การสร้างสมการที่ถูกต้องหมายถึงอะไร? ความเท่าเทียมกันคืออะไร? สัญญาณแรกและหลักการแห่งความเท่าเทียมกัน

ข้อความต่อไปนี้เขียนบนกระดาษ:

สามและสองเป็นห้า

เพิ่มสองเป็นสามก็จะกลายเป็นห้า

เราบวกสามและสอง และผลลัพธ์คือห้า

สามคูณสองกลายเป็นห้า

ผลรวมของตัวเลขสามและสองคือห้า

อย่างไรก็ตาม “บทบาท” ที่เล่นโดยตัวเลขในรายการนี้จะมีชื่อดังต่อไปนี้:

เทอมแรก + เทอมสอง = ผลรวม

ในทางเดียวกัน,

นี่ไม่ใช่แค่ "ห้าลบสองเท่ากับสาม" เท่านั้น แต่ยังรวมถึง:

ห้าลบสองเป็นสาม

จากห้าลบสองกลายเป็นสาม

ลบสองจากห้าแล้วคุณจะได้สาม

ห้าลดลงสองเท่ากับสาม

ความแตกต่างระหว่างตัวเลขห้าและสองเท่ากับสาม

หากค่า minuend คือ 5 และค่า subtrahend คือ 2 ผลต่างคือ 3

“บทบาท” ของตัวเลขในตัวอย่างการลบมีชื่อดังต่อไปนี้:

minuend - subtrahend = ความแตกต่าง

เซเว่น - นี่ก็เหมือนกับสี่บวกสาม

ลองพิจารณาสถานการณ์นี้ เดนิสมีลูกอม 5 อัน Matvey น้องชายของเขาถามว่า:

เดนิสเก็บลูกอมเป็นสองกอง เขาเก็บกองหนึ่งไว้สำหรับตัวเองและมอบอีกกองหนึ่งให้กับแมทวีย์ คำถามคือ: ลูกอม 5 เม็ดสามารถแบ่งออกเป็นสองกองได้อย่างไร? คำตอบที่เป็นไปได้:

5 = 1 + 4 (เดนิสเก็บขนมไว้หนึ่งชิ้นให้ Matvey สี่อัน)
5 = 2 + 3;
5 = 3 + 2;
5 = 4 + 1.

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้. อาจกลายเป็นว่าเดนิสไม่ชอบขนมเหล่านี้เลย และเขาก็มอบมันทั้งหมดให้แมตวีย์:

หรือบางทีเดนิสอาจไม่อยากแบ่งขนมเลย แล้วคุณควรเขียนสิ่งนี้:

คำตอบทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นบรรทัดเดียวได้:

สมมติว่าลุงที่เป็นผู้ใหญ่ซึ่งเป็นผู้ตรวจสอบที่ไม่ได้รับเชิญถามเดนิส:

ตอนนี้เดนิสสามารถตอบได้อย่างปลอดภัย:

นี่เท่ากับสามบวกสอง.

และเดนิสจะพูดถูกอย่างแน่นอน จริงหรือ,

แต่คุณจะขอให้คำนวณ "สองบวกสาม" อย่างเชี่ยวชาญได้อย่างไรเพื่อให้คำตอบเป็นตัวเลขตัวเดียว?

คำถามที่ดีจะเป็น:

ค่าของนิพจน์ 2 + 3 คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ทุกสิ่งที่คุณสามารถถามได้เรียกว่า: “นี่เท่าไหร่? นี่เท่ากับเลขอะไร? เราได้พบสำนวนเช่น "2 + 3", "5 − 2" แล้ว ตัวเลขเองก็เป็นการแสดงออกเช่นกัน มันคงไม่ผิดที่จะพูดแบบนั้น

ดังนั้น "2" จึงเป็นนิพจน์

คำตอบสำหรับคำถาม: “นี่เท่าไหร่? นี่เท่ากับเลขอะไร? - เรียกว่าค่าของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ "2 + 3" คือ "5" สิ่งนี้เขียนในลักษณะที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

หากสองนิพจน์มีความหมายเหมือนกัน จะมีการวางเครื่องหมาย “=” ไว้ระหว่างนิพจน์เหล่านั้นและเรียกรายการผลลัพธ์ ความเท่าเทียมกัน, ตัวอย่างเช่น:

1 + 4 = 2 + 3;
7 = 2 + 5.

เรารู้อยู่แล้วว่าความเท่าเทียมกันสามารถสร้างห่วงโซ่ได้:

5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0.

หากมีสองสำนวน ความหมายที่แตกต่างกันดังนั้นการใส่เครื่องหมาย “=” ไว้ระหว่างเครื่องหมายเหล่านั้นจะไม่ถูกต้อง แต่คุณสามารถใส่เครื่องหมายอื่นได้ เช่น “≠” ตัวอย่างเช่น,

1 ≠ 2 (อ่าน: หนึ่งไม่เท่ากับสอง);
3 + 2 ≠ 4 (สามบวกสองไม่เท่ากับสี่);
10 ≠ 7 − 3 (สิบไม่เท่ากับเจ็ดลบสาม)

บันทึกดังกล่าวเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกัน. อย่างไรก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้มักทำให้เกิดความไม่พอใจอยู่บ้าง ไม่น่าเป็นไปได้ที่เดนิสจะพูดว่า:

อายุของฉัน อายุไม่เท่ากันมัตเวยะ.

เป็นไปได้มากว่าจะแสดงดังนี้:

ฉันแก่กว่าแมทวีย์ ฉันอายุมากกว่าเขา แมทวีย์อายุน้อยกว่าฉัน เขาอายุน้อยกว่าฉัน

เรารู้ว่าเดนิสอายุ 7 ขวบ และมัตวีย์อายุ 5 ขวบ เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

7 > 5 (อ่าน: เจ็ดมากกว่าห้า หรือ: เจ็ดมากกว่าห้า)

5 < 7 (пять меньше семи; пять меньше, чем семь).

ภายในสามปีทั้งคู่จะแก่กว่า แต่เดนิสจะยังคงแก่กว่าแมตวีย์:

7 + 3 > 5 + 3 (เจ็ดบวกสามมากกว่าห้าบวกสาม);
5 + 3 < 7 + 3 (пять плюс три меньше, чем семь плюс три).

รายการที่มีสัญลักษณ์ ">" ("มากกว่า") หรือ "<» («меньше») тоже называются ความไม่เท่าเทียมกัน. ความไม่เท่าเทียมกันสามารถก่อให้เกิดห่วงโซ่:

0 < 1 < 2 < 3;
3 > 2 > 1 > 0.

โซ่แบบผสมก็เป็นที่ยอมรับเช่นกันซึ่งมีทั้งความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ถามว่า อะไรยิ่งใหญ่กว่า:

7 + 3 หรือ 5 + 3?

สะดวกในการนำเสนอคำตอบสำหรับคำถามนี้ในรูปแบบต่อไปนี้:

7 + 3 = 10 > 8 = 5 + 3.

บางทีบางครั้งเดนิสก็อยากจะพูดแบบนี้:

ฉันอายุมากกว่า Matvey สองปี ฉันอายุมากกว่าเขาสองปี แมทวีย์อายุน้อยกว่าฉันสองปี เขาอายุน้อยกว่าฉันสองปี

หากต้องการเขียนโดยใช้ตัวเลข เราจะต้องมีความเท่าเทียมกันอีกครั้ง รายการนี้สามารถทำได้หลายวิธี:

7 = 5 + 2;
5 = 7 − 2;
2 = 7 − 5.

ตอนนี้เรามาพูดถึงคำที่มักใช้เมื่อพูดถึงการคูณและการหาร ให้ความเท่าเทียมกัน

3 คูณ 5 เท่ากับ 15;
ผลคูณของหมายเลข 3 และ 5 คือ 15
หมายเลข 3 เพิ่มขึ้น 5 เท่าและได้ 15;
จำนวน 5 เพิ่มขึ้น 3 ครั้งและเราได้ 15;
หมายเลข 15 มากกว่าหมายเลข 3 ถึง 5 เท่า
หมายเลข 3 น้อยกว่าหมายเลข 15 ถึง 5 เท่า

“บทบาท” มีการกระจายดังนี้:

ปัจจัยแรก ∙ ปัจจัยที่สอง = ผลิตภัณฑ์

ในโรงเรียน ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10 จะถูกเขียนลงในตารางน่าเบื่อขนาดใหญ่ที่เรียกว่าตารางสูตรคูณ ตารางนี้ถูกบังคับให้เรียนรู้ด้วยใจ เพื่อให้การยัดเยียดง่ายขึ้น ในภาษารัสเซีย มีชื่อพิเศษสำหรับผลิตภัณฑ์จากตารางสูตรคูณ เช่น

2 ∙ 2 - สองครั้ง;
3 ∙ 6 - สามครั้งหก;
4 ∙ 5 - สี่คูณห้า;
5 ∙ 8 - ห้าแปด
ฯลฯ

ให้เราพิจารณาความเท่าเทียมกัน

คุณสามารถอ่านรายการนี้ได้ดังนี้:

15 หารด้วย 3 เท่ากับ 5;
15 หารด้วย 3 เท่ากับ 5;
ผลหารของ 15 หารด้วย 3 คือ 5;
อัตราส่วนของตัวเลข 15 และ 3 คือ 5;
หมายเลข 15 คือ 3 คูณหมายเลข 5;
หมายเลข 5 น้อยกว่าหมายเลข 15 ถึง 3 เท่า

“บทบาท” มีการกระจายดังนี้:

เงินปันผล / ตัวหาร = ผลหาร

งาน

2.1.1. ต้องบวกตัวเลขสองตัวใดจึงจะได้ผลลัพธ์เท่ากับสี่? เขียนคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2.1.2. ต้องลบเลขใดออกจากเลขใดจึงจะได้ผลลัพธ์เท่ากับสอง? เขียนหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้

2.1.3. ระบุว่ารายการใดต่อไปนี้เป็นนิพจน์ ซึ่งก็คือความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นเรื่องไร้สาระ ความเท่าเทียมกันและอสมการใดเป็นจริงและสิ่งใดไม่จริง

1
10
10 +
10 + 8
10 + 8 =
10 + 8 = 1
10 + 8 = 18
2
25
25 −
25 − 5
25 − 5 >
25 − 5 > 1
25 − 5 > 10
25 − 5 > 10 +
25 − 5 > 10 + 2
25 − 5 > 10 + 20

2.1.4. ค้นหาความหมายของสำนวน

37 + 54
98 − 73
และอื่น ๆ

2.1.5. เปรียบเทียบนิพจน์ (ใส่เครื่องหมาย "=", ">" หรือ "ระหว่างพวกเขา<»):

45 + 18 __ 71 − 16
78 − 14 __ 13 + 56
และอื่น ๆ

ตัวอย่างการเขียนวิธีแก้ปัญหา:

63 = 45 + 18 > 71 − 16 = 55.

2.1.6. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และ Matvey มีลูกอมน้อยกว่า 3 ชิ้น Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.7. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และ Matvey มีลูกอมอีก 3 ชิ้น Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.8. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และแมทวีย์มีลูกอม 23 ชิ้น ใครมีขนมมากกว่าและราคาเท่าไหร่?

2.1.9. เดนิสมีลูกอม 33 ชิ้น และแมทวีย์มีลูกอม 35 ชิ้น ใครมีขนมน้อยกว่าและเท่าไหร่?

2.1.10. เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกกวาด 4 อัน ตอนนี้ใครมีขนมมากกว่าและราคาเท่าไหร่?

2.1.11. (ยั่วยุเล็กน้อย) เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกอม 2 อัน ตอนนี้ใครมีขนมน้อยลงและเท่าไหร่?

2.1.12. เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกกวาด 14 ลูก และแมทวีย์กินลูกกวาด 10 ลูก ใครมีขนมมากกว่าและเท่าไหร่?

2.1.14. เดนิสอายุ 7 ขวบ และแมทเวย์อายุ 5 ขวบ Matvey จะอายุเท่าไหร่เมื่อเดนิสอายุ 10 ขวบ เดนิสจะอายุเท่าไหร่เมื่อ Matvey อายุ 10 ขวบ?

2.1.15. เดนิสมีลูกอม 20 อัน และแมทวีย์มีลูกอมครึ่งหนึ่ง Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.16. เดนิสมีลูกอม 5 อัน และแมทเวย์มีมากกว่า 3 เท่า Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.17. ตั้งแต่ขั้นตอนนี้เป็นต้นไป ปัญหาต่างๆ สามารถรับได้จากคู่มือและหนังสือปัญหาที่แนะนำสำหรับเด็กนักเรียนอย่างเป็นทางการและจำหน่ายในร้านหนังสือ อย่างไรก็ตาม งานดังกล่าวมักได้รับการจัดทำขึ้นในลักษณะที่เข้าใจยากมากและต้องมีการแก้ไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นมีปัญหาดังต่อไปนี้ (O. V. Uzorova ปัญหา 3,000 ข้อและตัวอย่างทางคณิตศาสตร์: เกรด 3-4 มอสโก, 2544):

“หินที่ชนชั้นบรรยากาศโลกและเผาไหม้จนหมดนั้นเรียกว่าอุกกาบาต พวกมันสว่างขึ้นที่ระดับความสูง 100 กม. และเมื่อเผาไหม้จะบินได้อีก 30 กม. ฝุ่นและเถ้าจากดาวตกนี้จะเหลืออีกกี่กิโลเมตรที่จะบินมายังโลก”

หากคุณเสนอปัญหาให้เด็กในรูปแบบนี้ ก็มีความเสี่ยงที่จะจมอยู่กับคำอธิบายว่าอุกกาบาตมาจากไหน แตกต่างจากอุกกาบาตอย่างไร บรรยากาศเป็นอย่างไร เหตุใดร่างกายจึงร้อนขึ้นเมื่อพวกมันเสียดสีกับอากาศ และ โดยทั่วไปแล้วจักรวาลทำงานอย่างไร แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้ล้วนน่าสนใจ แต่เนื่องจากเราตัดสินใจเรียนวิชาคณิตศาสตร์ จึงเป็นการดีกว่าถ้าแปลปัญหาเดียวกันเป็นภาษาที่คุ้นเคยมากกว่า นี่คือทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้:

“ตั้งแต่ทางเข้าบ้านจนถึงร้านไอศกรีมมีบันได 100 ขั้น พ่อไปที่ร้านเพื่อซื้อไอศกรีมเดนิส เขาเดินไปได้ 30 ก้าวแล้ว เขาเหลืออีกกี่ก้าวที่จะเดิน?

1) แนวคิดเชิงคุณภาพที่ใช้ในเศรษฐศาสตร์ในแง่ของ "ความเท่าเทียมกันของรายได้", "ความเท่าเทียมกันในทรัพย์สิน", "ความเท่าเทียมกันของโอกาส" เพื่อเน้นย้ำถึงความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันในตำแหน่งของกลุ่มสังคมแต่ละกลุ่ม 2) อัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ สมการ

คำจำกัดความที่ยอดเยี่ยม

คำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์ ↓

ความเท่าเทียมกัน

หลักหนึ่งของกฎหมาย แนวคิดของอาร์เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมเช่น ผลของการมีสติ (จิต) เป็นนามธรรมจากความแตกต่างที่มีอยู่ในวัตถุที่ถูกเปรียบเทียบ กฎหมายไม่ได้เป็นนามธรรมมากนัก พื้นฐาน (และเกณฑ์) ของสมการทางกฎหมาย ผู้คนที่หลากหลายคือเสรีภาพของบุคคลในความสัมพันธ์ทางสังคม ซึ่งเป็นที่ยอมรับและยืนยันในรูปแบบของความสามารถทางกฎหมายและบุคลิกภาพทางกฎหมาย นี่เป็นลักษณะเฉพาะของกฎหมายและกฎหมายโดยทั่วไป อาร์ มีความหมายที่มีเหตุผลเป็นไปได้ในเชิงตรรกะและในทางปฏิบัติ โลกโซเชียลถูกต้องตามกฎหมายเท่านั้น (เป็นทางการ - กฎหมาย เป็นทางการ) อาร์ ประวัติศาสตร์ของกฎหมายคือประวัติศาสตร์ของวิวัฒนาการที่ก้าวหน้าของเนื้อหา ปริมาณ ขนาด และการวัดที่เป็นทางการ (กฎหมาย) อาร์ ในขณะที่ยังคงรักษาหลักการนี้ไว้เป็นหลักการของใด ๆ ระบบกฎหมาย กฎหมายโดยทั่วไป ดังนั้นหลักการของกฎหมายที่เป็นทางการจึงเป็นหลักการที่มีอยู่ในกฎหมายอย่างต่อเนื่องโดยมีเนื้อหาที่เปลี่ยนแปลงไปในอดีต โดยทั่วไปวิวัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของเนื้อหาขอบเขตและขอบเขตของหลักการของ R. อย่างเป็นทางการไม่ได้ปฏิเสธ แต่ในทางกลับกันตอกย้ำความสำคัญของหลักการนี้ดังที่ คุณสมบัติที่โดดเด่นสิทธิที่เกี่ยวข้องกับกฎระเบียบทางสังคมประเภทอื่นๆ (ศีลธรรม ศาสนา ฯลฯ) ความแตกต่างข้อเท็จจริงดั้งเดิมระหว่างผู้คนพิจารณาและประนีประนอมในแง่ของ หลักการทางกฎหมายอาร์ (มาตรการที่เท่าเทียมกัน) ในที่สุดก็ปรากฏในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันในสิทธิที่ได้รับแล้ว (ในโครงสร้าง เนื้อหา และขอบเขตของสิทธิในหัวข้อต่างๆ ของกฎหมาย) กฎหมายเป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ตามหลักการของร. ไม่ได้ทำลาย (และไม่สามารถทำลาย) ความแตกต่างดั้งเดิมระหว่างวิชากฎหมายต่าง ๆ ได้ เพียงแต่ทำให้เป็นทางการและจัดระเบียบความแตกต่างเหล่านี้บนพื้นฐานเดียว เปลี่ยนความแตกต่างทางข้อเท็จจริงที่คลุมเครือเป็นสิทธิที่กำหนดไว้อย่างเป็นทางการ ของผู้มีเสรีภาพเป็นอิสระจากกันและเป็นบุคคลที่เท่าเทียมกัน โดยสาระสำคัญแล้ว นี่คือความเฉพาะเจาะจง ความหมาย และคุณค่าของรูปแบบทางกฎหมายของการไกล่เกลี่ย กฎระเบียบ และการจัดระเบียบของความสัมพันธ์ทางสังคม Legal R. และความไม่เท่าเทียมกันทางกฎหมายเป็นคำจำกัดความทางกฎหมายที่มีลำดับเดียว หลักการควบคุมทางกฎหมายของวิชาต่างๆ ถือว่าสิทธิส่วนตัวที่แท้จริงที่ได้รับจากพวกเขาจะไม่เท่ากัน ต้องขอบคุณกฎหมายที่ทำให้ความสับสนวุ่นวายของความแตกต่างกลายเป็นลำดับทางกฎหมายของความเสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งตกลงกันบนพื้นฐานเดียวและเป็นบรรทัดฐานทั่วไป การยอมรับบุคคลต่างๆ ว่ามีความเท่าเทียมกันอย่างเป็นทางการหมายถึงการยอมรับความสามารถทางกฎหมายที่เท่าเทียมกัน ความสามารถในการได้รับสิทธิ์บางประการในสินค้าที่เกี่ยวข้อง วัตถุเฉพาะ ฯลฯ กฎหมายอย่างเป็นทางการเป็นเพียงความสามารถซึ่งเป็นโอกาสเชิงนามธรรมที่จะได้รับตามขนาดทั่วไปและมาตรการที่เท่าเทียมกันของกฎระเบียบทางกฎหมายซึ่งกำหนดสิทธิของตนเองในวัตถุที่กำหนดเป็นรายบุคคล ความแตกต่างในสิทธิที่ได้รับระหว่างบุคคลต่างๆ เป็นผลที่จำเป็นของการปฏิบัติตามและไม่ละเมิดหลักการของ R ที่เป็นทางการ (ทางกฎหมาย) ของบุคคลเหล่านี้ ไม่ได้ละเมิดหรือยกเลิกหลักการของ R ที่เป็นทางการ (ทางกฎหมาย) สำหรับทุกคน ซึ่งมีความสัมพันธ์เป็นสื่อกลาง รูปแบบทางกฎหมายกฎหมายทำหน้าที่เป็น รูปแบบสากลเนื่องจากมีผลใช้ได้ในระดับสากลและเท่าเทียมกันสำหรับบุคคลเหล่านี้ทั้งหมด (แตกต่างกันในสถานะที่แท้จริง ทางร่างกาย จิตใจ ทรัพย์สิน ฯลฯ) ในระดับและมาตรการเดียวกัน อาร์. เองประกอบด้วยความจริงที่ว่าพฤติกรรมและตำแหน่งของวัตถุในวงกลมความสัมพันธ์และปรากฏการณ์ทั่วไปที่กำหนดนั้นอยู่ภายใต้การกระทำของกฎข้อเดียวสำหรับทุกคนซึ่งเป็นมาตรการเดียว (ทั่วไปและเท่าเทียมกัน) แปลจากภาษาอังกฤษ: Nersesyants V.S. กฎหมายและกฎหมาย จากประวัติศาสตร์หลักคำสอนทางกฎหมาย ม. 2526; ของเขา. กฎหมายคือคณิตศาสตร์แห่งอิสรภาพ ม. 1996; ของเขา. คุณค่าของกฎหมายในฐานะที่เป็นไตรลักษณ์ของอิสรภาพ ความเสมอภาค และความยุติธรรม // ปัญหาของแนวทางคุณค่าในกฎหมาย: ประเพณีและการต่ออายุ ม., 1996. พวกเนิร์สเซียน

50. คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นพื้นฐานของการแก้สมการ. ลองใช้สมการที่ไม่ซับซ้อนมาก เช่น

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

เราเห็นเครื่องหมายเท่ากับในแต่ละสมการ ทุกอย่างที่เขียนทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับเรียกว่าส่วนซ้ายหรือส่วนแรกของสมการ (ในสมการแรก 7x – 24 คือด้านซ้ายหรือส่วนแรก และในส่วน x ที่สอง /2 – (x – 3)/ 3 – (x – 5)/6 คือส่วนแรกหรือทางซ้าย); ทุกสิ่งที่เขียนทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับเรียกว่าส่วนขวาหรือส่วนที่สองของสมการ (15 – 3x คือด้านขวาของสมการแรก 1 คือด้านขวา หรือส่วนที่สองของสมการที่ 2)

แต่ละส่วนของสมการใดๆ แทนตัวเลข ตัวเลขที่แสดงทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการจะต้องเท่ากัน เป็นที่ชัดเจนสำหรับเรา: ถ้าเราบวกจำนวนเดียวกันในแต่ละจำนวนเหล่านี้ หรือลบจำนวนเดียวกันออกจากจำนวนเหล่านั้น หรือคูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน หรือสุดท้ายหารด้วยจำนวนเดียวกัน ผลลัพธ์ของ การกระทำเหล่านี้ควรเท่าเทียมกันด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc และ a/c = b/c เกี่ยวกับการหาร ควรระลึกไว้เสมอว่าในทางคณิตศาสตร์ไม่มีการหารด้วยศูนย์ - เราไม่สามารถหารเลข 5 ด้วยศูนย์ได้ ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน a/c = b/c จำนวน c ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้

1. ตัวเลขเดียวกันสามารถบวกหรือลบออกจากทั้งสองด้านของสมการได้
2. ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ เว้นแต่จำนวนนั้นจะเป็นศูนย์

การใช้คุณสมบัติของสมการเหล่านี้ทำให้เราสามารถหาวิธีที่สะดวกในการแก้สมการได้ มาชี้แจงกรณีนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการ

5x – 7 = 4x + 15

เราจะเห็นว่าส่วนแรกของสมการประกอบด้วยคำศัพท์สองคำ หนึ่งในนั้นคือ 5x ซึ่งมีปัจจัยที่ไม่รู้จัก x สามารถเรียกว่าคำที่ไม่รู้จักและอีกอัน -7 - รู้จัก ส่วนที่สองของสมการยังมี 2 พจน์: ไม่ทราบ 4x และทราบ +15 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าทางด้านซ้ายของสมการมีเพียงคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก (และคำศัพท์ที่รู้จัก –7 จะถูกทำลาย) และทางด้านขวาจะมีเพียงคำศัพท์ที่รู้จัก (และคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก +4x จะถูกทำลาย) . เพื่อจุดประสงค์นี้ เราบวกตัวเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ: 1) บวก +7 แต่ละตัว (เพื่อให้เทอม –7 ถูกทำลาย) และ 2) บวก –4x แต่ละตัว (เพื่อให้เทอม +4x ถูกทำลาย) จากนั้นเราจะได้รับ:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

เมื่อลดพจน์ที่คล้ายกันลงในแต่ละส่วนของสมการ เราก็จะได้

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นคำตอบของสมการ เนื่องจากมันบ่งชี้ว่าสำหรับ x เราต้องใช้เลข 22

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ:

8x + 11 = 7 – 4x

อีกครั้งที่เราบวก –11 และ +4x เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ เราได้:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

เมื่อลดเงื่อนไขที่คล้ายกันลง เราจะได้:

ทีนี้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย +12 เราจะได้:

x = –4/12 หรือ x = –1/3

(ส่วนแรกของสมการ 12x หารด้วย 12 - เราได้ 12x/12 หรือแค่ x ส่วนที่สองของสมการ -4 หารด้วย +12 - เราได้ -4/12 หรือ -1/3)

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายคือคำตอบของสมการ เนื่องจากมันบ่งชี้ว่าสำหรับ x เราต้องใช้ตัวเลข –1/3

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ

x – 23 = 3 (2x – 3)

ก่อนอื่นเรามาเปิดวงเล็บแล้วรับ:
x – 23 = 6x – 9

บวก +23 และ –6x เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

ตอนนี้ เพื่อที่จะเร่งกระบวนการแก้สมการให้เร็วขึ้น เราจะไม่ลดพจน์ที่คล้ายกันทั้งหมดทันที แต่จะสังเกตเพียงว่าพจน์ –23 และ +23 ทางด้านซ้ายของสมการจะหักล้างกัน และเงื่อนไข +6x และ –6x ในส่วนแรกหักล้างกัน ถูกทำลาย - เราได้รับ:

x – 6x = –9 + 23.

ลองเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการเริ่มต้น: ในตอนแรกมีสมการ:

x – 23 = 6x – 9

ตอนนี้เรามีสมการ:

x – 6x = –9 + 23.

เราพบว่าท้ายที่สุดแล้ว ปรากฎว่าเทอม –23 ซึ่งตอนแรกอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ตอนนี้ดูเหมือนจะย้ายไปทางด้านขวาของสมการ และเครื่องหมายของมันก็เปลี่ยนไป (มีเทอม –23 บน ด้านซ้ายของสมการเริ่มต้น แต่ตอนนี้ไม่มีแล้ว แต่ทางด้านขวาของสมการจะมีเทอม + 23 ซึ่งเมื่อก่อนไม่มี) ในทำนองเดียวกัน ทางด้านขวาของสมการมีเทอม +6x ตอนนี้ไม่มีแล้ว แต่ทางด้านซ้ายของสมการมีเทอม –6x ปรากฏขึ้น ซึ่งไม่เคยมีมาก่อน เมื่อพิจารณาตัวอย่างที่ 1 และ 2 จากมุมมองนี้ เราก็ได้ข้อสรุปทั่วไป:

คุณสามารถถ่ายโอนพจน์ใดๆ ของสมการจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์นี้(เราจะใช้สิ่งนี้ในตัวอย่างนี้เพิ่มเติม)

กลับมาที่ตัวอย่าง เรามีสมการ

x – 6x = –9 + 23

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย –5 จากนั้นเราจะได้รับ:

[–5x: (–5) เราได้ x] – นี่คือคำตอบของสมการของเรา

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ:

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีเศษส่วนในสมการ เพื่อจุดประสงค์นี้เราจะพบ ตัวส่วนร่วมสำหรับเศษส่วนของเรา - ตัวส่วนร่วมคือหมายเลข 24 - และคูณทั้งสองข้างของสมการของเราด้วยมัน (เป็นไปได้เพื่อไม่ให้ละเมิดความเท่าเทียมกันให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันเท่านั้น) ส่วนแรกมี 3 เทอมและแต่ละเทอมเป็นเศษส่วน - จำเป็นต้องคูณแต่ละเศษส่วนด้วย 24: ส่วนที่สองของสมการคือ 0 และคูณศูนย์ด้วย 24 - เราจะได้ศูนย์ ดังนั้น,

เราจะเห็นว่าเศษส่วนทั้งสามของเราคูณด้วยตัวส่วนร่วมน้อยของเศษส่วนเหล่านี้ จะลดลงและกลายเป็นนิพจน์ทั้งหมด กล่าวคือ เราได้:

(3x – 8) 4 – (2x – 1) 6 + (x – 7) 3 = 0

แน่นอนว่าขอแนะนำให้ทำทั้งหมดนี้ในใจของเรา: เราต้องจินตนาการว่าตัวอย่างเช่นตัวเศษของเศษส่วนแรกถูกใส่ไว้ในวงเล็บแล้วคูณด้วย 24 หลังจากนั้นจินตนาการของเราจะช่วยให้เราเห็นการลดลงของสิ่งนี้ เศษส่วน (คูณ 6) และผลลัพธ์สุดท้าย เช่น (3x – 8) · 4. เศษส่วนอื่นๆ ก็เช่นเดียวกัน ให้เราเปิดวงเล็บในสมการผลลัพธ์ (ทางด้านซ้าย):

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(โปรดทราบว่าที่นี่จำเป็นต้องคูณทวินาม 2x - 1 ด้วย 6 และลบผลคูณผลลัพธ์ 12x - 6 จากอันก่อนหน้า เนื่องจากสัญญาณของข้อกำหนดของผลิตภัณฑ์นี้ควรเปลี่ยนแปลง - ด้านบนเขียนไว้ –12x + 6) ลองย้ายพจน์ที่รู้จัก (เช่น –32, +6 และ –21) จากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวา และ (ดังที่เรารู้อยู่แล้ว) สัญญาณของคำศัพท์เหล่านี้ควรเปลี่ยนไป - เราได้:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21

ลองใช้คำที่คล้ายกัน:

(ด้วยทักษะคุณควรโอนเงื่อนไขที่จำเป็นจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งทันทีและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา) ในที่สุดหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3 - เราได้:

x = 15(2/3) - นี่คือคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการ:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

มีเศษส่วนอยู่ 2 ตัวและตัวส่วนร่วมคือ 35 หากต้องการแยกสมการออกจากเศษส่วน เราจะคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม 35 แต่ละส่วนของสมการมี 2 เทอม เมื่อคูณแต่ละส่วนด้วย 35 แต่ละเทอมจะต้องคูณด้วย 35 - เราจะได้:

เศษส่วนลดลงและเราได้รับ:

175 – (3x + 1) 5 = 35x + (2x – 3) 7

(แน่นอนว่าถ้าคุณมีทักษะก็สามารถเขียนสมการนี้ได้ทันที)

มาทำทุกขั้นตอนกัน:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21

ลองย้ายพจน์ที่ไม่รู้จักทั้งหมดจากด้านขวา (เช่น พจน์ +35x และ +14x) ไปทางซ้าย และพจน์ที่ทราบทั้งหมดจากด้านซ้าย (เช่น พจน์ +175 และ –5) ไปทางขวา - เราไม่ควรลืมการโอน สมาชิกเปลี่ยนป้าย:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(คำว่า –15x เหมือนเมื่อก่อนอยู่ทางด้านซ้าย ปัจจุบันยังคงอยู่ ดังนั้น จึงไม่ควรเปลี่ยนเครื่องหมายเลย สิ่งที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับคำว่า –21) เมื่อลดเงื่อนไขที่คล้ายกันลงแล้ว เราจะได้:

–64x = –191

[เป็นไปได้ที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีเครื่องหมายลบทั้งสองด้านของสมการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (–1) เราจะได้ 64x = 191 แต่เราไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้]
จากนั้นเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย (–64) และได้คำตอบของสมการของเรา

[หากเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (–1) และได้สมการ 64x = 191 ตอนนี้เราต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 64]

จากสิ่งที่เราต้องทำในตัวอย่างที่ 4 และ 5 เราสามารถสร้างได้: คุณสามารถแยกสมการออกจากเศษส่วนได้ - ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาตัวส่วนร่วมสำหรับเศษส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ (หรือตัวร่วมที่น้อยที่สุด) ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งหมด) และคูณทั้งสองส่วนของสมการ - จากนั้นเศษส่วนก็จะหายไป

ตัวอย่างที่ 6 แก้สมการ:

การย้ายเทอม 4x จากด้านขวาของสมการไปทางซ้าย เราจะได้:

5x – 4x = 0 หรือ x = 0

ดังนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว: สำหรับ x เราต้องใช้เลขศูนย์ หากเราแทนที่ x ในสมการนี้ด้วยศูนย์ เราจะได้ 5 0 = 4 0 หรือ 0 = 0 ซึ่งบ่งชี้ว่าเป็นไปตามข้อกำหนดที่แสดงโดยสมการนี้: ค้นหาตัวเลขสำหรับ x โดยที่ monomial 5x เท่ากับจำนวนเดียวกัน เป็นเอกเทศ 4x

หากใครสังเกตตั้งแต่ต้นว่าสมการทั้งสองข้างของสมการ 5x = 4x สามารถหารด้วย x และทำการหารนี้ได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือความไม่สอดคล้องกันอย่างชัดเจน: 5 = 4! เหตุผลก็คือ การหาร 5x/x ไม่สามารถทำได้ในกรณีนี้ เนื่องจากดังที่เราเห็นข้างต้น คำถามที่แสดงโดยสมการของเรากำหนดให้ x = 0 และไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

โปรดทราบว่าการคูณด้วยศูนย์ต้องใช้ความระมัดระวัง การคูณด้วยศูนย์และตัวเลขที่ไม่เท่ากันสองตัว จากการคูณเหล่านี้ เราจะได้ผลลัพธ์ที่เท่ากัน นั่นคือศูนย์

ตัวอย่างเช่น หากเรามีสมการ

x – 3 = 7 – x (ผลเฉลยของเขา: x = 5)

และถ้าใครต้องการใช้คุณสมบัติ “ทั้งสองข้างของสมการสามารถคูณด้วยจำนวนเดียวกันได้” แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย x เขาก็จะได้:

x 2 – 3x = 7x – x 2

หลังจากนี้ คุณอาจสังเกตเห็นว่าเงื่อนไขทั้งหมดของสมการประกอบด้วยตัวประกอบ x ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าในการแก้สมการนี้ เราสามารถใช้เลขศูนย์ได้ กล่าวคือ ใส่ x = 0 และจริงๆ แล้วเราจะได้:
0 2 – 3 0 = 7 0 – 0 2 หรือ 0 = 0

อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหานี้ x = 0 ไม่เหมาะกับสมการที่กำหนด x – 3 = 7 – x; การแทนที่ x ด้วยศูนย์ เราจะได้ความไม่สอดคล้องกันอย่างเห็นได้ชัด: 3 = 7!

บทความนี้รวบรวมข้อมูลที่กำหนดแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันในบริบทของคณิตศาสตร์ ที่นี่เราจะค้นหาว่าความเท่าเทียมกันคืออะไรจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ และคืออะไร มาพูดถึงการเขียนความเท่าเทียมกันและเครื่องหมายเท่ากับกันดีกว่า สุดท้าย เราจะแสดงรายการคุณสมบัติหลักของความเท่าเทียมกัน และยกตัวอย่างเพื่อความชัดเจน

การนำทางหน้า

ความเท่าเทียมกันคืออะไร?

แนวคิดเรื่องความเสมอภาคเชื่อมโยงกับการเปรียบเทียบอย่างแยกไม่ออก - การเปรียบเทียบคุณสมบัติและคุณลักษณะเพื่อระบุคุณลักษณะที่คล้ายคลึงกัน และในทางกลับกัน การเปรียบเทียบสมมุติว่ามีวัตถุสองชิ้นหรือวัตถุหนึ่งชิ้นถูกเปรียบเทียบกับอีกชิ้นหนึ่ง ยกเว้นในกรณีที่คุณเปรียบเทียบวัตถุกับตัวมันเอง ซึ่งถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษในการเปรียบเทียบวัตถุสองชิ้น: ตัววัตถุเองและ "สำเนาที่แน่นอน" ของมัน

จากเหตุผลข้างต้นเป็นที่ชัดเจนว่าความเท่าเทียมกันไม่สามารถดำรงอยู่ได้หากไม่มีวัตถุอย่างน้อยสองชิ้น ไม่เช่นนั้นเราจะไม่มีอะไรจะเปรียบเทียบ เห็นได้ชัดว่าคุณสามารถนำวัตถุสามหรือสี่ชิ้นขึ้นไปมาเปรียบเทียบได้ แต่โดยธรรมชาติแล้วมันขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ประกอบด้วยวัตถุเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือการเปรียบเทียบวัตถุสองชิ้น ความเท่าเทียมกันจึงต้องมีวัตถุสองชิ้น

สาระสำคัญของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันคือ ในความหมายทั่วไปย่อมสื่อถึงคำว่า "เหมือนกัน" ได้ชัดเจนที่สุด หากเราใช้วัตถุสองชิ้นที่เหมือนกัน เราก็สามารถพูดเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้นได้ เท่ากัน. ต่อไปนี้เป็นสองตัวอย่าง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันและ . ในทางกลับกันจะเรียกว่าวัตถุต่าง ๆ ไม่เท่ากัน.

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันสามารถประยุกต์ใช้กับวัตถุโดยรวมและกับคุณสมบัติและคุณลักษณะเฉพาะของวัตถุเหล่านั้นได้ วัตถุโดยรวมมีความเท่าเทียมกันเมื่อมีความเท่าเทียมกันทุกประการโดยธรรมชาติ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราได้พูดถึงความเท่าเทียมกันของวัตถุโดยทั่วไป - วัตถุทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาดเท่ากัน สีเดียวกัน และโดยทั่วไปแล้วพวกมันจะเหมือนกันโดยสิ้นเชิง ในทางกลับกัน วัตถุโดยรวมอาจไม่เท่ากัน แต่อาจมีลักษณะบางอย่างที่เท่าเทียมกัน เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาวัตถุดังกล่าวและ เห็นได้ชัดว่าพวกมันมีรูปร่างเท่ากัน - พวกมันเป็นวงกลมทั้งคู่ และสีและขนาดไม่เท่ากัน อันหนึ่งเป็นสีน้ำเงิน อีกอันเป็นสีแดง อันหนึ่งเล็กและอีกอันใหญ่

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสังเกตด้วยตัวเราเองว่าเราจำเป็นต้องรู้ล่วงหน้าว่าเรากำลังพูดถึงความเท่าเทียมกันอย่างไร

ข้อโต้แย้งข้างต้นทั้งหมดใช้กับความเท่าเทียมกันในคณิตศาสตร์ เฉพาะที่นี่ความเท่าเทียมกันเท่านั้นที่อ้างถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ คือเมื่อเรียนคณิตศาสตร์เราจะพูดถึงความเท่าเทียมกันของตัวเลข ความเท่าเทียมกันของค่านิพจน์ ความเท่าเทียมกันของปริมาณใดๆ เช่น ความยาว พื้นที่ อุณหภูมิ ผลิตภาพแรงงาน เป็นต้น

การเขียนความเท่าเทียมกัน =

ถึงเวลาดูกฎเกณฑ์ในการเขียนความเท่าเทียมกันแล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้จึงถูกนำมาใช้ =(เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายเท่ากับ) ซึ่งมีรูปแบบ = นั่นคือหมายถึงเส้นที่เหมือนกันสองเส้นที่อยู่ในแนวนอนโดยเส้นหนึ่งอยู่เหนืออีกเส้นหนึ่ง เครื่องหมายเท่ากับ = ถือว่าเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป

เมื่อเขียนความเท่าเทียมกัน ให้เขียนวัตถุที่เท่ากันและใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างวัตถุเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น การเขียนตัวเลขที่เท่ากัน 4 และ 4 จะมีลักษณะเป็น 4=4 และสามารถอ่านได้ว่า "สี่เท่ากับสี่" อีกตัวอย่างหนึ่ง: พื้นที่ S ABC ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 7 ตารางเมตรจะเขียนเป็น S ABC =7 m 2 โดยการเปรียบเทียบ เราสามารถยกตัวอย่างอื่นๆ ของการเขียนความเท่าเทียมกันได้

เป็นที่น่าสังเกตว่าในทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์แห่งความเสมอภาคที่พิจารณามักถูกใช้เป็นคำจำกัดความของความเท่าเทียมกัน

คำนิยาม.

เรกคอร์ดที่ใช้เครื่องหมายเท่ากับเพื่อแยกวัตถุทางคณิตศาสตร์สองตัว (ตัวเลขสองตัว นิพจน์ ฯลฯ) จะถูกเรียก ความเท่าเทียมกัน.

หากคุณต้องการระบุเป็นลายลักษณ์อักษรถึงความไม่เท่าเทียมกันของวัตถุทั้งสองให้ใช้ เครื่องหมายไม่เท่ากัน≠. เราเห็นว่ามันแสดงถึงเครื่องหมายเท่ากับขีดฆ่า ตามตัวอย่าง ลองใช้รายการ 1+2≠7 อ่านได้ดังนี้: “ผลรวมของหนึ่งและสองไม่เท่ากับเจ็ด” อีกตัวอย่างหนึ่งคือ |AB|≠5 ซม. - ความยาวของส่วน AB ไม่เท่ากับ 5 เซนติเมตร

ความเท่าเทียมกันจริงและเท็จ

ความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรอาจสอดคล้องกับความหมายของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันหรืออาจขัดแย้งกัน ความเท่าเทียมกันจะถูกแบ่งออกเป็นขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงและ ความเท่าเทียมกันที่เป็นเท็จ. มาทำความเข้าใจเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองเขียนความเท่าเทียมกัน 5=5 กัน ตัวเลข 5 และ 5 เท่ากันอย่างไม่ต้องสงสัย ดังนั้น 5=5 จึงมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง แต่ความเท่าเทียมกัน 5=2 ไม่ถูกต้อง เนื่องจากตัวเลข 5 และ 2 ไม่เท่ากัน

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน

จากวิธีการนำเสนอแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน ผลลัพธ์ที่เป็นลักษณะเฉพาะของมัน—คุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน—จะเป็นไปตามธรรมชาติ มีสามคนหลัก คุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน:

• สมบัติของการสะท้อนกลับ ซึ่งระบุว่าวัตถุมีค่าเท่ากับตัวมันเอง
• คุณสมบัติของสมมาตร ซึ่งระบุว่าถ้าวัตถุแรกเท่ากับชิ้นที่สอง แล้วชิ้นที่สองก็จะเท่ากับชิ้นแรก
• และสุดท้าย คุณสมบัติของการเปลี่ยนแปลง ซึ่งระบุว่าถ้าวัตถุแรกเท่ากับชิ้นที่สอง และชิ้นที่สองเท่ากับชิ้นที่สาม แล้วชิ้นแรกจะเท่ากับชิ้นที่สาม

มาเขียนคุณสมบัติที่เปล่งออกมาในภาษาคณิตศาสตร์โดยใช้ตัวอักษร:

• ก=ก ;
• ถ้า a=b แล้ว b=a ;
• ถ้า a=b และ b=c แล้ว a=c

แยกกันเป็นที่น่าสังเกตว่าข้อดีของคุณสมบัติที่สองและสามของความเท่าเทียมกัน - คุณสมบัติของสมมาตรและการเปลี่ยนแปลง - ในความจริงที่ว่าสิ่งเหล่านี้ทำให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของวัตถุสามชิ้นขึ้นไปผ่านความเท่าเทียมกันแบบคู่

ความเสมอภาคสองเท่า, สามเท่า ฯลฯ

นอกเหนือจากสัญลักษณ์ทั่วไปเพื่อความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างที่เราให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ สิ่งที่เรียกว่า ความเท่าเทียมกันสองเท่า, ความเท่าเทียมกันสามเท่าและอื่นๆ ซึ่งเป็นตัวแทนของสายโซ่แห่งความเท่าเทียม ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ 1+1+1=2+1=3 คือความเท่าเทียมกันสองเท่า และ |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - ตัวอย่างของความเท่าเทียมกันสี่เท่า

การใช้คู่, สามเท่า ฯลฯ เพื่อความเท่าเทียมกัน จะสะดวกในการเขียนความเท่าเทียมกันของสาม สี่ ฯลฯ วัตถุตามลำดับ บันทึกเหล่านี้โดยเนื้อแท้แสดงถึงความเท่าเทียมกันของวัตถุสองชิ้นที่ประกอบกันเป็นสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น ความเสมอภาคสองเท่าข้างต้น 1+1+1=2+1=3 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงความเท่าเทียมกัน 1+1+1=2+1 และ 2+1=3 และ 1+1+1=3 และใน เนื่องจากคุณสมบัติของสมมาตรของความเท่าเทียมกัน และ 2+1=1+1+1 และ 3=2+1 และ 3=1+1+1

ในรูปแบบของสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน จะสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอนสำหรับตัวอย่างและปัญหา ในขณะที่วิธีแก้ปัญหาดูสั้นและมองเห็นขั้นตอนกลางของการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ดั้งเดิมได้

บรรณานุกรม.

• โมโร เอ็ม.ไอ.. คณิตศาสตร์. หนังสือเรียน สำหรับ 1 ชั้นเรียน จุดเริ่มต้น โรงเรียน ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 (ครึ่งแรกของปี) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - อ.: การศึกษา, 2549. - 112 น.: ป่วย+เพิ่ม. (2 แยก l. ป่วย). - ไอ 5-09-014951-8.
• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.

“ความเสมอภาค” เป็นหัวข้อที่นักเรียนต้องเผชิญตั้งแต่เนิ่นๆ โรงเรียนประถม. นอกจากนี้ยังสอดคล้องกับ "ความไม่เท่าเทียมกัน" แนวคิดทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับคำศัพท์เช่นสมการและอัตลักษณ์ แล้วความเท่าเทียมกันคืออะไร?

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน

คำนี้หมายถึงข้อความที่มีเครื่องหมาย “=” ความเท่าเทียมกันแบ่งออกเป็นจริงและเท็จ หากอยู่ในรายการแทน = มี<, >แล้วเรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันบ่งชี้ว่าทั้งสองส่วนของนิพจน์เหมือนกันในผลลัพธ์หรือบันทึก

นอกจากแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมแล้ว ทางโรงเรียนยังศึกษาหัวข้อ “ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข" คำสั่งนี้อ้างถึงนิพจน์ตัวเลขสองตัวที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเครื่องหมาย = เช่น 2*5+7=17 ทั้งสองส่วนของบันทึกมีค่าเท่ากัน

นิพจน์ตัวเลขประเภทนี้อาจใช้วงเล็บที่ส่งผลต่อลำดับการดำเนินการ ดังนั้นจึงมีกฎ 4 ข้อที่ควรนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณผลลัพธ์ของนิพจน์ตัวเลข

1. หากไม่มีวงเล็บเหลี่ยมในรายการ การดำเนินการจะดำเนินการจากระดับสูงสุด: III→II→I หากมีการกระทำในหมวดหมู่เดียวกันหลายอย่าง การกระทำเหล่านั้นจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. หากมีวงเล็บอยู่ในรายการ การดำเนินการจะดำเนินการในวงเล็บแล้วดำเนินการตามขั้นตอน อาจมีการดำเนินการหลายอย่างในวงเล็บ
3. หากนิพจน์แสดงเป็นเศษส่วน คุณต้องคำนวณตัวเศษก่อน จากนั้นจึงคำนวณส่วน จากนั้นจึงหารตัวเศษด้วยตัวส่วน
4. หากบันทึกมีวงเล็บซ้อนกัน นิพจน์ในวงเล็บด้านในจะถูกประเมินก่อน

ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าความเท่าเทียมกันคืออะไร ในอนาคตจะพิจารณาแนวคิดเรื่องสมการ อัตลักษณ์ และวิธีการคำนวณ

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลข

ความเท่าเทียมกันคืออะไร? การศึกษาแนวคิดนี้ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอัตลักษณ์เชิงตัวเลข สูตรข้อความด้านล่างช่วยให้คุณศึกษาหัวข้อนี้ได้ดีขึ้น แน่นอนว่าคุณสมบัติเหล่านี้เหมาะกับการเรียนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมมากกว่า

1. ความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะไม่ถูกละเมิดหากมีการเพิ่มตัวเลขเดียวกันในทั้งสองส่วนของนิพจน์ที่มีอยู่

ก = บี↔ ก + 5 = ข + 5

2. สมการจะไม่ถูกละเมิดหากทั้งสองส่วนของมันถูกคูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันที่แตกต่างจากศูนย์

พี = โอ↔ P ∙ 5 = O ∙ 5

พี = โอ↔ ป: 5 = โอ: 5

3. ด้วยการเพิ่มทั้งสองด้านของเอกลักษณ์ของฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งสมเหตุสมผลสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร เราจะได้รับความเท่าเทียมกันใหม่ที่เทียบเท่ากับค่าเดิม

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์) ↔ ฉ(X) + ร(X) =Ψ (X) + R(X)

4. คำหรือสำนวนใดๆ สามารถย้ายไปยังอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับได้ แต่เครื่องหมายจะต้องกลับกัน

X + 5 = ย - 20 ↔ X = ย - 20 - 5 ↔ เอ็กซ์ = ย - 25

5. โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งแตกต่างจากศูนย์และมีความหมายสำหรับแต่ละค่าของ X จาก ODZ เราจะได้สมการใหม่ที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์)↔ ฉ(X)∙ร(X) = Ψ(X)∙ร(เอ็กซ์)

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : ก(X)

กฎข้างต้นระบุอย่างชัดเจนถึงหลักการแห่งความเท่าเทียมกันซึ่งมีอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

แนวคิดเรื่องสัดส่วน

ในทางคณิตศาสตร์มีความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ ในกรณีนี้ ให้นิยามของสัดส่วนโดยนัย หากคุณหาร A ด้วย B ผลลัพธ์จะเป็นอัตราส่วนของตัวเลข A ต่อตัวเลข B สัดส่วนคือความเท่ากันของสองอัตราส่วน:

บางครั้งสัดส่วนก็เขียนดังนี้: ตอบ:บี=ค:ดี.นี่แสดงถึงคุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน: เอ*ด=ด*คโดยที่ A และ D คือเทอมสุดขั้วของสัดส่วน และ B และ C คือค่าเฉลี่ย

ตัวตน

ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่จะเป็นจริงสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในงาน ข้อมูลประจำตัวสามารถแสดงเป็นความเท่าเทียมกันตามตัวอักษรหรือตัวเลข

นิพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถถือเอาสองส่วนของค่าทั้งหมดเท่ากันได้ เรียกว่า เท่ากัน

หากคุณแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งจะเท่ากับนิพจน์นั้น เรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรคูณแบบย่อ กฎเลขคณิต และอัตลักษณ์อื่นๆ ได้

หากต้องการลดเศษส่วน คุณต้องทำการแปลงที่เหมือนกัน เช่น ให้เศษส่วนมา เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณควรใช้สูตรการคูณแบบย่อ การแยกตัวประกอบ การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น และลดเศษส่วน

ควรพิจารณาว่านิพจน์นี้จะเหมือนกันเมื่อตัวส่วนไม่เท่ากับ 3

5 วิธีในการพิสูจน์ตัวตน

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของข้อมูลประจำตัว คุณจำเป็นต้องแปลงนิพจน์

วิธีที่ 1

จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่ากันทางด้านซ้าย ผลลัพธ์คือทางด้านขวามือ และเราสามารถพูดได้ว่าตัวตนได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง

การดำเนินการแปลงนิพจน์ทั้งหมดเกิดขึ้นทางด้านขวา ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือด้านซ้าย หากทั้งสองส่วนเหมือนกัน แสดงว่าตัวตนนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีการที่สาม

“การเปลี่ยนแปลง” เกิดขึ้นในทั้งสองส่วนของสำนวน หากผลลัพธ์เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน แสดงว่าตัวตนนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธี IV

ด้านขวาจะถูกลบออกจากด้านซ้าย จากผลของการแปลงที่เท่ากัน ผลลัพธ์ควรเป็นศูนย์ จากนั้นเราก็สามารถพูดคุยเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแสดงออกได้

วิธีวี

ด้านซ้ายจะถูกลบออกจากด้านขวา การแปลงที่เท่ากันทั้งหมดจะลดลงเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบมีศูนย์ เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้นที่เราสามารถพูดถึงอัตลักษณ์ของความเท่าเทียมกันได้

คุณสมบัติพื้นฐานของอัตลักษณ์

ในทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันมักใช้เพื่อเร่งกระบวนการคำนวณ ด้วยเอกลักษณ์ทางพีชคณิตขั้นพื้นฐาน กระบวนการคำนวณนิพจน์บางส่วนจึงใช้เวลาไม่กี่นาทีแทนที่จะใช้เวลานานหลายชั่วโมง

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X∙Y + X∙C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X∙C + X∙E + Y∙C + Y∙E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) = X + Y - C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1 โดยที่ X ≠ 0

สูตรคูณแบบย่อ

โดยแก่นแท้แล้ว สูตรการคูณแบบย่อคือความเท่าเทียมกัน ช่วยแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากความเรียบง่ายและใช้งานง่าย

• (A + B) 2 = A 2 + 2∙A∙B + B 2 - กำลังสองของผลรวมของคู่ตัวเลข

• (A - B) 2 = A 2 - 2∙A∙B + B 2 - ผลต่างกำลังสองของคู่ตัวเลข

• (C + B) ∙ (C - B) = C 2 - B 2 - ผลต่างของกำลังสอง;

• (A + B) 3 = A 3 + 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 + B 3 - ลูกบาศก์ของผลรวม;

• (A - B) 3 = A 3 - 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 - B 3 - ลูกบาศก์ของความแตกต่าง;

• (P + B) ∙ (P 2 - P∙B + B 2) = P 3 + B 3 - ผลรวมของลูกบาศก์;

• (P - B) ∙ (P 2 + P∙B + B 2) = P 3 - B 3 - ผลต่างของลูกบาศก์

สูตรการคูณแบบย่อมักใช้หากจำเป็นต้องนำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบปกติ ทำให้ง่ายขึ้น วิธีที่เป็นไปได้. สูตรที่นำเสนอนั้นพิสูจน์ได้ง่าย: เพียงเปิดวงเล็บและเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน

สมการ

หลังจากศึกษาคำถามว่าความเท่าเทียมกันคืออะไร คุณสามารถไปยังประเด็นถัดไปได้: เข้าใจว่าสมการคือความเท่าเทียมกันซึ่งมีปริมาณที่ไม่ทราบค่าอยู่ การแก้สมการคือการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรโดยให้ทั้งสองด้านของนิพจน์ทั้งหมดเท่ากัน นอกจากนี้ยังมีงานที่การหาคำตอบของสมการซึ่งเป็นไปไม่ได้อีกด้วย ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าไม่มีราก

ตามกฎแล้ว ความเสมอภาคกับไม่ทราบค่าจะสร้างจำนวนเต็มเป็นคำตอบ อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีที่รากเป็นเวกเตอร์ ฟังก์ชัน หรือวัตถุอื่นๆ

สมการเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่อนุญาตให้ใครวัดหรือคำนวณปริมาณใดๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสร้างอัตราส่วนที่จะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของงาน ในกระบวนการรวบรวมความสัมพันธ์ดังกล่าวสมการหรือระบบสมการจะปรากฏขึ้น

โดยปกติแล้วการแก้ความเท่าเทียมโดยไม่ทราบค่านั้นมาจากการแปลงสมการที่ซับซ้อนและลดขนาดลง แบบฟอร์มง่ายๆ. ต้องจำไว้ว่าต้องทำการเปลี่ยนแปลงทั้งสองด้าน มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง

4 วิธีในการแก้สมการ

การแก้สมการหมายถึงการแทนที่ความเท่าเทียมกันที่กำหนดด้วยอีกสมการหนึ่ง ซึ่งเทียบเท่ากับสมการแรก การทดแทนดังกล่าวเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ ในการแก้สมการ คุณต้องใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง

1. นิพจน์หนึ่งจะถูกแทนที่ด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งจำเป็นต้องเหมือนกับนิพจน์แรก ตัวอย่าง: (3∙x+3) 2 =15∙x+10 นิพจน์นี้สามารถแปลงเป็น 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10

2. การโอนเงื่อนไขความเท่าเทียมกับสิ่งที่ไม่รู้จากด้านหนึ่งไปอีกด้าน ในกรณีนี้จำเป็นต้องเปลี่ยนป้ายให้ถูกต้อง ความผิดพลาดเพียงเล็กน้อยจะทำลายงานที่ทำทั้งหมด ลองใช้ "ตัวอย่าง" ก่อนหน้านี้เป็นตัวอย่าง

9∙x 2 + 12∙x + 4 = 15∙x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. การคูณทั้งสองด้านของความเท่ากันด้วยจำนวนเท่ากันหรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับ 0 อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าหากสมการใหม่ไม่เท่ากับความเท่าเทียมกันก่อนการแปลง จำนวนรากอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ

4. การยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ วิธีนี้เป็นวิธีที่ยอดเยี่ยมมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการแสดงออกที่ไม่ลงตัวในความเท่าเทียมกัน นั่นคือ การแสดงออกที่อยู่ด้านล่าง มีความแตกต่างเล็กน้อยที่นี่: หากคุณยกสมการให้มีกำลังเท่ากันรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้นซึ่งจะบิดเบือนสาระสำคัญของงาน และถ้าคุณแยกรูทไม่ถูกต้องความหมายของคำถามในปัญหาก็จะไม่ชัดเจน ตัวอย่าง: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 และ 2) - 7∙х = 35 → สมการจะแก้ได้อย่างถูกต้อง

ดังนั้นในบทความนี้จึงกล่าวถึงคำศัพท์ต่างๆ เช่น สมการและอัตลักษณ์ ล้วนมาจากแนวคิดเรื่อง “ความเท่าเทียมกัน” ต้องขอบคุณสำนวนที่เทียบเท่าหลายประเภท การแก้ปัญหาบางอย่างจึงสะดวกขึ้นอย่างมาก