การแก้สมการกำลังสอง สมการกำลังสอง

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องทราบคำแนะนำที่แน่นอนซึ่งกำหนดวิธีย้ายจากข้อมูลเริ่มต้นไปยังผลลัพธ์ที่ต้องการ ใบสั่งยาดังกล่าวเรียกว่าอัลกอริธึมการแก้ปัญหา

วิดีโอบทช่วยสอนนี้จะกล่าวถึงอัลกอริทึมของโซลูชัน สมการกำลังสอง

ขวาน 2 + bx + c = 0

1. เนื่องจากจำนวนรากของสมการกำลังสองและผลเฉลยของสมการจึงขึ้นอยู่กับตัวแยกแยะ จึงแนะนำให้พิจารณาหาตัวจำแนกนี้ก่อน เป็นไปได้ว่าไม่จำเป็นต้องแก้สมการเลย

ดังนั้นเราจึงคำนวณค่าจำแนก D โดยใช้สูตร D = b 2 - 4ac ต่อไปเราปฏิบัติตามประเด็นต่างๆ

2. ถ้า D<0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. ถ้า D=0 สมการกำลังสองจะมีรากเดียว ซึ่งหาได้จากสูตร

4. ถ้า D>0 สมการกำลังสองจะมีรากสองอัน ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร x 1 = ((- b + √D) / (2a)), x 2 = ((- b - √D) / (2ก) ).

อัลกอริทึมนี้เป็นสากลเพราะสามารถใช้เพื่อแก้สมการที่สมบูรณ์และที่เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 และ c ไม่เท่ากับ 0

หากในสมการ b=0 หรือ c=0 สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณาแก้สมการกันหน่อย ตัวอย่างเช่น x 2 + 3x - 5 = 0 วิดีโอบทช่วยสอนจะแสดงวิธีการใช้อัลกอริทึมของโซลูชัน การแบ่งประเภทของสมการนี้คือ D=29 นั่นคือ D>0 ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีราก 2 อัน ซึ่งเราพบโดยใช้สูตร

x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a) ผลลัพธ์ที่ได้คือคำตอบ x 1 = (- 3 + √29)/2, x 2 = (- 3 - √29)/2

สมการบางสมการต้องถูกแปลงก่อนแล้วค่อยแก้ ตัวอย่างของการแก้สมการดังกล่าวแสดงอยู่ในวิดีโอสอน

พิจารณาสมการ -9x 2 + 6x - 1 = 0 เมื่อคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -1 เราจะได้ 9x 2 - 6x + 1 = 0 ค่าแยกแยะของสมการนี้คือ D=0 ซึ่งหมายความว่าตามอัลกอริทึม สมการกำลังสองมีรากเดียวซึ่งพบได้จากสูตร

X = - (ข/2a) รูตนี้ x = 1/3

สมการนี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน ยังไง? ชมวิดีโอสอน

สมการต่อไปนี้คือ 2x 2 - x + 3.5 = 0 จงหาค่าแยกแยะของสมการนี้ ปรากฎว่า D= -27 นั่นคือ D<0, а это значит, что данное квадратное уравнение не имеет корней.

เมื่อแก้สมการเพื่อความสะดวกในการบันทึกคุณสามารถนำไปใช้ได้ทันที สูตรทั่วไปราก x 1.2 = (-b +- √D)/2a หากปรากฎว่า D = b 2 - 4ac< 0, то корней нет.

ถ้า D = b 2 - 4ac = 0 แล้ว x 1,2 = (-b +- √0)/2a = -(b/2a) พวกเขายังบอกอีกว่าสมการมีสองรากที่เท่ากัน หรือรากของพหุคูณสอง

ถ้า D = b 2 - 4ac > 0 สมการจะมีสองราก ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / ( 2ก) . ดังนั้นสมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้โดยละเอียดดังที่แสดงในวิดีโอสอน หรือคุณสามารถจดสูตรทั่วไปทันทีแล้วใช้คำนวณที่จำเป็นก็ได้

ลองพิจารณาตัวอย่าง 2/3x 2 + 5/6x 2 - 7/12 = 0 เราจะเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์และเทอมจำลองของสมการนั้นเป็นเศษส่วนที่แก้ไขได้ยาก เราจะได้เรียนรู้วิธีแปลงและแก้สมการนี้และสมการที่คล้ายกันจากวิดีโอสอน จากนั้นเราจะเข้าใจว่าเมื่อใดที่สะดวกกว่าในการใช้อัลกอริธึมแบบขยาย และเมื่อใดควรใช้สูตรทั่วไป

พิจารณาสมการ x 2 - (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0 ความแตกต่างระหว่างสมการนี้คือสัมประสิทธิ์ของมันคือนิพจน์ตามตัวอักษร พวกเขาบอกว่านี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษรหรือพารามิเตอร์ การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ต้องใช้ทักษะพิเศษ วิดีโอบทช่วยสอนจะแสดงวิธีการแก้สมการดังกล่าวอย่างละเอียดและชัดเจน รวมถึงคำนึงถึงค่าพารามิเตอร์ด้วย

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5

1. ค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ ดีตามสูตร ด= -4ac.

2.ถ้า D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3.ถ้า D=0 สมการจะมีหนึ่งราก:

4.ถ้า D>0 สมการจะมีรากสองค่า:

ทีนี้มาเริ่มแก้สมการของเรากันดีกว่า 3 -10x+3=0,

โดยที่ =3, b=-10 และ c=3

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ด= -4*3*3=64

ตั้งแต่ D>0 สมการนี้มีสองราก เราพบพวกเขา:

; .

ดังนั้นรากของพหุนาม ฉ(x)=3 -10+3 จะเป็นเลข 3 และ .

แผนการของฮอร์เนอร์

แผนการของฮอร์เนอร์(หรือกฎของฮอร์เนอร์, วิธีการของฮอร์เนอร์) - อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าของพหุนามซึ่งเขียนเป็นผลรวมของพหุนาม (โมโนเมียล) สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร . ในทางกลับกัน สิ่งนี้ช่วยให้เราทราบว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนามที่กำหนดหรือไม่

ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าพหุนามถูกแบ่งอย่างไร ฉ(x) โดยทวินาม ก.(เอ็กซ์).

สามารถเขียนได้ดังนี้: ฉ(x):ก(x)=n(x),ที่ไหน ฉ(x)-เงินปันผล, ก(x)-ตัวหาร ก ไม่มี(x)-ส่วนตัว.

แต่ในกรณีที่เมื่อ ฉ(x)แบ่งแยกไม่หมด ก.(เอ็กซ์)เกิดขึ้น รายการทั่วไปการแสดงออก

เมื่อนี่คือดีกรี r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

ลองพิจารณาการหารพหุนามด้วยทวินาม อนุญาต

,

เราได้รับ

โดยที่ r คือตัวเลข เพราะว่า ระดับของ r ต้องน้อยกว่าระดับของ (x-c)

มาคูณกัน ส(เอ็กซ์)และเราจะได้รับ

ดังนั้น เมื่อหารด้วยทวินาม คุณสามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารโดยใช้สูตรผลลัพธ์ได้ วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์นี้เรียกว่าแบบแผนฮอร์เนอร์

				...
	+			...
ค				...	ร

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนของการใช้รูปแบบของฮอร์เนอร์

ตัวอย่าง. หารพหุนาม ฉ(x)=บน x+3.

สารละลาย.ก่อนอื่นคุณต้องเขียน ( x+3)เช่น ( เอ็กซ์-(-3)) เนื่องจากโครงการจะเกี่ยวข้องกับ -3 อย่างแน่นอน เราจะเขียนค่าสัมประสิทธิ์ในบรรทัดบนสุดและผลลัพธ์ของการกระทำในบรรทัดล่างสุด

ฉ(x)=(x-2)(1 )+16.

การหารากโดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ ประเภทของราก

เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ คุณสามารถค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามได้ ฉ(x). ลองดูตัวอย่างนี้

ตัวอย่าง. ค้นหารากจำนวนเต็มทั้งหมดของพหุนาม ฉ(x)= โดยใช้โครงการฮอร์เนอร์

สารละลาย.ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจำนวนเต็ม ค่าสัมประสิทธิ์ก่อนระดับสูงสุด (ในกรณีของเราก่อน ) จะเท่ากับ 1 ดังนั้นเราจะค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามในหมู่ตัวหารของเทอมอิสระ (สำหรับเราคือ 15) นี่คือตัวเลข:

มาเริ่มตรวจสอบกันที่หมายเลข 1 กันเลย

ตารางที่ 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

จากตารางผลลัพธ์จะเห็นได้ชัดว่าเมื่อ =1 พหุนามของพหุนาม ฉ(x)= เราได้เศษ r=192 ไม่ใช่ 0 ซึ่งหมายความว่าความสามัคคีไม่ใช่ราก ดังนั้นเราจะตรวจสอบต่อที่ =-1 ในการทำเช่นนี้ เราจะไม่สร้างตารางใหม่ แต่จะดำเนินการต่อในตารางเก่า และขีดฆ่าข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไป

ตารางที่ 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

ดังที่เราเห็นจากตาราง เซลล์สุดท้ายมีศูนย์ ซึ่งหมายความว่า r=0 เพราะฉะนั้น? ตัวเลข -1 คือรากของพหุนามนี้ การหารพหุนามพหุนามของเรา ฉ(x)= บน ()=x+1 เราได้พหุนาม

ฉ(x)=(x+1)(),

ค่าสัมประสิทธิ์ที่เรานำมาจากบรรทัดที่สามของตารางที่ 2

เราก็เขียนได้เท่ากันเช่นกัน

(x+1)() มาแท็กเขากันเถอะ (1)

ตอนนี้เราจำเป็นต้องค้นหารากจำนวนเต็มต่อไป แต่ตอนนี้เราจะค้นหารากของพหุนามเท่านั้น เราจะหารากเหล่านี้จากพจน์อิสระของพหุนาม ซึ่งก็คือเลข 45

ลองตรวจสอบหมายเลข -1 อีกครั้ง

ตารางที่ 3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

ดังนั้น ตัวเลข -1 จึงเป็นรากของพหุนาม จึงสามารถเขียนได้เป็น

เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (2) เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน (1) ในรูปแบบต่อไปนี้

ตอนนี้เรากำลังมองหารากของพหุนาม อีกครั้งจากตัวหารของเทอมอิสระ ลองตรวจสอบหมายเลข -1 อีกครั้ง

ตารางที่ 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

จากตาราง เราจะเห็นว่าตัวเลข -1 คือรากของพหุนาม

เมื่อคำนึงถึง (3*) เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน (2*) ใหม่ได้เป็น:

ตอนนี้เราจะค้นหารากของ. ลองดูตัวหารของพจน์อิสระอีกครั้ง มาเริ่มตรวจสอบอีกครั้งด้วยตัวเลข -1

ตารางที่ 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

เรามีเศษเหลือไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเลข -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม เรามาตรวจสอบหมายเลข 1 ถัดไปกันดีกว่า

ตารางที่ 6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

แล้วเราเห็นว่ามันเข้ากันไม่ได้อีกแล้ว เศษคือ r(x) = 24 เราเอาเลขใหม่มา

เรามาตรวจสอบหมายเลข 3 กันดีกว่า

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

ตารางที่ 7

r(x)= 0 ซึ่งหมายความว่าเลข 3 เป็นรากของพหุนาม เราสามารถเขียนพหุนามนี้ได้ดังนี้:

=(x-3)( )

เมื่อคำนึงถึงนิพจน์ผลลัพธ์ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน (5) ในรูปแบบต่อไปนี้:

(x-3)( ) (6)

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบพหุนาม

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

ตารางที่ 8

จากตาราง เราจะเห็นว่าเลข 3 เป็นรากของพหุนาม . ตอนนี้เรามาเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน (5*) โดยคำนึงถึงนิพจน์ผลลัพธ์ดังนี้:

(x-3)()= = .

ลองหารากของทวินามจากตัวหารของเทอมอิสระกันดีกว่า

เรามาเอาเลข 5 กันดีกว่า

ตารางที่ 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0 ดังนั้น 5 จึงเป็นรากของทวินาม

เราก็เลยเขียนได้

โดยการตัดสินใจ ตัวอย่างนี้จะเป็นโต๊ะหมายเลข 8

ดังที่เห็นจากตาราง ตัวเลข -1;3;5 คือรากของพหุนาม

ตอนนี้เรามาดูตรงไปที่ ประเภทของราก.

1 คือรากที่สาม เนื่องจากวงเล็บ (x+1) อยู่ในดีกรีที่สาม

3- รากของระดับที่สอง, วงเล็บ (x-3) ถึงระดับที่สอง;

5 คือรากของดีกรี 1 หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ง่าย

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes กำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสอง

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับเลขยกกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เนื่องจากเรารู้วิธีหาสแควร์รูทแล้ว ลองเขียนสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ที่นี่ไม่มีข้อจำกัด เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะแจกตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ, สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก คุณต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนนี้ Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า .

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับเฉลี่ย

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป.

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้กัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร โปรดจำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากเหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกันได้ หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง. กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็น: และท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและมีผลต่างเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามีรากอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นมีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหารากเหง้า เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1 ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ปัจจัยที่เหมาะสมของคำอิสระ แสดงว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ใน ปริทัศน์การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายถึง: .

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• หากเป็นสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• ถ้ามีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีรากสองอัน

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) ลองลดสมการลงเป็น มุมมองมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์

หากสมการกำลังสองของรูปแบบมีราก ก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: .

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้สมการกำลังสอง // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ 2559. ฉบับที่ 6.1. พ.17-20..04.2019).



โครงงานของเราเกี่ยวกับวิธีแก้สมการกำลังสอง เป้าหมายของโครงการ: เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาทุกสิ่ง วิธีที่เป็นไปได้การแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของคุณ

“สมการกำลังสอง” คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + bx + ค = 0, ที่ไหน ก, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( ก ≠ 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

ใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักเมื่อ 4,000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ การค้นพบแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณ มีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง เม็ดเดียวกันมีวิธีแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้วิธีการเสริมกำลังสองเพื่อแก้สมการที่มีรากที่เป็นบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล Euclid คิดวิธีแก้โจทย์เรขาคณิตแบบทั่วไปขึ้นมา นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเป็นลบอยู่ในรูป สูตรพีชคณิตเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พระพรหมคุปตะ(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

พระพรหมคุปตะได้วางกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้เหลือรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบังเกิดความรุ่งโรจน์ใน การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัล-คอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c

3) “รากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 = c

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับอัลคอวาริซมีผู้หลีกเลี่ยงการบริโภค ตัวเลขติดลบเงื่อนไขของแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่สามารถลบได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญับร์และอัลมูคาบัล แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนจนถึงศตวรรษที่ 17 จะไม่คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในทางปฏิบัติโดยเฉพาะมันไม่สำคัญกับงาน เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ Al-Khwarizmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแบบจำลองของอัลควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน “หนังสือลูกคิด” ที่เขียนขึ้นในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนัชชี. ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ

หนังสือเล่มนี้มีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือเล่มนี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bх = с สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ b, c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieta แต่ Vieta เท่านั้นที่จำได้ รากที่เป็นบวก. นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ทาร์ทาเกลีย, คาร์ดาโน, บอมเบลลีหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณความพยายาม จิราร์ด, เดการ์ต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

ลองดูหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจากหลักสูตรของโรงเรียน:

1. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
3. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
4. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง
5. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ได้ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

จำไว้ว่าในการแก้สมการกำลังสองข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่มีผลคูณเป็น 6 และมีผลรวมเป็น 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

นำสัมประสิทธิ์แรกมาคูณด้วยพจน์อิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ - 15 และผลรวมเท่ากับ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 หากต้องการค้นหารากของสมการดั้งเดิม ให้หารรากผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปยังเทอมอิสระแล้วทำการทดแทนและรับสมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; เอ็กซ์ 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ให้ได้

1. ถ้า a+ b + c = 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1

2. ถ้า a - b + c = 0 หรือ b = a + c แล้ว x 1 = - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น x 1 = 1, x 2 = -208/345

คำตอบ: x 1 =1; เอ็กซ์ 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0) จากนั้น x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; เอ็กซ์ 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานมีความซับซ้อนมากขึ้น

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1. โนโมแกรม

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและปัจจุบันถูกลืมไปแล้ว ซึ่งอยู่ที่หน้า 83 ของคอลเลคชัน: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.

ตารางที่ 22 โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0. โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากค่าสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นซม.) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วน

ซึ่งหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อนแล้ว จะได้สมการ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายถึง เครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ:8.0; 1.0.

2) ใช้โนโมแกรมเพื่อแก้สมการ

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.เอ็กซ์ 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้กำหนดไว้ดังนี้: “กำลังสองและสิบรากเท่ากับ 39”

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้ด้านอื่น ๆ ของแต่ละรูปเป็น 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละรูปคือ 2.5x จากนั้นตัวเลขที่ได้จะเสร็จสมบูรณ์ลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ใหม่ โดยเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่อันที่มุม สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันด้านข้างของแต่ละตัวคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มเติมอีกสี่รูป (6.25∙4 = 25) กล่าวคือ S = x 2 + 10x = 25 เมื่อแทนที่ x 2 + 10x ด้วยเลข 39 เราจะได้ S = 39 + 25 = 64 ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ABCD กล่าวคือ ส่วน AB = 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของกำลังสองเดิมที่เราได้รับ

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

หากจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้วพหุนามนี้จะหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0 หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2,x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วนสมการระดับสูงกว่า สมการกำลังสอง และในวิชาตรีโกณมิติระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เลขชี้กำลัง และ สมการลอการิทึม. หลังจากศึกษาวิธีการแก้สมการกำลังสองที่พบทั้งหมดแล้ว เราสามารถแนะนำให้เพื่อนร่วมชั้นของเรานอกเหนือจากวิธีมาตรฐานให้แก้ด้วยวิธีถ่ายโอน (6) และแก้สมการโดยใช้คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าถึงได้ง่ายกว่า เพื่อความเข้าใจ

วรรณกรรม:

1. แบรดิส วี.เอ็ม. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไขแล้ว - อ.: การศึกษา, 2558
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู. / เอ็ด. วี.เอ็น. อายุน้อยกว่า - ม.: การศึกษา, 2507.