ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม ค้นหากฎการกระจายและความแปรปรวนของจำนวนสุ่ม

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้ในการสร้างตารางการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนการทดลองที่ดำเนินการและคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของอนุกรม ได้แก่ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานพร้อมการตัดสินใจจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word ตัวอย่างหมายเลข 1 มีการโยนเหรียญสามเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อคลุมแขนในการโยนครั้งเดียวคือ 0.5 ร่างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอป
สารละลาย.
ความน่าจะเป็นที่ไม่ได้วาดตราสัญลักษณ์: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
ป(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
ป(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ความน่าจะเป็นที่จะได้ตราอาร์ม 3 อัน: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X:

เอ็กซ์	0	1	2	3
ป	0,125	0,375	0,375	0,125

ตรวจสอบ: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงหนึ่งคนจะโดนเป้าหมายด้วยการยิงนัดเดียวสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.8 สำหรับนักกีฬาคนที่สอง – 0.85 คนร้ายยิงเข้าเป้าหนึ่งนัด เมื่อพิจารณาว่าการตีเป้าหมายเป็นเหตุการณ์อิสระสำหรับนักกีฬาแต่ละคน ให้ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A – โจมตีเป้าหมายเพียงครั้งเดียว
สารละลาย.
พิจารณาเหตุการณ์ A - โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง ตัวเลือกที่เป็นไปได้การเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้มีดังนี้:

1. ยิงคนแรกโดน ยิงสองพลาด: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. นักกีฬาคนแรกพลาด นักกีฬาคนที่สองเข้าเป้า: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. ลูกศรดอกแรกและดอกที่สองกระทบเป้าหมายโดยแยกจากกัน: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

จากนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A – โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง – จะเท่ากับ: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ตัวแปรสุ่มปริมาณเรียกว่าซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบที่ดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกันนั้นจะใช้ค่าที่แตกต่างกันโดยทั่วไปซึ่งขึ้นอยู่กับปัจจัยสุ่มที่ไม่ได้นำมาพิจารณา ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม: จำนวนแต้มที่กลิ้งบนลูกเต๋า, จำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในหนึ่งชุด, ความเบี่ยงเบนของจุดกระแทกของกระสุนปืนจากเป้าหมาย, เวลาทำงานของอุปกรณ์ ฯลฯ มีความต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม ไม่ต่อเนื่องเรียกว่าตัวแปรสุ่มค่าที่เป็นไปได้ซึ่งก่อตัวเป็นเซตที่นับได้ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด (นั่นคือเซตที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้)

ต่อเนื่องมีการเรียกตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเติมช่วงเวลาจำกัดหรืออนันต์ของเส้นจำนวนอย่างต่อเนื่อง จำนวนค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเสมอ

เราจะแสดงตัวแปรสุ่มด้วยตัวพิมพ์ใหญ่จากส่วนท้ายของตัวอักษรละติน: เอ็กซ์, ย, . ; ค่าตัวแปรสุ่ม – เป็นตัวพิมพ์เล็ก: เอ็กซ์, ย,. . ดังนั้น, เอ็กซ์หมายถึงชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและ เอ็กซ์ -ความหมายเฉพาะบางอย่างของมัน

กฎหมายการกระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสอดคล้องที่ระบุในรูปแบบใด ๆ ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น

ปล่อยให้ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เป็น . จากผลการทดสอบ ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ กล่าวคือ เหตุการณ์หนึ่งจากกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ทั้งหมดจะเกิดขึ้น

ให้ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ด้วย:

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถเขียนได้ในรูปแบบของตารางที่เรียกว่า ใกล้กระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

ตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
มูลค่าที่คาดหวัง

ส่วนที่สองใน ทฤษฎีความน่าจะเป็นอุทิศ ตัวแปรสุ่ม ซึ่งมาพร้อมกับเราอย่างมองไม่เห็นในทุกบทความในหัวข้อนี้ และถึงเวลาที่ต้องระบุให้ชัดเจนว่าคืออะไร:

สุ่ม เรียกว่า ขนาดซึ่งผลการทดสอบจะใช้เวลา หนึ่งเดียวเท่านั้นค่าตัวเลขที่ขึ้นอยู่กับปัจจัยสุ่มและคาดเดาไม่ได้ล่วงหน้า

ตัวแปรสุ่มมักจะเป็น แสดงถึงผ่าน * และความหมายจะเขียนด้วยตัวอักษรตัวเล็กพร้อมตัวห้อย เช่น

* บางครั้งมีการใช้อักษรกรีกด้วย

เราเจอตัวอย่างเมื่อ บทเรียนแรกเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยที่เราพิจารณาตัวแปรสุ่มต่อไปนี้:

– จำนวนแต้มที่จะปรากฏหลังทอยลูกเต๋า

จากการทดสอบนี้มันจะหลุดออกมา หนึ่งเดียวเท่านั้นเส้นไหนกันแน่ที่ไม่สามารถคาดเดาได้ (เราไม่นับลูกเล่น); ในกรณีนี้ ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้:

– จำนวนเด็กผู้ชายในจำนวนทารกแรกเกิด 10 คน

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าไม่ทราบจำนวนนี้ล่วงหน้า และเด็ก 10 คนถัดไปที่เกิดอาจรวมถึง:

หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นจากตัวเลือกที่แสดงไว้

และเพื่อรักษารูปร่างให้มีการพลศึกษาเล็กน้อย:

– ระยะกระโดดไกล (ในบางยูนิต).

แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาก็ไม่สามารถคาดเดาได้ :)

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณ?

เร็ว ๆ นี้ เซตของจำนวนจริงตัวแปรสุ่มก็สามารถรับได้ มากมายไม่สิ้นสุดค่าจากช่วงเวลาหนึ่ง และนี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากตัวอย่างก่อนหน้านี้

ดังนั้น, แนะนำให้แบ่งตัวแปรสุ่มออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่:

1) ไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง)ตัวแปรสุ่ม - รับค่าแต่ละค่าที่แยกออกมา จำนวนของค่าเหล่านี้ แน่นอนหรือ ไม่มีที่สิ้นสุดแต่นับได้.

...มีเงื่อนไขที่ไม่ชัดเจนมั้ย? เราทำซ้ำอย่างเร่งด่วน พื้นฐานพีชคณิต!

2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง – ยอมรับ ทั้งหมดค่าตัวเลขจากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์

บันทึก : วี วรรณกรรมการศึกษาตัวย่อยอดนิยม DSV และ NSV

ก่อนอื่น เรามาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกันก่อน จากนั้น - อย่างต่อเนื่อง.

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

- นี้ การโต้ตอบระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้และความน่าจะเป็น บ่อยครั้งที่กฎหมายเขียนไว้ในตาราง:

คำนี้ปรากฏค่อนข้างบ่อย แถว การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูคลุมเครือ ดังนั้นฉันจะยึดติดกับ "กฎหมาย"

และตอนนี้ มาก จุดสำคัญ : เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ หนึ่งในค่านิยมจากนั้นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

หรือถ้าเขียนย่อ:

ตัวอย่างเช่น กฎการกระจายความน่าจะเป็นของแต้มที่ทอยบนลูกเต๋ามีรูปแบบดังนี้:

คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มแบบแยกสามารถรับเฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตา - พวกมันสามารถเป็นอะไรก็ได้:

เกมบางเกมมีกฎการจำหน่ายที่ชนะดังต่อไปนี้:

...คุณคงจะฝันถึงงานแบบนี้มานานแล้ว 🙂 ฉันจะบอกความลับแก่คุณ – ฉันก็เหมือนกัน โดยเฉพาะหลังจากทำงานเสร็จแล้ว ทฤษฎีภาคสนาม.

สารละลาย: เนื่องจากตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวจากสามค่า เหตุการณ์จึงจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

การเปิดเผย "พรรคพวก":

– ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4

การควบคุม: นั่นคือสิ่งที่เราต้องทำให้แน่ใจ

คำตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อคุณจำเป็นต้องร่างกฎหมายการจำหน่ายด้วยตัวเอง สำหรับสิ่งนี้พวกเขาใช้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีบทการคูณ/การบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ เทอร์เวรา:

ในกล่องประกอบด้วยตั๋วลอตเตอรี 50 ใบ โดย 12 ใบถูกรางวัล และ 2 ใบในนั้นถูกรางวัลละ 1,000 รูเบิล และที่เหลือใบละ 100 รูเบิล ร่างกฎสำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม - ขนาดของเงินรางวัลหากมีการสุ่มตั๋วหนึ่งใบจากกล่อง

สารละลาย: อย่างที่คุณสังเกตเห็น ค่าของตัวแปรสุ่มมักจะถูกวางไว้ในนั้น ตามลำดับจากน้อยไปหามาก. ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยเงินรางวัลที่น้อยที่สุดนั่นคือรูเบิล

มีตั๋วทั้งหมด 50 ใบ - 12 = 38 และตาม คำจำกัดความแบบคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่ตั๋วสุ่มจะเป็นผู้แพ้

ในกรณีอื่นๆ ทุกอย่างก็เรียบง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:

และสำหรับ :

ตรวจสอบ: – และนี่เป็นช่วงเวลาที่น่ายินดีอย่างยิ่งของงานดังกล่าว!

คำตอบ: กฎการกระจายเงินรางวัลที่ต้องการ:

งานต่อไปนี้ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายคือ ร่างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม - จำนวนการเข้าชมหลังจาก 2 ช็อต

...ฉันรู้ว่าเธอคิดถึงเขา :) จำไว้นะ ทฤษฎีบทการคูณและการบวก. คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

กฎการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติ อาจมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่รู้เพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะเชิงตัวเลข .

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การพูด ในภาษาง่ายๆ, นี้ มูลค่าที่คาดหวังโดยเฉลี่ยเมื่อทำการทดสอบซ้ำหลายครั้ง ให้ตัวแปรสุ่มนำค่าที่มีความน่าจะเป็นไปตามลำดับ แล้ว มูลค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มนี้มีค่าเท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ค่าทั้งหมดตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

หรือยุบ:

ให้เราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนคะแนนที่กลิ้งบนลูกเต๋า:

ความหมายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้รับคืออะไร? หากคุณทอยลูกเต๋าได้มากพอแล้ว ค่าเฉลี่ยคะแนนที่ตกจะใกล้เคียงกับ 3.5 - และยิ่งคุณทำการทดสอบมากเท่าไรก็ยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น จริงๆ แล้วฉันได้พูดโดยละเอียดเกี่ยวกับผลกระทบนี้ในบทเรียนเกี่ยวกับแล้ว ความน่าจะเป็นทางสถิติ.

ตอนนี้เรามาจำเกมสมมุติของเรา:

คำถามเกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้มีกำไรหรือไม่? ...ใครมีความประทับใจบ้าง? ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดว่า "ตรงไปตรงมา" ได้! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว - ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นที่จะชนะ:

ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้ การสูญเสีย.

อย่าเชื่อความประทับใจของคุณ - เชื่อตัวเลข!

ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว ความหายนะที่หลีกเลี่ยงไม่ได้รอเราอยู่ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมประเภทนี้ :) อาจจะเป็นเท่านั้น เพื่อความสนุก.

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เป็นไปตามที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าสุ่มอีกต่อไป

งานสร้างสรรค์เพื่อการวิจัยอิสระ:

มิสเตอร์เอ็กซ์เล่นรูเล็ตยุโรป ระบบถัดไป: เดิมพัน 100 รูเบิลอย่างต่อเนื่องกับ "สีแดง" ร่างกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - เงินรางวัล คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษให้เป็น kopeck ที่ใกล้ที่สุด เท่าไหร่ เฉลี่ยผู้เล่นเสียเงินเดิมพันทุก ๆ ร้อยหรือไม่?

อ้างอิง : ยูโรเปียนรูเล็ตประกอบด้วย 18 สีแดง 18 สีดำ และ 1 สีเขียว (“ศูนย์”) หาก "สีแดง" ปรากฏขึ้น ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่า มิฉะนั้นจะตกเป็นรายได้ของคาสิโน

มีระบบรูเล็ตอื่นๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่ในกรณีนี้คือเมื่อเราไม่ต้องการกฎการแจกแจงหรือตารางใดๆ เนื่องจากมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ สิ่งเดียวที่เปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งคือ การกระจายตัวซึ่งเราจะเรียนรู้ในส่วนที่ 2 ของบทเรียน

แต่ก่อนอื่น การยืดนิ้วบนปุ่มเครื่องคิดเลขจะเป็นประโยชน์:

ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็น:

หาดูว่ารู้หรือไม่. ดำเนินการตรวจสอบ

แล้วมาเรียนต่อครับ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและถ้าเป็นไปได้ ตอนนี้!!- เพื่อไม่ให้เสียกระทู้

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3 สารละลาย: ตามเงื่อนไข – ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมาย แล้ว:
– ความน่าจะเป็นที่จะพลาด

มาเขียนกฎการกระจายการตีสำหรับสองช็อต:

- ไม่ตีแม้แต่ครั้งเดียว โดย ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

- ตีหนึ่ง โดย ทฤษฎีบทสำหรับการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และการคูณของเหตุการณ์อิสระ:

- ตีสองครั้ง ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ตรวจสอบ: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1

คำตอบ :

บันทึก : คุณสามารถใช้สัญลักษณ์ได้ - มันไม่สำคัญ

ตัวอย่างที่ 4 สารละลาย: ผู้เล่นชนะ 100 รูเบิลใน 18 กรณีจาก 37 กรณีดังนั้นกฎการกระจายเงินรางวัลของเขาจึงมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน:

ดังนั้นสำหรับการเดิมพันทุกๆ 100 ครั้ง ผู้เล่นจะเสียเงินโดยเฉลี่ย 2.7 รูเบิล

ตัวอย่างที่ 5 สารละลาย: ตามคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

มาสลับส่วนต่างๆ และทำให้ง่ายขึ้น:

ดังนั้น:

มาตรวจสอบกัน:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

คำตอบ :

(ไปหน้าหลัก)

ผลงานคุณภาพสูงที่ไม่มีการลอกเลียนแบบ – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มตัวแปรเรียกว่าตัวแปรซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบแต่ละครั้ง รับค่าที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้ ขึ้นอยู่กับเหตุผลที่สุ่ม ตัวแปรสุ่มแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ ตามประเภทของตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มสามารถเป็น ไม่ต่อเนื่องและ อย่างต่อเนื่อง.

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง- นี่คือตัวแปรสุ่มที่มีค่านับได้ไม่เกินนั่นคือมีขอบเขตหรือนับได้ จากการนับได้เราหมายความว่าค่าของตัวแปรสุ่มสามารถกำหนดหมายเลขได้

ตัวอย่างที่ 1 . นี่คือตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

a) จำนวนครั้งที่ยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิง $n$ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$

b) จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอปเมื่อโยนเหรียญ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$

c) จำนวนเรือที่มาถึงบนเรือ (ชุดค่าที่นับได้)

d) จำนวนสายที่มาถึง PBX (ชุดค่าที่นับได้)

1. กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน $X$ สามารถรับค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ เรียกว่าความสอดคล้องระหว่างค่าเหล่านี้และความน่าจะเป็น กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง. ตามกฎแล้ว การติดต่อนี้จะถูกระบุโดยใช้ตาราง บรรทัดแรกระบุค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และบรรทัดที่สองมีความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับ ค่าเหล่านี้

$\เริ่มต้น
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \จุด & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \จุด & p_n \\
\hline
\end$

ตัวอย่างที่ 2 . ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนคะแนนที่ทอยได้เมื่อทอยลูกเต๋า ตัวแปรสุ่มดังกล่าว $X$ สามารถใช้ค่าต่อไปนี้: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ทั้งหมดจะเท่ากับ $1/6$ จากนั้นกฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\เริ่มต้น
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

ความคิดเห็น. เนื่องจากในกฎการกระจายตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ เหตุการณ์ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากับ 1 กล่าวคือ $\sum

2. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มกำหนดความหมาย "ศูนย์กลาง" ของมัน สำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกคำนวณเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้ นั่นคือ : $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. ในวรรณคดีอังกฤษ มีการใช้สัญลักษณ์อื่น $E\left(X\right)$

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์$M\ซ้าย(X\ขวา)$:

1. $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและ ค่าสูงสุดตัวแปรสุ่ม $X$
2. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่ของตัวมันเอง กล่าวคือ $M\left(C\right)=C$.
3. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$
5. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$

ตัวอย่างที่ 3 . ลองค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$

เราจะสังเกตได้ว่า $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่น้อยที่สุด ($1$) และค่าที่ใหญ่ที่สุด ($6$) ของตัวแปรสุ่ม $X$

ตัวอย่างที่ 4 . เป็นที่ทราบกันว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=2$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $3X+5$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

ตัวอย่างที่ 5 . เป็นที่ทราบกันว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=4$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $2X-9$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากันสามารถกระจายออกไปตามค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มนักเรียนสองกลุ่ม คะแนนเฉลี่ยสำหรับการสอบตามทฤษฎีความน่าจะเป็นกลายเป็น 4 แต่ในกลุ่มหนึ่งทุกคนกลับกลายเป็นนักเรียนที่ดีและอีกกลุ่มหนึ่งมีเพียงนักเรียน C และนักเรียนที่ดีเยี่ยม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่จะแสดงการแพร่กระจายของค่าของตัวแปรสุ่มรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ลักษณะนี้คือการกระจายตัว

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง$X$ เท่ากับ:

ในวรรณคดีอังกฤษ ใช้สัญลักษณ์ $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ บ่อยครั้งที่ความแปรปรวน $D\left(X\right)$ คำนวณโดยใช้สูตร $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

คุณสมบัติการกระจายตัว$D\ซ้าย(X\ขวา)$:

1. ความแปรปรวนจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ เช่น $D\ซ้าย(X\ขวา)\ge 0$.
2. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ เช่น $D\ซ้าย(C\ขวา)=0$.
3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของการกระจายตัวได้ โดยมีเงื่อนไขว่าเป็นกำลังสอง เช่น $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน กล่าวคือ $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน กล่าวคือ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

ตัวอย่างที่ 6 . ลองคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$

ตัวอย่างที่ 7 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=2$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $4X+1$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะพบว่า $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ซ้าย(X\right)=16\cdot 2=32$.

ตัวอย่างที่ 8 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=3$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $3-2X$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะพบว่า $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ซ้าย(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

วิธีการแทนตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงไม่ใช่วิธีเดียว และที่สำคัญที่สุด ไม่เป็นสากล เนื่องจากไม่สามารถระบุตัวแปรสุ่มต่อเนื่องโดยใช้อนุกรมการแจกแจงได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแสดงตัวแปรสุ่ม - ฟังก์ชันการแจกแจง

ฟังก์ชันการกระจายตัวแปรสุ่ม $X$ เรียกว่าฟังก์ชัน $F\left(x\right)$ ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ จะได้รับค่าน้อยกว่าค่าคงที่บางค่า $x$ นั่นคือ $F\ ซ้าย(x\right )=P\left(X 6$ จากนั้น $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ ซ้าย(X=3 \right)+P\ซ้าย(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

กราฟของฟังก์ชันการกระจาย $F\left(x\right)$:

กฎพื้นฐานของการกระจาย

1. กฎหมายการกระจายแบบทวินาม

กฎการกระจายแบบทวินามอธิบายความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A m ครั้งในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่

เช่น ฝ่ายขายของร้านค้า เครื่องใช้ในครัวเรือนโดยเฉลี่ยจะได้รับคำสั่งซื้อโทรทัศน์หนึ่งครั้งจากการโทร 10 ครั้ง ร่างกฎการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับการซื้อเอ็มโทรทัศน์ สร้างรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงความน่าจะเป็น

ในตาราง ม. - จำนวนคำสั่งซื้อที่ บริษัท ได้รับสำหรับการซื้อทีวี C n m คือจำนวนการรวมกันของ m โทรทัศน์โดย n, p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เช่น การสั่งซื้อทีวี q คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้น เช่น ไม่สั่งทีวี P m คือความน่าจะเป็นที่จะสั่ง m ทีวีจาก n รูปที่ 1 แสดงรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงความน่าจะเป็น

2. การกระจายทางเรขาคณิต

การกระจายทางเรขาคณิตของตัวแปรสุ่มมีรูปแบบดังนี้

P m คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองหมายเลข m
p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง
คิว = 1 - หน้า

ตัวอย่าง. บริษัทซ่อมเครื่องใช้ในครัวเรือนแห่งหนึ่งได้รับการจัดส่งอะไหล่จำนวน 10 เครื่องไปให้ เครื่องซักผ้า. มีหลายครั้งที่แบทช์ปรากฏว่ามีบล็อกที่ชำรุด 1 บล็อก มีการตรวจสอบจนกว่าจะตรวจพบหน่วยที่ชำรุด มีความจำเป็นต้องจัดทำกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนบล็อกที่ตรวจสอบแล้ว ความน่าจะเป็นที่บล็อกอาจมีข้อบกพร่องคือ 0.1 สร้างรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงความน่าจะเป็น

ตารางแสดงว่าเมื่อจำนวน m เพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นที่บล็อกที่ชำรุดจะถูกตรวจพบจะลดลง บรรทัดสุดท้าย (m=10) รวมความน่าจะเป็นสองรายการเข้าด้วยกัน: 1 - บล็อกที่สิบกลายเป็นข้อผิดพลาด - 0.038742049, 2 - บล็อกที่เลือกทั้งหมดกลายเป็นว่าใช้งานได้ - 0.34867844 เนื่องจากความน่าจะเป็นที่บล็อกจะผิดพลาดค่อนข้างต่ำ (p = 0.1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุดท้าย P m (10 บล็อกที่ทดสอบ) จึงค่อนข้างสูง รูปที่ 2.

3. การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

การกระจายตัวแบบไฮเปอร์เรขาคณิตของตัวแปรสุ่มมีรูปแบบดังนี้:

เช่น ร่างกฎการแจกแจงตัวเลขที่เดาได้ 7 ตัวจาก 49 ตัวใน ในตัวอย่างนี้มีทั้งหมด N=49 หมายเลข, n=7 หมายเลขถูกลบออก, M - จำนวนทั้งหมดที่มีคุณสมบัติที่กำหนด เช่น ของตัวเลขที่เดาถูก m คือจำนวนตัวเลขที่เดาถูกในกลุ่มที่ถอนออก

ตารางแสดงว่าความน่าจะเป็นในการเดาตัวเลขหนึ่งตัว m=1 นั้นสูงกว่าเมื่อ m=0 อย่างไรก็ตามความน่าจะเป็นเริ่มลดลงอย่างรวดเร็ว ดังนั้นความน่าจะเป็นในการเดาตัวเลข 4 ตัวจึงน้อยกว่า 0.005 อยู่แล้ว และ 5 ก็มีน้อยมาก

4.กฎหมายการกระจายปัวซอง

ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปัวซอง หากกฎการกระจายมีรูปแบบดังนี้

Np = ค่าคงที่
n คือจำนวนการทดสอบที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์
p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น โดยมีค่าเป็นศูนย์
m คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A

ตัวอย่างเช่น ในแต่ละวันบริษัทที่ขายโทรทัศน์จะได้รับสายประมาณ 100 สายโดยเฉลี่ย ความน่าจะเป็นในการสั่งซื้อทีวียี่ห้อ A คือ 0.08; B - 0.06 และ C - 0.04 ร่างกฎหมายกระจายคำสั่งซื้อโทรทัศน์ เกรด A, Bและ C. สร้างรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงความน่าจะเป็น

จากเงื่อนไขที่เรามี: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)

(ตารางไม่ได้ให้เต็ม)

ถ้า n มีขนาดใหญ่พอและมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และค่าของ p มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นผลคูณ np มีแนวโน้มเป็นจำนวนคงที่ ดังนั้น กฎหมายฉบับนี้เป็นการประมาณกฎการแจกแจงแบบทวินาม กราฟแสดงให้เห็นว่ายิ่งความน่าจะเป็นของ p มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะอยู่ใกล้กับแกน m มากขึ้นเท่านั้น กล่าวคือ แบนมากขึ้น (รูปที่ 4)

ควรสังเกตว่าการแจกแจงแบบทวินาม เรขาคณิต ไฮเปอร์จีโอเมตริก และการแจกแจงแบบปัวซงแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

5.กฎหมายการกระจายเครื่องแบบ

หากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (x) เป็นค่าคงที่ในช่วงเวลาหนึ่ง กฎการกระจายจะเรียกว่าสม่ำเสมอ รูปที่ 5 แสดงกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของกฎการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ

6.กฎการกระจายแบบปกติ (กฎของเกาส์)

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่พบมากที่สุดคือกฎการแจกแจงแบบปกติ ตัวแปรสุ่มจะถูกกระจายตามกฎการแจกแจงแบบปกติ หากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นอยู่ในรูปแบบ:

ที่ไหน
a คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
? - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบปกติมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง x=a กล่าวคือ x เท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น หาก x=a เส้นโค้งจะมีค่าสูงสุดเท่ากับ:

เมื่อค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เปลี่ยนแปลง เส้นโค้งจะเลื่อนไปตามแกน Ox กราฟ (รูปที่ 6) แสดงว่าที่ x=3 เส้นโค้งมีค่าสูงสุด เนื่องจาก ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 3 หากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใช้ค่าอื่น เช่น a=6 เส้นโค้งจะมีค่าสูงสุดที่ x=6 เมื่อพูดถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังที่เห็นได้จากกราฟ ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมาก ค่าสูงสุดของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มก็จะยิ่งต่ำลง

ฟังก์ชันที่แสดงการแจกแจงของตัวแปรสุ่มในช่วงเวลา (-?, x) และมีกฎการแจกแจงแบบปกติ จะแสดงผ่านฟังก์ชัน Laplace โดยใช้สูตรต่อไปนี้

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ประกอบด้วยสองส่วน: ความน่าจะเป็นที่ x รับค่าจากลบอนันต์ถึง a เท่ากับ 0.5 และส่วนที่สอง - จาก a ถึง x (รูปที่ 7)

มาเรียนด้วยกันเถอะ

เอกสารที่เป็นประโยชน์สำหรับนักศึกษา ประกาศนียบัตร และภาคการศึกษาตามสั่ง

บทเรียน: กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็น สามารถระบุได้ในรูปแบบตาราง กราฟิก และการวิเคราะห์

บทเรียนนี้จะกล่าวถึงตัวแปรสุ่มอะไร

ด้วยวิธีการระบุแบบตาราง แถวแรกของตารางประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ และความน่าจะเป็นที่สองคือ

ปริมาณนี้เรียกว่าอนุกรมการกระจาย ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง.

X=x1, X=x2, X=xn สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ เนื่องจากในการทดลองครั้งหนึ่ง ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ดังนั้น ผลรวมของความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ 1 นั่นคือ p1 + p2 + pn = 1 หรือ

หากเซตของค่า X ไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างที่ 1 มีการออกสลาก 100 ใบในลอตเตอรีเงินสด จะมีการชนะหนึ่งครั้งที่ 1,000 รูเบิลและชนะ 10 ครั้งจาก 100 รูเบิล ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X - ต้นทุนของการชนะที่เป็นไปได้สำหรับเจ้าของสลากหนึ่งใบ

กฎหมายการจำหน่ายที่จำเป็นมีรูปแบบ:

ควบคุม; 0.01+0.1+0.89=1.
ด้วยวิธีการแบบกราฟิกในการระบุกฎหมายการกระจายสินค้า ประสานงานเครื่องบินสร้างจุด (Xi:Pi) จากนั้นเชื่อมต่อจุดเหล่านั้นด้วยส่วนของเส้นตรง เส้นขาดที่เกิดขึ้นเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจายตัวอย่างเช่น 1 รูปหลายเหลี่ยมการกระจายจะแสดงในรูปที่ 1

เมื่อระบุกฎการกระจายในเชิงวิเคราะห์ จะมีการระบุสูตรที่เชื่อมโยงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มด้วยค่าที่เป็นไปได้

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงแบบทวินาม

ปล่อยให้ทำการทดลอง n ครั้ง โดยในแต่ละเหตุการณ์ A เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ p ดังนั้นจึงไม่เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นคงที่ ถาม = 1- พี. พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์-จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองทั้ง n รายการ ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n ความน่าจะเป็นของสิ่งเหล่านี้ที่เป็นไปได้

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่า Windows XP Word 2003 Excel 2003 กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสัมพันธ์ใดๆ ที่สร้างการเชื่อมต่อระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และ […]

Organisation LLC "ความเชี่ยวชาญด้านที่อยู่อาศัยและการก่อสร้าง" รวมอยู่ในการลงทะเบียนของธุรกิจขนาดเล็กและขนาดกลาง: ตั้งแต่วันที่ 08/01/2016 ในฐานะองค์กรขนาดเล็ก ที่อยู่ทางกฎหมาย: 150047, YAROSLAVSKAYA REGION, YAROSLAVL G, BELINSKOGO STREET, BUILDING 29, OFFICE 51 OKFS: 16 - ทรัพย์สินส่วนตัว OKOGU: 4210014 - องค์กรที่ก่อตั้ง […]

เงินบำนาญสำหรับคนพิการกลุ่มที่สองในปี 2561 ในสหพันธรัฐรัสเซีย การมอบหมายความพิการทุกรูปแบบใน สหพันธรัฐรัสเซียเกิดขึ้นตามตัวชี้วัดทางการแพทย์และสังคมเท่านั้น ความพิการประเภทที่สองถูกกำหนดให้กับผู้ที่ถือว่าพิการ แต่ไม่ต้องการการดูแลอย่างต่อเนื่อง พลเมืองดังกล่าวมีสิทธิได้รับ [...]

การถ่ายทอดลักษณะแบบโมโนเจนิก การถ่ายทอดทางพันธุกรรมแบบออโตโซมและแบบเพศ เนื่องจากคาริโอไทป์ของสิ่งมีชีวิตเป็นชุดโครโมโซมซ้ำ ยีนส่วนใหญ่ในเซลล์ร่างกายจึงแสดงเป็นคู่อัลลีล ยีนอัลลีลิกที่อยู่ในบริเวณที่สอดคล้องกันของโครโมโซมคล้ายคลึงกันซึ่งมีปฏิสัมพันธ์ [...]

การพิสูจน์ ประเภทของหลักฐาน อัลกอริธึมข้อพิพาท การวิเคราะห์เชิงตรรกะการโต้แย้ง 1. เน้นวิทยานิพนธ์ในข้อความ 2. เน้นข้อโต้แย้ง สร้างความน่าเชื่อถือ 3. เน้นรูปแบบของข้อโต้แย้ง สร้างความเข้มงวดของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะระหว่างข้อโต้แย้งกับวิทยานิพนธ์ 4. ให้ข้อสรุปเกี่ยวกับลักษณะของข้อโต้แย้ง , ของมัน […]

คำสั่งของกระทรวงคมนาคมของสหพันธรัฐรัสเซีย N 124, กระทรวงยุติธรรมของสหพันธรัฐรัสเซีย N 315, กระทรวงกิจการภายในของสหพันธรัฐรัสเซีย N 817, กระทรวงสาธารณสุขและการพัฒนาสังคมของสหพันธรัฐรัสเซีย N 714 ของ 17 ตุลาคม 2549 "ในการอนุมัติเงื่อนไขและขั้นตอนสำหรับการรับรองวิชาชีพของช่างเทคนิคผู้เชี่ยวชาญที่ดำเนินการตรวจสอบทางเทคนิคอิสระของยานพาหนะ รวมถึงข้อกำหนดสำหรับผู้เชี่ยวชาญ - ช่างเทคนิค" ลงทะเบียน […]

กรอบกฎหมายสหพันธรัฐรัสเซีย ให้คำปรึกษาฟรี กฎหมายของรัฐบาลกลาง การแก้ไขบ้านของรัฐบาลสหพันธรัฐรัสเซียเมื่อวันที่ 17 พฤศจิกายน 2544 N 795 “ ในการอนุมัติกฎสำหรับการให้บริการที่จอดรถ” เอกสารในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์ FAPSI, STC “ ระบบ” “ การรวบรวมกฎหมายของรัสเซีย สหพันธ์”, N 48, 26/11/2544, […]

องค์กร OJSC "NEFTEL" ที่อยู่: SAMARA, VENZEKA STREET, D 81 ที่อยู่ตามกฎหมาย: 443020, SAMARA, VENZEKA STREET, D 81 OKFS: 42 - การเป็นเจ้าของแบบรัสเซียผสมโดยมีส่วนแบ่งการเป็นเจ้าของในหน่วยงานที่เป็นส่วนประกอบของสหพันธรัฐรัสเซีย OKOGU: 4210014 - องค์กรที่จัดตั้งขึ้น นิติบุคคลไม่ว่าจะเป็นพลเมืองหรือนิติบุคคลและ [...]

ดังที่ทราบกันดีว่า ตัวแปรสุ่ม เรียกว่าปริมาณแปรผันที่สามารถรับค่าบางค่าได้แล้วแต่กรณี ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน (X, Y, Z) และค่าของตัวแปรจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กที่เกี่ยวข้อง (x, y, z) ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) และต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นตัวแปรสุ่มที่รับเฉพาะชุดค่าที่มีขอบเขตหรืออนันต์ (นับได้) โดยมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงค่าของตัวแปรสุ่มเข้ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน กฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายสามารถระบุได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้

1 . กฎหมายการกระจายสามารถกำหนดได้จากตาราง:

โดยที่ แลม>0, k = 0, 1, 2, … .

วี)โดยใช้ ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าน้อยกว่า x นั่นคือ ฉ(x) = พี(X< x).

คุณสมบัติของฟังก์ชัน F(x)

3 . กฎหมายการจำหน่ายสามารถระบุได้แบบกราฟิก – รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปหลายเหลี่ยม) (ดูปัญหาที่ 3)

โปรดทราบว่าในการแก้ปัญหาบางอย่างไม่จำเป็นต้องรู้กฎหมายการกระจายสินค้า ในบางกรณี การรู้ตัวเลขหนึ่งหรือหลายตัวที่สะท้อนได้มากที่สุดก็เพียงพอแล้ว คุณสมบัติที่สำคัญกฎหมายการกระจาย นี่อาจเป็นตัวเลขที่มีความหมายเท่ากับ “ค่าเฉลี่ย” ของตัวแปรสุ่ม หรือตัวเลขที่แสดงขนาดเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย ตัวเลขประเภทนี้เรียกว่าคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

คุณลักษณะเชิงตัวเลขพื้นฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง :

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง M(X)=Σ x ฉัน p i.
  สำหรับการแจกแจงทวินาม M(X)=np สำหรับการแจกแจงปัวซอง M(X)=แล
• การกระจายตัว ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ง(X)=M2หรือ ง(X) = ม(X 2)− 2. ความแตกต่าง X–M(X) เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์
  สำหรับการแจกแจงทวินาม D(X)=npq สำหรับการแจกแจงปัวซอง D(X)=แล
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) σ(X)=√D(X).

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง”

ภารกิจที่ 1

มีการออกสลากลอตเตอรี 1,000 ใบ: 5 ใบจะได้รับรางวัล 500 รูเบิล, 10 ใบจะได้รับรางวัล 100 รูเบิล, 20 ใบจะได้รับรางวัล 50 รูเบิล, 50 ใบจะได้รับรางวัล 10 รูเบิล กำหนดกฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X - เงินรางวัลต่อตั๋ว

สารละลาย. ตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าตัวแปรสุ่ม X ต่อไปนี้เป็นไปได้: 0, 10, 50, 100 และ 500

จำนวนสลากที่ไม่ชนะรางวัลคือ 1,000 – (5+10+20+50) = 915 จากนั้น P(X=0) = 915/1000 = 0.915

ในทำนองเดียวกัน เราพบความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมด: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005 ให้เรานำเสนอกฎผลลัพธ์ในรูปแบบของตาราง:

มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่า X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

ภารกิจที่ 3

อุปกรณ์ประกอบด้วยสามองค์ประกอบการทำงานที่แยกจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.1 ร่างกฎการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่งครั้ง สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) แล้วพลอตมัน ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สารละลาย. 1. ตัวแปรสุ่มแบบแยก X = (จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่งครั้ง) มีค่าที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้: x 1 = 0 (ไม่มีองค์ประกอบใดของอุปกรณ์ที่ล้มเหลว), x 2 = 1 (องค์ประกอบหนึ่งล้มเหลว), x 3 = 2 ( สององค์ประกอบล้มเหลว ) และ x 4 =3 (สามองค์ประกอบล้มเหลว)

ความล้มเหลวขององค์ประกอบต่างๆ เป็นอิสระจากกัน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถใช้ได้ สูตรของเบอร์นูลลี . เมื่อพิจารณาว่าตามเงื่อนไข n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 เราจะพิจารณาความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
ป 3 (1) = ค 3 1 หน้า 1 ค 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
ป 3 (2) = ค 3 2 หน้า 2 ค 3-2 ​​= 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
พี 3 (3) = ค 3 3 พี 3 คิว 3-3 = พี 3 =0.1 3 = 0.001;
ตรวจสอบ: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1

ดังนั้น กฎการแจกแจงแบบทวินามที่ต้องการของ X จึงมีรูปแบบดังนี้

เราพล็อตค่าที่เป็นไปได้ของ x i ตามแกน abscissa และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน p i ตามแนวแกนกำหนด มาสร้างจุด M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) โดยการเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับส่วนของเส้นตรง เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมการกระจายที่ต้องการ

3. ลองหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) = Р(X

สำหรับ x ≤ 0 เราจะได้ F(x) = Р(х<0) = 0;
สำหรับ 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
สำหรับ 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
สำหรับ 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
สำหรับ x > 3 จะได้ F(x) = 1 เพราะ เหตุการณ์มีความน่าเชื่อถือ

กราฟของฟังก์ชัน F(x)

4. สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม X:
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- ความแปรปรวน D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(X) = √D(X) = √0.27 data 0.52

คำนิยาม.การกระจายตัว (กระเจิง)ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่าง. สำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น เราพบว่า

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือ:

ค่าที่เป็นไปได้ของการเบี่ยงเบนกำลังสอง:

; ;

ความแปรปรวนคือ:

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ วิธีการคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวก เนื่องจาก นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

การคำนวณผลต่าง

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การพิสูจน์.เมื่อคำนึงถึงความจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นปริมาณคงที่ เราสามารถเขียนได้:

ลองใช้สูตรนี้กับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น:

เอ็กซ์
เอ็กซ์ 2
พี	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

คุณสมบัติการกระจายตัว

1) ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์:

2) ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง:

.

3) ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:

4) ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ตามมาจากคุณสมบัติ 2

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง ซึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแต่ละครั้งจะเป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นและความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดขึ้น ของเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง:

ตัวอย่าง.โรงงานแห่งนี้ผลิตผลิตภัณฑ์เกรด 1 96% และ 4% ของผลิตภัณฑ์เกรด 2 1,000 รายการจะถูกเลือกโดยการสุ่ม อนุญาต เอ็กซ์– จำนวนผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่งในตัวอย่างนี้ ค้นหากฎการกระจาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

ดังนั้นกฎการกระจายจึงถือเป็นทวินามได้

ตัวอย่าง.ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ กในการทดลองอิสระ 2 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากันและเป็นที่รู้กันว่า

เพราะ ค่าสุ่ม เอ็กซ์มีการกระจายตามกฎทวินามแล้ว

ตัวอย่าง.การทดสอบอิสระจะดำเนินการโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันในการเกิดเหตุการณ์ กในทุกการทดสอบ ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กถ้าความแปรปรวนของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระสามครั้งคือ 0.63

จากการใช้สูตรการกระจายตัวของกฎทวินามที่เราได้รับ:

;

ตัวอย่าง.กำลังทดสอบอุปกรณ์ที่ประกอบด้วยอุปกรณ์ที่ทำงานแยกจากกันสี่เครื่อง ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวของแต่ละอุปกรณ์จะเท่ากันตามลำดับ ; ; . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลว

เมื่อนำจำนวนอุปกรณ์ที่เสียมาเป็นตัวแปรสุ่ม เราจะเห็นว่าตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับค่า 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ได้

ในการร่างกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มนี้ จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ยอมรับเถอะ.

1) ไม่ใช่อุปกรณ์ตัวเดียวที่ล้มเหลว:

2) อุปกรณ์ตัวใดตัวหนึ่งทำงานล้มเหลว