สูตรลดพร้อมคำอธิบายองศาครบ สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ
หัวข้อบทเรียน
- การเปลี่ยนแปลงของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
- ทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความใหม่และจำไว้ว่ามีบางคำที่ได้ศึกษาไปแล้ว
- ทำความคุ้นเคยกับรูปแบบของการเปลี่ยนแปลงค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
- พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
- การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
- ทดสอบความรู้ของนักเรียน
แผนการเรียน
- การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
- งานการทำซ้ำ
- การเปลี่ยนแปลงของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
- การใช้งานจริง.
การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
เริ่มจากจุดเริ่มต้นและจำไว้ว่าอะไรจะเป็นประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำของคุณ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร และแนวคิดเหล่านี้อยู่ในสาขาใดของเรขาคณิต
ตรีโกณมิติ- นี่เป็นคำภาษากรีกที่ซับซ้อน: ตรีโกณมิติ - สามเหลี่ยม, เมโทร - เพื่อวัด ดังนั้นในภาษากรีกจึงหมายถึง: วัดด้วยรูปสามเหลี่ยม
วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8ตรีโกณมิติ สูตรลด
ไม่จำเป็นต้องสอนสูตรลด แต่ต้องเข้าใจ ทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับการหามา. มันง่ายมาก ๆ!
ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ววางหน่วยวัดทุกระดับ (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) ลงไป
ให้เราวิเคราะห์ฟังก์ชัน sin(a) และ cos(a) ในแต่ละไตรมาส
โปรดจำไว้ว่าเราดูที่ฟังก์ชัน sin(a) ตามแกน Y และฟังก์ชัน cos(a) ตามแกน X
ในไตรมาสแรกมีความชัดเจนว่าฟังก์ชัน บาป(ก)>0
และฟังก์ชั่น cos(ก)>0
ควอเตอร์แรกสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (90-α) หรือ (360+α)
ในไตรมาสที่ 2 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่น บาป(ก)>0เนื่องจากแกน Y เป็นบวกในไตรมาสนี้
ฟังก์ชัน cos(a) เนื่องจากแกน X เป็นลบในจตุภาคนี้
ควอเตอร์ที่สองสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (90+α) หรือ (180-α)
ในไตรมาสที่ 3 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่นต่างๆ บาป (ก) ควอเตอร์ที่สามสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (180+α) หรือ (270-α)
ในไตรมาสที่สี่เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่น sin(a) เนื่องจากแกน Y เป็นลบในไตรมาสนี้
ฟังก์ชัน cos(ก)>0เนื่องจากแกน X เป็นบวกในไตรมาสนี้
ควอเตอร์ที่สี่สามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (270+α) หรือ (360-α)
ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดสัดส่วนกัน
มาจำง่ายๆ กัน อัลกอริทึม:
1. หนึ่งในสี่.(โปรดดูเสมอว่าคุณอยู่ไตรมาสใด)
2. เข้าสู่ระบบ.(สำหรับไตรมาส โปรดดูฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์บวกหรือลบ)
3. หากคุณมี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น.
ดังนั้นเราจะเริ่มวิเคราะห์อัลกอริธึมนี้เป็นรายไตรมาส
ค้นหาว่านิพจน์ cos(90-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
จะ cos(90-α) = บาป(α)
ค้นหาว่านิพจน์ sin(90-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
จะ บาป(90-α) = cos(α)
ค้นหาว่านิพจน์ cos(360+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นบวก
จะ คอส(360+α) = คอส(α)
ค้นหาว่านิพจน์ sin(360+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก สัญญาณของฟังก์ชันไซน์เป็นบวก
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป(360+α) = บาป(α)
ค้นหาว่านิพจน์ cos(90+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
3. ในวงเล็บจะมี (90° หรือ π/2) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากโคไซน์เป็นไซน์
จะ cos(90+α) = -sin(α)
ค้นหาว่านิพจน์ sin(90+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
3. ในวงเล็บจะมี (90° หรือ π/2) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากไซน์เป็นโคไซน์
จะ บาป(90+α) = cos(α)
ค้นหาว่านิพจน์ cos(180-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
2. ในไตรมาสที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นลบ
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ คอส(180-α) = คอส(α)
ค้นหาว่านิพจน์ sin(180-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
2. ในไตรมาสที่สอง สัญญาณของฟังก์ชันไซน์เป็นบวก
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป(180-α) = บาป(α)
ฉันกำลังพูดถึงไตรมาสที่สามและสี่ มาสร้างตารางในลักษณะเดียวกัน:
ติดตาม ได้ที่ช่อง YOUTUBEและชมวีดีโอเตรียมสอบคณิตศาสตร์และเรขาคณิตกับเรา
มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด
1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) แล้ว การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อคุณควรเปลี่ยนป้ายและเมื่อไม่เปลี่ยน
2. กฎเกณฑ์ “อย่างที่เป็นอยู่ คุณก็อยู่อย่างนั้น”
เครื่องหมายของฟังก์ชันที่ลดลงยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย
รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับไตรมาส
คำนวณบาป (150˚)
ลองใช้สูตรลด:
Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 จากรูปเราจะเห็นว่าสัญญาณของบาปควอเตอร์นี้เท่ากับ + ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมายบวกด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง
ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½
หากต้องการสามารถสรุปสูตรการลดทั้งหมดไว้ในตารางเดียวได้ แต่ก็ยังง่ายกว่าที่จะจำกฎสองข้อนี้และนำไปใช้
อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α
- มุมแสดงเป็นเรเดียน
คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|
โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|
สัญกรณ์ที่ยอมรับ
;
;
.
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x
กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x
คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์
ความเป็นงวด
ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.
ความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่
ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)
| ย = บาป x | ย = เพราะ x | |
| ขอบเขตและความต่อเนื่อง | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| ช่วงของค่า | -1 ≤ ย ≤ 1 | -1 ≤ ย ≤ 1 |
| เพิ่มขึ้น | ||
| จากมากไปน้อย | ||
| แม็กซิมา, y = 1 | ||
| ขั้นต่ำ, y = - 1 | ||
| ศูนย์, y = 0 | ||
| จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0 | ย = 0 | ย = 1 |
สูตรพื้นฐาน
ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์
สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง
;
;
สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์
สูตรผลรวมและผลต่าง
แสดงไซน์ผ่านโคไซน์
;
;
;
.
แสดงโคไซน์ผ่านไซน์
;
;
;
.
การแสดงออกผ่านแทนเจนต์
; .
เมื่อใด เรามี:
;
.
ที่ :
;
.
ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์
ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์ 
การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน
;
สูตรของออยเลอร์
นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
;
;
อนุพันธ์
; . การหาสูตร > > >
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ <
x < +∞ }
เซแคนต์, โคซีแคนต์
ฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ
อาร์คซิน, อาร์คซิน
อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส
อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
คำนิยาม. สูตรลดคือสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปเป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้สามารถลดลงเป็นไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจากช่วง 0 ถึง 90 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึงเรเดียน) ดังนั้น สูตรการลดขนาดทำให้เราสามารถทำงานต่อกับมุมภายใน 90 องศาได้ ซึ่งสะดวกมากอย่างไม่ต้องสงสัย
สูตรลด:
มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด
1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) ดังนั้น การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อใดควรเปลี่ยนเครื่องหมายและเมื่อไม่เปลี่ยน
2. สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย
รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยขึ้นอยู่กับไตรมาส
ตัวอย่าง:
คำนวณ
ลองใช้สูตรลด:
Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 จากรูปเราจะเห็นว่าสัญญาณบาปในไตรมาสนี้มีค่าเท่ากับ “+” ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมาย "+" ด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง
ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½
