่วนใด ๆ ด้วยไม้บรรทัดมิลลิเมตรเรามีสิทธิ์ที่จะอ้างว่าข้อผิดพลาดในการวัดไม่มี เกิน 1 มม.

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ e a ของจำนวนโดยประมาณ a ทำให้สามารถกำหนดขอบเขตที่จำนวน A ที่แน่นอนอยู่ได้:

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่ได้เป็นตัวบ่งชี้คุณภาพของการวัดที่เพียงพอ และไม่ได้ระบุลักษณะความแม่นยำของการคำนวณหรือการวัด หากทราบว่าเมื่อวัดความยาวได้ระยะหนึ่งแล้ว เราได้รับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ 1 ซม. ก็ไม่สามารถสรุปได้ว่าเราวัดได้ดีหรือไม่ดี หากเราวัดความยาวของดินสอได้ 15 ซม. และลดลง 1 ซม. การวัดของเราก็จะไม่ดี หากเราวัดทางเดิน 20 เมตรและผิดพลาดเพียง 1 ซม. การวัดของเราถือเป็นตัวอย่างของความแม่นยำ ไม่เพียงแต่ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เท่านั้นที่มีความสำคัญ แต่ยังรวมถึงสัดส่วนที่ประกอบเป็นค่าที่วัดด้วย- ในตัวอย่างแรก หน้าท้อง ข้อผิดพลาด 1 ซม. คือ 1/15 ของค่าที่วัดได้หรือ 7% ในวินาที – 1/2000 หรือ 0.05% มิติที่สองดีกว่ามาก

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คืออัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณ:

ต่างจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ซึ่งโดยปกติจะเป็นปริมาณมิติ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักเป็นปริมาณไร้มิติเสมอ โดยปกติจะแสดงเป็น %

ตัวอย่าง

เมื่อวัดความยาว 5 ซม. อนุญาตให้มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ 0.1 ซม. (ตอบ 2%)

เมื่อคำนวณจำนวนชาวเมืองซึ่งกลายเป็น 2,000,000 คน อนุญาตให้มีข้อผิดพลาด 100 คน ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องคืออะไร? (ตอบ 0.005%)

ผลลัพธ์ของการวัดใดๆ จะแสดงเป็นตัวเลขที่แสดงลักษณะของค่าที่วัดได้โดยประมาณเท่านั้น ดังนั้นเมื่อทำการคำนวณเรากำลังเผชิญอยู่ ปิดตัวเลข เมื่อเขียนตัวเลขโดยประมาณ จะถือว่าตัวเลขหลักสุดท้ายทางด้านขวาแสดงถึงขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น ถ้าเขียน 12.45 ไม่ได้หมายความว่าค่าที่กำหนดโดยตัวเลขนี้ไม่มีหนึ่งในพัน อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าไม่ได้คำนึงถึงหนึ่งในพันในระหว่างการวัด ดังนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จึงน้อยกว่าครึ่งหน่วยของหลักสุดท้าย: - ในทำนองเดียวกัน สำหรับตัวเลขโดยประมาณ 1.283 เราสามารถพูดได้ว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์น้อยกว่า 0.0005: .

เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนตัวเลขโดยประมาณเพื่อให้ข้อผิดพลาดที่แน่นอนไม่เกินทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายหนึ่งตำแหน่ง- หรืออีกนัยหนึ่งคือ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของตัวเลขโดยประมาณนั้นมีลักษณะเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมหลังจุดทศนิยม.

จะเป็นอย่างไรหากเมื่อตวงปริมาณอย่างระมัดระวัง ปรากฏว่ามีหน่วยทั้งหมด 2 ใน 10 5 ใน 100 ไม่มีหนึ่งในพัน และไม่สามารถนับหลักหมื่นได้ ถ้าเราเขียน 1.25 หลักพันจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในรายการนี้ ทั้งที่จริงๆ แล้วเราแน่ใจว่าไม่ได้เป็นเช่นนั้น ในกรณีนี้ เป็นธรรมเนียมที่จะต้องใส่ 0 แทน - คุณควรเขียน 1.250 ดังนั้นตัวเลข 1.25 และ 1.250 จึงไม่มีความหมายเหมือนกัน อันแรกประกอบด้วยหนึ่งในพัน; เราแค่ไม่รู้ว่าเท่าไหร่กันแน่ ประการที่สอง ไม่มีหนึ่งในพัน ไม่มีอะไรจะพูดเกี่ยวกับหนึ่งในหมื่นได้

มันจะยากขึ้นเมื่อเขียนตัวเลขโดยประมาณจำนวนมาก ให้มีจำนวนชาวบ้านในหมู่บ้าน เท่ากับ 2,000 คน และในเมือง ประมาณประชากร 457,000 คน ยิ่งกว่านั้นในเรื่องเมืองเรามั่นใจในหลักพัน แต่เรายอมให้มีข้อผิดพลาดในหลักร้อยและหลักสิบ ในกรณีแรก ศูนย์ที่ท้ายตัวเลขแสดงว่าไม่มีหลักร้อย หลักสิบ และหน่วย เราจะเรียกศูนย์ดังกล่าว มีความหมาย- ในกรณีที่สอง ศูนย์แสดงถึงความไม่รู้ของเราเกี่ยวกับจำนวนร้อย สิบ และหน่วย เราจะเรียกศูนย์ดังกล่าว ไม่มีนัยสำคัญ- เมื่อเขียนตัวเลขโดยประมาณที่มีศูนย์จะต้องระบุนัยสำคัญเพิ่มเติม โดยปกติแล้วศูนย์จะไม่มีนัยสำคัญ บางครั้งความไม่สำคัญของศูนย์สามารถระบุได้โดยการเขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง (457*10 3)

ลองเปรียบเทียบความแม่นยำของตัวเลขประมาณสองตัวคือ 1362.3 และ 2.37 ประการแรกข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะต้องไม่เกิน 0.1 ประการที่สอง – 0.01 ดังนั้นตัวเลขตัวที่สองจึงดูแม่นยำกว่าตัวแรก

มาคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์กัน สำหรับเลขตัวแรก - สำหรับครั้งที่สอง - ตัวเลขที่สองมีความแม่นยำน้อยกว่าตัวเลขแรกอย่างมาก (เกือบ 100 เท่า) สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากตัวเลขแรกมี 5 หลักที่ถูกต้อง (นัยสำคัญ) ในขณะที่ตัวเลขที่สองมีเพียง 3 หลัก

เราจะเรียกตัวเลขทั้งหมดของตัวเลขโดยประมาณที่เราแน่ใจว่าเป็นตัวเลขจริง (นัยสำคัญ) เลขศูนย์ที่อยู่ทางด้านขวาหลังจุดทศนิยมนั้นไม่มีนัยสำคัญ แต่จะระบุเฉพาะลำดับของเลขนัยสำคัญทางด้านขวาเท่านั้น ศูนย์ในตำแหน่งขวาสุดของตัวเลขอาจเป็นค่านัยสำคัญหรือไม่มีนัยสำคัญก็ได้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขแต่ละตัวต่อไปนี้มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว: 283*10 5 , 200*10 2 , 22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458

ตัวอย่าง

มีเลขนัยสำคัญ (ถูกต้อง) จำนวนเท่าใดในตัวเลขต่อไปนี้:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

ประมาณการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของตัวเลขโดยประมาณต่อไปนี้:

ศูนย์สำคัญ: 21000 (0.005%)

จะเห็นได้ง่ายว่าการประมาณค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของตัวเลขคร่าวๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะนับจำนวนตัวเลขที่มีนัยสำคัญ สำหรับตัวเลขที่มีเลขนัยสำคัญเพียงหลักเดียว ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือประมาณ 10%

มี 2 ​​ตัวเลขนัยสำคัญ – 1%;

มี 3 ตัวเลขนัยสำคัญ – 0.1%;

โดยมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว – 0.01% เป็นต้น

เมื่อคำนวณด้วยตัวเลขโดยประมาณ เราจะสนใจคำถาม: อย่างไรจึงจะได้รับคำตอบที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่จำเป็นตามตัวเลขโดยประมาณเหล่านี้

บ่อยครั้งที่ข้อมูลเริ่มต้นทั้งหมดจะต้องได้รับข้อผิดพลาดเดียวกันนั่นคือข้อผิดพลาดที่มีความแม่นยำน้อยที่สุดของตัวเลขที่กำหนด ดังนั้นจึงมักจำเป็นต้องแทนที่ตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยการปัดเศษที่มีความแม่นยำน้อยกว่า

ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุด 27.136 » 27.1,

ปัดเศษที่ใกล้ที่สุด 32.8 » 33

กฎการปัดเศษ: หากหลักซ้ายสุดที่ถูกละทิ้งระหว่างการปัดเศษน้อยกว่า 5 ตัวเลขหลักสุดท้ายที่คงไว้จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าหลักซ้ายสุดที่จะทิ้งมากกว่า 5 หรือถ้าเท่ากับ 5 แล้วหลักสุดท้ายคงไว้จะเพิ่มขึ้น 1

ตัวอย่าง

ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุด 17.96 (18.0)

ปัดเศษเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด 14.127 (14.13)

รอบเก็บเลขถูก 3 ตัว คือ 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688)

ในยุคของเรา มนุษย์ได้คิดค้นและใช้เครื่องมือวัดทุกประเภทอย่างหลากหลาย แต่ไม่ว่าเทคโนโลยีในการผลิตจะสมบูรณ์แบบเพียงใด ล้วนมีข้อผิดพลาดไม่มากก็น้อย ตามกฎแล้วพารามิเตอร์นี้จะระบุไว้บนตัวเครื่องมือ และเพื่อประเมินความแม่นยำของค่าที่กำหนด คุณจะต้องสามารถเข้าใจความหมายของตัวเลขที่ระบุบนเครื่องหมายได้ นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ระหว่างการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านสถิติ อุตสาหกรรม (การควบคุมคุณภาพ) และในด้านอื่นๆ จำนวนหนึ่ง วิธีคำนวณค่านี้และวิธีตีความค่า - นี่คือสิ่งที่จะกล่าวถึงในบทความนี้

ข้อผิดพลาดแน่นอน

ให้เราแสดงด้วย x ซึ่งเป็นค่าโดยประมาณของปริมาณที่ได้รับ เช่น ผ่านการวัดครั้งเดียว และ x 0 เป็นค่าที่แน่นอน ทีนี้ลองคำนวณขนาดของความแตกต่างระหว่างตัวเลขสองตัวนี้กัน ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือค่าที่เราได้รับจากการดำเนินการอย่างง่ายนี้ ในภาษาของสูตร คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบนี้: Δ x = | x - x 0 |.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

การเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มีข้อเสียเปรียบที่สำคัญประการหนึ่ง - ไม่อนุญาตให้ประเมินระดับความสำคัญของข้อผิดพลาด ตัวอย่างเช่นเราซื้อมันฝรั่ง 5 กิโลกรัมที่ตลาดและผู้ขายที่ไร้ยางอายเมื่อวัดน้ำหนักก็ทำผิดพลาด 50 กรัมเพื่อประโยชน์ของเขา นั่นคือข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 50 กรัม สำหรับเรา การกำกับดูแลดังกล่าวจะเป็นเพียงเรื่องเล็กและเราจะไม่ใส่ใจกับมันด้วยซ้ำ ลองนึกภาพว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดข้อผิดพลาดที่คล้ายกันขณะเตรียมยา? ที่นี่ทุกอย่างจะจริงจังกว่านี้มาก และเมื่อบรรทุกรถบรรทุกสินค้า ค่าเบี่ยงเบนมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากกว่าค่านี้มาก ดังนั้นข้อผิดพลาดที่แท้จริงจึงไม่ได้ให้ข้อมูลมากนัก นอกจากนี้ ค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์มักถูกคำนวณเพิ่มเติม ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าที่แน่นอนของตัวเลข เรื่องนี้กำลังถูกบันทึกไว้ สูตรต่อไปนี้: δ = Δ x / x 0 .

คุณสมบัติข้อผิดพลาด

สมมติว่าเรามีปริมาณอิสระสองปริมาณ: x และ y เราจำเป็นต้องคำนวณค่าเบี่ยงเบนของมูลค่าโดยประมาณของผลรวม ในกรณีนี้ เราสามารถคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป็นผลรวมของค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คำนวณไว้ล่วงหน้าของแต่ละค่าความคลาดเคลื่อน ในการวัดบางอย่างอาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อผิดพลาดในการกำหนดค่า x และ y หักล้างกัน หรืออาจเกิดขึ้นได้ว่าผลจากการบวกทำให้ความเบี่ยงเบนรุนแรงขึ้นสูงสุด ดังนั้น เมื่อมีการคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ทั้งหมด จะต้องพิจารณาสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดด้วย เช่นเดียวกับความแตกต่างระหว่างข้อผิดพลาดของปริมาณต่างๆ คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะเฉพาะของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น และไม่สามารถใช้กับการเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ได้ เนื่องจากจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ลองดูสถานการณ์นี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

สมมติว่าการวัดภายในกระบอกสูบแสดงว่ารัศมีภายใน (R 1) เท่ากับ 97 มม. และรัศมีภายนอก (R 2) เท่ากับ 100 มม. จำเป็นต้องกำหนดความหนาของผนัง ก่อนอื่น มาหาความแตกต่าง: h = R 2 - R 1 = 3 มม. หากปัญหาไม่ได้บ่งชี้ว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คืออะไร ให้ถือว่าปัญหาดังกล่าวเป็นครึ่งหนึ่งของการแบ่งสเกลของอุปกรณ์ตรวจวัด ดังนั้น Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 มม. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ทั้งหมดคือ: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 มม. ทีนี้มาคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของค่าทั้งหมดกัน:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005,

δ(R 1) = 0.5/97 data 0.0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 data 0.3333>> δ(R 1)

อย่างที่คุณเห็น ข้อผิดพลาดในการวัดรัศมีทั้งสองไม่เกิน 5.2% และข้อผิดพลาดในการคำนวณความแตกต่าง - ความหนาของผนังกระบอกสูบ - มีมากถึง 33.(3)%!

สถานะคุณสมบัติต่อไปนี้: ค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขหลายจำนวนจะเท่ากับผลรวมของการเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของแต่ละปัจจัยโดยประมาณ:

δ(xy) µ δ(x) + δ(y)

นอกจากนี้กฎนี้ใช้ได้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนค่าที่ได้รับการประเมิน คุณสมบัติประการที่สามและสุดท้ายของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือการประมาณค่าสัมพัทธ์ หมายเลข kองศาประมาณใน | เค | คูณความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของตัวเลขเดิม

อ่านด้วย

การดูแล

การจัดระบบการทำงานของฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคโดยใช้ตัวอย่างของบริษัทเรา

การจัดระบบการทำงานของฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคโดยใช้ตัวอย่างของบริษัทเรา

2024-09-16 01:02:16 ไม่มีความคิดเห็น

การดูแลผิวหน้า

Sergey Stillavin ชีวประวัติ ข่าว ภาพถ่าย Stillavin ที่เขาทำงาน

Sergey Stillavin ชีวประวัติ ข่าว ภาพถ่าย Stillavin ที่เขาทำงาน

2024-09-15 01:03:06 ไม่มีความคิดเห็น

ผิวหน้าที่มีปัญหา

รายชื่อวงดนตรีในยุค 80 และ 90

รายชื่อวงดนตรีในยุค 80 และ 90

2024-09-15 01:03:06 ไม่มีความคิดเห็น