ทฤษฎีเซตของคันทอร์ Georg Cantor: ทฤษฎีเซต ชีวประวัติ และครอบครัวของนักคณิตศาสตร์

Kantor เบื้องหลังทัศนคติที่น่าขันต่อชีวประวัติของเขาเอง Carl Icahn แทบจะไม่สามารถซ่อนความสับสนที่น่ารำคาญของเขาได้: “หากคุณซื้ออสังหาริมทรัพย์ในย่านใดๆ ของนิวยอร์กในช่วงทศวรรษที่ 50 คุณจะได้รับเงินจำนวนมากอย่างแน่นอนในอนาคต ในละแวกใกล้เคียงใดก็ได้ ยกเว้นควีนส์

ทฤษฎีจำนวนอนันต์ของคันทอร์ถูกมองว่าไร้เหตุผล ขัดแย้งกัน และน่าตกใจจนต้องถูกวิจารณ์อย่างรุนแรงจากนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัย โดยเฉพาะลีโอโปลด์ โครเนกเกอร์ และอองรี ปัวน์กาเร ต่อมา - แฮร์มันน์ ไวล์ และลอยท์เซิน เบราเวอร์ และลุดวิก วิตเกนชไตน์ แสดงความคิดเห็นเชิงปรัชญา (ดูข้อพิพาทเกี่ยวกับทฤษฎีของคันทอร์) นักเทววิทยาคริสเตียนบางคน (โดยเฉพาะตัวแทนของนีโอโทมอซึม) มองว่าในงานของคันทอร์เป็นการท้าทายต่อความเป็นเอกลักษณ์ของความไม่มีที่สิ้นสุดอันสมบูรณ์แห่งธรรมชาติของพระเจ้า ซึ่งครั้งหนึ่งเคยเทียบเคียงทฤษฎีของจำนวนอนันต์และลัทธิแพนเทวนิยม การวิจารณ์ผลงานของเขาบางครั้งก็รุนแรงมาก เช่น Poincaré เรียกความคิดของเขาว่า "โรคร้ายแรง" ที่ส่งผลต่อวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และในคำแถลงต่อสาธารณะและการโจมตีส่วนตัวของ Kronecker ต่อ Cantor บางครั้งก็ปรากฏคำฉายาเช่น "คนหลอกลวงทางวิทยาศาสตร์" "ผู้ละทิ้งความเชื่อ" และ "ผู้คอร์รัปชั่นเยาวชน" หลายทศวรรษหลังจากการเสียชีวิตของคันทอร์ วิตเกนสไตน์ตั้งข้อสังเกตอย่างขมขื่นว่าคณิตศาสตร์ถูก "เหยียบย่ำไปมาโดยสำนวนทำลายล้างของทฤษฎีเซต" ซึ่งเขามองว่าเป็น "ตัวตลก" "ไร้สาระ" และ "ผิดพลาด" การโจมตีภาวะซึมเศร้าที่เกิดขึ้นซ้ำๆ เป็นระยะๆ ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2427 จนถึงสิ้นสมัยของคันทอร์ถูกตำหนิมาระยะหนึ่งแล้วว่าเป็นคนรุ่นเดียวกันที่เข้ารับตำแหน่งที่ก้าวร้าวมากเกินไป แต่ปัจจุบันเชื่อกันว่าการโจมตีเหล่านี้อาจเป็นการแสดงออกถึง โรคอารมณ์สองขั้ว.

การวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงกลับถูกตอบโต้ด้วยชื่อเสียงและเสียงไชโยโห่ร้องไปทั่วโลก ในปีพ.ศ. 2447 ราชสมาคมแห่งลอนดอนได้มอบเหรียญซิลเวสเตอร์แก่คันทอร์ ซึ่งเป็นเกียรติสูงสุดที่มอบให้ได้ คันทอร์เองก็เชื่อว่าทฤษฎีจำนวนอนันต์ถูกสื่อสารถึงเขาจากเบื้องบน ครั้งหนึ่ง David Gilbert ปกป้องเธอจากการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกล้าหาญว่า: "ไม่มีใครจะขับไล่เราออกจากสวรรค์ที่ Cantor ก่อตั้งขึ้นได้"

ชีวประวัติ

ช่วงปีแรกและการศึกษา

Kantor เกิดในปี 1845 ใน Western Merchant Colony ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และเติบโตที่นั่นจนกระทั่งอายุ 11 ปี จอร์จเป็นลูกคนโตในบรรดาลูกหกคน เขาเล่นไวโอลินอย่างเชี่ยวชาญโดยสืบทอดความสามารถทางศิลปะและดนตรีที่สำคัญจากพ่อแม่ของเขา พ่อของครอบครัวเป็นสมาชิกของตลาดหลักทรัพย์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เมื่อเขาล้มป่วย ครอบครัวนี้หวังว่าจะมีอากาศอบอุ่นขึ้น จึงย้ายไปเยอรมนีในปี พ.ศ. 2399 โดยตอนแรกไปที่วีสบาเดิน จากนั้นจึงไปที่แฟรงก์เฟิร์ต ในปี 1860 จอร์จสำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมจากโรงเรียนจริงในดาร์มสตัดท์ ครูสังเกตเห็นความสามารถพิเศษของเขาในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติ ในปี พ.ศ. 2405 นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังในอนาคตได้เข้าเรียนที่สถาบันโพลีเทคนิคแห่งสหพันธรัฐในเมืองซูริก (ปัจจุบันคือ ETH Zurich) หนึ่งปีต่อมาบิดาของเขาเสียชีวิต หลังจากได้รับมรดกมากมาย Georg จึงย้ายไปที่มหาวิทยาลัย Humboldt แห่งเบอร์ลิน ซึ่งเขาเริ่มเข้าร่วมการบรรยายโดยนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังเช่น Leopold Kronecker, Karl Weierstrass และ Ernst Kummer เขาใช้เวลาช่วงฤดูร้อนปี 1866 ที่มหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งในขณะนั้นและแม้กระทั่งในปัจจุบันนี้ เขาเป็นศูนย์กลางทางความคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาก ในปี พ.ศ. 2410 มหาวิทยาลัยเบอร์ลินได้มอบปริญญาปรัชญาดุษฎีบัณฑิตแก่เขาจากผลงานทฤษฎีจำนวน "De aequationibus secundi gradus indeterminatis"

นักวิทยาศาสตร์และนักวิจัย

หลังจากเป็นครูในโรงเรียนสตรีในเบอร์ลินได้ไม่นาน คันทอร์ก็เข้ารับตำแหน่งที่ Martin Luther University of Halle ซึ่งเขาจะใช้เวลาทั้งอาชีพการงาน เขาได้รับทักษะที่จำเป็นในการสอนวิทยานิพนธ์เรื่องทฤษฎีจำนวน

ในปีพ.ศ. 2417 คันทอร์แต่งงานกับวัลลี กัตต์มันน์ พวกเขามีลูก 6 คน คนสุดท้ายเกิดในปี พ.ศ. 2429 แม้ว่าเขาจะได้รับเงินเดือนทางวิชาการเพียงเล็กน้อย แต่ Kantor ก็สามารถหาเลี้ยงครอบครัวได้อย่างสะดวกสบายด้วยมรดกที่เขาได้รับจากพ่อของเขา ฮันนีมูนต่อในเทือกเขาฮาร์ซ Cantor ใช้เวลาส่วนใหญ่ในการสนทนาทางคณิตศาสตร์กับ Richard Dedekind ซึ่งเขาได้สร้างมิตรภาพเมื่อสองปีก่อนในช่วงพักร้อนในสวิตเซอร์แลนด์

คันทอร์ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ภายนอกในปี พ.ศ. 2415 และในปี พ.ศ. 2422 ได้เป็นศาสตราจารย์เต็มตัว การได้รับตำแหน่งนี้เมื่ออายุ 34 ปีถือเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ แต่ Kantor ใฝ่ฝันที่จะได้ตำแหน่งในมหาวิทยาลัยที่มีชื่อเสียงมากกว่า เช่น เบอร์ลิน ซึ่งในขณะนั้นเป็นมหาวิทยาลัยชั้นนำในเยอรมนี อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีของเขาถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างหนัก และความฝันของเขาก็ไม่เป็นจริง โครเนกเกอร์ ซึ่งเป็นหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน รู้สึกไม่ประทับใจมากขึ้นเรื่อยๆ กับโอกาสที่จะมีเพื่อนร่วมงานอย่างคันทอร์ โดยมองว่าเขาเป็น "ผู้ทำลายเยาวชน" ซึ่งเติมเต็มความคิดของเขาในหัวของนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ นอกจากนี้ โครเนกเกอร์ซึ่งเป็นบุคคลสำคัญในชุมชนคณิตศาสตร์และเป็นอดีตอาจารย์ของคันทอร์ ไม่เห็นด้วยกับเนื้อหาของทฤษฎีหลังโดยพื้นฐาน โครเนกเกอร์ ซึ่งปัจจุบันถือว่าเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ ไม่เป็นมิตรต่อทฤษฎีเซตของคันทอร์ เพราะมันยืนยันว่าเซตมีอยู่จริงซึ่งมีคุณสมบัติบางประการ - โดยไม่ได้ระบุให้ ตัวอย่างเฉพาะชุดที่มีองค์ประกอบที่จะตอบสนองคุณสมบัติเหล่านี้ได้จริง คันทอร์ตระหนักว่าตำแหน่งของโครเนกเกอร์จะไม่ยอมให้เขาออกจากมหาวิทยาลัยกอลล์ด้วยซ้ำ

ในปี พ.ศ. 2424 เอดูอาร์ด ไฮเนอ เพื่อนร่วมงานของคันทอร์เสียชีวิตโดยทิ้งตำแหน่งว่างไว้เบื้องหลัง ฝ่ายบริหารของมหาวิทยาลัยยอมรับข้อเสนอของคันทอร์ที่จะเชิญ Richard Dedekind, Heinrich Weber หรือ Franz Mertenz (ตามลำดับ) ให้เข้าร่วมโพสต์นี้ แต่พวกเขาทั้งหมดปฏิเสธ ในที่สุดฟรีดริช วังเกรินก็เข้ามารับตำแหน่งนี้ แต่เขาไม่เคยเป็นเพื่อนของคันตอร์เลย

ในปีพ.ศ. 2425 การติดต่อทางวิทยาศาสตร์กับ Dedekind ยุติลง ซึ่งอาจเป็นผลมาจากการที่คนหลังปฏิเสธจากตำแหน่งใน Halle ในเวลาเดียวกัน คันทอร์ได้สร้างการติดต่อที่สำคัญอีกครั้งกับ Gösta Mittag-Leffler ซึ่งอาศัยอยู่ในสวีเดน และในไม่ช้าก็เริ่มตีพิมพ์ในวารสาร Acta mathematica ของเขา อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2428 Mittag-Leffler เริ่มตื่นตระหนกกับนัยทางปรัชญาและคำศัพท์ใหม่ในบทความที่ Cantor ส่งให้เขาเพื่อตีพิมพ์ เขาขอให้ Kantor ถอนบทความของเขาในขณะที่ยังอยู่ระหว่างการตรวจทาน โดยเขียนว่าบทความนี้ "เร็วกว่าเวลาประมาณร้อยปี" Kantor เห็นด้วย แต่ระบุไว้ในการติดต่อกับบุคคลอื่น:

ต่อจากนี้ Kantor ก็ตัดความสัมพันธ์และการติดต่อกับ Mittag-Leffler ทันทีโดยแสดงให้เห็นถึงแนวโน้มที่จะรับรู้ถึงความสมหวัง ความตั้งใจที่ดีการวิพากษ์วิจารณ์ว่าเป็นการดูถูกส่วนตัวอย่างลึกซึ้ง

คันทอร์ประสบภาวะซึมเศร้าครั้งแรกในปี พ.ศ. 2427 การวิพากษ์วิจารณ์งานของเขาทำให้จิตใจของเขาหนักใจ: จดหมายทุกฉบับจาก 52 ฉบับที่เขาเขียนถึง Mattag-Leffler ในปี พ.ศ. 2427 ถูกโจมตีโดย Kronecker ข้อความที่ตัดตอนมาจากจดหมายฉบับหนึ่งแสดงให้เห็นถึงขอบเขตของความเสียหายที่เกิดขึ้นกับความรู้สึกมั่นใจในตนเองของคันทอร์:

วิกฤติทางอารมณ์นี้ทำให้เขาเปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์มาเป็นปรัชญาและเริ่มบรรยายเกี่ยวกับเรื่องนี้ นอกจากนี้ คันทอร์เริ่มศึกษาวรรณคดีอังกฤษในยุคเอลิซาเบธอย่างเข้มข้น เขาพยายามพิสูจน์ว่าบทละครที่เกี่ยวข้องกับเชคสเปียร์เขียนโดยฟรานซิสเบคอนจริงๆ (ดูคำถามเกี่ยวกับการประพันธ์ของเชกสเปียร์); ในที่สุดผลงานนี้ก็ได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือชี้ชวนสองฉบับในปี พ.ศ. 2439 และ พ.ศ. 2440

ไม่นานหลังจากนั้น คันทอร์ก็ฟื้นขึ้นมา และได้เพิ่มสิ่งสำคัญหลายประการในทฤษฎีของเขาทันที โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อโต้แย้งและทฤษฎีบทแนวทแยงอันโด่งดังของเขา อย่างไรก็ตาม เขาจะไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนั้นได้ ระดับสูงซึ่งอยู่ในผลงานของเขาในปี พ.ศ. 2417-2427 ในท้ายที่สุด เขาเข้าหาโครเนกเกอร์พร้อมข้อเสนอสันติภาพ ซึ่งเขายอมรับอย่างดี อย่างไรก็ตามความแตกต่างและความยากลำบากทางปรัชญาที่แยกพวกเขายังคงอยู่ เชื่อกันว่าอาการซึมเศร้าเป็นระยะๆ ของ Cantor มีความเกี่ยวข้องกับการปฏิเสธงานของเขาอย่างรุนแรงของ Kronecker แม้ว่าภาวะซึมเศร้าของเขาจะส่งผลกระทบอย่างมากต่อความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์ของคันทอร์และปัญหาของเขากับคนบางคน แต่ก็ไม่น่าจะเป็นสาเหตุทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม การวินิจฉัยมรณกรรมของเขาว่าเป็นโรคจิตคลั่งไคล้และซึมเศร้าเป็นสาเหตุหลักที่ทำให้อารมณ์คาดเดาไม่ได้ของเขา

ในปี พ.ศ. 2433 คันทอร์มีส่วนสนับสนุนการก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์แห่งเยอรมัน (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) และเป็นประธานการประชุมครั้งแรกที่เมืองฮัลเลอในปี พ.ศ. 2434 ในเวลานั้นชื่อเสียงของเขาแข็งแกร่งเพียงพอ แม้จะเผชิญกับการต่อต้านของโครเนกเกอร์ก็ตาม เพื่อให้เขาได้รับเลือกให้เป็นประธานาธิบดีคนแรกของสังคมนี้ เมื่อเมินเฉยต่อความเป็นศัตรูของเขาที่มีต่อโครเนกเกอร์ Kantor เชิญเขามาพูด แต่ Kronecker ไม่สามารถทำเช่นนั้นได้เนื่องจากภรรยาของเขาเสียชีวิต

วัตถุที่ตั้งชื่อตามคันทอร์

• ชุดคันทอร์คือชุดต่อเนื่องของการวัดเป็นศูนย์บนเซ็กเมนต์
• ฟังก์ชั่นคันทอร์ (บันไดคันทอร์);
• ฟังก์ชันการนับเลขของคันทอร์คือการโยงกำลังคาร์ทีเซียนของเซตของจำนวนธรรมชาติเข้ากับตัวมันเอง
• ทฤษฎีบทของคันทอร์ (ดูทฤษฎีบทของคันทอร์ (ความหมาย)) ว่าภาวะเชิงการนับของเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนดนั้นมากกว่าความเป็นเชิงการนับของเซตนั้นอย่างเคร่งครัด
• ทฤษฎีบทคันทอร์-เบิร์นสไตน์เรื่องความสมมูลของเซต A และ B โดยมีเงื่อนไขว่า A เท่ากับเซตย่อย B และ B เท่ากับเซตย่อย A
• ทฤษฎีบทคันทอร์-ไฮน์เรื่องความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตที่มีขนาดกะทัดรัด
• ทฤษฎีบทคันทอร์-เบนดิกซ์สัน
• เหรียญคันทอร์เป็นรางวัลทางคณิตศาสตร์ที่มอบให้โดยสมาคมคณิตศาสตร์แห่งเยอรมัน
• เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

บทความ

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / ชม. วอน อี. เซอร์เมโล. บ., 1932.

เกิดเมื่อวันที่ 3 มีนาคม พ.ศ. 2388 ในเมืองเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และเติบโตที่นั่นจนอายุ 11 ปี พ่อของครอบครัวเป็นสมาชิกของตลาดหลักทรัพย์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เมื่อเขาล้มป่วย ครอบครัวนี้หวังว่าจะมีอากาศอบอุ่นขึ้น จึงย้ายไปเยอรมนีในปี พ.ศ. 2399 โดยตอนแรกไปที่วีสบาเดิน จากนั้นจึงไปที่แฟรงก์เฟิร์ต ในปี 1860 จอร์จสำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมจากโรงเรียนจริงในดาร์มสตัดท์ ครูสังเกตเห็นความสามารถพิเศษของเขาในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติ เขาศึกษาต่อที่ Federal Polytechnic Institute ในเมืองซูริก หนึ่งปีต่อมาหลังจากการตายของพ่อของเขา จอร์จได้รับมรดกและย้ายไปที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ที่นั่นเขาเข้าร่วมการบรรยายโดย Kronecker, Weierstrass และ Kummer คันทอร์ใช้เวลาช่วงฤดูร้อนปี 1866 ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงน ซึ่งเป็นศูนย์กลางสำคัญของความคิดทางคณิตศาสตร์ ในปี 1967 เขาได้รับปริญญาเอกในกรุงเบอร์ลินจากผลงานทฤษฎีจำนวน "De aequationibus secundi gradus indeterminatis"

หลังจากเป็นครูในโรงเรียนสตรีในเบอร์ลินได้ไม่นาน คันทอร์ก็เข้ารับตำแหน่งที่ Martin Luther University of Halle ซึ่งเขาจะใช้เวลาทั้งอาชีพการงาน ในปีพ.ศ. 2415 เขาได้เป็นรองศาสตราจารย์ จากนั้นในช่วงพักร้อน เขาได้ผูกมิตรกับ Richard Dedekind เมื่ออายุ 34 ปี Kantor กลายเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ ในปี พ.ศ. 2422-27 เขาได้อธิบายหลักคำสอนเรื่องอนันต์ของเขาอย่างเป็นระบบ “แนะนำแนวคิดของจุดจำกัด เซตอนุพันธ์ สร้างตัวอย่างของเซตสมบูรณ์ พัฒนาหนึ่งในทฤษฎีของจำนวนอตรรกยะ และสร้างหนึ่งในสัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง” แม้จะประสบความสำเร็จในอาชีพการงาน แต่เขาฝันถึงตำแหน่งในมหาวิทยาลัยที่มีชื่อเสียงมากกว่า เช่น เบอร์ลิน อย่างไรก็ตาม ความฝันไม่เป็นจริง: คนรุ่นราวคราวเดียวกันหลายคน รวมถึงโครเนกเกอร์ ซึ่งปัจจุบันถือว่าเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ ไม่เห็นด้วยกับทฤษฎีเซตของคันทอร์ เนื่องจากทฤษฎีนี้ยืนยันว่ามีเซตที่เป็นไปตามคุณสมบัติบางประการ - โดยไม่ต้องยกตัวอย่างที่เจาะจงของ ชุดที่มีองค์ประกอบที่จะตอบสนองคุณสมบัติเหล่านี้ได้จริง

ในปี 1984 คันทอร์ประสบภาวะซึมเศร้าอย่างรุนแรงและละทิ้งคณิตศาสตร์ไปชั่วคราว และเปลี่ยนความสนใจของเขาไปสู่ปรัชญา จากนั้นเขาก็กลับไปทำงาน ในปี พ.ศ. 2440 เขาหยุด ความคิดสร้างสรรค์ทางวิทยาศาสตร์- คันตอร์เสียชีวิตในเมืองฮัลเลอเมื่อวันที่ 6 มกราคม พ.ศ. 2461

หนึ่งใน ปัญหาในปัจจุบันศตวรรษที่ 19 มีปัญหาในการแบ่งส่วนที่ไม่สิ้นสุดและการมีอยู่ของจุดที่เป็นของกลุ่มที่ทำสัญญาดังกล่าวทั้งหมด ปัญหานี้จำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องจำนวนจริง

โครงสร้างทฤษฎีจำนวนจริงของคันทอร์ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2415 เกือบจะพร้อมกันกับทฤษฎีของไวเออร์ชตราสและเดเดไคนด์ ในการก่อสร้าง คันทอร์ดำเนินการจากการมีจำนวนตรรกยะ จากนั้นเขาก็แนะนำลำดับพื้นฐานของ Cauchy และกำหนดขีดจำกัดอย่างเป็นทางการให้กับลำดับเหล่านั้น ถัดไป จะพิจารณาแบ่งลำดับทั้งหมดออกเป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน ลำดับจะอยู่ในคลาสเดียวกันก็ต่อเมื่อผลต่างมีแนวโน้มเป็นศูนย์เท่านั้น นอกจากนี้ ขีดจำกัดอย่างเป็นทางการจะเท่ากันหากมีลำดับพื้นฐานสองลำดับที่เทียบเท่ากัน หรือ ความสัมพันธ์ลำดับมีการกำหนดดังนี้

ดังนั้น คลาสความเท่าเทียมกันจึงอธิบายจำนวนจริงบางตัวได้ ลองเรียกพวกมันว่าจำนวนจริงของลำดับแรกกัน หากเราพยายามสร้างจำนวนจริงของลำดับที่สูงกว่าด้วยการเขียนลำดับโคชีพื้นฐาน เราจะได้ชุดของจำนวนจริงของลำดับแรกอีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนจริงถูกปิด

คันทอร์ดึงความสนใจไปที่ความจริงที่ว่าคำจำกัดความของจำนวนจริงจริงๆ แล้วประกอบด้วยชุดของจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด: "... คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะใดๆ จะรวมชุดของกำลังแรกของจำนวนตรรกยะที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดเสมอ"

โปรดทราบว่าการก่อสร้างของคันทอร์สามารถสรุปได้ทั่วไปกับวัตถุอื่นๆ ซึ่งทำโดยคันทอร์และผู้ติดตามของเขา "การพัฒนาทฤษฎีจำนวนจริงถือเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญพอสมควรสำหรับการสร้างทฤษฎีเซต" ตัวอย่างเช่น จากการสร้างจำนวนจริง คันทอร์ได้พัฒนาทฤษฎีจำนวนอนันต์ของเขาขึ้นในเวลาต่อมา

นอกจากนี้ คันทอร์ยังได้นำเสนอแนวคิดเรื่องกำลังของเซตและพิสูจน์ความไม่สมดุลของจำนวนตรรกยะและจำนวนตรรกยะ

เอ็ด. เกซัมเมลเต อับฮันลุงเกน นักคณิตศาสตร์ คาด นักปรัชญา สูดดม, มิท เอ่อä นอกนั้น อังเมอร์คุงเกน โซวี มิท เช่นä ซุงเกน ออสเตรเลีย พวกเขา บรีฟเวคเซล คันทอร์- เดเดคินด์, เบอร์ลิน, แวร์ลัก ฟอน จูเลียส สปริงเกอร์, 1932

1. ช่วงการพัฒนา (พ.ศ. 2388-2414)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ผู้สร้างทฤษฎีเซตซึ่งเป็นหนึ่งในปรากฏการณ์ใหม่ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกของวิทยาศาสตร์ เกิดที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเมื่อวันที่ 19 กุมภาพันธ์ ศิลปะ สไตล์ (3 มีนาคม รูปแบบใหม่) พ.ศ. 2388 พ่อของเขา Georg Voldemar Kantor ซึ่งมีพื้นเพมาจากโคเปนเฮเกนมาถึงเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กตั้งแต่ยังเป็นเด็ก เขาตั้งสำนักงานนายหน้าไว้ที่นั่นภายใต้ชื่อของเขาเอง บางครั้งใช้ชื่อ “Cantor and Co” นักธุรกิจที่ขยันขันแข็งและประสบความสำเร็จเขาประสบความสำเร็จอย่างมากและทิ้งทรัพย์สมบัติอันสำคัญไว้หลังจากการเสียชีวิต (พ.ศ. 2406) เห็นได้ชัดเจนว่าเขาได้รับความเคารพอย่างสูงทั้งในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและเยอรมนีในเวลาต่อมา เนื่องจากโรคปอด เขาจึงย้ายไปอยู่กับครอบครัวที่เยอรมนีในปี พ.ศ. 2399 ในไม่ช้าเขาก็เลือกแฟรงก์เฟิร์ตออนเดอะเมนเป็นสถานที่พำนักของเขา ซึ่งเขาอาศัยอยู่ในฐานะผู้เช่า มาเรีย แม่ของคันทอร์ née Boehm มาจากครอบครัวที่สมาชิกหลายคนมีพรสวรรค์ในงานศิลปะแขนงต่างๆ อิทธิพลของเธอปรากฏชัดในจินตนาการอันล้นเหลือของลูกชายของเธออย่างไม่ต้องสงสัย ปู่ของเขา ลุดวิก โบห์ม เป็นหัวหน้าวงดนตรี โจเซฟน้องชายของปู่ซึ่งอาศัยอยู่ในเวียนนาเป็นอาจารย์ของโจอาคิมนักเล่นเชลโลอัจฉริยะชื่อดัง พี่ชายของ Maria Kantor ก็เป็นนักดนตรีเช่นกัน ส่วนน้องสาวของเธอ Annette มีลูกสาวที่เป็นศิลปินซึ่งสอนอยู่ที่โรงเรียนศิลปะและหัตถกรรมมิวนิก แนวศิลปะยังเห็นได้ชัดเจนจาก Konstantin น้องชายของ Georg Cantor ซึ่งเป็นนักเปียโนที่มีพรสวรรค์ และใน Sophia น้องสาวของเขา ซึ่งมีแนวโน้มในการวาดภาพเป็นพิเศษ

เด็กชายผู้มีพรสวรรค์ผู้มาเยือนเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก โรงเรียนประถมศึกษาแสดงให้เห็นความปรารถนาอันแรงกล้าที่จะเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ตั้งแต่เนิ่นๆ แล้ว อย่างไรก็ตามพ่อของเขาไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้ เมื่อพิจารณาจากอาชีพวิศวกรที่มีแนวโน้มว่าจะมีรายได้มากกว่า ในตอนแรกลูกชายก็ปฏิบัติตาม เขาเข้าเรียนที่โรงยิมในวีสบาเดินมาระยะหนึ่งแล้ว เช่นเดียวกับโรงเรียนเอกชนในแฟรงก์เฟิร์ตอัมไมน์ จากนั้นเขาก็เข้าไปในโรงเรียนที่แท้จริงของจังหวัดของราชรัฐเฮสส์ในดาร์มสตัดท์ในฤดูใบไม้ผลิปี พ.ศ. 2402 ซึ่งมีการสอนภาษาละตินด้วย จากนั้นเขาย้ายไปเรียนหลักสูตรทั่วไปของ Higher Craft School ในปี พ.ศ. 2403 (ต่อมาคือ Higher Technical School) พ่อของเขาดูแลการศึกษาของเขาด้วยความต้องการที่สูงผิดปกติ พระองค์ทรงให้ความสำคัญกับการฝึกฝนพลัง ความเข้มแข็งของอุปนิสัย และศาสนาตลอดชีวิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาเน้นย้ำถึงความสำคัญของการเรียนรู้พื้นฐานโดยสมบูรณ์ ภาษาสมัยใหม่- พ่อของเขาสั่งให้เขา (ในจดหมายเนื่องในโอกาสการยืนยันในปี พ.ศ. 2403) ให้ยืนหยัดอย่างมั่นคงแม้จะมีความเป็นปรปักษ์และบรรลุเป้าหมายเสมอ ลูกชายของฉันจำการโทรนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในระหว่างชั่วโมงนั้น การทดสอบที่รุนแรงและบางที จริงๆ แล้วการเลี้ยงดูบิดานี้ทำให้เราเป็นหนี้ความจริงที่ว่าจิตวิญญาณแห่งการสร้างสรรค์ของเขาไม่ได้ถูกทำลายก่อนเวลาอันควร และผลของมันก็ไม่ได้สูญหายไปให้กับลูกหลาน

เมื่อเวลาผ่านไป ความหลงใหลในคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งของลูกชายก็อดไม่ได้ที่จะส่งผลกระทบต่อพ่อของเขา ซึ่งจดหมายของเขายังเป็นพยานถึงความเคารพในวิทยาศาสตร์ของเขาด้วย ในจดหมายจากดาร์มสตัดท์ลงวันที่ 25 พฤษภาคม พ.ศ. 2405 และเป็นตัวแทนของจดหมายฉบับแรกที่ยังมีชีวิตรอดจากคันทอร์ ลูกชายสามารถแสดงความขอบคุณต่อพ่อของเขาที่อนุมัติแผนของเขา: "พ่อที่รัก! คุณคงจินตนาการได้ว่าจดหมายของคุณทำให้ฉันมีความสุขแค่ไหน มันกำหนดอนาคตของฉัน วันสุดท้ายฉันใช้เวลาไปกับความสงสัยและความไม่แน่นอน และไม่สามารถตัดสินใจอะไรได้ หน้าที่และความปรารถนาขัดแย้งกันอยู่ตลอดเวลา บัดนี้ข้าพเจ้าเป็นสุขแล้วที่ข้าพเจ้าจะไม่ทำให้ท่านเสียใจโดยทำตามใจชอบของตนเอง พ่อที่รัก ข้าพเจ้าหวังว่าข้าพเจ้าจะยังคงสามารถทำให้คุณมีความสุขได้ เพราะว่าจิตวิญญาณของข้าพเจ้าและชีวิตทั้งหมดของข้าพเจ้าอยู่ในการเรียกของข้าพเจ้า คนๆ หนึ่งทำในสิ่งที่เขาต้องการและสามารถทำได้ และสิ่งที่เสียงลึกลับที่ไม่รู้จักของเขาดึงดูดให้เขาไป!...”

ในฤดูใบไม้ร่วงปี พ.ศ. 2405 คันทอร์เริ่มเรียนที่เมืองซูริก แต่จากที่ที่เขาจากไปหลังจากภาคเรียนแรกเนื่องจากบิดาของเขาเสียชีวิต ตั้งแต่ฤดูใบไม้ร่วงปี พ.ศ. 2406 เขาศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และปรัชญาในกรุงเบอร์ลิน ซึ่งกลุ่มผู้ฟังทั้งสามแห่งคือ Kummer, Weierstrass และ Kronecker ดึงดูดผู้มีพรสวรรค์ที่ดีที่สุด โดยกระตุ้นจิตใจของผู้ฟังในวงกว้าง (ซึ่งค่อนข้างแคบ) ในหลากหลายทิศทาง เขาใช้เวลาเพียงภาคเรียนฤดูใบไม้ผลิของปี พ.ศ. 2409 ในเมืองเกิตทิงเงน อิทธิพลที่แข็งแกร่งที่สุดต่อเขา การพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ไม่ต้องสงสัยเลยว่านั่นคือ Weierstrass เป็นเรื่องน่าทึ่งและเป็นลักษณะเฉพาะของมุมมองที่กว้างไกลของไวเออร์ชตราสส์ การตัดสินที่ไม่มีอคติและเจาะลึกของเขา ด้วยความเข้าใจที่เห็นอกเห็นใจและชื่นชมความคิดที่แหวกแนวของนักเรียนตั้งแต่เนิ่นๆ ดังนั้นจึงเป็นการตอบสนองต่อความเคารพอย่างสุดซึ้งที่เขาแสดงให้เขาเห็นอย่างสม่ำเสมอตลอดชีวิตของเขา แม้จะจากไป ความขัดแย้ง ในช่วงปีที่เขาอยู่ที่เบอร์ลิน คันทอร์ไม่เพียงแต่เป็นสมาชิกของสมาคมคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นสมาชิกของกลุ่มเพื่อนร่วมงานรุ่นเยาว์ที่พบกันทุกสัปดาห์ที่ร้านเหล้าของ Remel; ไม่นับแขกเป็นครั้งคราว Henoch (ผู้จัดพิมพ์ "Fortschritte" ("ความสำเร็จ") ในอนาคต), Lampe, Mertens, Max Simon, Thome; ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลินคือ G. . A. Schwartz ซึ่งมีอายุมากกว่าสองปี อย่างไรก็ตาม เขาได้พบกับแนวคิดของ Cantor ด้วยความไม่ไว้วางใจอย่างมาก ตรงกันข้ามกับอาจารย์ของเขา Weierstrass และเขาได้เตือนเขาเป็นพิเศษจนกระทั่งถึงวาระสุดท้ายของชีวิต นักเรียนต่อต้านพวกเขา เช่นเดียวกับ Kronecker นักศึกษาอายุยี่สิบสองปีปกป้องการป้องกันของเขาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน วิทยานิพนธ์ซึ่งเกิดขึ้นจากการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับ Disquisitiones arithmeticae (“Studies in Arithmetic”) และ “ทฤษฎีตัวเลข” ของ Legendre และได้รับการประเมินโดยคณาจารย์ว่าเป็น “dissertatio docta et ingeniosa” (“การให้เหตุผลเชิงวิชาการและแยบยล”) * งานนี้อยู่ติดกับสูตรเกาส์สำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ ขวาน 2 + ก"x" 2 + ก"x" 2 = 0; มันสร้างความสัมพันธ์บางอย่างที่เกาส์ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน การอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับงานของ Cantor มีอยู่ในชีวประวัติโดยละเอียดที่ฉันเขียนถึงเขา ซึ่งตีพิมพ์ใน Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, vol. 39 (1930), หน้า 189-266 รวมถึงในหนังสือแยกต่างหาก: "Georg Cantor" ไลพ์ซิกและเบอร์ลิน 2473- เขาอุทิศมันให้กับผู้ปกครองของเขา (ในเวลาเดียวกันกับผู้ปกครองของพี่ชายและน้องสาวของเขา) ในการสอบปากเปล่า เขาได้รับ “เกียรตินิยมอันดับ 1” (“ด้วยความโดดเด่นเป็นพิเศษ”) จากวิทยานิพนธ์สามข้อที่เขาเสนอเพื่อแก้ต่าง ข้อที่สามมีลักษณะพิเศษ: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam Solvendi” (ในทางคณิตศาสตร์ ศิลปะแห่งการตั้งคำถามมีความสำคัญมากกว่าศิลปะแห่งการแก้ปัญหา” บางที แม้แต่ผลลัพธ์ที่เขาได้รับในทฤษฎีเซตก็ยังมีความสำคัญด้อยกว่าคำถามเกี่ยวกับแถลงการณ์เชิงปฏิวัติที่มาถึงตอนนี้ด้วยอิทธิพลที่เกินขอบเขตของงานเขียนของเขาเอง

ดูเหมือนว่าคันทอร์สอนในช่วงเวลาสั้น ๆ ในกรุงเบอร์ลินที่โรงเรียนสตรีแห่งหนึ่ง ไม่ว่าในกรณีใดในปี พ.ศ. 2411 หลังจากผ่านการสอบของรัฐเขาได้เข้าเรียนที่วิทยาลัย Schelbach ที่มีชื่อเสียงซึ่งฝึกอบรมครูคณิตศาสตร์

วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกซึ่งทำให้คันทอร์มีโอกาสที่จะกลายเป็นเอกชนที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอในฤดูใบไม้ผลิปี พ.ศ. 2412 ร่วมกับบันทึกเล็กๆ น้อยๆ หลายฉบับที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2411-2515 ให้กับวงกลมเลขคณิตที่เขาสนใจวงแรกซึ่งเขาแทบจะไม่ได้สนใจเลย กลับมาในภายหลัง การศึกษาทฤษฎีจำนวนเหล่านี้ภายใต้การนำและการอนุมัติของ Kronecker ไม่ได้เป็นเพียงเหตุการณ์บังเอิญสำหรับ Cantor ในทางตรงกันข้าม เขาได้สัมผัสกับผลกระทบภายในอันลึกซึ้งของวินัยนี้ ด้วยความบริสุทธิ์และความสง่างามเป็นพิเศษ สิ่งนี้เป็นหลักฐานพร้อมกับวิทยานิพนธ์ชิ้นแรกที่เขานำเสนอเพื่อการป้องกัน: “ตัวเลขจำนวนเต็ม tegros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” (“จำนวนเต็มเหมือนเทห์ฟากฟ้า ถูกตีความว่าเป็นจำนวนรวมเดียวที่เชื่อมโยงกัน ตามกฎหมายและความสัมพันธ์ ") การสร้างความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนต่างๆ กับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (ติดกับงานของรีมันน์เรื่อง หมายเลขเฉพาะ- งานนี้จัดพิมพ์โดย Cantor ในปี 1880 เท่านั้น ภายใต้อิทธิพลของบันทึกของ Lipchitz ใน Paris Comptes Rendus (“รายงาน”) นอกเหนือจากตารางตัวเลขของเขาแล้ว คันทอร์ยังได้ระบุความสนใจทางทฤษฎีจำนวนเพิ่มเติมด้วยแผนการที่ยังดำรงอยู่มาจนถึงปี ค.ศ. 1884 แต่ไม่ได้นำมาใช้ เพื่อเผยแพร่ผลงานเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสองใน Acta Mathematica

E. Heine ซึ่งเป็นศาสตราจารย์ธรรมดาใน Halle ในเวลาที่ Cantor ปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขาที่นั่น ได้ตระหนักทันทีว่าในเพื่อนร่วมงานรุ่นเยาว์ของเขา ความเฉียบแหลมทางจิตที่ไม่ธรรมดานั้นผสมผสานอย่างมีความสุขเข้ากับจินตนาการอันยาวนาน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า Heine หลังจากที่ Cantor ย้ายไปที่ Halle ได้ไม่นาน ได้สนับสนุนให้เขาศึกษาทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติ การทำงานอย่างกระตือรือร้นในหัวข้อนี้ไม่เพียงแต่ส่งผลให้เกิดความสำเร็จที่สำคัญหลายประการ แต่ยังนำคันทอร์ไปสู่เส้นทางสู่ทฤษฎีเซตจุดและเลขลำดับอนันต์อีกด้วย งาน , , และอุทิศให้กับการชี้แจงหนึ่งในแถลงการณ์ของ Riemann เกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิติ (และการโต้เถียงที่มาพร้อมกับ Appel ซึ่งมีการตรวจสอบแนวคิดของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในรายละเอียด); ในงานของเขา คันทอร์พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแทนตรีโกณมิติ * น่าแปลกใจที่โครเนกเกอร์ซึ่งในตอนแรกมีทัศนคติเชิงบวกต่อทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของคันทอร์ (เปรียบเทียบ) ในเวลาต่อมาก็เพิกเฉยต่อผลลัพธ์นี้โดยสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น ใน “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” (“การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีปริพันธ์เชิงเดี่ยวและพหุคูณ”) (1894) เขานำเสนอคำถามเกี่ยวกับเอกลักษณ์ในขณะที่ยังคงเปิดอยู่!- เขาพยายามที่จะสรุปผลลัพธ์นี้ โดยละทิ้งสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับพฤติกรรมของซีรีส์ในชุดพิเศษบางฉาก สิ่งนี้บังคับให้เขานำเสนอโครงร่างแนวคิดสั้นๆ ในงานของเขา “ที่อาจเป็นประโยชน์ในการชี้แจงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นในทุกกรณีเมื่อปริมาณตัวเลขถูกกำหนดเป็นจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ในที่นี้ สำหรับเซตจุด จุดจำกัด และอนุพันธ์ ( ของลำดับอันจำกัด) ถูกนำมาใช้ ด้วยเหตุนี้ คันทอร์จึงพัฒนาทฤษฎีจำนวนอตรรกยะของเขาขึ้นมา * - ในงานของ Heine เรื่อง "Elements of the Theory of Functions" (J. Math., 74, pp. 172–188, 1872) มีการเสนอจำนวนอตรรกยะในลักษณะที่เป็นไปตามแนวคิดของ Cantor อย่างแน่นอน พ การแนะนำบทความของ Heine รวมถึงงานของ Cantor เรื่อง “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” (“To the Doctrine of the Transfinite”)ตามทฤษฎีเซตซึ่งทำให้ชื่อของเขาเป็นอมตะ โดยที่จำนวนอตรรกยะถือเป็นอนุกรมพื้นฐาน ในทางกลับกัน สำหรับการเปลี่ยนไปใช้เรขาคณิต เขาแนะนำสัจพจน์พิเศษ (สัจพจน์ของคันทอร์) ซึ่งปรากฏพร้อมๆ กันและเป็นอิสระในสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยในหนังสือของ Dedekind เรื่อง "ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ"