ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวและคุณสมบัติของมัน

การแบ่งแยก ตัวเลขธรรมชาติ

ดังที่คุณทราบ การลบและการหารเซตของจำนวนธรรมชาติไม่สามารถทำได้เสมอไป คำถามเรื่องการมีอยู่ของความแตกต่างระหว่างจำนวนธรรมชาติ a และ b ได้รับการแก้ไขอย่างง่ายๆ - ก็เพียงพอแล้วที่จะสร้าง (โดยการเขียนตัวเลข) ว่า b< а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие คุณสมบัติที่สำคัญตัวเลข; มาทำความรู้จักกับบางส่วนกันดีกว่า

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น ตามกฎแล้วไม่ได้ศึกษาการหารของจำนวนธรรมชาติ แต่ข้อเท็จจริงหลายอย่างจากคณิตศาสตร์ส่วนนี้ถูกนำมาใช้โดยปริยาย ตัวอย่างเช่น เครื่องหมายของการหารผลรวม ผลต่าง และผลคูณด้วยตัวเลขลงตัว มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกฎสำหรับการหารผลรวม ผลต่าง และผลคูณด้วยตัวเลข ซึ่งศึกษาในระดับประถมศึกษา หลักสูตรจำนวนหนึ่งศึกษาสัญญาณของการหารตัวเลขด้วย 2, 3, 5 และอื่นๆ ลงตัว

โดยทั่วไป ความรู้เกี่ยวกับการหารจำนวนธรรมชาติจะช่วยเพิ่มความเข้าใจเกี่ยวกับเซตของจำนวนธรรมชาติ ช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับการหารจำนวนธรรมชาติได้ดีขึ้น ใช้ความรู้ที่ได้รับก่อนหน้านี้เกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์ คุณสมบัติของความสัมพันธ์ ฯลฯ .

ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวและคุณสมบัติของมัน

คำนิยาม . ให้ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน a บอกว่าหารด้วยจำนวน b ลงตัว ถ้ามีจำนวนธรรมชาติ q เท่ากับ a - bq

ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลข b ตัวหารของจำนวน a และหมายเลข a คือ ผลคูณของจำนวนข .

ตัวอย่างเช่น 24 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจากมี q = 3 ซึ่ง 24 = 8·3 เราอาจพูดแตกต่างออกไป: 8 เป็นตัวหารของตัวเลข 24 และ 24 เป็นตัวคูณของตัวเลข 8

ในกรณีที่ a หารด้วย b ลงตัว ให้เขียนว่า a b รายการนี้มักจะอ่านได้ดังนี้: “a เป็นจำนวนเท่าของ b”

โปรดทราบว่าแนวคิดเรื่อง "ตัวหารของจำนวนที่กำหนด" ควรแตกต่างจากแนวคิดเรื่อง "ตัวหาร" ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ใช้หาร ตัวอย่างเช่น ถ้า 18 หารด้วย 5 แสดงว่าเลข 5 เป็นตัวหาร แต่ 5 ไม่ใช่ตัวหารของตัวเลข 18 ถ้า 18 หารด้วย 6 ในกรณีนี้ แนวคิดของ "ตัวหาร" และ "ตัวหารของ จำนวนที่กำหนด” ตรงกัน

จากคำจำกัดความของความสัมพันธ์ของการหารลงตัวและความเท่าเทียมกัน a = 1 a ซึ่งใช้ได้สำหรับ a ใดๆ ตามธรรมชาติ จะได้ว่า 1 เป็นตัวหารของจำนวนธรรมชาติใดๆ

มาดูกันว่าจำนวนธรรมชาติหนึ่งตัวสามารถมีตัวหารได้กี่ตัว ก่อนอื่นให้เราพิจารณาทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1. ตัวหาร b ของจำนวนที่กำหนด a จะต้องไม่เกินจำนวนนี้ เช่น ถ้า a b แล้ว b≤a

การพิสูจน์.เนื่องจาก a คือ b ดังนั้น จะมี q N โดยที่ a=bq และด้วยเหตุนี้ a-b = bq-b = b· (q- 1) เนื่องจาก a เป็น N ดังนั้น q≥l จากนั้น b· (q- 1) ≥0 และด้วยเหตุนี้ b≤a

จากทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามนั้น เซตตัวหารของจำนวนที่กำหนดนั้นมีจำกัด . ตัวอย่างเช่น ลองเรียกตัวหารทั้งหมดของตัวเลข 36 พวกมันรวมกันเป็นเซตจำกัด (1, 2, 3.4, 6.9, 12, 18, 36)

จำนวนธรรมชาติจะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ ขึ้นอยู่กับจำนวนตัวหาร

คำนิยาม. จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารเพียงสองตัว คือ ตัวหนึ่งและตัวมันเอง

เช่น เลข 13 เป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจากมีตัวหารเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 13

คำนิยาม. จำนวนประกอบคือจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว

ดังนั้นจำนวน 4 จึงเป็นจำนวนประกอบกัน โดยมีตัวหาร 3 ตัว: 1, 2 และ 4

จำนวน 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบเนื่องจากมีตัวหารเพียงตัวเดียว

ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของตัวเลขที่กำหนดสามารถตั้งชื่อได้มากเท่าที่คุณต้องการ ชุดอนันต์. ดังนั้น จำนวนที่เป็นทวีคูณของ 4 จะทำให้เกิดอนุกรมอนันต์: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... และทั้งหมดนี้สามารถหาได้จากสูตร a = 4q โดยที่ q รับค่า 1, 2, 3,....

เรารู้ว่าความสัมพันธ์ของการหารลงตัวมีคุณสมบัติหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นการสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยา ทีนี้ เมื่อได้นิยามความสัมพันธ์ของการหารลงตัวแล้ว เราก็สามารถพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้และคุณสมบัติอื่นๆ ของมันได้

ทฤษฎีบท 2. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวสะท้อนกลับได้เช่น จำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่หารด้วยตัวมันเอง

การพิสูจน์. สำหรับจำนวนธรรมชาติ a ค่าเท่ากัน a = a·1 เป็นจริง ตั้งแต่ 1 N ดังนั้นตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์การหารลงตัว a.

ทฤษฎีบท 3. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวเป็นแบบต่อต้านสมมาตร เช่น

ถ้า a b และ a≠b แล้ว

การพิสูจน์. สมมติว่าตรงกันข้ามคือ นั่นบีเอ แต่แล้ว a ≤ b ตามทฤษฎีบทที่อภิปรายข้างต้น

ตามเงื่อนไข a b และ a≠b จากนั้นตามทฤษฎีบทเดียวกัน b≤a

อสมการ a ≤b และ b ≤a จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ a=b ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง ดังนั้นหาก a b และ a≠b แล้ว

ทฤษฎีบท 4. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวเป็นแบบสกรรมกริยา เช่น ถ้า a b และ b c แล้วก็ a c

การพิสูจน์. เนื่องจาก a b จึงมีจำนวนธรรมชาติ q โดยที่ a - bq และเนื่องจาก b c จึงมีจำนวนธรรมชาติ p โดยที่ b = cf แต่แล้วเราก็ได้: a=bq = (cp)q = c(pq) จำนวน pq เป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์การหารกันและค.

ทฤษฎีบท 5 (ทดสอบการหารลงตัวของผลรวม) หากจำนวนธรรมชาติ a 1 , a 2 , ... , a n หารด้วยจำนวนธรรมชาติ b ลงตัว ดังนั้นผลบวกของจำนวนดังกล่าวคือ a 1 + a 2+ ...+ a n จะหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว

การพิสูจน์. เนื่องจาก 1 b จึงมีจำนวนธรรมชาติ q 1 โดยที่ 1= bq 1 เนื่องจาก a 2 b จึงมีจำนวนธรรมชาติ q 2 โดยที่ a 2 = bq 2 จากการใช้เหตุผลต่อไป เราพบว่าถ้า a n b แล้วจะมีจำนวนธรรมชาติ q n โดยที่ a n = bq n ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทำให้เราแปลงผลรวม a 1 + a 2 + ... + a n เป็นผลรวมของรูปแบบ bq 1 + bq 2 + ... + bq n ลองนำปัจจัยร่วม b ออกจากวงเล็บแล้วแสดงจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลลัพธ์ q 1 + q 2 + ... + q n ด้วยตัวอักษร q จากนั้น 1 + a 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq เช่น ผลรวม a 1 + a 2 + ... + a n กลายเป็นผลคูณของจำนวน b และจำนวนธรรมชาติบางตัว q ซึ่งหมายความว่าผลรวม a 1 + a 2 + ... + a n หารด้วย b ลงตัว ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ตัวอย่างเช่น หากไม่ได้คำนวณ เราสามารถพูดได้ว่าผลรวม 175 + 360 + 915 หารด้วย 5 ลงตัว เนื่องจากแต่ละเทอมของผลรวมนี้หารด้วย 5 ลงตัว

ทฤษฎีบท 6(ทดสอบการหารส่วนต่าง) ถ้าตัวเลข a 1 และ a 2 หารด้วย b ลงตัว และ a 1 > a 2 ผลต่างของ 1 - a 2 หารด้วย b ลงตัว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับการพิสูจน์การทดสอบการหารลงตัวของผลรวม

ทฤษฎีบท 7 (การทดสอบการแบ่งแยกของผลิตภัณฑ์) ถ้าตัวเลข a หารด้วย b ลงตัวแล้วผลคูณของรูปแบบขวาน โดยที่ x คือ N หารด้วย b ลงตัว

การพิสูจน์. เนื่องจาก a คือ b จึงมีจำนวนธรรมชาติ q ที่ทำให้ a = bq ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ด้วยเลขธรรมชาติ x กัน จากนั้น ax = (bq)x ซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ (bq)x – b(qx) และด้วยเหตุนี้ ax = b(qx) โดยที่ qx ​​เป็นจำนวนธรรมชาติ ตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์การหารลงตัว ax b ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว พบว่าหากปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งของผลคูณหารด้วยจำนวนธรรมชาติ b ลงตัว ผลคูณทั้งหมดก็จะหารด้วย b ลงตัว

ตัวอย่างเช่น ผลคูณ 24 – 976 – 305 หารด้วย 12 ลงตัว เนื่องจากตัวคูณ 24 หารด้วย 12 ลงตัว

ลองพิจารณาทฤษฎีบทอีกสามทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการหารผลรวมและผลิตภัณฑ์คูณสองลงตัว ซึ่งมักใช้ในการแก้ปัญหาการหารลงตัว

ทฤษฎีบท 8. หากเทอมหนึ่งหารด้วยเลข b ไม่ลงตัว และเทอมอื่นๆ หารด้วยเลข b ลงตัวแล้ว ผลรวมทั้งหมดหารด้วยเลข b ไม่ลงตัว

การพิสูจน์. ให้ s = a 1 + a 2 + ... + a n + c ก็รู้แล้ว

นั่นคือ a 1 b, a 2 b ... a n b แต่ ให้เราพิสูจน์ว่าแล้ว

สมมติว่าตรงกันข้ามคือ เอาล่ะ ให้เราแปลงผลรวม s ให้อยู่ในรูปแบบ c = s - (a 1 + a 2 + ... + a n) เนื่องจาก s b ตามสมมติฐาน (a 1 + a 2 + ... + a n) b ตามการทดสอบการหารลงตัวสำหรับผลรวม จากนั้นตามทฤษฎีบทเรื่องการหารส่วนต่างด้วย b ลงตัว เรามาขัดแย้งกับสิ่งที่ได้รับ เพราะฉะนั้น, .

ตัวอย่างเช่น ผลรวม 34 + 125 + 376 + 1024 หารด้วย 2 ไม่ได้ เนื่องจาก 34 2, 376 2,124 2 แต่

ทฤษฎีบท 9. ถ้าในผลคูณ ab ตัวประกอบ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ m และตัวประกอบ b หารด้วยจำนวนธรรมชาติ n แล้ว ab ก็หารด้วย mn

ความถูกต้องของข้อความนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทเรื่องการแบ่งแยกของผลิตภัณฑ์

ทฤษฎีบท 10. ถ้าผลคูณ ac หารด้วยผลคูณ bc ลงตัว และ c เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว i ก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน

การพิสูจน์. เนื่องจาก ac หารด้วย bc ลงตัว จึงมีจำนวนธรรมชาติ q โดยที่ ac = (bc)q โดยที่ ac = (bq)c และด้วยเหตุนี้ a = bq นั่นคือ ข

สัญญาณของการแบ่งแยก

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ของการหารลงตัวที่พิจารณาในย่อหน้าที่ 88 ทำให้สามารถพิสูจน์สัญญาณที่ทราบของการหารตัวเลขที่เขียนในระบบเลขทศนิยมด้วย 2, 3,4, 5, 9 ได้

การทดสอบการหารลงตัวช่วยให้คุณสามารถระบุได้โดยการเขียนตัวเลขว่าตัวเลขนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวหรือไม่ โดยไม่ต้องทำการหาร

ทฤษฎีบท 11 (ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว) เพื่อให้ตัวเลข x หารด้วย 2 ลงตัว จำเป็นต้องมีรูปแบบทศนิยมลงท้ายด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง 0, 2, 4, 6, 8

การพิสูจน์. ให้เขียนตัวเลข x ในระบบเลขฐานสิบ เช่น x = a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10 + a 0 โดยที่ n, n-1,..., 1, รับค่า 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ n ≠ 0 และ 0 รับค่า 0,2,4,6,8 ลองพิสูจน์ว่า x เป็น 2

ตั้งแต่ 10 2 แล้วก็ 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 และดังนั้น (a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10 ) 2 . โดยเงื่อนไข 0 ก็หารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้น จำนวน x จึงถือเป็นผลรวมของสองเทอมซึ่งแต่ละเทอมหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น ตามการทดสอบการหารลงตัวของผลรวม จำนวน x จึงหารลงตัว โดย 2

ลองพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้าม: หากตัวเลข x หารด้วย 2 ลงตัว สัญลักษณ์ทศนิยมจะสิ้นสุดด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง 0, 2,4, 6, 8

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน x = a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10+a ในรูปแบบนี้:

a o = x-(a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10) แต่แล้ว ตามทฤษฎีบทเรื่องการหารผลต่างลงตัว a o 2 เนื่องจาก x 2 และ (a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10) 2. ดังนั้น ตัวเลขหลักเดียว a 0 หารด้วย 2 จะต้องได้ค่า 0, 2, 4, 6, 8

ทฤษฎีบท 12 (ทดสอบการหารด้วย 5) เพื่อให้ตัวเลข x หารด้วย 5 ลงตัว จำเป็นต้องมีรูปแบบทศนิยมลงท้ายด้วย 0 หรือ 5

การพิสูจน์การทดสอบนี้คล้ายกับการพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว

ทฤษฎีบท 13 (ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว) เพื่อให้ตัวเลข x หารด้วย 4 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ตัวเลขสองหลักที่เกิดจากตัวเลขสองหลักสุดท้ายของเครื่องหมายทศนิยมของตัวเลข x จะต้องหารด้วย 4 ลงตัว

การพิสูจน์. ให้เขียนตัวเลข x ในระบบเลขฐานสิบ เช่น x = a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10 + a 0 และตัวเลขสองตัวสุดท้ายในรายการนี้จะรวมกันเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว ลองพิสูจน์ดูสิ x4

ตั้งแต่ 100 4 ดังนั้น (a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 1 ·10) 4. ตามเงื่อนไข a 1 ·10 + a 0 (นี่คือรายการ หมายเลขสองหลัก) ก็หารด้วย 4 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้น จำนวน x จึงถือได้ว่าเป็นผลรวมของสองเทอม ซึ่งแต่ละเทอมหารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้น จากการทดสอบการหารลงตัวของผลรวม ตัวเลข x เองจึงหารด้วย 4 ลงตัว

ให้เราพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามนั่นคือ หากตัวเลข x หารด้วย 4 ลงตัว ตัวเลขสองหลักที่เกิดจากหลักสุดท้ายของรูปแบบทศนิยมก็จะหารด้วย 4 ลงตัวเช่นกัน

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน x = a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 ในรูปแบบนี้: a 1 10 + a o = x- (a n 10 n + a n- 1 ·10 น-1 + ... + ก 2 ·10 2) เนื่องจาก x 4 และ (a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + a 2 ·10 2) 4 จากนั้นตามทฤษฎีบทเรื่องการหารลงตัวของผลต่าง (a 1 ·10 + a o) 4 แต่นิพจน์ a 1 · 10 + a 0 เป็นการบันทึกตัวเลขสองหลักที่เกิดจากตัวเลขตัวสุดท้ายของตัวเลข x

ขอให้เรายกตัวอย่างที่ยืนยันความถูกต้องของคุณสมบัติของการหารผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ให้เราแสดงว่าความเท่าเทียมกัน (18+36):6=18:6+36:6 ถูกต้อง ขั้นแรก มาคำนวณค่าของนิพจน์จากด้านซ้ายของค่าที่เท่ากันกัน ตั้งแต่ 18+36=54 ดังนั้น (18+36):6=54:6 จากตารางสูตรคูณ เราพบว่า 54:6=9 (ดูหัวข้อทฤษฎีการหารโดยใช้ตารางสูตรคูณ) เรามาคำนวณค่าของนิพจน์ 18:6+36:6 กันดีกว่า จากตารางสูตรคูณ เราได้ 18:6=3 และ 36:6=6 ดังนั้น 18:6+36:6=3+6=9 ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (18+36):6=18:6+36:6 จึงถูกต้อง

คุณควรคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าคุณสมบัตินี้ตลอดจนคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกจำนวนธรรมชาติ ช่วยให้คุณสามารถหารผลรวมของจำนวนธรรมชาติสามจำนวนขึ้นไปด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดได้ ตัวอย่างเช่น ผลหาร (14+8+4+2):2 เท่ากับผลรวมของผลหารต่อไปนี้ 14:2+8:2+4:2+2:2

คุณสมบัติของการหารผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติ

คล้ายกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ มีสูตรคุณสมบัติของการหารผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนด: การหารผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยจำนวนที่กำหนดจะเหมือนกับการลบออกจากผลหารของเครื่องหมายลบและจำนวนที่กำหนด ผลหารของอนุพันธ์และจำนวนที่กำหนด

การใช้ตัวอักษร คุณสมบัติของการแบ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: (ก-ข):ค=ก:ค-ข:คโดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนธรรมชาติโดยที่ a มากกว่าหรือเท่ากับ b และทั้ง a และ b สามารถหารด้วย c ได้เช่นกัน

เพื่อเป็นตัวอย่างในการยืนยันคุณสมบัติของการหารที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เราจะแสดงความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (45-25):5=45:5-25:5 เนื่องจาก 45-25=20 (หากจำเป็น ให้ศึกษาบทความเรื่องการลบจำนวนธรรมชาติ) จากนั้น (45-25):5=20:5 เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ เราพบว่าผลหารผลลัพธ์เท่ากับ 4 ทีนี้ มาคำนวณค่าของนิพจน์ 45:5-25:5 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของค่าเท่ากันกัน จากตารางสูตรคูณ เราได้ 45:5=9 และ 25:5=5 จากนั้น 45:5-25:5=9-5=4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (45-25):5=45:5-25:5 จึงเป็นความจริง

คุณสมบัติของการหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติ

ถ้าคุณเห็น การเชื่อมโยงระหว่างการหารและการคูณจากนั้นจะเห็นคุณสมบัติของการหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดซึ่งเท่ากับตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งก็จะปรากฏให้เห็นเช่นกัน สูตรมีดังนี้: ผลลัพธ์ของการหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ซึ่งเท่ากับตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่ง จะเท่ากับตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง นี่คือรูปแบบที่แท้จริงของคุณสมบัติการแบ่งนี้: (ก·ข):a=bหรือ (ก·ข):ข=กโดยที่ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราหารผลคูณของตัวเลข 2 และ 8 ด้วย 2 เราจะได้ 8 และ (3·7):7=3

ตอนนี้เราจะถือว่าตัวหารไม่เท่ากับตัวประกอบใดๆ ที่ก่อให้เกิดเงินปันผล ให้เรากำหนดคุณสมบัติของการหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดสำหรับกรณีเหล่านี้ ในกรณีนี้ เราจะถือว่าอย่างน้อยหนึ่งตัวประกอบสามารถหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดได้ ดังนั้น การหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดก็เหมือนกับการหารตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งด้วยจำนวนนี้แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวประกอบอื่น

คุณสมบัติที่กล่าวมาคือพูดอย่างสุภาพไม่ชัดเจน แต่ถ้าเราจำได้ว่าการคูณจำนวนธรรมชาติโดยพื้นฐานแล้วคือการบวกจำนวนเทอมที่เท่ากันจำนวนหนึ่ง (ซึ่งเขียนไว้ในส่วนทฤษฎีของความหมายของการคูณจำนวนธรรมชาติ) แล้วคุณสมบัติที่เป็นปัญหาจะตามมา

ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอักษร ให้ a, b และ c เป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้น ถ้า a หารด้วย c ได้ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (ก·ข):ค=(มี:ค)·ข; ถ้า b หารด้วย c ได้ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (ก·ข):ค=ก·(ข:ค); และถ้าทั้ง a และ b สามารถหารด้วย c ได้ ความเท่าเทียมกันทั้งสองจะคงอยู่พร้อมกัน นั่นคือ (ก·ข):ค=(ก:ค)·ข=ก·(ข:ค) .

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากคุณสมบัติที่พิจารณาคือการหารผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ความเท่าเทียมกัน (8 6): 2 = (8: 2) 6 และ (8 6): 2 = 8 (6: 2 ) ถูกต้อง ซึ่งสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันสองเท่าของรูปแบบ (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2)

คุณสมบัติของการหารจำนวนธรรมชาติด้วยผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัว

ลองดูสถานการณ์ต่อไปนี้ สมมติว่าเราต้องแบ่งรางวัลเท่าๆ กันระหว่างผู้เข้าร่วมของทีม b คน c ในแต่ละทีม (เราจะถือว่าจำนวนธรรมชาติ a, b และ c เป็นไปตามที่การแบ่งที่ระบุสามารถทำได้) ฉันจะทำเช่นนั้นได้อย่างไร? ลองพิจารณาสองกรณี

• ประการแรกคุณสามารถค้นหาได้ ทั้งหมดผู้เข้าร่วม (ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องคำนวณผลคูณ b·c) จากนั้นจึงแบ่งรางวัลทั้งหมดตามผู้เข้าร่วม b·c ทั้งหมด ในทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้สอดคล้องกับ a:(b·c)
• ประการที่สอง รางวัลสามารถแบ่งออกเป็นทีม b หลังจากนั้นจำนวนผลลัพธ์ของรางวัลในแต่ละทีม (จะเท่ากับผลหาร a:b ) จะถูกแบ่งออกเป็นผู้เข้าร่วม c ในทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้อธิบายได้ด้วยนิพจน์ (a:b):c

เป็นที่ชัดเจนว่าในตัวเลือกดิวิชั่นหนึ่งและสอง ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะได้รับรางวัลในจำนวนเท่ากัน นั่นคือความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์มจะเป็นจริง ก:(ข·ค)=(ก:ข):คซึ่งเป็นการแสดงคุณสมบัติตามตัวอักษรของการหารจำนวนธรรมชาติด้วยผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัว ควรสังเกตว่าเนื่องจากคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณของจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ ก:(ข·ค)=(มี:ค):ข .

สิ่งที่เหลืออยู่คือการกำหนดคุณสมบัติของการหารที่กำลังพิจารณา: การหารจำนวนธรรมชาติด้วยผลคูณก็เหมือนกับการหารจำนวนนี้ด้วยตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่ง หลังจากนั้นผลหารผลหารผลลัพธ์จะถูกหารด้วยตัวประกอบอื่น

ลองยกตัวอย่าง ขอให้เราแสดงความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน 18:(2·3)=(18:2):3 ซึ่งจะยืนยันคุณสมบัติของการหารจำนวนธรรมชาติด้วยผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัว เนื่องจาก 2·3=6 ดังนั้นผลหาร 18:(2·3) จึงเท่ากับ 18:6=3 ตอนนี้เรามาคำนวณค่าของนิพจน์ (18:2):3 กัน จากตารางสูตรคูณ เราพบว่า 18:2=9 และ 9:3=3 จากนั้น (18:2):3=3 ดังนั้น 18:(2·3)=(18:2):3.

คุณสมบัติของการหารศูนย์ด้วยจำนวนธรรมชาติ

เรายอมรับธรรมเนียมที่ว่าเลขศูนย์ (จำไว้ว่าศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ) หมายถึงการไม่มีบางสิ่งบางอย่าง ดังนั้นการหารศูนย์ด้วยจำนวนธรรมชาติจึงเป็นการหาร "ไม่มีอะไร" ออกเป็นหลายส่วน เห็นได้ชัดว่าในแต่ละส่วนที่เป็นผลนั้นจะมี "ไม่มีอะไร" นั่นก็คือศูนย์ ดังนั้น, 0:a=0โดยที่ a คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ผลลัพธ์ที่ได้คือการแสดงคุณสมบัติการหารศูนย์ด้วยจำนวนธรรมชาติตามตัวอักษร ซึ่งมีสูตรดังนี้ ผลลัพธ์ของการหารศูนย์ด้วยจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจคือศูนย์.

ตัวอย่างเช่น 0:105=0 และผลหารของศูนย์หารด้วย 300,553 ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จำนวนธรรมชาติไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

เหตุใดจำนวนธรรมชาติจึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้ ลองคิดดูสิ

สมมติว่าจำนวนธรรมชาติ a สามารถหารด้วยศูนย์ได้ และผลลัพธ์ของการหารคือจำนวนธรรมชาติ b อีกจำนวนหนึ่ง นั่นคือ ความเท่าเทียมกัน a:0=b เป็นจริง หากเราจำความเชื่อมโยงระหว่างการหารและการคูณได้ ความเสมอภาคที่เป็นลายลักษณ์อักษร a:0=b หมายถึงความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน b·0=a อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของการคูณจำนวนธรรมชาติและศูนย์ระบุว่า b·0=0 การเปรียบเทียบความเท่าเทียมกันสองตัวสุดท้ายบ่งชี้ว่า a=0 ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ เนื่องจากเราบอกว่า a เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นสมมติฐานของเราเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการหารจำนวนธรรมชาติด้วยศูนย์จึงทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น, จำนวนธรรมชาติไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้.

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์. หนังสือเรียนใด ๆ สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 1, 2, 3, 4
• คณิตศาสตร์. หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของสถานศึกษาทั่วไป

ทรัพย์สินที่หารได้ “การหารผลรวมและผลิตภัณฑ์หารด้วยจำนวนที่กำหนด ปัญหาความยากเพิ่มขึ้น”
ประเภทบทเรียน: บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้
เทคโนโลยี: การอนุรักษ์สุขภาพ การพัฒนาทักษะการวิจัย การศึกษาเชิงพัฒนาการ การเรียนรู้บนปัญหา การวินิจฉัยตนเอง และการแก้ไขผลลัพธ์ด้วยตนเอง
องค์ประกอบของเนื้อหา: การใช้เหตุผลที่ถูกต้อง ข้อความที่เป็นธรรม สัญลักษณ์ของการแบ่งส่วนของผลิตภัณฑ์ สัญลักษณ์ของการแบ่งผลรวม
ประเภทของกิจกรรม: การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์, การทำงานบนกระดานดำและในสมุดบันทึก, การทำงานส่วนหน้ากับชั้นเรียน
ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้ (PUR):
สามารถ: – พิสูจน์และนำไปใช้เมื่อแก้ได้ว่าหากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่หารด้วยจำนวนที่แน่นอน ผลคูณทั้งหมดหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว
– พิสูจน์และนำไปใช้เมื่อแก้โจทย์ว่าถ้าแต่ละเทอมหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัวแล้วผลรวมก็หารด้วยจำนวนนี้
- เข้าร่วม การสื่อสารด้วยวาจามีส่วนร่วมในการสนทนา
– จัดรูปแบบงานให้ถูกต้อง, สะท้อนการตัดสินใจของคุณเป็นลายลักษณ์อักษร, คิดวิธีแก้ปัญหา

ในระหว่างเรียน
ทดสอบการเขียนตามคำบอก
เขียนสูตรสำหรับทวีคูณ: ก) 17; ข) 41.
เขียนสูตรสำหรับตัวเลขที่เมื่อหารด้วย 17 จะเหลือเศษ 3 เมื่อหารด้วย 41 จะเหลือเศษ 3
ระบุคุณลักษณะที่แตกต่างกันสองประการที่เป็นลักษณะเฉพาะของชุดที่ 6 นี้ 12; 18; 24; สามสิบ; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
ค้นหาผลคูณร่วมของ 5 และ 4
สูตรใช้เกณฑ์อะไร?
ก) 15n + 13; ข) 4n +3; ค)17k + 8?
ความเห็นของอาจารย์. สมุดบันทึกจะถูกรวบรวมเพื่อตรวจสอบและแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา

ทำแบบฝึกหัดเรื่องการหารผลบวกกับผลคูณลงตัว
(ปาก). ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่:
ก) 450 + 160;
ข) 150 +225;
ค) 28422 + 22050;
ข้อสรุปถูกกำหนดไว้:
ถ้าแต่ละพจน์หารด้วยตัวเลขลงตัว ผลรวมก็ต้องหารด้วยจำนวนเดียวกันเสมอ
ถ้าแต่ละพจน์ยกเว้นพจน์หนึ่งหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัวและจำนวนหนึ่งหารไม่ลงตัว ผลรวมก็หารด้วยจำนวนนี้ไม่ได้

2. ข้อความเป็นจริงหรือไม่: หากผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว แล้วแต่ละเทอมก็หารด้วย 3 ลงตัว
3. สินค้าหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่:
ก) 6
·23
·75;
ข) 6
·23
·14;
ค) 37
·121
·19?
มีการกำหนดข้อสรุปไว้ว่า หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวหารด้วยจำนวนใดๆ ผลคูณของปัจจัยเหล่านั้นก็จะถูกหารด้วยจำนวนนี้ด้วย
3. การใช้คุณสมบัติการหารลงตัวและข้อมูลการหารด้วยจำนวน k ของแต่ละเทอมพิจารณาว่าผลบวกหรือผลคูณหารด้วย k ลงตัวหรือไม่
1 หมายเลข
หมายเลข 2
หมายเลข 3
ผลรวม
งาน

สารละลาย.
1 หมายเลข
หมายเลข 2
หมายเลข 3
ผลรวม
งาน

ง
ง
ง
ง
ง

n
ง
ง
n
ง

ง
n
ง
n
ง

ง
ง
n
n
ง

n
n
ง
สามารถแชร์ได้
K°ไม่อาจแชร์ได้
ง

n
ง
n
สามารถแชร์ได้
ไม่อาจแบ่งปัน
ง

ง
n
n
สามารถแชร์ได้
ไม่อาจแบ่งปัน
ง

n
n
n
สามารถแชร์ได้
ไม่อาจแบ่งปัน
n

การประชุมเชิงปฏิบัติการ
แบบฝึกหัดทั้งหมดแก้ไขได้ด้วยการเขียนบนกระดาน
โดยไม่ต้องคำนวณ ให้พิจารณาว่านิพจน์ต่อไปนี้หารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ก) 132 + 360 + 536; ข) 540 – 332; ค) 2512·127.
สารละลาย.
ก) เนื่องจากแต่ละเทอมหารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นผลรวม 132 + 360 + 536 จึงหารด้วย 4 ลงตัว
b) เนื่องจากเครื่องหมายลบ 540 หารด้วย 4 ลงตัว และเครื่องหมายลบ 332 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นผลต่าง 540 – 332 จึงหารด้วย 4 ลงตัว
c) เนื่องจากตัวเลข 2512 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นผลคูณ 2512·127 จึงหารด้วย 4 ลงตัว
สร้างสูตรสำหรับตัวเลขที่มีนิพจน์:
ก) 25 + x หารด้วย 25;
b) 78 + x หารด้วย 78 ลงตัว
3. ผลิตภัณฑ์เป็นค่าใดของตัวแปร:
ก) 7
· a หารด้วย 7 ลงตัว
ข) 17
· b หารด้วย b ลงตัว
4. ไอศกรีม 4 กล่องถูกส่งไปยังร้านกาแฟ เป็นไปได้ไหมที่เราต้องจ่าย 224 รูเบิลเพื่อสิ่งนี้?

งานสร้างสรรค์
พิสูจน์ว่าสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของตัวแปรนิพจน์:
ก) 56
· (a+b) หารด้วย 14 ลงตัว;
b) 144 a + 12b หารด้วย 12;
ค) 100 ก – 40 ก หารด้วย 30
2. ระบุตัวหารห้าตัวของจำนวนที่เท่ากับผลคูณ: 32 · 24 · 21
3. ให้ระบุว่าข้อความใดต่อไปนี้เป็นเท็จ
ก) หากเงื่อนไขไม่หารด้วยจำนวนที่แน่นอน ผลรวมก็หารด้วยจำนวนนั้นไม่ได้
b) ถ้าผลคูณของตัวเลขสองตัวหารด้วยจำนวนใดๆ ลงตัว จะต้องมีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่หารด้วยจำนวนนี้
c) ถ้าตัวประกอบไม่หารด้วยจำนวนใดๆ ลงตัว ผลคูณก็หารด้วยจำนวนนี้ไม่ได้
d) หากผลต่างหารด้วยจำนวนใดๆ ลงตัว ทั้งค่า minuend และ subtrahend จะถูกหารด้วยจำนวนนี้
สารละลาย.
ก) เท็จ ตัวอย่าง: 7+3 = 10; 7 และ 3 หารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่ 10 หารด้วย 5 ลงตัว
ข) เท็จ ตัวอย่าง: 6 (10 = 60; 60 หารด้วย 15 ลงตัว แต่ 6 หรือ 10 หารกันไม่ลงตัว
ค) เท็จ ตัวอย่าง: 6 (10 = 60; 6 และ 10 หารด้วย 15 ลงตัวไม่ได้ แต่ 60 หารด้วย 15 ลงตัว
ง) เท็จ ตัวอย่าง: 23 - 21 = 2 ผลต่างของ 2 หารด้วย 2 ลงตัว แต่ 23 และ 21 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้

5. สรุป
การทำซ้ำคุณสมบัติการหารลงตัวของผลิตภัณฑ์ ผลรวม และผลต่างของตัวเลข การตั้งค่าการบ้าน แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการให้คะแนน

13 หน้า \* ผสานรูปแบบ 14115

กђหัวเรื่อง 115

ไฟล์ที่แนบมา

หัวข้อบทเรียน:การแบ่งแยกผลรวมและผลิตภัณฑ์

ประเภทบทเรียน:บทเรียนในการ "ค้นพบ" ความรู้ใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. เรื่อง:ขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับองค์ประกอบที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีการหารจำนวนธรรมชาติ แสดงวิธีใช้คุณสมบัติการหารผลรวมและผลคูณของจำนวนธรรมชาติในการคำนวณลงตัว

2. Meta-หัวเรื่อง:การพัฒนาทักษะของนักเรียนในการให้เหตุผลเชิงประจักษ์อย่างง่ายระหว่างการวิจัย พัฒนาทักษะนักศึกษาในการจัดความร่วมมือและ กิจกรรมร่วมกันกับครูและเพื่อนร่วมงาน ทำงานเป็นรายบุคคล เป็นกลุ่ม โต้แย้งและปกป้องความคิดเห็นของคุณ

3. ส่วนตัว:ส่งเสริมการพัฒนาความสามารถในการสื่อสารในการสื่อสารและความร่วมมือกับเพื่อนร่วมงานในระหว่างการทำงานกลุ่ม ส่งเสริมการก่อตัวของความสนใจอย่างยั่งยืนในเรื่อง; พัฒนาคุณสมบัติส่วนบุคคล: ความรับผิดชอบ การกำหนด.

เทคนิคและวิธีการ:

เทคนิคการสะท้อนแสง

เทคนิคการสร้างสถานการณ์แห่งความสำเร็จและทางเลือกส่วนบุคคล

วิธีการวินิจฉัยตนเอง

วิธีการค้นหาบางส่วน

ทำงานกับหนังสือเรียน

รูปแบบการทำงานของนักศึกษา:

รายบุคคล

ทำงานเป็นคู่

หน้าผาก.

ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้:

นักเรียนจะได้เรียนรู้คุณสมบัติการหารลงตัวของผลรวมและผลิตภัณฑ์

สร้างทักษะให้นักเรียนใช้ในการคำนวณคุณสมบัติการหารลงตัวของผลบวกและผลคูณ

เทคโนโลยีการศึกษาประยุกต์:

แนวทางกิจกรรมระบบ

เทคโนโลยีการเรียนรู้แบบใช้ปัญหาเป็นฐาน

ในระหว่างเรียน

1. แรงจูงใจในการทำกิจกรรมการเรียนรู้

สวัสดีเพื่อนๆนักเรียนนายร้อย.

พวกคุณวันนี้ฉันอยากจะเริ่มบทเรียนด้วยเรื่องตลกเล็กน้อย แต่ในความคิดของฉันส่วนที่เป็นบทเรียนของภาพยนตร์การ์ตูนในวัยเด็กของฉัน“ Vovka ในอาณาจักรอันไกลโพ้น”

โปรดดูมันอย่างระมัดระวัง. (ดูและอภิปรายการส่วนหนึ่งของการ์ตูน)

Vovka พึ่งพาอะไรตั้งแต่เริ่มต้น? (ว่า “สองคนจากโลงศพ” จะทำงานให้เขา)

มันมาจากอะไร (พวกเขาผสมทุกอย่างเข้าด้วยกันและ Vovka ก็ยังต้องทำทุกอย่างด้วยตัวเอง)

ทำไม Vovka ถึงยังหิวอยู่?

เขาสร้างรางน้ำให้หญิงชราได้อย่างไร?

คุณคิดว่า Vovka จะสามารถสร้างกระท่อมได้หรือไม่? ทำไมคุณถึงมั่นใจเรื่องนี้?

ฉันเห็นด้วยกับคุณอย่างยิ่ง ไม่มีใครทำงานให้คุณและผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับคุณภาพของมัน หากคุณต้องการคุณสามารถเรียนรู้อะไรก็ได้

วันนี้เรามีบทเรียนการค้นพบความรู้ใหม่ๆ และฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการค้นหา ความรู้ที่คุณสั่งสมมา อย่างน้อยก็เล็กน้อยแต่ก็ยังสำคัญมาก จะช่วยคุณในเรื่องนี้อย่างแน่นอน!

2. การอัพเดตความรู้และกิจกรรมการเรียนรู้แบบทดลอง

A) การนับช่องปาก (บันได)

เพื่อให้งานของคุณง่ายขึ้นตลอดบทเรียน มาวอร์มสมองกันสักหน่อย

บนโต๊ะทำงานของคุณในไฟล์งานจะมีการ์ดที่แสดงบันได (สไลด์ 1)หาพวกเขา. (ตามตัวเลือก) เข้าสู่ระบบ. คุณจะต้องปีนบันไดให้สูงที่สุดภายใน 2 นาที โดยจดผลการคำนวณในแต่ละขั้นตอน

หมดเวลาแล้ว คุณทำเสร็จแล้ว แลกบัตร.

ตรวจสอบผลลัพธ์ของกันและกันโดยใช้ตัวอย่างบนสไลด์ (สไลด์ 2)

หากงานเสร็จสมบูรณ์และไม่มีข้อผิดพลาด ให้ "A"

คืนบัตร.

ยกมือขึ้นถ้าคุณมี A ทำได้ดี!

แล้วใครทำผิดลองคิดดูว่าทำไม?

มีเพียงสองเหตุผลเท่านั้นบอกฉันเอง (การไม่ตั้งใจ ไม่รู้ตารางสูตรคูณ)

นี่เป็นการบอกอีกครั้งว่าคุณต้องเอาใจใส่มากขึ้น และหากคุณมีปัญหากับตารางสูตรคูณ ให้ทำซ้ำอีกครั้งที่บ้าน

B) ตอนนี้เราต้องจำแนวคิดบางอย่างที่เราจะใช้ในบทเรียนของเรา ฉันขอแนะนำให้แก้ปริศนาอักษรไขว้สำหรับสิ่งนี้ มันอยู่ในไฟล์ของคุณ เราทำงานเป็นคู่ ฉันให้เวลาคุณ 3 นาที

ผลลัพธ์ของการคูณเรียกว่าอะไร?

ตัวเลขที่รวมกันเรียกว่าอะไร?

ชื่อของตัวเลขที่หารด้วยคืออะไร?

ตัวเลขที่คูณเรียกว่าอะไร?

ผลลัพธ์ของการบวกเรียกว่าอะไร?

ชื่อของตัวเลขที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวคืออะไร?

ชื่อของตัวเลขที่มีตัวหารสองตัวคืออะไร?

ตรวจสอบคำตอบของคุณ. (สไลด์ 3)

คำถามอะไรที่คุณไม่สามารถตอบได้?

ให้เราทบทวนคำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้อีกครั้ง

แนวคิดแนวดิ่งสามารถให้คำจำกัดความอะไรได้บ้าง

ตอนนี้เปิดสมุดบันทึกของคุณแล้วเขียน “!” ตรงขอบ กับงานที่คุณทำที่บ้านเสร็จอย่างง่ายดายและรวดเร็ว และ “?” หากงานนั้นทำให้เกิดปัญหา เราจะกลับมาที่งานเหล่านี้ในบทเรียนถัดไป

เขียนเลขแล้วงานดีมาก

ทำงานต่อไปนี้ให้เสร็จสิ้น: (สไลด์ 4)

B) 1. ค้นหาว่าตัวเลข 4 เป็นตัวหารของผลิตภัณฑ์หรือไม่ (3 นาที)

2. ค้นหาว่าหมายเลข 3 เป็นตัวหารของผลรวมหรือไม่:

3. การระบุสาเหตุของปัญหา

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับผลงานได้บ้าง?

เกี่ยวกับจำนวนเงิน?

คุณทราบได้อย่างไร?

อาจมีบางคนใช้วิธีการอื่นและสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องคำนวณ (เลขที่)

4. ก่อสร้างโครงการเพื่อหลุดพ้นจากความยากลำบาก

แล้ววันนี้เราจะตั้งเป้าหมายอะไรให้กับตัวเองในชั้นเรียน?

(เรียนรู้ที่จะกำหนดโดยไม่ต้องคำนวณว่าผลรวมหรือผลคูณหารด้วยจำนวนที่กำหนดหรือไม่) (สไลด์ 5)

หัวข้อบทเรียนของเรา: “คุณสมบัติของการหารลงตัวของผลิตภัณฑ์และผลรวม” (สไลด์ 6)

คุณต้องกำหนดคุณสมบัติเหล่านี้ด้วยตนเองและพิสูจน์ว่าคุณสมบัติเหล่านี้ใช้ได้จริง

นาทีพลศึกษา

เราทำงานหนัก - พักผ่อนกันเถอะ

ลุกขึ้นมาสูดหายใจลึกๆ กันเถอะ

มือไปด้านข้างไปข้างหน้า

เลี้ยวซ้ายเลี้ยวขวา

สามโค้ง ยืนตัวตรง

ยกแขนขึ้นและลง

มือก็ค่อยๆ ลดต่ำลง

พวกเขานำรอยยิ้มมาสู่ทุกคน

เข้ากลุ่ม 4 คน.

อย่าลืมกฎการทำงานเป็นกลุ่ม

ตอบคำถามบนการ์ดเป็นลายลักษณ์อักษรและสรุปผล

ทุกคนทำภารกิจเสร็จหรือยัง?

คุณเห็นรูปแบบใดสำหรับจำนวนเงิน คุณสามารถสรุปได้อย่างไรบ้าง (กลุ่ม 1 และ 2)

ระบุคุณสมบัติการหารของผลรวม.

โอเค สามารถติดตามรูปแบบงานอะไรได้บ้าง? (3 และ 4 กลุ่ม)

กำหนดคุณสมบัติการหารของผลิตภัณฑ์

5. การดำเนินโครงการที่เสร็จสมบูรณ์

ตอนนี้กลับมาที่งานในสไลด์แล้วตรวจสอบว่าสมมติฐานของเราถูกต้องหรือไม่ (ใช่)

ดังนั้นเราจึงได้กำหนดคุณสมบัติการหารลงตัวของผลรวมและผลิตภัณฑ์ มาตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติที่เรากำหนดกัน เปิดหนังสือเรียนในหน้า 102

คุณพูดถูกไหม? (ใช่)

6. การรวมบัญชีเบื้องต้น

เราแค่ต้องเรียนรู้วิธีใช้คุณสมบัติการหารลงตัวของผลรวมและผลิตภัณฑ์

หนังสือเรียน (หน้า 104):

หมายเลข 350.357-ปากเปล่า

หมายเลข 358 (c, d) - บอร์ดและโน้ตบุ๊ก

หมายเลข 359.360(a,b) - เพิ่มเติม

โอเค ทำได้ดีมาก

ทีนี้มาทำซ้ำอีกครั้งถึงคุณสมบัติของการหารที่คุณค้นพบในวันนี้ บอกเล่าให้กันและกันฟัง

7. การสะท้อนกลับกิจกรรมในบทเรียน

บทเรียนของเรากำลังจะจบลง มาสรุปกันดีกว่า

คุณตั้งเป้าหมายอะไรให้กับตัวเอง? (เรียนรู้ที่จะกำหนดโดยไม่ต้องคำนวณว่าผลรวมหรือผลคูณหารด้วยจำนวนที่กำหนดหรือไม่)

คุณคิดว่าคุณบรรลุเป้าหมายของคุณหรือไม่? (ใช่)

ตอนนี้ให้นำการ์ดการประเมินตนเองจากไฟล์ เซ็นชื่อและประเมินกิจกรรมของคุณในบทเรียน

8.การบ้าน:

เลขที่ 356(ก), 358(ก,ข), 360(ค,ง)

พวกคุณทุกคนทำงานได้อย่างมีประสิทธิผลมากในวันนี้ โดยไม่มีข้อยกเว้น ขอบคุณสำหรับการทำงานของคุณ

ฉันอยากจะจบบทเรียนด้วยสุภาษิตพื้นบ้านเวียดนามที่ว่า “คุณจะเรียนรู้ได้ก็ต่อเมื่อคุณเรียนเท่านั้น คุณจะไปถึงที่นั่นได้ก็ต่อเมื่อคุณเดิน” อย่าลืมสิ่งนี้

สำหรับผู้ที่ได้รับการประเมินช่องปากกรุณานำสมุดบันทึกมาด้วย และใครทำภารกิจเพิ่มเติมเสร็จก็มาหาฉันพร้อมสมุดบันทึก