อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล วิธีแก้ตัวอย่าง การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนนิพจน์ตัวเลข พีชคณิต หรือฟังก์ชัน ข้อความข้างต้นมีผลใช้กับการตัดสินใจโดยเฉพาะ ในเวอร์ชันของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาประเภทนี้จะรวมถึงงาน C3 โดยเฉพาะ การเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหางาน C3 มีความสำคัญไม่เพียงแต่เพื่อความสำเร็จเท่านั้น ผ่านการสอบ Unified Stateแต่ด้วยเหตุผลที่ว่าทักษะนี้จะมีประโยชน์เมื่อเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมปลายด้วย

เมื่อเสร็จสิ้นภารกิจ C3 คุณต้องตัดสินใจ ประเภทต่างๆสมการและอสมการ ในหมู่พวกเขามีเหตุผล, ไม่ลงตัว, เอ็กซ์โปเนนเชียล, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, โมดูลที่มี (ค่าสัมบูรณ์) เช่นเดียวกับโมดูลที่รวมกัน บทความนี้จะกล่าวถึงสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการประเภทหลักๆ ตลอดจนวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเหล่านี้ อ่านเกี่ยวกับการแก้สมการและอสมการประเภทอื่นๆ ในส่วน "" ในบทความเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหา C3 จาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์

ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์เจาะจง สมการเลขชี้กำลังและอสมการในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ ฉันขอแนะนำให้คุณทบทวนบางอย่าง วัสดุทางทฤษฎีซึ่งเราจะต้อง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?

หน้าที่ของแบบฟอร์ม ย = เอ็กซ์, ที่ไหน ก> 0 และ ก≠ 1 ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = เอ็กซ์:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ เลขชี้กำลัง:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง)

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

บ่งชี้เรียกว่าสมการซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักจะพบได้เฉพาะในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลังคุณต้องรู้และสามารถใช้ทฤษฎีบทง่ายๆ ต่อไปนี้ได้:

ทฤษฎีบท 1 สมการเลขชี้กำลัง ก ฉ(x) = ก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำสูตรพื้นฐานและการดำเนินการด้วยองศา:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:

สารละลาย:เราใช้สูตรและการทดแทนข้างต้น:

สมการจะกลายเป็น:

การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองที่ได้จะเป็นค่าบวก:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีสองราก เราพบพวกเขา:

ไปสู่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มาแก้อันที่สองกัน:

เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทที่ 1 เราจะไปยังสมการที่เทียบเท่ากัน: x= 3 นี่จะเป็นคำตอบของงาน

คำตอบ: x = 3.

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:

สารละลาย:สมการไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับช่วงของค่าที่อนุญาต เนื่องจากนิพจน์รากนั้นเหมาะสมกับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = 9 4 -xบวกและไม่เท่ากับศูนย์)

เราแก้สมการด้วยการแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการคูณและการหารยกกำลัง:

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดดำเนินการตามทฤษฎีบทที่ 1

คำตอบ:x= 6.

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:

สารละลาย:ทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมสามารถหารด้วย 0.2 x- การเปลี่ยนแปลงนี้จะเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในโดเมนของคำจำกัดความ) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

สารละลาย:เราลดความซับซ้อนของสมการให้เป็นสมการเบื้องต้นโดยใช้การแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการหารและการคูณกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 xดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เป็นการแปลงที่เทียบเท่า เนื่องจากนิพจน์นี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ x.

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:

สารละลาย:การทำงาน ย = 3xยืนอยู่ทางด้านซ้ายของสมการกำลังเพิ่มขึ้น การทำงาน ย = —x-2/3 ทางด้านขวาของสมการกำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าหากกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน จะมีจุดมากที่สุดเพียงจุดเดียว ในกรณีนี้ มันง่ายที่จะเดาว่ากราฟตัดกันที่จุดนั้น x= -1. จะไม่มีรากอื่น

คำตอบ: x = -1.

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:

สารละลาย:เราทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยการแปลงที่เท่ากัน โดยคำนึงถึงทุกที่ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ อย่างเคร่งครัด xและใช้กฎในการคำนวณผลคูณและผลหารของกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นบทความ:

คำตอบ: x = 2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

บ่งชี้เรียกว่าอสมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2ถ้า ก> 1 แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x- ถ้า 0< ก < 1, то показательное неравенство ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).

ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:ขอนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมในรูปแบบ:

ลองหารทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย 3 2 กัน xในกรณีนี้ (เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชัน ย= 3 2x) เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ลองใช้การทดแทน:

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือช่วง:

เมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ความไม่เท่าเทียมกันทางด้านซ้ายจึงเป็นไปตามค่าอัตโนมัติ ด้วยการใช้คุณสมบัติที่รู้จักกันดีของลอการิทึม เราจึงมุ่งไปสู่อสมการที่เทียบเท่ากัน:

เนื่องจากฐานของระดับเป็นตัวเลขที่มากกว่า 1 เทียบเท่า (ตามทฤษฎีบท 2) จึงเป็นการเปลี่ยนไปสู่อสมการต่อไปนี้:

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:โดยใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลัง เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ:

ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

เมื่อคำนึงถึงการทดแทนนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

ดังนั้นค่าของตัวแปรต่อไปนี้จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ที:

จากนั้นเมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากฐานของระดับนี้มากกว่า 1 การเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันจึงจะเท่ากัน (ตามทฤษฎีบท 2):

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์:

ค่านี้จะมากกว่าศูนย์เสมอ (เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวก) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ เราได้รับ:

t อยู่ในช่วง:

เมื่อพิจารณาถึงการทดแทนแบบย้อนกลับ เราพบว่าอสมการเดิมแบ่งออกเป็นสองกรณี:

อสมการประการแรกไม่มีทางแก้ได้เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มาแก้อันที่สองกัน:

ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

สาขาพาราโบลา ย = 2x+2-x 2 ชี้ลง ดังนั้นจึงถูกจำกัดจากด้านบนด้วยค่าที่มาถึงที่จุดยอด:

สาขาพาราโบลา ย = x 2 -2x+2 ในตัวบ่งชี้ชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งหมายความว่ามันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่มันไปถึงจุดยอด:

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็ปรากฏว่ามีขอบเขตจากด้านล่างด้วย ย = 3 x 2 -2x+2 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ มันถึงค่าที่น้อยที่สุดที่จุดเดียวกับพาราโบลาในเลขชี้กำลัง และค่านี้คือ 3 1 = 3 ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทางด้านซ้ายและฟังก์ชันทางด้านขวาใช้ค่านั้น เท่ากับ 3 (จุดตัดของช่วงค่าของฟังก์ชันเหล่านี้คือตัวเลขนี้เท่านั้น) เงื่อนไขนี้จบที่จุดเดียว x = 1.

คำตอบ: x= 1.

เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังและอสมการจำเป็นต้องฝึกฝนการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง อุปกรณ์ช่วยสอนต่างๆ หนังสือปัญหาในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ชุดปัญหาการแข่งขัน ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน รวมถึงบทเรียนตัวต่อตัวกับครูสอนพิเศษมืออาชีพสามารถช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ได้ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวและผลการสอบที่ยอดเยี่ยม

เซอร์เกย์ วาเลรีวิช

ป.ล. เรียนแขกทุกท่าน! กรุณาอย่าเขียนคำขอเพื่อแก้สมการของคุณในความคิดเห็น น่าเสียดายที่ฉันไม่มีเวลาสำหรับเรื่องนี้เลย ข้อความดังกล่าวจะถูกลบ โปรดอ่านบทความ บางทีคุณอาจพบคำตอบสำหรับคำถามที่ไม่อนุญาตให้คุณแก้ไขงานด้วยตัวเองในนั้น

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "สมการเลขชี้กำลังและอสมการเลขชี้กำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

นิยามของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

พวกเราศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรียนรู้คุณสมบัติของมัน และสร้างกราฟ วิเคราะห์ตัวอย่างสมการที่พบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง วันนี้เราจะศึกษาสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คำนิยาม. สมการในรูปแบบ: $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง

เมื่อนึกถึงทฤษฎีบทที่เราศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เราสามารถแนะนำทฤษฎีบทใหม่ได้:
ทฤษฎีบท. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เทียบเท่ากับสมการ $f(x)=g(x) $.

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ:
ก) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ค) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$
สารละลาย.
ก) เรารู้ดีว่า $27=3^3$
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $3^(3x-3)=3^3$
เมื่อใช้ทฤษฎีบทข้างต้น เราพบว่าสมการของเราลดลงเหลือสมการ $3x-3=3$ เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ $x=2$
คำตอบ: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
จากนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

C) สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ: $x^2-6x=-3x+18$
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ และ $x_2=-3$.
คำตอบ: $x_1=6$ และ $x_2=-3$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$
สารละลาย:
ลองทำชุดการกระทำตามลำดับและนำสมการทั้งสองข้างมาอยู่บนฐานเดียวกัน
มาดำเนินการหลายอย่างทางด้านซ้าย:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$
มาดูทางด้านขวากันดีกว่า:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$
สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $9^x+3^(x+2)-36=0$
สารละลาย:
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกัน โดยให้ $a=3^x$
ในตัวแปรใหม่ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: $a^2+9a-36=0$
$(ก+12)(ก-3)=0$.
$a_1=-12$ และ $a_2=3$.
เรามาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบย้อนกลับกัน: $3^x=-12$ และ $3^x=3$
ในบทเรียนที่แล้วเราได้เรียนรู้ว่านิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถรับค่าบวกได้เท่านั้น จำกราฟไว้ด้วย ซึ่งหมายความว่าสมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบเดียว: $x=1$
คำตอบ: $x=1$.

เรามาเตือนความจำถึงวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. วิธีกราฟิกเราแสดงทั้งสองด้านของสมการในรูปแบบของฟังก์ชันและสร้างกราฟ ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ (เราใช้วิธีนี้ในบทเรียนที่แล้ว)
2. หลักการความเท่าเทียมกันของตัวชี้วัดหลักการนี้ตั้งอยู่บนพื้นฐานของความจริงที่ว่าสองนิพจน์ที่มีฐานเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองศา (เลขยกกำลัง) ของฐานเหล่านี้เท่ากันเท่านั้น $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. วิธีการแทนที่ตัวแปรควรใช้วิธีนี้หากสมการเมื่อแทนที่ตัวแปร ทำให้รูปแบบง่ายขึ้นและแก้ได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการ: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12 \end (กรณี)$.
สารละลาย.
ลองพิจารณาทั้งสองสมการของระบบแยกกัน:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3ป)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
พิจารณาสมการที่สอง:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ลองใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ให้ $y=2^(x+y)$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ และ $y_2=-3$.
มาดูตัวแปรเริ่มต้นกันดีกว่า จากสมการแรกเราจะได้ $x+y=2$ สมการที่สองไม่มีคำตอบ จากนั้นระบบสมการเริ่มต้นของเราก็เทียบเท่ากับระบบ: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
ลบอันที่สองจากสมการแรก เราจะได้: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
$\begin (กรณี) y=-1, \\ x=3 \end (กรณี)$.
คำตอบ: $(3;-1)$.

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันกันดีกว่า เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันจำเป็นต้องคำนึงถึงพื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญา มีสองสถานการณ์ที่เป็นไปได้สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท. ถ้า $a>1$ ดังนั้นอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))>a^(g(x))$ จะเท่ากับอสมการ $f(x)>g(x)$
ถ้า $0 a^(g(x))$ เทียบเท่ากับอสมการ $f(x)

ตัวอย่าง.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $3^(2x+3)>81$
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
สารละลาย.
ก) $3^(2x+3)>81$
$3^(2x+3)>3^4$.
ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$2x+3>4$.
$2x>1$
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ในสมการของเรา ฐานคือเมื่อดีกรี มีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนอสมการด้วยค่าที่เท่ากันแล้วจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
ลองใช้วิธีแก้ช่วง:
คำตอบ: $(-∞;-5]U)