ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานของสูตรการบวก สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

นี่เป็นบทเรียนสุดท้ายและสำคัญที่สุดที่จำเป็นในการแก้ปัญหา B11 เรารู้วิธีแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นการวัดองศาแล้ว (ดูบทเรียน "การวัดเรเดียนและองศาของมุม") และเรายังรู้วิธีกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยเน้นที่ส่วนพิกัด ( ดูบทเรียน “สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ”)

สิ่งเดียวที่ต้องทำคือคำนวณค่าของฟังก์ชันเอง ซึ่งเป็นตัวเลขที่เขียนไว้ในคำตอบ นี่คือจุดที่อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานเข้ามาช่วยเหลือ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สำหรับมุม α ใดๆ ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง:

บาป 2 α + cos 2 α = 1

สูตรนี้เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง เมื่อรู้ไซน์แล้ว เราก็สามารถหาโคไซน์ได้อย่างง่ายดาย และในทางกลับกัน ก็เพียงพอที่จะหารากที่สอง:

สังเกตเครื่องหมาย "±" ที่ด้านหน้าราก ความจริงก็คือจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ยังไม่ชัดเจนว่าไซน์และโคไซน์ดั้งเดิมคืออะไร: บวกหรือลบ ท้ายที่สุดแล้ว การยกกำลังสองเป็นฟังก์ชันคู่ที่ "เบิร์น" ข้อเสียทั้งหมด (ถ้ามี)

นั่นคือเหตุผลที่ในทุกปัญหา B11 ซึ่งพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ช่วยกำจัดความไม่แน่นอนด้วยเครื่องหมาย โดยปกติแล้วนี่คือข้อบ่งชี้ของไตรมาสพิกัดซึ่งสามารถกำหนดเครื่องหมายได้

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจจะถามว่า: “แล้วแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ล่ะ?” เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณฟังก์ชันเหล่านี้โดยตรงจากสูตรข้างต้น อย่างไรก็ตาม อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานมีผลที่ตามมาที่สำคัญ ซึ่งมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์อยู่แล้ว กล่าวคือ:

ข้อพิสูจน์ที่สำคัญ: สำหรับมุม α ใดๆ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

สมการเหล่านี้ได้มาจากเอกลักษณ์หลักอย่างง่ายดาย เพียงหารทั้งสองข้างด้วย cos 2 α (เพื่อให้ได้ค่าแทนเจนต์) หรือด้วย sin 2 α (เพื่อให้ได้ค่าโคแทนเจนต์) ก็เพียงพอแล้ว

ลองดูทั้งหมดนี้ได้ที่ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง. ด้านล่างนี้คือปัญหา B11 ที่แท้จริง ซึ่งนำมาจากเวอร์ชันทดลองของ Unified State Examination in Mathematics 2012

เรารู้โคไซน์ แต่เราไม่รู้ไซน์ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก (ในรูปแบบ "บริสุทธิ์") เชื่อมโยงเฉพาะฟังก์ชันเหล่านี้ ดังนั้นเราจะจัดการกับมัน เรามี:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1

ในการแก้ปัญหาก็ยังคงต้องหาสัญญาณของไซน์ เนื่องจากมุม α ∈ (π /2; π ) ดังนั้นในการวัดระดับจึงเขียนได้ดังนี้: α ∈ (90°; 180°)

ดังนั้น มุม α จึงอยู่ในควอเตอร์พิกัด II - ไซน์ทั้งหมดมีประจุบวก ดังนั้น บาป α = 0.1

เรารู้ไซน์ แต่เราต้องหาโคไซน์ ฟังก์ชันทั้งสองนี้อยู่ในอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน มาทดแทนกัน:

บาป 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5

ยังคงต้องจัดการกับเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วน มีอะไรให้เลือก: บวกหรือลบ? ตามเงื่อนไข มุม α อยู่ในช่วง (π 3π /2) ลองแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นองศา - เราได้: α ∈ (180°; 270°)

แน่นอนว่านี่คือไตรมาสพิกัดที่ 3 โดยที่โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos α = −0.5

งาน. ค้นหา tan α หากทราบสิ่งต่อไปนี้:

แทนเจนต์และโคไซน์มีความสัมพันธ์กันโดยสมการต่อไปนี้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

เราได้รับ: tan α = ±3 เครื่องหมายแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยมุม α เป็นที่ทราบกันว่า α ∈ (3π /2; 2π ) ลองแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นองศา - เราได้ α ∈ (270°; 360°)

แน่นอนว่านี่คือไตรมาสพิกัด IV ซึ่งแทนเจนต์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น tan α = −3

งาน. ค้นหา cos α หากทราบสิ่งต่อไปนี้:

ทราบไซน์อีกครั้งและไม่ทราบโคไซน์ ให้เราเขียนเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก:

บาป 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6

ป้ายถูกกำหนดโดยมุม เรามี: α ∈ (3π /2; 2π ) ลองแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน: α ∈ (270°; 360°) คือควอเตอร์พิกัด IV ซึ่งโคไซน์นั้นเป็นค่าบวก ดังนั้น cos α = 0.6

งาน. ค้นหา sin α หากทราบสิ่งต่อไปนี้:

ให้เราเขียนสูตรที่ตามมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและเชื่อมโยงไซน์และโคแทนเจนต์โดยตรง:

จากที่นี่เราจะได้บาปนั้น 2 α = 1/25 นั่นคือ บาป α = ±1/5 = ±0.2 เป็นที่ทราบกันว่ามุม α ∈ (0; π /2) ในการวัดระดับ เขียนได้ดังนี้: α ∈ (0°; 90°) - ฉันประสานไตรมาส

ดังนั้น มุมจะอยู่ในจตุภาคพิกัด I - ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดมีค่าเป็นบวก ดังนั้น sin α = 0.2

จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติค่อนข้างมาก นี่จึงอธิบายสูตรตรีโกณมิติที่มีอยู่มากมาย บางสูตรเชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน, สูตรอื่น ๆ - ฟังก์ชั่นของหลายมุม, สูตรอื่น ๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับ, ที่สี่ - แสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้เราจะแสดงรายการตามลำดับหลักทั้งหมด สูตรตรีโกณมิติซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์และป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

ขั้นพื้นฐาน อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง เป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตลอดจนแนวคิดเรื่องวงกลมหน่วย ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้

หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการใช้ โปรดดูบทความ

สูตรลด

สูตรลดติดตามจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ นั่นคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติของสมมาตร รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมใดก็ได้ไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้กฎช่วยในการจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรการบวก

สูตรการบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของสองมุมแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้นอย่างไร สูตรเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ เป็นอย่างไร มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของมันขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับ double, triple เป็นต้น มุม

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงออกมาในรูปของโคไซน์ของมุมทั้งหมดอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความ

สูตรลดระดับ

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการลดองศามีวัตถุประสงค์เพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจาก องศาธรรมชาติฟังก์ชันตรีโกณมิติกับไซน์และโคไซน์ถึงระดับแรกแต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคืออนุญาตให้คุณลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดประสงค์หลัก สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือไปที่ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ได้

สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวมหรือผลต่างทำได้โดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ด้วยโคไซน์

บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3

Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ- สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ซึ่งช่วยให้คุณค้นหาฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องรู้ฟังก์ชันอื่นด้วย

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

เอกลักษณ์นี้บอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติทำให้สามารถคำนวณไซน์ของมุมหนึ่งได้เมื่อทราบโคไซน์ของมันและในทางกลับกัน .

เมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมักใช้เอกลักษณ์นี้ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ของมุมหนึ่งด้วยหนึ่งมุมและดำเนินการแทนที่ในลำดับย้อนกลับ

การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

อัตลักษณ์เหล่านี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สุดท้ายแล้ว ถ้าคุณดูมัน ตามนิยามแล้ว พิกัด y คือไซน์ และแอบซิสซา x เป็นโคไซน์ จากนั้นแทนเจนต์จะเท่ากับอัตราส่วน \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)และอัตราส่วน \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- จะเป็นโคแทนเจนต์

ให้เราเพิ่มว่าเฉพาะมุม \alpha ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในนั้นสมเหตุสมผลแล้ว อัตลักษณ์จะยังคงอยู่ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ตัวอย่างเช่น: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่าง \frac(\pi)(2)+\pi z, ก ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- สำหรับมุม \alpha ที่ไม่ใช่ \pi z, z คือจำนวนเต็ม

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ข้อมูลประจำตัวนี้ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่างเท่านั้น \frac(\pi)(2) z. มิฉะนั้น โคแทนเจนต์หรือแทนเจนต์จะไม่ถูกกำหนด

จากประเด็นข้างต้น เราจึงได้สิ่งนั้นมา tg \อัลฟา = \frac(y)(x), ก ctg \alpha=\frac(x)(y). มันเป็นไปตามนั้น tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่มันเข้าท่า จึงเป็นตัวเลขผกผันซึ่งกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์และไซน์

tg^(2) \อัลฟา + 1=\frac(1)(\cos^(2) \อัลฟา)- ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา และ 1 เท่ากับกำลังสองผกผันของโคไซน์ของมุมนี้ ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ทั้งหมดยกเว้น \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \อัลฟา=\frac(1)(\sin^(2)\อัลฟา)- ผลรวมของ 1 และกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา เท่ากับกำลังสองผกผันของไซน์ของมุมที่กำหนด ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ใดๆ ที่แตกต่างจาก \pi z

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา \sin \alpha และ tg \alpha if \cos \อัลฟา=-\frac12และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ฟังก์ชัน \sin \alpha และ \cos \alpha มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1. แทนลงในสูตรนี้ \cos \อัลฟา = -\frac12, เราได้รับ:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

สมการนี้มี 2 วิธี:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สอง ไซน์เป็นบวก ดังนั้น \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ในการหา tan \alpha เราใช้สูตร tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา \cos \alpha และ ctg \alpha ถ้า และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แทนลงในสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1หมายเลขที่กำหนด \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), เราได้รับ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. สมการนี้มีสองคำตอบ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สองโคไซน์เป็นลบ ดังนั้น \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ในการค้นหา ctg \alpha เราใช้สูตร ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). เรารู้ค่าที่สอดคล้องกัน

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

สูตรการลดคือความสัมพันธ์ที่อนุญาตให้คุณเปลี่ยนจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่มีมุม `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` เป็นฟังก์ชันเดียวกันของมุม `\alpha` ซึ่งอยู่ในควอเตอร์แรกของวงกลมหน่วย ดังนั้นสูตรการลดขนาดจึง "นำ" เราไปทำงานกับมุมในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาซึ่งสะดวกมาก

รวมแล้วมีสูตรลดถึง 32 สูตร พวกเขาจะมีประโยชน์อย่างไม่ต้องสงสัยในระหว่างการสอบ Unified State การสอบและการทดสอบ แต่ให้เราเตือนคุณทันทีว่าไม่จำเป็นต้องจดจำมัน! คุณต้องใช้เวลาเล็กน้อยและทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับแอปพลิเคชันจากนั้นการได้รับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในเวลาที่เหมาะสมก็ไม่ใช่เรื่องยาก

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรการลดทั้งหมด:

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):

`บาป(\pi - \alpha)=บาป \ \alpha;` ` บาป(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):

`บาป(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

คุณมักจะพบสูตรการลดลงในรูปแบบของตารางที่เขียนมุมเป็นเรเดียน:

หากต้องการใช้งาน คุณต้องเลือกแถวที่มีฟังก์ชันที่เราต้องการและคอลัมน์ที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาว่า ` sin(\pi + \alpha)` มีค่าเท่ากับการใช้ตารางอะไร ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบที่จุดตัดของแถว ` sin \beta` และคอลัมน์ ` \pi + \อัลฟ่า`. เราได้ ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`

และตารางที่สองที่คล้ายกันซึ่งมุมเขียนเป็นองศา:

กฎช่วยในการจำสูตรลดหรือวิธีจำ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องจดจำความสัมพันธ์ข้างต้นทั้งหมด หากคุณพิจารณาอย่างรอบคอบ คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง ช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎช่วยในการจำ (ช่วยในการจำ - จำ) ซึ่งเราสามารถรับสูตรการลดลงได้อย่างง่ายดาย

ขอให้เราทราบทันทีว่าในการใช้กฎนี้ คุณจะต้องระบุ (หรือจดจำ) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลมหน่วยได้ดี
วัคซีนประกอบด้วย 3 ระยะ:

1. 1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะต้องแสดงเป็น `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` และ `\alpha` จำเป็นต้องเป็นมุมแหลม (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา)
   2. สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` ฟังก์ชันตรีโกณมิตินิพจน์ที่ถูกแปลงจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ ตรงกันข้าม (ไซน์เป็นโคไซน์ แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน) สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
   3. มีการกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันผลลัพธ์ทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายเดียวกัน

หากต้องการดูว่ากฎนี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร เรามาแปลงสำนวนต่างๆ กัน:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

ฟังก์ชันจะไม่กลับรายการ มุม `\pi + \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม โคไซน์ในไตรมาสนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `บาป(\frac (3\pi)2 - \อัลฟา)`

ตาม กฎช่วยในการจำฟังก์ชันจะกลับรายการ มุม `\frac (3\pi)2 - \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม ไซน์ตรงนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นผลลัพธ์ก็จะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \อัลฟา)`

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\อัลฟา))`. ลองแทน `3\pi` เป็น `2\pi+\pi` กัน `2\pi` คือคาบของฟังก์ชัน

ข้อสำคัญ: ฟังก์ชัน `cos \alpha` และ `sin \alpha` มีจุด `2\pi` หรือ `360^\circ` ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามค่าเหล่านี้

จากสิ่งนี้ นิพจน์ของเราสามารถเขียนได้ดังนี้: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` เมื่อใช้กฎช่วยในการจำสองครั้ง เราจะได้: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

คำตอบ: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`

กฎม้า

จุดที่สองของกฎช่วยในการช่วยจำที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกอีกอย่างว่ากฎม้าของสูตรการลด สงสัยว่าทำไมถึงเป็นม้า?

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, จุด `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` เป็นกุญแจสำคัญ โดยอยู่บนแกนพิกัด `\pi` และ `2\pi` อยู่บนแกน x แนวนอน และ `\frac (\pi)2` และ `\frac (3\pi)2` อยู่บนแกนแนวตั้ง

เราถามตัวเองด้วยคำถาม: “ฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น cofunction หรือไม่?” ในการตอบคำถามนี้ คุณต้องขยับศีรษะไปตามแกนซึ่งมีจุดสำคัญอยู่

นั่นคือสำหรับการโต้แย้งที่มีประเด็นสำคัญอยู่บนแกนนอน เราจะตอบว่า "ไม่" โดยส่ายหัวไปด้านข้าง และสำหรับมุมที่มีจุดสำคัญอยู่บนแกนตั้ง เราก็ตอบว่า "ใช่" โดยพยักหน้าจากบนลงล่างเหมือนม้า :)

เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอบทช่วยสอนที่ผู้เขียนอธิบายรายละเอียดวิธีจำสูตรการลดโดยไม่ต้องจำ

ตัวอย่างการใช้งานจริงของการใช้สูตรลด

การใช้สูตรลดเริ่มในเกรด 9 และ 10 ปัญหามากมายในการใช้งานถูกส่งไปยังการสอบ Unified State ต่อไปนี้เป็นปัญหาบางส่วนที่คุณจะต้องใช้สูตรเหล่านี้:

• ปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก
• การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลขและตัวอักษร การคำนวณค่าของนิพจน์เหล่านี้
• งานสามมิติ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณโดยใช้สูตรการลดขนาด a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`

วิธีแก้: ก) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

ค) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

ง) `บาป 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`

ตัวอย่างที่ 2 เมื่อแสดงโคไซน์ผ่านไซน์โดยใช้สูตรการลดขนาด ให้เปรียบเทียบตัวเลข: 1) `sin \frac (9\pi)8` และ `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` และ `cos \frac (3\pi)10`

วิธีแก้: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-บาป \frac (\pi)8> -บาป \frac (3\pi)8`

`บาป \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`บาป \frac (\pi)8

`บาป \frac (\pi)8

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรสองสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` และ ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. ที่เหลือก็มาจากพวกมัน

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้วจุด A โดยมีพิกัด (1,0) ให้หลังจากหันไป มุม `\alpha` มันจะไปที่จุด `A_1(x, y)` และหลังจากหมุนมุม `\frac (\pi)2 + \alpha` ไปยังจุด `A_2(-y, x)` เมื่อปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปที่เส้น OX เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม `OA_1H_1` และ `OA_2H_2` เท่ากัน เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน จากนั้น ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราสามารถเขียน `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \อัลฟา)=-y` เราจะเขียนได้ว่า ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` และ ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ได้ที่ไหน ซึ่งพิสูจน์การลดลงได้ที่ไหน สูตรสำหรับมุมไซน์และโคไซน์ `\frac (\pi)2 + \alpha`

มาจากคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราจะได้ ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` และ ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha` ซึ่งพิสูจน์ว่า สูตรการรีดิวซ์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม `\frac (\pi)2 + \alpha`

หากต้องการพิสูจน์สูตรด้วยอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 - \alpha` ก็เพียงพอที่จะแสดงเป็น `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` และทำตามเส้นทางเดียวกันกับข้างต้น ตัวอย่างเช่น `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`

มุม `\pi + \alpha` และ `\pi - \alpha` สามารถแสดงเป็น `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` ตามลำดับ

และ `\frac (3\pi)2 + \alpha` และ `\frac (3\pi)2 - \alpha` เป็น `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\pi +(\frac (\pi)2-\อัลฟา)`.

คำนิยาม. สูตรลดคือสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปเป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้สามารถลดลงเป็นไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจากช่วง 0 ถึง 90 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึงเรเดียน) ดังนั้น สูตรการลดขนาดทำให้เราสามารถทำงานต่อกับมุมภายใน 90 องศาได้ ซึ่งสะดวกมากอย่างไม่ต้องสงสัย

สูตรลด:

มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด

1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) ดังนั้น การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อใดควรเปลี่ยนเครื่องหมายและเมื่อไม่เปลี่ยน

2. สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย

รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยขึ้นอยู่กับไตรมาส

ตัวอย่าง:

คำนวณ

ลองใช้สูตรลด:

Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 จากรูปเราจะเห็นว่าสัญญาณบาปในไตรมาสนี้มีค่าเท่ากับ “+” ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมาย "+" ด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง

ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½