ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ บทเรียน “เลขยกกำลังกับเลขชี้กำลังตรรกยะ

จากเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของ a การเปลี่ยนไปใช้เลขชี้กำลังตรรกยะบ่งบอกตัวมันเอง ด้านล่างเราจะกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเราจะทำเช่นนี้ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดของระดับที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มยังคงอยู่ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ

เป็นที่รู้กันว่าเซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนและแต่ละตัว จำนวนเศษส่วนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป- เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นเพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายตามระดับของตัวเลข กกับ ตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็ม และ n- เป็นธรรมชาติ. มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและวิธีที่เรากำหนดรากที่ n ของระดับนั้นก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อได้รับ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: ถ้าได้รับข้อมูล ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล จากนั้นก็ยกกำลังของตัวเลข กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./นเรียกว่าราก nระดับของ กในระดับหนึ่ง ม.

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายในสิ่งที่ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่บังคับใช้ ม, nและ กมีสองแนวทางหลัก

1. วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดข้อจำกัด ก, ยอมรับแล้ว ≥0สำหรับการบวก มและ ก>0สำหรับเชิงลบ ม(ตั้งแต่เมื่อไหร่. ม≤0ระดับ 0 มไม่ได้กำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น , ที่ไหน ม- ทั้งหมดและ n– จำนวนธรรมชาติ เรียกว่า ราก n-th ของจำนวน กในระดับหนึ่ง มนั่นคือ .

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์พร้อมเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน ม./น , ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็มบวก และ n– จำนวนธรรมชาติ กำหนดให้เป็น .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง: สำหรับค่าลบบางค่า กและบางส่วน มและ nสำนวนนี้สมเหตุสมผล แต่เราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยการแนะนำเงื่อนไข ≥0- ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

2. อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน ม./นประกอบด้วยการแยกกันโดยพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ของรูต วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข กซึ่งเลขชี้กำลังซึ่งเป็นเศษส่วนสามัญที่ลดได้นั้นถือเป็นกำลังของตัวเลข กตัวบ่งชี้ที่เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (จะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง) นั่นก็คือถ้า ม./นเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ เคองศาจะถูกแทนที่ด้วย .

สำหรับคู่ nและเป็นบวก มสำนวนนี้สมเหตุสมผลสำหรับคำที่ไม่เป็นค่าลบ ก(รากคู่ของจำนวนลบไม่มีความหมาย) สำหรับค่าลบ มตัวเลข กจะต้องยังคงแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับคี่ nและเป็นบวก มตัวเลข กสามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับค่าลบ มตัวเลข กต้องไม่เป็นศูนย์ (จึงจะไม่มีการหารด้วยศูนย์)

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

อนุญาต ม./น– เศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม- ทั้งหมดและ n– จำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย พลังของจำนวน กด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม./น- นี่มีไว้สำหรับ

หรือจำนวนจริงใดๆ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและเป็นธรรมชาติที่แปลกประหลาด n, ตัวอย่างเช่น, ;

o จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก, จำนวนเต็มลบ มและคี่ n, ตัวอย่างเช่น, ;

o จำนวนที่ไม่เป็นลบ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, ;

หรือเป็นบวกใดๆ ก, จำนวนเต็มลบ มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, ;

o ในกรณีอื่นๆ ไม่ได้กำหนดระดับที่มีตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ไม่ได้กำหนดระดับ .a เราไม่แนบความหมายใดๆ เข้ากับรายการ เรากำหนดกำลังของเลขศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก ม./นยังไง สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ จะไม่ได้กำหนดกำลังของเลขศูนย์

โดยสรุปในประเด็นนี้ ขอให้เราให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ เช่น - ในการคำนวณค่าของนิพจน์ประเภทนี้ คุณต้องเขียนเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนสามัญ จากนั้นใช้คำจำกัดความของเลขชี้กำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน สำหรับตัวอย่างข้างต้นที่เรามี และ

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

Khasyanova T.G.

ครูคณิตศาสตร์

สื่อที่นำเสนอจะเป็นประโยชน์กับครูคณิตศาสตร์เมื่อศึกษาหัวข้อ “เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ”

วัตถุประสงค์ของเนื้อหาที่นำเสนอ: เพื่อเปิดเผยประสบการณ์ของฉันในการเรียนบทเรียนในหัวข้อ “เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ” โปรแกรมการทำงานระเบียบวินัย "คณิตศาสตร์"

วิธีการดำเนินการบทเรียนสอดคล้องกับประเภทของบทเรียน - บทเรียนในการศึกษาและรวบรวมความรู้ใหม่เบื้องต้น ความรู้และทักษะพื้นฐานได้รับการปรับปรุงตามประสบการณ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ การท่องจำเบื้องต้น การรวมและการประยุกต์ใช้ข้อมูลใหม่ การรวมและการประยุกต์ใช้วัสดุใหม่เกิดขึ้นในรูปแบบของการแก้ปัญหาที่ฉันทดสอบความซับซ้อนที่แตกต่างกันซึ่งให้ผลลัพธ์เชิงบวกในการเรียนรู้หัวข้อนี้

ในตอนต้นของบทเรียน ฉันตั้งเป้าหมายให้กับนักเรียนดังนี้: การศึกษา พัฒนาการ การศึกษา ในระหว่างบทเรียน ฉันใช้วิธีการทำกิจกรรมต่างๆ: หน้าผาก, เดี่ยว, คู่, อิสระ, ทดสอบ งานมีความแตกต่างกันและทำให้สามารถระบุระดับการได้มาซึ่งความรู้ในแต่ละขั้นตอนของบทเรียนได้ ปริมาณและความซับซ้อนของงานสอดคล้องกับลักษณะอายุของนักเรียน จากประสบการณ์ของฉัน - การบ้านคล้ายกับปัญหาที่ได้รับการแก้ไขใน ห้องเรียนช่วยให้คุณสามารถรวบรวมความรู้และทักษะที่ได้รับได้อย่างน่าเชื่อถือ ในตอนท้ายของบทเรียน มีการไตร่ตรองและประเมินงานของนักเรียนเป็นรายบุคคล

บรรลุเป้าหมายแล้ว นักเรียนศึกษาแนวคิดและคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเรียนรู้ที่จะใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ สำหรับ งานอิสระคะแนนจะประกาศในบทเรียนถัดไป

ฉันเชื่อว่าวิธีการที่ฉันใช้สอนคณิตศาสตร์สามารถนำไปใช้โดยครูคณิตศาสตร์ได้

หัวข้อบทเรียน: กำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ระบุระดับความเชี่ยวชาญของนักเรียนในด้านความรู้และทักษะที่ซับซ้อน และการใช้วิธีแก้ปัญหาบางอย่างเพื่อปรับปรุงกระบวนการศึกษาบนพื้นฐานของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:เพื่อสร้างความรู้ใหม่ในหมู่นักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานกฎเกณฑ์กฎหมายในการกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลความสามารถในการประยุกต์ความรู้อย่างอิสระในเงื่อนไขมาตรฐานในเงื่อนไขที่ได้รับการแก้ไขและไม่ได้มาตรฐาน

การพัฒนา:คิดอย่างมีเหตุผลและนำไปปฏิบัติ ความคิดสร้างสรรค์;

การเลี้ยง:พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เติมคำศัพท์ของคุณด้วยคำศัพท์ใหม่ และรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโลกรอบตัวคุณ ปลูกฝังความอดทน ความอุตสาหะ และความสามารถในการเอาชนะความยากลำบาก

ช่วงเวลาขององค์กร

การอัพเดตความรู้อ้างอิง

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าไป แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ค่ายกกำลังขององศาจะถูกลบออก แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

3. เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ แต่ฐานยังคงเท่าเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

4. ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย:

ตัวอย่างเช่น,

5. ระดับของผลหารเท่ากับผลหารของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

ตัวอย่างเช่น,

แบบฝึกหัดพร้อมวิธีแก้ปัญหา

ค้นหาความหมายของสำนวน:

สารละลาย:

ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้คุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติได้อย่างชัดเจน เนื่องจากทุกดีกรีมีฐานต่างกัน ลองเขียนยกกำลังในรูปแบบอื่น:

(ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย)

(เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน จะบวกเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม เมื่อเพิ่มระดับเป็นเลขยกกำลัง ก็คูณเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม)

จากนั้นเราจะได้รับ:

ใน ในตัวอย่างนี้มีการใช้คุณสมบัติสี่ประการแรกของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

รากที่สองทางคณิตศาสตร์
- นี่ไม่ใช่ จำนวนลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับก,
- ที่
- การแสดงออก
ไม่ได้กำหนดไว้เพราะว่า ไม่มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเท่ากับจำนวนลบก.

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์(8-10 นาที)

ตัวเลือก

ครั้งที่สอง ตัวเลือก

1. ค้นหาค่าของนิพจน์

ก)

ข)

1. ค้นหาค่าของนิพจน์

ก)

ข)

2.คำนวณ

ก)

ข)

ใน)

2.คำนวณ

ก)

ข)

วี)

การทดสอบตัวเอง(บนกระดานปก):

เมทริกซ์การตอบสนอง:

№ ตัวเลือก/งาน

ปัญหาที่ 1

ปัญหาที่ 2

ตัวเลือกที่ 1

ก) 2

ข) 2

ก) 0.5

ข)

วี)

ตัวเลือกที่ 2

ก) 1.5

ข)

ก)

ข)

ค) 4

II. การก่อตัวของความรู้ใหม่

ลองพิจารณาว่าสำนวนนี้มีความหมายว่าที่ไหน - จำนวนบวก– จำนวนเศษส่วนและจำนวนเต็ม m, n-ธรรมชาติ (n›1)

คำจำกัดความ: กำลังของ a›0 พร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะร = , ม-ทั้งหมด, n-เป็นธรรมชาติ ( n›1) หมายเลขที่ถูกเรียก.

ดังนั้น:

ตัวอย่างเช่น:

หมายเหตุ:

1. สำหรับค่าบวก a และจำนวนตรรกยะ r ใดๆ ในเชิงบวก

2. เมื่อไหร่
กำลังตรรกยะของจำนวนกไม่ได้กำหนด

สำนวนที่ชอบ
ไม่สมเหตุสมผลเลย

3.ถ้า จำนวนบวกเศษส่วนคือ
.

ถ้า เศษส่วน จำนวนลบแล้ว -ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างเช่น: - ไม่สมเหตุสมผล

ลองพิจารณาคุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ให้ >0, b>0; r, s - จำนวนตรรกยะใด ๆ ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะใดๆ จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1.
2.
3.
4.
5.

III. การรวมบัญชี การก่อตัวของทักษะและความสามารถใหม่

การ์ดงานทำงานเป็นกลุ่มเล็กๆ ในรูปแบบของการทดสอบ

ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร ยกกำลังของตัวเลข- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข

เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่านิยามกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ให้ไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาและ n ซึ่งเราจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง- นอกจากนี้ เรายังสังเกตด้วยว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 ก็คือตัวเลข a ซึ่งก็คือ a 1 =a

เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีสากลในการอ่านสัญลักษณ์ a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"

กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้

ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ- เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 เป็นฐาน และเลขธรรมชาติ 9 เป็นเลขชี้กำลัง (4.32) 9

โปรดทราบว่าในตัวอย่างสุดท้าย ฐานของกำลัง 4.32 จะเขียนอยู่ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานทั้งหมดของกำลังที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติไว้ในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้พร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ ดีสำหรับ ความชัดเจนเต็มที่ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในสัญลักษณ์ของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนได้เป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .

โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก

ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการเพิ่มกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาในการค้นหาฐานของกำลังจากค่าที่ทราบของกำลังและเลขชี้กำลังที่ทราบ ภารกิจนี้นำไปสู่.

เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และแต่ละเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญที่เป็นบวกหรือลบได้ เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้น เพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายยกกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับมัน โดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อให้ m, n และ a นิพจน์นั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก

วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ระดับ 0 ของ m ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นั่นคือ

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือ ถือเป็นกำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (เราจะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง ). นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย

สำหรับเลขคู่และค่าบวก m นิพจน์นั้นสมเหตุสมผลสำหรับ a ใดๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ (รากคู่ของจำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับค่าลบ m ตัวเลข a จะต้องแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหาร โดยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ



ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ , แต่ , ก.

หลังจากกำหนดกำลังของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ- ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังของตัวเลข พร้อมทั้งกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง

การนำทางหน้า

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ตามคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ กำลัง a n คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และยังใช้ คุณสมบัติของการคูณจำนวนจริงเราสามารถรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:

1. คุณสมบัติหลักของระดับ a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน
2. คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเท่ากัน a m:a n =a m−n ;
3. คุณสมบัติกำลังของผลิตภัณฑ์ (a·b) n =a n ·b n ส่วนขยาย;
4. คุณสมบัติของผลหารใน ระดับธรรมชาติ(ก:ข) n =ก n:b n ;
5. เพิ่มระดับเป็นกำลัง (a m) n =a m·n ลักษณะทั่วไปของมัน (((ไม่มี 1) ไม่มี 2) …) n k =มี 1 ·n 2 ·…·n k;
6. การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
   • ถ้า a>0 แล้ว n>0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n;
   • ถ้า a=0 ดังนั้น a n =0;
   • ถ้าก<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวก และ a
8. ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0 0 อสมการ a m >a n เป็นจริง

ให้เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดนั้น เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด สามารถเปลี่ยนทั้งชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m ·a n =a m+n ด้วย ลดความซับซ้อนของการแสดงออกมักใช้ในรูปแบบ a m+n =a m ·a n

ทีนี้มาดูรายละเอียดแต่ละรายการกัน

เริ่มจากคุณสมบัติของผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า ทรัพย์สินหลักของการศึกษาระดับปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของดีกรี จากคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันในรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณจึงสามารถเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ได้เป็น และผลคูณนี้คือกำลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ m+n เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐาน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานขององศา เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 มาตรวจสอบความถูกต้องโดยการคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 · 2 3 และ 2 5 . เรามีการยกกำลัง 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32และ 2 5 =2·2·2·2·2=32 เนื่องจากได้รับค่าเท่ากัน ความเท่าเทียมกัน 2 2 ·2 3 =2 5 จึงมีความถูกต้อง และยืนยันคุณสมบัติหลักของดีกรี

สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน ดังนั้นสำหรับจำนวน k ใดๆ ของจำนวนธรรมชาติ n 1, n 2, …, n k ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: ไม่มี 1 ·ไม่มี 2 ·…·ไม่มี k =ไม่มี 1 +n 2 +…+n k.

ตัวอย่างเช่น, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

เราสามารถไปยังคุณสมบัติต่อไปของกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ – คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ที่ตรงตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง

ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหาร เราก็ตกลงกันว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขชี้กำลัง m−n จะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m

การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนช่วยให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m- จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน a m−n ·a n =a m และตามมาว่า m−n คือผลหารของกำลัง a m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเหมือนกัน

ลองยกตัวอย่าง ลองหาสององศาด้วยฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 ความเท่าเทียมกัน π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 สอดคล้องกับคุณสมบัติของระดับที่พิจารณา

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน คุณสมบัติพลังงานของผลิตภัณฑ์: กำลังธรรมชาติ n ผลคูณของจำนวนจริงสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a·b) n =a n ·b n

แท้จริงแล้ว ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เรามี - ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ซึ่งเท่ากับ a n · bn

นี่คือตัวอย่าง: .

คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงพลังของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยตั้งแต่สามตัวขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (ก 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n.

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของตัวประกอบ 3 ตัวยกกำลัง 7 เราได้

ทรัพย์สินดังต่อไปนี้คือ คุณสมบัติของผลหารชนิด: ผลหารของจำนวนจริง a และ b, b≠0 เทียบกับกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n

การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (ก:ข) n ข n =((a:b) ข) n =a nและจากความเท่าเทียมกัน (a:b) n ·b n =a n ตามมาว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n

ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวเลขเฉพาะเป็นตัวอย่าง: .

ตอนนี้ขอเสียงมัน คุณสมบัติของการเพิ่มพลังให้เป็นพลัง: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n กำลังของ m ยกกำลัง n เท่ากับกำลังของจำนวน a ที่มีเลขยกกำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n

เช่น (5 2) 3 =5 2·3 =5 6

การพิสูจน์คุณสมบัติกำลังต่อระดับคือสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: .

ทรัพย์สินที่พิจารณาสามารถขยายออกไปได้ระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน - เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

ยังคงต้องอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบศูนย์และกำลังกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ขั้นแรก ลองพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ

ผลคูณของจำนวนบวกสองตัวคือจำนวนบวก ตามนิยามของการคูณได้ดังนี้ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณบ่งบอกว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ตามนิยามแล้ว คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันได้ว่าสำหรับฐานบวก a ใดๆ ระดับ a n จะเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 และ .

เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ที่มี a=0 ระดับของ n จะเป็นศูนย์ แท้จริงแล้ว 0 n =0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0

มาดูฐานลบของดีกรีกัน

เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว - สำหรับแต่ละผลคูณของรูปแบบ a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลข a และ a ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสินค้าก็จะเป็นบวกเช่นกัน และองศา 2·ม. ลองยกตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ

สุดท้าย เมื่อฐาน a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m−1 - ผลคูณทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

มาดูคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เหมือนกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเหมือนกัน n จะน้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และค่าที่มากกว่าคือค่าที่มีฐานมากกว่า . มาพิสูจน์กัน

ความไม่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกันอสมการที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ a n ก็เป็นจริงเช่นกัน (2.2) 7 และ .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของรายการองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดกัน ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและฐานบวกเหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังน้อยกว่าจะใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 0 เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น m>n ซึ่งหมายความว่าที่ 0

ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง m −a n หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 องศา a n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากสภาวะเริ่มต้น และสำหรับ a>1 องศา m−n มากกว่าหนึ่ง ดังนั้น a m −a n >0 และ a m >a n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงโดยความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 >3 2

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกันทุกประการกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติอยู่ในรายการและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า

เรากำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่ากัน ยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นลบ ในขณะที่ฐานของกำลังนั้นแตกต่างจากศูนย์แน่นอน

ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และ b รวมถึงจำนวนเต็มใดๆ m และ n สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:

1. มี ม ·มี n =มี ม+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (ก·ข) n =a n ·b n ;
4. (ก:ข) n =ก n:b n ;
5. (ม.) n =ม.n ;
6. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a ข−n ;
7. ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n แล้วจะเป็น 0 1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m >a n ถืออยู่

เมื่อ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนลงไปยังใช้ได้กับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็ม รวมถึงคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง ตามตัวอย่าง ขอให้เราพิสูจน์ว่าคุณสมบัติยกกำลังมีทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =a p·(−q) และ (a −p) −q =a (−p)·(−q)- มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

สำหรับค่าบวกของ p และ q ความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า p=0 เราจะได้ (a 0) q =1 q =1 และ 0·q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0·q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (ap) 0 =1 และ a p·0 =a 0 =1 ดังนั้น (ap) 0 =a p·0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 ดังนั้น (a 0) 0 =1 0 =1 และ 0·0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0·0

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า (a −p) q =a (−p)·q โดยนิยามยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบแล้ว - โดยคุณสมบัติของผลหารต่อกำลังที่เรามี - ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ จากนั้น . ตามนิยามแล้ว นิพจน์สุดท้ายคือกำลังที่อยู่ในรูป a −(p·q) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น (−p)·q เนื่องจากกฎการคูณ

เช่นเดียวกัน .

และ .

เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้

ในช่วงสุดท้ายของคุณสมบัติที่บันทึกไว้ ควรพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มลบใดๆ −n และค่าบวก a และ b ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข a - เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 . ผลคูณ a n · bn ยังเป็นผลบวกเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ bn จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นค่าบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n −a n และ a n ·b n ดังนั้น a −n >b −n จึงเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่คล้ายคลึงกัน

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ:

การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ให้เราแสดงหลักฐาน

โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และ แล้ว - คุณสมบัติของรากเลขคณิตช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เราได้รับ ซึ่งจากคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ และตัวบ่งชี้ระดับที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกันอย่างยิ่ง:

ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน:

เรามาพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปกันดีกว่า ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวก a และ b, a ใดๆ บีพี ลองเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไขหน้า<0 и p>0 ในกรณีนี้คือเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามนั้น สำหรับ m>0 และ a

ในทำนองเดียวกันสำหรับม<0 имеем a m >b m จากที่ไหน นั่นคือ และ a p >b p

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 0 – อสมการ a p >a q เราสามารถลดจำนวนตรรกยะ p และ q ให้เป็นตัวส่วนร่วมได้เสมอ แม้ว่าเราจะได้เศษส่วนสามัญ และ โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้ เงื่อนไข p>q จะสอดคล้องกับเงื่อนไข m 1 >m 2 ซึ่งตามมาจาก จากนั้นด้วยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังธรรมชาติที่ 0 1 – อสมการ a m 1 >a m 2 ความไม่เท่าเทียมกันในคุณสมบัติของรากสามารถเขียนใหม่ได้ตามนั้น และ - และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0 0 – อสมการ a p >a q

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

จากวิธีการกำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบไม่ลงตัว เราสามารถสรุปได้ว่าปริญญามีคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0 , b>0 และ ตัวเลขอตรรกยะ p และ q เป็นดังนี้ คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (ก·ข) พี =เอ พี ·บี พี ;
4. (ก:ข) พี =เอ พี:บี พี ;
5. (ap) q = a p·q ;
6. สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b, a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p บีพี ;
7. สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 0 – อสมการ a p >a q

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

อ้างอิง.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

บทเรียนวิดีโอ "เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะ" มีภาพ สื่อการศึกษาเพื่อสอนบทเรียนในหัวข้อนี้ บทเรียนวิดีโอประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ คุณสมบัติขององศาดังกล่าว รวมถึงตัวอย่างที่อธิบายการใช้สื่อการศึกษาเพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ วัตถุประสงค์ของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อนำเสนอสื่อการศึกษาอย่างชัดเจนและชัดเจน ช่วยให้นักเรียนพัฒนาและท่องจำ และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดที่เรียนรู้

ข้อได้เปรียบหลักของบทเรียนวิดีโอคือความสามารถในการแปลงและคำนวณด้วยสายตา ความสามารถในการใช้เอฟเฟกต์แอนิเมชั่นเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการเรียนรู้ ดนตรีประกอบด้วยเสียงช่วยพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง และยังทำให้สามารถแทนที่คำอธิบายของครูได้ ทำให้เขามีเวลาทำงานแต่ละงานได้

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ เมื่อเชื่อมโยงการศึกษาหัวข้อใหม่กับเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ โปรดจำไว้ว่า n √a จะแทนด้วย 1/n สำหรับธรรมชาติ n และบวก a การแสดง n-root นี้จะปรากฏบนหน้าจอ ต่อไป เราเสนอให้พิจารณาว่านิพจน์ a m/n หมายถึงอะไร โดยที่ a เป็นจำนวนบวก และ m/n เป็นเศษส่วน ให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะเป็น m/n = n √a m โดยเน้นไว้ในกรอบ มีข้อสังเกตว่า n สามารถเป็นจำนวนธรรมชาติ และ m เป็นจำนวนเต็มได้

หลังจากกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ความหมายของระดับนั้นจะถูกเปิดเผยผ่านตัวอย่าง: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 ตัวอย่างยังแสดงโดยแสดงระดับด้วย ทศนิยมจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนทั่วไปเพื่อแสดงเป็นราก: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 และตัวอย่างที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

ลักษณะเฉพาะของกรณีพิเศษเมื่อฐานของระดับเป็นศูนย์จะถูกระบุแยกกัน มีข้อสังเกตว่าระดับนี้สมเหตุสมผลกับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวกเท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของมันคือศูนย์: 0 m/n =0

คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของการศึกษาระดับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะนั้นถูกบันทึกไว้ว่า ระดับที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นไม่สามารถพิจารณาด้วยเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนได้ ตัวอย่างการกำหนดองศาที่ไม่ถูกต้อง: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5

ต่อไปในบทเรียนวิดีโอ เราจะพูดถึงคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ มีข้อสังเกตว่าคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะใช้ได้กับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะด้วย เสนอให้เรียกคืนรายการคุณสมบัติที่ใช้ได้ในกรณีนี้ด้วย:

1. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน: a p a q =a p+q
2. การหารองศาที่มีฐานเดียวกันจะลดลงเหลือระดับตามฐานที่กำหนดและผลต่างของเลขชี้กำลัง: a p:a q =a p-q
3. หากเราเพิ่มดีกรีเป็นกำลังที่แน่นอน เราก็จะได้ดีกรีที่มีฐานที่กำหนดและผลคูณของเลขชี้กำลัง: (ap) q =a pq

คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ p, q และฐานบวก a>0 นอกจากนี้ การแปลงระดับเมื่อวงเล็บเปิดยังคงเป็นจริง:

1. (ab) p =a p b p - การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ ผลคูณของตัวเลขสองตัวจะลดลงเป็นผลคูณของตัวเลข ซึ่งแต่ละตัวจะถูกยกกำลังตามที่กำหนด
2. (a/b) p =a p /b p - การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะจะลดลงเหลือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนถูกยกกำลังให้เป็นกำลังที่กำหนด

วิดีโอบทช่วยสอนจะกล่าวถึงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ใช้คุณสมบัติของกำลังที่พิจารณาแล้วพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ตัวอย่างแรกขอให้คุณค้นหาค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x in พลังเศษส่วน: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) แม้จะมีความซับซ้อนของการแสดงออก แต่การใช้คุณสมบัติของพลังก็สามารถแก้ไขได้ค่อนข้างง่าย การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ซึ่งใช้กฎการเพิ่มกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะเป็นกำลัง รวมถึงการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน หลังจากแทนที่ค่าที่กำหนด x=8 ลงในนิพจน์แบบง่าย x 1/3 +48 จะง่ายต่อการรับค่า - 50

ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องลดเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนมีพลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรี เราจะแยกตัวประกอบ x 1/3 จากผลต่าง ซึ่งลดลงในตัวเศษและตัวส่วน และใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ ซึ่งให้ค่าการลดลงที่เหมือนกันเพิ่มเติม ตัวประกอบในตัวเศษและส่วน. ผลลัพธ์ของการแปลงดังกล่าวคือเศษส่วนสั้น x 1/4 +3

วิดีโอบทเรียน "เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ" สามารถใช้แทนครูในการอธิบายหัวข้อบทเรียนใหม่ได้ อีกด้วย คู่มือเล่มนี้มีข้อมูลครบถ้วนเพียงพอให้นักศึกษาสามารถศึกษาได้อย่างอิสระ สื่อนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการเรียนรู้ทางไกลอีกด้วย