ช่วงเวลาของการเพิ่มฟังก์ชันออนไลน์อยู่ สัญญาณที่เพียงพอของการทำงานที่เพิ่มขึ้นและลดลง

จากสัญญาณที่เพียงพอ จะพบช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลง

ต่อไปนี้เป็นข้อความของสัญญาณ:

• ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)แง่บวกสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม เอ็กซ์;
• ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เชิงลบสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะลดลง เอ็กซ์.

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

• ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• ไปยังช่วงเวลาที่เป็นผลให้เพิ่มจุดขอบเขตที่กำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่อง

ลองดูตัวอย่างเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น .

มาดูฟังก์ชันอนุพันธ์กันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้อสมการ และ บนขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ x = 0. จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด x = 2ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นจึงควรเพิ่มทั้งช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ตรงจุด x = 0ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงตามช่วงเวลา (0; 2] .

- จุดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ซึ่งนิยามและต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นไม่ซ้ำซากจำเจ มีหลายส่วน [ , ] ของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่จุดภายในได้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคือ ระหว่างและ.

ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่ามีค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ณ จุดหนึ่ง หากจุดนี้สามารถล้อมรอบด้วยย่านใกล้เคียงดังกล่าวได้ (x 0 - ,x 0 +) ที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันกำหนดว่าความไม่เท่าเทียมกัน ยึดถือทุกจุด

ฉ(x)< f(x 0)(или f(x)>ฉ(x 0))

กล่าวอีกนัยหนึ่งจุด x 0 ให้ฟังก์ชัน f(x) สูงสุด (ขั้นต่ำ) หากค่า f(x 0) กลายเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของค่าที่ฟังก์ชันยอมรับในบางส่วน (อย่างน้อยก็เล็ก) ย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถือว่าฟังก์ชันถูกระบุทั้งสองด้านของจุด x 0

หากมีย่านใกล้เคียงที่ (ที่ x=x 0) ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

ฉ(x) ฉ(x 0)

จากนั้นพวกเขาบอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ของตัวเองที่จุด x 0 ไม่เช่นนั้นฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเอง

หากฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่จุด x 0 และ x 1 ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทไวเออร์สตราสที่สองกับช่วง เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนั้นถึงค่าที่น้อยที่สุดในช่วงเวลานี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 2 ระหว่าง x 0 ถึง x 1 และมี ขั้นต่ำที่นั่น ในทำนองเดียวกัน ระหว่างจุดต่ำสุดสองจุดจะต้องมีค่าสูงสุดอย่างแน่นอน ในกรณีที่ง่ายที่สุด (และในทางปฏิบัติที่สำคัญที่สุด) เมื่อฟังก์ชันโดยทั่วไปมีเพียงจำนวนสูงสุดและต่ำสุดที่จำกัด ฟังก์ชันก็จะสลับกัน

โปรดทราบว่าในการแสดงถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ยังมีคำที่รวมค่าเหล่านั้นเข้าด้วยกัน - สุดขั้ว

แนวคิดเรื่องค่าสูงสุด (สูงสุด f(x)) และค่าต่ำสุด (ต่ำสุด f(x)) เป็นคุณสมบัติเฉพาะตัวของฟังก์ชันและเกิดขึ้นที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 แนวคิดของค่าที่ใหญ่ที่สุด (sup f(x)) และค่าที่เล็กที่สุด (inf f(x)) อ้างถึงเซ็กเมนต์ที่มีขอบเขตและเป็นคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าที่จุด x 1 และ x 3 มีจุดสูงสุดเฉพาะจุด และที่จุด x 2 และ x 4 มีค่าต่ำสุดเฉพาะจุด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดที่จุด x=a และค่าสูงสุดที่จุด x=b

ให้เราสร้างปัญหาในการค้นหาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่ทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เมื่อแก้โจทย์แล้วอนุพันธ์จะมีบทบาทหลัก

ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์จำกัดในช่วง (a,b) ถ้า ณ จุด x 0 ฟังก์ชันมีจุดสุดขั้ว ดังนั้น เมื่อนำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ไปใช้กับช่วง (x 0 - , x 0 +) ที่กล่าวถึงข้างต้น เราจะสรุปได้ว่า f (x) = 0 นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดขีด . ควรหาค่าสุดโต่งเฉพาะจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าทุกจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์จะทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เงื่อนไขที่จำเป็นที่เพิ่งระบุไว้นั้นไม่เพียงพอ

มาก ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันให้ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง การค้นหาเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการตรวจสอบฟังก์ชันและวาดกราฟ นอกจากนี้จุดสุดขั้วที่มีการเปลี่ยนแปลงจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้นจะได้รับความสนใจเป็นพิเศษเมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น กำหนดเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว และใช้ทฤษฎีทั้งหมดนี้ในการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

การเพิ่มและลดฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

นิยามของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

นิยามของฟังก์ชันลดลง

ฟังก์ชัน y=f(x) จะลดลงในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

หมายเหตุ: ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง (a;b) นั่นคือที่ x=a และ x=b จุดเหล่านี้จะถูกรวมไว้ในช่วงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วง X

ยกตัวอย่างจากคุณสมบัติของตัวหลัก ฟังก์ชันเบื้องต้นเรารู้ว่า y=sinx ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น จากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันไซน์ในช่วงเวลา เราสามารถยืนยันได้ว่าจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานั้น

จุดสุดขีด จุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสูงสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด สูงสุดของฟังก์ชันและแสดงถึง

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดต่ำสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงถึง

พื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่งๆ เข้าใจว่าเป็นช่วงเวลา โดยที่จำนวนบวกที่น้อยเพียงพอ

เรียกว่าจุดต่ำสุดและสูงสุด จุดสุดขั้วและเรียกค่าฟังก์ชันที่ตรงกับจุดสุดขีด สุดขั้วของฟังก์ชัน.

อย่าสับสนระหว่าง extrema ของฟังก์ชันกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

ในภาพแรก มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่นบนเซ็กเมนต์บรรลุที่จุดสูงสุดและเท่ากับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน และในรูปที่สอง - ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบรรลุที่จุด x=b ซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

ตามเงื่อนไข (สัญญาณ) ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน จะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้เป็นสูตรของสัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นบวกสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้น X
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นลบสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X แล้วฟังก์ชันจะลดลงบน X

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในโดเมนของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2 และตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=0 จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด ฟังก์ชัน x=2 ถูกกำหนดไว้และต่อเนื่องกัน ดังนั้นจึงควรบวกเข้ากับทั้งช่วงที่เพิ่มขึ้นและลดลง ณ จุด x=0 ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม ลดลงในช่วงเวลา (0;2]

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้เครื่องหมายใดๆ ใน 3 เครื่องหมายของค่าสุดโต่งได้ ถ้าฟังก์ชันนั้นตรงตามเงื่อนไข สิ่งที่พบบ่อยและสะดวกที่สุดคือสิ่งแรก

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) หาอนุพันธ์ได้ในย่านใกล้เคียงของจุดและต่อเนื่องที่จุดนั้นเอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสุดโต่งโดยอิงจากเครื่องหมายแรกของจุดสุดโต่งของฟังก์ชัน

• เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
• เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนโดเมนของคำจำกัดความ
• เรากำหนดศูนย์ของตัวเศษ, ศูนย์ของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนของคำจำกัดความที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ (เรียกว่าจุดที่ระบุไว้ทั้งหมด จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้เมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์ก็เปลี่ยนเครื่องหมายได้)
• จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงที่อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่ เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (เช่น โดยการคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง)
• เราเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและผ่านเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ - นี่คือจุดสุดขั้ว

มีคำมากเกินไป เรามาดูตัวอย่างการค้นหาจุดปลายสุดและปลายสุดของฟังก์ชันกันดีกว่า โดยใช้เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=2

ค้นหาอนุพันธ์:

ศูนย์ของตัวเศษคือจุด x=-1 และ x=5 ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=2 ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนจำนวน

เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง โดยคำนวณค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดๆ ของแต่ละช่วง เช่น ที่จุด x=-2, x=0, x=3 และ x=6.

ดังนั้น ในช่วงเวลานั้นอนุพันธ์จะเป็นค่าบวก (ในรูปเราใส่เครื่องหมายบวกไว้ในช่วงเวลานี้) เช่นเดียวกัน

ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายลบไว้เหนือช่วงที่สอง ลบไว้เหนือช่วงที่สาม และบวกเหนือช่วงที่สี่

ยังคงเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและสัญญาณการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ เหล่านี้คือจุดสุดขั้ว

ตรงจุด x=-1 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากบวกเป็นลบ ดังนั้นตามเครื่องหมายแรกของสุดขีด x=-1 คือจุดสูงสุด ค่าสูงสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ตรงจุด x=5 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากลบเป็นบวก ดังนั้น x=-1 คือจุดต่ำสุด ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

โปรดทราบ: เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับปลายสุดไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่จุดนั้นต่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชั่นสามารถเขียนได้ดังนี้:

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตรงจุด x=0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีด จำกัด ด้านเดียวไม่ตรงกันเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

ในขณะเดียวกันฟังก์ชันเดิมจะต่อเนื่องกันที่จุด x=0 (ดูหัวข้อศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง)

มาหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์มีค่าเป็นศูนย์:

ทำเครื่องหมายคะแนนที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้เราจะคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใดก็ได้ของแต่ละช่วงเวลาเช่นที่ x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

นั่นคือ,

ดังนั้น ตามสัญญาณแรกของจุดสุดขั้ว จุดต่ำสุดคือ , แต้มสูงสุดคือ .

เราคำนวณค่าต่ำสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

เราคำนวณค่าสูงสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

.

เครื่องหมายที่สองของส่วนปลายของฟังก์ชัน

อย่างที่คุณเห็น เครื่องหมายของส่วนปลายสุดของฟังก์ชันนี้ต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยอยู่ในลำดับที่สอง ณ จุดนั้น

สุดขีดของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\le f(x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\ge f(x_0) $ ถือ

แนวคิดเรื่องปลายสุดของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องจุดวิกฤติของฟังก์ชัน ให้เราแนะนำคำจำกัดความของมัน

คำจำกัดความที่ 4

$x_0$ เรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชัน $f(x)$ ถ้า:

1) $x_0$ - จุดภายในขอบเขตของคำจำกัดความ

2) $f"\left(x_0\right)=0$ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดเรื่องสุดขั้ว เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเรื่องความเพียงพอ และ เงื่อนไขที่จำเป็นการดำรงอยู่ของเขา

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ให้จุด $x_0$ เป็นจุดวิกฤตสำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ และอยู่ในช่วง $(a,b)$ ในแต่ละช่วง $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"(x)$ มีอยู่และคงเครื่องหมายไว้คงที่ จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์คือ $f"\left(x\right)>0$ และในช่วง $(x_0,b)$ อนุพันธ์คือ $f"\left( x\ขวา)

2) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right)0$ แล้วจุด $x_0$ คือจุดต่ำสุดสำหรับฟังก์ชันนี้

3) ถ้าทั้งสองอยู่ในช่วง $(a,x_0)$ และในช่วงเวลา $(x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right) >0$ หรืออนุพันธ์ $f"\left(x \ขวา)

ทฤษฎีบทนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1

ภาพที่ 1 สภาพที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของภาวะสุดโต่ง

ตัวอย่างสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างจุดสุดขั้ว

กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

7) สรุปการมีอยู่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 2

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ก่อนอื่นเรามาแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเพิ่มและลดกันก่อน

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะเพิ่มขึ้นหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ ที่ $x_1

คำนิยาม 6

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะลดลงหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ สำหรับ $x_1f(x_2)$

ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้นและลดลง

คุณสามารถศึกษาฟังก์ชันการเพิ่มและลดโดยใช้อนุพันธ์ได้

ในการตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน $f(x)$;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

3) หาจุดที่มีความเท่าเทียมกัน $f"\left(x\right)=0$ อยู่;

4) ค้นหาจุดที่ $f"(x)$ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดที่พบและโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้บนเส้นพิกัด

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วงผลลัพธ์

7) สรุป: ในช่วงที่ $f"\left(x\right)0$ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างโจทย์ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้น ลดลง และการมีอยู่ของจุดสุดขั้ว

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง และการมีอยู่ของจุดสูงสุดและต่ำสุด: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

เนื่องจาก 6 แต้มแรกเท่ากัน เรามาดำเนินการกันก่อน

1) โดเมนของคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $f"\ซ้าย(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ มีอยู่ที่ทุกจุดของโดเมนของคำจำกัดความ

5) เส้นพิกัด:

รูปที่ 3.

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วง:

\ \}