แก้ตัวอย่างเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างพีชคณิตบางตัวอย่างเพียงอย่างเดียวอาจทำให้เด็กนักเรียนหวาดกลัวได้ สำนวนยาวๆ ไม่เพียงแต่เป็นการข่มขู่เท่านั้น แต่ยังทำให้การคำนวณยากมากอีกด้วย การพยายามเข้าใจทันทีว่าอะไรตามมา จะทำให้สับสนได้ไม่นาน ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงพยายามลดความซับซ้อนของปัญหาที่ "แย่มาก" ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และจากนั้นจึงเริ่มแก้ไข เคล็ดลับนี้ทำให้กระบวนการทำงานเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด

การทำให้เข้าใจง่ายเป็นหนึ่งในประเด็นพื้นฐานในพีชคณิต ถ้าเข้า. งานง่ายๆคุณยังคงสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้มัน แต่ตัวอย่างที่คำนวณยากกว่าอาจกลายเป็นเรื่องยากเกินไป นี่คือจุดที่ทักษะเหล่านี้มีประโยชน์! ยิ่งไปกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน เพียงจำและเรียนรู้ที่จะประยุกต์ใช้เทคนิคและสูตรพื้นฐานบางประการในทางปฏิบัติก็เพียงพอแล้ว

ไม่ว่าการคำนวณจะซับซ้อนเพียงใดเมื่อแก้ไขนิพจน์ใด ๆ ก็เป็นสิ่งสำคัญ ปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการด้วยตัวเลข:

1. วงเล็บ;
2. การยกกำลัง;
3. การคูณ;
4. แผนก;
5. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป;
6. การลบ

สองจุดสุดท้ายสามารถสลับกันได้อย่างง่ายดายและจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์แต่อย่างใด แต่การบวกเลขสองตัวที่อยู่ติดกันเมื่อมีเครื่องหมายคูณอยู่ข้างๆ ตัวใดตัวหนึ่งนั้นเป็นสิ่งต้องห้ามโดยเด็ดขาด! คำตอบถ้ามีก็ไม่ถูกต้อง ดังนั้นคุณต้องจำลำดับไว้

การใช้งานดังกล่าว

องค์ประกอบดังกล่าวรวมถึงตัวเลขที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกันหรือระดับเดียวกัน นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าสมาชิกฟรีที่ไม่มีอยู่ข้างๆ การกำหนดตัวอักษรไม่ทราบ

ประเด็นก็คือว่าในกรณีที่ไม่มีวงเล็บ คุณสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้โดยการเพิ่มหรือลบคำที่คล้ายกัน.

ตัวอย่างภาพประกอบบางส่วน:

• 8x 2 และ 3x 2 - ตัวเลขทั้งสองมีตัวแปรลำดับที่สองเหมือนกัน ดังนั้นจึงคล้ายกัน และเมื่อบวกกันจะลดรูปลงเป็น (8+3)x 2 =11x 2 ในขณะที่เมื่อลบออกจะได้ (8-3)x 2 =5x 2 ;
• 4x 3 และ 6x - และที่นี่ "x" มีองศาต่างกัน
• 2y 7 และ 33x 7 - มีตัวแปรที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่เหมือนกันในกรณีก่อนหน้านี้

แยกตัวประกอบตัวเลข

เคล็ดลับทางคณิตศาสตร์เล็กๆ น้อยๆ นี้หากคุณเรียนรู้ที่จะใช้อย่างถูกต้อง จะช่วยให้คุณรับมือกับปัญหาที่ยุ่งยากได้หลายครั้งในอนาคต และไม่ยากที่จะเข้าใจว่า "ระบบ" ทำงานอย่างไร: การสลายตัวเป็นผลคูณขององค์ประกอบหลายอย่างซึ่งการคำนวณจะให้ค่าดั้งเดิม. ดังนั้น 20 สามารถแสดงเป็น 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 หรือวิธีอื่นได้

ในบันทึก: ตัวประกอบจะเหมือนกับตัวหารเสมอ ดังนั้นคุณต้องมองหา "คู่" ที่ใช้งานได้เพื่อหาการสลายตัวของตัวเลขที่ต้นฉบับหารลงตัวโดยไม่มีเศษ

การดำเนินการนี้สามารถทำได้ทั้งกับเงื่อนไขอิสระและตัวเลขในตัวแปร สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียสิ่งหลังระหว่างการคำนวณ - เท่ากัน หลังจากการสลายตัว สิ่งที่ไม่รู้จักไม่สามารถเพียงแค่ "ไปไหนไม่ได้" มันยังคงอยู่ที่ตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง:

• 15x=3(5x);
• 60ปี 2 = (15ปี 2)4.

จำนวนเฉพาะที่สามารถหารได้ด้วยตัวเองเท่านั้นหรือ 1 จะไม่ถูกขยาย มันไม่สมเหตุสมผลเลย.

วิธีการพื้นฐานของการทำให้เข้าใจง่าย

สิ่งแรกที่สะดุดตาคุณ:

• การมีวงเล็บ;
• เศษส่วน;
• ราก.

ตัวอย่างพีชคณิตในหลักสูตรของโรงเรียนมักเขียนโดยมีแนวคิดว่าสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างสวยงาม

การคำนวณในวงเล็บ

สังเกตป้ายหน้าวงเล็บให้ดี!การคูณหรือการหารจะใช้กับแต่ละองค์ประกอบภายใน และเครื่องหมายลบจะกลับเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ที่มีอยู่

วงเล็บจะคำนวณตามกฎหรือใช้สูตรคูณแบบย่อหลังจากนั้นจึงให้สูตรที่คล้ายกัน

การลดเศษส่วน

ลดเศษส่วนนอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่าย พวกเขาเองก็ "เต็มใจหนี" เป็นระยะ ๆ ทันทีที่มีการดำเนินการเพื่อนำสมาชิกดังกล่าวเข้ามา แต่คุณสามารถทำให้ตัวอย่างง่ายขึ้นได้ก่อนหน้านั้น: ให้ความสนใจกับตัวเศษและส่วน. มักจะมีองค์ประกอบที่ชัดเจนหรือซ่อนเร้นซึ่งสามารถลดขนาดลงร่วมกันได้ จริงอยู่ที่ถ้าในกรณีแรกคุณต้องขีดฆ่าสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไป ในกรณีที่สองคุณจะต้องคิดโดยนำส่วนหนึ่งของนิพจน์มาจัดรูปแบบเพื่อทำให้ง่ายขึ้น วิธีการที่ใช้:

• การค้นหาและวงเล็บเหลี่ยมตัวหารร่วมมากของตัวเศษและส่วน
• หารแต่ละองค์ประกอบบนด้วยตัวส่วน

เมื่อการแสดงออกหรือบางส่วนอยู่ภายใต้รากงานหลักของการทำให้เข้าใจง่ายเกือบจะคล้ายกับกรณีที่มีเศษส่วน มีความจำเป็นต้องมองหาวิธีกำจัดมันให้หมดหรือหากเป็นไปไม่ได้ให้ลดเครื่องหมายที่รบกวนการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น จนถึงค่า √(3) หรือ √(7) ที่ไม่สร้างความรำคาญ

วิธีที่แน่นอนที่สุดในการทำให้นิพจน์รากศัพท์ง่ายขึ้นคือการพยายามแยกตัวประกอบมันซึ่งบางส่วนขยายออกไปเลยเครื่องหมาย ตัวอย่างประกอบ: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)

เทคนิคและความแตกต่างเล็กน้อยอื่น ๆ :

• การดำเนินการลดความซับซ้อนนี้สามารถดำเนินการได้ด้วยเศษส่วนโดยนำออกจากเครื่องหมายทั้งโดยรวมและแยกกันเป็นตัวเศษหรือตัวส่วน
• ส่วนหนึ่งของผลรวมหรือส่วนต่างไม่สามารถขยายและนำไปเกินรากได้;
• เมื่อทำงานกับตัวแปร ต้องคำนึงถึงระดับของตัวแปรด้วย โดยจะต้องเท่ากับหรือทวีคูณของรากจึงจะสามารถนำออกมาได้: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• บางครั้งมันก็เป็นไปได้ที่จะกำจัดตัวแปรรากโดยการเพิ่มมันลงไป พลังเศษส่วน: √(y 3)=y 3/2.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง

หากในกรณีของการคำนวณอย่างง่ายด้วยลบหรือบวก ตัวอย่างจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการอ้างอิงสิ่งที่คล้ายกัน แล้วเมื่อคูณหรือหารตัวแปรที่มีกำลังต่างกันล่ะ สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการจดจำประเด็นหลักสองประเด็น:

1. หากมีเครื่องหมายคูณระหว่างตัวแปร เลขยกกำลังจะรวมกัน
2. เมื่อหารกันแล้ว ยกกำลังเท่ากันของตัวส่วนจะถูกลบออกจากยกกำลังของตัวเศษ

เงื่อนไขเดียวสำหรับการทำให้เข้าใจง่ายคือทั้งสองคำมีพื้นฐานเหมือนกัน ตัวอย่างเพื่อความชัดเจน:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

เราทราบว่าการดำเนินการที่มีค่าตัวเลขหน้าตัวแปรเกิดขึ้นตามกฎทางคณิตศาสตร์ตามปกติ และถ้าคุณมองใกล้ ๆ จะเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบพลังงานของสำนวน "ทำงาน" ในลักษณะเดียวกัน:

• การยกพจน์ยกกำลังหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองด้วยจำนวนครั้งที่กำหนด เช่น x 2 =x×x;
• การหารจะคล้ายกัน: หากคุณขยายกำลังของตัวเศษและส่วน ตัวแปรบางตัวจะถูกยกเลิก ในขณะที่ตัวแปรที่เหลือจะถูก "รวบรวม" ซึ่งเทียบเท่ากับการลบ

เช่นเดียวกับในธุรกิจอื่นๆ เมื่อทำให้ง่ายขึ้น นิพจน์พีชคณิตไม่เพียงแต่ต้องมีความรู้พื้นฐานเท่านั้น แต่ยังต้องฝึกฝนอีกด้วย หลังจากผ่านไปเพียงไม่กี่บทเรียน ตัวอย่างที่ครั้งหนึ่งเคยดูซับซ้อนจะลดลงโดยไม่ยากนัก และกลายเป็นตัวอย่างที่สั้นและแก้ไขได้ง่าย

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจและจดจำวิธีการทำให้สำนวนง่ายขึ้น

ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน

ลองพิจารณาหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลัง แต่ก่อนอื่นเรามาดูการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่งที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกใด ๆ รวมถึงพลังด้วย เราจะได้เรียนรู้วิธีเปิดวงเล็บ เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน ทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง และใช้คุณสมบัติของกำลัง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

ในหลักสูตรของโรงเรียน มีเพียงไม่กี่คนที่ใช้วลี "สำนวนอันทรงพลัง" แต่คำนี้พบเห็นได้ทั่วไปในคอลเล็กชันสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในกรณีส่วนใหญ่ วลีหมายถึงสำนวนที่มีระดับอยู่ในรายการ นี่คือสิ่งที่เราจะสะท้อนให้เห็นในคำจำกัดความของเรา

คำจำกัดความ 1

การแสดงออกถึงพลังเป็นนิพจน์ที่มีองศา

ขอให้เรายกตัวอย่างนิพจน์ยกกำลังโดยเริ่มจากยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง

นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + ก 2, x 3 − 1 , (ก 2) 3 . และยังยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0 และกำลังที่มีกำลังเป็นจำนวนเต็มลบ: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2

มันจะยากขึ้นอีกเล็กน้อยในการทำงานกับระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ลงตัว: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 ก - 1 6 · ข 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ตัวบ่งชี้สามารถเป็นตัวแปร 3 x - 54 - 7 3 x - 58 หรือลอการิทึม x 2 · ลิตร กรัม x − 5 · x ลิตร กรัม x.

เราได้จัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร ตอนนี้เรามาเริ่มแปลงพวกมันกันดีกว่า

การแปลงรูปแบบหลักของการแสดงออกทางอำนาจ

ก่อนอื่น เราจะดูที่การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของการแสดงออกที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกทางอำนาจ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณค่าของนิพจน์ยกกำลัง 2 3 (4 2 - 12).

สารละลาย

เราจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดตามลำดับการกระทำ ในกรณีนี้เราจะเริ่มต้นด้วยการดำเนินการในวงเล็บ: เราจะแทนที่ระดับด้วยค่าดิจิทัลและคำนวณผลต่างของตัวเลขสองตัว เรามี 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

สิ่งที่เราต้องทำคือเปลี่ยนปริญญา 2 3 ความหมายของมัน 8 และคำนวณผลิตภัณฑ์ 8 4 = 32. นี่คือคำตอบของเรา

คำตอบ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

ตัวอย่างที่ 2

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยยกกำลัง 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

สารละลาย

สำนวนที่ให้ไว้ในโจทย์ปัญหามีคำศัพท์ที่คล้ายกันซึ่งเราสามารถให้ได้: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

คำตอบ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1

ตัวอย่างที่ 3

แสดงนิพจน์ที่มีกำลัง 9 - b 3 · π - 1 2 เป็นผลคูณ

สารละลาย

ลองนึกภาพเลข 9 ว่าเป็นเลขยกกำลัง 3 2 และใช้สูตรคูณแบบย่อ:

9 - ข 3 π - 1 2 = 3 2 - ข 3 π - 1 2 = = 3 - ข 3 π - 1 3 + ข 3 π - 1

คำตอบ: 9 - ข 3 · π - 1 2 = 3 - ข 3 · π - 1 3 + ข 3 · π - 1 .

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ที่สามารถนำไปใช้กับการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

ระดับในฐานหรือเลขชี้กำลังสามารถมีตัวเลข ตัวแปร และนิพจน์บางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7และ . การทำงานกับบันทึกดังกล่าวเป็นเรื่องยาก การแทนที่นิพจน์ในฐานของดีกรีหรือนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันนั้นง่ายกว่ามาก

การแปลงระดับและเลขชี้กำลังดำเนินการตามกฎที่เรารู้จักแยกจากกัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงส่งผลให้มีการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

วัตถุประสงค์ของการแปลงคือเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ดั้งเดิมหรือรับวิธีแก้ไขปัญหา ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่เราให้ไว้ข้างต้น (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 คุณสามารถทำตามขั้นตอนเพื่อไปยังระดับ 4 , 1 1 , 3 . เมื่อเปิดวงเล็บ เราก็สามารถนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันที่ฐานของกำลังได้ (ก · (ก + 1) − ก 2) 2 · (x + 1)และได้รับการแสดงออกถึงพลังในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า 2 (x + 1).

การใช้คุณสมบัติปริญญา

คุณสมบัติของกำลังซึ่งเขียนในรูปของความเท่าเทียมกันถือเป็นเครื่องมือหลักอย่างหนึ่งในการแปลงนิพจน์ด้วยกำลัง เรานำเสนอสิ่งสำคัญที่นี่โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น กและ ขเป็นจำนวนบวกใดๆ และ รและ ส- จำนวนจริงตามอำเภอใจ:

คำจำกัดความ 2

• มี r · s = มี r + s ;
• ar: as = ar − s ;
• (ก · ข) ร = ร · ร ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (มี r) s = มี r · s .

ในกรณีที่เรากำลังจัดการกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และค่าบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจจะเข้มงวดน้อยกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน เป็น ม · n = เป็น ม + n, ที่ไหน มและ nเป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นมันจะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a ทั้งบวกและลบรวมถึงสำหรับด้วย ก = 0.

คุณสมบัติของกำลังสามารถใช้งานได้โดยไม่มีข้อ จำกัด ในกรณีที่ฐานของกำลังเป็นบวกหรือมีตัวแปรที่มีช่วงของค่าที่อนุญาตเพื่อให้ฐานรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในความเป็นจริง ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน หน้าที่ของนักเรียนคือการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง

เมื่อเตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย คุณอาจประสบปัญหาซึ่งการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องจะนำไปสู่การจำกัด DL และปัญหาอื่น ๆ ในการแก้ไข ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเพียงสองกรณีดังกล่าวเท่านั้น ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหัวข้อ “การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของกำลัง”

ตัวอย่างที่ 4

ลองจินตนาการถึงการแสดงออก ก 2 , 5 (ก 2) − 3: ก − 5 , 5ในรูปของอำนาจที่มีฐาน ก.

สารละลาย

ขั้นแรก เราใช้คุณสมบัติของการยกกำลังและแปลงตัวประกอบที่สองโดยใช้มัน (ก 2) - 3. จากนั้นเราใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = ก 2 .

คำตอบ: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2

การแปลงการแสดงออกทางอำนาจตามคุณสมบัติของกำลังสามารถทำได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทิศทางตรงกันข้าม

ตัวอย่างที่ 5

จงหาค่าของนิพจน์กำลัง 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3

สารละลาย

หากเราใช้ความเท่าเทียมกัน (ก · ข) r = ร · ข rจากขวาไปซ้าย เราได้ผลลัพธ์ในรูปแบบ 3 · 7 1 3 · 21 2 3 แล้ว 21 1 3 · 21 2 3 ลองบวกเลขชี้กำลังเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21

มีวิธีอื่นในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

คำตอบ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

ตัวอย่างที่ 6

ด้วยการแสดงออกถึงพลัง 1, 5 − 0, 5 − 6ให้ป้อนตัวแปรใหม่ เสื้อ = ก 0.5.

สารละลาย

ลองจินตนาการถึงปริญญา เอ 1, 5ยังไง ก 0.5 3. การใช้สมบัติขององศาต่อองศา (มี r) s = มี r · sจากขวาไปซ้ายแล้วเราจะได้ (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6 คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ให้กับนิพจน์ผลลัพธ์ได้อย่างง่ายดาย เสื้อ = ก 0.5: เราได้รับ เสื้อ 3 − เสื้อ − 6.

คำตอบ:เสื้อ 3 − เสื้อ − 6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

โดยปกติเราจะจัดการกับนิพจน์ยกกำลังที่มีเศษส่วนสองเวอร์ชัน ได้แก่ นิพจน์แทนเศษส่วนที่มีกำลังหรือมีเศษส่วนดังกล่าว การแปลงเศษส่วนพื้นฐานทั้งหมดใช้ได้กับนิพจน์ดังกล่าวโดยไม่มีข้อจำกัด พวกมันสามารถลดทอน หารด้วยตัวส่วนใหม่ หรือแยกกันโดยใช้ตัวเศษและตัวส่วนก็ได้ เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 7

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลัง 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2

สารละลาย

เรากำลังจัดการกับเศษส่วน ดังนั้นเราจะทำการแปลงทั้งตัวเศษและตัวส่วน:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

วางเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วนเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายตัวส่วน: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

คำตอบ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

เศษส่วนที่มีอำนาจจะลดลงเหลือตัวส่วนใหม่ในลักษณะเดียวกับ เศษส่วนตรรกยะ. ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาตัวประกอบเพิ่มเติมและคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย จำเป็นต้องเลือกปัจจัยเพิ่มเติมในลักษณะที่ไม่ไปที่ศูนย์สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) a + 1 a 0, 7 ถึงตัวส่วนใหม่ ก, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 ถึงตัวส่วน x + 8 · y 1 2 .

สารละลาย

ก) มาเลือกปัจจัยที่จะช่วยให้เราลดตัวส่วนใหม่ได้ 0, 7 0, 3 = 0, 7 + 0, 3 = ก,ดังนั้นเราจึงจะต้องคำนึงถึงปัจจัยเพิ่มเติม 0 , 3. ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a รวมถึงชุดของจำนวนจริงบวกทั้งหมด ปริญญาในสาขานี้ 0 , 3ไม่ได้ไปที่ศูนย์

ลองคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 0 , 3:

ก + 1 ก 0, 7 = ก + 1 ก 0, 3 ก 0, 7 ก 0, 3 = ก + 1 ก 0, 3 ก

b) ให้ความสนใจกับตัวส่วน:

x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 ปี 1 6 + 2 ปี 1 6 2

ลองคูณนิพจน์นี้ด้วย x 1 3 + 2 · y 1 6 เราจะได้ผลรวมของลูกบาศก์ x 1 3 และ 2 · y 1 6 เช่น x + 8 · ปี 1 2 . นี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม x 1 3 + 2 · y 1 6 . อยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร xและ ยนิพจน์ x 1 3 + 2 y 1 6 จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 3 + 2 ปี 1 6 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 ปี 1 2

คำตอบ:ก) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 · ปี 1 2 .

ตัวอย่างที่ 9

ลดเศษส่วน: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - ข 1 4 1 2 - ข 1 2.

สารละลาย

ก) เราใช้ตัวส่วนร่วมมาก (GCD) ซึ่งเราสามารถลดตัวเศษและส่วนได้ สำหรับหมายเลข 30 และ 45 คือ 15 เราก็สามารถลดได้ด้วย x0.5+1และบน x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

เราได้รับ:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) การปรากฏตัวของปัจจัยที่เหมือนกันที่นี่ไม่ชัดเจน คุณจะต้องทำการแปลงบางอย่างเพื่อให้ได้ตัวประกอบในตัวเศษและส่วนเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราขยายตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

ก 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - ข 1 4 = 1 ถึง 1 4 + ข 1 4

คำตอบ:ก) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ข) ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2 = 1 ก 1 4 + ข 1 4 .

การดำเนินการพื้นฐานเกี่ยวกับเศษส่วน ได้แก่ การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วน การกระทำทั้งสองดำเนินการตามกฎหลายข้อ เมื่อบวกและลบเศษส่วน อันดับแรกเศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นจึงดำเนินการ (บวกหรือลบ) ด้วยตัวเศษ ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์ของการกระทำของเราคือเศษส่วนใหม่ ซึ่งตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 10

ทำตามขั้นตอน x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการลบเศษส่วนที่อยู่ในวงเล็บ ลองนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

ลองลบตัวเศษ:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

มาลดพลังกันเถอะ x 1 2เราจะได้ 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

นอกจากนี้ คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง: กำลังสอง: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1

คำตอบ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

ตัวอย่างที่ 11

ลดความซับซ้อนของนิพจน์กฎกำลัง x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3
สารละลาย

เราสามารถลดเศษส่วนได้ (x 2 , 7 + 1) 2. เราได้เศษส่วน x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1

มาแปลงกำลังของ x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 กันต่อ ตอนนี้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน x 1 3 8 x 2, 7 + 1

คำตอบ: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

ในกรณีส่วนใหญ่ จะสะดวกกว่าในการถ่ายโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนและด้านหลัง โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การดำเนินการนี้ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ง่ายขึ้น ลองยกตัวอย่าง: นิพจน์ยกกำลัง (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 สามารถแทนที่ด้วย x 3 · (x + 1) 0, 2

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

ในปัญหาต่างๆ มีนิพจน์ยกกำลังที่ไม่เพียงแต่มีเลขยกกำลังที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังมีรากด้วย ขอแนะนำให้ลดการแสดงออกดังกล่าวเฉพาะกับรากหรือเฉพาะกับพลังเท่านั้น การไปเรียนต่อปริญญาจะดีกว่าเพราะทำงานง่ายกว่า การเปลี่ยนแปลงนี้เหมาะกว่าเป็นพิเศษเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมช่วยให้คุณสามารถแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลัสหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายๆ ช่วง

ตัวอย่างที่ 12

เขียนนิพจน์ x 1 9 · x · x 3 6 เป็นรูปยกกำลัง

สารละลาย

ช่วงของค่าตัวแปรที่อนุญาต xถูกกำหนดโดยอสมการสองประการ x ≥ 0และ x x 3 ≥ 0 ซึ่งกำหนดเซต [ 0 , + ∞) .

ในชุดนี้เรามีสิทธิ์ที่จะย้ายจากรากไปสู่พลัง:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

การใช้คุณสมบัติของกำลัง เราทำให้การแสดงออกพลังงานผลลัพธ์ง่ายขึ้น

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

คำตอบ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

การแปลงกำลังด้วยตัวแปรในเลขชี้กำลัง

การแปลงเหล่านี้ทำได้ค่อนข้างง่ายหากคุณใช้คุณสมบัติของดีกรีอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

เราสามารถแทนที่ด้วยผลคูณของกำลัง ซึ่งเลขชี้กำลังคือผลรวมของตัวแปรบางตัวและตัวเลข ทางด้านซ้ายสามารถทำได้โดยใช้เงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้ายของด้านซ้ายของนิพจน์:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0

ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 7 2 x. นิพจน์สำหรับตัวแปร x นี้รับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

ลองลดเศษส่วนด้วยกำลัง เราจะได้: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ส่งผลให้สมการ 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ซึ่งเท่ากับ 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ t = 5 7 x ซึ่งจะลดคำตอบของสมการเอกซ์โปเนนเชียลเดิมให้เป็นคำตอบ สมการกำลังสอง 5 · เสื้อ 2 − 3 · เสื้อ − 2 = 0

การแปลงนิพจน์ด้วยกำลังและลอการิทึม

นิพจน์ที่มีพลังและลอการิทึมก็พบได้ในปัญหาเช่นกัน ตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าวคือ: 1 4 1 - 5 · บันทึก 2 3 หรือ บันทึก 3 27 9 + 5 (1 - บันทึก 3 5) · บันทึก 5 3 การแปลงนิพจน์ดังกล่าวดำเนินการโดยใช้แนวทางและคุณสมบัติของลอการิทึมที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเราได้พูดคุยกันโดยละเอียดในหัวข้อ "การแปลงนิพจน์ลอการิทึม"

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์ v.1.0

เครื่องคิดเลขดำเนินการดังต่อไปนี้: การบวก การลบ การคูณ การหาร การทำงานกับทศนิยม การถอนราก การยกกำลัง การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และการดำเนินการอื่น ๆ

สารละลาย:

วิธีใช้เครื่องคิดเลขคณิต

สำคัญ	การกำหนด	คำอธิบาย
5	หมายเลข 0-9	เลขอารบิก การป้อนจำนวนเต็มธรรมชาติเป็นศูนย์ หากต้องการรับจำนวนเต็มลบ คุณต้องกดปุ่ม +/-
.	อัฒภาค)	ตัวคั่นเพื่อระบุเศษส่วนทศนิยม หากไม่มีตัวเลขอยู่หน้าจุด (ลูกน้ำ) เครื่องคิดเลขจะแทนที่ศูนย์ก่อนจุดโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น: .5 - 0.5 จะถูกเขียน
+	เครื่องหมายบวก	การบวกตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
-	เครื่องหมายลบ	การลบตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
÷	สัญลักษณ์การแบ่ง	การหารตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
เอ็กซ์	เครื่องหมายคูณ	การคูณตัวเลข (จำนวนเต็ม ทศนิยม)
√	ราก	การแยกรากของตัวเลข เมื่อคุณกดปุ่ม "root" อีกครั้ง ระบบจะคำนวณรากของผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น รากของ 16 = 4; รากของ 4 = 2
x2	กำลังสอง	กำลังสองจำนวน เมื่อคุณกดปุ่ม "กำลังสอง" อีกครั้ง ผลลัพธ์จะเป็นกำลังสอง ตัวอย่างเช่น กำลังสอง = 4; สี่เหลี่ยม 4 = 16
1/x	เศษส่วน	ส่งออกเป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือตัวเลขที่ป้อน
%	เปอร์เซ็นต์	รับเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข ในการทำงานคุณต้องป้อน: จำนวนที่จะคำนวณเปอร์เซ็นต์, เครื่องหมาย (บวก, ลบ, หาร, คูณ), กี่เปอร์เซ็นต์ในรูปแบบตัวเลข, ปุ่ม "%"
(	วงเล็บเปิด	วงเล็บเปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บปิด ตัวอย่าง: (2+3)*2=10
)	วงเล็บปิด	วงเล็บปิดเพื่อระบุลำดับความสำคัญในการคำนวณ ต้องมีวงเล็บเปิด
±	บวกลบ	เครื่องหมายย้อนกลับ
=	เท่ากับ	แสดงผลการแก้ปัญหา เหนือเครื่องคิดเลขในช่อง "โซลูชัน" การคำนวณระดับกลางและผลลัพธ์จะปรากฏขึ้น
←	การลบตัวละคร	ลบอักขระตัวสุดท้าย
กับ	รีเซ็ต	ปุ่มรีเซ็ต. รีเซ็ตเครื่องคิดเลขไปที่ตำแหน่ง "0" โดยสมบูรณ์

อัลกอริทึมของเครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้ตัวอย่าง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

การบวกจำนวนเต็ม ตัวเลขธรรมชาติ { 5 + 7 = 12 }

นอกจากนี้จากธรรมชาติทั้งหมดและ ตัวเลขติดลบ { 5 + (-2) = 3 }

การบวกทศนิยม ตัวเลขเศษส่วน { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

การลบ

การลบจำนวนเต็มธรรมชาติ ( 7 - 5 = 2 )

การลบจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 - (-2) = 7 )

การลบเศษส่วนทศนิยม ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

การคูณ

ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติ (3 * 7 = 21)

ผลคูณของจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ ( 5 * (-3) = -15 )

ผลคูณเศษส่วนทศนิยม ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

แผนก.

การหารจำนวนเต็มธรรมชาติ (27/3 = 9)

การหารจำนวนเต็มธรรมชาติและจำนวนลบ (15 / (-3) = -5)

การหารเศษส่วนทศนิยม (6.2 / 2 = 3.1)

การแยกรากของตัวเลข

แยกรากของจำนวนเต็ม ( root(9) = 3)

การสกัดรากจาก ทศนิยม( รูท(2.5) = 1.58 )

แยกรากของผลรวมของตัวเลข ( root(56 + 25) = 9)

แยกรากของผลต่างระหว่างตัวเลข (ราก (32 – 7) = 5)

กำลังสองจำนวน

กำลังสองจำนวนเต็ม ( (3) 2 = 9 )

การยกกำลังสองทศนิยม ((2,2)2 = 4.84)

การแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม

การคำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข

เพิ่มจำนวน 230 ขึ้น 15% ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

ลดจำนวน 510 ลง 35% ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )

18% ของจำนวน 140 คือ (140 * 0.18 = 25.2)

กำลังนี้ใช้เพื่อทำให้การดำเนินการคูณตัวเลขง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียนได้ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้มีให้ไว้ในส่วนแรกของบทความนี้) องศาช่วยให้เขียนนิพจน์หรือสมการที่ยาวหรือซับซ้อนได้ง่ายขึ้น เลขยกกำลังยังง่ายต่อการบวกและลบ ส่งผลให้นิพจน์หรือสมการง่ายขึ้น (เช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

บันทึก:หากคุณต้องการแก้สมการเลขชี้กำลัง (ในสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง) ให้อ่าน

ขั้นตอน

การแก้ปัญหาง่ายๆด้วยองศา

คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งเท่ากับเลขชี้กำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเรื่องกำลังด้วยมือ ให้เขียนกำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของกำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น ได้รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ในกรณีนี้ฐานของกำลัง 3 ต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). ไม่ต้องกังวล - กระบวนการคำนวณไม่ซับซ้อนเท่าที่เห็นในครั้งแรก ขั้นแรกให้คูณสองสี่ตัวแรกแล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปแต่ละผลลัพธ์ที่ตามมาจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • คูณผลลัพธ์ของตัวเลขสองตัวแรกด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าคุณจะได้คำตอบสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. บนเครื่องคิดเลข ให้มองหาปุ่มที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " xn (\รูปแบบการแสดงผล x^(n))" หรือ "^"การใช้คีย์นี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น องศา 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ โดยคลิก "ดู" -> "วิศวกรรม" หากต้องการเปลี่ยนเป็นโหมดปกติ คลิก "ดู" -> "ปกติ"

   • ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้ เครื่องมือค้นหา(Google หรือยานเดกซ์). ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ของคุณ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำนิพจน์ที่คล้ายกันเพื่อให้คุณศึกษา)

   การบวก ลบ คูณ ยกกำลัง

   1. คุณสามารถเพิ่มและลบองศาได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเท่ากันเท่านั้นหากคุณต้องการเพิ่มกำลังด้วยฐานและเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถแทนที่การดำเนินการบวกด้วยการดำเนินการคูณได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(5)+4^(5)). จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ 1 ∗ 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 1*4^(5)); ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2) นั่นคือ นับจำนวนองศาที่คล้ายกัน แล้วคูณองศานั้นกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ให้ยก 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการดำเนินการบวกสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกบวกเข้าไป (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)*x^(5)). ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มตัวบ่งชี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงฐาน ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:

      เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น ได้รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ประเด็นของกฎข้อนี้คือคุณต้องคูณด้วยกำลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • เนื่องจากฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (กำลังย้อนกลับ)มันไม่สำคัญหรอกถ้าคุณไม่รู้ว่าปริญญาตอบแทนคืออะไร หากคุณได้รับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))เขียนระดับนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) แล้วทำให้เลขชี้กำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการคูณ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ยกกำลังในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (ยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

   4. ด้านล่างนี้คือสำนวนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับเลขชี้กำลังสำนวนที่ให้ครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเลือกช่องว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ

      การแก้ปัญหาด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน

      1. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการรูทในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). ไม่สำคัญว่าตัวส่วนจะเป็นจำนวนเท่าใด ตัวบ่งชี้เศษส่วนองศา ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(4)))- คือรากที่สี่ของ "x" นั่นคือ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเกิน เลขชี้กำลังนั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎแห่งการคูณพลัง เช่น ได้รับปริญญา. แปลงกำลังดังกล่าวเป็นรากที่มีกำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน แล้วยกกำลังนี้ให้เป็นกำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ในตัวอย่างของเรา:

         • x 5 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. เครื่องคิดเลขบางเครื่องมีปุ่มสำหรับคำนวณเลขยกกำลัง (คุณต้องป้อนเลขฐานก่อน จากนั้นจึงกดปุ่ม จากนั้นจึงป้อนเลขยกกำลัง) มันเขียนแทนด้วย ^ หรือ x^y
      4. จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนใดๆ ที่ถูกคูณหรือหารด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. รู้ว่าไม่มีกำลัง 0 0 (กำลังดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา) หากคุณพยายามแก้ปริญญาดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็น 0 คือ 1 เป็นต้น 4 0 = 1 (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม

      คำเตือน

      • เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้นหากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ คำตอบนั้นก็อาจจะถูกต้องจริงๆ คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยการวางแผนใดๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเช่น 2 x

ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

เรามาแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบ monomial กัน มุมมองมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

ด้านหลัง ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงจากเลขชี้กำลังจากมากไปหาน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากวงเล็บปิดเป็นการเปลี่ยนแปลงผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

คุณต้องจัดการกับนิพจน์บางนิพจน์ในการแปลงพีชคณิตบ่อยกว่านิพจน์อื่นๆ บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณได้พบงานนี้แล้วเมื่อคูณพหุนาม:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวม เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถแทนที่ชิ้นส่วนทางด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนทางขวาในการแปลงและในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนทางขวาด้วยชิ้นส่วนทางซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน