สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

บทเรียนวิดีโอเรื่อง "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" สาธิตให้เห็น สื่อการศึกษาเพื่อเชี่ยวชาญหัวข้อ ในระหว่างบทเรียนวิดีโอที่นำเสนอ วัสดุทางทฤษฎีจำเป็นสำหรับการสร้างแนวคิดของสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาแทนเจนต์ดังกล่าว ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยใช้เนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา

วิดีโอสอนใช้วิธีการปรับปรุงความชัดเจนของเนื้อหา งานนำเสนอประกอบด้วยภาพวาด ไดอะแกรม ความคิดเห็นด้วยเสียงที่สำคัญ ภาพเคลื่อนไหว การไฮไลต์ และเครื่องมืออื่นๆ

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการนำเสนอหัวข้อของบทเรียนและรูปภาพของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด M(a;f(a)) เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่พล็อตกราฟ ณ จุดที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(a) ณ จุดนี้ จากหลักสูตรพีชคณิต เรารู้สมการของเส้นตรง y=kx+m วิธีแก้ปัญหาในการค้นหาสมการแทนเจนต์ที่จุดหนึ่งถูกนำเสนอในเชิงแผนผัง ซึ่งจะช่วยลดการหาค่าสัมประสิทธิ์ k, m เมื่อทราบพิกัดของจุดที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถหา m ได้โดยการแทนที่ค่าพิกัดลงในสมการแทนเจนต์ f(a)=ka+m จากนั้นเราจะพบ m=f(a)-ka ดังนั้น เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดและพิกัดของจุดนั้น เราก็สามารถแสดงสมการแทนเจนต์ได้ด้วยวิธีนี้ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการเขียนสมการแทนเจนต์ตามแผนภาพ เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y=x 2 , x=-2 เมื่อหา a=-2 เราจะหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=2x ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเท่ากับ f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 ในการเขียนสมการ จะพบสัมประสิทธิ์ a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ทั้งหมด ดังนั้นสมการแทนเจนต์คือ y=4+(-4)(x+2) ลดความซับซ้อนของสมการ เราได้ y = -4-4x

ตัวอย่างต่อไปนี้แนะนำให้สร้างสมการแทนเจนต์ที่จุดกำเนิดของกราฟของฟังก์ชัน y=tgx ณ จุดที่กำหนด a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1 ดังนั้นสมการแทนเจนต์จะดูเหมือน y=x

โดยภาพรวมแล้ว กระบวนการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งนั้นจะถูกทำให้เป็นทางการในรูปแบบของอัลกอริทึมซึ่งประกอบด้วย 4 ขั้นตอน:

• ป้อนการกำหนด a สำหรับ abscissa ของจุดสัมผัสกัน
• f(a) ถูกคำนวณ;
• f΄(x) ถูกกำหนด และ f΄(a) ถูกคำนวณ ค่าที่พบของ a, f(a), f΄(a) จะถูกแทนที่ในสูตรสมการแทนเจนต์ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=1/x ที่จุด x=1 เพื่อแก้ปัญหาเราใช้อัลกอริทึม สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุด a=1 ค่าของฟังก์ชัน f(a)=-1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=1/x 2 ณ จุด a=1 อนุพันธ์ f΄(a)= f΄(1)=1 จากข้อมูลที่ได้รับ สมการแทนเจนต์ y=-1+(x-1) หรือ y=x-2 จะถูกวาดขึ้นมา

ในตัวอย่างที่ 2 จำเป็นต้องค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x 3 +3x 2 -2x-2 เงื่อนไขหลักคือความขนานของเส้นแทนเจนต์และเส้นตรง y=-2x+1 อันดับแรก เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-2x+1 เนื่องจาก f΄(a)=-2 สำหรับเส้นตรงที่กำหนด ดังนั้น k=-2 สำหรับแทนเจนต์ที่ต้องการ เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 เมื่อรู้ว่า f΄(a)=-2 เราจะพบพิกัดของจุด 3a 2 +6a-2=-2 เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะได้ 1 =0 และ 2 =-2 เมื่อใช้พิกัดที่พบ คุณสามารถค้นหาสมการแทนเจนต์ได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี เราหาค่าของฟังก์ชันได้ที่จุด f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 ค่าของอนุพันธ์ ณ จุด f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 การแทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์เราได้สำหรับจุดแรก a 1 =0 y=-2x-2 และสำหรับจุดที่สอง 2 =-2 สมการแทนเจนต์ y=-2x-22

ตัวอย่างที่ 3 อธิบายองค์ประกอบของสมการแทนเจนต์สำหรับการวาดที่จุด (0;3) ไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=√x การแก้ปัญหาทำได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี จุดสัมผัสกันมีพิกัด x=a โดยที่ a>0 ค่าของฟังก์ชันที่จุด f(a)=√x อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=1/2√х ดังนั้น ณ จุดที่กำหนด f΄(а)=1/2√а แทนที่ค่าที่ได้รับทั้งหมดลงในสมการแทนเจนต์เราจะได้ y = √a + (x-a)/2√a การแปลงสมการ เราได้ y=x/2√а+√а/2 เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด (0;3) เราจะพบค่าของ a เราหาจาก 3=√a/2 ดังนั้น √a=6, a=36 เราพบสมการแทนเจนต์ y=x/12+3 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาและแทนเจนต์ที่ต้องการที่สร้างขึ้น

นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δy=µf΄(x)Δxและ f(x+Δx)-f(x)µf΄(x)Δx เมื่อหา x=a, x+Δx=x, Δx=x-a เราจะได้ f(x)- f(a)µf΄(a)(x-a) ดังนั้น f(x)µf(a)+ f΄( ก)(ก-ก)

ในตัวอย่างที่ 4 จำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ 2.003 6 เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชัน f(x)=x 6 ที่จุด x=2.003 เราจึงใช้สูตรที่รู้จักกันดี โดยหา f(x)=x 6, a=2, f(a )= ฉ(2)=64, ฉ ΄(x)=6x 5 อนุพันธ์ที่จุด f΄(2)=192 ดังนั้น 2.003 6 γ65-192·0.003 เมื่อคำนวณนิพจน์แล้ว เราจะได้ 2.003 6 mut64.576

แนะนำให้ใช้บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน สำหรับครูที่สอนทางไกล สื่อวิดีโอจะช่วยอธิบายหัวข้อได้ชัดเจนยิ่งขึ้น สามารถแนะนำวิดีโอให้นักเรียนทบทวนได้อย่างอิสระหากจำเป็นเพื่อเพิ่มความเข้าใจในหัวข้อนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การถอดรหัสข้อความ:

เรารู้ว่าถ้าจุด M (a; f(a)) (em ที่มีพิกัด a และ ef จาก a) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) และหาก ณ จุดนี้ เป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน abscissa ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f"(a) (eff ไพรม์จาก a)

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M (a; f(a)) เป็นที่รู้กันว่า f´(a) มีอยู่จริง เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนดกันดีกว่า สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด มีรูปแบบ y = kx+m (y เท่ากับ ka x บวก em) ดังนั้นงานคือหาค่าของ ค่าสัมประสิทธิ์ k และ m (ka และ em)

ค่าสัมประสิทธิ์มุม k= f"(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดของ เราได้จุด M เข้าไปในสมการของเส้นตรง ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง: f(a) = ka+m จากที่เราพบว่า m = f(a) - ka

ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ ki และ m ลงในสมการของเส้นตรง:

y = kx+(ฉ(a) -ka);

y = ฉ(ก)+k(x-ก);

ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก). ( y เท่ากับ ef จากบวก ef ไพรม์จาก a, คูณด้วย x ลบ a)

เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x=a แล้ว

ถ้า พูดว่า y = x 2 และ x = -2 (เช่น a = -2) แล้ว f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x ซึ่งหมายถึง f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 (จากนั้น ef ของ a เท่ากับ 4 ซึ่งเป็น ef ของจำนวนเฉพาะของ x เท่ากับสอง x ซึ่งหมายถึง ef ไพรม์จาก a เท่ากับลบสี่)

แทนที่ค่าที่พบ a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ลงในสมการเราได้รับ: y = 4+(-4)(x+2) เช่น y = -4x -4.

(E เท่ากับลบสี่ x ลบสี่)

เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = tanx (y เท่ากับแทนเจนต์ x) ที่จุดกำเนิดกัน เรามี: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ซึ่งหมายถึง f"(0) = l. แทนที่ค่าที่พบ a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ลงในสมการเราจะได้: y=x

ให้เราสรุปขั้นตอนของเราในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x โดยใช้อัลกอริทึม

อัลกอริทึมสำหรับการพัฒนาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1) กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a

2) คำนวณ f(a)

3) ค้นหา f'(x) และคำนวณ f'(a)

4) แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f'(a) ลงในสูตร ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก).

ตัวอย่างที่ 1 สร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = - in

จุด x = 1

สารละลาย. ให้เราใช้อัลกอริธึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย ในตัวอย่างนี้

2) ฉ(ก)=ฉ(1)=- =-1

3) ฉ'(x)=; ฉ'(ก)= ฉ'(1)= =1.

4) แทนที่ตัวเลขสามตัวที่พบ: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ลงในสูตร เราได้รับ: y = -1+(x-1), y = x-2 .

คำตอบ: y = x-2

ตัวอย่างที่ 2 รับฟังก์ชัน y = x 3 +3x 2 -2x-2. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ขนานกับเส้นตรง y = -2x +1

เมื่อใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราจะพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2แต่ไม่ได้ระบุจุดแอบซิสซาของจุดสัมผัสกันตรงนี้

เรามาเริ่มคิดแบบนี้กันดีกว่า แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y = -2x+1 และเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด: k แทนเจนต์ = -2. ฮกคาส = f"(a) ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a ได้จากสมการ f ´(a) = -2

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ย=ฉ(x):

ฉ"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;ฉ"(ก)= 3a 2 +6a-2

จากสมการ f"(a) = -2 เช่น 3เอ 2 +6เอ-2=-2 เราพบว่า 1 =0, 2 =-2 ซึ่งหมายความว่ามีสองแทนเจนต์ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: อันหนึ่งอยู่ที่จุด Abscissa 0 และอีกอันอยู่ที่จุด Abscissa -2

ตอนนี้คุณสามารถปฏิบัติตามอัลกอริทึมได้แล้ว

1) ก 1 =0 และ 2 =-2

2) ฉ(ก 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; ฉ(ก 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) ฉ"(ก 1) = ฉ"(ก 2) = -2

4) แทนที่ค่า a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2

แทนค่า a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=6-2(x+2), y=-2x+2

คำตอบ: y=-2x-2, y=-2x+2

ตัวอย่างที่ 3 จากจุด (0; 3) วาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = . สารละลาย. ลองใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = . โปรดทราบว่าในตัวอย่างที่ 2 นี้ จะไม่มีการระบุค่า Abscissa ของจุดสัมผัสกันอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราปฏิบัติตามอัลกอริธึม

1) ให้ x = a เป็น abscissa ของจุดสัมผัส เห็นได้ชัดว่า a >0

3) ฉ'(x)=()'=; ฉ'(ก) =.

4) การแทนค่าของ a, f(a) = , f"(a) = ลงในสูตร

y=f (ก) +f "(ก) (x-a), เราได้รับ:

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์จะผ่านจุด (0; 3) แทนที่ค่า x = 0, y = 3 ลงในสมการเราจะได้: 3 = แล้ว =6, a =36

อย่างที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริธึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัสกัน แทนค่า a =36 ลงในสมการ เราจะได้: y=+3

ในรูป รูปที่ 1 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน y = ถูกสร้างขึ้น และลากเส้นตรง y = +3

คำตอบ: y = +3

เรารู้ว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนั้นใช้ได้: Δyf´(x)Δx (เดลต้า y มีค่าประมาณเท่ากับ eff ไพรม์ของ x คูณด้วยเดลต้า x)

หรือในรายละเอียดมากขึ้น f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff จาก x บวก เดลต้า x ลบ ef จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ eff ไพรม์จาก x คูณ delta x)

เพื่อความสะดวกในการอภิปรายต่อไป ให้เราเปลี่ยนสัญลักษณ์:

แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน ก,

แทนที่จะเป็น x+Δx เราจะเขียน x

แทนที่จะเป็น Δx เราจะเขียน x-a

จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนไว้ด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ฉ(x)-f(ก)ฉ'(ก)(x-a)

ฉ(x)ฉ(ก)+ฉ'(ก)(x-a) (eff จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ ef จาก a บวก ef ไพรม์จาก a คูณด้วยผลต่างระหว่าง x และ a)

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2.003 6

สารละลาย. เรากำลังพูดถึงการค้นหาค่าของฟังก์ชัน y = x 6 ที่จุด x = 2.003 ลองใช้สูตร f(x)f(a)+f´(a)(x-a) โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 และด้วยเหตุนี้ f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192

เป็นผลให้เราได้รับ:

2.003 6 64+192· 0.003 เช่น 2.003 6 =64.576.

หากเราใช้เครื่องคิดเลขเราจะได้:

2,003 6 = 64,5781643...

อย่างที่คุณเห็นความแม่นยำในการประมาณนั้นค่อนข้างยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 1กำหนดให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) = 3x 2 + 4x– 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ที่จุดกราฟโดยมีจุด Abscissa x 0 = 1.

สารละลาย.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหาเธอกันเถอะ:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

แล้ว ฉ(x 0) = ฉ(1) = 2; (x 0) = = 10 สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (x 0) (x – x 0) + ฉ(x 0),

ย = 10(x – 1) + 2,

ย = 10x – 8.

คำตอบ. ย = 10x – 8.

ตัวอย่างที่ 2กำหนดให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ขนานกับเส้นตรง ย = 2x – 11.

สารละลาย.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหาเธอกันเถอะ:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.

เนื่องจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดแอบซิสซา x 0 ขนานกับเส้นตรง ย = 2x– 11 ดังนั้นความชันของมันเท่ากับ 2 นั่นคือ ( x 0) = 2 ลองหา Abscissa นี้จากเงื่อนไขว่า 3 x– 6x 0 + 2 = 2 ความเท่าเทียมกันนี้จะใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น x 0 = 0 และที่ x 0 = 2 เนื่องจากในทั้งสองกรณี ฉ(x 0) = 5 แล้วตรง ย = 2x + ขแตะกราฟของฟังก์ชันที่จุด (0; 5) หรือที่จุด (2; 5)

ในกรณีแรกมันเป็นเรื่องจริง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข 5 = 2×0 + ข, ที่ไหน ข= 5 และในกรณีที่สอง ความเท่าเทียมกันของตัวเลข 5 = 2×2 + เป็นจริง ข, ที่ไหน ข = 1.

มันจึงมีแทนเจนต์สองตัว ย = 2x+5 และ ย = 2x+1 ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้นตรง ย = 2x – 11.

คำตอบ. ย = 2x + 5, ย = 2x + 1.

ตัวอย่างที่ 3กำหนดให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 – 6x+ 7. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ผ่านจุดนั้น ก (2; –5).

สารละลาย.เพราะ ฉ(2) –5 แล้วชี้ กไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x). อนุญาต x 0 - abscissa ของจุดสัมผัสกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหาเธอกันเถอะ:

= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.

แล้ว ฉ(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6 สมการแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้

ย = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

ย = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

ตั้งแต่จุด กเป็นของแทนเจนต์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันของตัวเลขจึงเป็นจริง

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

ที่ไหน x 0 = 0 หรือ x 0 = 4 ซึ่งหมายความว่าผ่านจุด กคุณสามารถวาดแทนเจนต์สองตัวบนกราฟของฟังก์ชันได้ ฉ(x).

ถ้า x 0 = 0 ดังนั้นสมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ ย = –6x+ 7. ถ้า x 0 = 4 ดังนั้นสมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ ย = 2x – 9.

คำตอบ. ย = –6x + 7, ย = 2x – 9.

ตัวอย่างที่ 4ฟังก์ชั่นที่ได้รับ ฉ(x) = x 2 – 2x+2 และ ก(x) = –x 2 – 3. มาเขียนสมการแทนเจนต์ร่วมลงในกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน

สารละลาย.อนุญาต x 1 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นที่ต้องการกับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ก x 2 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นเดียวกันกับกราฟของฟังก์ชัน ก(x).

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหาเธอกันเถอะ:

= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.

แล้ว ฉ(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2 สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

ย = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ก(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

คำแนะนำ

เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับเส้นโค้งที่จุด M
เส้นโค้งที่แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) มีความต่อเนื่องในบริเวณใกล้จุด M (รวมถึงจุด M ด้วย)

หากไม่มีค่า f'(x0) แสดงว่าไม่มีค่าแทนเจนต์หรือค่านั้นทำงานในแนวตั้ง ด้วยเหตุนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้นความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงชัดเจน - การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์

ค้นหาค่า Abscissa ของจุดสัมผัสซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร "a" ถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสัมผัสจุดที่กำหนด "a" จะเป็นพิกัด x ของมัน กำหนดค่า ฟังก์ชั่น f(a) โดยการแทนที่ลงในสมการ ฟังก์ชั่นค่าแอบซิสซา

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของสมการ ฟังก์ชั่น f'(x) และแทนค่าของจุด "a" ลงไป

นำสมการแทนเจนต์ทั่วไปซึ่งกำหนดเป็น y = f(a) = f (a)(x – a) และแทนที่ค่าที่พบของ a, f(a), f "(a) ลงไป ผลที่ได้คือคำตอบของกราฟจะพบและแทนเจนต์

แก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นหากจุดสัมผัสกันที่กำหนดไม่ตรงกับจุดสัมผัสกัน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแทนที่ "a" แทนตัวเลขในสมการแทนเจนต์ หลังจากนี้แทนที่จะใช้ตัวอักษร "x" และ "y" ให้แทนที่ค่าพิกัดของจุดที่กำหนด แก้สมการผลลัพธ์ที่ไม่ทราบค่า “a” แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์

เขียนสมการแทนเจนต์ด้วยตัวอักษร "a" หากข้อความปัญหาระบุสมการ ฟังก์ชั่นและสมการ เส้นขนานสัมพันธ์กับแทนเจนต์ที่ต้องการ หลังจากนี้เราต้องการอนุพันธ์ ฟังก์ชั่น

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทุกประเภทเพื่อค้นหา

มาจำกัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ถ้าวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของแทนเจนต์ (เท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน) จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตรงจุด

ลองใช้จุดใดก็ได้บนแทนเจนต์ด้วยพิกัด:

และพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ในรูปสามเหลี่ยมนี้

จากที่นี่

นี่คือสมการของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราเพียงแต่ต้องรู้สมการของฟังก์ชันและจุดที่วาดแทนเจนต์เท่านั้น จากนั้นเราจะสามารถค้นหา และ .

โจทย์สมการแทนเจนต์มีสามประเภทหลักๆ

1. มีจุดติดต่อ

2. ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความชันแทนเจนต์ นั่นคือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

3. กำหนดให้คือพิกัดของจุดที่วาดแทนเจนต์ แต่ไม่ใช่จุดสัมผัส

มาดูงานแต่ละประเภทกันดีกว่า

1. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุด .

.

b) ค้นหามูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด . ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน

แทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์:

ลองเปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน เราได้รับ:

คำตอบ: .

2. ค้นหาจุดแอบซิสซาของจุดที่ฟังก์ชันสัมผัสกันกับกราฟ ขนานกับแกน x

ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน x มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกนจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดสัมผัสเป็นศูนย์

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

b) ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วค้นหาค่าที่แทนเจนต์ขนานกับแกน:

เมื่อเทียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ เราจะได้:

คำตอบ: 0;3;5

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน , ขนาน ตรง .

แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง ความชันของเส้นนี้คือ -1 เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นนี้ ดังนั้น ความชันของแทนเจนต์จึงเป็น -1 ด้วย นั่นคือ เรารู้ความชันของแทนเจนต์และด้วยเหตุนี้ มูลค่าอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส.

นี่เป็นปัญหาประเภทที่สองในการค้นหาสมการแทนเจนต์

ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน

ก) ค้นหาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ -1

ก่อนอื่น มาหาสมการอนุพันธ์กันก่อน

ลองเทียบอนุพันธ์กับเลข -1 กัน

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

.

b) ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด .

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

ลองแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์:

.

คำตอบ:

4. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับเส้นโค้ง , ผ่านจุดหนึ่ง

ขั้นแรก ลองตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นจุดสัมผัสกันหรือไม่ หากจุดหนึ่งเป็นจุดสัมผัสกัน จุดนั้นจะอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และพิกัดของจุดนั้นต้องเป็นไปตามสมการของฟังก์ชัน ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการของฟังก์ชันกัน

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} จำนวนลบความเท่าเทียมกันไม่เป็นความจริง และจุดไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และ ไม่ใช่จุดติดต่อ

นี่เป็นปัญหาประเภทสุดท้ายในการค้นหาสมการแทนเจนต์ สิ่งแรก เราจำเป็นต้องหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน.

มาหาค่ากัน.

ให้เป็นจุดติดต่อ จุดนั้นเป็นของแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน หากเราแทนพิกัดของจุดนี้ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

.

ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ .

ลองหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน นี้ .

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับ .

ลองแทนนิพจน์ของ และ เข้าไปในสมการแทนเจนต์กัน เราได้รับสมการสำหรับ:

เรามาแก้สมการนี้กัน

ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนลง 2:

ให้เราลดด้านขวาของสมการลง ตัวส่วนร่วม. เราได้รับ:

ลองลดความซับซ้อนของเศษของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างด้วย - นิพจน์นี้มากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เราได้สมการ

มาแก้กันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามายกกำลังทั้งสองส่วนแล้วไปที่ระบบกัน

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

มาแก้สมการแรกกัน

มาตัดสินใจกัน สมการกำลังสอง, เราได้รับ

รูทที่สองไม่ตรงตามเงื่อนไข title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

ลองเขียนสมการแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่จุดนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนค่าลงในสมการ - เราบันทึกไว้แล้ว

คำตอบ:
.

ประเภทงาน: 7

เงื่อนไข

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 จงหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

คำตอบ

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ดังนั้น เราจะพบค่า x_0 โดยที่ =- 2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(-6; 2) และ B(-1; 1) ให้เราแสดงด้วย C(-6; 1) จุดตัดกันของเส้นตรง x=-6 และ y=1 และด้วย \alpha มุม ABC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะทำให้เกิดมุม \pi -\alpha โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งเป็นมุมป้าน

ดังที่ทราบกันดีว่า tg(\pi -\alpha) จะเป็นค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0 สังเกตว่า tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.จากที่นี่ เมื่อใช้สูตรการลด เราจะได้: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-2x-4 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 ค้นหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่ามากกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 โดยที่

สัมผัสกับกราฟนี้

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งก็คือ y"(x_0)=32x_0+b=-2 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4 \end(กรณี)

เมื่อแก้ระบบ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=1 จากนั้น b=-2-32x_0=-34

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y=6

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

เส้นตรง y=6 ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้วอยู่ 4 จุด

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=4x-6 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=2x-4 ซึ่งหมายถึง y"(x_0)= 2x_0-4 ความชันของแทนเจนต์ y =4x-7 ที่ระบุในเงื่อนไขจะเท่ากับ 4 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ดังนั้น เราจึงหาค่า x_0 โดยที่ 2x_0-4 = 4 เรา ได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x_0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(1; 1) และ B(5; 4) ให้เราแสดงด้วยจุดตัดของเส้นตรง x=5 และ y=1 ด้วย C(5; 1) และด้วย \alpha มุม BAC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะสร้างมุม \อัลฟา โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox