วิธีทำสูตรลด. สูตรลด: การพิสูจน์ ตัวอย่าง กฎช่วยในการจำ

มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด

1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) แล้ว การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อคุณควรเปลี่ยนป้ายและเมื่อไม่เปลี่ยน

2. กฎเกณฑ์ “อย่างที่เป็นอยู่ คุณก็อยู่อย่างนั้น”

เครื่องหมายของฟังก์ชันที่ลดลงยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย

รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับไตรมาส

คำนวณบาป (150˚)

ลองใช้สูตรลด:

Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 จากรูปเราจะเห็นว่าสัญญาณของบาปควอเตอร์นี้เท่ากับ + ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมายบวกด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง

ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½

หากต้องการสามารถสรุปสูตรการลดทั้งหมดไว้ในตารางเดียวได้ แต่ก็ยังง่ายกว่าที่จะจำกฎสองข้อนี้และนำไปใช้

หัวข้อบทเรียน

• การเปลี่ยนแปลงของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความใหม่และจำไว้ว่ามีบางคำที่ได้ศึกษาไปแล้ว
• ทำความคุ้นเคยกับรูปแบบของการเปลี่ยนแปลงค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
• พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
• การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทดสอบความรู้ของนักเรียน

แผนการเรียน

1. การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
2. งานการทำซ้ำ
3. การเปลี่ยนแปลงของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
4. การใช้งานจริง.

การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้

เริ่มจากจุดเริ่มต้นและจำไว้ว่าอะไรจะเป็นประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำของคุณ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร และแนวคิดเหล่านี้อยู่ในสาขาใดของเรขาคณิต

ตรีโกณมิติ- นี่เป็นคำภาษากรีกที่ซับซ้อน: ตรีโกณมิติ - สามเหลี่ยม, เมโทร - เพื่อวัด ดังนั้นในภาษากรีกจึงหมายถึง: วัดด้วยรูปสามเหลี่ยม

วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

บทความนี้มีไว้เพื่อศึกษารายละเอียด สูตรตรีโกณมิติผี แดน รายการทั้งหมดสูตรลดขนาด แสดงตัวอย่างการใช้งาน และแสดงหลักฐานความถูกต้องของสูตร บทความนี้ยังมีกฎช่วยในการจำที่ช่วยให้คุณได้รับสูตรการลดลงโดยไม่ต้องจำแต่ละสูตร

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

สูตรลด. รายการ

สูตรการลดช่วยให้คุณสามารถลดฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของมุมที่มีขนาดตามใจชอบไปจนถึงฟังก์ชันของมุมที่วางอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึง π 2 เรเดียน) การทำมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศานั้นสะดวกกว่าการทำงานกับค่าที่มากตามอำเภอใจมาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมสูตรการลดลงจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

ก่อนที่เราจะเขียนสูตรด้วยตนเอง ให้เราชี้แจงประเด็นสำคัญหลายประการเพื่อทำความเข้าใจก่อน

• ข้อโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติในสูตรการลดคือมุมของรูปแบบ ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z โดยที่ z คือจำนวนเต็มใดๆ และ α คือมุมการหมุนตามต้องการ
• ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้สูตรลดทั้งหมดซึ่งจำนวนนี้ค่อนข้างน่าประทับใจ มีกฎช่วยในการจำที่ทำให้อนุมานได้ง่าย สูตรที่ต้องการ. เราจะพูดถึงกฎช่วยในการจำในภายหลัง

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดขนาดกันโดยตรง

สูตรการลดช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมที่กว้างโดยพลการไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา มาเขียนสูตรทั้งหมดในรูปแบบตารางกัน

สูตรลด

บาป α + 2 π z = บาป α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - บาป α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = บาป α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

ในกรณีนี้ สูตรจะเขียนเป็นเรเดียน อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถเขียนโดยใช้องศาได้ แค่แปลงเรเดียนเป็นองศาก็เพียงพอแล้ว โดยแทนที่ π ด้วย 180 องศา

ตัวอย่างการใช้สูตรลด

เราจะแสดงวิธีใช้สูตรการลดลงและวิธีใช้สูตรเหล่านี้ในการแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

มุมที่อยู่ใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่สามารถแสดงได้ในรูปแบบเดียว แต่แสดงได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ในรูปแบบ ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z มาสาธิตสิ่งนี้กัน

ลองหามุม α = 16 π 3 กัน มุมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

ใช้สูตรการลดขนาดที่เหมาะสม ขึ้นอยู่กับการแสดงมุม

ลองใช้มุมเดียวกัน α = 16 π 3 แล้วคำนวณแทนเจนต์ของมัน

ตัวอย่างที่ 1: การใช้สูตรการลด

α = 16 π 3 , เสื้อ ก α = ?

ให้เราแทนมุม α = 16 π 3 โดยที่ α = π + π 3 + 2 π 2

การแสดงมุมนี้จะสอดคล้องกับสูตรการลดขนาด

เสื้อ ก (π + α + 2 π z) = เสื้อ ก α

เสื้อ ก 16 π 3 = เสื้อ ก π + π 3 + 2 π 2 = เสื้อ ก π 3

เมื่อใช้ตาราง เราจะระบุค่าของแทนเจนต์

ตอนนี้เราใช้การแสดงมุมอื่น α = 16 π 3

ตัวอย่างที่ 2: การใช้สูตรการลด

α = 16 π 3 , เสื้อ ก α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 เสื้อ ก 16 π 3 = เสื้อ ก - 2 π 3 + 2 π 3 = - เสื้อ ก 2 π 3 = - (- 3) = 3

ในที่สุด สำหรับการแทนค่ามุมที่สามที่เราเขียน

ตัวอย่างที่ 3 การใช้สูตรการลดขนาด

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

ทีนี้ลองยกตัวอย่างการใช้สูตรลดที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ตัวอย่างที่ 4: การใช้สูตรการลด

ลองจินตนาการถึงบาป 197° ผ่านไซน์และโคไซน์ของมุมแหลม

เพื่อให้สามารถใช้สูตรลดขนาดได้ คุณต้องแสดงมุม α = 197 ° ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z ตามเงื่อนไขของปัญหา มุมจะต้องแหลม ดังนั้นเราจึงมีสองวิธีในการนำเสนอ:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

เราได้รับ

บาป 197° = บาป (180° + 17°) บาป 197° = บาป (270° - 73°)

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดไซน์และเลือกสูตรที่เหมาะสม

บาป (π + α + 2 πz) = - บาปα (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosαบาป 197 ° = บาป (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - บาป 17 °บาป 197 ° = บาป (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

กฎช่วยในการจำ

มีสูตรลดมากมาย และโชคดีที่ไม่จำเป็นต้องท่องจำ มีความสม่ำเสมอซึ่งสามารถหาสูตรการลดลงสำหรับมุมและฟังก์ชันตรีโกณมิติที่แตกต่างกันได้ รูปแบบเหล่านี้เรียกว่ากฎช่วยในการจำ การช่วยจำเป็นศิลปะแห่งการท่องจำ กฎช่วยในการจำประกอบด้วยสามส่วนหรือมีสามขั้นตอน

กฎช่วยในการจำ

1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

มุม α ต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

2. มีการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติดั้งเดิม ฟังก์ชันที่เขียนทางด้านขวาของสูตรจะมีเครื่องหมายเดียวกัน

3. สำหรับมุม ± α + 2 πz และ π ± α + 2 πz ชื่อของฟังก์ชันดั้งเดิมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง และสำหรับมุม π 2 ± α + 2 πz และ 3 π 2 ± α + 2 πz ตามลำดับ จะเปลี่ยนเป็น “โคฟังก์ชัน”. ไซน์ - โคไซน์ แทนเจนต์ - โคแทนเจนต์

หากต้องการใช้ตัวช่วยช่วยจำสำหรับสูตรการลดลง คุณจะต้องสามารถระบุสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยพิจารณาจากหนึ่งในสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย ลองดูตัวอย่างการใช้กฎช่วยในการจำ

ตัวอย่างที่ 1: การใช้กฎช่วยในการจำ

ลองเขียนสูตรการลดขนาดสำหรับ cos π 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz α คือบันทึกของควอเตอร์แรก

1. เนื่องจากตามเงื่อนไข α คือบันทึกของควอเตอร์แรก เราจึงข้ามจุดแรกของกฎไป

2. กำหนดสัญญาณ ฟังก์ชันคอสπ 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz มุม π 2 - α + 2 πz ก็เป็นมุมของควอเตอร์แรกด้วย และมุม π - α + 2 πz อยู่ในควอเตอร์ที่สอง ในไตรมาสแรก ฟังก์ชันโคไซน์เป็นบวก และแทนเจนต์ในไตรมาสที่สองมีเครื่องหมายลบ มาเขียนว่าสูตรที่ต้องการจะมีลักษณะอย่างไรในขั้นตอนนี้

เพราะ π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. ตามจุดที่สาม สำหรับมุม π 2 - α + 2 π ชื่อของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นขงจื๊อ และสำหรับมุม π - α + 2 πz ยังคงเหมือนเดิม มาเขียนกัน:

เพราะ π 2 - α + 2 πz = + บาป α t g π - α + 2 πz = - t g α

ตอนนี้เรามาดูสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น และตรวจสอบให้แน่ใจว่ากฎช่วยในการจำใช้งานได้

ลองดูตัวอย่างที่มีมุมเฉพาะ α = 777° ให้เราลดไซน์อัลฟ่าให้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม

ตัวอย่างที่ 2: การใช้กฎช่วยในการจำ

1. ลองนึกภาพมุม α = 777 ° นิ้ว แบบฟอร์มที่จำเป็น

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. มุมเดิมคือมุมของควอเตอร์แรก ซึ่งหมายความว่าไซน์ของมุมมีเครื่องหมายบวก ด้วยเหตุนี้เราจึงมี:

3. บาป 777° = บาป (57° + 360° 2) = บาป 57° บาป 777° = บาป (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างถูกต้องและแสดงมุมอย่างถูกต้องเมื่อใช้กฎช่วยในการจำมีความสำคัญเพียงใด มาทำซ้ำอีกครั้ง

สำคัญ!

มุมαต้องคม!

ลองคำนวณแทนเจนต์ของมุม 5 π 3 กัน จากตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักคุณสามารถใช้ค่า t g 5 π 3 = - 3 ได้ทันที แต่เราจะใช้กฎช่วยในการจำ

ตัวอย่างที่ 3: การใช้กฎช่วยในการจำ

ลองจินตนาการถึงมุม α = 5 π 3 ในรูปแบบที่ต้องการแล้วใช้กฎนี้

เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก 3 π 2 + π 6 = - ค เสื้อ ก π 6 = - 3 เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก 2 π - π 3 = - เสื้อ ก π 3 = - 3

หากเราแทนมุมอัลฟ่าในรูปแบบ 5 π 3 = π + 2 π 3 ผลลัพธ์ของการใช้กฎช่วยในการจำจะไม่ถูกต้อง

เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก π + 2 π 3 = - เสื้อ ก 2 π 3 = - (- 3) = 3

ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเกิดจากการที่มุม 2 π 3 ไม่ใช่มุมแหลม

การพิสูจน์สูตรการลดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของคาบและสมมาตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติ รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุม π 2 และ 3 π 2 การพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรการลดทั้งหมดสามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะ 2 πzเนื่องจากมันแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของมุมด้วยจำนวนเต็ม การปฏิวัติเต็มรูปแบบและสะท้อนคุณสมบัติของช่วงเวลาได้อย่างแม่นยำ

สูตร 16 สูตรแรกต่อจากคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยตรง ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นี่คือข้อพิสูจน์ถึงสูตรการลดไซน์และโคไซน์

บาป π 2 + α = cos α และ cos π 2 + α = - sin α

ลองดูที่วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นหลังจากหมุนผ่านมุม α ไปที่จุด A 1 x, y และหลังจากหมุนผ่านมุม π 2 + α - ไปยังจุด A 2 จากทั้งสองจุดเราวาดตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา

สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป O A 1 H 1 และ O A 2 H 2 เท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกัน จากตำแหน่งของจุดบนวงกลมและความเท่ากันของสามเหลี่ยม เราสามารถสรุปได้ว่าจุด A 2 มีพิกัด A 2 - y, x โดยใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราเขียนว่า:

บาป α = y, cos α = x, บาป π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

บาป π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - บาป α

เราสามารถเขียนได้โดยคำนึงถึงอัตลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติและสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว

t g π 2 + α = บาป π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - บาป α cos α = - ที ก α

หากต้องการพิสูจน์สูตรการลดลงด้วยอาร์กิวเมนต์ π 2 - α จะต้องนำเสนอในรูปแบบ π 2 + (- α) ตัวอย่างเช่น:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - บาป (- α) = บาป α

การพิสูจน์ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติพร้อมอาร์กิวเมนต์ของเครื่องหมายตรงกันข้าม

สูตรการลดอื่นๆ ทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้จากสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	ย = บาป x	ย = เพราะ x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ ย ≤ 1	-1 ≤ ย ≤ 1
เพิ่มขึ้น
จากมากไปน้อย
แม็กซิมา, y = 1
ขั้นต่ำ, y = - 1
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	ย = 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; . การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

คำนิยาม. สูตรลดคือสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปเป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้สามารถลดลงเป็นไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจากช่วง 0 ถึง 90 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึงเรเดียน) ดังนั้น สูตรการลดขนาดทำให้เราสามารถทำงานต่อกับมุมภายใน 90 องศาได้ ซึ่งสะดวกมากอย่างไม่ต้องสงสัย

สูตรลด:

มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด

1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) ดังนั้น การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อใดควรเปลี่ยนเครื่องหมายและเมื่อไม่เปลี่ยน

2. สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย

รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยขึ้นอยู่กับไตรมาส

ตัวอย่าง:

คำนวณ

ลองใช้สูตรลด:

Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 จากรูปเราจะเห็นว่าสัญญาณบาปในไตรมาสนี้มีค่าเท่ากับ “+” ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมาย "+" ด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง

ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½