ค่าสัมประสิทธิ์ c ในสมการกำลังสองคืออะไร? สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *ต่อไปนี้เรียกว่า “มก.”เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรจะง่ายไปกว่านี้ในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูว่ายานเดกซ์ให้การแสดงผลตามความต้องการจำนวนเท่าใดต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่ามีผู้คนประมาณ 70,000 คนต่อเดือนที่กำลังมองหาข้อมูลนี้ ฤดูร้อนนี้เกี่ยวข้องกับอะไร และจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง ปีการศึกษา— จะมีคำขอเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเพราะชายและหญิงที่สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเมื่อนานมาแล้วและกำลังเตรียมสอบ Unified State กำลังมองหาข้อมูลนี้และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีเว็บไซต์จำนวนมากที่บอกวิธีแก้สมการนี้ให้คุณ แต่ฉันก็ตัดสินใจมีส่วนร่วมและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สอง ในบทความอื่นๆ เมื่อมีหัวข้อ “มก.” ผมจะใส่ลิงค์บทความนี้ให้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่ระบุไว้ในเว็บไซต์อื่น ๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ขและ c เป็นตัวเลขใดๆ โดยที่ a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียน เนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - สมการแบ่งออกเป็นสามชั้นเรียน:

1. มีสองราก

2. *มีรากเดียวเท่านั้น

3. พวกมันไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าที่นี่ไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ใต้คำที่ “แย่มาก” มีสูตรง่ายๆ อยู่ดังนี้:

สูตรรากมีดังนี้:

*คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีราก 2 อัน

2. ถ้า D = 0 แสดงว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูที่สมการ:

ในเรื่องนี้เมื่อผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รับหนึ่งรูทซึ่งนี่ก็เท่ากับเก้า ทุกอย่างถูกต้องก็เป็นเช่นนั้น แต่...

ความคิดนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง ในความเป็นจริงมีสองราก ใช่ ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ คุณจะได้สองรากที่เท่ากัน และเพื่อให้แม่นยำทางคณิตศาสตร์ คำตอบควรเขียนเป็นสองราก:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถจดไว้และบอกว่ามีรากเดียว

ตอนนี้ตัวอย่างถัดไป:

อย่างที่เรารู้กันว่ารากของ จำนวนลบไม่ถูกดึงออกมา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่แสดงให้เห็นว่าโซลูชันมีลักษณะอย่างไรในเชิงเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่งเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c – กำหนดตัวเลข โดยมี ≠ 0

กราฟเป็นรูปพาราโบลา:

นั่นคือปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (จุดเลือกปฏิบัติเป็นบวก) จุดหนึ่ง (จุดเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) และไม่มีเลย (จุดเลือกปฏิบัติเป็นลบ) รายละเอียดเกี่ยวกับ ฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: แก้ 2x 2 +8 x–192=0

ก=2 ข=8 ค= –192

ด=ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = –12

*สามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการได้ทันทีด้วย 2 ซึ่งก็คือ ลดรูปลง การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

ก=1 ข=–22 ค=121

ง = ข 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราพบว่า x 1 = 11 และ x 2 = 11

อนุญาตให้เขียน x = 11 ในคำตอบได้

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

ก=1 ข= –8 ค=72

ง = ข 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ตัวจำแนกเป็นลบ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการแยกแยะเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนบ้างไหม? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่ว่าทำไมและเกิดขึ้นที่ไหนและบทบาทและความจำเป็นเฉพาะของพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร นี่คือหัวข้อสำหรับบทความขนาดใหญ่แยกต่างหาก

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ

z = ก + ไบ

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือสิ่งที่เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

เอ+บี – นี่เป็นตัวเลขเดียว ไม่ใช่การบวก

หน่วยจินตภาพเท่ากับรากของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

เราได้รากคอนจูเกตสองตัว

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองอย่างเท่ากับศูนย์) สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยไม่มีการเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงกัน:

ตัวอย่าง:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

กรณีที่ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะกลายเป็น:

ลองแปลงและแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

ตรงนี้ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก + ข+ ค = 0,ที่

- ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก+ ค =ข, ที่

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของอัตราต่อรองคือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ซึ่งหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกันถือ ก+ ค =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 + 37x + 6 = 0

x 1 = –6 x 2 = –1/6

2. หากในสมการ ax 2 – bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx – c = 0 สัมประสิทธิ์ “b” เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 +288x – 17 = 0

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. หากในสมการ ax 2 – bx – c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และค่าสัมประสิทธิ์ c เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x 2 – 99x –10 = 0

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Francois Vieta เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา เราสามารถแสดงผลรวมและผลคูณของรากของ KU ใดๆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ได้

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยรวมแล้วหมายเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือราก ด้วยทักษะบางอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากด้วยวาจาได้ทันที

นอกจากนี้ทฤษฎีบทของเวียตนาม สะดวกตรงที่หลังจากแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีปกติ (ผ่านการจำแนก) แล้ว สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้เสมอ

วิธีการขนส่ง

ด้วยวิธีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยเงื่อนไขอิสระราวกับว่า "โยน" ลงไปซึ่งเป็นเหตุที่เรียกว่า วิธีการ "โอน"วิธีการนี้ใช้เมื่อสามารถหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า ก± บี+ซี≠ 0 จากนั้นจะใช้เทคนิคการถ่ายโอน เช่น:

2เอ็กซ์ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => เอ็กซ์ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

การใช้ทฤษฎีบทของเวียตตาในสมการ (2) ทำให้ง่ายต่อการตัดสินว่า x 1 = 10 x 2 = 1

ผลลัพธ์รากของสมการจะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 = 5 x 2 = 0.5

มีเหตุผลอะไร? ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

การแบ่งแยกสมการ (1) และ (2) เท่ากัน:

หากคุณดูที่รากของสมการ คุณจะเห็นเพียงตัวส่วนที่แตกต่างกัน และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ของ x 2 อย่างแน่นอน:

อันที่สอง (แก้ไข) มีรากที่ใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*หากเราทอยทั้งสามอีกครั้ง เราจะหารผลลัพธ์ด้วย 3 เป็นต้น

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร.ม. ur-ie และ Unified State Examination

ฉันจะบอกคุณสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณต้องสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการเลือกปฏิบัติด้วยใจ ปัญหาหลายอย่างที่รวมอยู่ในงาน Unified State Examination เกิดขึ้นจนถึงการแก้สมการกำลังสอง (รวมเรขาคณิตด้วย)

มีบางอย่างที่น่าสังเกต!

1. รูปแบบของการเขียนสมการอาจเป็นแบบ "โดยนัย" ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องพาเขาไป มุมมองมาตรฐาน(เพื่อไม่ให้สับสนในการตัดสินใจ)

2. โปรดจำไว้ว่า x เป็นปริมาณที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นได้ - t, q, p, h และอื่นๆ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แตกต่างจากสมการคลาสสิก (สมบูรณ์) ตรงที่ตัวประกอบหรือเทอมอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นพาราโบลา ขึ้นอยู่กับลักษณะทั่วไป พวกเขาแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม หลักการแก้สมการทุกประเภทจะเหมือนกัน

การกำหนดประเภทของพหุนามที่ไม่สมบูรณ์นั้นไม่มีอะไรซับซ้อน เป็นการดีที่สุดที่จะพิจารณาความแตกต่างที่สำคัญโดยใช้ตัวอย่างภาพ:

1. ถ้า b = 0 สมการจะเป็น ax 2 + c = 0
2. ถ้า c = 0 แสดงว่านิพจน์ ax 2 + bx = 0 ควรได้รับการแก้ไข
3. ถ้า b = 0 และ c = 0 แล้วพหุนามจะเปลี่ยนเป็นค่าเท่ากัน เช่น ax 2 = 0

กรณีหลังนี้มีความเป็นไปได้ทางทฤษฎีมากกว่าและไม่เคยเกิดขึ้นในงานทดสอบความรู้ เนื่องจากค่าที่ถูกต้องเพียงค่าเดียวของตัวแปร x ในนิพจน์คือศูนย์ ในอนาคตจะพิจารณาวิธีการและตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภท 1) และ 2)

อัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวแปรและตัวอย่างด้วยคำตอบ

โดยไม่คำนึงถึงประเภทของสมการ อัลกอริธึมการแก้ปัญหาจะลดลงเหลือขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ลดการแสดงออกให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการค้นหาราก
2. ทำการคำนวณ
3. เขียนคำตอบ.

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์คือการแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางขวา ดังนั้น สูตรสำหรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในการค้นหารากจึงลดลงเหลือเพียงการคำนวณค่า x สำหรับแต่ละตัวประกอบ

คุณสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาได้ในทางปฏิบัติเท่านั้น ดังนั้นมาพิจารณากัน ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงการหารากของสมการที่ไม่สมบูรณ์:

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ b = 0 ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้นิพจน์:

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

แน่นอนว่าผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ค่าของตัวแปร x1 = 0.5 และ (หรือ) x2 = -0.5 ตรงตามข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานสลายตัวได้ง่ายและรวดเร็ว ตรีโกณมิติกำลังสองให้เป็นปัจจัย จำสูตรต่อไปนี้:

หากไม่มีคำศัพท์อิสระในนิพจน์ ปัญหาก็จะง่ายขึ้นมาก แค่หาและใส่ตัวส่วนร่วมก็เพียงพอแล้ว เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax2 + bx = 0

ลองนำตัวแปร x ออกจากวงเล็บแล้วได้นิพจน์ต่อไปนี้:

x ⋅ (x + 3) = 0

ตามตรรกะ เราได้ข้อสรุปว่า x1 = 0 และ x2 = -3

วิธีการแก้แบบดั้งเดิมและสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะเกิดอะไรขึ้นหากคุณใช้สูตรแยกแยะและพยายามค้นหารากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ ลองยกตัวอย่างจากชุดงานมาตรฐานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ 2017 แก้โดยใช้สูตรมาตรฐานและวิธีการแยกตัวประกอบ

7x 2 – 3x = 0

มาคำนวณค่าจำแนก: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9 ปรากฎว่าพหุนามมีสองราก:

ตอนนี้ เรามาแก้สมการโดยการแยกตัวประกอบและเปรียบเทียบผลลัพธ์กัน

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

อย่างที่คุณเห็นทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน แต่การแก้สมการโดยใช้วิธีที่สองนั้นง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก

ทฤษฎีบทของเวียตตา

แต่จะทำอย่างไรกับทฤษฎีบทที่ชื่นชอบของ Vieta? วิธีนี้สามารถใช้ได้เมื่อ trinomial ไม่สมบูรณ์หรือไม่? มาลองทำความเข้าใจแง่มุมต่าง ๆ ของการคัดเลือกนักแสดงกันดีกว่า สมการที่ไม่สมบูรณ์ถึง ดูคลาสสิก ax2 + bx + c = 0

ที่จริงแล้ว มันเป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีบทของเวียตาในกรณีนี้ จำเป็นต้องนำนิพจน์ไปสู่รูปแบบทั่วไปเท่านั้นโดยแทนที่คำที่หายไปด้วยศูนย์

ตัวอย่างเช่น ด้วย b = 0 และ a = 1 เพื่อขจัดความเป็นไปได้ที่จะเกิดความสับสน งานควรเขียนในรูปแบบ: ax2 + 0 + c = 0 จากนั้นอัตราส่วนของผลรวมและผลคูณของรากและ ตัวประกอบของพหุนามสามารถแสดงได้ดังนี้:

การคำนวณทางทฤษฎีช่วยให้ทำความคุ้นเคยกับสาระสำคัญของปัญหาและต้องมีการพัฒนาทักษะเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ ให้เรากลับไปที่หนังสืออ้างอิงของงานมาตรฐานสำหรับการสอบ Unified State อีกครั้งและค้นหาตัวอย่างที่เหมาะสม:

ให้เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

x 2 + 0 – 16 = 0.

ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างระบบเงื่อนไข:

แน่นอนว่ารากของพหุนามกำลังสองจะเป็น x 1 = 4 และ x 2 = -4

ทีนี้ มาฝึกนำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไปกัน ลองตัวอย่างต่อไปนี้: 1/4× x 2 – 1 = 0

เพื่อที่จะประยุกต์ทฤษฎีบทของเวียตากับนิพจน์ จำเป็นต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองคูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย 4 แล้วดูผลลัพธ์: x2– 4 = 0 ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันพร้อมที่จะแก้โดยทฤษฎีบทของเวียตนาม แต่จะง่ายกว่าและเร็วกว่ามากในการหาคำตอบโดยการย้าย c = 4 ทางด้านขวาของสมการ: x2 = 4

โดยสรุปก็ควรจะกล่าวว่า วิธีที่ดีที่สุดการแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์ด้วยการแยกตัวประกอบเป็นวิธีการที่ง่ายและรวดเร็วที่สุด หากเกิดปัญหาในกระบวนการค้นหาราก คุณสามารถหันไปใช้วิธีการดั้งเดิมในการค้นหารากผ่านการแยกแยะ

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป ศตวรรษที่ 13 - 17

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองสมบูรณ์ด้วย เช่น:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการในระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 . สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบดบังความรุ่งโรจน์ของผู้อื่น การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จตุรัส ตอนที่ 8 มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นกำลังสอง ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนได้กำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญะบรีและอัลมุคาบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ อัล-โคเรซมีจะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ สิ่งที่เหลืออยู่คือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-ควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งประเทศอิสลามและ กรีกโบราณโดดเด่นด้วยทั้งความครบถ้วนและความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieta แต่ Vieta เท่านั้นที่จำได้ รากที่เป็นบวก. นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการกำหนดโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไปเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย. เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม อตรรกยะ และอสมการและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

เราศึกษาหัวข้อต่อไป” การแก้สมการ" เราคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้วและกำลังทำความคุ้นเคยต่อไป สมการกำลังสอง.

ขั้นแรก เราจะดูว่าสมการกำลังสองคืออะไร เขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร และให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกัน หลังจากนี้ เราจะใช้ตัวอย่างเพื่อดูรายละเอียดวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ต่อไป เราจะไปยังการแก้สมการที่สมบูรณ์ รับสูตรราก ทำความคุ้นเคยกับการแบ่งแยกสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เรามาติดตามความเชื่อมโยงระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์กัน

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเริ่มการสนทนาเกี่ยวกับสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสองตลอดจนคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนี้ คุณสามารถพิจารณาสมการกำลังสองประเภทหลักๆ ได้: แบบลดและไม่ลด รวมถึงสมการที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ไม่ใช่ศูนย์

สมมติทันทีว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการระดับที่สอง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิตระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ระบุช่วยให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 เป็นต้น เหล่านี้คือสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a, b และ c ถูกเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าค่าแรก หรือค่าสูงสุด หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 b คือค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x และ c คือเทอมอิสระ .

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองในรูปแบบ 5 x 2 −2 x −3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองเท่ากับ −2 และเทอมอิสระเท่ากับ −3 โปรดทราบว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังตัวอย่างที่เพิ่งให้ไป รูปแบบย่อของสมการกำลังสองคือ 5 x 2 −2 x−3=0 แทนที่จะเป็น 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ/หรือ b เท่ากับ 1 หรือ −1 ก็มักจะไม่แสดงค่าเหล่านั้นอย่างชัดเจนในสมการกำลังสอง ซึ่งเนื่องมาจากลักษณะเฉพาะของการเขียนเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ของ y เท่ากับ −1

สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลง

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลงจะมีความโดดเด่น ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งเรียกค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ให้สมการกำลังสอง. มิฉะนั้นสมการกำลังสองจะเป็น มิได้ถูกแตะต้อง.

ตาม คำจำกัดความนี้, สมการกำลังสอง x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 เป็นต้น – กำหนดให้ในแต่ละค่าสัมประสิทธิ์แรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง A 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ค่าสัมประสิทธิ์นำจะแตกต่างจาก 1

จากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดค่าใดๆ โดยการหารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์นำ คุณก็จะได้ค่าที่ลดลงแล้ว การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่า กล่าวคือ สมการกำลังสองลดลงที่ได้ในลักษณะนี้จะมีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองที่ยังไม่ได้ลดแบบเดิม หรือไม่มีรากในลักษณะเดียวกัน

ให้เราดูตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลงไปเป็นสมการที่ลดลง

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดรูปที่สอดคล้องกัน

สารละลาย.

เราแค่ต้องหารทั้งสองด้านของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกัน (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 แล้ว (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 จากที่ไหน . นี่คือวิธีที่เราได้สมการกำลังสองลดลงซึ่งเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความของสมการกำลังสองมีเงื่อนไข a≠0 เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 + b x + c = 0 เป็นกำลังสอง เนื่องจากเมื่อ a = 0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นในรูปแบบ b x + c = 0

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ทั้งแบบเดี่ยวและแบบรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

เรียกสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 ไม่สมบูรณ์ถ้ามีสัมประสิทธิ์ b, c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์

ในทางกลับกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดแตกต่างจากศูนย์

ชื่อดังกล่าวไม่ได้รับมาโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

ถ้าสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +0·x+c=0 และจะเทียบเท่ากับสมการ a·x 2 +c=0 ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +b·x+0=0 ก็สามารถเขียนใหม่เป็น a·x 2 +b·x=0 และด้วย b=0 และ c=0 เราจะได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองโดยสมบูรณ์ตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขา - สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้นสมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0.2=0 เป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จากข้อมูลในย่อหน้าที่แล้วมีดังนี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามประเภท:

• a·x 2 =0 ค่าสัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a·x 2 +b·x=0 เมื่อ c=0

ให้เราตรวจสอบเพื่อดูว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้รับการแก้ไขอย่างไร

ก x 2 = 0

มาเริ่มด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือสมการที่มีรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากสมการดั้งเดิมโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ แน่นอนว่ารากของสมการ x 2 =0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 =0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ p จะมีอสมการ p 2 >0 อยู่ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 ไม่เคยเกิดขึ้นเลย

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 =0 มีรากเดียว x=0

ตามตัวอย่าง เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4 x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 โดยมีรากเพียงตัวเดียวคือ x=0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รากเพียงตัวเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
−4 x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้รับการแก้ไขอย่างไร โดยสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์และ c≠0 นั่นคือสมการในรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม รวมถึงการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทำให้เกิดสมการที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการแปลงสมการสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 ได้ดังต่อไปนี้:

• ย้าย c ไปทางด้านขวา ซึ่งจะได้สมการ a x 2 =−c
• และหารทั้งสองข้างด้วย a เราก็จะได้

สมการที่ได้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 ดังนั้น ) หรือค่าบวก (ตัวอย่างเช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากตามเงื่อนไข c≠0 มาดูกรณีต่างๆ แยกกัน

ถ้า แล้วสมการนั้นไม่มีราก ข้อความนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนี้ไปว่าเมื่อ แล้วสำหรับจำนวนใด ๆ p ความเท่าเทียมกันไม่สามารถเป็นจริงได้

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการแตกต่างกัน ในกรณีนี้ ถ้าเราจำประมาณ ได้ รากของสมการก็จะชัดเจนทันที มันคือตัวเลข เนื่องจาก เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นก็เป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่นใดที่สามารถแสดงได้ เช่น ในทางที่ขัดแย้งกัน มาทำกัน.

ให้เราแสดงถึงรากของสมการที่เพิ่งประกาศเป็น x 1 และ −x 1 . สมมติว่าสมการนี้มีราก x 2 มากกว่าหนึ่งราก แตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่รากของมันลงในสมการแทน x จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลขทำให้เราสามารถลบค่าจริงทีละเทอมได้ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขดังนั้นการลบส่วนที่ตรงกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 −x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนผลลัพธ์ที่เท่ากันใหม่ได้เป็น (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน จะได้ว่า x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 =−x 1 ดังนั้นเราจึงเกิดความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเราบอกว่ารากของสมการ x 2 แตกต่างจาก x 1 และ −x 1 นี่พิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

ให้เราสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการนั้น

• ไม่มีรากถ้า
• มีสองราก และ ถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กันก่อน หลังจากย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการแล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบ 9 x 2 =−7 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราจะได้ผลลัพธ์ที่ เนื่องจากทางด้านขวามีจำนวนลบ สมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้นสมการกำลังสองเดิมที่ไม่สมบูรณ์ 9 x 2 +7 = 0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกอันหนึ่ง −x 2 +9=0 เราย้ายเก้าไปทางด้านขวา: −x 2 =−9 ตอนนี้เราหารทั้งสองข้างด้วย −1 เราจะได้ x 2 = 9 ทางด้านขวาจะมีจำนวนบวกซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . จากนั้นเราเขียนคำตอบสุดท้ายลงไป: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a x 2 + b x = 0 ช่วยให้คุณแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ. แน่นอนว่าเราทำได้ โดยอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะนำตัวประกอบร่วม x ออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เทียบเท่าในรูปแบบ x·(a·x+b)=0 และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a·x+b=0 ซึ่งสมการหลังเป็นเส้นตรงและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 +b·x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

การเอา x ออกจากวงเล็บจะได้สมการ มันเทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ เราแก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์: และหารจำนวนคละด้วย เศษส่วนทั่วไปเราพบ ดังนั้นรากของสมการดั้งเดิมคือ x=0 และ

หลังจากได้ฝึกปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว สามารถเขียนคำตอบของสมการดังกล่าวได้สั้นๆ ดังนี้

คำตอบ:

x=0 , .

Discriminant คือสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองนั้นมีสูตรรากอยู่ มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สูตรหารากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a ค- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง. รายการโดยพื้นฐานหมายความว่า .

การรู้ว่าสูตรรากได้มาอย่างไรและใช้ในการหารากของสมการกำลังสองอย่างไรมีประโยชน์ ลองคิดดูสิ

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 ลองทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองต่อไปนี้
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย: . หลังจากนี้สมการจะอยู่ในรูปแบบ
• ในขั้นนี้เป็นไปได้ที่จะโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เรามี .
• และมาแปลงนิพจน์ทางด้านขวาด้วย:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่เทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้าแล้วเมื่อเราตรวจสอบ สิ่งนี้ช่วยให้คุณทำ ข้อสรุปต่อไปนี้เกี่ยวกับรากของสมการ:

• ถ้า แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบที่แท้จริง
• ถ้า สมการนั้นจะมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นได้เพียงรากเท่านั้น
• ถ้า , แล้ว หรือ ซึ่งเหมือนกับ หรือ นั่นคือสมการมีสองราก

ดังนั้น การมีอยู่หรือไม่มีรากของสมการ และสมการกำลังสองดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4·a 2 จะเป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือโดยเครื่องหมายของนิพจน์ b 2 −4·a·c นิพจน์นี้ b 2 −4 a c ถูกเรียก จำแนกสมการกำลังสองและกำหนดไว้ในจดหมาย ดี. จากที่นี่ สาระสำคัญของการแบ่งแยกนั้นชัดเจน - ขึ้นอยู่กับค่าและเครื่องหมายของมัน พวกเขาสรุปว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หมายเลขของพวกเขาคืออะไร - หนึ่งหรือสอง

ลองกลับไปที่สมการแล้วเขียนใหม่โดยใช้สัญลักษณ์แยกแยะ: และเราก็ได้ข้อสรุป:

• ถ้า D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• สุดท้าย ถ้า D>0 สมการจะมีราก 2 อัน หรือซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปหรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมพวกเราได้รับ .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง ซึ่งมีลักษณะดังนี้ โดยที่ตัวแยกแยะ D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4·a·c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ด้วยการแยกแยะเชิงบวก คุณสามารถคำนวณรากที่แท้จริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ ทั้งสองสูตรจะให้ค่ารากเท่ากัน ซึ่งสอดคล้องกับคำตอบเฉพาะของสมการกำลังสอง และด้วยการแบ่งแยกเชิงลบเมื่อพยายามใช้สูตรหารากของสมการกำลังสองเราต้องเผชิญกับการสกัด รากที่สองจากจำนวนลบที่พาเราไปเกินขอบเขตหลักสูตรของโรงเรียน ด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่กัน คอนจูเกตที่ซับซ้อนรากซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากในการคำนวณค่าของสมการได้ทันที แต่สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรามักจะไม่พูดถึงเรื่องที่ซับซ้อน แต่พูดถึงรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ ขอแนะนำก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง เพื่อค้นหาตัวแยกแยะก่อน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่านั้นไม่เป็นลบ (มิฉะนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนั้นไม่มีรากจริง) แล้วจึงคำนวณค่าของรากเท่านั้น

การให้เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถเขียนได้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 คุณต้อง:

• โดยใช้สูตรจำแนก D=b 2 −4·a·c คำนวณค่าของมัน
• สรุปว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากตัวแยกแยะเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้า D=0;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากหากตัวแยกแยะเป็นบวก

ตรงนี้เราเพิ่งทราบว่าหากการแบ่งแยกเท่ากับศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรได้ โดยจะให้ค่าเดียวกันกับ

คุณสามารถไปยังตัวอย่างของการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ลองพิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามตัวที่มีการแบ่งแยกเชิงบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับวิธีแก้ปัญหาแล้ว เมื่อเปรียบเทียบแล้ว ก็จะสามารถแก้สมการกำลังสองอื่นๆ ได้ เอาล่ะ.

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ x 2 +2·x−6=0

สารละลาย.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1, b=2 และ c=−6 ตามอัลกอริธึมคุณต้องคำนวณการแบ่งแยกก่อน ในการทำเช่นนี้เราจะแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรจำแนกที่เรามี D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. เนื่องจาก 28>0 กล่าวคือ ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ สมการกำลังสองจึงมีรากจำนวนจริง 2 ค่า มาหาพวกมันโดยใช้สูตรรูต เราได้ ตรงนี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ได้โดยทำ ย้ายตัวคูณไปไกลกว่าเครื่องหมายรูทตามด้วยการลดเศษส่วน:

คำตอบ:

เรามาดูตัวอย่างทั่วไปถัดไปกันดีกว่า

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

สารละลาย.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่าเป็น นั่นคือ

คำตอบ:

x=3.5.

ยังคงต้องพิจารณาแก้สมการกำลังสองด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5·y 2 +6·y+2=0

สารละลาย.

นี่คือค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5, b=6 และ c=2 เราแทนค่าเหล่านี้เป็นสูตรแยกแยะที่เรามี ง=ข 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. การแบ่งแยกเป็นลบ ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราจะใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การกระทำด้วย จำนวนเชิงซ้อน :

คำตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

โปรดทราบอีกครั้งว่าหากการแบ่งแยกสมการกำลังสองเป็นลบ ในโรงเรียนพวกเขามักจะเขียนคำตอบทันทีโดยระบุว่าไม่มีรากจริงและไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่ที่สอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4·a·c ช่วยให้คุณได้สูตรที่มีรูปแบบกะทัดรัดมากขึ้น ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์เลขคู่สำหรับ x (หรือเพียงแค่กับ a สัมประสิทธิ์ที่มีรูปแบบ 2·n เป็นต้น หรือ 14· ln5=2·7·ln5 ) ให้เราพาเธอออกไป

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +2 n x+c=0 มาหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −ac)จากนั้นเราใช้สูตรราก:

ให้เราแสดงนิพจน์ n 2 −ac c เป็น D 1 (บางครั้งก็แทน D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a·c

เห็นได้ง่ายว่า D=4·D 1 หรือ D 1 =D/4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 คือส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D . นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้การมีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสองอีกด้วย

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2·n คุณต้องมี

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 แล้วหารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

ลองพิจารณาแก้ตัวอย่างโดยใช้สูตรรูตที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x −32=0 .

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือ คุณสามารถเขียนสมการกำลังสองเดิมใหม่ได้ในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 โดยที่ a=5, n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ จำแนก: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองอัน มาหาพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เหมาะสม:

โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้สูตรปกติในการหารากของสมการกำลังสองได้ แต่ในกรณีนี้ จะต้องดำเนินการคำนวณเพิ่มเติม

คำตอบ:

ลดรูปสมการกำลังสองให้ง่ายขึ้น

บางครั้ง ก่อนที่จะเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้รูปแบบของสมการนี้ง่ายขึ้น” ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณ การแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x−6=0 จะง่ายกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0

โดยทั่วไป การทำให้รูปแบบของสมการกำลังสองง่ายขึ้นทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ คุณสามารถจัดสมการ 1100 x 2 −400 x −600=0 ให้ง่ายขึ้นโดยการหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับสมการกำลังสอง ซึ่งไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้สมการทั้งสองข้างมักจะหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เราจะได้สมการกำลังสองที่เทียบเท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0

และการคูณทั้งสองข้างของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการโดยตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองข้างของสมการกำลังสองคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 ก็จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4·x−18=0

โดยสรุปของประเด็นนี้ เราสังเกตว่าพวกมันมักจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์สูงสุดของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทุกพจน์ ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองข้างด้วย −1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติเราจะย้ายจากสมการกำลังสอง −2 x 2 −3 x+7=0 ไปยังวิธีแก้ปัญหา 2 x 2 +3 x−7=0

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ ขึ้นอยู่กับสูตรราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและนำไปใช้ได้มากที่สุดจากทฤษฎีบทของเวียตต้านั้นมีรูปแบบ และ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น เมื่อดูที่รูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x + 22 = 0 เราสามารถบอกได้ทันทีว่าผลรวมของรากเท่ากับ 7/3 และผลคูณของรากเท่ากับ 22 /3.

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณสามารถรับการเชื่อมต่ออื่นๆ ได้หลายอย่างระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองผ่านค่าสัมประสิทธิ์:

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.

สมการกำลังสองคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ a*x^2 +b*x+c=0 โดยที่ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ x เป็นตัวแปร ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลข a ไม่เท่ากับ 0

ตัวเลข a,b,c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ของ x และตัวเลข c เรียกว่าพจน์อิสระ ชื่ออื่นๆ มีอยู่ในวรรณกรรมบางเล่มด้วย ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก และตัวเลข b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง

การจำแนกประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองมีการจำแนกประเภทเป็นของตัวเอง

ขึ้นอยู่กับความพร้อมของอัตราต่อรอง:

1. เต็ม

2. ไม่สมบูรณ์

โดยค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดที่ไม่ทราบ(ค่าของสัมประสิทธิ์นำ):

1. ให้

2. ไม่มีตัวแทน

สมการกำลังสอง เรียกว่าเสร็จสมบูรณ์หากมีสัมประสิทธิ์ทั้งสามอยู่และแตกต่างจากศูนย์ แบบฟอร์มทั่วไปสมการกำลังสองสมบูรณ์: มี*x^2 +ข*x+ค=0;

สมการกำลังสอง เรียกว่าไม่สมบูรณ์ถ้าในสมการ a*x^2 +b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ b หรือ c มีค่าเท่ากับศูนย์ (b=0 หรือ c=0) อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นสมการที่มี ทั้งสัมประสิทธิ์ b และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน (ทั้ง b=0 และ c=0)

เป็นที่น่าสังเกตว่าไม่มีการพูดถึงสัมประสิทธิ์นำในที่นี้ เนื่องจากตามคำจำกัดความของสมการกำลังสอง มันจะต้องแตกต่างจากศูนย์

ที่ให้ไว้ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง (a=1) รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองข้างต้นคือ: x^2 +d*x+e=0

สมการกำลังสองเรียกว่า ไม่ทราบ,ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าในสมการแตกต่างจากศูนย์ รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองแบบไม่ลดทอนคือ: a*x^2 +b*x+c=0

ควรสังเกตว่าสมการกำลังสองที่ยังไม่ได้ลดสามารถลดให้เหลือค่าลดลงได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

ลองดูตัวอย่าง:เรามีสมการ 2*x^2 - 6*x+7 =0;

ลองแปลงมันเป็นสมการที่กำหนด ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 2 ลองหารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการแล้วเขียนคำตอบลงไป

x^2 - 3*x+3.5 =0;

ดังที่คุณสังเกตเห็น ทางด้านขวาของสมการกำลังสองจะมีพหุนามของดีกรีที่สอง a*x^2 +b*x+c เรียกอีกอย่างว่ากำลังสองตรีโกณมิติ