การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน

มีรถเข็นพร้อมช็อคโกแลตอยู่ในหอประชุม และผู้เยี่ยมชมทุกคนในวันนี้จะได้รับ คู่หวาน– เรขาคณิตวิเคราะห์ด้วยพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้จะพูดถึงสองส่วนของคณิตศาสตร์ขั้นสูงในคราวเดียว และเราจะดูว่าพวกมันอยู่ร่วมกันอย่างไรในกระดาษห่อเดียว พักสมอง กิน Twix! ...บ้าเอ๊ย ไร้สาระมากมาย แม้ว่าฉันจะไม่ได้คะแนน แต่สุดท้ายแล้วคุณควรมีทัศนคติเชิงบวกต่อการเรียน

การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์, ความเป็นอิสระของเวกเตอร์เชิงเส้น, พื้นฐานเวกเตอร์และคำศัพท์อื่นๆ ไม่เพียงแต่มีการตีความทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่เหนือสิ่งอื่นใดคือความหมายเชิงพีชคณิต แนวคิดของ "เวกเตอร์" จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่เวกเตอร์ "ธรรมดา" เสมอไปที่เราสามารถพรรณนาบนเครื่องบินหรือในอวกาศ คุณไม่จำเป็นต้องมองหาข้อพิสูจน์มากนัก ลองวาดเวกเตอร์ของปริภูมิห้ามิติ . หรือเวกเตอร์สภาพอากาศ ซึ่งฉันเพิ่งไปที่ Gismeteo เพื่อ: – อุณหภูมิและ ความดันบรรยากาศตามลำดับ แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ถูกต้องจากมุมมองของคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครห้ามไม่ให้ทำให้พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์อย่างเป็นทางการ ลมหายใจแห่งฤดูใบไม้ร่วง...

ไม่ ฉันจะไม่ทำให้คุณเบื่อกับทฤษฎี สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น ภารกิจก็คือต้องทำ เข้าใจคำจำกัดความและทฤษฎีบท คำศัพท์ใหม่ (การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระ ผลรวมเชิงเส้น พื้นฐาน ฯลฯ) นำไปใช้กับเวกเตอร์ทั้งหมดจากมุมมองพีชคณิต แต่จะมีตัวอย่างเรขาคณิตให้ ดังนั้นทุกอย่างจึงเรียบง่าย เข้าถึงได้ และชัดเจน นอกจากปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว เรายังพิจารณาปัญหาพีชคณิตทั่วไปด้วย หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทเรียนต่างๆ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองและ จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ระนาบ
พื้นฐานระนาบและระบบพิกัดสัมพันธ์

ลองพิจารณาระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ (แค่โต๊ะ โต๊ะข้างเตียง พื้น เพดาน และอื่นๆ ตามที่คุณต้องการ) งานจะประกอบด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) เลือกพื้นฐานเครื่องบิน. พูดโดยคร่าวๆ โต๊ะจะมีความยาวและความกว้าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่ต้องใช้เวกเตอร์สองตัวเพื่อสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งตัวไม่เพียงพออย่างชัดเจน เวกเตอร์สามตัวนั้นมากเกินไป

2) ขึ้นอยู่กับพื้นฐานที่เลือก กำหนดระบบพิกัด(ตารางพิกัด) เพื่อกำหนดพิกัดให้กับวัตถุทั้งหมดบนโต๊ะ

ไม่ต้องแปลกใจ ในตอนแรกคำอธิบายจะอยู่ที่ปลายนิ้ว ยิ่งไปกว่านั้นเกี่ยวกับตัวคุณ กรุณาวาง นิ้วชี้ซ้ายที่ขอบโต๊ะเพื่อมองจอภาพ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ตอนนี้สถานที่ นิ้วก้อยขวาบนขอบโต๊ะในลักษณะเดียวกัน - เพื่อให้หันไปที่หน้าจอมอนิเตอร์ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ยิ้มสิ คุณดูดีมาก! เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์ข้อมูล คอลลิเนียร์, ซึ่งหมายความว่า เชิงเส้นแสดงออกผ่านกันและกัน:
หรือในทางกลับกัน: โดยที่ตัวเลขบางตัวแตกต่างจากศูนย์

คุณสามารถเห็นภาพการกระทำนี้ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองโดยที่ฉันอธิบายกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

นิ้วของคุณจะวางรากฐานบนระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ เวกเตอร์คอลลิเนียร์เคลื่อนที่ไปมา ตามลำพังทิศทาง และระนาบมีความยาวและความกว้าง

เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.

อ้างอิง: คำว่า "เชิงเส้น" "เชิงเส้น" แสดงถึงความจริงที่ว่าในสมการทางคณิตศาสตร์และนิพจน์ไม่มีกำลังสอง ลูกบาศก์ กำลังอื่น ลอการิทึม ไซน์ ฯลฯ มีเพียงนิพจน์และการขึ้นต่อกันเชิงเส้น (ระดับที่ 1) เท่านั้น

เวกเตอร์ระนาบสองตัว ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าเพียงแต่ว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน.

ไขว้นิ้วบนโต๊ะเพื่อให้มีมุมระหว่างนิ้วทั้งสองข้างที่ไม่ใช่ 0 หรือ 180 องศา เวกเตอร์ระนาบสองตัวเชิงเส้น ไม่ขึ้นอยู่กับว่าพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่. ดังนั้นจึงได้รับพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องอับอายที่พื้นฐานกลายเป็น "เบ้" ด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากซึ่งมีความยาวต่างกัน ในไม่ช้าเราจะเห็นว่าไม่เพียงแต่มุม 90 องศาเท่านั้นที่เหมาะกับการก่อสร้าง และไม่เพียงแต่เวกเตอร์หน่วยที่มีความยาวเท่ากันเท่านั้น

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นได้ถูกขยายออกไปตามพื้นฐาน:
, จำนวนจริงอยู่ที่ไหน ตัวเลขที่ถูกเรียก พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้

ยังได้กล่าวอีกว่า เวกเตอร์นำเสนอเป็น การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน. นั่นคือการแสดงออกที่เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานหรือ การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์ถูกสลายไปตามพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ หรือเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

มากำหนดกัน คำจำกัดความของพื้นฐานอย่างเป็นทางการ: พื้นฐานของเครื่องบินเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่เชิงเส้น) คู่หนึ่ง ในที่นั้น ใดๆเวกเตอร์ระนาบคือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน

จุดสำคัญของคำจำกัดความก็คือความจริงที่ว่าเวกเตอร์นั้นถูกถ่าย ในลำดับที่แน่นอน. ฐาน – นี่คือสองฐานที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! ตามที่กล่าวไว้คุณไม่สามารถเปลี่ยนนิ้วก้อยของมือซ้ายแทนที่นิ้วก้อยของมือขวาได้

เราได้หาพื้นฐานแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอในการตั้งค่าตารางพิกัดและกำหนดพิกัดให้กับแต่ละรายการบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ ทำไมมันไม่พอล่ะ? เวกเตอร์นั้นฟรีและเดินไปทั่วทั้งเครื่องบิน แล้วคุณจะกำหนดพิกัดให้กับจุดสกปรกเล็กๆ น้อยๆ บนโต๊ะที่เหลือจากวันหยุดสุดสัปดาห์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้น และจุดสังเกตดังกล่าวเป็นจุดที่ทุกคนคุ้นเคย - ที่มาของพิกัด มาทำความเข้าใจระบบพิกัดกันดีกว่า:

ฉันจะเริ่มต้นด้วยระบบ "โรงเรียน" อยู่ในบทเรียนเบื้องต้นแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองฉันเน้นความแตกต่างบางประการระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพื้นฐานออร์โธนอร์มอล นี่คือภาพมาตรฐาน:

เมื่อพวกเขาพูดถึง ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจากนั้นส่วนใหญ่มักจะหมายถึงจุดกำเนิด พิกัดแกน และมาตราส่วนตามแนวแกน ลองพิมพ์ "ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม" ลงในเครื่องมือค้นหา แล้วคุณจะเห็นว่าหลายแหล่งจะบอกคุณเกี่ยวกับแกนพิกัดที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 และวิธีการพล็อตจุดบนเครื่องบิน

ในทางกลับกัน ดูเหมือนว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ของพื้นฐานออร์โธนอร์มอล และนั่นเกือบจะเป็นความจริง ถ้อยคำมีดังนี้:

ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดระนาบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน . นั่นก็คือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างแน่นอนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์มุมฉากจุดเดียวและสองหน่วย นั่นคือสาเหตุที่คุณเห็นภาพวาดที่ฉันให้ไว้ข้างต้น - ในปัญหาทางเรขาคณิต มักจะวาดทั้งเวกเตอร์และแกนพิกัด (แต่ไม่เสมอไป)

ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจว่าการใช้จุด (ต้นกำเนิด) และพื้นฐานออร์โธนอร์มอล จุดใดๆ บนเครื่องบินและเวกเตอร์ใดๆ บนเครื่องบินสามารถกำหนดพิกัดได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างว่า “ทุกสิ่งบนเครื่องบินสามารถนับได้”

เวกเตอร์พิกัดจำเป็นต้องเป็นหน่วยหรือไม่? ไม่ พวกเขาสามารถมีความยาวที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ตามใจชอบ พิจารณาจุดและเวกเตอร์มุมฉากสองตัวที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ตามอำเภอใจ:

พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า ตั้งฉาก. ต้นกำเนิดของพิกัดกับเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยตารางพิกัด และจุดใดๆ บนระนาบ เวกเตอร์ใดๆ ก็มีพิกัดของมันบนพื้นฐานที่กำหนด ตัวอย่างเช่นหรือ. ความไม่สะดวกที่เห็นได้ชัดคือเวกเตอร์พิกัด โดยทั่วไปมีความยาวต่างกันนอกจากความสามัคคี หากความยาวเท่ากับความสามัคคี ก็จะได้ค่าพื้นฐานออร์โธนอร์มอลตามปกติ

! บันทึก : ในลักษณะตั้งฉากและด้านล่างในฐานสัมพันธ์ของระนาบและที่ว่าง ให้พิจารณาหน่วยตามแนวแกน มีเงื่อนไข. ตัวอย่างเช่น หนึ่งหน่วยตามแกน x จะมีขนาด 4 ซม. และหนึ่งหน่วยตามแกนกำหนดจะมีขนาด 2 ซม. ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแปลงพิกัดที่ “ไม่เป็นมาตรฐาน” เป็น “เซนติเมตรปกติของเรา” หากจำเป็น

และคำถามที่สอง ซึ่งมีคำตอบไปแล้ว คือมุมระหว่างเวกเตอร์ฐานจะต้องเท่ากับ 90 องศาหรือไม่? เลขที่! ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ เวกเตอร์พื้นฐานจะต้องเป็น ไม่ใช่คอลลิเนียร์เท่านั้น. ดังนั้น มุมสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 ถึง 180 องศา

จุดบนเครื่องบินเรียกว่า ต้นทาง, และ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, , ชุด ระบบพิกัดระนาบอัฟฟิน :

บางครั้งเรียกว่าระบบพิกัดดังกล่าว เฉียงระบบ. ตามตัวอย่าง ภาพวาดจะแสดงจุดและเวกเตอร์:

ดังที่คุณเข้าใจ ระบบพิกัดอัฟฟินนั้นสะดวกน้อยกว่า สูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์และเซ็กเมนต์ซึ่งเราพูดคุยกันในส่วนที่สองของบทเรียนใช้ไม่ได้กับมัน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง,สูตรอร่อยมากมายที่เกี่ยวข้อง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์. แต่กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข สูตรสำหรับการหารส่วนของความสัมพันธ์นี้ รวมถึงปัญหาประเภทอื่น ๆ ที่เราจะพิจารณาในไม่ช้านั้นใช้ได้

และสรุปได้ว่าเป็นกรณีพิเศษที่สะดวกที่สุด ระบบความสัมพันธ์พิกัดเป็นระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณถึงต้องพบเธอบ่อยที่สุดที่รัก ...อย่างไรก็ตาม ทุกสิ่งในชีวิตนี้มีความสัมพันธ์กัน มีหลายสถานการณ์ที่มีมุมเอียง (หรือมุมอื่น ๆ เช่น ขั้วโลก) ระบบพิกัด. และหุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์อาจจะชอบระบบแบบนี้ =)

เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกันดีกว่า ปัญหาทั้งหมดในบทเรียนนี้ใช้ได้กับทั้งระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและกรณีความสัมพันธ์ทั่วไป ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่แม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถเข้าถึงเนื้อหาทั้งหมดได้

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ระนาบได้อย่างไร?

สิ่งทั่วไป เพื่อให้ได้เวกเตอร์ระนาบสองตัว อยู่ในแนวเดียวกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือรายละเอียดแบบประสานงานโดยพิกัดของความสัมพันธ์ที่ชัดเจน

ตัวอย่างที่ 1

ก) ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่ .
b) เวกเตอร์สร้างพื้นฐานหรือไม่? ?

สารละลาย:
ก) ให้เราดูว่ามีเวกเตอร์หรือไม่ ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน:

ฉันจะบอกคุณอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการใช้กฎนี้ในรูปแบบ "ฟุ่มเฟือย" ซึ่งใช้ได้ผลค่อนข้างดีในทางปฏิบัติ แนวคิดคือสร้างสัดส่วนทันทีและดูว่าถูกต้องหรือไม่:

เรามาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน:

มาย่อให้สั้นลง:
ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วนดังนั้น

ความสัมพันธ์อาจทำในทางตรงกันข้าม นี่เป็นตัวเลือกที่เทียบเท่า:

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์แสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้ ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น . ความถูกต้องของพวกมันสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายผ่านการดำเนินการเบื้องต้นด้วยเวกเตอร์:

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) เราตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความเป็นเชิงเส้น . มาสร้างระบบกันเถอะ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น จากสมการที่สองเป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จึงไม่เป็นสัดส่วน

บทสรุป: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

โซลูชันเวอร์ชันที่เรียบง่ายมีลักษณะดังนี้:

ลองสร้างสัดส่วนจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

โดยปกติแล้วตัวเลือกนี้จะไม่ถูกปฏิเสธโดยผู้ตรวจสอบ แต่ปัญหาจะเกิดขึ้นในกรณีที่พิกัดบางพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์ แบบนี้: . หรือเช่นนี้: . หรือเช่นนี้: . ทำงานตามสัดส่วนที่นี่ได้อย่างไร? (อันที่จริงคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายว่า "foppish"

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

ตัวอย่างที่สร้างสรรค์เล็กน้อยสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

เวกเตอร์มีค่าเท่ากับพารามิเตอร์เท่าใด พวกเขาจะเรียงกันไหม?

ในสารละลายตัวอย่าง พารามิเตอร์จะพบได้จากสัดส่วน

มีวิธีพีชคณิตที่หรูหราในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาคอลลิเนียร์ ลองจัดระบบความรู้ของเราและเพิ่มเป็นจุดที่ห้า:

สำหรับเวกเตอร์ระนาบสองตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์.

ตามลำดับ ข้อความตรงข้ามต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ไม่ได้สร้างพื้นฐาน
3) เวกเตอร์เป็นแบบเส้นตรง;
4) เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน
+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์.

ฉันหวังอย่างนั้นจริงๆ ช่วงเวลานี้คุณเข้าใจข้อกำหนดและข้อความทั้งหมดที่คุณพบแล้ว

มาดูประเด็นที่ห้าใหม่ให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เวกเตอร์ระนาบสองอัน อยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์:. แน่นอนว่าหากต้องการใช้ฟีเจอร์นี้ คุณจะต้องสามารถทำได้ ค้นหาปัจจัยกำหนด.

มาตัดสินใจกันตัวอย่างที่ 1 ในวิธีที่สอง:

ก) ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
, ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

มันดูกะทัดรัดและสวยกว่าโซลูชันที่มีสัดส่วนมาก

ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุที่พิจารณา มันเป็นไปได้ที่จะสร้างไม่เพียงแต่ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เท่านั้น แต่ยังพิสูจน์ความขนานของเซ็กเมนต์และเส้นตรงได้ด้วย ลองพิจารณาปัญหาสองสามประการเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะกัน

ตัวอย่างที่ 3

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์: ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาดในปัญหา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ จำคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่า

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิสูจน์:
1) ความขนานของด้านตรงข้ามและ;
2) ความขนานของด้านตรงข้าม และ

เราพิสูจน์:

1) ค้นหาเวกเตอร์:

2) ค้นหาเวกเตอร์:

ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์เดียวกัน (“ตามโรงเรียน” – เวกเตอร์เท่ากัน) Collinearity ค่อนข้างชัดเจน แต่จะดีกว่าถ้าทำการตัดสินใจให้ชัดเจนและมีการจัดเตรียมไว้จะดีกว่า ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง และ

บทสรุป: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันเป็นคู่ๆ ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.

ตัวเลขที่ดีและแตกต่างมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สำหรับการกำหนดหลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้น แน่นอนว่าจะดีกว่าถ้าได้คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่ามันมีลักษณะอย่างไร

นี่เป็นงานสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง วิธีแก้ปัญหาแบบสมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะค่อยๆ เคลื่อนตัวจากเครื่องบินสู่อวกาศ:

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์อวกาศได้อย่างไร?

กฎนี้คล้ายกันมาก เพื่อให้เวกเตอร์อวกาศสองตัวขนานกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านั้นจะต้องเป็นสัดส่วนกันจึงจำเป็นและเพียงพอ.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่:

ก) ;
ข)
วี)

สารละลาย:
ก) มาตรวจสอบว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หรือไม่:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

“ประยุกต์” ถูกทำให้เป็นทางการโดยการตรวจสอบสัดส่วน ในกรณีนี้:
– พิกัดที่สอดคล้องกันไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

คำตอบ:เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

b-c) สิ่งเหล่านี้เป็นจุดสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ลองใช้สองวิธี

มีวิธีการตรวจสอบเวกเตอร์เชิงพื้นที่เพื่อหาคอลลิเนียริตีผ่านปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม วิธีนี้ครอบคลุมอยู่ในบทความ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์.

เช่นเดียวกับกรณีเครื่องบิน เครื่องมือที่ได้รับการพิจารณาสามารถใช้เพื่อศึกษาความขนานของส่วนเชิงพื้นที่และเส้นตรงได้

ยินดีต้อนรับสู่ส่วนที่สอง:

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ
พื้นฐานเชิงพื้นที่และระบบพิกัดสัมพันธ์

รูปแบบต่างๆ มากมายที่เราตรวจสอบบนเครื่องบินนั้นใช้ได้กับอวกาศ ฉันพยายามย่อบันทึกทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด เนื่องจากส่วนแบ่งข้อมูลส่วนใหญ่ถูกเคี้ยวไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนเกริ่นนำอย่างละเอียด เนื่องจากข้อกำหนดและแนวคิดใหม่จะปรากฏขึ้น

ตอนนี้ แทนที่จะเป็นระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ เราสำรวจอวกาศสามมิติ ก่อนอื่นเรามาสร้างพื้นฐานกันก่อน ขณะนี้มีคนอยู่ในบ้าน บางคนอยู่กลางแจ้ง แต่ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่สามารถหลบหนีสามมิติ ได้แก่ ความกว้าง ความยาว และความสูง ดังนั้น ในการสร้างพื้นฐาน จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์เชิงพื้นที่ 3 ตัว เวกเตอร์หนึ่งหรือสองตัวไม่เพียงพอ เวกเตอร์ตัวที่สี่นั้นไม่จำเป็น

และอีกครั้งที่เราอุ่นเครื่องบนนิ้วของเรา โปรดยกมือขึ้นแล้วกางไปในทิศทางต่างๆ นิ้วหัวแม่มือ นิ้วชี้ และนิ้วกลาง. พวกนี้จะเป็นเวกเตอร์ โดยมองไปในทิศทางต่างกัน มีความยาวต่างกัน และมีมุมระหว่างกันต่างกัน ขอแสดงความยินดี พื้นฐานของพื้นที่สามมิติพร้อมแล้ว! ยังไงก็ตามไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งนี้ให้ครูเห็นไม่ว่าคุณจะบิดนิ้วแรงแค่ไหน แต่ก็หนีไม่พ้นคำจำกัดความ =)

ต่อไปลองถามดู ปัญหาสำคัญ, เวกเตอร์สามตัวใดๆ จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ? กรุณากดสามนิ้วที่ด้านบนของโต๊ะคอมพิวเตอร์ให้แน่น เกิดอะไรขึ้น เวกเตอร์สามตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน และพูดคร่าวๆ ก็คือ เราได้สูญเสียมิติหนึ่งไป นั่นก็คือความสูง เวกเตอร์ดังกล่าวคือ เครื่องบินร่วมและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้สร้างพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์โคพลานาร์ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน แต่สามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ ระนาบขนาน(อย่าใช้นิ้วทำอย่างนี้ มีเพียงซัลวาดอร์ ดาลีเท่านั้นที่ดึงออกด้วยวิธีนี้ =))

คำนิยาม: เรียกว่าเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมหากมีระนาบที่ขนานกัน เป็นตรรกะที่ต้องเพิ่มตรงนี้ว่า หากไม่มีระนาบดังกล่าว เวกเตอร์ก็จะไม่เป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอนั่นคือพวกมันถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน เพื่อความง่าย ลองจินตนาการอีกครั้งว่าพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการแรก เวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นโคพลานาร์เท่านั้น แต่ยังสามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ด้วย จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ ในกรณีที่สอง ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน เวกเตอร์ที่สามก็จะแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านั้นในลักษณะเฉพาะ: (และเหตุใดจึงเดาง่ายจากเนื้อหาในหัวข้อที่แล้ว)

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอนั่นคือพวกเขาไม่ได้แสดงออกผ่านกันในทางใดทางหนึ่ง และเห็นได้ชัดว่ามีเพียงเวกเตอร์ดังกล่าวเท่านั้นที่สามารถสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้

คำนิยาม: พื้นฐานของพื้นที่สามมิติเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามเท่า (ไม่ใช่โคพลานาร์) ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอนและเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิ วิธีเดียวเท่านั้นถูกสลายไปบนพื้นฐานที่กำหนด โดยที่พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้อยู่ที่ไหน

ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์แสดงอยู่ในรูปแบบด้วย การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

แนวคิดของระบบพิกัดถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับกรณีเครื่องบิน จุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามจุดก็เพียงพอแล้ว:

ต้นทาง, และ ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน, ชุด ระบบพิกัดสัมพันธ์ของปริภูมิสามมิติ :

แน่นอนว่าตารางพิกัดนั้น "เอียง" และไม่สะดวก แต่ถึงกระนั้นระบบพิกัดที่สร้างขึ้นก็ช่วยให้เรา อย่างแน่นอนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดใด ๆ ในอวกาศ เช่นเดียวกับเครื่องบิน สูตรบางสูตรที่ผมได้กล่าวไปแล้วจะใช้ไม่ได้ในระบบพิกัดอัฟฟินของอวกาศ

กรณีพิเศษที่คุ้นเคยและสะดวกที่สุดของระบบพิกัดอัฟฟินตามที่ทุกคนเดาก็คือ ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยม:

จุดหนึ่งในอวกาศที่เรียกว่า ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดอวกาศสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน . ภาพที่คุ้นเคย:

ก่อนที่จะไปสู่การปฏิบัติ เรามาจัดระบบข้อมูลอีกครั้ง:

สำหรับเวกเตอร์ปริภูมิสามตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ระนาบเดียว
4) เวกเตอร์ไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้
5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ แตกต่างจากศูนย์

ฉันคิดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามสามารถเข้าใจได้

การพึ่งพาเชิงเส้น/ความเป็นอิสระของเวกเตอร์ปริภูมิจะถูกตรวจสอบแบบดั้งเดิมโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ (จุดที่ 5) งานภาคปฏิบัติที่เหลือจะมีลักษณะพีชคณิตที่เด่นชัด ถึงเวลาที่จะแขวนแท่งทรงเรขาคณิตแล้วควงไม้เบสบอลของพีชคณิตเชิงเส้น:

เวกเตอร์อวกาศสามตัวเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์: .

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: พิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ไม่เพียง แต่ในคอลัมน์เท่านั้น แต่ยังอยู่ในแถวด้วย (ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงด้วยเหตุนี้ - ดูคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) แต่จะดีกว่ามากในคอลัมน์เนื่องจากมีประโยชน์มากกว่าในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

สำหรับผู้อ่านที่ลืมวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไปบ้างหรืออาจมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำบทเรียนที่เก่าแก่ที่สุดบทเรียนหนึ่งของฉัน: จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติหรือไม่:

สารละลาย: อันที่จริง คำตอบทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ก) มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์กัน (ดีเทอร์มิแนนต์ถูกเปิดเผยในบรรทัดแรก):

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่ระนาบร่วม) และสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

คำตอบ: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นฐาน

b) นี่คือประเด็นสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

นอกจากนี้ยังมีงานสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 7

เวกเตอร์จะเป็นโคระนาบที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด

สารละลาย: เวกเตอร์จะเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้สมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์ เราโฉบลงบนศูนย์เหมือนว่าวบน jerboas - เป็นการดีที่สุดที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ในบรรทัดที่สองและกำจัด minuses ทันที:

เราดำเนินการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมและลดเรื่องให้เป็นสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

คำตอบ: ที่

ตรวจสอบได้ง่ายที่นี่ โดยต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ให้เป็นค่าดีเทอร์มิแนนต์เดิม และตรวจสอบให้แน่ใจว่า , เปิดอีกครั้ง.

โดยสรุป เราจะพิจารณาปัญหาทั่วไปอีกปัญหาหนึ่ง ซึ่งมีลักษณะเป็นพีชคณิตมากกว่าและมักจะรวมอยู่ในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น เป็นเรื่องปกติมากที่สมควรได้รับหัวข้อของตัวเอง:

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 3 ตัวเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
และหาพิกัดของเวกเตอร์ตัวที่ 4 บนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างที่ 8

มีการกำหนดเวกเตอร์ แสดงว่าเวกเตอร์สร้างพื้นฐานในปริภูมิสามมิติและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้

สารละลาย: ก่อนอื่นมาจัดการกับเงื่อนไขกันก่อน ตามเงื่อนไข จะมีการกำหนดเวกเตอร์สี่ตัว และอย่างที่คุณเห็น เวกเตอร์เหล่านี้มีพิกัดอยู่แล้วในบางพื้นฐาน สิ่งที่เป็นพื้นฐานนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรา และสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ: เวกเตอร์สามตัวอาจสร้างฐานใหม่ได้ และขั้นตอนแรกเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบของตัวอย่างที่ 6 โดยสมบูรณ์ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นจริงหรือไม่:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

! สำคัญ : พิกัดเวกเตอร์ อย่างจำเป็นเขียนลงไป ลงในคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ในสตริง มิฉะนั้นจะเกิดความสับสนในอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

ในบทความนี้เราจะกล่าวถึง:

• เวกเตอร์คอลลิเนียร์คืออะไร
• อะไรคือเงื่อนไขสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์
• คุณสมบัติของเวกเตอร์คอลลิเนียร์คืออะไร
• การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์คอลลิเนียร์คืออะไร

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์คอลลิเนียร์คือเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงหรืออยู่บนเส้นเดียว

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวจะขนานกันหากมีเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

• เงื่อนไข 1 . เวกเตอร์ a และ b อยู่ในแนวเดียวกันถ้ามีจำนวน γ โดยที่ a = แล b;
• เงื่อนไข 2 . เวกเตอร์ a และ b อยู่ในแนวเดียวกันโดยมีอัตราส่วนพิกัดเท่ากัน:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• เงื่อนไข 3 . เวกเตอร์ a และ b เป็นเส้นตรงโดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณไขว้และเวกเตอร์ศูนย์เท่ากัน:

ก ∥ ข ⇔ ก, ข = 0

หมายเหตุ 1

เงื่อนไขที่ 2 ใช้ไม่ได้หากพิกัดเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

โน้ต 2

เงื่อนไขที่ 3 ใช้เฉพาะกับเวกเตอร์ที่ระบุในช่องว่างเท่านั้น

ตัวอย่างปัญหาเพื่อศึกษาความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 1

เราตรวจสอบเวกเตอร์ a = (1; 3) และ b = (2; 1) เพื่อหาความเป็นเชิงเส้น

วิธีแก้ปัญหา?

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขคอลลิเนียร์ริตีที่ 2 สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดจะมีลักษณะดังนี้:

ความเท่าเทียมกันเป็นเท็จ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ a และ b ไม่ใช่เส้นตรง

คำตอบ : ก | | ข

ตัวอย่างที่ 2

ค่า m ของเวกเตอร์ a = (1; 2) และ b = (- 1; m) จำเป็นสำหรับเวกเตอร์ที่จะอยู่ในแนวเดียวกัน?

วิธีแก้ปัญหา?

เมื่อใช้เงื่อนไขคอลลิเนียร์ริตีที่สอง เวกเตอร์จะอยู่ในแนวเดียวกันหากพิกัดของพวกมันเป็นสัดส่วน:

นี่แสดงว่า m = - 2

คำตอบ: ม. = - 2 .

เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

ทฤษฎีบท

ระบบเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งของระบบสามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบนี้

การพิสูจน์

ให้ระบบ e 1 , e 2 , . . . , e n ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ให้เราเขียนผลรวมเชิงเส้นของระบบนี้เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

ก 1 อี 1 + 2 อี 2 + . . . + a และ e n = 0

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การรวมกันอย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เท่ากับศูนย์

ให้ k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

เราหารทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์:

ak - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 n) e n = 0

เรามาแสดงว่า:

A k - 1 a m โดยที่ m ∈ 1 , 2 , . . . , เค - 1 , เค + 1 , น

ในกรณีนี้:

β 1 อี 1 + . . . + β k - 1 ek - 1 + β k + 1 ek + 1 + . . . + β n อี n = 0

หรือ e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) อี น

ตามมาว่าหนึ่งในเวกเตอร์ของระบบแสดงผ่านเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดของระบบ ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์ (ฯลฯ )

ความเพียงพอ

ให้เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดของระบบ:

อีเค = γ 1 อี 1 + . . . + γ k - 1 ek - 1 + γ k + 1 ek + 1 + . . . + γ n อี n

เราย้ายเวกเตอร์ e k ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้:

0 = γ 1 อี 1 + . . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + γ k + 1 ek + 1 + . . . + γ n อี n

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ e k เท่ากับ - 1 ≠ 0 เราจึงได้ค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญโดยระบบเวกเตอร์ e 1, e 2, . . , e n และนี่ก็หมายความว่าอย่างนั้น ระบบนี้เวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์ (ฯลฯ )

ผลที่ตามมา:

• ระบบของเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เมื่อไม่สามารถแสดงเวกเตอร์ใดๆ ของมันในรูปของเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดของระบบได้
• ระบบเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์หนึ่งหรือสองศูนย์ เวกเตอร์ที่เท่ากัน, ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้น

1. สำหรับเวกเตอร์ 2 และ 3 มิติ ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสองตัวเป็นเส้นตรง เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
2. สำหรับเวกเตอร์ 3 มิติ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสามตัวเป็นโคพลานาร์ (เวกเตอร์โคพลานาร์ 3 ตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)
3. สำหรับเวกเตอร์ n มิติ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: เวกเตอร์ n + 1 จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นเสมอ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นหรือความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

ลองตรวจสอบเวกเตอร์ a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 สำหรับความเป็นอิสระเชิงเส้น

สารละลาย. เวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเนื่องจากขนาดของเวกเตอร์น้อยกว่าจำนวนเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 4

ลองตรวจสอบเวกเตอร์ a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 เพื่อดูความเป็นอิสระเชิงเส้น

สารละลาย. เราค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ผลรวมเชิงเส้นจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

x 1 ก + x 2 ข + x 3 ค 1 = 0

เราเขียนสมการเวกเตอร์ในรูปแบบเชิงเส้น:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

เราแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีเกาส์:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

จากบรรทัดที่ 2 เราลบที่ 1 จากบรรทัดที่ 3 - 1:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

จากบรรทัดที่ 1 เราลบบรรทัดที่ 2 ไปจนถึงบรรทัดที่ 3 เราเพิ่มบรรทัดที่ 2:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

จากการแก้ปัญหาจึงตามมาว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย ซึ่งหมายความว่ามีการรวมกันที่ไม่ใช่ศูนย์ของค่าของตัวเลขดังกล่าว x 1, x 2, x 3 ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของ a, b, c เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์ a, b, c คือ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ภารกิจที่ 1ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ระบบของเวกเตอร์จะถูกระบุโดยเมทริกซ์ของระบบ ซึ่งคอลัมน์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์

.

สารละลาย.ปล่อยให้ผลรวมเชิงเส้น เท่ากับศูนย์ เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัดแล้ว ระบบต่อไปนี้สมการ:

.

ระบบสมการดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยม เธอมีทางออกเดียวเท่านั้น . ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น

ภารกิจที่ 2ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

.

สารละลาย.เวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ดูปัญหาที่ 1) ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ . สัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ ถูกกำหนดจากระบบสมการ

.

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเช่นเดียวกับระบบสามเหลี่ยม

ดังนั้นระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น. เมทริกซ์ชนิดเดียวกันกับในปัญหาที่ 1 เรียกว่า สามเหลี่ยม และในปัญหาที่ 2 – ก้าวเป็นรูปสามเหลี่ยม . คำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นั้นแก้ไขได้ง่ายถ้าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมขั้น หากเมทริกซ์ไม่มีรูปแบบพิเศษให้ใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้น เพื่อรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคอลัมน์ จึงสามารถลดให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันไดได้

การแปลงสตริงเบื้องต้นเมทริกซ์ (EPS) การดำเนินการต่อไปนี้บนเมทริกซ์เรียกว่า:

1) การจัดเรียงบรรทัดใหม่

2) การคูณสตริงด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มสตริงอื่นลงในสตริงคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้

ภารกิจที่ 3ค้นหาระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดและคำนวณอันดับของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.ให้เราลดเมทริกซ์ของระบบโดยใช้ EPS ให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได เพื่ออธิบายขั้นตอนนี้ เราแสดงบรรทัดที่มีจำนวนเมทริกซ์ที่จะแปลงด้วยสัญลักษณ์ คอลัมน์หลังลูกศรระบุการดำเนินการในแถวของเมทริกซ์ที่กำลังแปลงซึ่งจะต้องดำเนินการเพื่อให้ได้แถวของเมทริกซ์ใหม่

.

แน่นอนว่าสองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ผลลัพธ์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น คอลัมน์ที่สามคือผลรวมเชิงเส้น และคอลัมน์ที่สี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสองคอลัมน์แรก เวกเตอร์ เรียกว่าพื้นฐาน พวกมันสร้างระบบย่อยที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ และอันดับของระบบคือสาม

พื้นฐานพิกัด

ภารกิจที่ 4ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตซึ่งมีพิกัดที่ตรงตามเงื่อนไข .

สารละลาย. ฉากนี้เป็นเครื่องบินที่ผ่านจุดกำเนิด พื้นฐานตามอำเภอใจบนระนาบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานที่เลือกถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ เมื่อคุณสามารถค้นหาฐานโดยใช้พิกัดได้

พิกัด ช่องว่างไม่ใช่พิกัดบนระนาบ เนื่องจากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกเขาไม่เป็นอิสระ ตัวแปรอิสระและ (เรียกว่าอิสระ) จะกำหนดเวกเตอร์บนระนาบโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นจึงสามารถเลือกเป็นพิกัดใน แล้วพื้นฐาน ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่อยู่ในและสอดคล้องกับเซตของตัวแปรอิสระ และ , นั่นคือ .

ภารกิจที่ 5ค้นหาฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในอวกาศซึ่งมีพิกัดคี่เท่ากัน

สารละลาย. ให้เราเลือกพิกัดในอวกาศเช่นเดียวกับในปัญหาที่แล้ว

เพราะ แล้วตามด้วยตัวแปรอิสระ กำหนดเวกเตอร์โดยไม่ซ้ำกันจากและเป็นพิกัด พื้นฐานที่สอดคล้องกันประกอบด้วยเวกเตอร์

ภารกิจที่ 6ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดในแบบฟอร์ม , ที่ไหน – ตัวเลขที่กำหนดเอง

สารละลาย. เมทริกซ์แต่ละตัวจากสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในรูปแบบ:

ความสัมพันธ์นี้คือการขยายตัวของเวกเตอร์จากเทียบกับพื้นฐาน
พร้อมพิกัด .

ภารกิจที่ 7ค้นหามิติและพื้นฐานของเส้นตรงของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.เมื่อใช้ EPS เราจะแปลงเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์ของระบบเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได

.

คอลัมน์ เมทริกซ์สุดท้ายมีความเป็นอิสระเชิงเส้นและคอลัมน์ แสดงเป็นเส้นตรงผ่านพวกมัน ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นพื้นฐาน , และ .

ความคิดเห็น. พื้นฐานใน ถูกเลือกอย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ มาเป็นพื้นฐานด้วย .

คำนิยาม. ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a 1 , ..., a n ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x 1 , ..., x n เรียกว่าเวกเตอร์

x 1 ก 1 + ... + x n ก n .

เล็กน้อยถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด x 1 , ..., xn เท่ากับศูนย์

คำนิยาม. การรวมกันเชิงเส้น x 1 a 1 + ... + xn a n เรียกว่า ไม่สำคัญถ้าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า x 1, ..., xn ไม่เท่ากับศูนย์

เป็นอิสระเชิงเส้นหากไม่มีผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

นั่นคือ เวกเตอร์ a 1, ..., a n มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้า x 1 a 1 + ... + xn a n = 0 ก็ต่อเมื่อ x 1 = 0, ..., x n = 0

คำนิยาม. เวกเตอร์ a 1, ..., a n ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีการรวมกันของเวกเตอร์เหล่านี้ที่ไม่สำคัญซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น:

สำหรับเวกเตอร์ 2 และ 3 มิติ

เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสองตัวนั้นอยู่ในแนวเดียวกัน (เวกเตอร์คอลลิเนียร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)

สำหรับเวกเตอร์สามมิติ

เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสามตัวคือโคพลานาร์ (เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)

• สำหรับเวกเตอร์ n มิติ

  เวกเตอร์ n + 1 จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอ

ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงหรือไม่ .

สารละลาย:

เวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจากขนาดของเวกเตอร์น้อยกว่าจำนวนเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

สารละลาย:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

ลบอันที่สองจากบรรทัดแรก เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

ผลเฉลยนี้แสดงให้เห็นว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย กล่าวคือ มีค่าผสมของตัวเลข x 1, x 2, x 3 ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a, b, c เท่ากับ เวกเตอร์ศูนย์ เช่น:

ก + ข + ค = 0

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ a, b, c ขึ้นกับเชิงเส้นตรง

คำตอบ:เวกเตอร์ a, b, c ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

สารละลาย:ให้เราค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

x 1 ก + x 2 ข + x 3 ค 1 = 0

สมการเวกเตอร์นี้สามารถเขียนเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

เรามาแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีเกาส์กัน

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สอง ลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สาม:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

ลบอันที่สองจากบรรทัดแรก เพิ่มวินาทีในบรรทัดที่สาม