บทความนี้พูดถึงหัวข้อนี้ « ระยะห่างจากจุดถึงเส้น », อภิปรายคำจำกัดความของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งพร้อมตัวอย่างภาพประกอบโดยใช้วิธีพิกัด แต่ละช่วงทฤษฎีในตอนท้ายได้แสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งหาได้จากการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง มาดูกันดีกว่า

ให้มีเส้น a และจุด M 1 ที่ไม่อยู่ในเส้นที่กำหนด เราวาดเส้นตรง b ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง a ผ่านมัน ลองหาจุดตัดของเส้นตรงเป็น H 1 กัน เราพบว่า M 1 H 1 เป็นเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a

คำจำกัดความ 1

ระยะห่างจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง aเรียกว่าระยะห่างระหว่างจุด M 1 และ H 1

มีคำจำกัดความที่รวมถึงความยาวของฉากตั้งฉากด้วย

คำจำกัดความ 2

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัดคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด

คำจำกัดความมีความเท่าเทียมกัน พิจารณารูปด้านล่าง

เป็นที่ทราบกันดีว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งนั้นเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ลองดูตัวอย่างนี้

หากเราใช้จุด Q นอนอยู่บนเส้นตรง a ซึ่งไม่ตรงกับจุด M 1 เราจะได้ว่าส่วน M 1 Q เรียกว่าส่วนที่เอียงซึ่งลดลงจาก M 1 เป็นเส้นตรง a จำเป็นต้องระบุว่าเส้นตั้งฉากจากจุด M 1 นั้นน้อยกว่าเส้นเอียงอื่น ๆ ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยม M 1 Q 1 H 1 โดยที่ M 1 Q 1 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นที่รู้กันว่ามีความยาวเสมอ อีกต่อไปขาใดก็ได้ นี่หมายความว่าเรามี M 1 H 1 นั้น< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับการค้นหาจากจุดหนึ่งไปอีกเส้นหนึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาได้หลายวิธี: ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส การหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุม และอื่นๆ งานประเภทนี้ส่วนใหญ่ได้รับการแก้ไขที่โรงเรียนระหว่างบทเรียนเรขาคณิต

เมื่อเมื่อค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จากนั้นใช้วิธีการพิกัด ในย่อหน้านี้ เราจะพิจารณาสองวิธีหลักในการค้นหาระยะทางที่ต้องการจากจุดที่กำหนด

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการหาระยะทางโดยตั้งฉากจาก M 1 ถึงเส้นตรง a วิธีที่สองใช้ สมการปกติเส้นตรง a เพื่อหาระยะทางที่ต้องการ

หากมีจุดบนระนาบที่มีพิกัด M 1 (x 1 , y 1) ซึ่งอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นตรง a และคุณต้องการหาระยะทาง M 1 H 1 คุณสามารถคำนวณได้เป็นสองส่วน วิธี มาดูพวกเขากันดีกว่า

วิธีแรก

หากมีพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ x 2, y 2 ดังนั้นระยะทางจากจุดถึงเส้นจะคำนวณโดยใช้พิกัดจากสูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - ปี 1) 2.

ตอนนี้เรามาดูพิกัดของจุด H 1 กันดีกว่า

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงใน O x y สอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ ลองใช้วิธีกำหนดเส้นตรง a โดยการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงหรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด a ให้เราแสดงเส้นตรงด้วยตัวอักษร b H 1 คือจุดตัดกันของเส้น a และ b ซึ่งหมายถึงการกำหนดพิกัดที่คุณต้องการใช้บทความซึ่งเกี่ยวข้องกับพิกัดของจุดตัดกันของสองเส้น

จะเห็นได้ว่าอัลกอริทึมในการค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนด M 1 (x 1, y 1) ถึงเส้นตรง a ดำเนินการตามจุด:

คำจำกัดความ 3

• การค้นหาสมการทั่วไปของเส้นตรง a โดยมีรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมโดยมีรูปแบบ y = k 1 x + b 1;
• รับสมการทั่วไปของเส้น b โดยมีรูปแบบ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k 2 x + b 2 ถ้าเส้น b ตัดกับจุด M 1 และตั้งฉากกับ บรรทัดที่กำหนด a;
• การกำหนดพิกัด x 2, y 2 ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของ a และ b เพื่อจุดประสงค์นี้ระบบสมการเชิงเส้นจะถูกแก้ไข A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 หรือ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• คำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งโดยใช้สูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

วิธีที่สอง

ทฤษฎีบทสามารถช่วยตอบคำถามในการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นตรงที่กำหนดบนเครื่องบินได้

ทฤษฎีบท

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมี O x y มีจุด M 1 (x 1, y 1) จากนั้นลากเส้นตรงไปที่ระนาบ โดยกำหนดโดยสมการปกติของระนาบ โดยมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p = 0 เท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ที่ได้ทางด้านซ้ายของสมการปกติของเส้นตรง คำนวณที่ x = x 1, y = y 1 หมายความว่า M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · ปี 1 - หน้า

การพิสูจน์

เส้น a สอดคล้องกับสมการปกติของระนาบซึ่งมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p = 0 จากนั้นให้พิจารณา n → = (cos α, cos β) เวกเตอร์ปกติเส้น a ที่ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงเส้น a ด้วยหน่วย p จำเป็นต้องแสดงข้อมูลทั้งหมดในรูปเพิ่มจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) โดยที่เวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) จำเป็นต้องวาดเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงซึ่งเราแสดงว่าเป็น M 1 H 1 . จำเป็นต้องแสดงเส้นโครง M 2 และ H 2 ของจุด M 1 และ H 2 ลงบนเส้นตรงที่ผ่านจุด O ด้วยเวกเตอร์ทิศทางของรูปแบบ n → = (cos α, cos β) และแสดงถึง การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์เป็น O M 1 → = (x 1, y 1) ไปยังทิศทาง n → = (cos α , cos β) เป็น n p n → O M 1 → .

ความแปรผันขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M1 เอง ลองดูรูปด้านล่าง

เราแก้ไขผลลัพธ์โดยใช้สูตร M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p จากนั้นเรานำความเท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบนี้ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p เพื่อให้ได้ n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ส่งผลให้ได้สูตรที่แปลงแล้วอยู่ในรูปแบบ n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ซึ่งเป็นผลคูณในรูปแบบพิกัด ของรูปแบบ n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . ซึ่งหมายความว่าเราจะได้ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ตามมาว่า M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราพบว่าหากต้องการหาระยะทางจากจุด M 1 (x 1 , y 1) ถึงเส้นตรง a บนเครื่องบินคุณต้องดำเนินการหลายอย่าง:

คำจำกัดความที่ 4

• รับสมการปกติของเส้นตรง a cos α · x + cos β · y - p = 0 โดยที่ไม่ได้อยู่ในงาน
• การคำนวณนิพจน์ cos α · x 1 + cos β · y 1 - p โดยที่ค่าผลลัพธ์คือ M 1 H 1

ลองใช้วิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1

หาระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 1, 2) ถึงเส้นตรง 4 x - 3 y + 35 = 0

สารละลาย

ลองใช้วิธีแรกในการแก้ปัญหา

ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องค้นหาสมการทั่วไปของเส้น b ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด M 1 (- 1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับเส้น 4 x - 3 y + 35 = 0 จากเงื่อนไขจะเห็นได้ชัดว่าเส้น b ตั้งฉากกับเส้น a ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางมีพิกัดเท่ากับ (4, - 3) ดังนั้นเราจึงมีโอกาสที่จะเขียนสมการทางบัญญัติของเส้น b บนระนาบเนื่องจากมีพิกัดของจุด M 1 ซึ่งเป็นของเส้น b ลองกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง b กัน เราจะได้ว่า x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 สมการทางบัญญัติที่ได้จะต้องถูกแปลงเป็นสมการทั่วไป แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ให้เราค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นซึ่งเราจะใช้เป็นชื่อ H 1 การเปลี่ยนแปลงมีลักษณะดังนี้:

4 x - 3 ปี + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ปี - 35 4 3 x + 4 ปี - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ปี - 35 4 3 3 4 ปี - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

จากที่เขียนไว้ข้างต้น เราได้ว่าพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ (- 5; 5)

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a เรามีพิกัดของจุด M 1 (- 1, 2) และ H 1 (- 5, 5) จากนั้นเราแทนพวกมันลงในสูตรเพื่อหาระยะทางแล้วได้สิ่งนั้น

ม 1 ชม 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

เพื่อที่จะแก้ด้วยวิธีอื่น จำเป็นต้องได้สมการปกติของเส้นตรง เราคำนวณค่าของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและคูณทั้งสองข้างของสมการ 4 x - 3 y + 35 = 0 จากที่นี่เราพบว่าปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับ - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 และสมการปกติจะอยู่ในรูปแบบ - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 ปี - 7 = 0 .

ตามอัลกอริธึมการคำนวณจำเป็นต้องได้รับสมการปกติของเส้นและคำนวณด้วยค่า x = - 1, y = 2 แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

จากนี้เราจะได้ว่าระยะห่างจากจุด M 1 (- 1, 2) ถึงเส้นตรงที่กำหนด 4 x - 3 y + 35 = 0 มีค่า - 5 = 5

คำตอบ: 5 .

จะเห็นได้ว่าวิธีนี้เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องใช้สมการปกติของเส้นตรง เนื่องจากวิธีนี้เป็นวิธีที่สั้นที่สุด แต่วิธีแรกนั้นสะดวกเพราะมีความสอดคล้องและสมเหตุสมผลแม้ว่าจะมีคะแนนการคำนวณมากกว่าก็ตาม

ตัวอย่างที่ 2

บนระนาบจะมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y โดยมีจุด M 1 (8, 0) และเส้นตรง y = 1 2 x + 1 หาระยะทางจากจุดที่กำหนดถึงเส้นตรง

สารละลาย

วิธีแก้ปัญหาแรกเกี่ยวข้องกับการหล่อ สมการที่กำหนดด้วยความชันของสมการ ปริทัศน์. เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณสามารถทำได้แตกต่างออกไป

หากผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตั้งฉากมีค่าเป็น - 1 ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตั้งฉากกับค่าที่กำหนด y = 1 2 x + 1 มีค่าเป็น 2 ตอนนี้เราได้สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) เรามีว่า y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16

เราดำเนินการค้นหาพิกัดของจุด H 1 นั่นคือจุดตัด y = - 2 x + 16 และ y = 1 2 x + 1 เราเขียนระบบสมการแล้วได้:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

ตามมาว่าระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) ถึงเส้นตรง y = 1 2 x + 1 เท่ากับระยะทางจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยพิกัด M 1 (8, 0) และ ฮ 1 (6, 4) . ลองคำนวณและพบว่า M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5

วิธีแก้ปัญหาวิธีที่สองคือย้ายจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบปกติ นั่นคือเราได้รับ y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 จากนั้นค่าของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานจะเป็น - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 ตามมาว่าสมการปกติของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ลองทำการคำนวณจากจุด M 1 8, 0 ถึงบรรทัดของแบบฟอร์ม - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 เราได้รับ:

ม 1 ชม 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

คำตอบ: 2 5 .

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 2, 4) ถึงเส้น 2 x - 3 = 0 และ y + 1 = 0

สารละลาย

เราได้สมการของรูปแบบปกติของเส้นตรง 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

จากนั้นเราดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 - 2, 4 ถึงเส้นตรง x - 3 2 = 0 เราได้รับ:

ม 1 ชม 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

สมการของเส้นตรง y + 1 = 0 มีปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานโดยมีค่าเท่ากับ -1 ซึ่งหมายความว่าสมการจะอยู่ในรูปแบบ - y - 1 = 0 ดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 (- 2, 4) ถึงเส้นตรง - y - 1 = 0 เราพบว่ามันเท่ากับ - 4 - 1 = 5

คำตอบ: 3 1 2 และ 5.

ลองมาดูการหาระยะห่างจากจุดที่กำหนดบนเครื่องบินไปยังแกนพิกัด O x และ O y กันดีกว่า

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แกน O y มีสมการของเส้นตรง ซึ่งไม่สมบูรณ์และมีรูปแบบ x = 0 และ O x - y = 0 สมการเป็นเรื่องปกติสำหรับแกนพิกัดดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาระยะห่างจากจุดด้วยพิกัด M 1 x 1, y 1 ถึงเส้นตรง ทำได้โดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 1 และ M 1 H 1 = y 1 ลองดูรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาระยะทางจากจุด M 1 (6, - 7) ถึงเส้นพิกัดที่อยู่ในระนาบ O x y

สารละลาย

เนื่องจากสมการ y = 0 หมายถึงเส้นตรง O x คุณจึงสามารถหาระยะทางจาก M 1 ด้วยพิกัดที่กำหนดไปยังเส้นตรงนี้ได้โดยใช้สูตร เราจะได้ว่า 6 = 6

เนื่องจากสมการ x = 0 อ้างอิงถึงเส้นตรง O y คุณจึงสามารถหาระยะห่างจาก M 1 ถึงเส้นตรงนี้ได้โดยใช้สูตร แล้วเราจะได้ - 7 = 7

คำตอบ:ระยะทางจาก M 1 ถึง O x มีค่าเป็น 6 และจาก M 1 ถึง O y มีค่าเป็น 7

เมื่ออยู่ในอวกาศสามมิติ เรามีจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงเส้นตรง a

ลองพิจารณาสองวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงและอยู่ในอวกาศได้ กรณีแรกพิจารณาระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง โดยที่จุดบนเส้นเรียกว่า H 1 และเป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M 1 ถึงเส้น a กรณีที่สองเสนอว่าต้องค้นหาจุดของระนาบนี้เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีแรก

จากคำจำกัดความที่เรามีว่าระยะทางจากจุด M 1 ซึ่งอยู่บนเส้นตรง a คือความยาวของเส้นตั้งฉาก M 1 H 1 จากนั้นเราจะได้สิ่งนั้นด้วยพิกัดที่พบของจุด H 1 จากนั้นเราจะหาระยะห่างระหว่าง M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) และ H 1 (x 1 , y 1 , z 1) ขึ้นอยู่กับสูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

เราพบว่าวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดมุ่งไปที่การค้นหาพิกัดของฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจาก M 1 ไปยังเส้นตรง a ทำได้ดังต่อไปนี้: H 1 คือจุดที่เส้นตรงตัดกับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมในการกำหนดระยะห่างจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ไปยังเส้น a ในอวกาศหมายถึงหลายจุด:

คำจำกัดความที่ 5

• วาดสมการของระนาบ χ เป็นสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้น
• การกำหนดพิกัด (x 2, y 2, z 2) ที่เป็นของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ χ;
• คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งโดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

วิธีที่สอง

จากเงื่อนไขที่เรามีเส้นตรง a จากนั้นเราสามารถกำหนดเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x, a y, a z โดยมีพิกัด x 3, y 3, z 3 และจุด M 3 ที่เป็นของ a เส้นตรง หากคุณมีพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 3 x 3, y 3, z 3 คุณสามารถคำนวณ M 3 M 1 →:

ม 3 ม 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

เราควรแยกเวกเตอร์ a → = a x , a y , a z และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 จากจุด M 3 เชื่อมต่อพวกมันและรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน . M 1 H 1 คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองดูรูปด้านล่าง

เราพบว่าความสูง M 1 H 1 เป็นระยะทางที่ต้องการ จึงจำเป็นต้องค้นหาโดยใช้สูตร นั่นคือเรากำลังมองหา M 1 H 1

ให้เราแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยตัวอักษร S ซึ่งพบโดยสูตรโดยใช้เวกเตอร์ a → = (a x, a y, a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 y 1 - y 3, z 1 - z 3 สูตรพื้นที่คือ S = a → × M 3 M 1 → นอกจากนี้พื้นที่ของรูปเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านข้างและความสูงเราได้ว่า S = a → · M 1 H 1 ด้วย a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ซึ่ง คือความยาวของเวกเตอร์ a → = (a x, a y, a z) ด้านที่เท่ากันสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ซึ่งหมายความว่า M 1 H 1 คือระยะห่างจากจุดถึงเส้น พบโดยใช้สูตร M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

ในการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงเส้นตรง a ในอวกาศ คุณต้องดำเนินการหลายขั้นตอนของอัลกอริทึม:

คำนิยาม 6

• การกำหนดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a - a → = (a x, a y, a z);
• คำนวณความยาวของเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• รับพิกัด x 3 , y 3 , z 3 ที่เป็นของจุด M 3 ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นตรง a;
• คำนวณพิกัดของเวกเตอร์ M 3 M 1 → ;
• ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → (a x , a y , a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 เป็น a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 เพื่อให้ได้ความยาวโดยใช้สูตร a → × M 3 M 1 → ;
• การคำนวณระยะทางจากจุดถึงเส้น M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

การแก้ปัญหาการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนดในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 2, - 4, - 1 ถึงเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5

สารละลาย

วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการของระนาบ χ ที่ผ่าน M 1 และตั้งฉากกับจุดที่กำหนด เราได้รับการแสดงออกเช่น:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดกับระนาบ χ ไปยังเส้นที่ระบุโดยเงื่อนไข คุณควรย้ายจากมุมมองแบบบัญญัติไปยังมุมมองที่ตัดกัน จากนั้นเราจะได้ระบบสมการในรูปแบบ:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

จำเป็นต้องคำนวณระบบ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 โดยวิธีของแครมเมอร์ เราจะได้ดังนี้:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

จากตรงนี้ เรามี H 1 (1, - 1, 0)

ม 1 ชม 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

วิธีที่สองต้องเริ่มต้นด้วยการค้นหาพิกัดในสมการมาตรฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องใส่ใจกับตัวส่วนของเศษส่วน จากนั้น a → = 2, - 1, 5 คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 จำเป็นต้องคำนวณความยาวโดยใช้สูตร a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30

เห็นได้ชัดว่าเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ตัดกับจุด M 3 (- 1 , 0 , - 5) ดังนั้นเราจึงได้เวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิด M 3 (- 1 , 0 , - 5) และจุดสิ้นสุดที่จุด M 1 2, - 4, - 1 คือ M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ a → = (2, - 1, 5) และ M 3 M 1 → = (3, - 4, 4)

เราได้นิพจน์ในรูปแบบ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · เจ → = 16 · ฉัน → + 7 · เจ → - 5 · k →

เราพบว่าความยาวของผลคูณเวกเตอร์เท่ากับ a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330

เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อใช้สูตรในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งเป็นเส้นตรง ลองใช้มันและรับ:

ม 1 ชม 1 = ก → × ม 3 ม 1 → ก → = 330 30 = 11

คำตอบ: 11 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ตำแหน่งของเซตของจุดที่เป็นเส้นตรงในปริภูมิจะอธิบายโดยใช้สมการ สำหรับจุดใดๆ ในปริภูมิแทนเจนต์ของเส้นนี้ คุณสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ ซึ่งเรียกว่าค่าเบี่ยงเบน ถ้ามันเท่ากับศูนย์ จุดนั้นจะอยู่บนเส้น และค่าเบี่ยงเบนอื่นใดที่ถ่ายแบบโมดูโลจะกำหนดระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นกับจุด คุณสามารถคำนวณได้หากคุณรู้สมการของเส้นและพิกัดของจุด

คำแนะนำ

1. ในการแก้ปัญหาในรูปแบบทั่วไป ให้แสดงพิกัดของจุดเป็น A?(X?;Y?;Z?) พิกัดของจุดที่ใกล้กับจุดนั้นมากที่สุดบนเส้นที่พิจารณาเป็น A?(X?;Y ?;Z?) และเขียนสมการของเส้นในรูปแบบนี้: a*X + b*Y + c*Z – d = 0 คุณต้องกำหนดความยาวของเซกเมนต์ A?A? ซึ่งเป็นอันหนึ่ง ซึ่งอยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้นที่อธิบายไว้ในสมการ เวกเตอร์ทิศทางตั้งฉาก ("ทั่วไป")? = (a;b;c) จะช่วยเขียน สมการบัญญัติผ่านจุด A? และก? เส้นตรง: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c

2. เขียนสมการ Canonical ในรูปแบบพาราเมตริก (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? และ Z = c*t+Z?) และค้นหาค่าของพารามิเตอร์ t? ซึ่งเป็นค่าเริ่มต้นและตั้งฉาก เส้นตัดกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่นิพจน์พาราเมตริกลงในสมการของเส้นตรงเริ่มต้น: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z? ) – d = 0 หลังจากนั้น ให้แสดงพารามิเตอร์ t? จากความเท่าเทียมกัน: t? = (ง – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)

3. ทดแทนค่า t ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าหรือไม่? ไปยังพิกัดที่กำหนดของจุด A? สมการพาราเมตริก: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = ข*t?+ย? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? และ Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. ตอนนี้คุณมีพิกัด 2 จุดแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณระยะทางที่กำหนด (L)

4. เพื่อให้ได้ค่าตัวเลขของระยะห่างระหว่างจุดที่มีพิกัดที่รู้จักและเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการที่มีชื่อเสียง ให้คำนวณค่าตัวเลขของพิกัดของจุด A?(X?;Y?;Z?) โดยใช้ สูตรจากขั้นตอนที่แล้วและแทนค่าลงในสูตรนี้:L = (a *(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) หากจำเป็นต้องได้ผลลัพธ์ในรูปแบบทั่วไป ก็จะอธิบายได้ด้วยสมการที่ค่อนข้างใหญ่ แทนที่ค่าฉายภาพของจุด A หรือไม่? ลงบนแกนพิกัดสามแกนโดยใช้ค่าเท่ากันจากขั้นตอนก่อนหน้า และลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b ? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c *(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c ?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c* (2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c ?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b* Y? – b?* ((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*(( d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. หากผลลัพธ์เป็นตัวเลขเท่านั้นที่สำคัญและความคืบหน้าในการแก้ปัญหาไม่สำคัญ ให้ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ เครื่องที่ออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดและเส้นในระบบพิกัดมุมฉากของปริภูมิสามมิติ - http //ru.onlinemschool.com/math/ Assistance/Cartesian_coordinate/p_line. ที่นี่คุณสามารถวางพิกัดของจุดในช่องที่เหมาะสม ป้อนสมการของเส้นในรูปแบบพาราเมตริกหรือรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นรับผลลัพธ์โดยคลิกที่ปุ่ม "ตรวจจับระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง"

วิดีโอในหัวข้อ

ระดับแรก

พิกัดและเวกเตอร์ คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในบทความนี้ เราจะเริ่มพูดถึง "ไม้กายสิทธิ์" หนึ่งอันที่จะช่วยให้คุณสามารถลดปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่างให้กลายเป็นเลขคณิตง่ายๆ ได้ “ไม้เท้า” นี้สามารถทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณรู้สึกไม่แน่ใจในการสร้างรูปทรงเชิงพื้นที่ ส่วนต่างๆ ฯลฯ ทั้งหมดนี้ต้องใช้จินตนาการและทักษะการปฏิบัติ วิธีการที่เราจะเริ่มพิจารณาที่นี่จะช่วยให้คุณสามารถสรุปได้เกือบทั้งหมดจากโครงสร้างทางเรขาคณิตและการให้เหตุผลทุกประเภท วิธีการนี้เรียกว่า "วิธีประสาน". ในบทความนี้เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. พิกัดเครื่องบิน
2. จุดและเวกเตอร์บนเครื่องบิน
3. การสร้างเวกเตอร์จากจุดสองจุด
4. ความยาวเวกเตอร์ (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)​
5. พิกัดตรงกลางของส่วน
6. ผลคูณดอทของเวกเตอร์
7. มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว​

ฉันคิดว่าคุณคงเดาได้แล้วว่าทำไมวิธีการประสานงานจึงเรียกอย่างนั้น ถูกต้อง มันได้ชื่อนี้มาเพราะมันไม่ได้ทำงานกับวัตถุทางเรขาคณิต แต่มีคุณสมบัติเชิงตัวเลข (พิกัด) และการเปลี่ยนแปลงนั้นเองซึ่งช่วยให้เราสามารถย้ายจากเรขาคณิตเป็นพีชคณิตได้นั้นประกอบด้วยการแนะนำระบบพิกัด ถ้ารูปเดิมแบน พิกัดจะเป็นสองมิติ และถ้ารูปเป็นสามมิติ พิกัดจะเป็นสามมิติ ในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีสองมิติเท่านั้น และเป้าหมายหลักของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีใช้เทคนิคพื้นฐานบางอย่างของวิธีการประสานงาน (บางครั้งอาจมีประโยชน์เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการวางแผนระนาบในส่วน B ของการสอบ Unified State) สองส่วนถัดไปในหัวข้อนี้จะเน้นไปที่การอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหา C2 (ปัญหาของ Stereometry)

มันจะสมเหตุสมผลที่จะเริ่มหารือเกี่ยวกับวิธีการประสานงานที่ไหน? อาจมาจากแนวคิดของระบบพิกัด จำไว้เมื่อคุณพบเธอครั้งแรก สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นต้น ฉันขอเตือนคุณว่าคุณสร้างมันทีละจุด คุณจำได้ไหม? คุณเลือกตัวเลขใดๆ ก็ได้ แทนที่มันลงในสูตรแล้วคำนวณด้วยวิธีนั้น เช่น ถ้า แล้ว ถ้า แล้ว เป็นต้น ในที่สุดคุณจะได้อะไร? และคุณได้รับคะแนนพร้อมพิกัด: และ ถัดไปคุณวาด "กากบาท" (ระบบพิกัด) เลือกมาตราส่วน (คุณจะมีเซลล์กี่เซลล์เป็นส่วนของหน่วย) และทำเครื่องหมายจุดที่คุณได้รับจากนั้นซึ่งคุณเชื่อมต่อด้วยเส้นตรง ผลลัพธ์ เส้นคือกราฟของฟังก์ชัน

มีบางประเด็นที่ควรอธิบายให้คุณทราบโดยละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย:

1. คุณเลือกส่วนเดียวเพื่อความสะดวกเพื่อให้ทุกอย่างลงตัวกับภาพวาดอย่างสวยงามและกะทัดรัด

2. เป็นที่ยอมรับกันว่าแกนไปจากซ้ายไปขวา และแกนไปจากล่างขึ้นบน

3. พวกมันตัดกันที่มุมฉาก และจุดตัดของมันเรียกว่าจุดกำเนิด มีการระบุด้วยตัวอักษร

4. ในการเขียนพิกัดของจุด เช่น ทางด้านซ้ายในวงเล็บจะมีพิกัดของจุดตามแนวแกน และทางด้านขวาคือตามแนวแกน โดยเฉพาะก็หมายความถึงตรงจุดนั่นเอง

5. ในการระบุจุดใดๆ บนแกนพิกัด คุณจะต้องระบุพิกัดของมัน (ตัวเลข 2 ตัว)

6. จุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน

7. จุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน

8. แกนนี้เรียกว่าแกน x

9. แกนนี้เรียกว่าแกน y

ตอนนี้เรามาดูขั้นตอนต่อไป: ทำเครื่องหมายสองจุด มาเชื่อมต่อสองจุดนี้กับเซ็กเมนต์กัน และเราจะใส่ลูกศรราวกับว่าเรากำลังวาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุด: นั่นคือเราจะทำให้ส่วนของเราตรงเป้าหมาย!

จำได้ไหมว่าส่วนทิศทางอื่นเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง มันเรียกว่าเวกเตอร์!

ดังนั้นถ้าเราเชื่อมต่อจุดต่อจุด และจุดเริ่มต้นจะเป็นจุด A และจุดสิ้นสุดจะเป็นจุด Bแล้วเราจะได้เวกเตอร์ คุณเคยก่อสร้างนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำได้ไหม?

ปรากฎว่าเวกเตอร์ เช่น จุด สามารถเขียนแทนด้วยตัวเลขสองตัวได้ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ คำถาม: คุณคิดว่ามันเพียงพอแล้วสำหรับเราที่จะรู้พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เพื่อค้นหาพิกัดของมันหรือไม่? ปรากฎว่าใช่! และสิ่งนี้ทำได้ง่ายมาก:

ดังนั้น เนื่องจากในเวกเตอร์ จุดคือจุดเริ่มต้นและจุดคือจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จึงมีพิกัดดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วพิกัดของเวกเตอร์

ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม หาพิกัดของเวกเตอร์ เราต้องเปลี่ยนแปลงอะไรเพื่อสิ่งนี้? ใช่ คุณต้องสลับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: ตอนนี้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุด และจุดสิ้นสุดจะอยู่ที่จุด แล้ว:

ดูดีๆ อะไรคือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์กับ? ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเครื่องหมายในพิกัด พวกเขาเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ข้อเท็จจริงนี้มักจะเขียนดังนี้:

บางครั้งหากไม่ได้ระบุเจาะจงว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และเป็นจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จะไม่แสดงด้วยอักษรตัวใหญ่สองตัว แต่ใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กตัวเดียวเช่น: ฯลฯ

ตอนนี้นิดหน่อย ฝึกฝนตัวคุณเองและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

การตรวจสอบ:

ตอนนี้แก้ไขปัญหาที่ยากขึ้นเล็กน้อย:

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดจะมี co-or-di-na-you ค้นหาจุดเอบีเอส-ซิส-ซู

สิ่งเดียวกันนั้นค่อนข้างธรรมดา: ให้เป็นพิกัดของจุด แล้ว

ฉันรวบรวมระบบตามคำจำกัดความของพิกัดเวกเตอร์ แล้วจุดนั้นมีพิกัด เราสนใจแอบซิสซา แล้ว

คำตอบ:

คุณสามารถทำอะไรได้อีกกับเวกเตอร์? ใช่ เกือบทุกอย่างเหมือนกับตัวเลขธรรมดา (ยกเว้นว่าคุณไม่สามารถหารได้ แต่คุณสามารถคูณได้สองวิธี ซึ่งเราจะพูดถึงที่นี่ในภายหลัง)

1. สามารถเพิ่มเวกเตอร์เข้าด้วยกันได้
2. เวกเตอร์สามารถลบออกจากกันได้
3. เวกเตอร์สามารถคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ได้ตามใจชอบ
4. เวกเตอร์สามารถคูณกันได้

การดำเนินการทั้งหมดนี้มีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจนมาก ตัวอย่างเช่น กฎสามเหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สำหรับการบวกและการลบ:

เวกเตอร์ยืดหรือหดตัวหรือเปลี่ยนทิศทางเมื่อคูณหรือหารด้วยตัวเลข:

อย่างไรก็ตาม เราจะสนใจคำถามว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัด

1. เมื่อบวก (ลบ) เวกเตอร์สองตัว เราจะบวก (ลบ) องค์ประกอบพิกัดของพวกมันทีละองค์ประกอบ นั่นคือ:

2. เมื่อคูณ (หาร) เวกเตอร์ด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณ (หาร) ด้วยตัวเลขนี้:

ตัวอย่างเช่น:

· ค้นหาจำนวน co-or-di-nat ศตวรรษ-to-ra

ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกันก่อน ทั้งสองมีจุดกำเนิดเดียวกัน - จุดกำเนิด ปลายของพวกเขาแตกต่างกัน แล้ว, . ทีนี้มาคำนวณพิกัดของเวกเตอร์กัน จากนั้น ผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ผลลัพธ์จะเท่ากัน

คำตอบ:

ตอนนี้แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:

· ค้นหาผลรวมของพิกัดเวกเตอร์

เราตรวจสอบ:

ตอนนี้ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรามีจุดสองจุดบนระนาบพิกัด จะหาระยะห่างระหว่างพวกเขาได้อย่างไร? ปล่อยให้จุดแรกเป็นและจุดที่สอง ให้เราแสดงระยะห่างระหว่างพวกเขาด้วย มาสร้างภาพวาดต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน:

ฉันทำอะไรลงไป? ก่อนอื่นเลย ฉันเชื่อมต่อแล้ว จุดและกจากจุดหนึ่งฉันวาดเส้นขนานกับแกน และจากจุดหนึ่งฉันวาดเส้นขนานกับแกน พวกมันตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่งจนเกิดเป็นรูปร่างที่น่าทึ่งหรือไม่? มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเธอ? ใช่ คุณและฉันรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแน่นอน ส่วนที่ต้องการคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนนั้นคือขา พิกัดของจุดคืออะไร? ใช่ หาได้ง่ายจากภาพ: เนื่องจากส่วนต่างๆ ขนานกับแกน และตามลำดับ ความยาวจึงหาได้ง่าย: ถ้าเราแทนความยาวของส่วนต่างๆ ตามลำดับ แล้ว

ทีนี้ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เรารู้ความยาวของขา เราจะหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้:

ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือรากของผลรวมของผลต่างกำลังสองจากพิกัด หรือ - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกัน จะเห็นได้ง่ายว่าระยะห่างระหว่างจุดไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง แล้ว:

จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสามประการ:

มาฝึกคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดกันหน่อย:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วระยะห่างระหว่าง และ เท่ากับ

หรือไปอีกทางหนึ่ง: ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

และค้นหาความยาวของเวกเตอร์:

อย่างที่คุณเห็นมันเป็นสิ่งเดียวกัน!

ตอนนี้ฝึกฝนตัวเองสักหน่อย:

ภารกิจ: ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ระบุ:

เราตรวจสอบ:

ต่อไปนี้เป็นปัญหาอีก 2-3 ข้อที่ใช้สูตรเดียวกัน แม้ว่าจะฟังดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

1. หากำลังสองของความยาวของเปลือกตา

2. หากำลังสองของความยาวของเปลือกตา

ฉันคิดว่าคุณจัดการกับพวกเขาได้โดยไม่ยากใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

1. และนี่คือเพื่อความเอาใจใส่) เราได้พบพิกัดของเวกเตอร์ก่อนหน้านี้แล้ว: . แล้วเวกเตอร์ก็มีพิกัด กำลังสองของความยาวจะเท่ากับ:

2. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

แล้วกำลังสองของความยาวคือ

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? เลขคณิตง่ายๆ ไม่มีอะไรเพิ่มเติม

ปัญหาต่อไปนี้ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจน แต่เป็นปัญหาเกี่ยวกับความรู้ทั่วไปและความสามารถในการวาดภาพง่ายๆ

1. หาไซน์ของมุมจากการตัด โดยเชื่อมจุดเข้ากับแกนแอบซิสซา

และ

เราจะดำเนินการอย่างไรที่นี่? เราต้องหาไซน์ของมุมระหว่างกับแกน เราจะหาไซน์ได้ที่ไหน? ถูกต้องในสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วเราต้องทำอย่างไร? สร้างสามเหลี่ยมนี้!

เนื่องจากพิกัดของจุดคือ และ จากนั้นส่วนจะเท่ากับ และส่วน เราต้องหาไซน์ของมุม ผมขอเตือนคุณว่าไซน์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

เรายังเหลืออะไรให้ทำบ้าง? หาด้านตรงข้ามมุมฉาก. คุณสามารถทำได้สองวิธี: ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (รู้จักขา!) หรือใช้สูตรหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (อันที่จริงก็เหมือนกับวิธีแรก!) ฉันจะไปทางที่สอง:

คำตอบ:

งานต่อไปจะดูง่ายยิ่งขึ้นสำหรับคุณ เธออยู่ในพิกัดของจุดนั้น

ภารกิจที่ 2จากจุดนั้น per-pen-di-ku-lyar จะลดลงไปที่แกน ab-ciss ไน-ดี-เต แอบ-ซิส-ซู โอส-โน-วา-นิยา เปอร์-เปน-ดี-กู-ลา-รา.

มาวาดรูปกันเถอะ:

ฐานของตั้งฉากคือจุดที่มันตัดกับแกน x (แกน) สำหรับฉันนี่คือจุด รูปแสดงว่ามีพิกัด: . เราสนใจ Abscissa - นั่นคือองค์ประกอบ "x" เธอมีความเท่าเทียมกัน

คำตอบ: .

ภารกิจที่ 3ในเงื่อนไขของปัญหาที่แล้ว ให้หาผลรวมของระยะทางจากจุดถึงแกนพิกัด

โดยทั่วไปงานนี้เป็นงานเบื้องต้นหากคุณรู้ว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงแกนคือเท่าใด คุณรู้? ฉันหวัง แต่ฉันยังคงเตือนคุณ:

ในรูปวาดของฉันด้านบน ฉันวาดตั้งฉากแบบนั้นแล้วหรือยัง? มันอยู่บนแกนไหน? ไปจนถึงแกน แล้วมันยาวเท่าไหร่ล่ะ? เธอมีความเท่าเทียมกัน ตอนนี้วาดตั้งฉากกับแกนด้วยตัวคุณเองแล้วค้นหาความยาวของมัน มันจะเท่ากันใช่ไหม? แล้วผลรวมของพวกเขาจะเท่ากัน

คำตอบ: .

ภารกิจที่ 4ในเงื่อนไขของภารกิจที่ 2 ให้ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนแอบซิสซา

ฉันคิดว่ามันชัดเจนสำหรับคุณโดยสัญชาตญาณว่าความสมมาตรคืออะไร? วัตถุหลายอย่างมี เช่น อาคาร โต๊ะ เครื่องบิน รูปทรงเรขาคณิตมากมาย เช่น ลูกบอล ทรงกระบอก สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ หากพูดโดยคร่าวแล้ว ความสมมาตรสามารถเข้าใจได้ดังนี้: ตัวเลขประกอบด้วยสองส่วนที่เหมือนกัน (หรือมากกว่า) สมมาตรนี้เรียกว่าสมมาตรตามแนวแกน แล้วแกนคืออะไร? นี่คือเส้นตรงที่ตัวเลขสามารถ "ตัด" ออกเป็นครึ่งเท่า ๆ กัน (ในภาพนี้แกนสมมาตรเป็นเส้นตรง):

ตอนนี้เรากลับมาที่งานของเรากันดีกว่า เรารู้ว่าเรากำลังมองหาจุดที่สมมาตรรอบแกน แล้วแกนนี้คือแกนสมมาตร ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำเครื่องหมายจุดเพื่อให้แกนตัดส่วนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ลองทำเครื่องหมายจุดดังกล่าวด้วยตัวเอง ตอนนี้เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน:

มันได้ผลเหมือนกันสำหรับคุณหรือเปล่า? ดี! เราสนใจพิกัดของจุดที่พบ มันก็เท่าเทียมกัน

คำตอบ:

ทีนี้ บอกฉันที หลังจากคิดสักครู่แล้ว ค่าแอบซิสซาของจุดที่สมมาตรกับจุด A สัมพันธ์กับพิกัดจะเป็นเท่าใด? คำตอบของคุณคืออะไร? คำตอบที่ถูกต้อง: .

โดยทั่วไปกฎสามารถเขียนได้ดังนี้:

จุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนแอบซิสซามีพิกัด:

จุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนกำหนดมีพิกัด:

ตอนนี้มันน่ากลัวมาก งาน: ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ก่อนอื่นคุณคิดด้วยตัวเองแล้วดูรูปวาดของฉัน!

คำตอบ:

ตอนนี้ ปัญหารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ภารกิจที่ 5: คะแนนปรากฏ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ค้นหาหรือดิออนจุดนั้น

คุณสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้สองวิธี: ตรรกะและวิธีการประสานงาน ฉันจะใช้วิธีการพิกัดก่อน แล้วฉันจะบอกคุณว่าคุณจะแก้ปัญหาต่างออกไปได้อย่างไร

ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดแอบซิสซาของจุดนั้นเท่ากัน (อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดถึงแกนแอบซิสซา) เราต้องหาโอสถ. ลองใช้ความจริงที่ว่ารูปของเราเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งหมายความว่า มาหาความยาวของส่วนโดยใช้สูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

เราลดแนวตั้งฉากที่เชื่อมต่อจุดกับแกน ฉันจะระบุจุดตัดด้วยตัวอักษร

ความยาวของส่วนจะเท่ากัน (ค้นหาปัญหาด้วยตัวเองเมื่อเราพูดถึงประเด็นนี้) จากนั้นเราจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ความยาวของเซ็กเมนต์นั้นตรงกับพิกัดของมันทุกประการ

คำตอบ: .

วิธีแก้ปัญหาอื่น (ฉันจะให้รูปภาพที่แสดงให้เห็น)

ความคืบหน้าของการแก้ปัญหา:

1. ความประพฤติ

2. ค้นหาพิกัดของจุดและความยาว

3. พิสูจน์ว่า.

อีกอันหนึ่ง ปัญหาความยาวส่วน:

จุดต่างๆ จะปรากฏที่ด้านบนของรูปสามเหลี่ยม จงหาความยาวของเส้นกึ่งกลางขนานกัน

จำได้ไหมว่ามันคืออะไร เส้นกลางสามเหลี่ยม? งานนี้ถือเป็นเรื่องพื้นฐานสำหรับคุณ หากคุณจำไม่ได้ ฉันจะเตือนคุณว่า เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ฐานเป็นส่วน เราต้องดูความยาวของมันตั้งแต่เนิ่นๆ ว่ามันเท่ากัน จากนั้นความยาวของเส้นกลางจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดใหญ่และเท่ากัน

คำตอบ: .

ความคิดเห็น: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่นซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ในระหว่างนี้ ต่อไปนี้เป็นปัญหาเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ ฝึกฝนกับปัญหาเหล่านี้ แม้จะง่ายมาก แต่จะช่วยให้คุณใช้วิธีการพิกัดได้ดีขึ้น!

1. แต้มจะอยู่ด้านบนสุดของ tra-pe-tions หาความยาวของเส้นกึ่งกลางของมัน.

2. คะแนนและรูปลักษณ์ เวอร์-ชิ-นา-มิ ปา-รัล-เล-โล-แกรม-มา ค้นหาหรือดิออนจุดนั้น

3. หาความยาวจากการตัด เชื่อมจุด และ

4. หาพื้นที่ด้านหลังรูปสีบนระนาบพิกัด

5. วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ นะชาเล กอ ดี นาฏ ลอดผ่านจุดนั้น ค้นหา ra-di-us ของเธอ

6. หา-ดิ-เต รา-ดิ-อุสของวงกลม บรรยาย-ซัน-น้อยเกี่ยวกับมุมขวา-โน-กะ ยอดของสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีคำร่วมหรือ-ดี-นา-คุณมีความรับผิดชอบมาก

โซลูชั่น:

1. เป็นที่ทราบกันว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ฐานจะเท่ากันและฐาน แล้ว

คำตอบ:

2. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการสังเกต (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) การคำนวณพิกัดของเวกเตอร์นั้นไม่ใช่เรื่องยาก: . เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดจะถูกเพิ่ม แล้วมีพิกัด. จุดนั้นมีพิกัดเหล่านี้ด้วย เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์คือจุดที่มีพิกัด เราสนใจงานบวช.. เธอมีความเท่าเทียมกัน

คำตอบ:

3. เราดำเนินการตามสูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุดทันที:

คำตอบ:

4. ดูภาพแล้วบอกฉันว่าตัวเลขสองตัวใดที่บริเวณแรเงานั้น “ประกบกัน” ระหว่าง? มันถูกประกบอยู่ระหว่างสองสี่เหลี่ยม จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของรูปเล็ก ด้านข้างของสี่เหลี่ยมเล็กๆ เป็นส่วนเชื่อมต่อจุดต่างๆ และความยาวของมันคือ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็กๆ ก็คือ

เราทำเช่นเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่: ด้านข้างของมันคือส่วนที่เชื่อมต่อกับจุดต่างๆ และความยาวของมันคือ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่คือ

เราค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ต้องการโดยใช้สูตร:

คำตอบ:

5. หากวงกลมมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุดหนึ่ง รัศมีของมันจะเท่ากับความยาวของส่วนนั้นทุกประการ (วาดรูปแล้วคุณจะเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงชัดเจน) ลองหาความยาวของส่วนนี้:

คำตอบ:

6. เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมนั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม ลองหาความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นกัน (ท้ายที่สุดแล้วในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากัน!)

คำตอบ:

คุณรับมือกับทุกสิ่งแล้วหรือยัง? มันไม่ยากที่จะคิดออกใช่ไหม? มีกฎเพียงข้อเดียวที่นี่ - สามารถสร้างภาพและเพียงแค่ "อ่าน" ข้อมูลทั้งหมดจากนั้น

เรามีเหลือน้อยมาก มีอีกสองประเด็นที่ฉันต้องการจะพูดคุย

ลองแก้ปัญหาง่ายๆ นี้กัน ให้สองคะแนนและได้รับ ค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน วิธีแก้ไขปัญหานี้มีดังนี้ ให้จุดอยู่ตรงกลางที่ต้องการ แล้วจะได้พิกัด:

นั่นคือ: พิกัดตรงกลางของเซ็กเมนต์ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดที่สอดคล้องกันของส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

กฎนี้ง่ายมากและมักจะไม่ทำให้นักเรียนลำบาก มาดูกันว่ามีปัญหาอะไรและใช้อย่างไร:

1. ค้นหา-di-te หรือ-di-na-tu se-re-di-ny จากการตัดเชื่อมต่อจุดและ

2. แต้มดูเหมือนจะอยู่อันดับต้นๆ ของโลก. Find-di-te หรือ-di-na-tu คะแนนต่อ-re-se-che-niya ของ dia-go-na-ley ของเขา

3. หา-di-te abs-cis-su ศูนย์กลางของวงกลม บรรยาย-san-noy เกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า-no-ka ยอดของบางสิ่งบางอย่างมี co-or-di-na-you so-responly-but

โซลูชั่น:

1. ปัญหาแรกเป็นเพียงปัญหาคลาสสิก เราดำเนินการทันทีเพื่อกำหนดจุดกึ่งกลางของส่วน มันมีพิกัด. ลำดับก็เท่ากัน

คำตอบ:

2. เห็นได้ง่ายว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แม้แต่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วยซ้ำ!) คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวเองโดยการคำนวณความยาวของด้านแล้วเปรียบเทียบกัน ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด! ใช่! แล้วจุดตัดของเส้นทแยงมุมคืออะไร? นี่คือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม! ฉันจะเลือกโดยเฉพาะแนวทแยง แล้วจุดนั้นมีพิกัด พิกัดของจุดเท่ากับ

คำตอบ:

3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมนั้นตรงกับข้อใด? มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม? พวกมันเท่ากันและจุดตัดแบ่งครึ่ง งานลดลงเหลืองานก่อนหน้า ยกตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุม ถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงแล้วเป็นจุดกึ่งกลาง ฉันกำลังมองหาพิกัด: Abscissa มีค่าเท่ากัน

คำตอบ:

ตอนนี้ฝึกฝนด้วยตัวเองสักหน่อย ฉันจะให้คำตอบของแต่ละปัญหาเพื่อให้คุณทดสอบตัวเองได้

1. หา-ดิ-เต ระ-ดิ-อัส ของวงกลม บรรยาย-ซัน-น้อยเกี่ยวกับสามเหลี่ยม-โน-กะ ยอดของสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีนายร่วมหรือดิ-ไม่มี

2. หา-ได-เต หรือ-ได-ออน-จุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น บรรยาย-ซัน-น้อย เกี่ยวกับสามเหลี่ยม-โน-กะ ซึ่งยอดมีพิกัด

3. รัศมีใดควรมีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางแตะแกน ab-ciss?

4. ค้นหาจุดแยกของแกนและจากการตัด เชื่อมต่อจุดและ

คำตอบ:

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ฉันหวังไว้จริงๆ! ตอนนี้ - การผลักดันครั้งสุดท้าย ตอนนี้ควรระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื้อหาที่ผมจะอธิบายตอนนี้เกี่ยวข้องโดยตรงไม่เฉพาะกับเท่านั้น งานง่ายๆไปยังวิธีพิกัดจากส่วน B แต่ก็พบได้ทุกที่ในปัญหา C2

ฉันยังไม่ได้รักษาสัญญาใดของฉัน? จำการดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ฉันสัญญาว่าจะแนะนำและการดำเนินการใดที่ฉันแนะนำในท้ายที่สุด แน่ใจเหรอว่าฉันไม่ได้ลืมอะไรเลย? ลืม! ฉันลืมอธิบายว่าการคูณเวกเตอร์หมายถึงอะไร

มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ เราจะได้วัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือก:

ครอสโปรดัคทำได้ค่อนข้างชาญฉลาด เราจะพูดถึงวิธีการทำและเหตุใดจึงจำเป็นในบทความถัดไป ในกรณีนี้ เราจะเน้นที่ผลคูณสเกลาร์

มีสองวิธีที่ช่วยให้เราคำนวณได้:

อย่างที่เดาไว้ผลลัพธ์ก็น่าจะเหมือนเดิม! มาดูวิธีแรกกันก่อน:

ผลิตภัณฑ์ดอทผ่านพิกัด

ค้นหา: - การกำหนดที่ยอมรับโดยทั่วไป ผลิตภัณฑ์ดอท

สูตรการคำนวณมีดังนี้:

นั่นคือ ผลคูณสเกลาร์ = ผลรวมผลคูณของพิกัดเวกเตอร์!

ตัวอย่าง:

ค้นหา-di-te

สารละลาย:

มาหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกัน:

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์โดยใช้สูตร:

คำตอบ:

ดูสิไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอน!

ทีนี้ลองด้วยตัวเอง:

·ค้นหาสเกลาร์ pro-iz-ve-de-nie ของศตวรรษและ

คุณจัดการหรือไม่? บางทีคุณอาจสังเกตเห็นการจับเล็กน้อย? มาตรวจสอบกัน:

พิกัดเวกเตอร์เหมือนในปัญหาที่แล้ว! คำตอบ: .

นอกจากพิกัดแล้ว ยังมีอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ กล่าวคือ ผ่านความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

หมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์และ

นั่นคือผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น

ทำไมเราต้องมีสูตรที่สองนี้ ถ้าเรามีสูตรแรกซึ่งง่ายกว่ามาก อย่างน้อยก็ไม่มีโคไซน์อยู่ในนั้น และจำเป็นเพื่อว่าจากสูตรแรกและสูตรที่สองคุณและฉันสามารถสรุปวิธีหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้!

ให้จำสูตรความยาวของเวกเตอร์ไว้!

ถ้าฉันแทนที่ข้อมูลนี้ลงในสูตรผลคูณสเกลาร์ ฉันจะได้รับ:

แต่อย่างอื่น:

แล้วคุณกับฉันได้อะไรมา? ตอนนี้เรามีสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวได้! บางครั้งก็เขียนเช่นนี้เพื่อความกระชับ:

นั่นคืออัลกอริทึมในการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์มีดังนี้:

1. คำนวณผลคูณสเกลาร์ผ่านพิกัด
2. จงหาความยาวของเวกเตอร์แล้วคูณมัน
3. หารผลลัพธ์ของจุดที่ 1 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 2

มาฝึกกันด้วยตัวอย่าง:

1. หามุมระหว่างเปลือกตากับ ให้คำตอบเป็น grad-du-sah

2. ในเงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้ค้นหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์

มาทำสิ่งนี้: ฉันจะช่วยคุณแก้ปัญหาแรกและลองทำอย่างที่สองด้วยตัวเอง! เห็นด้วย? ถ้าอย่างนั้นเรามาเริ่มกันเลย!

1. เวกเตอร์เหล่านี้คือเพื่อนเก่าของเรา เราได้คำนวณผลคูณสเกลาร์แล้ว และมันก็เท่ากัน พิกัดของพวกเขาคือ: , . จากนั้นเราจะพบความยาว:

จากนั้นเรามองหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมเป็นเท่าใด? นี่คือมุม

คำตอบ:

ตอนนี้แก้ไขปัญหาที่สองด้วยตัวเองแล้วเปรียบเทียบ! ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

2.มีพิกัด,มีพิกัด.

อนุญาต เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์กับ, แล้ว

คำตอบ:

ควรสังเกตว่าปัญหาโดยตรงกับเวกเตอร์และวิธีการพิกัดในส่วน B กระดาษสอบค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม ปัญหา C2 ส่วนใหญ่สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยการนำระบบพิกัดมาใช้ ดังนั้นคุณสามารถพิจารณาบทความนี้เป็นรากฐานโดยที่เราจะสร้างโครงสร้างที่ชาญฉลาดซึ่งเราจะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับเฉลี่ย

คุณและฉันยังคงศึกษาวิธีการประสานงานต่อไป ในส่วนสุดท้าย เราได้รับสูตรสำคัญจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้คุณ:

1. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
2. ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรืออีกทางหนึ่ง: ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
3. บวกและลบเวกเตอร์ คูณมันด้วยจำนวนจริง
4. ค้นหาจุดกึ่งกลางของส่วน
5. คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์
6. ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

แน่นอนว่าวิธีการพิกัดทั้งหมดไม่เหมาะกับ 6 จุดเหล่านี้ เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์เช่นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งคุณจะคุ้นเคยในมหาวิทยาลัย ฉันแค่อยากสร้างรากฐานที่จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาได้ในสถานะเดียว การสอบ. เราได้จัดการกับภารกิจของส่วน B แล้ว ตอนนี้ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับใหม่! บทความนี้จะกล่าวถึงวิธีการแก้ไขปัญหา C2 เหล่านั้น ซึ่งการเปลี่ยนไปใช้วิธีพิกัดก็สมเหตุสมผล ความสมเหตุสมผลนี้ถูกกำหนดโดยสิ่งที่จำเป็นสำหรับปัญหาและตัวเลขที่ได้รับ ดังนั้น ฉันจะใช้วิธีการประสานงานหากคำถามคือ:

1. หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
2. หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
3. หามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
4. หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
5. ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
6. หาระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
7. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสองเส้น

ถ้ารูปที่ให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหาคือตัวของการหมุน (ลูกบอล ทรงกระบอก กรวย...)

ตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับวิธีพิกัดคือ:

1. เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
2. พีระมิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม)

จากประสบการณ์ของผมเช่นกัน ไม่เหมาะสมที่จะใช้วิธีพิกัดสำหรับ:

1. การหาพื้นที่หน้าตัด
2. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่าสถานการณ์ "ที่ไม่เอื้ออำนวย" ทั้งสามสถานการณ์สำหรับวิธีการประสานงานนั้นค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ ในงานส่วนใหญ่ มันอาจกลายเป็นผู้ช่วยชีวิตของคุณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่เก่งในเรื่องการก่อสร้างสามมิติ (ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน)

ตัวเลขทั้งหมดที่ฉันระบุไว้ข้างต้นคืออะไร? พวกมันไม่แบนอีกต่อไป เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม วงกลม แต่ใหญ่โต! ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาไม่ใช่ระบบพิกัดแบบสองมิติ แต่เป็นระบบพิกัดสามมิติ มันค่อนข้างง่ายที่จะสร้าง: นอกจากแกนแอบซิสซาและแกนกำหนดตำแหน่งแล้ว เราจะแนะนำแกนอีกแกนหนึ่ง นั่นคือแกนประยุกต์ รูปภาพแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์ตามแผนผัง:

ทั้งหมดนี้ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่าแหล่งกำเนิดของพิกัด เหมือนเมื่อก่อน เราจะแสดงแกน abscissa แกนกำหนด - และแกนประยุกต์ที่แนะนำ -

หากก่อนหน้านี้แต่ละจุดบนระนาบมีลักษณะเป็นตัวเลขสองตัว - แอบซิสซาและพิกัด จากนั้นแต่ละจุดในอวกาศก็อธิบายด้วยตัวเลขสามตัวอยู่แล้ว - แอบซิสซา พิกัดและแอปพลิเคชัน ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้น abscissa ของจุดจะเท่ากัน ลำดับคือ และแอปพลิเคชันคือ

บางครั้ง Abscissa ของจุดนั้นเรียกอีกอย่างว่าการฉายจุดบนแกน Abscissa, การวางแนว - การฉายภาพของจุดบนแกนการวางแนว และ applicate - การฉายภาพของจุดบนแกนของ applicate ดังนั้น หากมีการระบุจุด จุดที่มีพิกัด:

เรียกว่าการฉายภาพจุดบนระนาบ

เรียกว่าการฉายภาพจุดบนระนาบ

คำถามธรรมชาติเกิดขึ้น: สูตรทั้งหมดที่ได้มาจากกรณีสองมิติใช้ได้ในอวกาศหรือไม่ คำตอบคือ ใช่ มีความยุติธรรมและมีรูปร่างหน้าตาเหมือนกัน สำหรับรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ฉันคิดว่าคุณเดาได้แล้วว่ามันคืออะไร ในทุกสูตร เราจะต้องเพิ่มคำศัพท์อีกหนึ่งคำที่รับผิดชอบแกนประยุกต์ กล่าวคือ.

1. หากได้รับสองคะแนน: แล้ว:

• พิกัดเวกเตอร์:
• ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (หรือความยาวเวกเตอร์)
• จุดกึ่งกลางของส่วนมีพิกัด

2. ถ้าให้เวกเตอร์สองตัว: และแล้ว:

• ผลคูณสเกลาร์มีค่าเท่ากับ:
• โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ:

อย่างไรก็ตาม พื้นที่ไม่ง่ายนัก ตามที่คุณเข้าใจ การเพิ่มอีกหนึ่งพิกัดจะทำให้เกิดความหลากหลายอย่างมีนัยสำคัญในสเปกตรัมของบุคคลที่ "มีชีวิต" ในพื้นที่นี้ และสำหรับการบรรยายเพิ่มเติม ฉันจะต้องแนะนำ "ลักษณะทั่วไป" ของเส้นตรงคร่าวๆ บ้าง “ลักษณะทั่วไป” นี้จะเป็นระนาบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ลองตอบคำถามว่าเครื่องบินคืออะไร? มันยากมากที่จะพูด อย่างไรก็ตาม เราทุกคนจินตนาการตามสัญชาตญาณว่าสิ่งนี้จะเป็นอย่างไร:

พูดโดยคร่าวๆ นี่เป็น "แผ่นงาน" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดติดอยู่ในอวกาศ ควรเข้าใจว่า "อนันต์" จะต้องเข้าใจว่าเครื่องบินขยายออกไปทุกทิศทาง กล่าวคือ พื้นที่ของเครื่องบินเท่ากับอนันต์ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายแบบ “ลงมือปฏิบัติจริง” นี้ไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของเครื่องบินแม้แต่น้อย และเธอเองที่จะสนใจเรา

จำหลักสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตข้อหนึ่ง:

• เส้นตรงจะลากผ่านจุดที่แตกต่างกันสองจุดบนเครื่องบิน และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น:

หรืออะนาล็อกในอวกาศ:

แน่นอนคุณจำวิธีการรับสมการของเส้นจากจุดสองจุดที่กำหนดได้ไม่ยากเลย: ถ้าจุดแรกมีพิกัด: และจุดที่สองสมการของเส้นจะเป็นดังนี้:

คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 ในอวกาศสมการของเส้นมีลักษณะดังนี้: ให้เราได้รับจุดสองจุดพร้อมพิกัด: จากนั้นสมการของเส้นที่ผ่านพวกมันจะมีรูปแบบ:

ตัวอย่างเช่น เส้นหนึ่งลากผ่านจุดต่างๆ:

สิ่งนี้ควรเข้าใจอย่างไร? สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: จุดอยู่บนเส้นถ้าพิกัดเป็นไปตามระบบต่อไปนี้:

เราจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่เราต้องสนใจแนวคิดที่สำคัญมากของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง - เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงที่กำหนดหรือขนานกับเส้นนั้น

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง อนุญาต เป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงและปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ทิศทางของมัน จากนั้นสมการของเส้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ขอย้ำอีกครั้งว่าฉันจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่ฉันต้องการให้คุณจำไว้ว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร! อีกครั้ง: นี่คือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงหรือขนานกับมัน

ถอน สมการของระนาบตามจุดที่กำหนดสามจุดไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยอีกต่อไป และโดยปกติแล้วปัญหานี้จะไม่ได้รับการแก้ไขในหลักสูตร มัธยม. แต่เปล่าประโยชน์! เทคนิคนี้มีความสำคัญเมื่อเราใช้วิธีการประสานงานเพื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าคุณกระตือรือร้นที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ ใช่ไหม? ยิ่งไปกว่านั้น คุณจะสามารถสร้างความประทับใจให้กับอาจารย์ของคุณที่มหาวิทยาลัยได้เมื่อปรากฎว่าคุณรู้วิธีใช้เทคนิคที่ปกติแล้วจะเรียนในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์อยู่แล้ว มาเริ่มกันเลย

สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรงบนระนาบมากนัก กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้

ตัวเลขบางตัว (ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด) แต่เป็นตัวแปร เช่น เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) มากนัก อย่างไรก็ตาม จำได้ไหมว่าคุณกับฉันทะเลาะกันเรื่องอะไร? เราบอกว่าถ้าเรามีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน สมการของระนาบก็สามารถสร้างขึ้นมาใหม่ได้โดยเฉพาะ แต่อย่างไร? ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟัง

เนื่องจากสมการของระนาบคือ:

และจุดต่างๆ เป็นของระนาบนี้ จากนั้นเมื่อแทนพิกัดของแต่ละจุดลงในสมการของระนาบ เราควรได้รับข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง:

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแก้สมการสามสมการโดยไม่ทราบค่า! ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก! อย่างไรก็ตาม คุณสามารถสรุปได้เสมอ (ในการดำเนินการนี้ คุณต้องหารด้วย) ดังนั้นเราจึงได้สมการสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า:

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่แก้ระบบดังกล่าว แต่จะเขียนสำนวนลึกลับที่ตามมาจากนั้น:

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด

\[\ซ้าย| (\begin(อาร์เรย์)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(อาร์เรย์)) \right| = 0\]

หยุด! นี่คืออะไร? โมดูลที่ผิดปกติมาก! อย่างไรก็ตาม วัตถุที่คุณเห็นตรงหน้าไม่เกี่ยวข้องกับโมดูลเลย วัตถุนี้เรียกว่าปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม จากนี้ไป เมื่อคุณจัดการกับวิธีพิกัดบนระนาบ คุณมักจะพบกับปัจจัยกำหนดเดียวกันนี้ ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามคืออะไร? น่าแปลกที่มันเป็นเพียงตัวเลข ยังคงต้องเข้าใจว่าเราจะเปรียบเทียบกับจำนวนเฉพาะใดกับดีเทอร์มิแนนต์

ขั้นแรกให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3 ในรูปแบบทั่วไป:

มีเลขไหนบ้าง.. ยิ่งไปกว่านั้น ดัชนีแรกเราหมายถึงหมายเลขแถว และดัชนีเราหมายถึงหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น หมายความว่าตัวเลขนี้อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม ลองตั้งคำถามต่อไปนี้: เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ดังกล่าวได้อย่างไร? นั่นคือเราจะเปรียบเทียบกับหมายเลขใดโดยเฉพาะ? สำหรับปัจจัยลำดับที่สาม จะมีกฎสามเหลี่ยมแบบฮิวริสติก (ภาพ) ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

1. ผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (จากมุมซ้ายบนไปขวาล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก “ตั้งฉาก” กับเส้นทแยงมุมหลัก ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉาก” กับ เส้นทแยงมุมหลัก
2. ผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ (จากมุมขวาบนไปซ้ายล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก “ตั้งฉาก” กับเส้นทแยงมุมรอง ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉาก” กับ เส้นทแยงมุมรอง
3. แล้วตัวกำหนด เท่ากับความแตกต่างค่าที่ได้รับในขั้นตอนและ

ถ้าเราเขียนทั้งหมดนี้ลงในตัวเลข เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตามคุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีการคำนวณในแบบฟอร์มนี้เพียงแค่เก็บรูปสามเหลี่ยมไว้ในหัวและแนวคิดว่าอะไรบวกกับอะไรและอะไรถูกลบออกจากอะไร)

เรามาแสดงวิธีสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่าง:

1. คำนวณปัจจัยกำหนด:

มาดูกันว่าเราบวกอะไรและลบอะไร:

ข้อกำหนดที่มาพร้อมกับข้อดี:

นี่คือเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบมีค่าเท่ากับ

สามเหลี่ยมรูปแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ

บวกเลขสามตัว:

เงื่อนไขที่มาพร้อมกับเครื่องหมายลบ

นี่คือเส้นทแยงมุมด้านข้าง: ผลคูณขององค์ประกอบมีค่าเท่ากับ

สามเหลี่ยมรูปแรก “ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ

สามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ

บวกเลขสามตัว:

สิ่งที่ต้องทำคือลบผลรวมของเงื่อนไข "บวก" ออกจากผลรวมของเงื่อนไข "ลบ":

ดังนั้น,

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนหรือเหนือธรรมชาติในการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม สิ่งสำคัญคือต้องจำเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและอย่าทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ทีนี้ลองคำนวณด้วยตัวเอง:

เราตรวจสอบ:

1. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
2. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
3. ผลรวมของพจน์บวก:
4. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง:
5. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมด้านข้าง:
6. ผลรวมของพจน์ที่มีเครื่องหมายลบ:
7. ผลรวมของเงื่อนไขที่มีเครื่องหมายบวกลบ ผลรวมของเงื่อนไขที่มีเครื่องหมายลบ:

ต่อไปนี้เป็นตัวกำหนดอีกสองสามตัว คำนวณค่าของมันเองและเปรียบเทียบกับคำตอบ:

คำตอบ:

ทุกอย่างตรงกันหรือเปล่า? เยี่ยมมาก ถ้าอย่างนั้นคุณก็สามารถเดินหน้าต่อไปได้! หากมีปัญหาคำแนะนำของฉันคือ: มีโปรแกรมมากมายบนอินเทอร์เน็ตสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทางออนไลน์ สิ่งที่คุณต้องทำก็แค่หาปัจจัยกำหนดของคุณเอง คำนวณด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบกับสิ่งที่โปรแกรมคำนวณ และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เริ่มตรงกัน ฉันแน่ใจว่าช่วงเวลานี้จะใช้เวลาไม่นานที่จะมาถึง!

ทีนี้ลองกลับไปที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่ฉันเขียนไว้เมื่อฉันพูดถึงสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด:

สิ่งที่คุณต้องมีคือคำนวณค่าของมันโดยตรง (โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม) และตั้งค่าผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์ โดยปกติแล้ว เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นตัวแปร คุณจะได้รับนิพจน์บางอย่างที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเหล่านั้น นิพจน์นี้จะเป็นสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน!

เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ:

1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

เรารวบรวมดีเทอร์มิแนนต์สำหรับจุดสามจุดเหล่านี้:

มาทำให้ง่ายขึ้น:

ตอนนี้เราคำนวณมันโดยตรงโดยใช้กฎสามเหลี่ยม:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ดังนั้นสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ คือ:

ทีนี้ลองแก้ไขปัญหาหนึ่งด้วยตัวเอง แล้วเราจะหารือกัน:

2. หาสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

ตอนนี้เรามาหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา:

มาสร้างปัจจัยกำหนดกัน:

และคำนวณมูลค่าของมัน:

จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบ:

หรือลดลงเราจะได้:

ตอนนี้มีสองงานสำหรับการควบคุมตนเอง:

1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด:

คำตอบ:

ทุกอย่างตรงกันหรือเปล่า? อีกครั้ง หากมีปัญหาบางประการ คำแนะนำของฉันคือ: เอาสามแต้มออกจากหัวของคุณ (ด้วย ในระดับใหญ่โอกาสที่พวกมันจะไม่นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) คุณจึงสร้างเครื่องบินตามพวกมัน แล้วคุณตรวจสอบตัวเองออนไลน์ ตัวอย่างเช่น บนเว็บไซต์:

อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของปัจจัยกำหนด เราจะไม่เพียงสร้างสมการของระนาบเท่านั้น จำไว้, ฉันบอกคุณไปแล้วว่าไม่เพียงแต่ดอทโปรดัคเท่านั้นที่ถูกกำหนดให้กับเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังมีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์ผสม และถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นตัวเลข ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด:

นอกจากนี้โมดูลของมันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และ เวกเตอร์นี้เราจะต้องใช้มันเพื่อคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกเส้นหนึ่ง เราจะคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ได้อย่างไร และหากให้พิกัดแล้ว ตัวกำหนดลำดับที่ 3 มาช่วยเราอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ฉันจะไปยังอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ ฉันต้องทำการพูดนอกเรื่องเล็กน้อย

การพูดนอกเรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์พื้นฐาน

แสดงไว้เป็นแผนผังในรูป:

ทำไมคุณถึงคิดว่าพวกเขาเรียกว่าพื้นฐาน? ความจริงก็คือ:

หรือในภาพ:

ความถูกต้องของสูตรนี้ชัดเจน เนื่องจาก:

งานศิลปะของเว็กเตอร์

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มแนะนำผลิตภัณฑ์ข้าม:

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ ซึ่งคำนวณตามกฎต่อไปนี้:

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคำนวณผลคูณไขว้กัน:

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลคูณไขว้ของเวกเตอร์:

วิธีแก้ไข: ฉันสร้างดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา:

และฉันคำนวณมัน:

ตอนนี้จากการเขียนเวกเตอร์พื้นฐาน ฉันจะกลับไปใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ปกติ:

ดังนั้น:

ตอนนี้ลองมัน

พร้อม? เราตรวจสอบ:

และตามธรรมเนียมสองอย่าง งานสำหรับการควบคุม:

1. ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
2. ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

คำตอบ:

ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว

โครงสร้างสุดท้ายที่ฉันต้องการคือผลคูณผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว มันก็เหมือนกับสเกลาร์ก็คือตัวเลข มีสองวิธีในการคำนวณ - ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ - ผ่านผลิตภัณฑ์ผสม

กล่าวคือ ให้เราได้รับเวกเตอร์สามตัว:

จากนั้นสามารถคำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวซึ่งเขียนแทนด้วยได้ดังนี้:

1. - นั่นคือผลคูณผสมคือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์อีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวคือ:

ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน!

และอีกครั้ง - สองตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

คำตอบ:

การเลือกระบบพิกัด

ตอนนี้เรามีพื้นฐานความรู้ที่จำเป็นทั้งหมดแล้วในการแก้ปัญหาเรขาคณิตสามมิติที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะดำเนินการโดยตรงต่อตัวอย่างและอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาเหล่านี้ ฉันเชื่อว่าการถามคำถามต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์: อย่างไรกันแน่ เลือกระบบพิกัดสำหรับตัวเลขเฉพาะท้ายที่สุดแล้วมันคือการเลือกตำแหน่งสัมพัทธ์ของระบบพิกัดและตัวเลขในอวกาศที่จะกำหนดว่าการคำนวณจะยุ่งยากในท้ายที่สุด

ฉันขอเตือนคุณว่าในส่วนนี้เราจะพิจารณาตัวเลขต่อไปนี้:

1. เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
2. ปริซึมตรง (สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม...)
3. พีระมิด (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม)
4. จัตุรมุข (แบบเดียวกับปิรามิดสามเหลี่ยม)

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือลูกบาศก์ ฉันขอแนะนำให้คุณสร้างสิ่งต่อไปนี้:

นั่นคือฉันจะวางร่าง "ไว้ที่มุม" ลูกบาศก์และสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นตัวเลขที่ดีมาก สำหรับพวกเขา คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างง่ายดายเสมอ เช่น ถ้า (ตามภาพ)

จากนั้นพิกัดของจุดยอดจะเป็นดังนี้:

แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องจำสิ่งนี้ แต่แนะนำให้จำไว้ว่าวิธีที่ดีที่สุดในการวางตำแหน่งลูกบาศก์หรือสี่เหลี่ยมขนานกัน

ปริซึมตรง

ปริซึมเป็นตัวเลขที่เป็นอันตรายมากกว่า สามารถจัดวางในอวกาศได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกต่อไปนี้ดูเหมือนจะเป็นที่ยอมรับมากที่สุดสำหรับฉัน:

ปริซึมสามเหลี่ยม:

นั่นคือเราวางด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมไว้บนแกนทั้งหมด และจุดยอดด้านหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด

ปริซึมหกเหลี่ยม:

นั่นคือจุดยอดด้านหนึ่งตรงกับจุดกำเนิดและด้านหนึ่งวางอยู่บนแกน

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม:

สถานการณ์คล้ายกับลูกบาศก์: เราจัดทั้งสองด้านของฐานให้ตรงกับแกนพิกัด และจัดจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งให้ตรงกับที่มาของพิกัด ความยากเพียงเล็กน้อยเท่านั้นคือการคำนวณพิกัดของจุด

สำหรับปิรามิดหกเหลี่ยม - เช่นเดียวกับปริซึมหกเหลี่ยม ภารกิจหลักอีกครั้งคือการค้นหาพิกัดของจุดยอด

จัตุรมุข (ปิรามิดสามเหลี่ยม)

สถานการณ์นี้คล้ายกับที่ฉันให้ไว้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยมมาก โดยมีจุดยอดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ส่วนด้านหนึ่งอยู่บนแกนพิกัด

ในที่สุดคุณและฉันก็ใกล้จะเริ่มแก้ไขปัญหาแล้ว จากสิ่งที่ฉันพูดในตอนต้นของบทความ คุณสามารถสรุปได้ดังนี้ ปัญหา C2 ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 2 ประเภท: ปัญหามุมและปัญหาระยะทาง อันดับแรก เราจะมาดูปัญหาในการหามุมกันก่อน โดยแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่างๆ ดังต่อไปนี้ (เมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น):

ปัญหาในการหามุม

1. การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
2. การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

ลองดูปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ เริ่มจากการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นกันก่อน จำไว้ว่าคุณกับฉันเคยแก้ไขตัวอย่างที่คล้ายกันมาก่อนไม่ใช่หรือ? คุณจำได้ไหม เรามีบางอย่างที่คล้ายกันอยู่แล้ว... เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ฉันขอเตือนคุณว่าหากให้เวกเตอร์สองตัว: แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์จะพบได้จากความสัมพันธ์:

ตอนนี้เป้าหมายของเราคือหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น ลองดูที่ "ภาพแบน":

เราได้มุมกี่มุมเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน? เพียงไม่กี่สิ่ง จริงอยู่ที่มีเพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่เท่ากัน ในขณะที่อีกสองคนอยู่ในแนวดิ่ง (และดังนั้นจึงตรงกับพวกเขา) แล้วมุมไหนที่เราควรพิจารณาถึงมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น: หรือ? นี่คือกฎ: มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะต้องไม่เกินองศาเสมอ. นั่นคือจากสองมุมเราจะเลือกมุมที่มีการวัดระดับที่เล็กที่สุดเสมอ นั่นคือ ในภาพนี้ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากัน เพื่อไม่ให้รบกวนการหามุมที่เล็กที่สุดของสองมุมในแต่ละครั้ง นักคณิตศาสตร์ผู้ชาญฉลาดจึงแนะนำให้ใช้โมดูลัส ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

ในฐานะผู้อ่านที่ตั้งใจฟัง คุณน่าจะมีคำถาม: เราจะได้ตัวเลขเดียวกันกับที่เราต้องใช้ในการคำนวณโคไซน์ของมุมจากที่ไหน? คำตอบ: เราจะนำพวกมันมาจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น! ดังนั้น อัลกอริธึมในการค้นหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงเป็นดังนี้:

1. เราใช้สูตร 1

หรือรายละเอียดเพิ่มเติม:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
2. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่สอง
3. เราคำนวณโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
4. เรากำลังหาความยาวของเวกเตอร์ตัวแรก
5. เรากำลังหาความยาวของเวกเตอร์ตัวที่สอง
6. คูณผลลัพธ์ของจุดที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 5
7. เราหารผลลัพธ์ของจุดที่ 3 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 6 เราได้โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น
8. หากผลลัพธ์นี้ช่วยให้เราคำนวณมุมได้อย่างแม่นยำ เราจะมองหามัน
9. ไม่เช่นนั้น เราก็เขียนผ่านโคไซน์ส่วนโค้ง

เอาล่ะ ถึงเวลาไปยังปัญหาต่างๆ ต่อไป ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาให้กับสองข้อแรกโดยละเอียด ฉันจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาให้กับอีกข้อหนึ่ง สั้น ๆและสำหรับสองปัญหาสุดท้ายฉันจะให้คำตอบเท่านั้น คุณต้องทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง

งาน:

1. ทางด้านขวาของเตต-ระ-เอ-เร ให้หามุมระหว่างความสูงของเตต-ระ-เอ-ระกับด้านตรงกลาง

2. ปิรามีเดหกมุมทางขวามือ มีร้อยโอโนวะนิยะเท่ากัน และขอบข้างเท่ากัน จงหามุมระหว่างเส้น และ

3. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy ถ่านหินสี่ตัวที่ถูกต้องจะเท่ากัน ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงและถ้ามาจากการตัด - คุณอยู่ที่ pi-ra-mi-dy ที่กำหนด ประเด็นคือ se-re-di-on ของซี่โครง bo-co-second

4. ที่ขอบของลูกบาศก์มีจุดหนึ่ง ดังนั้น จงหามุมระหว่างเส้นตรง และ

5. ชี้ - บนขอบของลูกบาศก์ หามุมระหว่างเส้นตรงและ

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจัดเรียงงานตามลำดับนี้ ในขณะที่คุณยังไม่ได้เริ่มใช้วิธีพิกัด ฉันจะวิเคราะห์ตัวเลขที่ "มีปัญหา" มากที่สุดด้วยตัวเอง และปล่อยให้คุณจัดการกับคิวบ์ที่ง่ายที่สุด! คุณจะต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตัวเลขทั้งหมดทีละน้อยฉันจะเพิ่มความซับซ้อนของงานจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง

มาเริ่มแก้ไขปัญหากันเถอะ:

1. วาดจัตุรมุขวางไว้ในระบบพิกัดตามที่ผมแนะนำไปก่อนหน้านี้ เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ใบหน้าทั้งหมด (รวมทั้งฐานด้วย) จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดความยาวของด้านไว้ ผมจึงทำให้มันเท่ากันได้ ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าจัตุรมุขของเรา "ยืด" มากแค่ไหน? ฉันจะวาดส่วนสูงและค่ามัธยฐานในจัตุรมุขด้วย ระหว่างทางฉันจะวาดฐานของมัน (มันจะมีประโยชน์สำหรับเราด้วย)

ฉันต้องหามุมระหว่าง และ เรารู้อะไร? เรารู้แค่พิกัดของจุดเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ ตอนนี้เราคิดว่า: จุดหนึ่งคือจุดตัดของระดับความสูง (หรือเส้นแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม และจุดคือจุดที่ยกขึ้น จุดที่อยู่ตรงกลางของส่วน ในที่สุดเราก็ต้องหา: พิกัดของจุด: .

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด: พิกัดของจุด ดูที่รูป: เห็นได้ชัดว่าการประยุกต์จุดเท่ากับศูนย์ (จุดอยู่บนระนาบ) ลำดับของมันเท่ากัน (เนื่องจากเป็นค่ามัธยฐาน) การหาจุดอับของมันนั้นยากกว่า อย่างไรก็ตาม วิธีนี้สามารถกระทำได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พิจารณารูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของมันเท่ากัน และขาข้างหนึ่งของมันเท่ากัน จากนั้น:

ในที่สุดเราก็มี: .

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เห็นได้ชัดว่าการประยุกต์ของมันมีค่าเท่ากับศูนย์อีกครั้ง และพิกัดของมันก็เหมือนกับจุดนั่นเอง มาหาแอ๊บซิสซาของมันกันเถอะ สิ่งนี้ทำได้ค่อนข้างเล็กน้อยหากคุณจำได้ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยจุดตัดจะถูกแบ่งตามสัดส่วนนับจากด้านบน เนื่องจาก: ดังนั้น abscissa ที่จำเป็นของจุดคือ เท่ากับความยาวส่วนจะเท่ากับ: . ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

เรามาค้นหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate ตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด และแอปพลิเคชันจะเท่ากับความยาวของส่วน - นี่คือขาข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือส่วน - ขา มันถูกค้นหาด้วยเหตุผลที่ฉันเน้นด้วยตัวหนา:

จุดที่อยู่ตรงกลางของส่วน จากนั้นเราต้องจำสูตรพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน:

เพียงเท่านี้ เราก็สามารถค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้แล้ว:

ทุกอย่างพร้อมแล้ว: เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร:

ดังนั้น,

คำตอบ:

คุณไม่ควรกลัวคำตอบที่ "น่ากลัว" เช่นนี้ สำหรับปัญหา C2 นี่เป็นเรื่องธรรมดา ฉันค่อนข้างจะประหลาดใจกับคำตอบที่ "สวยงาม" ในส่วนนี้ อย่างที่คุณสังเกตเห็น ฉันไม่ได้หันไปใช้สิ่งอื่นใดนอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ เพื่อแก้ปัญหาสเตอริโอเมตริก ฉันใช้ค่าสเตอริโอเมตริกขั้นต่ำสุด กำไรในส่วนนี้จะ "ดับ" บางส่วนด้วยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่พวกมันค่อนข้างเป็นอัลกอริธึม!

2. ให้เราพรรณนาถึงปิรามิดหกเหลี่ยมปกติพร้อมกับระบบพิกัดและฐานของมัน:

เราต้องหามุมระหว่างเส้นกับ ดังนั้นงานของเราจึงลงมาเพื่อค้นหาพิกัดของจุด: . เราจะค้นหาพิกัดของสามจุดสุดท้ายโดยใช้ภาพวาดเล็กๆ และเราจะค้นหาพิกัดของจุดยอดผ่านพิกัดของจุดนั้น มีงานมากมายที่ต้องทำ แต่เราต้องเริ่มต้น!

ก) พิกัด: ชัดเจนว่าการนำไปใช้และการเรียงลำดับมีค่าเท่ากับศูนย์ มาหาแอบซิสซ่ากันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อนิจจา ในนั้นเรารู้แค่ด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งเท่ากัน เราจะพยายามค้นหาขา (เพราะชัดเจนว่าความยาวสองเท่าของขาจะทำให้เรามีจุดขาด) เราจะมองหามันได้อย่างไร? จำไว้ว่าเรามีรูปร่างแบบไหนที่ฐานของปิรามิด? นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติ มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน เราต้องหามุมแบบนั้นสักมุมหนึ่ง มีความคิดอะไรบ้าง? มีแนวคิดมากมาย แต่มีสูตร:

ผลรวมของมุมของ n-gon ปกติคือ .

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมปกติจึงเท่ากับองศา จากนั้นแต่ละมุมจะเท่ากับ:

มาดูภาพกันอีกครั้ง เห็นได้ชัดว่าส่วนนั้นเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม แล้วมุมก็เท่ากับองศา แล้ว:

แล้วมาจากไหน..

จึงมีพิกัด

b) ตอนนี้เราสามารถค้นหาพิกัดของจุดได้อย่างง่ายดาย: .

c) ค้นหาพิกัดของจุด เนื่องจากการตัดออกเกิดขึ้นพร้อมกับความยาวของส่วน จึงมีค่าเท่ากัน การค้นหาพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน: ถ้าเราเชื่อมต่อจุดและกำหนดจุดตัดของเส้นดังเช่น . (ก่อสร้างง่ายๆด้วยตัวเอง) ดังนั้น พิกัดของจุด B จึงเท่ากับผลรวมของความยาวของเซ็กเมนต์ ลองดูที่สามเหลี่ยมอีกครั้ง แล้ว

แล้วตั้งแต่นั้นมาจุดก็มีพิกัด

d) ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน พิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วพิสูจน์ว่า ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

e) ยังคงต้องหาพิกัดของจุดยอด เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate ตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด มาหาใบสมัครกัน ตั้งแต่นั้นมา. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามเงื่อนไขของปัญหาขอบด้านข้าง นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผม ความสูงของปิรามิดคือขา

จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด:

นั่นแหละ ผมมีพิกัดของจุดทั้งหมดที่ผมสนใจแล้ว ฉันกำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

คำตอบ:

ขอย้ำอีกครั้งว่า ในการแก้ปัญหานี้ ผมไม่ได้ใช้เทคนิคที่ซับซ้อนใดๆ นอกเหนือจากสูตรสำหรับผลรวมของมุมของ n-gon ปกติ เช่นเดียวกับนิยามของโคไซน์และไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดความยาวของขอบในปิรามิดอีกครั้ง ฉันจะถือว่ามันเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น เนื่องจากขอบทั้งหมดไม่เพียงแค่ขอบด้านข้างเท่านั้นที่เท่ากัน ดังนั้นที่ฐานของปิรามิดและฉันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ให้เราวาดปิรามิดเช่นเดียวกับฐานของมันบนระนาบโดยสังเกตข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในข้อความของปัญหา:

เรากำลังมองหามุมระหว่าง และ ฉันจะคำนวณสั้น ๆ เมื่อค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ คุณจะต้อง "ถอดรหัส" พวกเขา:

b) - ตรงกลางของส่วน พิกัด:

c) ฉันจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม ฉันสามารถหามันได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม

พิกัด:

d) - ตรงกลางของส่วน พิกัดของมันคือ

จ) พิกัดเวกเตอร์

f) พิกัดเวกเตอร์

g) มองหามุม:

ลูกบาศก์เป็นรูปที่ง่ายที่สุด ฉันแน่ใจว่าคุณจะคิดออกเอง คำตอบของปัญหาที่ 4 และ 5 มีดังนี้:

การหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

หมดเวลาไขปริศนาง่ายๆ แล้ว! ตอนนี้ตัวอย่างจะซับซ้อนยิ่งขึ้น หากต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. เราสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด
   ,
   ใช้ปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม
2. ใช้สองจุดค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
3. เราใช้สูตรเพื่อคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกับสูตรที่เราใช้ในการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นมาก โครงสร้างทางด้านขวาก็เหมือนเดิม และทางด้านซ้ายเรากำลังหาไซน์ ไม่ใช่โคไซน์เหมือนเมื่อก่อน มีการเพิ่มการกระทำที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่ง - ค้นหาสมการของเครื่องบิน

อย่าได้ผัดวันประกันพรุ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

1. ปริซึมตรงหลักแต่วานิเอมคือเราเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีค่าเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

2. ในรูปสี่เหลี่ยมพาร์รัล-เลอ-เลอ-ปี-เป-เดอ จากทิศตะวันตก จงหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

3. ในปริซึมหกมุมด้านขวา ขอบทุกด้านจะเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

4. ในรูปสามเหลี่ยมด้านขวา pi-ra-mi-de โดยมี os-no-va-ni-em ของซี่โครงที่รู้จัก หามุม ob-ra-zo-van - แบนในฐานและตรงผ่านสีเทา ซี่โครงและ

5. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวากับจุดยอดจะเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบหากจุดอยู่ด้านข้างของขอบปิรามิดี

ขอย้ำอีกครั้งว่าผมจะแก้ปัญหาสองข้อแรกโดยละเอียด ข้อที่สามสั้นๆ และเหลือสองข้อสุดท้ายให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง นอกจากนี้ คุณต้องจัดการกับปิรามิดรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมแล้ว แต่ยังไม่ถึงกับปริซึม

โซลูชั่น:

1. ให้เราพรรณนาถึงปริซึมและฐานของมัน มารวมเข้ากับระบบพิกัดและบันทึกข้อมูลทั้งหมดที่ให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหา:

ฉันขอโทษสำหรับการไม่ปฏิบัติตามสัดส่วนบางอย่าง แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้จริงๆ แล้วไม่สำคัญนัก เครื่องบินเป็นเพียง "ผนังด้านหลัง" ของปริซึมของฉัน ก็เพียงพอที่จะเดาได้ว่าสมการของระนาบดังกล่าวมีรูปแบบ:

อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยตรง:

ลองเลือกจุดสามจุดบนระนาบนี้ตามอำเภอใจ: ตัวอย่างเช่น

มาสร้างสมการของระนาบกัน:

แบบฝึกหัดสำหรับคุณ: คำนวณปัจจัยกำหนดนี้ด้วยตัวเอง คุณประสบความสำเร็จหรือไม่? จากนั้นสมการของระนาบจะเป็นดังนี้:

หรือเพียงแค่

ดังนั้น,

เพื่อแก้ตัวอย่าง ฉันจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากจุดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของพิกัด พิกัดของเวกเตอร์จึงจะตรงกับพิกัดของจุด ในกรณีนี้ เราต้องค้นหาพิกัดของจุดก่อน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม ลองวาดความสูง (หรือที่เรียกว่าค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง) จากจุดยอดกัน เนื่องจากพิกัดของจุดมีค่าเท่ากับ เพื่อที่จะหาค่าขาดของจุดนี้ เราต้องคำนวณความยาวของส่วนนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราจะได้:

จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด:

จุดคือจุดที่ "ยกขึ้น":

จากนั้นพิกัดเวกเตอร์คือ:

คำตอบ:

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยากโดยพื้นฐานในการแก้ไขปัญหาดังกล่าว ในความเป็นจริง กระบวนการนี้ทำให้ง่ายขึ้นอีกเล็กน้อยด้วย "ความตรง" ของรูปร่าง เช่น ปริซึม ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างถัดไป:

2. วาดเส้นขนานวาดระนาบและเส้นตรงและวาดฐานล่างแยกกัน:

ขั้นแรก เราค้นหาสมการของระนาบ: พิกัดของจุดสามจุดที่อยู่ในนั้น:

(พิกัดสองตัวแรกจะได้มาในลักษณะที่ชัดเจน และคุณสามารถหาพิกัดสุดท้ายจากรูปภาพจากจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย) จากนั้นเราเขียนสมการของระนาบ:

เราคำนวณ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์นำทาง: เห็นได้ชัดว่าพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุดใช่ไหม จะหาพิกัดได้อย่างไร? นี่คือพิกัดของจุด ที่ถูกยกขึ้นตามแกนแอปพลิเคชันทีละหนึ่ง! . จากนั้นเรามองหามุมที่ต้องการ:

คำตอบ:

3. วาดปิรามิดหกเหลี่ยมปกติแล้ววาดระนาบและเส้นตรงในนั้น

การวาดเครื่องบินในที่นี้อาจเป็นปัญหา ไม่ต้องพูดถึงการแก้ปัญหานี้ แต่วิธีการประสานงานไม่สนใจ! ความเก่งกาจของมันคือข้อได้เปรียบหลัก!

เครื่องบินจะผ่านจุดสามจุด: . เรากำลังมองหาพิกัดของพวกเขา:

1) . ค้นหาพิกัดของสองจุดสุดท้ายด้วยตัวเอง คุณจะต้องแก้ปัญหาปิรามิดหกเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้!

2) เราสร้างสมการของระนาบ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์: . (ดูปัญหาปิรามิดสามเหลี่ยมอีกครั้ง!)

3) มองหามุม:

คำตอบ:

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรที่ยากเหนือธรรมชาติในงานเหล่านี้ คุณเพียงแค่ต้องระวังรากให้มาก ฉันจะให้คำตอบสำหรับปัญหาสองข้อสุดท้ายเท่านั้น:

อย่างที่คุณเห็นเทคนิคในการแก้ปัญหานั้นเหมือนกันทุกที่ ภารกิจหลักคือการค้นหาพิกัดของจุดยอดและแทนที่เป็นสูตรบางอย่าง เรายังต้องพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่งสำหรับการคำนวณมุม กล่าวคือ:

การคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

อัลกอริธึมการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. ใช้จุดสามจุดเพื่อค้นหาสมการของระนาบแรก:
2. ใช้อีกสามจุดที่เหลือเรามองหาสมการของระนาบที่สอง:
3. เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้ามาก โดยเรามองหามุมระหว่างเส้นตรงและระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ดังนั้นการจดจำสิ่งนี้จึงไม่ใช่เรื่องยาก มาดูการวิเคราะห์งานกันดีกว่า:

1. ด้านข้างของฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวาเท่ากัน และเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างเท่ากัน ค้นหามุมระหว่างระนาบกับระนาบของแกนของปริซึม

2. ปิรามิเดสี่มุมด้านขวาซึ่งมีขอบทั้งหมดเท่ากัน หาไซน์ของมุมระหว่างระนาบกับกระดูกระนาบ โดยผ่านจุดต่อเพน-ดิ-คู- โกหกแต่ตรงไปตรงมา

3. ในปริซึมสี่มุมปกติ ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน มีจุดที่ขอบจาก-me-che-on ดังนั้น หามุมระหว่างระนาบกับ

4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวา ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน มีจุดบนขอบจากจุดนั้น หามุมระหว่างระนาบและ

5. ในลูกบาศก์ หา co-si-nus ของมุมระหว่างระนาบกับ

วิธีแก้ไขปัญหา:

1. ฉันวาดปริซึมสามเหลี่ยมปกติ (สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ฐาน) แล้วทำเครื่องหมายระนาบที่ปรากฏในคำชี้แจงปัญหา:

เราจำเป็นต้องค้นหาสมการของระนาบสองระนาบ: สมการของฐานนั้นไม่สำคัญ: คุณสามารถเขียนดีเทอร์มิแนนต์ที่สอดคล้องกันได้โดยใช้จุดสามจุด แต่ฉันจะเขียนสมการทันที:

ตอนนี้ เรามาค้นหาสมการที่ Point มีพิกัด Point - เนื่องจากเป็นค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม จึงหาได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด: เรามาค้นหาการประยุกต์ใช้จุดกัน โดยพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากนั้นเราจะได้พิกัดต่อไปนี้ เราเขียนสมการของระนาบ

เราคำนวณมุมระหว่างระนาบ:

คำตอบ:

2. วาดภาพ:

สิ่งที่ยากที่สุดคือการเข้าใจว่านี่คือเครื่องบินลึกลับประเภทใดที่ผ่านจุดนั้นในแนวตั้งฉาก สิ่งสำคัญคือมันคืออะไร? สิ่งสำคัญคือความใส่ใจ! ที่จริงแล้วเส้นนั้นตั้งฉากกัน เส้นตรงก็ตั้งฉากเช่นกัน จากนั้นระนาบที่ผ่านเส้นทั้งสองนี้จะตั้งฉากกับเส้นนั้น และอีกอย่างคือจะผ่านจุดนั้นด้วย เครื่องบินลำนี้ก็ผ่านยอดปิรามิดด้วย จากนั้นเครื่องบินที่ต้องการ - และเครื่องบินก็มอบให้เราแล้ว เรากำลังมองหาพิกัดของจุด

เราค้นหาพิกัดของจุดผ่านจุด จากภาพเล็ก ๆ อนุมานได้ง่าย ๆ ว่าพิกัดของจุดจะเป็นดังนี้ จะต้องค้นหาพิกัดด้านบนของปิรามิดอย่างไร? คุณต้องคำนวณความสูงของมันด้วย ซึ่งทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ขั้นแรกให้พิสูจน์สิ่งนั้น (เพียงเล็กน้อยจากสามเหลี่ยมเล็กๆ ที่ก่อรูปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ฐาน) เนื่องจากตามเงื่อนไขเรามี:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมแล้ว: พิกัดจุดยอด:

เราเขียนสมการของระนาบ:

คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณปัจจัยกำหนดอยู่แล้ว คุณจะได้รับ:

หรืออย่างอื่น (ถ้าเราคูณทั้งสองข้างด้วยรากของทั้งสอง)

ทีนี้ลองหาสมการของระนาบ:

(คุณยังไม่ลืมว่าเราหาสมการระนาบได้อย่างไร ใช่ไหม? ถ้าไม่เข้าใจว่าค่าลบนี้มาจากไหน ให้กลับไปหานิยามของสมการระนาบ! มันมักจะออกมาก่อนหน้านั้นเสมอ เครื่องบินของฉันเป็นของต้นกำเนิดของพิกัด!)

เราคำนวณปัจจัยกำหนด:

(คุณอาจสังเกตได้ว่าสมการของระนาบเกิดขึ้นพร้อมกับสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ แล้วลองคิดดูว่าทำไม!)

ทีนี้ลองคำนวณมุม:

เราจำเป็นต้องค้นหาไซน์:

คำตอบ:

3. คำถามหากิน: คุณคิดว่าปริซึมสี่เหลี่ยมคืออะไร นี่เป็นเพียงรูปขนานที่คุณรู้จักดี! มาวาดรูปกันเถอะ! คุณไม่จำเป็นต้องอธิบายฐานแยกกันด้วยซ้ำ ที่นี่มีประโยชน์เพียงเล็กน้อย:

ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เครื่องบินเขียนในรูปสมการ:

ตอนนี้เรามาสร้างเครื่องบินกันดีกว่า

เราสร้างสมการของระนาบทันที:

กำลังมองหามุม:

ตอนนี้คำตอบของปัญหาสองข้อสุดท้าย:

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะพักสักหน่อย เพราะคุณและฉันเก่งมากและทำงานได้ดีมาก!

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับสูง

ในบทความนี้เราจะหารือกับคุณเกี่ยวกับปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีพิกัด: ปัญหาการคำนวณระยะทาง กล่าวคือเราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้:

1. การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน

ฉันได้สั่งงานเหล่านี้เพื่อเพิ่มความยากขึ้น กลายเป็นว่าหาได้ง่ายที่สุด ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบและสิ่งที่ยากที่สุดคือการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นข้าม. แม้ว่าแน่นอนว่าไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้! อย่าผัดวันประกันพรุ่งและดำเนินการพิจารณาปัญหาประเภทแรกทันที:

การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

เราต้องแก้ไขปัญหานี้อย่างไร?

1. พิกัดจุด

ดังนั้นทันทีที่เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด เราจะใช้สูตร:

คุณควรรู้อยู่แล้วว่าเราสร้างสมการของระนาบจากปัญหาก่อนหน้าที่ฉันพูดถึงในส่วนที่แล้วได้อย่างไร มาตรงไปที่ภารกิจกันดีกว่า โครงการมีดังนี้: 1, 2 - ฉันช่วยคุณตัดสินใจและในรายละเอียดบางอย่าง 3, 4 - เฉพาะคำตอบเท่านั้นที่คุณดำเนินการแก้ปัญหาด้วยตัวเองและเปรียบเทียบ เริ่มกันเลย!

งาน:

1. ให้ลูกบาศก์ ความยาวของขอบลูกบาศก์เท่ากัน หาระยะทางจากเซเรดินาจากจุดตัดถึงระนาบ

2. เมื่อพิจารณาปิรามีใช่แล้ว ถ่านหินสี่ก้อนทางขวา ด้านข้างของด้านจะเท่ากับฐาน ค้นหาระยะทางจากจุดถึงระนาบโดยที่ - กำหนดใหม่บนขอบ

3. ในรูปสามเหลี่ยมด้านขวา ปิรามิเด กับออส-โน-วา-นิ-เอม ขอบด้านข้างจะเท่ากัน และร้อยโรบนออส-โน-วา-เนียจะเท่ากัน หาระยะทางจากด้านบนถึงระนาบ

4. ในปริซึมหกเหลี่ยมด้านขวา ขอบทุกด้านจะเท่ากัน หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

โซลูชั่น:

1. วาดลูกบาศก์ที่มีขอบด้านเดียว สร้างส่วนและระนาบ ระบุตรงกลางของส่วนด้วยตัวอักษร

.

ขั้นแรก มาเริ่มด้วยวิธีง่ายๆ: ค้นหาพิกัดของจุด ตั้งแต่นั้นมา (จำพิกัดตรงกลางส่วน!)

ตอนนี้เราเขียนสมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด

\[\ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มค้นหาระยะทางได้แล้ว:

2. เราเริ่มต้นอีกครั้งด้วยภาพวาดที่เราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด!

สำหรับปิรามิด การแยกฐานออกจากกันจะเป็นประโยชน์

แม้ว่าฉันจะวาดเหมือนอุ้งเท้าไก่ แต่ก็ไม่ได้ขัดขวางเราจากการแก้ปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย!

ตอนนี้การค้นหาพิกัดของจุดเป็นเรื่องง่าย

เนื่องจากพิกัดของจุดนั้น

2. เนื่องจากพิกัดของจุด a อยู่ตรงกลางของส่วน ดังนั้น

ไม่มีปัญหาใด ๆ เราสามารถค้นหาพิกัดของจุดอีกสองจุดบนเครื่องบินได้ เราสร้างสมการสำหรับเครื่องบินและทำให้ง่ายขึ้น:

\[\ซ้าย| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(อาร์เรย์)) \right|) \right| = 0\]

เนื่องจากจุดมีพิกัด: เราจึงคำนวณระยะทาง:

คำตอบ (หายากมาก!):

คุณคิดออกแล้วหรือยัง? สำหรับฉันดูเหมือนว่าทุกอย่างที่นี่เป็นเพียงเรื่องทางเทคนิคเหมือนกับในตัวอย่างที่เราดูในส่วนที่แล้ว ดังนั้นฉันแน่ใจว่าหากคุณเชี่ยวชาญเนื้อหานั้นแล้ว มันก็จะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณที่จะแก้ไขปัญหาอีกสองข้อที่เหลือ ฉันจะให้คำตอบแก่คุณ:

การคำนวณระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ

อันที่จริงไม่มีอะไรใหม่ที่นี่ เส้นตรงและระนาบสามารถวางตำแหน่งให้สัมพันธ์กันได้อย่างไร? พวกมันมีความเป็นไปได้ทางเดียวเท่านั้น: ตัดกัน หรือเส้นตรงขนานกับระนาบ คุณคิดว่าระยะห่างจากเส้นตรงถึงระนาบที่เส้นตรงนี้ตัดกันคือเท่าใด สำหรับฉันดูเหมือนว่าชัดเจนว่าระยะทางดังกล่าวเท่ากับศูนย์ ไม่ใช่กรณีที่น่าสนใจ

กรณีที่สองนั้นซับซ้อนกว่า: ระยะทางที่นี่ไม่เป็นศูนย์อยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเส้นขนานกับระนาบ ดังนั้นแต่ละจุดของเส้นจึงมีระยะห่างจากระนาบนี้เท่ากัน:

ดังนั้น:

ซึ่งหมายความว่างานของฉันถูกลดขนาดลงเหลืองานก่อนหน้า: เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง ค้นหาสมการของระนาบ และคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ ในความเป็นจริง งานดังกล่าวหาได้ยากมากในการสอบ Unified State ฉันจัดการเพื่อค้นหาปัญหาเดียวเท่านั้น และข้อมูลในนั้นก็ใช้วิธีพิกัดไม่ได้กับมันมากนัก!

ตอนนี้เรามาดูปัญหาอื่นที่สำคัญกว่ากัน:

การคำนวณระยะทางของจุดถึงเส้น

เราต้องการอะไร?

1. พิกัดของจุดที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

2. พิกัดของจุดใดๆ ที่อยู่ในเส้นตรง

3. พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

เราใช้สูตรอะไรคะ?

ความหมายของตัวหารของเศษส่วนนี้ควรชัดเจนสำหรับคุณ นี่คือความยาวของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง นี่เป็นตัวเศษที่ยุ่งยากมาก! นิพจน์หมายถึงโมดูลัส (ความยาว) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ และวิธีการคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราศึกษาในส่วนก่อนหน้าของงาน รีเฟรชความรู้ของคุณ ตอนนี้เราต้องการมันอย่างมาก!

ดังนั้นอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

2. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

3. สร้างเวกเตอร์

4. สร้างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

5. คำนวณผลคูณเวกเตอร์

6. เราค้นหาความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์:

7. คำนวณระยะทาง:

เรามีงานต้องทำอีกมาก และตัวอย่างจะค่อนข้างซับซ้อน! ดังนั้นตอนนี้มุ่งความสนใจของคุณไปซะ!

1. ให้ปิระมีดาสามเหลี่ยมมุมฉากมียอด ร้อยโรตามปิรามีดี เท่ากับ คุณก็เท่ากัน จงหาระยะห่างจากขอบสีเทาถึงเส้นตรง โดยที่จุด และคือขอบสีเทา และจากสัตวแพทยศาสตร์

2. ความยาวของซี่โครงและเส้นตรงมุมไม่ไป พาร์รัล-เลอ-เลอ-ปิ-เป-ดา เท่ากัน และจงหาระยะห่างจากบนถึงเส้นตรง

3. ในปริซึมตรงฐานหกเหลี่ยม ขอบทุกด้านเท่ากัน จงหาระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง

โซลูชั่น:

1. เราทำการวาดภาพอย่างประณีตโดยทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด:

เรามีงานต้องทำอีกมาก! ก่อนอื่นฉันอยากจะอธิบายด้วยคำพูดว่าเราจะหาอะไรและเรียงลำดับอย่างไร:

1.พิกัดจุดและ

2. พิกัดจุด

3.พิกัดจุดและ

4. พิกัดของเวกเตอร์และ

5. ผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

6. ความยาวเวกเตอร์

7. ความยาวของผลคูณเวกเตอร์

8. ระยะทางจากถึง

เรามีงานรออยู่ข้างหน้าอีกมาก! เรามาพับแขนเสื้อกันเถอะ!

1. ในการหาพิกัดความสูงของปิรามิด เราต้องรู้พิกัดของจุดนั้น การประยุกต์ของมันคือ 0 และพิกัดของมันเท่ากับ abscissa ของมันเท่ากับความยาวของเซกเมนต์ เนื่องจาก คือความสูงของ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยแบ่งตามอัตราส่วน นับจากจุดยอด จากตรงนี้ ในที่สุดเราก็ได้พิกัด:

พิกัดจุด

2. - ตรงกลางของเซ็กเมนต์

3. - ตรงกลางของเซ็กเมนต์

จุดกึ่งกลางของส่วน

4.พิกัด

พิกัดเวกเตอร์

5. คำนวณผลคูณเวกเตอร์:

6. ความยาวของเวกเตอร์: วิธีที่ง่ายที่สุดในการแทนที่คือ ส่วนนั้นคือเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ดังนั้น.

7. คำนวณความยาวของผลคูณเวกเตอร์:

8. ในที่สุด เราก็พบระยะทาง:

เออนั่นแหละ! ฉันจะบอกคุณอย่างตรงไปตรงมา: การแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีดั้งเดิม (ผ่านการก่อสร้าง) จะเร็วกว่ามาก แต่ที่นี่ฉันลดทุกอย่างให้เป็นอัลกอริธึมสำเร็จรูป! ฉันคิดว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหาชัดเจนสำหรับคุณ ดังนั้นฉันจะขอให้คุณแก้ไขปัญหาสองข้อที่เหลือด้วยตัวเอง มาเปรียบเทียบคำตอบกัน?

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าการแก้ปัญหาเหล่านี้ผ่านการก่อสร้างง่ายกว่า (เร็วกว่า) แทนที่จะหันไปพึ่ง วิธีการประสานงาน. ฉันสาธิตวิธีแก้ปัญหานี้เพื่อแสดงให้คุณเห็นเท่านั้น วิธีการสากลซึ่งช่วยให้คุณ “สร้างอะไรไม่เสร็จ”

สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาระดับสุดท้าย:

การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน

ที่นี่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะคล้ายกับขั้นตอนก่อนหน้า เรามีอะไร:

3. เวกเตอร์ใดๆ ที่เชื่อมจุดของเส้นแรกและเส้นที่สอง:

เราจะหาระยะห่างระหว่างเส้นได้อย่างไร?

สูตรมีดังนี้:

ตัวเศษคือโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสม (เราแนะนำไปแล้วในส่วนที่แล้ว) และตัวส่วนก็เหมือนกับในสูตรก่อนหน้า (โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ระยะห่างระหว่างที่เรา กำลังมองหา).

ฉันจะเตือนคุณว่า

แล้ว สูตรสำหรับระยะทางสามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

นี่คือดีเทอร์มิแนนต์หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์! แม้ว่าพูดตามตรงว่าฉันไม่มีเวลาตลกที่นี่! สูตรนี้อันที่จริงแล้ว ยุ่งยากมากและนำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ถ้าฉันเป็นคุณ ฉันจะใช้มันเป็นทางเลือกสุดท้ายเท่านั้น!

ลองแก้ไขปัญหาเล็กน้อยโดยใช้วิธีการข้างต้น:

1. ในปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ขอบทุกด้านเท่ากัน จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง และ

2. เมื่อพิจารณาจากปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ขอบทั้งหมดของฐานจะเท่ากับส่วนที่ทะลุผ่านโครงโครง และโครงท่อ se-re-di-well จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับ

ฉันตัดสินใจอย่างแรก และจากข้อมูลนั้น คุณเป็นคนตัดสินใจอย่างที่สอง!

1. ฉันวาดปริซึมและทำเครื่องหมายเส้นตรงและ

พิกัดจุด C:แล้ว

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(อาร์เรย์))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

เราคำนวณผลคูณเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์และ

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(อาร์เรย์)\end(อาร์เรย์) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ตอนนี้เราคำนวณความยาวของมัน:

คำตอบ:

ตอนนี้พยายามทำงานที่สองให้เสร็จสิ้นอย่างระมัดระวัง คำตอบที่ได้จะเป็น: .

พิกัดและเวกเตอร์ คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทาง - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์เขียนแทนด้วยหรือ

มูลค่าสัมบูรณ์เวกเตอร์ - ความยาวของส่วนที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ แสดงว่า.

พิกัดเวกเตอร์:

,
จุดสิ้นสุดของ vector \displaystyle a อยู่ที่ไหน

ผลรวมของเวกเตอร์: .

ผลคูณของเวกเตอร์:

ผลคูณดอทของเวกเตอร์:

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา จะมีการกำหนดแบบกราฟิกโดยใช้อัลกอริธึมที่ให้ไว้ด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกย้ายไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้วิธีการเปลี่ยนการฉายภาพมุมฉาก
2. จากจุดหนึ่ง เส้นตั้งฉากจะถูกลากไปยังเส้นตรง โครงสร้างนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการฉายภาพมุมฉาก
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนเส้นโครงหรือการใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็น การวาดภาพที่ซับซ้อนจุด M และเส้น b กำหนดโดยซีดีส่วน คุณต้องค้นหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือย้ายเส้นตรงไปยังตำแหน่ง ขนานไปกับเครื่องบินการคาดการณ์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากทำการเปลี่ยนแปลงแล้ว ระยะห่างที่แท้จริงระหว่างจุดและเส้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ในอวกาศ

ผลลัพธ์ของการก่อสร้างระยะแรกแสดงไว้ด้านล่าง รูปนี้แสดงให้เห็นว่าระนาบส่วนหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ใน ระบบใหม่(P 1, P 4) จุด C"" 1, D"" 1, M"" 1 อยู่ที่ระยะห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จากแกน X

ดำเนินการส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ไปที่เส้นตรง b"" 1 เนื่องจากมุมขวา MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายลงบนระนาบ P 4 ขนาดเต็ม. ใช้สายสื่อสารกำหนดตำแหน่งของจุด N" และดำเนินการฉายภาพ M"N" ของส่วน MN

ในขั้นตอนสุดท้ายคุณจะต้องกำหนดขนาดของส่วน MN จากการคาดการณ์ M"N" และ M"" 1 N"" 1 ในการทำเช่นนี้เราสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งขา N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (YM 1 – Y N 1) ของระยะทางของจุด M" และ N" จากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

• ขนานไปกับแผ่น CD เราแนะนำระนาบส่วนหน้าใหม่ P 4 มันตัดกัน P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C"" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C"" 1 D"" 1 เราสร้างระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 โดยที่เส้นตรง b ถูกฉายไปที่จุด C" 2 = b" 2.
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้น b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M" 2 C" 2 ซึ่งระบุด้วยสีแดง

งานที่คล้ายกัน: