ฟังก์ชันกำลังสอง คุณสมบัติ และกราฟิก กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

⁰

ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ:
y=ก*(x^2)+ข*x+ค
โดยที่ a คือสัมประสิทธิ์สำหรับระดับสูงสุดของ x ที่ไม่รู้จัก
b - สัมประสิทธิ์สำหรับ x ที่ไม่รู้จัก
และ c เป็นสมาชิกฟรี
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือเส้นโค้งที่เรียกว่าพาราโบลา แบบฟอร์มทั่วไปพาราโบลาแสดงในรูปด้านล่าง

รูปที่ 1 มุมมองทั่วไปของพาราโบลา

มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง เราจะดูที่หลักและทั่วไปที่สุด

อัลกอริทึมสำหรับพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง y=a(x^2)+bx+c

1. สร้างระบบพิกัด ทำเครื่องหมายส่วนของหน่วย และติดป้ายแกนพิกัด

2. กำหนดทิศทางของกิ่งพาราโบลา (ขึ้นหรือลง)
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องดูสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ a หากมีเครื่องหมายบวก กิ่งก้านก็จะชี้ขึ้น หากมีเครื่องหมายลบ กิ่งก้านก็จะชี้ลง

3. หาพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลา
ในการดำเนินการนี้ คุณต้องใช้สูตร Xvertex = -b/2*a

4. หาพิกัดที่จุดยอดของพาราโบลา
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ลงในสมการ Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c แทน x ซึ่งเป็นค่าของ Xverhiny ที่พบในขั้นตอนที่แล้ว

5. พล็อตจุดผลลัพธ์บนกราฟแล้ววาดแกนสมมาตรผ่านจุดนั้น ขนานกับแกนพิกัด Oy

6. ค้นหาจุดตัดของกราฟด้วยแกน Ox
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง a*(x^2)+b*x+c = 0 โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ ถ้าสมการไม่มีรากจริง กราฟของฟังก์ชันจะไม่ตัดกับแกน Ox

7. ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟกับแกน Oy
ในการดำเนินการนี้ เราจะแทนค่า x=0 ลงในสมการและคำนวณค่า y เราทำเครื่องหมายสิ่งนี้และจุดสมมาตรบนกราฟ

8. ค้นหาพิกัดของจุดใดก็ได้ A(x,y)
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกค่าใดก็ได้สำหรับพิกัด x และแทนที่ลงในสมการของเรา เราได้ค่า y ณ จุดนี้ พล็อตจุดบนกราฟ และทำเครื่องหมายจุดบนกราฟที่มีความสมมาตรกับจุด A(x,y) ด้วย

9. เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์บนกราฟด้วยเส้นเรียบและวาดกราฟต่อเลยจุดสุดขั้วไปยังจุดสิ้นสุดของแกนพิกัด ติดป้ายกำกับกราฟไว้บนผู้นำหรือหากมีพื้นที่ว่าง ให้ติดป้ายกำกับไว้ตลอดกราฟ

ตัวอย่างการวางแผน

ตัวอย่างเช่น ลองพลอตฟังก์ชันกำลังสองกัน กำหนดโดยสมการ y=x^2+4*x-1
1. วาดแกนพิกัด ติดป้ายกำกับและทำเครื่องหมายส่วนของหน่วย
2. ค่าสัมประสิทธิ์ a=1, b=4, c= -1 เนื่องจาก a=1 ซึ่งมากกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น
3. หาพิกัด X ของจุดยอดของพาราโบลา Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2
4. หาพิกัด Y ของจุดยอดของพาราโบลา
จุดยอด = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5
5. ทำเครื่องหมายจุดยอดและวาดแกนสมมาตร
6. ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองกับแกน Ox เราแก้สมการกำลังสอง x^2+4*x-1=0
x1=-2-√3 x2 = -2+√3 เราทำเครื่องหมายค่าที่ได้รับบนกราฟ
7. ค้นหาจุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy
x=0; ย=-1
8. เลือกจุด B ได้ตามต้องการ ปล่อยให้มีพิกัด x=1
จากนั้น y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4
9. เชื่อมต่อคะแนนที่ได้รับและลงนามในกราฟ

ทุกคนคงรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่เราจะดูวิธีการใช้อย่างถูกต้องและมีความสามารถเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ด้านล่างนี้

ขั้นแรก ให้เราร่างแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมีให้กับเทอมนี้ ลองพิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เรามาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กันดีกว่า มาเรียนรู้วิธีค้นหาค่าด้านบนและค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

มาดูกันว่าจะสร้างเส้นโค้งที่ต้องการได้อย่างไรโดยใช้สมการสิ่งที่คุณต้องใส่ใจ มาดูพื้นฐานกัน การใช้งานจริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลามาตรฐาน

รูปนี้แสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ซึ่งเป็นส่วนปลายสุด ซึ่งเป็นทิศทางของกิ่งก้านของฟังก์ชันที่ลากไปตามแกนแอบซิสซา

สมการทางบัญญัติคือ:

y 2 = 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตจะมีการเขียนแตกต่างออกไป:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่รู้จัก: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและมีศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน abscissa

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน – (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งก้านของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนของบรรทัด

วิธีกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

หากต้องการค้นหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องกำหนดเครื่องหมายก่อนพารามิเตอร์ตัวแรก การแสดงออกทางพีชคณิต. ถ้า ˃ 0 แสดงว่าพวกมันพุ่งขึ้น ถ้ากลับกันก็ลงครับ

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การค้นหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เปิดพิเศษได้แน่นอน เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะตรวจสอบได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษคือ เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหาจุดยอด:

x 0 = -b / (2 * ก);
y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 มาหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดเช่นนี้:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้รับพิกัดของจุดยอด (-2, -41)

การแทนที่พาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ตัวที่สองและสามจะเท่ากับ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ไปตามแกน abscissa หรือแกนพิกัดเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับเส้นบนระนาบจะถูกเลื่อนตามจำนวนหน่วยเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

มันหมายความว่าอย่างนั้น ดูคลาสสิกเส้นโค้งจะเลื่อนไป 2 หน่วยตามแกนแอบซิสซา และ 3 หน่วยตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณจะเห็นสิ่งต่อไปนี้:

จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่า เท่ากับมูลค่ากับ.
จุดทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะมีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ จุดตัดกับ OX สามารถพบได้โดยการรู้การแบ่งแยก (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D = (ข 2 - 4 * a * c)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องถือนิพจน์ให้เป็นศูนย์

การมีอยู่ของรากของพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
D = 0 จากนั้น x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
ค้นหาพิกัดของจุดยอด
ค้นหาจุดตัดกับแกนกำหนด
หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y = x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม:

a = 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
ตัดกับแกนพิกัดที่ค่า y = 4;
มาหาความแตกต่างกัน: D = 25 - 16 = 9;
กำลังมองหาราก:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนด:

a = 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
จะตัดกับแกน y ที่ค่า y = -1;
มาหาตัวจำแนก: D = 4 + 12 = 16 ดังนั้นรากคือ:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0)

เมื่อใช้คะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

ไดเรกทริกซ์ ความเยื้องศูนย์กลาง จุดโฟกัสของพาราโบลา

ซึ่งเป็นรากฐาน สมการบัญญัติจุดโฟกัสของ F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB คือไดเรกตริกซ์ (คอร์ดชนิดหนึ่งของพาราโบลาที่มีความยาวค่าหนึ่ง) สมการของมันคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่เด็กนักเรียนเรียนอยู่ มัธยม. ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าเมื่อดูฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีค้นหาจุดยอดของมัน ทิศทางที่กิ่งก้านจะถูกชี้ไป ไม่ว่าจะมีการกระจัดตามแนวแกนหรือไม่ และด้วยอัลกอริทึมการก่อสร้าง คุณก็สามารถวาดกราฟของมันได้

ที่ วัสดุวิธีการมีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและใช้กับหัวข้อที่หลากหลาย บทความนี้นำเสนอภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและข้ออภิปรายต่างๆ คำถามที่สำคัญที่สุด – วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว. ในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยไม่มีความรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน มันจะเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำไว้บ้าง ความหมายของฟังก์ชันต่างๆ เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันหลักด้วย

ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และละเอียดถี่ถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นที่ เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง. แผนภูมิสำหรับหุ่น? ใครๆ ก็พูดแบบนั้นได้

เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– เชี่ยวชาญแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!

จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยเสียค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และเริ่มกันเลย:

จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?

ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น

การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ

ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน:

1) วาดแกนพิกัด แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y . เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว. ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo

2) ติดป้ายกำกับแกน เป็นตัวพิมพ์ใหญ่"X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.

3) ตั้งค่าสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน. เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดการ์ต และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน. บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน Abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย

ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง. ตัวอย่างเช่น หากงานจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์

โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค จริงหรือไม่ที่เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร? เพื่อความสนุกสนาน ใช้ไม้บรรทัดวัดสมุดบันทึกของคุณให้มีความสูง 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียต สิ่งนี้อาจเป็นจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด

พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กที่ขายส่วนใหญ่พูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ ด้วยเหตุผลที่ทำให้เปียก ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ สำหรับการลงทะเบียน การทดสอบฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น, ตาราง) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจลแม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกกระดาษได้มาก ปากกาลูกลื่น "คู่แข่ง" เพียงหนึ่งเดียวที่ฉันจำได้คือ Erich Krause เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม

นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์, รายละเอียดข้อมูลเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานสามารถพบได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.

เคสสามมิติ

มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่

1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา

2) ติดป้ายกำกับแกน

3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า. โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว). จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด

เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)

กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้ให้แหก นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดรูปบทความในภายหลังใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่ถูกต้อง ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น

กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง. ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์

ถ้าอย่างนั้น

ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1

ถ้าอย่างนั้น

เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:

และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข

พบสองจุด มาวาดรูปกัน:

เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.

มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:

สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด. ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว

2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกพล็อตทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”

3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”

บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or

การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ

เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.

กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม

พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:

ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน

ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้สามารถพบได้ในบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องสุดขั้วของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่า "Y" ที่เกี่ยวข้องกัน:

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น

ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลาได้

จะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายว่า

อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นหลักการ "กระสวย" หรือ "ไปมา" โดย Anfisa Chekhova

มาวาดรูปกันเถอะ:

จากกราฟที่พิจารณาก็จำได้อีกอย่างหนึ่ง สัญญาณที่มีประโยชน์:

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.

ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน

มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่

มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อคุณวาดรูปวาด คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง

ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะอยู่ในขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอนันต์เข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอนันต์เข้าใกล้แกน

แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเพอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากแบบวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบวิเคราะห์ได้ง่าย: .

กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)

ถ้า แล้วไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.

รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา

เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารทั้งหมดได้:

มาวาดรูปกันเถอะ:

การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาจะไม่ยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบเข้ากับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง

ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี เลขชี้กำลังจะปรากฏขึ้น

ฉันเตือนคุณว่านี่คือ จำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จำเป็นในการสร้างกราฟ ซึ่งจริงๆ แล้วจะสร้างโดยไม่มีพิธีการใดๆ สามแต้มก็น่าจะเพียงพอแล้ว:

ปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่ 2 เกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชันที่มีลอการิทึมธรรมชาติ
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดเมน:

ช่วงของค่า: .

ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปถึงอนันต์
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: . แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา

จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

โดยหลักการแล้ว กราฟของลอการิทึมถึงฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , (ลอการิทึมฐานสิบถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะแบนราบมากขึ้นเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าวเมื่อใด และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม– เหล่านี้เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชัน. หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่มีความแตกต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์

ลองพลอตฟังก์ชันกัน

เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.

ฉันขอเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณตาพร่า

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นนี้เป็น เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

โดเมน: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์

ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดจะอยู่ในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพลอตฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y=x²+2x-3

สารละลาย:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดกำเนิดของพิกัด แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1; -4) ไปทางขวา 1 หน่วยขึ้นไป 1 หน่วยจากนั้นซ้าย 1 และขึ้น 1; เพิ่มเติม: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 4 - ขึ้น; 3 - ขวา, 9 - ขึ้น, 3 - ซ้าย, 9 - ขึ้น ถ้า 7 แต้มนี้ไม่พอก็ให้ 4 แต้มทางขวา 16 แต้มบน เป็นต้น)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง ในการสร้างกราฟ เราจะมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

สารละลาย:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y= -x² (1 - ไปทางขวา, 1- ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ทำให้เกิดปัญหาหากคุณรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: ถ้าพิกัดจุดยอดอยู่ ตัวเลขเศษส่วนการสร้างกราฟไม่สะดวกมากนัก หากคุณต้องการทราบค่าที่แน่นอนของจุดตัดของกราฟด้วยแกน Ox คุณจะต้องแก้สมการเพิ่มเติม x²+bx+c=0 (หรือ -x²+bx+c=0) แม้ว่าจุดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยตรงจากภาพวาดก็ตาม

อีกวิธีในการสร้างพาราโบลาคือการใช้จุด กล่าวคือ คุณสามารถหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้นได้ (โดยคำนึงว่าเส้นตรง x=xₒ คือแกนสมมาตร) โดยปกติแล้วจะใช้จุดยอดของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัดและจุดเพิ่มเติมอีก 1-2 จุด

วาดกราฟของฟังก์ชัน y=x²+5x+4

สารละลาย:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือจุดยอดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

กำลังมองหา . ณ จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 ราก สมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้สองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 เราได้ประเด็นแล้ว (0; 4)

หากต้องการชี้แจงกราฟ คุณสามารถค้นหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 จากนั้น y=1²+5∙1+4=10 นั่นคืออีกจุดบนกราฟคือ (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้ ประสานงานเครื่องบิน. เมื่อคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับเส้นที่ลากผ่านจุดยอดของมัน เราจะทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) และวาดพาราโบลาผ่านพวกมัน:

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²-3x

สารละลาย:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดยอด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน x y=0 นั่นคือ เราจะแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0;0) และ (-3;0) - อีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) ยังเป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดอีกด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการวางแผน

การสร้างพาราโบลาจากจุดต่างๆ เป็นวิธีการที่ต้องใช้แรงงานมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีแรก หากพาราโบลาไม่ตัดกับแกน Ox จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ต่อไป ให้เราพิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งคือการแปลแบบขนาน

หมวดหมู่: |

ปัญหาหลายอย่างจำเป็นต้องคำนวณค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสอง ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสามารถพบได้หากฟังก์ชันดั้งเดิมเขียนในรูปแบบมาตรฐาน หรือผ่านพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). นอกจากนี้ ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสองสามารถคำนวณได้โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอน

ฟังก์ชันกำลังสองเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

เขียนฟังก์ชันในรูปแบบมาตรฐาน ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่มีสมการรวมตัวแปรไว้ด้วย x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)). สมการอาจมีหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ x (\รูปแบบการแสดงผล x). ถ้าสมการมีตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 2 สมการนั้นจะไม่ได้อธิบายฟังก์ชันกำลังสอง หากจำเป็น ให้จัดเตรียมคำศัพท์ที่คล้ายกันและจัดเรียงใหม่เพื่อเขียนฟังก์ชันในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชันแล้ว f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). เพิ่มเงื่อนไขด้วยตัวแปร x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2))และสมาชิกที่มีตัวแปร x (\รูปแบบการแสดงผล x)เขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน:
- f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+5x+4)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง ถ้าสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก)ด้วยตัวแปร x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)) ก (\displaystyle ก)
- f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). ที่นี่ a = 2 (\displaystyle a=2)
- f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). ตรงนี้พาราโบลาจึงชี้ลง
- f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). ที่นี่ a = 1 (\displaystyle a=1)ดังนั้นพาราโบลาจึงชี้ขึ้น
- หากพาราโบลาชี้ขึ้น คุณจะต้องมองหาจุดต่ำสุดของมัน หากพาราโบลาชี้ลง ให้มองหาค่าสูงสุด
คำนวณ -b/2aความหมาย − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))คือพิกัด x (\รูปแบบการแสดงผล x)จุดยอดของพาราโบลา ถ้าเขียนฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)ให้ใช้ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x (\รูปแบบการแสดงผล x)และ x 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2))ด้วยวิธีดังต่อไปนี้:
- ในค่าสัมประสิทธิ์ฟังก์ชัน a = 1 (\displaystyle a=1)และ b = 10 (\displaystyle b=10)
  - x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
  - x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
- ตัวอย่างที่สอง ให้พิจารณาฟังก์ชัน ที่นี่ a = − 3 (\displaystyle a=-3)และ b = 6 (\displaystyle b=6). ดังนั้น ให้คำนวณพิกัด “x” ของจุดยอดของพาราโบลาดังนี้
  - x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
  - x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
  - x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
  - x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
  - x = 1 (\displaystyle x=1)
ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของ f(x)แทนค่าที่ค้นพบของ “x” ลงในฟังก์ชันดั้งเดิมเพื่อค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของ f(x) ด้วยวิธีนี้คุณจะพบค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชัน
- ในตัวอย่างแรก f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)คุณได้คำนวณแล้วว่าพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลาคือ x = − 5 (\displaystyle x=-5). ในฟังก์ชันเดิมแทน x (\รูปแบบการแสดงผล x)ทดแทน − 5 (\displaystyle -5)
  - f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
  - f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
  - f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
  - f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
- ในตัวอย่างที่สอง f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)คุณพบว่าพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลาคือ x = 1 (\displaystyle x=1). ในฟังก์ชันเดิมแทน x (\รูปแบบการแสดงผล x)ทดแทน 1 (\รูปแบบการแสดงผล 1)เพื่อหาค่าสูงสุด:
  - f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
  - f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
  - f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
  - f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)
เขียนคำตอบของคุณอ่านคำชี้แจงปัญหาอีกครั้ง หากคุณต้องการค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา ให้จดทั้งสองค่าไว้ในคำตอบ x (\รูปแบบการแสดงผล x)และ y (\displaystyle y)(หรือ f (x) (\displaystyle f(x))). หากคุณต้องการคำนวณค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ให้จดเฉพาะค่าในคำตอบเท่านั้น y (\displaystyle y)(หรือ f (x) (\displaystyle f(x))). ดูสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์อีกครั้ง ก (\displaystyle ก)เพื่อตรวจสอบว่าคุณได้คำนวณสูงสุดหรือต่ำสุดแล้ว
- ในตัวอย่างแรก f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)ความหมาย ก (\displaystyle ก)เป็นบวก ดังนั้นคุณได้คำนวณขั้นต่ำแล้ว จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26))และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันคือ − 26 (\displaystyle -26).
- ในตัวอย่างที่สอง f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)ความหมาย ก (\displaystyle ก)เป็นลบ ดังนั้นคุณจึงพบค่าสูงสุดแล้ว จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1))และค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ − 1 (\displaystyle -1).
กำหนดทิศทางของพาราโบลาเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ดูที่สัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก). ถ้าสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก)บวก พาราโบลาชี้ขึ้น ถ้าสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก)ค่าลบ พาราโบลาจะชี้ลง ตัวอย่างเช่น:
- . ที่นี่ a = 2 (\displaystyle a=2)นั่นคือสัมประสิทธิ์เป็นบวก ดังนั้นพาราโบลาจึงชี้ขึ้น
- . ที่นี่ a = − 3 (\displaystyle a=-3)นั่นคือสัมประสิทธิ์เป็นลบ ดังนั้นพาราโบลาจึงชี้ลง
- หากพาราโบลาชี้ขึ้น คุณจะต้องคำนวณค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน หากพาราโบลาชี้ลง คุณจะต้องค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
ค้นหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันถ้าฟังก์ชันถูกเขียนผ่านพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดจะเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ k (\displaystyle k). ในตัวอย่างข้างต้น:
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). ที่นี่ k = − 4 (\displaystyle k=-4). นี่คือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเนื่องจากพาราโบลาชี้ขึ้นด้านบน
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). ที่นี่ k = 2 (\displaystyle k=2). นี่คือค่าสูงสุดของฟังก์ชันเนื่องจากพาราโบลาชี้ลง
ค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาหากปัญหาจำเป็นต้องค้นหาจุดยอดของพาราโบลา พิกัดของมันคือ (h , k) (\displaystyle (h,k)). โปรดทราบว่าเมื่อเขียนฟังก์ชันกำลังสองผ่านพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา การดำเนินการลบจะต้องอยู่ในวงเล็บ (x − h) (\displaystyle (x-h))ดังนั้นค่า ชั่วโมง (\displaystyle ชั่วโมง)จะถูกถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). ในที่นี้ การดำเนินการบวก (x+1) จะอยู่ในวงเล็บ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: (x-(-1)) ดังนั้น, h = − 1 (\displaystyle h=-1). ดังนั้นพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาของฟังก์ชันนี้จึงเท่ากับ (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). ในวงเล็บคือนิพจน์ (x-2) เพราะฉะนั้น, ชั่วโมง = 2 (\displaystyle h=2). พิกัดของจุดยอดคือ (2,2)

วิธีการคำนวณขั้นต่ำหรือสูงสุดโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ก่อนอื่น มาดูรูปแบบมาตรฐานของสมการกันก่อนเขียนฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). หากจำเป็น ให้เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันและจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้สมการมาตรฐาน
- ตัวอย่างเช่น: .
ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งเขียนในรูปแบบมาตรฐาน มีค่าเท่ากับ f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).
- f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้คำนวณดังนี้:
  - f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)
เท่ากับอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์จำไว้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับความชันของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง ต่ำสุดหรือสูงสุด ความชันจะเป็นศูนย์ ดังนั้นในการค้นหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะต้องตั้งค่าเป็นศูนย์ ในตัวอย่างของเรา