สี่เหลี่ยมด้านขนานปกติ สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านทั้งสองเท่ากันและขนานกัน
สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล
โรงเรียนมัธยมซาวินสกายา
สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติใหม่
เสร็จสิ้นโดย: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8B
โรงเรียนมัธยม MBOU Savinskaya
คุซเนตโซวา สเวตลานา อายุ 14 ปี
หัวหน้า: ครูคณิตศาสตร์
ตุลเชฟสกายา เอ็น.เอ.
ป. ซาวิโน
ภูมิภาคอิวาโนโว ประเทศรัสเซีย
2559
ฉัน. บทนำ _______________________________________ หน้า 3
ครั้งที่สอง จากประวัติความเป็นมาของสี่เหลี่ยมด้านขนาน _______________________หน้า 4
III คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ______________________________หน้า 4
IV. หลักฐานคุณสมบัติ _____________________________________ หน้า 5
วี. การแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติเพิ่มเติม __________ หน้า 8
วี. การประยุกต์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานในชีวิต _______หน้า 11
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว บทสรุป _________________________________________________หน้า 12
8. วรรณกรรม _________________________________________________หน้า 13
การแนะนำ
"ท่ามกลางจิตใจที่เท่าเทียมกัน
ที่ ความเท่าเทียมกันของเงื่อนไขอื่น ๆ
ผู้รู้เรขาคณิตย่อมประเสริฐกว่า"
(เบลส ปาสคาล).
ในขณะที่ศึกษาหัวข้อ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" ในบทเรียนเรขาคณิต เราได้พิจารณาคุณสมบัติสองประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณลักษณะสามประการ แต่เมื่อเราเริ่มแก้ไขปัญหา กลับกลายเป็นว่านี่ยังไม่เพียงพอ
ฉันมีคำถาม: สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติอื่น ๆ หรือไม่ และจะช่วยแก้ปัญหาได้อย่างไร?
และฉันตัดสินใจศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและแสดงให้เห็นว่าสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างไร
สาขาวิชาที่ศึกษา : สี่เหลี่ยมด้านขนาน
วัตถุประสงค์ของการศึกษา
: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เป้าหมายของงาน:
การกำหนดและการพิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน
การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหา
งาน:
ศึกษาประวัติความเป็นมาของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและประวัติความเป็นมาของการพัฒนาคุณสมบัติของมัน
ค้นหาวรรณกรรมเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นที่กำลังศึกษาอยู่
ศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและพิสูจน์มัน
แสดงการประยุกต์ใช้คุณสมบัติเหล่านี้เพื่อแก้ไขปัญหา
พิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานในชีวิต
วิธีการวิจัย:
การทำงานกับวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ด้านการศึกษาและยอดนิยม แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต
การศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎี
การระบุปัญหาต่างๆ ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติเพิ่มเติมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การสังเกต การเปรียบเทียบ การวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ
ระยะเวลาการศึกษา : 3 เดือน: มกราคม-มีนาคม 2559
จากประวัติความเป็นมาของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในตำราเรียนเรขาคณิต เราอ่านคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อไปนี้: สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่
คำว่า "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" แปลว่า " เส้นขนาน"(จากคำภาษากรีก Parallelos - ขนานและไวยากรณ์ - เส้น) คำนี้ถูกนำมาใช้โดย Euclid ในหนังสือ Elements ของเขา Euclid ได้พิสูจน์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังต่อไปนี้: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน และเส้นทแยงมุมจะแบ่งครึ่งมัน Euclid ไม่ได้กล่าวถึงจุดตัดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในช่วงปลายยุคกลางเท่านั้นที่ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สมบูรณ์พัฒนาขึ้น และเฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้นที่ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนานปรากฏในตำราเรียนซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทของ Euclid เกี่ยวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สาม คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในตำราเรียนเรขาคณิต ให้คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพียง 2 ประการเท่านั้น:
มุมตรงข้ามและด้านข้างก็เท่ากัน
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดกัน
ใน แหล่งต่างๆในเรขาคณิต คุณจะพบคุณสมบัติเพิ่มเติมต่อไปนี้:
ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180 0
เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกไป
เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่บนเส้นขนาน
เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันที่มุมขวา
เมื่อเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกัน มันจะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ระยะห่างจากมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานถึงเส้นทแยงมุมเดียวกันจะเท่ากัน
หากคุณเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม คุณจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน
ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกัน
หากคุณวาดระดับความสูงจากมุมตรงข้ามสองมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก
IV การพิสูจน์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180 0
ที่ให้ไว้:
ABCD – สี่เหลี่ยมด้านขนาน
พิสูจน์:
เอ+ บี= 
การพิสูจน์:
เอและ B – มุมด้านเดียวภายในที่มีเส้นขนาน BC 
AD และซีแคนต์ AB ซึ่งหมายถึง เอ+ บี=
2
ที่ให้ไว้:เอบีซีดี - สี่เหลี่ยมด้านขนาน,
เอเค แบ่งครึ่ง 
ก.
พิสูจน์: 
AVK – หน้าจั่ว
การพิสูจน์:
1) 1=3 (นอนขวางที่ BC AD และซีแคนต์ AK )
2) 2=3 เพราะ AK เป็นเส้นแบ่งครึ่ง
หมายถึง 1= 2.
3) ABC - หน้าจั่วเพราะว่ามุม 2 มุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน
3
ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
AK – เส้นแบ่งครึ่ง A,
CP - เส้นแบ่งครึ่ง C.
พิสูจน์:เอเค ║ เอสอาร์
การพิสูจน์:
1) 1=2 เพราะ AK เป็นเส้นแบ่งครึ่ง
2) 4=5 เพราะ ซีพี – เส้นแบ่งครึ่ง
3) 3=1 (มุมนอนขวางที่
BC ║ AD และ AK-secant)
4) A =C (โดยคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ซึ่งหมายถึง 2=3=4=5
4) จากย่อหน้าที่ 3 และ 4 ตามมาว่า 1 = 4 และมุมเหล่านี้สอดคล้องกับเส้นตรง AK และ CP และเส้นตัด BC
นี่หมายถึง AK ║ CP (ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้น)
. เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่บนเส้นขนาน
เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันที่มุมขวา
ที่ให้ไว้: ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน
AK-เส้นแบ่งครึ่ง A,
DP แบ่งครึ่ง D
พิสูจน์:ดีพี 
อลาสก้า
การพิสูจน์:
1) 1=2 เพราะ AK - เส้นแบ่งครึ่ง
ให้ 1=2=x แล้ว A=2x
2) 3=4 เพราะ D Р – เส้นแบ่งครึ่ง
ให้ 3=4=y แล้ว D=2y
3) A + D =180 0 เพราะ ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180
2) พิจารณา โอดี
1+3=90 0 แล้ว <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. เส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อตัดกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ที่ให้ไว้: ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AK-เส้นแบ่งครึ่ง A,
DP-เส้นแบ่งครึ่ง D,
CM เส้นแบ่งครึ่ง C,
BF - เส้นแบ่งครึ่ง บี .
พิสูจน์: KRNS - สี่เหลี่ยมผืนผ้า
การพิสูจน์:
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติก่อนหน้า 8=7=6=5=90 0 ,
หมายความว่า KRNS เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ระยะห่างจากมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานถึงเส้นทแยงมุมเดียวกันจะเท่ากัน
ที่ให้ไว้: ABCD-สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AC-เส้นทแยงมุม
วีซี เครื่องปรับอากาศ ดี.พี. เอ.ซี.
พิสูจน์:พ.ศ.=DP
การพิสูจน์: 1) DCP = KAB เนื่องจากกากบาทภายในวางอยู่กับ AB ║ CD และเส้นตัดกระแส AC
2) เอเคบี= CDP (ตามด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน AB=CD CD P=AB K)
และใน สามเหลี่ยมเท่ากันด้านที่ตรงกันจะเท่ากัน ซึ่งหมายถึง DP=BК
หากคุณเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม คุณจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน
ที่ให้ไว้:สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
พิสูจน์: VKDP เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์:
1) BP=KD (AD=BC, จุด K และ P
แบ่งด้านเหล่านี้ออกเป็นสองส่วน)
2) BP ║ KD (นอนบน AD พ.ศ.)
ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หากคุณวาดระดับความสูงจากมุมตรงข้ามสองมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก
ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกัน
ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน BD และ AC เป็นเส้นทแยงมุม
พิสูจน์: เครื่องปรับอากาศ 2 +วดี 2 =2(เอบี 2 + ค.ศ 2 )
การพิสูจน์: 1)ถาม:
เอ.ซี.
²=
+
2)บี รดี : บีดี 2 = บี ร 2 + อาร์ดี 2 (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
3) เอ.ซี. ²+ บีดี ²=SK²+ก K²+บี Р²+Рดี ²
4) เซาท์แคโรไลนา = BP = N(ความสูง )
5) เครื่องปรับอากาศ 2 +บีดี 2 = ชม 2 + ก ถึง 2 + ชม 2 +พีดี 2
6)
อนุญาต
ดี
เค=ก
พ=x, แล้ว ค
ถึงดี
:
ชม
2
=
ซีดี
2
- เอ็กซ์ 2
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส )
7) เอซี²+บีดี ² = คดี 2 - x²+ อลาสก้า 1 ²+ ซีดี 2 -เอ็กซ์ 2 +พีดี 2 ,
เอซี²+บีดี ²=2Сดี 2 -2x 2 + ก ถึง 2 +พีดี 2
8) ก ถึง=โฆษณา+ เอ็กซ์, รด=โฆษณา- เอ็กซ์,
เอซี²+บีดี ² =2ซีดี 2 -2x 2 +(ค.ศ +x) 2 +(ค.ศ -เอ็กซ์) 2 ,
เครื่องปรับอากาศ²+
ในด²=2
กับดี²-2
เอ็กซ์² +โฆษณา
2
+2โฆษณา
เอ็กซ์+
เอ็กซ์ 2
+โฆษณา
2
-2AD
เอ็กซ์+
เอ็กซ์ 2
,
เครื่องปรับอากาศ²+
ในD²=2ซีดี
2
+2โฆษณา
2
=2(ซีดี
2
+โฆษณา
2
).
วี . การแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติเหล่านี้
จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งเป็นของด้านตรงข้าม ด้านที่สั้นที่สุดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 5 . ค้นหาด้านที่ใหญ่กว่าของมัน
ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
AK – เส้นแบ่งครึ่ง เอ,
D K – เส้นแบ่งครึ่ง ง , AB=5
หา: ดวงอาทิตย์
การตัดสินใจ สารละลาย
เพราะ AK - เส้นแบ่งครึ่ง แล้ว ABC ก็คือหน้าจั่ว
เพราะ D K – เส้นแบ่งครึ่ง ดีแล้ว DCK - หน้าจั่ว
กระแสตรง =CK= 5
จากนั้น BC=VC+SC=5+5 = 10
คำตอบ: 10
2. ค้นหาเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดมุมหนึ่งแบ่งด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นส่วนๆ ขนาด 7 ซม. และ 14 ซม.
1 เคส
ที่ให้ไว้: เอ,
VK=14 ซม., KS=7 ซม
หา:พี สี่เหลี่ยมด้านขนาน
สารละลาย
VS=VK+KS=14+7=21 (ซม.)
เพราะ AK – เส้นแบ่งครึ่ง แล้ว ABC ก็คือหน้าจั่ว
AB=BK= 14 ซม
จากนั้น P=2 (14+21) =70 (ซม.)
ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
D K – เส้นแบ่งครึ่ง ดี
VK=14 ซม., KS=7 ซม
หา: P สี่เหลี่ยมด้านขนาน
สารละลาย
VS=VK+KS=14+7=21 (ซม.)
เพราะ D K – เส้นแบ่งครึ่ง ดีแล้ว DCK - หน้าจั่ว
กระแสตรง =CK= 7
จากนั้น P= 2 (21+7) = 56 (ซม.)
คำตอบ: 70 ซม. หรือ 56 ซม
3. ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาด 10 ซม. และ 3 ซม. เส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมที่อยู่ติดกับด้านที่ใหญ่กว่าจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสามส่วน ค้นหาส่วนเหล่านี้
1 กรณี:เส้นแบ่งครึ่งตัดกันนอกสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ที่ให้ไว้: ABCD – สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AK – เส้นแบ่งครึ่ง เอ,
D K – เส้นแบ่งครึ่ง ง , AB=3 ซม., BC=10 ซม
หา: VM, MN, NC
สารละลาย
เพราะ AM - แบ่งครึ่ง แล้ว AVM ก็คือหน้าจั่ว
เพราะ DN – เส้นแบ่งครึ่ง ดีแล้ว DCN - หน้าจั่ว
ดีซี=CN=3
จากนั้น MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 ซม.
กรณีที่ 2:เส้นแบ่งครึ่งตัดกันภายในสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เพราะ AN - เส้นแบ่งครึ่ง แล้ว ABN ก็คือหน้าจั่ว
เอบี=บีเอ็น = 3 ดี
และควรย้ายตะแกรงบานเลื่อนให้อยู่ในระยะทางเข้าประตูตามที่กำหนด
กลไกสี่เหลี่ยมด้านขนาน- กลไกสี่แท่งซึ่งมีลิงก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันถูกใช้เพื่อใช้การเคลื่อนไหวเชิงแปลโดยกลไกแบบบานพับ
สี่เหลี่ยมด้านขนานพร้อมลิงก์คงที่- ลิงค์หนึ่งไม่นิ่ง ส่วนอีกลิงค์หนึ่งสั่นไหว โดยคงขนานกับลิงค์ที่ไม่นิ่ง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันเชื่อมต่อกันทำให้จุดเชื่อมต่อปลายมีอิสระสองระดับ โดยปล่อยให้ขนานกับจุดเชื่อมต่อที่อยู่นิ่ง
ตัวอย่าง: ที่ปัดน้ำฝนกระจกหน้ารถบัส รถยก ขาตั้ง ไม้แขวนเสื้อ ระบบกันสะเทือนของรถยนต์
สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีข้อต่อคงที่- ใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อรักษาอัตราส่วนคงที่ของระยะทางระหว่างจุดสามจุด ตัวอย่าง: การวาดภาพคัดลอก - อุปกรณ์สำหรับปรับขนาดภาพวาด
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน- ข้อต่อทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน การเข้าใกล้ (การหดตัว) ของบานพับคู่ตรงข้ามจะทำให้บานพับอีกสองตัวแยกออกจากกัน ลิงก์ทั้งหมดทำงานในการบีบอัด
ตัวอย่าง - แม่แรงรูปเพชรรถยนต์, เครื่องคัดลอกรถราง
กรรไกรหรือ กลไกรูปตัว Xหรือที่เรียกว่า กรรไกรนูเรมเบิร์ก- เวอร์ชันรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - สองลิงก์เชื่อมต่อกันตรงกลางด้วยบานพับ ข้อดีของกลไกคือความกะทัดรัดและความเรียบง่ายข้อเสียคือการมีคู่เลื่อนสองคู่ กลไกดังกล่าวสองอัน (หรือมากกว่า) ที่เชื่อมต่อกันเป็นชุดประกอบกันเป็นเพชรที่อยู่ตรงกลาง ใช้ในลิฟต์และของเล่นเด็ก
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว บทสรุป
ใครเรียนคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็กบ้าง?
เขาพัฒนาความสนใจ ฝึกสมอง
เจตจำนงของตัวเองปลูกฝังความเพียร
และความเพียรในการบรรลุเป้าหมาย
อ. มาร์คูวิช
ในระหว่างทำงานนี้ ฉันได้พิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว
ฉันเชื่อมั่นว่าการใช้คุณสมบัติเหล่านี้จะทำให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาได้เร็วขึ้น
ฉันแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำไปใช้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาเฉพาะ
ฉันได้เรียนรู้มากมายเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งไม่มีอยู่ในตำราเรขาคณิตของเรา
ฉันเชื่อว่าความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตมีความสำคัญมากในชีวิตผ่านตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การวิจัยของฉันบรรลุวัตถุประสงค์แล้ว
ความสำคัญของความรู้ทางคณิตศาสตร์นั้นเห็นได้จากความจริงที่ว่ามีการมอบรางวัลให้กับบุคคลที่จัดพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับบุคคลที่ใช้ชีวิตทั้งชีวิตโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากคณิตศาสตร์ ยังไม่มีใครได้รับรางวัลนี้เลยแม้แต่คนเดียว
8 วรรณกรรม
โปโกเรลอฟ เอ.วี. เรขาคณิต 7-9: หนังสือเรียนการศึกษาทั่วไป สถาบัน - ม.: การศึกษา, 2014
L.S.Atanasyan และคนอื่นๆ เรขาคณิต. เพิ่ม. บทสำหรับหนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: หนังสือเรียน คู่มือสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนขั้นสูง เรียนคณิตศาสตร์ – อ.: Vita-press, 2003
แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต
วัสดุวิกิพีเดีย
ในบทเรียนวันนี้ เราจะทบทวนคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นเราจะให้ความสนใจกับการพิจารณาคุณสมบัติสองประการแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วพิสูจน์มัน ในระหว่างการพิสูจน์ ให้เรานึกถึงการใช้การทดสอบความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ซึ่งเราศึกษาเมื่อปีที่แล้วและทำซ้ำในบทเรียนแรก ในตอนท้าย จะมีการยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้คุณลักษณะที่ศึกษาของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หัวข้อ: รูปสี่เหลี่ยม
บทเรียน: สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เริ่มต้นด้วยการนึกถึงคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คำนิยาม. สี่เหลี่ยมด้านขนาน- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ด้านตรงข้ามทุกสองด้านขนานกัน (ดูรูปที่ 1)
ข้าว. 1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน
มาจำกัน คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
เพื่อที่จะสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดนี้ได้ คุณต้องแน่ใจว่ารูปที่ต้องการนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในการทำเช่นนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ข้อเท็จจริงต่างๆ เช่น คุณลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะพิจารณาสองคนแรกในวันนี้
ทฤษฎีบท. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าด้านตรงข้ามสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. 
.
ข้าว. 2. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ลองวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ดูรูปที่ 2) โดยแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้:
ตามเกณฑ์แรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่ระบุ จะเป็นไปตามนั้นโดยอาศัยความขนานของเส้นเมื่อตัดกับเส้นตัด เรามีสิ่งนั้น:
พิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามทุกสองด้านเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. 
.
ข้าว. 3. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ลองวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูรูปที่ 3) โดยแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ให้เราเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามการกำหนดทฤษฎีบท:
ตามเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม เมื่อเส้นตัดกับเส้นตัดกันจะขนานกัน เราได้รับ:
สี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.
พิสูจน์แล้ว
ลองดูตัวอย่างการใช้คุณลักษณะสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ตัวอย่างที่ 1 ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน ค้นหา: ก) มุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน; ข) ด้าน
สารละลาย. ลองพรรณนารูป 4.
ข้าว. 4
สี่เหลี่ยมด้านขนานตามเครื่องหมายแรกของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สรุปบทเรียน
พีชคณิตเกรด 8
ครูสิซอย อ.ก.
โรงเรียน 2371
หัวข้อบทเรียน: “สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน”
ประเภทบทเรียน: รวม
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีการดูดซับแนวคิดใหม่ - สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน
2) พัฒนาทักษะและความสามารถในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตอย่างต่อเนื่อง
3) การพัฒนาวัฒนธรรมการพูดทางคณิตศาสตร์
แผนการเรียน:
1. ช่วงเวลาขององค์กร
(สไลด์ 1)
สไลด์นี้แสดงคำกล่าวของ Lewis Carroll นักเรียนจะได้รับแจ้งเกี่ยวกับจุดประสงค์ของบทเรียน มีการตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน
2. การอัพเดตความรู้
(สไลด์ 2)
บนกระดานมีงานสำหรับงานช่องปาก ครูเชิญชวนให้นักเรียนคิดถึงปัญหาเหล่านี้และยกมือให้ผู้ที่เข้าใจวิธีแก้ปัญหา หลังจากแก้ไขปัญหาสองข้อแล้ว นักเรียนคนหนึ่งจะถูกเรียกไปที่กระดานเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุม โดยจะเป็นผู้ก่อสร้างเพิ่มเติมตามแบบอย่างอิสระและพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยวาจา
นักเรียนใช้สูตรหาผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม:
3. ส่วนหลัก
(สไลด์ 3)
นิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนานบนกระดาน ครูพูดถึงตัวเลขใหม่และกำหนดคำจำกัดความโดยอธิบายที่จำเป็นโดยใช้ภาพวาด จากนั้น ในส่วนของตารางหมากรุกของงานนำเสนอ เขาแสดงวิธีการวาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้มาร์กเกอร์และไม้บรรทัด (เป็นไปได้หลายกรณี)
(สไลด์ 4)
ครูกำหนดคุณสมบัติแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เชิญชวนให้นักเรียนเล่าจากภาพวาดว่าได้รับอะไรและต้องพิสูจน์อะไร หลังจากนั้นงานที่กำหนดจะปรากฏบนกระดาน นักเรียนเดา (อาจด้วยความช่วยเหลือของครู) ว่าความเท่าเทียมกันที่ต้องการจะต้องพิสูจน์ผ่านความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมซึ่งสามารถหาได้จากการวาดเส้นทแยงมุม (เส้นทแยงมุมปรากฏบนกระดาน) จากนั้น นักเรียนเดาว่าเหตุใดสามเหลี่ยมจึงเท่ากันและตั้งชื่อเครื่องหมายว่าสามเหลี่ยมเท่ากัน (รูปร่างที่สอดคล้องกันจะปรากฏขึ้น) พวกเขาสื่อสารข้อเท็จจริงที่จำเป็นในการทำให้สามเหลี่ยมเท่ากันด้วยวาจา (ภาพที่สอดคล้องกันจะปรากฏขึ้นตามที่พวกเขาตั้งชื่อ) จากนั้น นักเรียนกำหนดคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ โดยปรากฏเป็นจุดที่ 3 ของการพิสูจน์ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยปากเปล่าโดยอิสระ
(สไลด์ 5)
ครูกำหนดคุณสมบัติที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานปรากฏบนกระดาน ครูแนะนำให้ใช้ภาพเพื่อบอกว่าอะไรให้อะไรและอะไรต้องพิสูจน์ หลังจากที่นักเรียนรายงานสิ่งที่ได้รับและสิ่งที่ต้องพิสูจน์อย่างถูกต้องแล้ว เงื่อนไขของทฤษฎีบทก็จะปรากฏขึ้น นักเรียนเดาว่าความเท่าเทียมกันของส่วนของเส้นทแยงมุมสามารถพิสูจน์ได้จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอโอบีและ ซี.โอ.ดี.. การใช้คุณสมบัติเดิมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะทำให้เดาได้ว่าด้านทั้งสองเท่ากันเอบีและ ซีดี. จากนั้นพวกเขาก็เข้าใจว่าจำเป็นต้องหามุมที่เท่ากัน และใช้คุณสมบัติของเส้นขนานเพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของมุมที่อยู่ติดกับด้านที่เท่ากัน ขั้นตอนเหล่านี้จะแสดงเป็นภาพบนสไลด์ ความจริงของทฤษฎีบทตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม - นักเรียนพูดและการแสดงภาพที่สอดคล้องกันปรากฏบนสไลด์
(สไลด์ 6)
ครูกำหนดคุณสมบัติที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขึ้นอยู่กับเวลาที่เหลืออยู่จนจบบทเรียน ครูสามารถให้โอกาสนักเรียนพิสูจน์คุณสมบัตินี้ด้วยตนเอง หรือจำกัดตัวเองอยู่แค่การกำหนดสูตร และปล่อยให้นักเรียนทำการบ้านเป็นหลักฐานเอง การพิสูจน์อาจขึ้นอยู่กับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ ซึ่งถูกทำซ้ำในตอนต้นของบทเรียน หรือจากผลรวมของมุมด้านเดียวภายในของเส้นคู่ขนานสองเส้นค.ศและ บี.ซี.และซีแคนต์ เป็นต้นเอบี.
4. การยึดวัสดุ
ในขั้นตอนนี้ นักเรียนใช้ทฤษฎีบทที่เรียนมาก่อนหน้านี้เพื่อแก้ปัญหา นักเรียนเลือกแนวคิดในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ เนื่องจากมีตัวเลือกการออกแบบที่เป็นไปได้มากมาย และทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่านักเรียนจะมองหาวิธีแก้ไขปัญหาอย่างไร จึงไม่มีการแสดงภาพวิธีแก้ปัญหา และนักเรียนจะวาดแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหาบนกระดานแยกกันอย่างอิสระ ด้วยการบันทึกสารละลายลงในสมุดบันทึก
(สไลด์ 7)
เงื่อนไขของงานปรากฏขึ้น ครูเสนอแนะให้กำหนด “การให้” ตามเงื่อนไข หลังจากนักเรียนจดข้อความสั้นๆ เกี่ยวกับเงื่อนไขอย่างถูกต้องแล้ว “ให้ไว้” จะปรากฏบนกระดาน กระบวนการแก้ไขปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:
ลองวาดส่วนสูง BH (เห็นภาพ)
สามเหลี่ยม AHB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A เท่ากับมุม C และเท่ากับ 30 0 (ตามคุณสมบัติของมุมตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) 2BH =AB (โดยคุณสมบัติของขาที่วางตรงข้ามมุม 30 0 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) ดังนั้น AB = 13 ซม.
AB = CD, BC = AD (ตามคุณสมบัติของด้านตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ดังนั้น AB = CD = 13 ซม. เนื่องจากเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 50 ซม. ดังนั้น BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 ซม.
คำตอบ: AB = CD = 13 ซม. BC = AD = 12 ซม.
(สไลด์ 8)
เงื่อนไขของงานปรากฏขึ้น ครูเสนอแนะให้กำหนด “การให้” ตามเงื่อนไข จากนั้นข้อความ “ให้” จะปรากฏบนหน้าจอ ใช้เส้นสีแดงเพื่อเน้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งคุณต้องพิสูจน์ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน กระบวนการแก้ไขปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:
เพราะ BK และ MD ตั้งฉากกับเส้นตรงหนึ่งเส้น จากนั้นเส้น BK และ MD จะขนานกัน
จากมุมที่อยู่ติดกัน จะแสดงให้เห็นว่าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในที่เส้นตรง BM และ KD และเส้นตัด MD เท่ากับ 180 0 ดังนั้นเส้นเหล่านี้จึงขนานกัน
เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยม BMDK มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
5. จบบทเรียน พฤติกรรมของผลลัพธ์
(สไลด์ 8)
คำถามในหัวข้อใหม่จะปรากฏบนสไลด์ซึ่งนักเรียนตอบ
หัวข้อบทเรียน
- คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
- ทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความใหม่และจำไว้ว่ามีบางคำที่ได้ศึกษาไปแล้ว
- บอกและพิสูจน์คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
- เรียนรู้การนำคุณสมบัติของรูปทรงไปใช้ในการแก้ปัญหา
- พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
- การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
- ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน
แผนการเรียน
- การแนะนำ.
- การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
- สี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณสมบัติและคุณลักษณะของมัน
- ตัวอย่างงาน
- ตรวจสอบตัวเอง
การแนะนำ
“การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ครั้งยิ่งใหญ่เป็นหนทางแก้ไขปัญหาสำคัญ แต่ในการแก้ปัญหาใดๆ ก็ตาม ก็มีการค้นพบเมล็ดพืชอยู่”
คุณสมบัติของด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านตรงข้ามที่เท่ากัน
การพิสูจน์.
ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด และปล่อยให้เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O
เนื่องจาก Δ AOB = Δ COD ตามเกณฑ์แรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (∠ AOB = ∠ COD เป็นแนวตั้ง AO=OC, DO=OB โดยคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) จากนั้น AB=CD ในทำนองเดียวกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม BOC และ DOA จะได้ว่า BC = DA ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คุณสมบัติของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน
การพิสูจน์.
ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด และปล่อยให้เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O
จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วในทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน Δ ABC = Δ CDA บนทั้งสามด้าน (AB=CD, BC=DA จากสิ่งที่พิสูจน์แล้ว, AC – ทั่วไป) จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม จะได้ว่า ∠ ABC = ∠ CDA
นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ว่า ∠ DAB = ∠ BCD ซึ่งตามมาจาก ∠ ABD = ∠ CDB ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันและแบ่งออกเป็นสองส่วน ณ จุดตัดกัน
การพิสูจน์.
ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด ลองวาดเส้นทแยงมุม AC กัน เรามาทำเครื่องหมาย O ตรงกลางไว้ เพื่อความต่อเนื่องของส่วน DO เราจะแยกส่วน OB 1 เท่ากับ DO ออกไป
ตามทฤษฎีบทที่แล้ว AB 1 CD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น เส้น AB 1 จึงขนานกับ DC แต่เมื่อผ่านจุด A สามารถลากเส้นขนานกับ DC ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AB 1 เกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง AB
นอกจากนี้ยังได้รับการพิสูจน์ว่า BC 1 ตรงกับ BC ซึ่งหมายความว่าจุด C ตรงกับ C 1 สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เกิดขึ้นพร้อมกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน AB 1 CD ด้วยเหตุนี้ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงตัดกันและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ณ จุดตัดกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ในหนังสือเรียนสำหรับโรงเรียนทั่วไป (เช่นใน Pogorelovo) ได้รับการพิสูจน์ดังนี้: เส้นทแยงมุมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสามเหลี่ยม 4 รูป ลองพิจารณาคู่หนึ่งแล้วพบว่า - พวกมันเท่ากัน: ฐานของพวกมันอยู่ด้านตรงข้าม, มุมที่ตรงกันที่อยู่ติดกันนั้นเท่ากัน เช่น มุมแนวตั้งที่มีเส้นขนาน นั่นคือส่วนของเส้นทแยงมุมเท่ากันเป็นคู่ ทั้งหมด.
นั่นหมดแล้วหรือ?
ได้รับการพิสูจน์แล้วข้างต้นว่าจุดตัดแบ่งครึ่งเส้นทแยงมุม - หากมีอยู่ การให้เหตุผลข้างต้นไม่ได้พิสูจน์ว่ามีอยู่จริงแต่อย่างใด นั่นคือส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท "เส้นทแยงมุมของจุดตัดสี่เหลี่ยมด้านขนาน" ยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์
สิ่งที่ตลกก็คือส่วนนี้พิสูจน์ได้ยากกว่ามาก อย่างไรก็ตาม จากผลลัพธ์ทั่วไปที่ตามมาก็คือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใดๆ จะมีเส้นทแยงมุมตัดกัน แต่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูนใดๆ จะไม่มี
เรื่องความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม) และอื่นๆ
ทาลีสพบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ในเชิงปฏิบัติที่สำคัญเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน เครื่องวัดระยะถูกสร้างขึ้นในท่าเรือมิเลทัสเพื่อกำหนดระยะห่างจากเรือในทะเล ประกอบด้วยหมุดขับเคลื่อนสามอัน A, B และ C (AB = BC) และเส้นตรงที่มีเครื่องหมาย SC ซึ่งตั้งฉากกับ CA เมื่อเรือลำหนึ่งปรากฏบนเส้นตรง SK เราพบจุด D โดยที่จุด D, .B และ E อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ตามที่เห็นชัดเจนจากภาพวาด ระยะทาง CD บนพื้นคือระยะทางที่ต้องการถึงเรือ
คำถาม
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดหรือไม่?
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันหรือไม่?
- มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันหรือไม่?
- ระบุคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?
- สี่เหลี่ยมด้านขนานมีกี่สัญลักษณ์?
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานได้หรือไม่?
รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้
- Kuznetsov A.V. ครูคณิตศาสตร์ (ป.5-9) เมืองเคียฟ
- “ข้อสอบ Unified State ปี 2549 คณิตศาสตร์” สื่อการศึกษาและฝึกอบรมเพื่อเตรียมความพร้อมนักเรียน / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
- Mazur K. I. “ การแก้ปัญหาการแข่งขันหลักทางคณิตศาสตร์ของคอลเลกชันที่แก้ไขโดย M. I. Skanavi”
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “ เรขาคณิต, 7 – 9: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา”
เราทำงานในบทเรียน
คุซเนตซอฟ เอ.วี.
โพเทิร์นัค เอส.เอ.
เยฟเจนีย์ เปตรอฟ
คุณสามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับการศึกษาสมัยใหม่ แสดงความคิด หรือแก้ไขปัญหาเร่งด่วนได้ที่ ฟอรั่มการศึกษาที่ซึ่งสภาการศึกษาแห่งความคิดและการกระทำที่สดใหม่มาพบกันในระดับสากล มีการสร้าง บล็อก,คุณจะไม่เพียงแต่ปรับปรุงสถานะของคุณในฐานะครูที่มีความสามารถเท่านั้น แต่ยังมีส่วนสำคัญต่อการพัฒนาโรงเรียนแห่งอนาคตอีกด้วย สมาคมผู้นำการศึกษาเปิดประตูสู่ผู้เชี่ยวชาญระดับสูงและเชิญชวนให้พวกเขาร่วมมือในการสร้างโรงเรียนที่ดีที่สุดในโลก
1. คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ถ้าเราตัดเส้นขนานคู่หนึ่งกับเส้นขนานอีกคู่หนึ่ง เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่
ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABDC และ EFNM (รูปที่ 224) ВD || เอซี และ เอบี || ซีดี;
อีเอฟ || มินนิโซตา และ EM || เอฟเอ็น.
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน
ให้มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC (รูปที่ 225) โดยที่ AB || ซีดีและเอซี || วดี.
คุณต้องพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งมันออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน
ให้เราวาดเส้นทแยงมุม CB ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC ให้เราพิสูจน์ว่า \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ
ด้าน NE เป็นเรื่องธรรมดาของสามเหลี่ยมเหล่านี้ ∠ABC = ∠BCD เป็นมุมขวางภายในที่มี AB และ CD และซีแคนต์ CB ขนานกัน ∠ACB = ∠СВD เช่นเดียวกับมุมขวางภายในที่มี AC และ BD และซีแคนต์ CB ขนานกัน
ดังนั้น \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า AD ในแนวทแยงจะแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันเท่ากันคือ ACD และ ABD
ผลที่ตามมา:
1 . มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน
∠A = ∠D ซึ่งตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม CAB และ CDB
ในทำนองเดียวกัน ∠C = ∠B
2. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน
AB = CD และ AC = BD เนื่องจากด้านเหล่านี้เป็นด้านของสามเหลี่ยมเท่ากันและอยู่ตรงข้ามกัน มุมเท่ากัน.
ทฤษฎีบท 2 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน
ให้ BC และ AD เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABC (รูปที่ 226) ให้เราพิสูจน์ว่า AO = OD และ CO = OB
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปรียบเทียบสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกันบางคู่ เช่น \(\Delta\)AOB และ \(\Delta\)СOD
ในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ AB = CD เหมือนด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
∠1 = ∠2 โดยที่มุมภายในวางขวางโดยมี AB และ CD และเส้นตัด AD ขนานกัน
∠3 = ∠4 ด้วยเหตุผลเดียวกัน เนื่องจาก AB || CD และ SV เป็นซีแคนต์ของพวกเขา
เป็นไปตามนั้น \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD และในสามเหลี่ยมเท่ากันที่อยู่ตรงข้ามกับมุมเท่ากัน ด้านที่เท่ากัน. ดังนั้น AO = OD และ CO = OB
ทฤษฎีบท 3 ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับ 180°.
ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เราวาดเส้นทแยงมุม AC แล้วได้สามเหลี่ยม ABC และ ADC สองอัน
รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน เนื่องจาก ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (มุมขวางสำหรับเส้นขนาน) และด้าน AC เป็นเรื่องธรรมดา
จากความเท่าเทียมกัน \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC จะได้ว่า AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D
ผลรวมของมุมที่อยู่ประชิดด้านหนึ่ง เช่น มุม A และ D เท่ากับ 180° ซึ่งเป็นมุมด้านเดียวสำหรับเส้นขนาน
