กราฟพาราโบลามีลักษณะอย่างไร ฟังก์ชันกำลังสองเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คุณได้คุ้นเคยกับคุณสมบัติและกราฟที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันแล้ว ย = x 2. มาขยายความรู้ของเราเกี่ยวกับ ฟังก์ชันกำลังสอง .

แบบฝึกหัดที่ 1

กราฟฟังก์ชัน ย = x 2. มาตราส่วน: 1 = 2 ซม. ทำเครื่องหมายจุดบนแกน Oy เอฟ(0; 1/4) ใช้เข็มทิศหรือแถบกระดาษวัดระยะห่างจากจุดนั้น เอฟถึงจุดหนึ่ง มพาราโบลา จากนั้นปักหมุดแถบที่จุด M แล้วหมุนไปรอบๆ จุดนั้นจนกระทั่งเป็นแนวตั้ง ส่วนปลายของแถบจะอยู่ใต้แกน x เล็กน้อย (รูปที่ 1). ทำเครื่องหมายบนแถบว่ามันจะขยายเกินแกน x แค่ไหน ตอนนี้ไปที่จุดอื่นบนพาราโบลาแล้วทำซ้ำการวัดอีกครั้ง ขอบของแถบตกลงไปต่ำกว่าแกน x แค่ไหน?

ผลลัพธ์:ไม่ว่าคุณจะหาจุดใดบนพาราโบลา y = x 2 ระยะห่างจากจุดนี้ไปยังจุด F(0; 1/4) จะมากกว่าระยะห่างจากจุดเดียวกันถึงแกน abscissa ด้วยจำนวนเดียวกันเสมอ - 1/4.

เราอาจพูดแตกต่างออกไป: ระยะห่างจากจุดใดๆ ของพาราโบลาไปยังจุด (0; 1/4) เท่ากับระยะห่างจากจุดเดียวกันของพาราโบลาถึงเส้นตรง y = -1/4 จุดมหัศจรรย์นี้เรียกว่า F(0; 1/4) จุดสนใจพาราโบลา y = x 2 และเส้นตรง y = -1/4 – ครูใหญ่พาราโบลานี้ พาราโบลาทุกอันมีไดเรกตริกซ์และโฟกัส

คุณสมบัติที่น่าสนใจของพาราโบลา:

1. จุดใดๆ ของพาราโบลามีระยะห่างจากจุดหนึ่งเรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลาเท่ากัน และมีเส้นตรงบางจุดเรียกว่าไดเรกตริกซ์

2. หากคุณหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร (เช่น พาราโบลา y = x 2 รอบแกน Oy) คุณจะได้พื้นผิวที่น่าสนใจมากที่เรียกว่าพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ

พื้นผิวของของเหลวในภาชนะที่หมุนได้จะมีรูปทรงพาราโบลาในการหมุน คุณสามารถมองเห็นพื้นผิวนี้ได้หากคุณคนแรงๆ ด้วยช้อนในแก้วชาที่ยังไม่สมบูรณ์ แล้วจึงเอาช้อนออก

3. ถ้าคุณโยนก้อนหินลงช่องว่างในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า หินนั้นจะลอยอยู่ในรูปพาราโบลา (รูปที่ 2)

4. หากคุณตัดพื้นผิวของกรวยด้วยระนาบขนานกับเจเนอราไทรซ์ใดๆ ของมัน หน้าตัดจะทำให้เกิดพาราโบลา (รูปที่ 3).

5. สวนสนุกบางครั้งมีเครื่องเล่นสนุกๆ ที่เรียกว่า Paraboloid of Wonders ทุกคนที่ยืนอยู่ในพาราโบลาที่หมุนได้ดูเหมือนว่าเขากำลังยืนอยู่บนพื้น ในขณะที่คนที่เหลือกำลังจับยึดผนังอย่างน่าอัศจรรย์

6. ในการสะท้อนกล้องโทรทรรศน์ จะใช้กระจกพาราโบลาเช่นกัน แสงของดาวฤกษ์ที่อยู่ไกลออกไปซึ่งมาในลำแสงคู่ขนานที่ตกลงบนกระจกกล้องโทรทรรศน์จะถูกรวบรวมเข้าสู่โฟกัส

7. ไฟสปอร์ตไลท์มักจะมีกระจกเป็นรูปพาราโบลาลอยด์ หากคุณวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดโฟกัสของพาราโบลาลอยด์ รังสีที่สะท้อนจากกระจกพาราโบลาจะก่อตัวเป็นลำแสงขนานกัน

การสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณได้ศึกษาวิธีรับกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบจากกราฟของฟังก์ชัน y = x 2:

1) y = ขวาน 2– การยืดกราฟ y = x 2 ไปตามแกน Oy ใน |a| ครั้ง (ด้วย |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ข้าว. 4).

2) y = x 2 + n– การเลื่อนของกราฟไป n หน่วยตามแนวแกน Oy และถ้า n > 0 การเลื่อนจะสูงขึ้น และถ้า n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– การเลื่อนกราฟไปหน่วย m ตามแกน Ox: ถ้า m< 0, то вправо, а если m >0 แล้วจากไป (รูปที่ 5).

4) y = -x 2– การแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน Ox ของกราฟ y = x 2

มาดูการวางแผนฟังก์ชันกันดีกว่า y = ก(x – ม.) 2 + n.

ฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้เสมอ

y = a(x – m) 2 + n โดยที่ m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a)

มาพิสูจน์กัน

จริงหรือ,

y = ขวาน 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a)

ให้เราแนะนำสัญลักษณ์ใหม่

อนุญาต ม. = -b/(2a), ก n = -(ข 2 – 4ac)/(4a),

จากนั้นเราจะได้ y = a(x – m) 2 + n หรือ y – n = a(x – m) 2

มาทดแทนกันเพิ่มเติม: ให้ y – n = Y, x – m = X (*)

จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน Y = aX 2 ซึ่งกราฟคือพาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดกำเนิด เอ็กซ์ = 0; ย = 0

เมื่อแทนพิกัดของจุดยอดลงใน (*) เราจะได้พิกัดของจุดยอดของกราฟ y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n

ดังนั้นเพื่อที่จะพลอตฟังก์ชันกำลังสองที่แสดงเป็น

y = ก(x – ม.) 2 + n

ผ่านการแปลง คุณสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้:

ก)พลอตฟังก์ชัน y = x 2 ;

ข)โดยการแปลแบบขนานตามแกน Ox ด้วยหน่วย m และตามแกน Oy ด้วย n หน่วย - ถ่ายโอนจุดยอดของพาราโบลาจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัด (m; n) (รูปที่ 6).

การแปลงการบันทึก:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n

ตัวอย่าง.

ใช้การแปลง สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2(x – 3) 2 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน – 2.

สารละลาย.

ห่วงโซ่แห่งการเปลี่ยนแปลง:

ย = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

การวางโครงจะแสดงอยู่ใน ข้าว. 7.

คุณสามารถฝึกเขียนกราฟฟังก์ชันกำลังสองได้ด้วยตัวเอง เช่น สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2(x + 3) 2 + 2 ในระบบพิกัดเดียวโดยใช้การแปลง หากคุณมีคำถาม หรือต้องการรับคำแนะนำจากอาจารย์ ก็มีโอกาสที่จะดำเนินการ บทเรียนฟรี 25 นาทีกับติวเตอร์ออนไลน์หลังจากลงทะเบียน สำหรับ ทำงานต่อไปกับอาจารย์ของคุณคุณสามารถเลือกแผนภาษีที่เหมาะกับคุณ

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสองใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง นี่ค่อนข้างแปลกเพราะพวกเขาศึกษาฟังก์ชันกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จากนั้นตลอดไตรมาสแรกของชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 พวกเขา "ทรมาน" คุณสมบัติของพาราโบลาและสร้างกราฟสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาไม่ได้อุทิศเวลาในการ "อ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่าสันนิษฐานว่าหลังจากสร้างกราฟหนึ่งหรือสองกราฟแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและ รูปร่างศิลปะภาพพิมพ์ ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้ผล สำหรับภาพรวมดังกล่าวจำเป็นต้องมีประสบการณ์ที่จริงจังในการวิจัยขนาดเล็กทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนเกรดเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันผู้ตรวจการของรัฐเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตาราง

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและจะเสนออัลกอริธึมหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = ขวาน 2 + bx + cเรียกว่าสมการกำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อหมายถึงคำหลักคือ ขวาน 2. นั่นคือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถเท่ากับศูนย์ได้

เรามาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก. เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ:“ ถ้า ก> 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = 0,5

และตอนนี้สำหรับ ก < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = - 0,5

ผลกระทบของสัมประสิทธิ์ กับนอกจากนี้ยังง่ายต่อการติดตาม สมมติว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ลงในสูตร:

ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค. ปรากฎว่า ย = ค. นั่นคือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y โดยปกติแล้ว จุดนี้จะหาได้ง่ายบนกราฟ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นคือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ตามนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y = x 2 + 4x

ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข. จุดที่เราจะพบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ขแต่ยังมาจาก ก. นี่คือยอดพาราโบลา Abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) พบได้จากสูตร x ใน = - b/(2a). ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว. นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: เราค้นหาจุดยอดของพาราโบลาบนกราฟ กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x เข้า> 0) หรือไปทางซ้าย ( x เข้า < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ด้วย ก. นั่นคือ ดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางไหน และหลังจากนั้นตามสูตรเท่านั้น b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.

ลองดูตัวอย่าง:

กิ่งก้านชี้ขึ้นซึ่งหมายความว่า ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์นั่นคือ กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x เข้า> 0. ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มที่เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง – พาราโบลา.

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

ฉันกรณีพาราโบลาคลาสสิก

นั่นคือ , ,

หากต้องการสร้าง ให้กรอกตารางโดยแทนที่ค่า x ลงในสูตร:

ทำเครื่องหมายจุด (0;0); (1;1); (-1;1) เป็นต้น บน ประสานงานเครื่องบิน(ยิ่งขั้นตอนที่เราใช้ค่า x น้อยลง (ในกรณีนี้คือขั้นตอนที่ 1) และยิ่งเราใช้ค่า x มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้นเท่านั้น) เราจะได้พาราโบลา:

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเราใช้กรณี , , นั่นคือ เราจะได้พาราโบลาที่สมมาตรรอบแกน (oh) ง่ายต่อการตรวจสอบโดยกรอกตารางที่คล้ายกัน:

กรณีที่สอง “a” แตกต่างจากหน่วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอา , , ? พฤติกรรมของพาราโบลาจะเปลี่ยนไปอย่างไร? ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ในภาพแรก (ดูด้านบน) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าจุดจากตารางสำหรับพาราโบลา (1;1), (-1;1) ถูกแปลงเป็นจุด (1;4), (1;-4) นั่นคือ ที่มีค่าเท่ากัน ลำดับของแต่ละจุดจะคูณด้วย 4 ซึ่งจะเกิดขึ้นกับจุดสำคัญทั้งหมดของตารางต้นฉบับ เราให้เหตุผลคล้ายกันในกรณีของภาพที่ 2 และ 3

และเมื่อพาราโบลา “กว้างขึ้น” มากกว่าพาราโบลา:

สรุป:

1)เครื่องหมายสัมประสิทธิ์กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) มูลค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ (โมดูลัส) มีหน้าที่รับผิดชอบในการ "ขยายตัว" และ "การบีบอัด" ของพาราโบลา ยิ่งขนาดใหญ่ พาราโบลาก็จะแคบลง |a| ยิ่งเล็ก พาราโบลาก็จะยิ่งกว้างขึ้น

กรณีที่สาม “C” ปรากฏขึ้น

ตอนนี้เรามาแนะนำเกม (นั่นคือ พิจารณากรณีที่) เราจะพิจารณาพาราโบลาของแบบฟอร์ม . เดาได้ไม่ยาก (คุณสามารถดูตารางได้ตลอดเวลา) ว่าพาราโบลาจะเลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวแกนขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย:

IV กรณี “b” ปรากฏขึ้น

พาราโบลาจะ “แยกตัว” ออกจากแกนและ “เดิน” ไปตามระนาบพิกัดทั้งหมดเมื่อใด เมื่อไหร่จะเลิกเท่ากัน?

ตรงนี้เพื่อสร้างพาราโบลาที่เราต้องการ สูตรคำนวณจุดยอด: , .

ดังนั้น ณ จุดนี้ ( ณ จุด (0;0) ระบบใหม่พิกัด) เราจะสร้างพาราโบลาซึ่งเราทำได้แล้ว หากเรากำลังจัดการกับกรณีนี้จากจุดยอดเราวางส่วนของหน่วยหนึ่งส่วนไปทางขวาหนึ่งส่วนขึ้น - จุดผลลัพธ์คือของเรา (ในทำนองเดียวกันก้าวไปทางซ้ายหนึ่งก้าวขึ้นไปคือจุดของเรา) หากเรากำลังเผชิญอยู่ตัวอย่างเช่นจากจุดสุดยอดเราวางส่วนของหน่วยไปทางขวาสอง - ขึ้นไปเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพาราโบลา:

สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือที่จุดยอดนี้ เราจะสร้างพาราโบลาตามรูปแบบพาราโบลา เพราะในกรณีของเรา

เมื่อสร้างพาราโบลา หลังจากหาพิกัดของจุดยอดได้มากแล้วสะดวกในการพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

1) พาราโบลา จะผ่านจุดนั้นไปอย่างแน่นอน . อันที่จริง เมื่อแทน x=0 ลงในสูตร เราก็จะได้ว่า นั่นคือ พิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) คือ ในตัวอย่างของเรา (ด้านบน) พาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด เนื่องจาก

2) แกนสมมาตร พาราโบลา เป็นเส้นตรง ดังนั้นทุกจุดของพาราโบลาจะสมมาตรกัน ในตัวอย่างของเรา เราจะหาจุด (0; -2) ทันทีและสร้างมันขึ้นมาแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา เราจะได้จุด (4; -2) ที่พาราโบลาจะผ่านไป

3) เมื่อเท่ากับ เราจะหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oh) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ เราจะได้หนึ่ง (, ), สอง ( title="Rendered โดย QuickLaTeX.com ขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ รากของการแบ่งแยกของเราไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อสร้าง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่เราจะค้นหาราก แต่เราเห็นชัดเจนว่าเราจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน (oh) (ตั้งแต่ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

เรามาลองดูกัน

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลาหากกำหนดไว้ในรูปแบบ

1) กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) เราค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร , .

3) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) โดยใช้เทอมอิสระสร้างจุดที่สมมาตรถึงจุดนี้ด้วยความเคารพต่อแกนสมมาตรของพาราโบลา (ควรสังเกตว่ามันเกิดขึ้นว่าการทำเครื่องหมายนั้นไม่ได้ประโยชน์ เช่นจุดนี้เพราะค่ามันมาก...เราข้ามจุดนี้ไป...)

4) ที่จุดที่พบ - จุดยอดของพาราโบลา (ณ จุด (0;0) ของระบบพิกัดใหม่) เราสร้างพาราโบลา ถ้า title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) (หากยังไม่ "โผล่ขึ้นมา") โดยการแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

หมายเหตุ 1.หากในตอนแรกเราให้พาราโบลาในรูปแบบ ซึ่งมีตัวเลขอยู่บ้าง (เช่น ) การสร้างพาราโบลาจะง่ายกว่านี้อีก เนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุดยอดแล้ว ทำไม

เอาล่ะ ตรีโกณมิติกำลังสองและเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในนั้น: ดูสิ เราได้สิ่งนั้น , . คุณและฉันก่อนหน้านี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือตอนนี้

ตัวอย่างเช่น, . เราทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาบนระนาบ เราเข้าใจว่ากิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาถูกขยาย (สัมพันธ์กับ ) นั่นคือเราดำเนินการตามข้อ 1; 3; 4; 5 จากอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา (ดูด้านบน)

โน้ต 2.หากพาราโบลาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบที่คล้ายกับสิ่งนี้ (นั่นคือ นำเสนอเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว) เราจะเห็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน (วัว) ทันที ในกรณีนี้ – (0;0) และ (4;0) ส่วนที่เหลือเราดำเนินการตามอัลกอริธึมโดยเปิดวงเล็บ

ทุกคนคงรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่เราจะดูวิธีการใช้อย่างถูกต้องและมีความสามารถเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ด้านล่างนี้

ขั้นแรก ให้เราร่างแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมีให้กับเทอมนี้ ลองพิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เรามาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กันดีกว่า มาเรียนรู้วิธีค้นหาค่าด้านบนและค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

มาดูกันว่าจะสร้างเส้นโค้งที่ต้องการได้อย่างไรโดยใช้สมการสิ่งที่คุณต้องใส่ใจ มาดูพื้นฐานกัน การใช้งานจริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลามาตรฐาน

รูปนี้แสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ซึ่งเป็นส่วนปลายสุด ซึ่งเป็นทิศทางของกิ่งก้านของฟังก์ชันที่ลากไปตามแกนแอบซิสซา

สมการทางบัญญัติคือ:

y 2 = 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตจะมีการเขียนแตกต่างออกไป:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่รู้จัก: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและมีศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน abscissa

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน – (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งก้านของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนของบรรทัด

วิธีกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

หากต้องการค้นหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องกำหนดเครื่องหมายก่อนพารามิเตอร์ตัวแรก การแสดงออกทางพีชคณิต. ถ้า ˃ 0 แสดงว่าพวกมันพุ่งขึ้น ถ้ากลับกันก็ลงครับ

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การค้นหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เปิดพิเศษได้แน่นอน เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะตรวจสอบได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษคือ เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหาจุดยอด:

• x 0 = -b / (2 * ก);
• y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 มาหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดเช่นนี้:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้รับพิกัดของจุดยอด (-2, -41)

การแทนที่พาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ตัวที่สองและสามจะเท่ากับ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ไปตามแกน abscissa หรือแกนพิกัดเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับเส้นบนระนาบจะถูกเลื่อนตามจำนวนหน่วยเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

มันหมายความว่าอย่างนั้น ดูคลาสสิกเส้นโค้งจะเลื่อนไป 2 หน่วยตามแกนแอบซิสซา และ 3 หน่วยตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องโดยใช้พารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณจะเห็นสิ่งต่อไปนี้:

1. จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่า เท่ากับมูลค่ากับ.
2. จุดทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะมีความสมมาตรสัมพันธ์กับจุดปลายสุดหลักของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ จุดตัดกับ OX สามารถพบได้โดยการรู้การแบ่งแยก (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D = (ข 2 - 4 * a * c)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องถือนิพจน์ให้เป็นศูนย์

การมีอยู่ของรากของพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

• D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0 จากนั้น x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

• กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
• ค้นหาพิกัดของจุดยอด
• ค้นหาจุดตัดกับแกนกำหนด
• หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y = x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม:

1. a = 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ตัดกับแกนพิกัดที่ค่า y = 4;
4. มาหาความแตกต่างกัน: D = 25 - 16 = 9;
5. กำลังมองหาราก:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนด:

1. a = 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. จะตัดกับแกน y ที่ค่า y = -1;
4. มาหาตัวจำแนก: D = 4 + 12 = 16 ดังนั้นรากคือ:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0)

เมื่อใช้คะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

ไดเรกทริกซ์ ความเยื้องศูนย์กลาง จุดโฟกัสของพาราโบลา

ซึ่งเป็นรากฐาน สมการบัญญัติจุดโฟกัสของ F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB คือไดเรกตริกซ์ (คอร์ดชนิดหนึ่งของพาราโบลาที่มีความยาวค่าหนึ่ง) สมการของมันคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่เด็กนักเรียนเรียนอยู่ มัธยม. ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าเมื่อดูฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีค้นหาจุดยอดของมัน กิ่งก้านจะหันไปในทิศทางใด ไม่ว่าจะมีการกระจัดตามแนวแกนหรือไม่ และด้วยอัลกอริทึมการก่อสร้าง คุณก็สามารถวาดกราฟของมันได้