ระดับแรก

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่าง ภาษามนุษย์มาก ตัวอย่างง่ายๆ. ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร. ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

ก็เข้า. ปริทัศน์เพื่อเป็นการสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนได้ดังนี้

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณอาจเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังคือ จำนวนธรรมชาติ. ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

มีอีกไหม ตัวเลขอตรรกยะ. ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? สรุปก็คือ มันเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

A-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีกำลังเป็นจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลย ทุกอย่างก็ดูราวกับอยู่ในนั้นเลย ส่วนก่อนหน้า.

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา ฐานบวกขององศา c เท่านั้น ตัวบ่งชี้เศษส่วน .

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

A-ไพรเออรี่:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีกำลังเป็นจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ?

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

ระดับซึ่งเป็นตัวบ่งชี้ที่เป็นลบและ ตัวเลขเศษส่วน.

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร ระดับของ. ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข

เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่านิยามกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ให้ไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาและ n ซึ่งเราจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง. นอกจากนี้ เรายังสังเกตด้วยว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 ก็คือตัวเลข a ซึ่งก็คือ a 1 =a

เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีสากลในการอ่านสัญลักษณ์ a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"

กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้

ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ. เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 เป็นฐาน และเลขธรรมชาติ 9 เป็นเลขชี้กำลัง (4.32) 9

โปรดทราบว่าในตัวอย่างสุดท้าย ฐานของกำลัง 4.32 จะเขียนอยู่ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานทั้งหมดของกำลังที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติไว้ในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้พร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ ดีสำหรับ ความชัดเจนเต็มที่ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในสัญลักษณ์ของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนเป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .

โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก

ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการเพิ่มกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาในการค้นหาฐานของกำลังจากค่าที่ทราบของกำลังและเลขชี้กำลังที่ทราบ ภารกิจนี้นำไปสู่.

เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป. เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นเพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายในระดับของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาทำกัน.

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ . หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีเงื่อนไขว่าสำหรับ m, n และนิพจน์ที่กำหนดให้นั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก

วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ระดับ 0 ของ m ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นั่นคือ

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์พร้อมเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือ ถือเป็นกำลังของตัวเลข a ซึ่งเลขชี้กำลังคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (เราจะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง ). นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย

สำหรับเลขคู่ n และบวก m นิพจน์เหมาะสมสำหรับ a ใดๆ ที่ไม่เป็นลบ (รากคู่ของจำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับลบ m ตัวเลข a ยังคงต้องแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหาร โดยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ



ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ , แต่ , ก.

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างเล็ก ๆ. ลองคำนวณ 4√(5 12) กัน

ลองใช้คุณสมบัติของรากและยกกำลังของตัวเลขกัน 5 12 = (5 3) 4 ดังนั้น เราสามารถเขียนเงื่อนไขได้ดังนี้:

• 4√((5 3) 4) = (4√(5 3)) 4 = 5 3 = 125.

ดังนั้นเราจึงได้สิ่งนั้น 4√(5 12) = 5 (12/4) . นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่า ตัวอย่างเช่น

• 5√(3 (-4)) = 3 (-4/3) .

การพิสูจน์

• ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติ และ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 m คือจำนวนเต็ม และผลหาร m/n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว สำหรับ >0 มันเป็นความจริง ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: n√(ม.) = ก (ม./n)

มาพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้อนี้กัน m/n คือจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง (ตามเงื่อนไข) นั่นคือ จากการหาร เราได้จำนวนเต็ม k (m/n = k) จากนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า m=k*n ต่อไปเราได้รับ: เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีและรูททางคณิตศาสตร์

• n√ (a m) = n√(a (n*k)) =n√((ak) n) = a k = a (m/n)

นั่นคือ n√(am) = a (m/n) Q.E.D.

ถ้าเมื่อหาร m ด้วย n ผลลัพธ์ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นระดับของรูปแบบ a (m/n) จะถูกกำหนดโดยที่ a>0 จะถูกกำหนดในลักษณะที่สูตรที่เขียนไว้ด้านบน (n√(a m) = a (m/n)) ยังคงซื่อสัตย์

• นั่นคือ สูตร n√(am) = a (m/n) จะใช้ได้กับจำนวนเต็ม m ใดๆจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ a>0

ตัวอย่างเช่น,

• 16 (3/4) = 4√(16 3) = 4√(2 12) = 2 3 = 8.
• 7 (5/4) = 4√(7 5) = 4√((7 4)*7) = 7*4√7.

ดังที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ m/n โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติและ m คือจำนวนเต็ม เรียกว่า จำนวนเศษส่วนหรือจำนวนตรรกยะ

จากที่กล่าวมาทั้งหมดเราได้รับว่าระดับนั้นถูกกำหนดไว้สำหรับสิ่งใด ๆ ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลปริญญาและพื้นฐานเชิงบวกของการศึกษาระดับปริญญา

ลักษณะเฉพาะ

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากจำนวนตรรกยะในเลขชี้กำลังเป็นบวก นิพจน์ n√(a m) จะสมเหตุสมผลไม่เพียงแต่สำหรับค่าบวก a เท่านั้น แต่ยังมีความหมายสำหรับค่าเท่ากับศูนย์ด้วย

• n√(0 ม.) = 0

ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์ เชื่อกันว่าเมื่อ m/n > 0 ความเท่าเทียมกัน 0 (m/n) = 0 จึงเป็นที่น่าพอใจ

โปรดทราบว่าสำหรับจำนวนเต็มใดๆ m และ n ธรรมชาติใดๆ และบวก a ค่าเท่ากันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

ก (m/n) = ก ((mk)/(nk))

เช่น 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12)

บทที่แรก ตัวชี้วัดทั้งหมด

บทที่แรก

ตัวชี้วัดทั้งหมด

255. คุณสมบัติของเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจนถึงขณะนี้ เราสันนิษฐานว่าเลขยกกำลังเป็นจำนวนเต็มและบวก และเราได้ให้ความหมายตามคำจำกัดความต่อไปนี้:

การเพิ่มจำนวน a ให้เป็นกำลังด้วยจำนวนเต็มและเลขชี้กำลังบวก n หมายถึงการหาผลคูณของ n ตัวประกอบที่เหมือนกัน aaa...a .

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติของตัวบ่งชี้เหล่านี้ที่เรารู้จักจากบทก่อนหน้าของพีชคณิต:

1) เมื่อคูณเลขยกกำลังของจำนวนเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกเพิ่ม (ส่วนที่ 2 บทที่ 3, § 53)

2) เมื่อทำการหารยกกำลังของจำนวนเดียวกัน เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล ถ้าเลขชี้กำลังของตัวหารไม่มากกว่าเลขชี้กำลังของเงินปันผล (มาตรา 2 บทที่ 4 § 64)

3) จำนวนใด ๆ ที่ยกกำลังเป็นศูนย์ให้ 1 (ส่วนที่ 2 บทที่ 4, § 65)

4) จากการเพิ่มจำนวนลบเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังคู่ จะได้จำนวนบวก และเมื่อใช้เลขชี้กำลังคี่ จะเป็นจำนวนลบ (ส่วนที่ 6 บทที่ 1 § 153)

5) เพื่อที่จะยกระดับผลิตภัณฑ์ไปสู่พลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มแต่ละปัจจัยแยกกันเป็นพลังนี้ (ส่วนที่ 6 บทที่ 1, § 154, a)

6) หากต้องการยกระดับระดับหนึ่งก็เพียงพอที่จะคูณตัวบ่งชี้ของระดับเหล่านี้ (แผนก 6 บทที่ 1 § 154.6)

7) หากต้องการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มตัวเศษและส่วนแยกกันเป็นกำลังนี้ (มาตรา 6 บทที่ 1 § 154, c)

8) หากต้องการเพิ่มรากให้มีพลังก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรากให้กับพลังนี้ (มาตรา 8 บทที่ 4, § 205, d)

9) หากต้องการแยกรากของดีกรี ก็เพียงพอที่จะหารเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังของรูต หากทำการหารดังกล่าวทั้งหมด (แผนก 6 บทที่ 4 § 168.6)

ตอนนี้เราจะขยายแนวคิดของตัวบ่งชี้โดยการแนะนำตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วน ซึ่งเราไม่ได้ใช้มาจนถึงตอนนี้ เราจะเห็นสิ่งนั้น คุณสมบัติทั้งหมดของเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจะถูกสงวนไว้สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นลบและเศษส่วน

256. เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบเราได้เห็นมาแล้ว (มาตรา 2 บทที่ 4 § 64) ว่าเมื่อทำการหารยกกำลังของจำนวนเดียวกันแล้วเลขชี้กำลังของตัวหารจะลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผลถ้าเลขชี้กำลังของตัวหารไม่มากกว่าเลขชี้กำลังของเงินปันผล . ตอนนี้เราจะตกลงที่จะลบเลขชี้กำลังแม้ว่าเลขชี้กำลังของตัวหารจะมากกว่าเลขชี้กำลังของเงินปันผลก็ตาม จากนั้นเราจะได้ตัวอักษรที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบในตัวผลหาร ตัวอย่างเช่น: 2: 5 = ก -3 . เราจึงตกลงจะใช้ตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบเพื่อระบุผลหารของกำลังหารของจำนวนนี้ ในกรณีที่เลขชี้กำลังของตัวหารเกินเลขชี้กำลังของเงินปันผลมากเท่ากับหน่วยที่อยู่ในค่าสัมบูรณ์ของค่าลบ เลขชี้กำลัง ดังนั้น, ก -2 หมายถึงความฉลาด ก:ก 3 , หรือ ก 2: ก 4 , หรือ 3: 5 ส่วนตัวโดยทั่วไป น.: ก.ม.+2

เข้าใจในแง่นี้ จำนวนที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจะเท่ากับเศษส่วนโดยที่ตัวเศษคือ 1 และตัวส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน แต่มีเลขชี้กำลังบวกเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังลบ

แท้จริงแล้ว ตามเงื่อนไขของเรา เราจะต้องมี:

ลดเศษส่วนสองตัวแรกลงด้วย และม และเศษส่วนที่สามถึง x ม (เช่น ในทั้งสองกรณี ลดเศษส่วนด้วยตัวเศษ) เราจะได้:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังที่เป็นลบจะทำให้สามารถแสดงเศษส่วนใดๆ ได้ การแสดงออกทางพีชคณิตภายใต้หน้ากากของส่วนรวม; ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องโอนตัวประกอบทั้งหมดของตัวส่วนไปเป็นตัวเศษ โดยนำพวกมันมาเป็นเลขชี้กำลังที่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น:

ดำเนินไปโดยไม่ได้บอกว่าการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกที่กำหนดให้เป็นภาพรวมนั้นเป็นเพียงการเปลี่ยนแปลงในสิ่งเดียวเท่านั้น รูปร่างการแสดงออก ไม่ใช่เนื้อหา

257. การดำเนินการกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบตอนนี้ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าการดำเนินการทั้งหมดกับเลขชี้กำลังที่เป็นลบสามารถดำเนินการได้ตามกฎเดียวกันกับที่ได้มาก่อนหน้านี้สำหรับเลขชี้กำลังบวก ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นพบสิ่งนี้สำหรับการคูณและการยกกำลังเท่านั้น เนื่องจากกฎของการดำเนินการผกผัน - การหารและการแตกราก - เป็นผลสืบเนื่องอย่างง่าย ๆ จากกฎของการกระทำโดยตรง - การคูณและการยกกำลัง

การคูณจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าเมื่อคูณเลขชี้กำลังของตัวอักษรที่เหมือนกันจะรวมกันแม้ว่าเลขชี้กำลังเหล่านี้จะเป็นลบก็ตาม ตัวอย่างเช่น ตรวจสอบให้แน่ใจว่า:

ก -2 ก -3 = ก -2 +(-3) = ก -5

อันที่จริงการแทนที่กำลังด้วยเลขชี้กำลังลบด้วยเศษส่วนและดำเนินการคูณตามกฎที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนเราได้รับ:

แบบนี้:

x -4 x 3 = x -4 + 3 = x -1

ความสูงส่ง.ต้องแสดงให้เห็นว่าเมื่อยกขึ้นเป็นระดับหนึ่ง ค่ายกกำลังของระดับเหล่านี้จะถูกคูณแม้ว่าจะเป็นค่าลบก็ตาม ตัวอย่างเช่น มาตรวจสอบให้แน่ใจกัน

(ก -3 ) - 4 = ก (-3) (- 4) = ก 12

จริงหรือ:

แบบนี้:

(x 3 ) - 4 = ก -12

เพราะ

บทที่สอง

ตัวชี้วัดเศษส่วน

258. มีการใช้ตัวบ่งชี้เศษส่วนในแง่ใด?

ผลลัพธ์เหมือนกับที่เราได้รับหลังจากรวมตัวบ่งชี้เข้าด้วยกัน ซึ่งหมายความว่ากฎเกี่ยวกับการเพิ่มตัวบ่งชี้ (เมื่อคูณ) สามารถนำไปใช้กับตัวบ่งชี้เศษส่วนได้เช่นกัน

ดังนั้น:

ความสูงส่ง.ขอให้เราพิสูจน์ว่าเมื่อเพิ่มดีกรีด้วยกำลัง เลขชี้กำลังของดีกรีเหล่านี้สามารถคูณได้แม้ว่าเลขชี้กำลังเหล่านี้จะเป็นเศษส่วนก็ตาม ตัวอย่างเช่น มาตรวจสอบให้แน่ใจกัน

อันที่จริงการแทนที่กำลังด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนด้วยอนุมูลเราได้รับ:

หากเลขชี้กำลังไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังเป็นจำนวนลบด้วย กฎที่ได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้สำหรับเลขชี้กำลังบวกก็สามารถนำไปใช้กับตัวเลขเหล่านั้นได้ เช่น:

261. ตัวอย่างการกระทำที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและลบ

บทที่สาม

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

262. ให้เราถือว่าในระดับหนึ่ง ก เอ็กซ์ ฐาน ก มีจำนวนบวกมากกว่าหรือน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ จำนวนตรรกยะใดๆ บวกหรือลบ จำนวนเต็มหรือเศษส่วน ยิ่งกว่านั้นสมมติว่าเมื่อใด เอ็กซ์ มีเศษส่วนบ้างไหม เช่น 3 / 2 คือเมื่อได้รับปริญญา ก เอ็กซ์ แทนราก √ ก 3 จากนั้นจากค่าที่เป็นไปได้ของรากนี้เราใช้เพียงเลขคณิตเดียวเท่านั้นนั่นคือ บวก

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้การศึกษาระดับปริญญา ก เอ็กซ์ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ก)สำหรับค่าใดๆ ของเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ x ระดับ a x จะเป็นจำนวนบวก

จริงๆ แล้วถ้า. เอ็กซ์ เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 3 จากนั้น ah แสดงถึงผลิตภัณฑ์ อ่า ตัวเลขบวก ดังนั้นจึงเป็นบวก

ถ้า เอ็กซ์ มีเศษส่วนเป็นบวก เป็นต้น 3 / 2 , ที่ เอ็กซ์ หมายถึง √ ก 3 และเราตกลงที่จะรับเฉพาะค่าบวกจากค่านิยมทั้งหมดของหัวรุนแรง

ถ้า เอ็กซ์ มี จำนวนลบ, ตัวอย่างเช่น - 3 / 4 , ที่

และนั่นคือเหตุผล เอ็กซ์ > 0 ตั้งแต่

สุดท้ายนี้ถ้า x = 0 , ที่ เอ็กซ์ =ก 0 = 1 กล่าวคือ เป็นจำนวนบวกด้วย

ข) ถ้า a >1 ดังนั้นสำหรับค่าบวกของ x ระดับของ x มากกว่า 1 และสำหรับค่าลบจะน้อยกว่า 1 ถ้า< 1, то, наоборот, а х < 1 при х >0 และ a x >1 ที่ x< 0.

จริงๆ แล้วถ้า. เอ็กซ์ เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นต้น 3 ถ้าอย่างนั้น เอ็กซ์ = 3 = อ่า . เห็นได้ชัดว่าถ้า ก >1 , ที่ อ่า > 1 , และถ้า ก < 1 , ที่ อ่า < 1 .

วี) เมื่อเลขชี้กำลัง x เพิ่มขึ้น ระดับของ x จะเพิ่มขึ้นหาก a > 1 และจะลดลงหาก a< 1.

อนุญาต เอ็กซ์ มีความหมายเฉพาะบางประการ เช่น เอ็กซ์ = 3 . แล้วปริญญา. เอ็กซ์ จะเท่ากัน ก 3 . มาเพิ่มขึ้นกันได้เลย เอ็กซ์ ไปจนถึงจำนวนหนึ่ง แทน 3 เอาล่ะ 3,01 . แล้วแทน ก 3 จะมี ก 3,01 . หากต้องการทราบว่าตัวเลขใดในสองตัวนี้มากกว่า ให้หาผลต่าง ก 3,01 - ก 3 แล้วลองดูว่าผลต่างนี้จะเป็นจำนวนบวกภายใต้เงื่อนไขใด และจะเป็นลบภายใต้เงื่อนไขใด ความแตกต่างนี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

ก 3,01 - ก 3 = ก 3 (ก 0,01 - 1 )

ตามทรัพย์สิน ( ก) ตัวเลข ก 3 > 0 ; ตามทรัพย์สิน ( ข) ตัวเลข ก 0,01 > 1 ที่ ก >1
และ ก 0,01 < 1 ที่ ก < 1. Следовательно, правая часть написанного равенства (значит, и его левая часть) при ก > 1 เป็นบวกและเมื่อใด ก < 1 เชิงลบ. ดังนั้นในกรณีแรก ก 3,01 > ก 3 และในวินาที ก 3,01 < ก 3 .

ช) ถ้า เอ็กซ์มุ่งมั่นเพื่อ ∞ , แล้วเมื่อไหร่ ก >1 ระดับ เอ็กซ์ยังมุ่งมั่นที่จะ ∞ , และเมื่อ ก < 1 เธอมุ่งมั่นเพื่อ0 .

ตามทรัพย์สิน ( วี) เพิ่มขึ้นด้วย เอ็กซ์ ระดับ เอ็กซ์ เพิ่มขึ้นถ้า ก >1 และลดลงถ้า ก <1 . ตอนนี้เราจะแสดงสิ่งนั้นเพิ่มขึ้นด้วย ก >1 , ตัวเลข เอ็กซ์ อาจมีค่ามากกว่าจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะมากเพียงใด และลดลงด้วย “<1, оно может сделаться меньше всякого положительного числа, как бы мало оно ни было. Для этого примем во внимание, что показатель เอ็กซ์ เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ผ่านเหนือสิ่งอื่นใด ผ่านชุดค่าจำนวนเต็ม: 1, 2, 3, 4,... จากนั้นระดับ เอ็กซ์ จะผ่านชุดค่าต่างๆ ดังนี้

1 , 2 , 3 , 4 ,...

ชุดนี้เป็น G.P. อนันต์ที่มีตัวส่วน ก . ถ้า ก >1 แล้วความก้าวหน้านี้ก็จะเพิ่มขึ้นและถ้า ก < 1 แล้วมันก็กำลังลดลง ดังที่เราได้เห็น (มาตรา 10 บทที่ 3 § 251.6) ในกรณีแรก สมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งย้ายออกจากจุดเริ่มต้นของซีรีส์ สามารถเกินจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะมีขนาดใหญ่แค่ไหนก็ตาม และใน กรณีที่สอง สมาชิกคนหนึ่งของการก้าวหน้าอาจมีค่าน้อยกว่าจำนวนบวกใดๆ ไม่ว่าจะเล็กน้อยเพียงใดก็ตาม ดังนั้นเมื่อ เอ็กซ์ มุ่งมั่นเพื่อ ∞ แล้วปริญญา เอ็กซ์ ยังมุ่งมั่นเพื่อ ∞ , เมื่อไร ก > 1 และปริญญา เอ็กซ์ มุ่งมั่นเพื่อ 0 , เมื่อไร ก <1 .

ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

ก ∞ = ∞ , ถ้า ก >1 ; ก ∞ = 0 , ถ้า ก <1 .

1) ไม่ว่าด้วยเหตุผลใดก็ตาม ฟังก์ชัน เอ็กซ์ บวก (เส้นโค้งทั้งหมดอยู่เหนือแกน เอ็กซ์ - อฟ)

2) เมื่อใด ก > 1 การทำงาน เอ็กซ์ > 1 , ถ้า เอ็กซ์ > 0 , และ เอ็กซ์ < 1 , ถ้า เอ็กซ์ < 0 ; ที่ ก < 1 ข้อสรุปตรงกันข้าม

3) เมื่อเพิ่มขึ้น เอ็กซ์ ถึง + ∞ การทำงาน เอ็กซ์ เพิ่มขึ้นเป็น เอ็กซ์ , ถ้า ก >1 และลดลงเหลือ 0 , ถ้า ก < 1 (แต่ไม่เคยถึงศูนย์)

4) เมื่อลง เอ็กซ์ ก่อน - ∞ การทำงาน เอ็กซ์ ลดลงมีแนวโน้มที่จะ 0 , ถ้า ก >1 และ d+ เพิ่มขึ้น ∞ , ถ้า ก < 1 .

5) ถ้า เอ็กซ์ = 0 , ที่ เอ็กซ์ = 1 ไม่ว่ากรณีใด ๆ ก (เส้นโค้งทั้งหมดผ่านจุดเดียวกันที่วางอยู่บนแกน ย - อยู่ห่างจากจุดนั้น 0 ถึง + 1 ).

6) เมื่อใด ก >1 ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น เอ็กซ์ ยิ่งเพิ่มเร็วก็ยิ่งมากขึ้น ก (โค้งที่ ก = 10 เพิ่มขึ้นมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด ก = 2 ).

การสนทนาต่อเกี่ยวกับกำลังของตัวเลข มีเหตุผลที่จะหาวิธีค้นหาค่าของกำลัง กระบวนการนี้เรียกว่า การยกกำลัง. ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ในขณะที่เราจะกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - แบบธรรมชาติ จำนวนเต็ม เหตุผล และจำนวนตรรกยะ และตามประเพณีเราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังต่างๆ

การนำทางหน้า

“การยกกำลัง” หมายถึงอะไร?

เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

การยกกำลัง- นี่คือการหาค่ากำลังของตัวเลข

ดังนั้น การค้นหาค่ากำลังของตัวเลข a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่าของกำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มจำนวน 0.5 ให้เป็นกำลัง 5"

ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ

ในทางปฏิบัติ มักจะใช้ความเสมอภาคตามในรูปแบบ นั่นคือ เมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นเศษส่วน m/n ก่อนอื่นให้นำรากที่ n ของจำนวน a มาใช้ หลังจากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะยกขึ้นเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง m

เรามาดูคำตอบของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วนกัน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของปริญญา

สารละลาย.

เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสองประการ

วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีใต้เครื่องหมายรูท จากนั้นแยกรากที่สาม: .

วิธีที่สอง. ตามคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: . ตอนนี้เราแยกรากออก ในที่สุด เราก็ยกกำลังให้เป็นจำนวนเต็ม .

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเป็นเศษส่วนนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน

คำตอบ:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังเศษส่วนสามารถเขียนเป็นได้ ทศนิยมหรือจำนวนคละ ในกรณีนี้ ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกัน แล้วจึงยกกำลัง

ตัวอย่าง.

คำนวณ (44.89) 2.5.

สารละลาย.

มาเขียนเลขชี้กำลังในรูปเศษส่วนสามัญ (หากจำเป็น ดูบทความ): . ตอนนี้เราทำการยกกำลังเศษส่วน:

คำตอบ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังตรรกยะเป็นกระบวนการที่ใช้แรงงานค่อนข้างมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีจำนวนมากพอ) ซึ่งมักจะดำเนินการโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เพื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เรามุ่งความสนใจไปที่การเพิ่มเลขศูนย์ให้เป็นกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้แก่กำลังเศษส่วนของรูปแบบศูนย์: เมื่อเรามี และไม่ได้กำหนดไว้ที่ศูนย์ถึงกำลัง m/n ดังนั้น เลขยกกำลังบวกจากศูนย์ถึงเศษส่วนจะเป็นศูนย์ เช่น . และศูนย์ในกำลังลบที่เป็นเศษส่วนนั้นไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล

กลายเป็นพลังที่ไม่มีเหตุผล

บางครั้งจำเป็นต้องค้นหาค่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้วการได้ค่าระดับที่แม่นยำของสัญญาณบางอย่างก็เพียงพอแล้ว ให้เราทราบทันทีว่าในทางปฏิบัติค่านี้คำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ เนื่องจากต้องใช้การเพิ่มกำลังที่ไม่ลงตัวด้วยตนเอง ปริมาณมากการคำนวณที่ยุ่งยาก แต่ยังคงเราจะอธิบายใน โครงร่างทั่วไปแก่นแท้ของการกระทำ

เพื่อให้ได้ค่าประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว จะต้องพิจารณาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังและคำนวณค่าของกำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว ยิ่งการประมาณทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในขั้นต้นเท่าใด ค่าของระดับก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ตามตัวอย่าง ลองคำนวณค่าประมาณกำลังของ 2 1.174367... . ลองหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวดังต่อไปนี้: ตอนนี้เรายกกำลัง 2 ให้เป็นกำลังตรรกยะ 1.17 (เราได้อธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า) เราจะได้ 2 1.17 µ2.250116 ดังนั้น, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . หากเราประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เราก็จะได้ค่าเลขชี้กำลังดั้งเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)