รากของดีกรีธรรมชาติจากตัวอย่างจำนวนหนึ่ง รากที่สองทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติของมัน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทความนี้เป็นการรวบรวมข้อมูลโดยละเอียดที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อคุณสมบัติของรูต เมื่อพิจารณาตามหัวข้อแล้วเราจะเริ่มด้วยคุณสมบัติ ศึกษาสูตร ทั้งหมด และเตรียมหลักฐาน เพื่อรวบรวมหัวข้อ เราจะพิจารณาคุณสมบัติของระดับที่ n

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

คุณสมบัติของราก

เราจะพูดถึงคุณสมบัติ

1. คุณสมบัติ คูณตัวเลข กและ ขซึ่งแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a · b = a · b มันสามารถแสดงในรูปของปัจจัย บวกหรือเท่ากับศูนย์ ก 1 , 2 , … , หรือเคดังที่ 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. จากผลหาร a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 ก็เขียนได้ในรูปแบบนี้ a b = a b;
3. สมบัติจากยกกำลังของตัวเลข กโดยมีเลขชี้กำลังคู่ 2 m = a m สำหรับจำนวนใดๆ กเช่น คุณสมบัติของกำลังสองของตัวเลข a 2 = a

ในสมการที่นำเสนอ คุณสามารถสลับส่วนก่อนและหลังเครื่องหมายขีดกลางได้ เช่น ความเท่าเทียมกัน a · b = a · b จะถูกแปลงเป็น a · b = a · b คุณสมบัติความเท่าเทียมกันมักใช้เพื่อทำให้สมการที่ซับซ้อนง่ายขึ้น

การพิสูจน์คุณสมบัติข้อแรกนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรากที่สองและคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่สาม จำเป็นต้องอ้างอิงถึงคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

ก่อนอื่น จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สอง a · b = a · b ตามคำนิยามต้องพิจารณาว่า a b เป็นตัวเลขบวกหรือเท่ากับศูนย์ซึ่งจะเท่ากับ ขระหว่างการก่อสร้าง เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ค่าของนิพจน์ a · b เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์เป็นผลคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของกำลังของจำนวนคูณทำให้เราสามารถแสดงความเท่าเทียมกันในรูปแบบ (a · b) 2 = a 2 · b 2 . ตามนิยามของรากที่สอง a 2 = a และ b 2 = b จากนั้น a · b = a 2 · b 2 = a · b

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้จากผลิตภัณฑ์ เคตัวคูณ ก 1 , 2 , … , หรือเคจะเท่ากับสินค้า รากที่สองจากปัจจัยเหล่านี้ โดยแท้จริงแล้ว a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k

จากความเท่าเทียมกันนี้ จะได้ว่า a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k

ลองดูตัวอย่างบางส่วนเพื่อเสริมหัวข้อนี้

ตัวอย่างที่ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 และ 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของผลหาร: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 คุณสมบัติช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a: b 2 = a 2: b 2 และ a 2: b 2 = a: b ในขณะที่ a: b เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ สำนวนนี้จะกลายเป็นข้อพิสูจน์

ตัวอย่างเช่น 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 และ 30.121 = 30.121

พิจารณาคุณสมบัติของรากที่สองของกำลังสองของตัวเลข สามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันได้เป็น 2 = a เพื่อพิสูจน์คุณสมบัตินี้จำเป็นต้องพิจารณารายละเอียดความเท่าเทียมกันหลายประการสำหรับ ก ≥ 0และที่ ก< 0 .

แน่นอนว่า สำหรับ ≥ 0 ความเท่าเทียมกัน 2 = a จะเป็นจริง ที่ ก< 0 ความเท่าเทียมกัน a 2 = - a จะเป็นจริง ที่จริงแล้วในกรณีนี้ − ก > 0และ (- ก) 2 = ก 2 เราสามารถสรุปได้ว่า a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

5 2 = 5 = 5 และ - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วจะช่วยปรับให้ 2 m = a m โดยที่ ก– จริงและ ม– จำนวนธรรมชาติ แท้จริงแล้วคุณสมบัติของการเพิ่มพลังทำให้เราสามารถทดแทนพลังได้ 2 มการแสดงออก (ม) 2จากนั้น 2 m = (a m) 2 = a m

ตัวอย่างที่ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 และ (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

คุณสมบัติของรากที่ n

ขั้นแรก เราต้องพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของรากที่ n:

1. คุณสมบัติจากผลคูณของตัวเลข กและ ขซึ่งเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ สามารถแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a · bn = a n · bn คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับผลิตภัณฑ์ เคตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคดังที่ 1 · 2 · … · a k n = a 1 n · 2 n · … · a k n ;
2. จากจำนวนเศษส่วนมีคุณสมบัติ a bn = a n bn โดยที่ กคือจำนวนจริงใดๆ ที่เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ และ ข– จำนวนจริงบวก
3. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่ง กและแม้กระทั่งตัวชี้วัด n = 2 ม a 2 · m 2 · m = a เป็นจริง และสำหรับคี่ n = 2 ม. - 1ความเท่าเทียมกัน a 2 · m - 1 2 · m - 1 = การคงอยู่
4. คุณสมบัติของการสกัดจาก a m n = a n m โดยที่ ก– จำนวนใดๆ บวกหรือเท่ากับศูนย์ nและ ม – ตัวเลขธรรมชาติคุณสมบัตินี้สามารถแสดงในรูปแบบได้เช่นกัน - - nk n 2 n 1 = n 1 · n 2 - - ครับ ;
5. สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบใดๆ และตามใจชอบ nและ มซึ่งเป็นธรรมชาติ เรายังสามารถกำหนดความเสมอภาคที่ยุติธรรม a m n · m = a n ;
6. คุณสมบัติของปริญญา nจากพลังของตัวเลข กซึ่งเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์กับพลังธรรมชาติ มกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน a m n = a n m ;
7. คุณสมบัติการเปรียบเทียบที่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน: สำหรับจำนวนบวกใดๆ กและ ขเช่นนั้น ก< b , อสมการ a n< b n ;
8. คุณสมบัติการเปรียบเทียบที่มีตัวเลขเดียวกันอยู่ใต้รูท: ถ้า มและ ไม่มี –ตัวเลขธรรมชาตินั้น ม > นแล้วที่ 0 < a < 1 อสมการ a m > a n เป็นจริง และเมื่อใด ก > 1ดำเนินการม< a n .

ความเท่าเทียมกันที่ให้ไว้ข้างต้นจะใช้ได้หากมีการสลับส่วนก่อนและหลังเครื่องหมายเท่ากับ สามารถใช้ในรูปแบบนี้ได้ ซึ่งมักใช้เมื่อลดความซับซ้อนหรือเปลี่ยนนิพจน์

การพิสูจน์คุณสมบัติข้างต้นของรูทนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ คุณสมบัติของดีกรี และคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข คุณสมบัติเหล่านี้จะต้องได้รับการพิสูจน์ แต่ทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ

1. ก่อนอื่น มาพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่ n ของผลิตภัณฑ์ a · bn = a n · bn กันก่อน สำหรับ กและ ข ซึ่งเป็น บวกหรือเท่ากับศูนย์ , ค่า a n · bn ก็เป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์เช่นกัน เนื่องจากเป็นผลมาจากการคูณจำนวนที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของผลคูณกับพลังธรรมชาติทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a n · b n n = a n n · b n n ตามคำจำกัดความของรูต n- องศา a n n = a และ b n n = b ดังนั้น a n · bn n = a · b ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นคือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์อย่างแท้จริง

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้เช่นเดียวกันสำหรับผลิตภัณฑ์ เคตัวประกอบ: สำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติรูท n- กำลังจากผลิตภัณฑ์: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 และ 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของรากของผลหาร a bn = a n bn . ที่ ก ≥ 0และ ข > 0ตรงตามเงื่อนไข a n b n ≥ 0 และ a n b n n = a n n b n n = a b

มาแสดงตัวอย่างกัน:

ตัวอย่างที่ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 และ 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. ขั้นตอนต่อไปจำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของดีกรีที่ n จากจำนวนหนึ่งไปจนถึงดีกรี n- ลองจินตนาการว่านี่เป็นความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และ 2 m - 1 2 m - 1 = a สำหรับจำนวนจริงใดๆ กและเป็นธรรมชาติ ม- ที่ ก ≥ 0เราได้ a = a และ 2 m = a 2 m ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และความเท่าเทียมกัน a 2 m - 1 2 m - 1 = a ชัดเจน ที่ ก< 0 เราได้รับตามลำดับ a = - a และ 2 m = (- a) 2 m = a 2 m การแปลงตัวเลขครั้งล่าสุดนั้นถูกต้องตามคุณสมบัติกำลัง นี่คือสิ่งที่พิสูจน์ความเท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ a 2 m 2 m = a และ 2 m - 1 2 m - 1 = a จะเป็นจริงเนื่องจากถือว่าระดับคี่ - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 สำหรับหมายเลขใดๆ ค ,บวกหรือเท่ากับศูนย์

เพื่อรวบรวมข้อมูลที่ได้รับ ลองพิจารณาหลายตัวอย่างโดยใช้คุณสมบัติ:

ตัวอย่างที่ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 และ (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39

1. มาพิสูจน์กัน ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้เป็น ม n = n · ม . ในการทำเช่นนี้ คุณต้องสลับตัวเลขก่อนและหลังเครื่องหมายเท่ากับ a n · m = a mn นี่จะหมายความว่ารายการถูกต้อง สำหรับ ก,ซึ่งเป็นค่าบวก หรือเท่ากับศูนย์ , ในรูป a m n เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้เรามาดูคุณสมบัติของการเพิ่มพลังเป็นพลังและคำจำกัดความของมัน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถแปลงความเท่าเทียมกันในรูปแบบ a m n n · m = a m n n m = a m m = a นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติของรากของรากที่กำลังพิจารณา

คุณสมบัติอื่นๆ ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จริงหรือ, . - - ครับ n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . - - · n k = . - - ครับ n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . - - · n k = . - - nk n 4 n 3 n 3 · n 4 · . - - · n k = . - - = ก ก ก = ก

ตัวอย่างเช่น 7 3 5 = 7 5 3 และ 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ a m n · m = a n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแสดงว่า n เป็นตัวเลข บวกหรือเท่ากับศูนย์ เมื่อยกกำลัง n m เท่ากับ เช้า- ถ้าเป็นจำนวน กเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์แล้ว n- องศาจากหมู่ กเป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ a n · m n = a n n m ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

เพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับเรามาดูตัวอย่างกัน

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ - คุณสมบัติของรากของพลังในรูปแบบ a m n = a n m . เห็นได้ชัดว่าเมื่อ ก ≥ 0ระดับ a n m เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ อีกทั้งเธอ nกำลัง th เท่ากับ เช้าจริงๆ แล้ว a n m n = a n m · n = a n n m = a m นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติของปริญญาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เช่น 2 3 5 3 = 2 3 3 5

1. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ กและ b เป็นไปตามเงื่อนไข ก< b - พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ก< b - ดังนั้น n< b n при ก< b .

เช่น ให้ 12 4 กัน< 15 2 3 4 .

1. พิจารณาคุณสมบัติของราก n- องศา จำเป็นต้องพิจารณาส่วนแรกของความไม่เท่าเทียมกันก่อน ที่ ม > นและ 0 < a < 1 จริง m > a n สมมุติว่า a m ≤ a n คุณสมบัติจะช่วยให้คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์เป็น n m · n ≤ a m m · n จากนั้น ตามคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อสมการ a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n ถืออยู่นั่นคือ n ≤ am m- มูลค่าที่ได้รับที่ ม > นและ 0 < a < 1 ไม่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่ระบุข้างต้น

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อใด ม > นและ ก > 1เงื่อนไข a m เป็นจริง< a n .

เพื่อที่จะรวมคุณสมบัติข้างต้นเข้าด้วยกัน ให้พิจารณาหลายๆ ข้อด้วยกัน ตัวอย่างเฉพาะ- ลองดูความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวเลขเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

• รากเลขคณิตที่มีดีกรีธรรมชาติ n>=2 ของจำนวน a ที่ไม่เป็นลบ มีค่าบางค่าที่ไม่ใช่ จำนวนลบเมื่อยกกำลัง n จะได้ตัวเลข a

สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ a ที่ไม่เป็นลบและ n ธรรมชาติใดๆ สมการ x^n=a จะมีรากที่ไม่เป็นลบเพียงรากเดียว มันคือรากนี้ที่เรียกว่า รากเลขคณิตระดับที่ n จากหมายเลข a

รากเลขคณิตของระดับที่ n ของตัวเลขแสดงดังนี้: n√a จำนวน a ในกรณีนี้เรียกว่านิพจน์ราก

รากเลขคณิตของดีกรีที่สองเรียกว่ารากที่สอง และรากเลขคณิตของดีกรีที่สามเรียกว่ารากที่สาม

คุณสมบัติพื้นฐานของรากเลขคณิตของดีกรีที่ n

• 1. (n√a)^n = ก.

ตัวอย่างเช่น (5√2)^5 = 2

คุณสมบัตินี้ต่อจากคำจำกัดความของรากเลขคณิตที่ n โดยตรง

ถ้า a มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ b มากกว่าศูนย์และ n m เป็นจำนวนธรรมชาติโดยที่ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ m มากกว่าหรือเท่ากับ 2 แล้วคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

ตัวอย่างเช่น 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b)

เช่น 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m)

ตัวอย่างเช่น 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a

ตัวอย่างเช่น 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 ตัวเลข b สามารถเท่ากับศูนย์ และในคุณสมบัติ 4 ตัวเลข m อาจเป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยมีเงื่อนไขว่า a>0

หลักฐานแสดงทรัพย์สินที่สอง

คุณสมบัติสี่ประการสุดท้ายทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นเราจะจำกัดตัวเองให้พิสูจน์เฉพาะคุณสมบัติที่สองเท่านั้น: n√(a*b)= n√a*n√b

เมื่อใช้คำจำกัดความของรากเลขคณิต เราจะพิสูจน์ว่า n√(a*b)= n√a*n√b

ในการทำเช่นนี้ เราได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงสองประการ: n√a*n√b มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และนั่น (n√a*n√b.)^n = ab

• 1. n√a*n√b มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เนื่องจากทั้ง a และ b มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b เนื่องจาก (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

Q.E.D. ทรัพย์สินจึงเป็นจริง มักจะต้องใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีรากทางคณิตศาสตร์

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

ลองหาคำตอบว่าแนวคิดของ "ราก" นี้คืออะไรและ "มันกินกับอะไร" เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาดูตัวอย่างที่คุณพบแล้วในชั้นเรียน (หรือคุณเพิ่งจะเจอสิ่งนี้)

ตัวอย่างเช่น เรามีสมการ คำตอบของสมการนี้คืออะไร? ตัวเลขใดที่สามารถยกกำลังสองและรับได้? เมื่อนึกถึงตารางสูตรคูณ คุณสามารถให้คำตอบได้อย่างง่ายดาย: และ (ท้ายที่สุด เมื่อคูณจำนวนลบสองตัว จะได้จำนวนบวก)! เพื่อให้ง่ายขึ้น นักคณิตศาสตร์แนะนำ แนวคิดพิเศษสแควร์รูทและกำหนดให้เป็นสัญลักษณ์พิเศษ

ให้เรานิยามรากที่สองทางคณิตศาสตร์

ทำไมตัวเลขจึงต้องไม่เป็นลบ? เช่น มันเท่ากับอะไร? เอาล่ะ เรามาลองเลือกอันหนึ่งกันดีกว่า อาจจะสาม? มาตรวจสอบกันดีกว่า: ไม่ใช่ อาจจะ, ? เราตรวจสอบอีกครั้ง: . มันไม่พอดีเหรอ? เป็นสิ่งที่คาดหวังได้ เพราะไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะให้จำนวนลบ!
นี่คือสิ่งที่คุณต้องจำ: ตัวเลขหรือนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูตจะต้องไม่เป็นลบ!

อย่างไรก็ตาม ผู้เอาใจใส่มากที่สุดอาจสังเกตเห็นแล้วว่าคำนิยามบอกว่าคำตอบของรากที่สองของ “จำนวนหนึ่งเรียกว่าสิ่งนี้ ไม่เป็นลบจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ " พวกคุณบางคนจะบอกว่าในตอนแรกเราดูตัวอย่าง จำนวนที่เลือกซึ่งสามารถยกกำลังสองและรับได้ คำตอบคือ และ แต่ที่นี่เรากำลังพูดถึง "จำนวนที่ไม่เป็นลบ" บางประเภท! คำพูดนี้ค่อนข้างเหมาะสม ตรงนี้คุณเพียงแค่ต้องแยกแยะระหว่างแนวคิดของสมการกำลังสองกับรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข ตัวอย่างเช่น ไม่เทียบเท่ากับนิพจน์

เป็นไปตามนั้นนั่นคือหรือ (อ่านหัวข้อ "")

และเป็นไปตามนั้น

แน่นอนว่าสิ่งนี้น่าสับสนมาก แต่จำเป็นต้องจำไว้ว่าสัญญาณเป็นผลมาจากการแก้สมการ เนื่องจากเมื่อแก้สมการเราต้องเขียนค่า X ทั้งหมดซึ่งเมื่อแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมจะให้ค่า ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ในตัวเรา สมการกำลังสองเหมาะสำหรับทั้งสองอย่าง

อย่างไรก็ตามหาก แค่หาสแควร์รูทจากบางสิ่งบางอย่างแล้วเสมอ เราได้รับผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบหนึ่งรายการ.

ทีนี้ลองแก้สมการนี้ ทุกอย่างไม่ง่ายและราบรื่นอีกต่อไปแล้วใช่ไหม? ลองตรวจดูตัวเลขบางทีอาจมีอะไรเกิดขึ้น? มาเริ่มกันตั้งแต่ต้น - ตั้งแต่ต้น: - ไม่พอดี เดินหน้าต่อไป - น้อยกว่าสามก็กวาดไปด้านข้างจะเป็นอย่างไร ตรวจสอบกัน: - ไม่เหมาะสมเช่นกัน เพราะ... นั่นมากกว่าสาม มันเป็นเรื่องเดียวกันกับจำนวนลบ แล้วเราควรทำอย่างไรตอนนี้? การค้นหาไม่ได้ให้อะไรเราเลยจริงๆ เหรอ? ไม่เลย ตอนนี้เรารู้แน่แล้วว่าคำตอบจะเป็นตัวเลขระหว่าง และ และระหว่าง และ นอกจากนี้ แน่นอนว่าคำตอบจะไม่ใช่จำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้นพวกมันไม่สมเหตุสมผล แล้วไงต่อ? ลองวาดกราฟฟังก์ชันแล้วทำเครื่องหมายคำตอบบนฟังก์ชันนั้นกัน

มาลองโกงระบบแล้วหาคำตอบโดยใช้เครื่องคิดเลขกันดีกว่า! มาเอาต้นตอของมันกันเถอะ! โอ้โอ้โอ้ปรากฎว่า ตัวเลขนี้ไม่มีวันสิ้นสุด จำเรื่องนี้ได้ยังไง ในเมื่อข้อสอบจะไม่มีเครื่องคิดเลข!? ทุกอย่างง่ายมาก คุณไม่จำเป็นต้องจำ คุณเพียงแค่ต้องจำ (หรือสามารถประมาณค่าได้อย่างรวดเร็ว) ถึงค่าโดยประมาณ และได้คำตอบอยู่ในตัวแล้ว ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ เพื่อลดความซับซ้อนในการเขียนตัวเลขดังกล่าวซึ่งมีการนำแนวคิดเรื่องรากที่สองมาใช้

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อเสริมเรื่องนี้ ลองดูปัญหาต่อไปนี้: คุณต้องข้ามสนามสี่เหลี่ยมโดยมีด้านหนึ่งกิโลเมตรเป็นแนวทแยง คุณต้องไปอีกกี่กิโลเมตร?

สิ่งที่ชัดเจนที่สุดคือการพิจารณาสามเหลี่ยมแยกจากกัน และใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ดังนั้น, . แล้วระยะที่ต้องการตรงนี้คือเท่าไร? แน่นอน ระยะทางไม่สามารถเป็นลบได้ เราเข้าใจแล้ว รากของทั้งสองมีค่าเท่ากันโดยประมาณ แต่ดังที่เรากล่าวไว้ก่อนหน้านี้ - เป็นคำตอบที่สมบูรณ์อยู่แล้ว

ในการแก้ไขตัวอย่างที่มีรากโดยไม่ก่อให้เกิดปัญหา คุณต้องดูและจดจำตัวอย่างเหล่านั้น ในการทำเช่นนี้ คุณจำเป็นต้องรู้กำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ ถึง เป็นอย่างน้อย และสามารถจดจำตัวเลขเหล่านั้นได้ด้วย ตัวอย่างเช่น คุณจำเป็นต้องรู้ว่าอะไรเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส และในทางกลับกัน อะไรคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย

คุณเข้าใจแล้วว่าสแควร์รูทคืออะไร? จากนั้นแก้ตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่าง.

มันทำงานอย่างไร? ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างเหล่านี้:

คำตอบ:

รากลูกบาศก์

ดูเหมือนว่าเราจะแยกแนวคิดเรื่องรากที่สองออกแล้ว ทีนี้ลองหาว่ารากที่สามคืออะไรและความแตกต่างคืออะไร

รากที่สามของตัวเลขคือจำนวนที่มีกำลังสามเท่ากับ คุณสังเกตไหมว่าทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่? ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับค่าที่เป็นไปได้ของทั้งค่าภายใต้เครื่องหมายรูทคิวบ์และจำนวนที่ถูกแยกออกมา นั่นคือสามารถแยกรากที่สามจากจำนวนใดก็ได้:

คุณเข้าใจหรือไม่ว่าคิวบ์รูทคืออะไรและจะแยกมันออกมาได้อย่างไร? จากนั้นไปข้างหน้าและแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำตอบ:

รูต - โอ้ดีกรี

เราเข้าใจแนวคิดเรื่องรากที่สองและรากที่สามแล้ว ตอนนี้เรามาสรุปความรู้ที่ได้รับจากแนวคิดนี้กัน รากที่ 1.

รากที่ 1ของตัวเลขคือตัวเลขที่มีกำลัง th เท่ากัน กล่าวคือ

เทียบเท่า.

ถ้า - เท่ากัน, ที่:

• ด้วยค่าลบนิพจน์ไม่สมเหตุสมผล (รากคู่ของจำนวนลบ ไม่สามารถลบออกได้!);
• สำหรับการไม่เป็นลบ() นิพจน์มีหนึ่งรากที่ไม่เป็นลบ

ถ้า - เป็นเลขคี่ แสดงว่านิพจน์นั้นมีรากเฉพาะสำหรับค่าใดๆ

อย่าตกใจไป หลักการเดียวกันนี้ก็ใช้กับรากที่สองและรากที่สามได้เช่นกัน นั่นคือหลักการที่เราใช้เมื่อพิจารณารากที่สองจะขยายไปยังรากทั้งหมดของระดับคู่

และคุณสมบัติที่ใช้กับรากลูกบาศก์นั้นใช้กับรากที่มีดีกรีคี่

มันชัดเจนขึ้นแล้วเหรอ? ลองดูตัวอย่าง:

ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อยที่นี่ ก่อนอื่นเรามาดูกัน - ใช่ ระดับเป็นเลขคู่ ตัวเลขใต้รากเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่างานของเราคือค้นหาตัวเลขที่จะให้กำลังที่สี่แก่เรา เดาอะไรได้บ้าง? อาจจะ, ? อย่างแน่นอน!

ดังนั้นดีกรีจึงเท่ากับ - คี่ ตัวเลขใต้รากเป็นลบ หน้าที่ของเราคือค้นหาตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะผลิตออกมา ค่อนข้างยากที่จะสังเกตเห็นรากในทันที อย่างไรก็ตาม คุณสามารถจำกัดการค้นหาของคุณให้แคบลงได้ทันทีใช่ไหม? ประการแรก จำนวนที่ต้องการเป็นลบอย่างแน่นอน และประการที่สอง เราจะสังเกตเห็นว่าเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น จำนวนที่ต้องการจึงเป็นจำนวนคี่ พยายามค้นหาต้นตอ แน่นอนคุณสามารถยกเลิกได้อย่างปลอดภัย อาจจะ, ?

ใช่แล้ว นี่คือสิ่งที่เรากำลังมองหา! โปรดทราบว่าเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราใช้คุณสมบัติขององศา:

คุณสมบัติพื้นฐานของราก

มันชัดเจน? ถ้าไม่เช่นนั้น หลังจากดูตัวอย่างแล้ว ทุกอย่างก็ควรจะเข้าที่

การคูณราก

วิธีการคูณราก? คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดและพื้นฐานที่สุดช่วยตอบคำถามนี้:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:

รากของตัวเลขผลลัพธ์ไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างแม่นยำใช่หรือไม่? ไม่มีปัญหา นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่ใช่สองตัว แต่มีตัวคูณมากกว่า? เหมือนกัน! สูตรคูณรากใช้ได้กับปัจจัยหลายประการ:

เราสามารถทำอะไรกับมันได้บ้าง? แน่นอน ซ่อนทั้งสามไว้ใต้ราก โดยจำไว้ว่าทั้งสามคือรากที่สองของ!

ทำไมเราถึงต้องการสิ่งนี้? ใช่ เพียงเพื่อขยายขีดความสามารถของเราเมื่อแก้ไขตัวอย่าง:

คุณชอบคุณสมบัติของรากนี้อย่างไร? มันทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากไหม? สำหรับฉัน ถูกต้องเลย! คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่า เราป้อนได้เฉพาะตัวเลขบวกใต้เครื่องหมายรากของดีกรีคู่เท่านั้น.

มาดูกันว่าสิ่งนี้จะมีประโยชน์ที่ไหนอีกบ้าง ตัวอย่างเช่น ปัญหาต้องมีการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัว:

มีอะไรเพิ่มเติม:

คุณไม่สามารถบอกได้ทันที ลองใช้คุณสมบัติแบบแยกส่วนในการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทกันไหม? จากนั้นไปข้างหน้า:

เมื่อรู้ว่ายิ่งตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทมากขึ้น รูทก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น! เหล่านั้น. ถ้าอย่างนั้น . จากนี้เราจึงสรุปได้อย่างชัดเจนว่า และจะไม่มีใครโน้มน้าวเราเป็นอย่างอื่น!

ก่อนหน้านี้เราได้ป้อนตัวคูณไว้ใต้สัญลักษณ์รูท แต่จะลบออกได้อย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัยแล้วแยกสิ่งที่คุณสกัดออกมา!

มีความเป็นไปได้ที่จะใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไปและขยายไปสู่ปัจจัยอื่นๆ:

ไม่เลวใช่มั้ย? แนวทางใดแนวทางหนึ่งเหล่านี้ถูกต้องตัดสินใจตามที่คุณต้องการ

ตัวอย่างเช่น นี่คือนิพจน์:

ในตัวอย่างนี้ ดีกรีเป็นเลขคู่ แต่ถ้าเป็นเลขคี่ล่ะ? อีกครั้ง ใช้คุณสมบัติของกำลังและแยกตัวประกอบทุกอย่าง:

ทุกอย่างดูชัดเจนในเรื่องนี้ แต่จะแยกรากของตัวเลขให้เป็นกำลังได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นนี่คือ:

ค่อนข้างง่ายใช่มั้ย? ถ้าปริญญามากกว่าสองล่ะ? เราปฏิบัติตามตรรกะเดียวกันโดยใช้คุณสมบัติขององศา:

ทุกอย่างชัดเจนไหม? นี่คือตัวอย่าง:

สิ่งเหล่านี้คือข้อผิดพลาดเกี่ยวกับพวกเขา น่าจดจำเสมอ- สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นจริง ๆ ในตัวอย่างของคุณสมบัติ:

สำหรับคี่: สำหรับคู่และ:

มันชัดเจน? เสริมกำลังด้วยตัวอย่าง:

ใช่ เราเห็นว่ารากเป็นกำลังคู่ เลขลบใต้รากก็เป็นกำลังคู่เช่นกัน แล้วมันได้ผลเหมือนกันเหรอ? นี่คือสิ่งที่:

แค่นั้นแหละ! นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

เข้าใจแล้ว? จากนั้นไปข้างหน้าและแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำตอบ

หากคุณได้รับคำตอบแล้ว คุณก็สามารถเดินหน้าต่อไปได้อย่างสบายใจ ถ้าไม่เช่นนั้น มาทำความเข้าใจตัวอย่างเหล่านี้กันดีกว่า:

ลองดูคุณสมบัติของรากอีกสองประการ:

คุณสมบัติเหล่านี้ต้องได้รับการวิเคราะห์ตามตัวอย่าง เรามาทำสิ่งนี้กันเถอะ?

เข้าใจแล้ว? มารักษาความปลอดภัยกันเถอะ

ตัวอย่าง.

คำตอบ

รากและคุณสมบัติของพวกเขา ระดับกลาง

รากที่สองทางคณิตศาสตร์

สมการมีสองวิธี: และ เหล่านี้เป็นตัวเลขที่มีกำลังสองเท่ากับ

พิจารณาสมการ ลองแก้มันแบบกราฟิกกัน ลองวาดกราฟของฟังก์ชันและเส้นตรงระดับกัน จุดตัดของเส้นเหล่านี้จะเป็นคำตอบ เราเห็นว่าสมการนี้มีสองคำตอบเช่นกัน - อันหนึ่งเป็นบวก และอีกอันเป็นลบ:

แต่ในกรณีนี้คำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้นพวกมันไม่สมเหตุสมผล เพื่อที่จะเขียนการตัดสินใจที่ไม่ลงตัวเหล่านี้ เราจะใช้สัญลักษณ์รากที่สองแบบพิเศษ

รากที่สองทางคณิตศาสตร์เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ เมื่อสำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้เพราะว่า ไม่มีจำนวนใดที่มีกำลังสองเท่ากับจำนวนลบ

รากที่สอง: .

ตัวอย่างเช่น, . และเป็นไปตามนั้นหรือ

ฉันขอดึงความสนใจของคุณอีกครั้ง สิ่งนี้สำคัญมาก: รากที่สองจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ: !

รากลูกบาศก์ของตัวเลขคือตัวเลขที่มีกำลังสามเท่ากับ รูทคิวบ์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน สามารถดึงออกมาจากตัวเลขใดก็ได้: . อย่างที่เราเห็น มันสามารถรับค่าลบได้เช่นกัน

รากที่ 2 ของตัวเลขคือตัวเลขที่มีกำลัง th เท่ากัน กล่าวคือ

ถ้าเป็นคู่แล้ว:

• ถ้า แล้วรากที่ ของ a ไม่ได้ถูกกำหนดไว้
• ถ้าเช่นนั้นรากที่ไม่เป็นลบของสมการจะเรียกว่ารากเลขคณิตของระดับที่ th และแสดงแทน

ถ้า - เป็นเลขคี่ แสดงว่าสมการนั้นมีรากเฉพาะของค่าใดๆ

คุณสังเกตไหมว่าทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายของรูทเราเขียนระดับของมัน? แต่ไม่ใช่สำหรับรากที่สอง! หากคุณเห็นรากที่ไม่มีดีกรี แสดงว่ามันเป็นกำลังสอง (องศา)

ตัวอย่าง.

คุณสมบัติพื้นฐานของราก

รากและคุณสมบัติของพวกเขา สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

รากที่สอง (รากที่สองทางคณิตศาสตร์)จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่าสิ่งนี้ จำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสอง

คุณสมบัติของราก:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

พื้นที่ที่ดินแปลงสี่เหลี่ยมคือ 81 dm² ค้นหาด้านของเขา สมมติว่าความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ เอ็กซ์เดซิเมตร จากนั้นพื้นที่ของแปลงคือ เอ็กซ์² ตารางเดซิเมตร เนื่องจากตามเงื่อนไข พื้นที่นี้เท่ากับ 81 dm² ดังนั้น เอ็กซ์² = 81 ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนบวก จำนวนบวกที่มีกำลังสองคือ 81 คือหมายเลข 9 เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข x ซึ่งมีกำลังสองคือ 81 เช่น แก้สมการ เอ็กซ์² = 81 สมการนี้มีสองราก: x 1 = 9 และ x 2 = - 9 เนื่องจาก 9² = 81 และ (- 9)² = 81 ทั้งเลข 9 และ - 9 เรียกว่ารากที่สองของ 81

โปรดทราบว่ารากที่สองตัวใดตัวหนึ่ง เอ็กซ์= 9 เป็นจำนวนบวก มันถูกเรียกว่ารากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 81 และเขียนแทน √81 ดังนั้น √81 = 9

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ ก.

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 และ - 6 เป็นรากที่สองของตัวเลข 36 อย่างไรก็ตาม ตัวเลข 6 เป็นรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 36 เนื่องจาก 6 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ และ 6² = 36 ตัวเลข - 6 ไม่ใช่ รากเลขคณิต

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กแสดงดังต่อไปนี้: √ ก.

เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ก- เรียกว่า สำนวนที่รุนแรง. นิพจน์ √ กอ่าน เช่นนี้: รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข ก.ตัวอย่างเช่น √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ในกรณีที่ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงรากเลขคณิต พวกเขาพูดสั้น ๆ ว่า: “รากที่สองของ ก«.

การค้นหารากที่สองของตัวเลขเรียกว่าการรูทกำลังสอง การกระทำนี้จะตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง

คุณสามารถยกกำลังสองจำนวนใดก็ได้ แต่คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่นเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่สองของตัวเลข - 4 หากมีรากดังกล่าวอยู่แล้วให้แสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์เราจะได้ค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง x² = - 4 เนื่องจากมีจำนวนที่ไม่เป็นลบทางด้านซ้ายและจำนวนลบทางด้านขวา

นิพจน์ √ กมันสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเท่านั้น ≥ 0. คำจำกัดความของรากที่สองสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้: √ ≥ 0, (√ก)² = ก- ความเท่าเทียมกัน (√ ก)² = กถูกต้องสำหรับ ≥ 0. ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ กเท่ากับ ขนั่นคือในความเป็นจริงแล้ว √ ก =ขคุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้: ข ≥ 0, ข² = ก.

รากที่สองของเศษส่วน

มาคำนวณกัน โปรดทราบว่า √25 = 5, √36 = 6 และมาตรวจสอบว่ามีความเท่าเทียมกันหรือไม่

เพราะ และ แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง ดังนั้น, .

ทฤษฎีบท:ถ้า ก≥ 0 และ ข> 0 นั่นคือรากของเศษส่วนเท่ากับรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า: และ .

ตั้งแต่ √ ก≥0 และ √ ข> 0 จากนั้น

เรื่องคุณสมบัติของการยกเศษส่วนเป็นกำลังและนิยามของรากที่สอง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ลองดูตัวอย่างบางส่วน

คำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ตัวอย่างที่สอง: พิสูจน์สิ่งนั้น , ถ้า ก ≤ 0, ข < 0. .

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คำนวณ .

.

การแปลงรากที่สอง

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ให้การแสดงออกได้รับ ถ้า ก≥ 0 และ ข≥ 0 จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากของผลิตภัณฑ์ที่เราสามารถเขียนได้:

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรูท ลองดูตัวอย่าง;

คำนวณได้ที่ เอ็กซ์= 2. การทดแทนโดยตรง เอ็กซ์= 2 ในนิพจน์รากทำให้เกิดการคำนวณที่ซับซ้อน การคำนวณเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากคุณลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรากก่อน: เมื่อแทนค่า x = 2 เราจะได้:

ดังนั้น เมื่อลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก นิพจน์รากจะแสดงในรูปแบบของผลคูณโดยที่ตัวประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเป็นกำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากผลคูณแล้วหารากของแต่ละตัวประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ A = √8 + √18 - 4√2 โดยการนำตัวประกอบในสองเทอมแรกออกจากใต้เครื่องหมายราก เราจะได้: ให้เราเน้นย้ำถึงความเท่าเทียมกันนั้น ใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น ก≥ 0 และ ข≥ 0. ถ้า ก < 0, то .