อนุพันธ์ของผลรวมคืออะไร? กฎเกณฑ์ในการคำนวณอนุพันธ์

⁰

เนื่องจากความเท่าเทียมกัน (3.10) มีบทบาทสำคัญในทั้งในการศึกษาเชิงทฤษฎีและในการคำนวณโดยประมาณ

การดำเนินการในการค้นหาอนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชั่นนี้ ชื่อสามัญของการดำเนินการทั้งสองอธิบายได้จากการพึ่งพาที่ชัดเจน ตามสูตร (3.8) ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะได้มาโดยการคูณผลคูณของมัน

ข้อผิดพลาดของผู้ให้บริการที่เกิดขึ้นเมื่อแทนที่การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยส่วนต่าง

ลองหาส่วนเพิ่มและส่วนต่างของฟังก์ชันกัน

y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .

จากนั้น dy = (6 x + 1) x ลองคำนวณ Udy ที่จุด x = 1 ถ้า x = 0, 1 y = 7 0, 1 + 3 0, 01 = 0, 73; ดี = 7 0 , 1 = 0 , 7 .

ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ y − dy = 0.73 − 0.7 = 0.03 และค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์

y = 0 0 , , 03 73 µ0 .04 .

3.5. อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของฟังก์ชัน

เรามารำลึกถึงผู้มีชื่อเสียงจากหลักสูตรกัน มัธยมกฎการสร้างความแตกต่าง ซึ่งในบางกรณีอนุญาตให้ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้คำจำกัดความโดยตรง

ทฤษฎีบท 3.3 หากฟังก์ชัน u = u (x) และ v = v (x)

ที่จุด x แล้วก็ ณ จุดนี้

	(คุณ+วี)

	(ยูวี)		คุณ วี+ วี คุณ;

		คุณ v - v คุณ		วี =วี (x) ≠0

หาความแตกต่างได้

เมื่อคูณเทอมความเท่าเทียมกันเหล่านี้ด้วย dx เราจะได้กฎเดียวกันที่เขียนในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล

d (u+ v) = du+ dv;
d (ยูวี) = udv+ vdu;

					อุดวี - วีดู

การพิสูจน์. เนื่องจากการพิสูจน์ทุกส่วนของทฤษฎีบทดำเนินไปอย่างเท่าเทียมกัน เราจะพิสูจน์หนึ่งในนั้น เช่น ส่วนที่สอง

ให้เราแสดงว่า y = uv ลองให้ x เพิ่มขึ้น x แล้วปล่อยให้

u ,Δ v ,Δ y จะเป็นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน u , v , y ณ จุดนั้น							x ที่สอดคล้องกัน-
เพิ่มขึ้น		x อาร์กิวเมนต์ แล้ว
y = (u+ u)(v+ v) − uv= v u+ u v+ คุณ v.
เมื่อพิจารณาว่าคุณ	และ v คือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น					x ไม่ขึ้นอยู่กับ
การหมุนเวียนอาร์กิวเมนต์		x เนื่องจากคำจำกัดความ (3.1) และคุณสมบัติของขีดจำกัด
การเปลี่ยนแปลง (ดูสูตร (2.14), (2.15) ที่เราพบ
ย ′ = ลิม		วิลิม	อูลิม	วี+ลิม
x → 0		x → 0	x → 0		x → 0	x → 0
ฟังก์ชัน v = v(x)	ณ จุดที่เป็นปัญหา				x ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทอนุพันธ์

อ้างอิงได้และต่อเนื่องกัน (ทฤษฎีบท 3.2) ดังนั้น

	v = 0 (นิยามความต่อเนื่อง 2.17) และความเท่าเทียมกันก่อนหน้า
x → 0				y ′ = vu ′+ uv ′+ u ′ 0 . เข้ามาทดแทนที่นี่.
ให้การแสดงออกของอนุพันธ์:
y = uv เรามาถึงสูตร (3.12)						y = C (ในที่นี้
	อนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่
กับ -	จำนวนคงที่สำหรับทุก x X )				มีค่าเท่ากับศูนย์
	x X ซี
				กระแสตรง = ค dx= 0 .
อันที่จริง ณ จุดใดๆ ของเซต X ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีฟังก์ชันดังกล่าว
และความหมายอันเดียวกันอันเนื่องมาจากเธอ					y ≡ 0 สำหรับใดๆ	x ของเหล่านี้
	x , x + x X . จากที่นี่,		เนื่องจากคำจำกัดความของอนุพันธ์และส่วนต่าง
ภูมิภาค ตามสูตร (3.17)
	สูตร (3.11) เป็นสูตรทั่วไปสำหรับกรณีของจำนวนจุดอ่อนใดๆ ที่มีจำกัด
ฟังก์ชั่นที่จำเป็น
	เมื่อ u = C โดยที่	C - const สูตร (3.12) และ (3.15)				เนื่องจาก (3.17)
			d(Cv) = ซีดีวี นั่นคือตัวคูณคงที่
ให้ความเท่าเทียมกัน: (Cv)

โทรสามารถนำออกจากสัญญาณอนุพันธ์และสัญญาณดิฟเฟอเรนเชียลได้

กรณีมีปัจจัย 3 ประการ ให้ประยุกต์ใช้สูตรต่อเนื่องกัน

(3.12) เราพบว่า

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′

กฎที่คล้ายกันนี้ใช้ได้เมื่อแยกแยะผลคูณของปัจจัยจำนวนเท่าใดก็ได้

ในย่อหน้าต่อไปนี้ จะได้รับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก

3.6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ลองหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกล่าวคือ


	คอกซ์			= − บาปx
(บาป x)			(เพราะ x)
(tgx) ′ =			(ctgx)′

		cos2 x			บาป2x

มาอันแรกกันดีกว่า การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y = sin x ที่ pointx, co-

เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน				จะมีการโต้แย้ง
y = บาป(x+		x )− บาปx = 2ซิน				x cos(x +		เอ็กซ์)
พิจารณาบาปนั้น 2x		2 ครั้ง
					x → 0	และใช้คำนิยามการผลิต
เราพบน้ำ				2ซิน 2 xคอส(x +			2x)
ย ′ = ลิม		ย = ลิม

	x → 0		x → 0
	2 2 x คอส(x +		2x)		ลิมคอส(x +		x )= คอกซ์ .

x → 0					x → 0

สูตรที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน จะได้สูตรที่สามและสี่หากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ และใช้สูตร (3.13)

3.7. การแยกฟังก์ชันลอการิทึม

สูตรคงอยู่
		โลกาอี

	(ล็อกเอ็กซ์)		2. (lnx)

มาพิสูจน์กันก่อนเลย การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y = บันทึก a x ที่ pointx, co-

ซึ่งสอดคล้องกับส่วนเพิ่ม x	จะมีการโต้แย้ง
y = โลกา (x + x )− โลกา x = โลกา	x + x	โลกา (1+	x )= โลกา และ ln(1+	เอ็กซ์) ;

(เราใช้ที่นี่บันทึกข้อมูลประจำตัว a A = log a e ln A )

เนื่องจาก ln(1 + x x ) x x		x → 0		จากนั้นตามคำนิยามอนุพันธ์
เราได้รับ:	y = ล็อก อี ลิม						x )=
ย ′ = ลิม					อิน(1+

x → 0			x → 0
โลกา เอ ลิม						โลกาอี

	x → 0

3.8. การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

อนุพันธ์ของกำลังและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ปล่อยให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อน y อาร์กิวเมนต์x ได้รับจากสูตร y = f (u)

u = ϕ (x) (ดูย่อหน้าที่ 1.4.3)

ทฤษฎีบท 3.4 (เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน) ถ้าฟังก์ชั่น

y = f (u), u = ϕ (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้		ในส่วนที่เกี่ยวข้อง	กันและกัน
ชี้ u และ x จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน		f [ϕ(x)] ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน
	x และ	y ′x = y u u ′x .
	y ′ =f ′(u ) คุณ ′หรือ
การพิสูจน์. เราจะให้ส่วนเพิ่มแก่ตัวแปรอิสระ x
	x จากนั้นฟังก์ชัน u = ϕ (x) จะได้รับการเพิ่มขึ้น u		อะไรจะเกิดขึ้น

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y y = f (u) เนื่องจากฟังก์ชัน y = f (u) ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด u ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ดังนั้น ส่วนที่เพิ่มขึ้น ณ จุดนี้จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบ (ดูคำจำกัดความ 3.4)

		คุณ โดยที่ α (		คุณ ) → o เมื่อคุณ → 0 .
y = ฉ(u) ยู+ α (u)		คุณ โดยที่ α (		คุณ ) → o เมื่อคุณ → 0 .


			ฉ(ยู)	x + α(ยู)
ฟังก์ชัน ยู = ϕ(x)		สามารถหาอนุพันธ์ได้ และดังนั้นจึงต่อเนื่องกันอย่างแน่นอน
ke x สอดคล้องกับจุดที่คุณพิจารณาข้างต้น						(ทฤษฎีบท 3.2)
เพราะฉะนั้น,			ความต่อเนื่อง		ลิม ยู = 0,	และดังนั้นจึง
					x → 0
ลิม α (u )= 0.
x → 0
เมื่อพิจารณาเรื่องนี้แล้ว	การเปลี่ยนแปลงใน			ล่าสุด	ความเท่าเทียมกัน	จำกัดที่

x → 0 เรามาถึงที่ (3.18)

เมื่อคูณความเท่าเทียมกัน (3.18) ทีละเทอมด้วย dx เราจะได้นิพจน์สำหรับส่วนต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน

dy = f′ (u) du.

ความคิดเห็น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน y = f (u) จะมีรูปแบบเดียวกันทุกประการหากอาร์กิวเมนต์ u ไม่ใช่ฟังก์ชัน แต่เป็นตัวแปรอิสระ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า ทรัพย์สินที่ไม่เปลี่ยนแปลง(ความเป็นอิสระ) ของรูปแบบของส่วนต่างที่เกี่ยวข้องกับการโต้แย้ง โปรดทราบว่าหากคุณเป็นตัวแปรอิสระ du = u คือการเพิ่มขึ้นตามอำเภอใจ ถ้า u เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง (นั่นคือฟังก์ชัน) แล้ว du คือส่วนต่างของฟังก์ชันนี้ นั่นคือ a ค่าที่ไม่ตรงกับค่าที่เพิ่มขึ้น u

การใช้ทฤษฎีบทสุดท้ายทำให้ได้สูตรหาอนุพันธ์ได้ง่าย

การก่อตัวของอำนาจและ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

α− 1

2). (ก

ใน ;

3). (เช่น

1). (x

) = α x

จริงหรือ,

สมมติว่า

x > 0,

หาลอการิทึมของทั้งสองข้าง

สูตร y = x α; ln y = α ln x . ที่นี่

นี่คือฟังก์ชันของ x เนื่องจากว่า

ทางซ้ายของความเสมอภาคสุดท้ายคือฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x เราได้หาความแตกต่างทั้งสองด้านของความเสมอภาคสุดท้ายด้วยความเคารพ x (ด้านซ้ายเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน)

1 ปี ปี ′ =a 1 x ,

y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1

มันง่ายที่จะแสดงว่าผลลัพธ์นี้เป็นจริงสำหรับ x ด้วย< 0 , если только при

ในกรณีนี้ x α สมเหตุสมผล ก่อนหน้านี้ได้ผลลัพธ์สำหรับกรณี α = n สูตรที่สองได้มาในทำนองเดียวกัน ซึ่งในกรณีพิเศษของ a = e สูตรสุดท้ายจะตามมา

ความคิดเห็น เทคนิคของลอการิทึมเบื้องต้นซึ่งใช้เพื่อให้ได้สูตรในการหาความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังมีความสำคัญอย่างอิสระและถูกเรียกร่วมกับการค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันในภายหลัง

lnx ) "= cosx lnx + บาป x x

เพราะฉะนั้น,

y ′ = x บาป x (cosx lnx + บาป x x)

ความคิดเห็น กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนยังสามารถนำมาใช้เพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายได้

แท้จริงแล้ว หากความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y อยู่ในรูปแบบ F (x, y) = 0 และสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยสัมพันธ์กับ y ดังนั้นอนุพันธ์ของ y ′ จึงสามารถหาได้จากสมการ


				(ฉ (x, y (x))= 0.
				(ฉ (x, y (x))= 0.
ตัวอย่างที่ 3.4							y = f (x) ให้ไม่ใช่-
ตัวอย่างที่ 3.4		ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน					y = f (x) ให้ไม่ใช่-
อย่างชัดเจนโดยสมการ		อาร์คแทน(y) − y+ x= 0			ฟังก์ชัน y จาก x:
เราแยกความแตกต่างความเท่าเทียมกันด้วยความเคารพต่อ x โดยพิจารณาจาก					ฟังก์ชัน y จาก x:
	คุณ'					1 +ปี
			− y ′+ 1= 0 ดังนั้น		ย' =
	1 +ปี 2		− y ′+ 1= 0 ดังนั้น		ย' =

3.9. การหาความแตกต่างของฟังก์ชันผกผัน

การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ให้ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชันได้รับ: y = f (x) และ x = ϕ (y)

(ดูข้อ 1.4.8)

ทฤษฎีบท 3.5 (เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน) ถ้าฟังก์ชั่น

y = ฉ(x) ,

x = ϕ (y)

เพิ่มขึ้น (ลดลง) และที่จุด x ฟังก์ชัน f (x)

หาความแตกต่างได้

f ′ (x) ≠ 0 จากนั้นไปที่จุดที่เกี่ยวข้อง

ฟังก์ชัน ϕ (y) ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกัน (เทียบกับ y) และ

การพิสูจน์.

มาตั้งค่าส่วนเพิ่มกันดีกว่า

x = ϕ (y)

เพิ่มขึ้น

(ลดลง)

x = ϕ (y + y )− ϕ (y )≠ 0 และ

ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท

x = ϕ (y)

x → 0

ปี → 0

มีความต่อเนื่อง (ทฤษฎีบท 3.2) เนื่องจาก

ระดับแรก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ลองจินตนาการถึงถนนเส้นตรงที่ผ่านบริเวณเนินเขา นั่นคือขึ้นลงแต่ไม่เลี้ยวขวาหรือซ้าย หากแกนถูกชี้ในแนวนอนไปตามถนนและแนวตั้ง เส้นถนนจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างมาก:

แกนเป็นระดับความสูงเป็นศูนย์ในระดับหนึ่งในชีวิตเราใช้ระดับน้ำทะเลเป็นมัน

เมื่อเราก้าวไปข้างหน้าตามถนนเช่นนั้น เราก็จะเคลื่อนขึ้นหรือลงด้วย นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่า: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกน Abscissa) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกนกำหนด) ทีนี้ลองคิดดูว่าจะกำหนด "ความชัน" ของถนนของเราได้อย่างไร? สิ่งนี้จะเป็นค่าอะไร? ง่ายมาก: ความสูงจะเปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในระยะทางหนึ่ง แท้จริงแล้ว ในส่วนต่างๆ ของถนน เมื่อเคลื่อนไปข้างหน้า (ตามแกน x) ไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เราจะขึ้นหรือลงตามจำนวนเมตรที่ต่างกันเมื่อเทียบกับระดับน้ำทะเล (ตามแกน y)

เรามาแสดงถึงความก้าวหน้ากันเถอะ (อ่านว่า “เดลต้า x”)

ตัวอักษรกรีก (เดลต้า) มักใช้ในทางคณิตศาสตร์เป็นคำนำหน้าหมายถึง "การเปลี่ยนแปลง" นั่นคือ - นี่คือการเปลี่ยนแปลงปริมาณ - การเปลี่ยนแปลง; แล้วมันคืออะไร? ถูกต้องการเปลี่ยนแปลงขนาด

สิ่งสำคัญ: นิพจน์คือข้อมูลทั้งหมดเพียงตัวแปรเดียว อย่าแยก “เดลต้า” ออกจาก “x” หรือตัวอักษรอื่นใด! กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น .

เราก็เลยเคลื่อนไปข้างหน้าในแนวนอนโดย ถ้าเราเปรียบเทียบเส้นถนนกับกราฟของฟังก์ชัน แล้วเราจะระบุการเพิ่มขึ้นได้อย่างไร? แน่นอน, . นั่นคือเมื่อเราก้าวไปข้างหน้า เราก็สูงขึ้น

ค่านั้นง่ายต่อการคำนวณ: ถ้าในตอนแรกเราอยู่ที่ความสูงและหลังจากเคลื่อนที่แล้วเราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่สูงแล้ว หากจุดสิ้นสุดต่ำกว่าจุดเริ่มต้น จุดนั้นจะติดลบ ซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้กำลังขึ้น แต่กำลังลง

กลับไปที่ "ความชัน": นี่คือค่าที่แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้น (สูงชัน) เมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหนึ่งหน่วยระยะทาง:

สมมติว่าส่วนหนึ่งของถนนเมื่อเคลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งกิโลเมตร ถนนจะสูงขึ้นหนึ่งกิโลเมตร แล้วความชันตรงนี้จะเท่ากัน และถ้าถนนในขณะที่เคลื่อนไปข้างหน้าเมตรลดลงกิโลเมตร? แล้วความชันจะเท่ากัน

ทีนี้มาดูบนยอดเขากันดีกว่า หากคุณใช้จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ครึ่งกิโลเมตรก่อนถึงยอดเขา และส่วนท้ายอีกครึ่งกิโลเมตรหลังจากนั้น คุณจะเห็นว่าความสูงเกือบจะเท่ากัน

นั่นคือตามตรรกะของเรา ปรากฎว่าความชันตรงนี้เกือบเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน แค่ระยะทางกว่ากิโลเมตร อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้มากมาย จำเป็นต้องพิจารณาพื้นที่ขนาดเล็กเพื่อการประเมินความชันที่เพียงพอและแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากคุณวัดการเปลี่ยนแปลงของความสูงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปหนึ่งเมตร ผลลัพธ์ก็จะแม่นยำมากขึ้น แต่ความแม่นยำนี้ก็ยังไม่เพียงพอสำหรับเรา เพราะหากมีเสาอยู่กลางถนนเราก็ผ่านไปได้ แล้วเราควรเลือกระยะไหน? เซนติเมตร? มิลลิเมตร? น้อยดีกว่า!

ใน ชีวิตจริงการวัดระยะทางเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุดก็เกินพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์มักมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบอยู่เสมอ จึงได้คิดค้นแนวคิดขึ้นมา ไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าตัวเลขใดๆ ที่เราตั้งชื่อได้ ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า: หนึ่งล้านล้าน! มากน้อยแค่ไหน? แล้วคุณหารตัวเลขนี้ด้วย - แล้วมันจะยิ่งน้อยลงไปอีก และอื่นๆ หากเราต้องการเขียนว่าปริมาณเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะเขียนดังนี้ (เราอ่านว่า “x มีแนวโน้มเป็นศูนย์”) มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจ ว่าเลขนี้ไม่ใช่ศูนย์!แต่อยู่ใกล้มาก ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหารด้วยมันได้.

แนวคิดที่ตรงข้ามกับ infinitesimal นั้นมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ () คุณอาจเคยเจอมันมาก่อนเมื่อคุณกำลังศึกษาเรื่องอสมการ: จำนวนนี้เป็นแบบโมดูโลมากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณคิดได้ หากคุณหาจำนวนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้คูณด้วย 2 แล้วคุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นอีก และอนันต์นั้นยิ่งใหญ่กว่าสิ่งที่เกิดขึ้นด้วยซ้ำ อันที่จริง ใหญ่เป็นอนันต์และเล็กเป็นอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน นั่นคือ at และในทางกลับกัน: at

ตอนนี้เรากลับมาที่ถนนของเรากันดีกว่า ความชันที่คำนวณได้อย่างเหมาะสมคือความชันที่คำนวณสำหรับส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นทาง นั่นคือ:

ฉันสังเกตว่าด้วยการกระจัดที่น้อยที่สุด การเปลี่ยนแปลงความสูงก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน แต่ขอเตือนคุณว่าค่าน้อยที่สุดไม่ได้หมายความว่าเท่ากับศูนย์ หากคุณหารจำนวนที่น้อยที่สุดด้วยกัน คุณจะได้จำนวนสามัญที่สมบูรณ์ เช่น นั่นคือค่าเล็กๆ ค่าหนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่กว่าค่าอื่นได้อย่างแน่นอน

ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? ถนน ความชัน... เราไม่ได้ไปแรลลี่รถยนต์ แต่เราสอนคณิตศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ ต่างกันแค่เรียกต่างกันเท่านั้น

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย

ทีละน้อยในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง ขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์ () เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและถูกกำหนดไว้ เรียกว่าฟังก์ชัน (ความสูง) เปลี่ยนแปลงไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าตามแกนตามระยะทาง เพิ่มฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนต่อเมื่อ เราแสดงอนุพันธ์ด้วยตัวอักษรเดียวกันกับฟังก์ชัน โดยจะมีเฉพาะจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบนเท่านั้น: หรือเพียงแค่ ลองเขียนสูตรอนุพันธ์โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้:

เหมือนกับการเปรียบเทียบกับถนน เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ

อนุพันธ์สามารถเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่? แน่นอน. เช่น ถ้าเราขับรถบนถนนแนวราบ ความชันจะเป็นศูนย์ และมันเป็นเรื่องจริงที่ความสูงไม่เปลี่ยนแปลงเลย ดังนั้นจึงเป็นไปตามอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) เท่ากับศูนย์:

เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ

ลองจำตัวอย่างยอดเขากัน ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงส่วนปลายของส่วนในด้านตรงข้ามของจุดยอดในลักษณะที่ความสูงที่ส่วนปลายจะเท่ากันนั่นคือส่วนนั้นขนานกับแกน:

แต่ส่วนขนาดใหญ่เป็นสัญญาณของการวัดที่ไม่ถูกต้อง เราจะยกส่วนของเราขึ้นขนานกับตัวมันเอง จากนั้นความยาวของมันจะลดลง

ในที่สุด เมื่อเราเข้าใกล้ด้านบนสุดอย่างไม่สิ้นสุด ความยาวของส่วนนั้นก็จะสั้นลง แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงขนานกับแกนนั่นคือความแตกต่างของความสูงที่ปลายมีค่าเท่ากับศูนย์ (ไม่ได้มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่เท่ากับ) ดังนั้นอนุพันธ์

สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้: เมื่อเรายืนอยู่ที่จุดสูงสุด การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อยจะทำให้ความสูงของเราเปลี่ยนไปโดยประมาท

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ อีกด้วย: ทางด้านซ้ายของจุดยอดฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และทางด้านขวาจะลดลง อย่างที่เราทราบไปก่อนหน้านี้ เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ แต่มันเปลี่ยนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด (เนื่องจากถนนไม่เปลี่ยนความลาดชันทุกที่) ดังนั้นจึงต้องมีค่าระหว่างค่าลบและค่าบวก มันจะเป็นจุดที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง - ที่จุดยอด

เช่นเดียวกับรางน้ำ (พื้นที่ที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายลดลงและทางด้านขวาเพิ่มขึ้น):

เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนข้อโต้แย้งเป็นขนาด เราเปลี่ยนจากค่าอะไร? ตอนนี้ (ข้อโต้แย้ง) กลายเป็นอะไรไปแล้ว? เราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ และตอนนี้ เราจะเต้นจากจุดนั้น

พิจารณาจุดที่มีพิกัด ค่าของฟังก์ชันในนั้นเท่ากัน จากนั้นเราก็ทำการเพิ่มแบบเดียวกัน: เราเพิ่มพิกัดด้วย ตอนนี้เถียงอะไรกันอยู่? ง่ายมาก: . ตอนนี้ค่าของฟังก์ชันเป็นเท่าใด? อาร์กิวเมนต์ไปที่ไหน ฟังก์ชันก็เช่นกัน: . แล้วการเพิ่มฟังก์ชันล่ะ? ไม่มีอะไรใหม่: นี่ยังคงเป็นจำนวนที่ฟังก์ชันเปลี่ยนไป:

ฝึกหาส่วนเพิ่ม:

ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

ในจุดที่ต่างกันซึ่งมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เท่ากัน การเพิ่มฟังก์ชันจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ในแต่ละจุดจะแตกต่างกัน (เราคุยกันเรื่องนี้ตั้งแต่เริ่มต้น - ความชันของถนนแตกต่างกันในแต่ละจุด) ดังนั้นเวลาเราเขียนอนุพันธ์เราต้องระบุว่าจุดไหน:

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันยกกำลังคือฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งในระดับหนึ่ง (ตรรกะใช่ไหม)

ยิ่งกว่านั้น - ในระดับใด ๆ : .

กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อเลขชี้กำลังคือ:

ลองหาอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่งกัน จำคำจำกัดความของอนุพันธ์:

ข้อโต้แย้งจึงเปลี่ยนจากเป็น ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเท่าไหร่?

เพิ่มขึ้นเป็นเช่นนี้ แต่ฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ตามจะเท่ากับอาร์กิวเมนต์ของมัน นั่นเป็นเหตุผล:

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับ:

อนุพันธ์ของเท่ากับ:

b) ตอนนี้พิจารณา ฟังก์ชันกำลังสอง (): .

ทีนี้มาจำไว้ว่า ซึ่งหมายความว่าสามารถละเลยมูลค่าของการเพิ่มขึ้นได้ เนื่องจากมีค่าน้อยมาก ดังนั้นจึงไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับพื้นหลังของคำอื่น:

ดังนั้นเราจึงมีกฎอีกข้อหนึ่ง:

c) เราดำเนินการต่อในซีรีส์เชิงตรรกะ: .

นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี: เปิดวงเล็บเหลี่ยมแรกโดยใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อของกำลังสามของผลรวม หรือแยกตัวประกอบนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างของสูตรลูกบาศก์ ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้วิธีการที่แนะนำ

ดังนั้นฉันจึงได้สิ่งต่อไปนี้:

และอีกครั้งให้เราจำไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มี:

เราได้รับ: .

d) สามารถรับกฎที่คล้ายกันสำหรับมหาอำนาจ:

e) ปรากฎว่ากฎนี้สามารถวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามใจชอบ ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยซ้ำ:

(2)

กฎสามารถกำหนดได้ในคำว่า: “ระดับจะถูกยกไปข้างหน้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์แล้วลดลงด้วย ”

เราจะพิสูจน์กฎนี้ในภายหลัง (เกือบจะในตอนท้ายสุด) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนกัน ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

(ในสองวิธี: โดยสูตรและการใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ - โดยการคำนวณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน)

. เชื่อหรือไม่ นี่คือฟังก์ชันกำลัง หากคุณมีคำถามเช่น “เป็นอย่างไรบ้าง? ปริญญาอยู่ที่ไหน?” จำหัวข้อ “” ไว้!
ใช่ ใช่ รูตก็เป็นดีกรีเช่นกัน เป็นเศษส่วนเท่านั้น:
ซึ่งหมายความว่ารากที่สองของเราเป็นเพียงกำลังที่มีเลขชี้กำลัง:
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เพิ่งเรียนรู้:
หากมาถึงจุดนี้ไม่ชัดเจนอีกครั้ง ย้ำหัวข้อ “”!!! (ประมาณองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ)
. ตอนนี้เลขชี้กำลัง:
และตอนนี้ผ่านคำจำกัดความ (ลืมไปแล้วหรือยัง?):
;
.
ตามปกติแล้ว เราละเลยคำที่มี:
.
. การรวมกันของกรณีก่อนหน้า: .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราจะใช้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่งจากคณิตศาสตร์ชั้นสูงดังนี้:

ด้วยการแสดงออก

คุณจะได้เรียนรู้การพิสูจน์ในปีแรกของสถาบัน (และเพื่อที่จะไปถึงที่นั่น คุณจะต้องผ่านการสอบ Unified State ให้ดี) ตอนนี้ฉันจะแสดงเป็นภาพกราฟิก:

เราจะเห็นว่าเมื่อไม่มีฟังก์ชัน - จุดบนกราฟจะถูกตัดออก แต่ยิ่งใกล้ค่ามากเท่าไรฟังก์ชันก็ยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ "จุดมุ่งหมาย"

นอกจากนี้ คุณสามารถตรวจสอบกฎนี้ได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ อย่าเพิ่งอาย หยิบเครื่องคิดเลขมา เรายังไม่ถึงการสอบ Unified State

ดังนั้นเรามาลองกัน: ;

อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขของคุณเป็นโหมดเรเดียน!

ฯลฯ เราจะเห็นว่ายิ่งน้อยค่าของอัตราส่วนก็จะยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น

ก) พิจารณาฟังก์ชัน ตามปกติเราจะหาส่วนเพิ่มของมัน:

ลองเปลี่ยนผลต่างของไซน์ให้เป็นผลคูณกัน ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (จำหัวข้อ “”): .

ตอนนี้อนุพันธ์:

มาทดแทนกัน: . จากนั้นสำหรับสิ่งเล็กน้อย มันก็ไม่สิ้นสุดเช่นกัน: นิพจน์สำหรับจะอยู่ในรูปแบบ:

และตอนนี้เราจำมันได้ด้วยพจน์นี้ และจะเกิดอะไรขึ้นหากสามารถละเลยปริมาณที่น้อยที่สุดไปเป็นผลรวมได้ (นั่นคือ ที่)

ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้: อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์:

สิ่งเหล่านี้เป็นอนุพันธ์พื้นฐาน (“ตาราง”) นี่คือหนึ่งในรายการ:

ต่อมาเราจะเพิ่มอีกสองสามอย่าง แต่สิ่งเหล่านี้สำคัญที่สุดเนื่องจากมีการใช้บ่อยที่สุด

ฝึกฝน:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

โซลูชั่น:

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์กันก่อน ปริทัศน์แล้วแทนค่าของมัน:
;
.
ตรงนี้เรามีบางอย่างที่คล้ายกับฟังก์ชันกำลัง เราลองพาเธอไป
มุมมองปกติ:
.
เยี่ยมมาก ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตร:
.
.
. เอ๋…..นี่มันอะไรเนี่ย????

โอเค คุณพูดถูก เรายังไม่รู้ว่าจะหาอนุพันธ์แบบนั้นได้อย่างไร ที่นี่เรามีฟังก์ชันหลายประเภทรวมกัน หากต้องการทำงานร่วมกับพวกเขา คุณต้องเรียนรู้กฎเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ:

เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติ

มีฟังก์ชันในคณิตศาสตร์ซึ่งมีอนุพันธ์ของค่าใดๆ เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้นในเวลาเดียวกัน เรียกว่า “เลขชี้กำลัง” และเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

พื้นฐานของฟังก์ชันนี้คือค่าคงที่ - เป็นค่าอนันต์ ทศนิยมนั่นคือจำนวนอตรรกยะ (เช่น) มันถูกเรียกว่า "หมายเลขออยเลอร์" ซึ่งเป็นสาเหตุที่เขียนแทนด้วยตัวอักษร

ดังนั้นกฎ:

จำง่ายมาก

อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ณ จุดหนึ่ง;
ณ จุดหนึ่ง;
ณ จุดหนึ่ง;
ตรงจุด

โซลูชั่น:

(อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:

สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้ กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนลงในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึมแทบไม่เคยปรากฏในการสอบ Unified State แต่การรู้จักพวกเขาก็ไม่เสียหาย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนย้อนกลับ

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างแรก .

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) .

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน

เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (เราใส่ช็อคโกแลตลงใน กระดาษห่อและมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง .

2. รูท .

3. ไซน์. .

4. สี่เหลี่ยม. .

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและสอง

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการสร้างความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านั้นมักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ รากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อมาถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/v และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษกับตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ชั้นต้นศึกษาอนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งและสองส่วนหลายตัวอย่าง นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ก่อน ฟังก์ชั่นง่ายๆ.

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เราได้การใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหารซึ่งเราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองที่เราได้รับ

คำถามสำหรับการสอบ วินัยทางวิชาการ“องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง”

สาขาวิชาพิเศษ 230115 “การเขียนโปรแกรมในระบบคอมพิวเตอร์”

ปีการศึกษา 2555\2556.

เมทริกซ์และการดำเนินการกับพวกมัน

(เกี่ยวกับ.เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดเท่ากับ 0

เกี่ยวกับ.เมทริกซ์สองตัวที่มีมิติเดียวกันเรียกว่า mxn เท่ากันถ้าเปิด จุดตัดของ i-thแถวและคอลัมน์ที่ j ในเมทริกซ์หนึ่งและเมทริกซ์อีกอันมีจำนวนเท่ากัน ผม=1, 2, ..., ม. ; เจ=1, 2, ..., น .

อนุญาต ก= (a ij) คือเมทริกซ์บางส่วน และ g เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม แล้ว g ก= (g a ij) นั่นคือเมื่อเมทริกซ์ A คูณด้วยตัวเลข g จำนวนทั้งหมดที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ A จะถูกคูณด้วยตัวเลข g

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกัน A = (a ij), B = (b ij) ดังนั้นผลรวมของเมทริกซ์ A + B คือเมทริกซ์ C = (c ij) ที่มีมิติเดียวกัน ซึ่งกำหนดจากสูตร c ij = a ij + b ij นั่นคือเมื่อบวกเมทริกซ์สองตัว ตัวเลขที่อยู่ในเมทริกซ์นั้นเหมือนกันจะถูกบวกกันเป็นคู่

เมทริกซ์ A สามารถคูณด้วยเมทริกซ์ B ได้ กล่าวคือ เมทริกซ์ C = AB สามารถพบได้ถ้าจำนวนคอลัมน์ n ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B และเมทริกซ์ C จะมีแถวมากเท่ากับเมทริกซ์ A มีแถวและมีคอลัมน์มากเท่ากับเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ B แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ C ถูกกำหนดโดยสูตร

องค์ประกอบ c ij ของเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ C เท่ากับผลรวมผลคูณขององค์ประกอบของแถวที่ i ของเมทริกซ์ตัวประกอบตัวแรกและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์ตัวประกอบตัวที่สอง

แนวคิดของดีเทอร์มิแนนต์และคุณสมบัติของมัน

คำนี้มีความหมายอื่นดู ปัจจัยกำหนด (ค่า) .

ปัจจัยกำหนด(หรือ ปัจจัยกำหนด) - หนึ่งในแนวคิดพื้นฐาน พีชคณิตเชิงเส้น. ปัจจัยกำหนด เมทริกซ์เป็น พหุนามจากองค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัส (นั่นคือองค์ประกอบที่จำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน) โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์สามารถกำหนดได้เหนือสับเปลี่ยนใดๆ แหวนในกรณีนี้ ดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นองค์ประกอบของวงแหวนเดียวกัน

คุณสมบัติ 1. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากแถวทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์และแต่ละแถวจะถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ที่มีหมายเลขเดียวกันนั่นคือ

คุณสมบัติ 2 การจัดเรียงดีเทอร์มิแนนต์สองคอลัมน์หรือสองแถวใหม่จะเทียบเท่ากับการคูณ -1

คุณสมบัติ 3 หากดีเทอร์มิแนนต์มีสองคอลัมน์ที่เหมือนกันหรือสองแถวที่เหมือนกัน ค่านั้นจะเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติ 4 การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถวของดีเทอร์มิแนนต์ด้วยตัวเลข k ใดๆ เทียบเท่ากับการคูณดีเทอร์มิแนนต์ด้วยตัวเลข k นี้

คุณสมบัติ 5. หากองค์ประกอบทั้งหมดของบางคอลัมน์หรือบางแถวมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวดีเทอร์มิแนนต์เองก็จะเท่ากับศูนย์ คุณสมบัตินี้เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติก่อนหน้า (สำหรับ k=0)

คุณสมบัติ 6 หากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองคอลัมน์หรือสองแถวของดีเทอร์มิแนนต์เป็นสัดส่วน ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติ 7 หากแต่ละองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ n หรือแถวที่ n ของดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลรวมของสองเทอม ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์สามารถแสดงเป็นผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์สองตัวได้ โดยหนึ่งในคอลัมน์ที่ n หรือตามลำดับในคอลัมน์ที่ n แถวมีคำศัพท์ที่กล่าวถึงครั้งแรกและอีกคำหนึ่งคือคำที่สอง องค์ประกอบที่ยืนอยู่ในสถานที่ที่เหลือจะเหมือนกันสำหรับเหตุการณ์สำคัญของปัจจัยทั้งสาม

คุณสมบัติ 8 หากองค์ประกอบของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (หรือบางแถว) เราเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของคอลัมน์อื่น (หรือแถวอื่น) คูณด้วยปัจจัยร่วมใด ๆ ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น. คุณสมบัติเพิ่มเติมของดีเทอร์มิแนนต์เกี่ยวข้องกับแนวคิดของการเสริมพีชคณิตและรายย่อย ตัวรองขององค์ประกอบคือปัจจัยที่ได้รับจากองค์ประกอบที่กำหนดโดยการขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบนี้

ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบใด ๆ ของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับค่ารองขององค์ประกอบนี้ โดยมีเครื่องหมายถ้าผลรวมของตัวเลขของแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบนั้นอยู่เป็นเลขคู่และด้วย เครื่องหมายตรงข้ามถ้าเลขนี้เป็นเลขคี่

เราจะแสดงส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ที่มีชื่อเดียวกันและตัวเลขเดียวกันกับตัวอักษรที่แสดงถึงองค์ประกอบนั้น

คุณสมบัติ 9 ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของคอลัมน์ (หรือแถว) ใด ๆ โดยการเสริมพีชคณิต กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:

การคำนวณปัจจัยกำหนด

การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ทราบ ซึ่งใช้กับดีเทอร์มิแนนต์ของคำสั่งซื้อทั้งหมด เหล่านี้คือคุณสมบัติ:

1. หากคุณจัดเรียงดีเทอร์มิแนนต์สองแถว (หรือสองคอลัมน์) ใหม่ ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

2. หากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองคอลัมน์ (หรือสองแถว) ของดีเทอร์มิแนนต์เท่ากันหรือเป็นสัดส่วน ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์

3. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณสลับแถวและคอลัมน์ โดยรักษาลำดับไว้

4. หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถว (หรือคอลัมน์) มีปัจจัยร่วมกัน ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายดีเทอร์มิแนนต์ได้

5. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถว (หรือคอลัมน์) อื่นลงในองค์ประกอบของแถวหนึ่ง (หรือคอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน สำหรับปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม คุณสมบัตินี้สามารถเขียนได้ เช่น:

6. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองคำนวณโดยใช้สูตร

7. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามคำนวณโดยใช้สูตร

มีรูปแบบที่สะดวกสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม (ดูรูปที่ 1 และรูปที่ 2)

ตามแผนภาพที่แสดงในรูปที่. ในรูป 1 ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันนั้นมีเครื่องหมายของตัวเองและตามแผนภาพในรูปที่ 1 2 - ถอยหลัง ค่าของดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมพีชคณิตของผลิตภัณฑ์หกผลลัพธ์

ระบบสมการเชิงเส้น แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

ระบบนาย สมการพีชคณิตเชิงเส้น กับn ไม่ทราบ(หรือ, ระบบเชิงเส้นก็ใช้เช่นกัน ตัวย่อ สลอ) วี พีชคณิตเชิงเส้นเป็นระบบสมการในรูป

ระบบสมการเชิงเส้นในตัวแปรสามตัวจะกำหนดเซต เครื่องบิน. จุดตัดคือคำตอบ

นี่คือจำนวนสมการ และคือจำนวนไม่ทราบ x 1 , x 2 , …, x n- สิ่งไม่รู้ที่ต้องพิจารณา ก 11 , ก 12 , …, ก นาที- ค่าสัมประสิทธิ์ระบบ - และ ข 1 , ข 2 , … ข ม- สมาชิกฟรี - ถือว่าเป็นที่รู้จัก . ดัชนีสัมประสิทธิ์ ( ก ฉัน) ระบบแสดงถึงเลขสมการ ( ฉัน) และไม่ทราบ ( เจ) โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์นี้อยู่ตามลำดับ .

เรียกระบบ (1) เป็นเนื้อเดียวกัน หากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ( ข 1 = ข 2 = … = ข ม= 0) มิฉะนั้น - ต่างกัน.

เรียกระบบ (1) สี่เหลี่ยม ถ้าเป็นตัวเลข มสมการเท่ากับจำนวน nไม่ทราบ

สารละลายระบบ (1) - ตั้งค่า nตัวเลข ค 1 , ค 2 , …, ค nเช่นนั้นการทดแทนกันของแต่ละคน ค ฉันแทน x ฉันเป็นระบบ (1) เปลี่ยนสมการทั้งหมดให้เป็น ตัวตน.

เรียกระบบ (1) ข้อต่อ ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ ไม่ใช่ข้อต่อหากเธอไม่มีทางออกแม้แต่ทางเดียว

ระบบข้อต่อประเภท (1) อาจมีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป

โซลูชั่น ค 1 (1) , ค 2 (1) , …, ค n(1) และ ค 1 (2) , ค 2 (2) , …, ค n(2) ระบบข้อต่อแบบ (1) เรียกว่า หลากหลายหากมีการละเมิดความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งรายการ:

ค 1 (1) = ค 1 (2) , ค 2 (1) = ค 2 (2) , …, ค n (1) = ค n (2) .

เรียกว่าระบบข้อต่อแบบ (1) แน่ใจ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ หากมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองวิธี ก็จะเรียกว่า ไม่แน่นอน. ถ้ามีสมการมากกว่าสมการที่ไม่รู้จัก เรียกว่า นิยามใหม่ .

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (วิธีแครเมอร์และเกาส์)

วิธีเกาส์ - วิธีการแก้ปัญหาแบบคลาสสิก ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น(สลาว). นี่คือวิธีการกำจัดตามลำดับ ตัวแปรเมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบสามเหลี่ยมที่เท่ากัน โดยจะพบตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดตามลำดับ โดยเริ่มจากตัวแปรสุดท้าย (ตามตัวเลข) .

วิธีของแครเมอร์ (กฎของแครเมอร์)- วิธีการแก้กำลังสอง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยความไม่เป็นศูนย์ ปัจจัยกำหนด เมทริกซ์หลัก(และสำหรับสมการดังกล่าว ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว) เรียกตามชื่อ กาเบรียล เครเมอร์(1704–1752) ผู้คิดค้นวิธีการนี้

เวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นกับพวกมัน

เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทาง ถ้าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์อยู่ที่จุด A และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด B แล้วเวกเตอร์นั้นจะถูกกำหนดให้เป็น AB หากไม่ได้ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ แสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กของตัวอักษรละติน a, b, c, … BA หมายถึงเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ AB เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าศูนย์และเขียนแทนด้วย ō ทิศทางของมันยังไม่แน่นอน

ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด บันทึก |AB| และ |ก| แสดงถึงโมดูลของเวกเตอร์ AB และ a

เวกเตอร์จะเรียกว่าคอลลิเนียร์หากขนานกับเส้นเดียวกัน และเรียกว่า coplanar หากขนานกับระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางเดียวกัน และมีความยาวเท่ากัน

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ประกอบด้วย:

1) การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข (ผลคูณของเวกเตอร์ a และตัวเลข α เป็นเวกเตอร์ที่แสดงถึง α∙a (หรือในทางกลับกัน a∙α) โมดูลัสซึ่งเท่ากับ |α a| =| α||a| และทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์ a ถ้า α>0 และทิศทางตรงกันข้ามถ้า α< 0.

2) การบวกเวกเตอร์ (ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ซึ่งแสดงโดย จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก a 1 และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย a n ซึ่งเป็นเส้นแบ่งที่ประกอบขึ้น ลำดับผลบวกของเวกเตอร์ กฎการบวกนี้ เรียกว่า กฎการปิดเส้นประ ในกรณีที่ผลรวมของเวกเตอร์ 2 ตัวเท่ากับกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

เส้นตรง e ซึ่งมีทิศทางกำหนดไว้เป็นค่าบวก เรียกว่าแกน e

ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a i คือเวกเตอร์ a ซึ่งกำหนดโดยสูตร โดยที่ตัวเลขบางตัว

ถ้าระบบของเวกเตอร์ n a i มีความเท่าเทียมกัน

เป็นจริงก็ต่อเมื่อระบบนี้บอกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นเท่านั้น ถ้าความเท่าเทียมกัน (1) เป็นที่พอใจสำหรับ อย่างน้อยหนึ่งค่าจากศูนย์ ระบบของเวกเตอร์ ai จะเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์คอลลิเนียร์ใดๆ เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัว เวกเตอร์สี่ตัวขึ้นไปในปริภูมิสามมิติจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอ

สามเรียงลำดับเชิงเส้น เวกเตอร์อิสระē 1, ē 2, ē 3 ในอวกาศเรียกว่าฐาน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวที่ได้รับคำสั่งจะสร้างพื้นฐานเสมอ เวกเตอร์ใดๆ a ในปริภูมิสามารถขยายได้ตามพื้นฐาน ē 1, ē 2, ē 3 กล่าวคือ แทน a เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน: a= xē 1 + yē 2 + zē 3 โดยที่ x, y, z คือเวกเตอร์พิกัด a ที่อยู่ในฐาน ē 1, ē 2, ē 3 ฐานเรียกว่าออร์โธนอร์มอลถ้าเวกเตอร์ของมันตั้งฉากกันและมีความยาวหน่วย พื้นฐานดังกล่าวแสดงโดย i, j, k เช่น i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1)

ตัวอย่างที่ 5 เวกเตอร์ระบุด้วยพื้นฐานออร์โธนอร์มอล i, j, k ด้วยพิกัด: a=(2;-1;8), e 1 = (1,2,3), e 2 = (1,-1,- 2) อี 3 = (1,-6,0) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสาม e 1, e 2, e 3 เป็นฐาน และค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ในฐานนี้

สารละลาย. หากเป็นผู้กำหนด ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ e 1, e 2, e 3 ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้นเวกเตอร์ e 1, e 2, e 3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น และดังนั้นจึงก่อตัวเป็นฐาน เราต้องแน่ใจว่า = -18-4+3-12=-31 ดังนั้น ทริปเปิล e 1, e 2, e 3 จึงเป็นฐาน

ให้เราแสดงพิกัดของเวกเตอร์ a บนพื้นฐานของ e 1 , e 2 , e 3 โดย x, y, z. จากนั้น a = (x,y,z) = xe 1 + yе 2 + zе 3 เนื่องจากตามเงื่อนไข a = 2i – j +8k, e 1 = i +2j +3k, e 2 = i – j -2k, e 3 = i – 6j จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน a = xe1 + ye 2 + zе 3 มัน ตามมาว่า 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k อย่างที่คุณเห็นเวกเตอร์ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ที่เท่ากันจะเท่ากับเวกเตอร์ทางด้านขวาและจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน จากที่นี่ เราจะได้ระบบสำหรับการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก x, y, z:

วิธีแก้: x = 2, y = -1, z = 1 ดังนั้น a = 2e 1 – e 2 + e 3 = (2,-1,1)

การสลายตัวของเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์บางครั้ง สินค้าภายใน- การผ่าตัดในวันที่สอง เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลข ( สเกลาร์) โดยไม่ขึ้นกับระบบพิกัดและกำหนดลักษณะความยาวของเวกเตอร์ตัวประกอบและมุมระหว่างพวกมัน การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการคูณ ความยาวเวกเตอร์ x เปิด การฉายภาพเวกเตอร์ y ถึงเวกเตอร์ x การดำเนินการนี้มักจะถือว่าเป็น สับเปลี่ยนและ เชิงเส้นสำหรับแต่ละปัจจัย

โดยทั่วไปจะใช้หนึ่งในสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

หรือ ( การกำหนด ดิแรกมักใช้ใน กลศาสตร์ควอนตัมสำหรับเวกเตอร์ของรัฐ):

โดยปกติจะสันนิษฐานว่าผลคูณสเกลาร์เป็นบวกแน่นอน กล่าวคือ

สำหรับทุกอย่าง .

หากไม่ถือว่าสิ่งนี้ งานจะถูกเรียก ไม่มีกำหนด.

สินค้าดอทวี พื้นที่เวกเตอร์ข้างบน สนาม ซับซ้อน(หรือ จริง) ตัวเลขเป็นฟังก์ชันสำหรับองค์ประกอบที่รับค่า (หรือ) ที่กำหนดไว้สำหรับองค์ประกอบแต่ละคู่และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าจากวรรค 2 ของคำจำกัดความเป็นไปตามนั้น ดังนั้น รายการที่ 3 จึงสมเหตุสมผล แม้ว่าจะมีค่าที่ซับซ้อน (ในกรณีทั่วไป) ก็ตาม ผลิตภัณฑ์ดอท.

ผลคูณข้ามของเวกเตอร์

งานศิลปะของเว็กเตอร์- นี้ หลอกเวกเตอร์, ตั้งฉากเครื่องบินที่สร้างขึ้นจากปัจจัยสองประการซึ่งก็คือผลลัพธ์ การดำเนินการไบนารี"การคูณเวกเตอร์" จบแล้ว เวกเตอร์ในสามมิติ อวกาศแบบยุคลิด. งานก็ไม่เช่นกัน สับเปลี่ยน, ก็ไม่เช่นกัน เชื่อมโยง(มันคือ ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง) และแตกต่างจาก ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์. ในปัญหาทางวิศวกรรมและฟิสิกส์หลายๆ อย่าง คุณจะต้องสามารถสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีอยู่สองตัวได้ - ผลคูณของเวกเตอร์ให้โอกาสนี้ ผลคูณไขว้มีประโยชน์สำหรับ "การวัด" เส้นตั้งฉากของเวกเตอร์ - ความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของความยาวหากพวกมันตั้งฉากกัน และจะลดลงเหลือศูนย์หากเวกเตอร์ขนานกันหรือขนานกัน

ผลคูณเวกเตอร์สามารถกำหนดได้หลายวิธี และตามทฤษฎีแล้ว ในปริภูมิทุกมิติ nคุณสามารถคำนวณผลิตภัณฑ์ได้ n-1เวกเตอร์ โดยได้เวกเตอร์ตัวเดียวที่ตั้งฉากกับพวกมันทั้งหมด แต่ถ้าผลคูณนั้นจำกัดอยู่เพียงผลคูณไบนารีที่ไม่สำคัญซึ่งมีผลลัพธ์แบบเวกเตอร์ ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์แบบดั้งเดิมจะถูกกำหนดในสามมิติเท่านั้น และ เจ็ดมิติช่องว่าง ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เช่น ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ขึ้นอยู่กับ เมตริกอวกาศแบบยุคลิด

ต่างจากสูตรคำนวณจากพิกัดเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์ดอทในสามมิติ ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสูตรสำหรับผลคูณไขว้ขึ้นอยู่กับ ปฐมนิเทศระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรืออีกนัยหนึ่งคือ “ ความร่าเริง».

ผลคูณผสมของเวกเตอร์

สินค้าผสม เวกเตอร์ - ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์บน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เวกเตอร์และ :

บางครั้งก็เรียกว่า ผลคูณสเกลาร์สามเท่าเวกเตอร์ เห็นได้ชัดว่าเป็นเพราะผลลัพธ์ที่ได้ สเกลาร์(อย่างแม่นยำมากขึ้น - สเกลาร์เทียม).

ความหมายทางเรขาคณิต:โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมจะมีค่าเท่ากับตัวเลขตามปริมาตร ขนานกันมีการศึกษา เวกเตอร์ .

งานผสม เอียงสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับข้อโต้แย้งทั้งหมด:

นั่นคือการจัดเรียงปัจจัยทั้งสองใหม่จะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ มันเป็นไปตามนั้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

งานผสมสามารถเขียนได้สะดวกโดยใช้ สัญลักษณ์ Levi-Civita (เทนเซอร์):

(ในสูตรสุดท้ายในรูปแบบ orthonormal ดัชนีทั้งหมดสามารถเขียนเป็นค่าที่ต่ำกว่าได้ ในกรณีนี้ สูตรนี้จะทำซ้ำสูตรโดยตรงด้วยดีเทอร์มิแนนต์โดยตรง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้จะได้รับตัวคูณ (-1) โดยอัตโนมัติสำหรับ ฐานซ้าย)

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบนระนาบ

ลองใช้เส้นตรงตั้งฉากกันสองเส้นบนเครื่องบิน - แกนพิกัดสองแกน Ox และ Oy โดยมีทิศทางบวกระบุไว้ (รูปที่ 1) เส้นตรง Ox และ Oy เรียกว่าแกนพิกัด จุดตัดกัน O คือที่มาของพิกัด

แกนพิกัด Ox, Oy กับหน่วยสเกลที่เลือกเรียกว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยม) บนระนาบ

ให้เรากำหนดตัวเลขสองตัวให้กับจุด M ของระนาบโดยพลการ: abscissa x ซึ่งเท่ากับระยะห่างจากจุด M ถึงแกน Oy โดยที่เครื่องหมาย "+" ถ้า M อยู่ทางด้านขวาของ Oy และด้วย เครื่องหมาย “-” หาก M อยู่ทางด้านซ้ายของ Oy; y กำหนดเท่ากับระยะห่างจากจุด M ถึงแกน Ox โดยให้เครื่องหมาย “+” หาก M อยู่เหนือ Ox และด้วยเครื่องหมาย “-” หาก M อยู่ต่ำกว่า Ox พิกัด x และพิกัด y เรียกว่าพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนของจุด M(x;y)

ต้นทางมีพิกัด (0;0) แกนพิกัดแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วนเรียกว่าควอเตอร์หรือจตุภาค (บางครั้งเรียกว่ามุมพิกัด) ส่วนของระนาบที่อยู่ระหว่างแกนครึ่งบวกของ Ox และ Oy เรียกว่าจตุภาคที่ 1 ถัดไป ควอแดรนท์จะมีหมายเลขทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 2) สำหรับทุกจุดของจตุภาคแรก x>0, y>0; สำหรับจุด I ของควอแดรนท์ x<0, у>0 ใน I ฉัน ฉันจตุรัส x<0, у<0 и в IV квадранте х>0, ย<0.

พิกัดเชิงขั้ว.

ระบบพิกัดเชิงขั้ว- ระบบพิกัดสองมิติซึ่งแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดด้วยตัวเลขสองตัว - มุมเชิงขั้วและรัศมีเชิงขั้ว ระบบพิกัดเชิงขั้วมีประโยชน์อย่างยิ่งในกรณีที่ความสัมพันธ์ระหว่างจุดสามารถแสดงได้ง่ายกว่าในแง่ของรัศมีและมุม ในสิ่งธรรมดามากขึ้น คาร์ทีเซียนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ความสัมพันธ์ดังกล่าวจะเกิดขึ้นได้โดยการประยุกต์เท่านั้น ตรีโกณมิติสมการ

ระบบพิกัดเชิงขั้วถูกกำหนดโดยรังสี ซึ่งเรียกว่าศูนย์หรือแกนเชิงขั้ว จุดที่รังสีนี้โผล่ออกมาเรียกว่าจุดกำเนิดหรือขั้ว จุดใดๆ บนระนาบถูกกำหนดโดยพิกัดเชิงขั้วสองพิกัด: แนวรัศมีและเชิงมุม พิกัดแนวรัศมี (โดยปกติจะแสดงด้วย ) สอดคล้องกับระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังจุดกำเนิด พิกัดเชิงมุมหรือที่เรียกว่ามุมเชิงขั้วหรือ ราบและเขียนแทนด้วย เท่ากับมุมที่ต้องหมุนแกนขั้วทวนเข็มนาฬิกาเพื่อไปยังจุดนี้

พิกัดแนวรัศมีที่กำหนดในลักษณะนี้สามารถรับค่าได้ ศูนย์ก่อน อนันต์และพิกัดเชิงมุมจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0° ถึง 360° อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวก สามารถขยายช่วงของค่าของพิกัดเชิงขั้วให้เกินกว่านั้นได้

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

คำนิยาม.เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

นอกจากนี้ค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C อาจมีกรณีพิเศษต่อไปนี้:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – เส้นตรงตัดผ่านจุดกำเนิด

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – เส้นตรงขนานกับแกน Oy

B = C = 0, A ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Oy

A = C = 0, B ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงได้หลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

ภารกิจหลักของการใช้สมการเส้นตรง

ไม่สามารถตอบได้

เส้นโค้งลำดับที่สอง

เส้นโค้งลำดับที่สอง- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเป็นไปตามสมการของรูปแบบ

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าแตกต่างจากศูนย์

ขีดจำกัดของลำดับจำนวนและฟังก์ชัน

ขีดจำกัดของลำดับหมายเลข พิจารณาลำดับตัวเลขที่มีคำศัพท์ทั่วไปเข้าใกล้จำนวนบางจำนวน ก การเพิ่มหมายเลขซีเรียล n. ในกรณีนี้จะบอกว่าลำดับตัวเลขมี ขีด จำกัด. แนวคิดนี้มีคำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้น

คำจำกัดความนี้หมายความว่า กมี ขีด จำกัดลำดับตัวเลขหากคำทั่วไปเข้าใกล้อย่างไม่มีขีดจำกัด กด้วยการเพิ่มขึ้น n. ในเชิงเรขาคณิต หมายความว่าสำหรับ > 0 ใดๆ เราสามารถหาตัวเลขดังกล่าวได้ เอ็นที่เริ่มต้นจาก n > ไม่มีทั้งหมดสมาชิกของลำดับจะอยู่ภายในช่วง ( ก ก). ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกัน; มิฉะนั้น - แตกต่าง.

ลำดับที่เรียกว่า ถูก จำกัดถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ มอะไร | ยู n | ม  สำหรับทุกอย่าง n . เรียกว่าลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง ซ้ำซากจำเจ.

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดและการประยุกต์

ทฤษฎีบท 1 . (เกี่ยวกับการผ่านไปสู่ขีดจำกัดแห่งความเท่าเทียม)หากฟังก์ชันทั้งสองใช้ค่าเดียวกันในบริเวณใกล้เคียงกับจุดใดจุดหนึ่งแสดงว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ตรงกัน

ทฤษฎีบท 2 (เกี่ยวกับการผ่านไปสู่ขีดจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน)ถ้าค่าฟังก์ชัน ฉ(x) ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดใดจุดหนึ่งต้องไม่เกินค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ก(x) แล้วขีดจำกัดของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดนี้จะต้องไม่เกินขีดจำกัดของฟังก์ชัน ก(x) .

ทฤษฎีบท 3 . ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

การพิสูจน์. ฉ(x)=ค, มาพิสูจน์กัน

ลองหากฎเกณฑ์ >0 กัน เนื่องจากคุณสามารถใช้อะไรก็ได้

จำนวนบวก แล้วที่

ทฤษฎีบท 4. การทำงานไม่สามารถมีขีดจำกัดที่แตกต่างกันสองอันได้

จุดหนึ่ง

การพิสูจน์. สมมติว่าตรงกันข้าม อนุญาต

และ .

โดย ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตและฟังก์ชันจิ๋ว:

ฉ(x)- ก= - บีม ที่ ,

ฉ(x)- บี= - บีม ที่ .

เมื่อลบความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราจะได้:

บี-ก= - .

เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดของทั้งสองด้านของความเสมอภาคแล้ว เราจะได้:

บี-ก=0 เช่น บี=ก. เราได้รับความขัดแย้งที่พิสูจน์ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 5 หากแต่ละเทอมของผลรวมพีชคณิตมีขีดจำกัดที่ ผลรวมพีชคณิตก็มีขีดจำกัดที่ และขีดจำกัดของผลรวมพีชคณิตจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของขีดจำกัด

การพิสูจน์. อนุญาต , , .

แล้วโดย ทฤษฎีบทเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตกับ b.ม. ฟังก์ชั่น:

ที่ไหน - บีม ที่ .

ให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ในเชิงพีชคณิต:

ฉ(x)+ ก(x)- ชม.(x)-(A+B-C)= ,

ที่ไหน บีม ที่ .

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตกับข.ม. คุณสมบัติ:

เอ+บี-ซี= .

ทฤษฎีบท 6. หากตัวประกอบแต่ละตัวของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดมีขีดจำกัดที่ ดังนั้นผลคูณนั้นก็มีขีดจำกัดที่ ด้วย และขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัด

ผลที่ตามมาตัวประกอบคงที่สามารถหาได้เกินเครื่องหมายจำกัด

ทฤษฎีบท 7. ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ก(x) มีขีดจำกัดที่ ,

และ ผลหารของพวกมันก็มีลิมิตที่ และลิมิตของผลหารก็เท่ากับผลหารของลิมิต

, .

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ในรูป 15 และกราฟของฟังก์ชันจะแสดงขึ้น . เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกมันว่ากราฟต่อเนื่องเพราะสามารถวาดด้วยดินสอเพียงครั้งเดียวโดยไม่ต้องยกออกจากกระดาษ มากำหนดจุด (ตัวเลข) กัน อีกจุดที่อยู่ใกล้ๆ ก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ โดยมีจำนวนบวกหรือลบเรียกว่าส่วนเพิ่ม ความแตกต่าง

เรียกว่า ส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่สอดคล้องกับส่วนเพิ่ม ที่นี้หมายถึงว่า . ในรูป 15 และเท่ากับความยาวของส่วน

เราจะมุ่งมั่นไปสู่ศูนย์ จากนั้นสำหรับฟังก์ชันที่เป็นปัญหา เห็นได้ชัดว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์:

. (1)

ให้เราพิจารณากราฟในรูปที่ 15, b. ประกอบด้วยสองชิ้นต่อเนื่องและ อย่างไรก็ตาม ชิ้นส่วนเหล่านี้ไม่ได้เชื่อมต่อกันอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกกราฟว่าไม่ต่อเนื่องกัน เพื่อให้กราฟแสดงฟังก์ชันค่าเดียวที่จุด ให้เรายอมรับว่ามันเท่ากับความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อ และ ; สัญลักษณ์นี้แสดงจุดบนกราฟเป็นวงกลม ส่วนจุดนั้นมีลูกศรวาด แสดงว่าจุดนั้นไม่อยู่ในกราฟ ถ้าจุดนั้นเป็นของกราฟ ฟังก์ชันก็จะมีค่าเป็นสองค่าที่จุดนั้น

ให้เราเพิ่มส่วนเพิ่มและกำหนดส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

ถ้าเรามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ตอนนี้เราไม่สามารถพูดได้อีกต่อไปว่าอะไรจะมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ สำหรับค่าลบที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ สิ่งนี้เป็นจริง แต่สำหรับค่าบวกนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้นเลย: จากตัวเลขเป็นที่ชัดเจนว่าหากในขณะที่ยังคงเป็นบวกอยู่นั้นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ การเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันก็มีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนบวกเท่ากับ จนถึงความยาวของส่วน

หลังจากการพิจารณาเหล่านี้ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาต่อเนื่องกันที่จุดบนเซ็กเมนต์นี้ หากการเพิ่มขึ้น ณ จุดนี้ ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้น มีแนวโน้มเป็นศูนย์ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ สิ่งนี้ (คุณสมบัติของความต่อเนื่องใน) เขียนไว้ในรูปแบบของความสัมพันธ์ (1) หรือในลักษณะนี้:

รายการ (2) อ่านได้ดังนี้: ขีดจำกัดจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ตามกฎหมายใดๆ อย่างไรก็ตาม สำนวน "ตามกฎหมายใดๆ" มักจะละเว้น ซึ่งหมายความถึงสิ่งนั้น

หากฟังก์ชันที่กำหนดบนไม่ต่อเนื่องกันที่จุด นั่นคือถ้าคุณสมบัติ (2) ไม่คงไว้เพื่อให้มีค่าเป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งวิธี จะเรียกว่าไม่ต่อเนื่องที่จุด

ฟังก์ชั่นที่แสดงในรูป 15, a มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ แต่ฟังก์ชันแสดงในรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่า 15, b มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ยกเว้นจุดนั้น เพราะสำหรับจุดหลังนั้น ความสัมพันธ์ (2) ไม่เป็นที่น่าพอใจเมื่อยังคงเป็นบวก

ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ บนเซ็กเมนต์ (ช่วง) เรียกว่าต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์นั้น (ช่วง)

ฟังก์ชันต่อเนื่องแสดงคุณสมบัติที่เรามักพบในทางปฏิบัติในทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในตัวแปรอิสระสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน) ตัวอย่างที่ดีของฟังก์ชันต่อเนื่องคือกฎการเคลื่อนที่ต่างๆ ของร่างกาย ซึ่งแสดงถึงการพึ่งพาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางตรงเวลา เวลาและพื้นที่มีความต่อเนื่อง กฎการเคลื่อนที่ข้อนี้หรือกฎนั้นทำให้เกิดความเชื่อมโยงอย่างต่อเนื่องระหว่างสิ่งเหล่านั้น โดยมีลักษณะพิเศษคือการเพิ่มเวลาเล็กน้อยจะสอดคล้องกับการเพิ่มเส้นทางเล็กน้อย

มนุษย์มาถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมของความต่อเนื่องโดยการสังเกตสิ่งที่เรียกว่าสื่อต่อเนื่องที่อยู่รอบตัวเขา - ของแข็ง ของเหลว หรือก๊าซ เช่น โลหะ น้ำ อากาศ ในความเป็นจริงทุก สภาพแวดล้อมทางกายภาพคือการสะสมของอนุภาคเคลื่อนที่จำนวนมากที่แยกออกจากกัน อย่างไรก็ตาม อนุภาคเหล่านี้และระยะห่างระหว่างอนุภาคเหล่านี้มีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับปริมาตรของตัวกลางที่เราต้องเผชิญในปรากฏการณ์ทางกายภาพขนาดมหภาค ซึ่งปรากฏการณ์ดังกล่าวจำนวนมากสามารถศึกษาได้ค่อนข้างดีหากเราพิจารณามวลของตัวกลางโดยประมาณที่กำลังศึกษาอยู่ กระจายอย่างต่อเนื่องโดยไม่มีช่องว่างใดๆ ในพื้นที่ที่ถูกครอบครอง สาขาวิชากายภาพหลายแห่งตั้งอยู่บนสมมติฐานนี้ เช่น ทฤษฎีอุทกพลศาสตร์ อากาศพลศาสตร์ และทฤษฎีความยืดหยุ่น แนวคิดทางคณิตศาสตร์เรื่องความต่อเนื่องมีบทบาทสำคัญในสาขาวิชาเหล่านี้ เช่นเดียวกับในสาขาวิชาอื่นๆ อีกมากมาย

ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นคลาสหลักของฟังก์ชันที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือฟังก์ชันพื้นฐาน (ดู § 3.8 ด้านล่าง) มีความต่อเนื่องตลอดช่วงการเปลี่ยนแปลงตามที่กำหนดไว้

ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องในคณิตศาสตร์สะท้อนถึงกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องที่พบในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ในระหว่างการปะทะ ความเร็วของร่างกายจะเปลี่ยนไปอย่างกะทันหัน การเปลี่ยนคุณภาพหลายอย่างจะมาพร้อมกับการกระโดด ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิของน้ำหนึ่งกรัม (น้ำแข็ง) และปริมาณแคลอรี่ความร้อนที่มีอยู่ในนั้น เมื่อมันเปลี่ยนแปลงระหว่าง และ ถ้าเราถือว่าตามอัตภาพว่าค่าของ จะแสดงโดยสูตรต่อไปนี้:

เราถือว่าความจุความร้อนของน้ำแข็งคือ 0.5 เมื่อฟังก์ชันนี้กลายเป็นไม่แน่นอน – หลายค่า เพื่อความสะดวก เราสามารถตกลงกันว่าต้องใช้ค่าที่แน่นอนมาก เช่น ฟังก์ชันซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ต่อเนื่องที่ จะแสดงในรูป 16.

ให้เรานิยามความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ฟังก์ชันจะเรียกว่าต่อเนื่องที่จุดหนึ่งหากถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนี้ รวมถึงที่จุดนั้นเองด้วย และหากมีการเพิ่มขึ้น ณ จุดนี้ ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่:

ถ้าเราใส่ เราจะได้คำจำกัดความที่เทียบเท่าของความต่อเนื่องที่: ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดหนึ่งถ้ามันถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนี้ รวมถึงที่จุดนั้นด้วยด้วย และถ้า

; (4)

หรือในภาษาด้วย: ถ้าสำหรับทุกคนเป็นเช่นนั้น

ความเท่าเทียมกัน (4) สามารถเขียนได้ดังนี้:

. (4’)

มันแสดงให้เห็นว่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันต่อเนื่องเราสามารถไปถึงขีดจำกัดได้

ตัวอย่างที่ 1 ค่าคงที่คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ในความเป็นจริง จุดหนึ่งสอดคล้องกับค่าของฟังก์ชัน จุดหนึ่งสอดคล้องกับค่าเดียวกัน . นั่นเป็นเหตุผล

ตัวอย่าง 2. ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องสำหรับค่าใดๆ เพราะ และ ดังนั้น สำหรับ

ตัวอย่างที่ 3 ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องสำหรับใดๆ อย่างแท้จริง,

แต่สำหรับทุกคนมีความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้า แล้วสิ่งนี้ตามมาจากรูปที่. 17 ซึ่งแสดงวงกลมรัศมี 1 (ส่วนโค้งของความยาวมากกว่าคอร์ดที่ส่งมาซึ่งมีความยาว ) เมื่อความไม่เท่าเทียมกัน (6) กลายเป็นความเท่าเทียมกัน ถ้าอย่างนั้น . สุดท้ายถ้าอย่างนั้น . จาก (5) ตาม (6) ดังต่อไปนี้

แต่แล้วอย่างเห็นได้ชัด

นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่าสำหรับทุกคนมีความเป็นไปได้ที่จะพบสิ่งนั้นอย่างแน่นอน

ให้เราสังเกตทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1 ถ้าฟังก์ชัน และ มีความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร (at) ก็จะต่อเนื่องกันที่จุดนี้เช่นกัน

ทฤษฎีบทนี้ต่อจากทฤษฎีบท 6 §3.2 โดยตรง โดยคำนึงถึงในกรณีนี้

ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันจากฟังก์ชัน (ฟังก์ชันเชิงซ้อน) ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท 2 ให้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จุด และฟังก์ชันอื่นที่ต่อเนื่องที่จุด และให้ แล้วฟังก์ชันเชิงซ้อน มีความต่อเนื่องตรงจุด

การพิสูจน์. โปรดสังเกตว่าตามคำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ตามมาด้วยว่าฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ นั่นเป็นเหตุผล

ในที่นี้มีการแนะนำการเปลี่ยนตัวและคำนึงถึงความต่อเนื่อง ณ จุดนั้นด้วย .

ตัวอย่างที่ 4 ฟังก์ชั่น

โดยที่สัมประสิทธิ์คงที่เรียกว่าพหุนามของดีกรี มันต่อเนื่องสำหรับใครก็ตาม ท้ายที่สุดเพื่อให้ได้มาซึ่งขึ้นอยู่กับตัวเลขคงที่และฟังก์ชันจำเป็นต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในจำนวนจำกัด - การบวกการลบและการคูณ แต่ค่าคงที่ก็คือฟังก์ชันต่อเนื่อง (ดูตัวอย่างที่ 1) และฟังก์ชันก็ต่อเนื่องเช่นกัน (ดูตัวอย่างที่ 2) ดังนั้นความต่อเนื่องจึงตามมาจากทฤษฎีบทที่ 1

ตัวอย่างที่ 5 ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง เป็นส่วนประกอบของฟังก์ชันต่อเนื่อง 2 ฟังก์ชัน: , .

ตัวอย่างที่ 6 ฟังก์ชั่น

เป็นค่าต่อเนื่องสำหรับค่าที่ระบุ เนื่องจาก (ดูทฤษฎีบท 1) ค่านี้จะเท่ากับผลหารของการหารฟังก์ชันต่อเนื่อง และตัวหารไม่เท่ากับศูนย์ (สำหรับค่าที่ระบุ )

ตัวอย่างที่ 7 ฟังก์ชั่น

เป็นค่าต่อเนื่องสำหรับค่าใดๆ เนื่องจากเป็นองค์ประกอบของฟังก์ชันต่อเนื่อง: , , (ดูทฤษฎีบท 2)

ตัวอย่างที่ 8 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเนื่องจาก

ตัวอย่างที่ 9 ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันก็จะต่อเนื่องที่จุดนี้ด้วย

สิ่งนี้ต่อจากทฤษฎีบทที่ 2 และตัวอย่างที่ 8 เนื่องจากฟังก์ชันคือองค์ประกอบของฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชัน

ขอให้เราสังเกตทฤษฎีบทอีกสองทฤษฎีที่ต่อจากทฤษฎีบท 1 และ 2 ของ §3.2 โดยตรงสำหรับขีดจำกัดของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 3 ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องกันที่จุดหนึ่ง ก็จะมีขอบเขตใกล้เคียงของจุดนี้ที่ฟังก์ชันนั้นถูกผูกไว้

ทฤษฎีบท 4 ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด และ แสดงว่ามีพื้นที่ใกล้เคียงของจุดนั้น

ยิ่งกว่านั้นถ้าเช่นนั้น

และถ้าเช่นนั้น

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

อนุพันธ์(ฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง) - แนวคิดพื้นฐาน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (ณ จุดที่กำหนด) กำหนดให้เป็น ขีด จำกัดความสัมพันธ์ระหว่างการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและการเพิ่มขึ้น การโต้แย้งเมื่อการโต้แย้งมีแนวโน้มเพิ่มขึ้น ศูนย์หากมีขีดจำกัดดังกล่าวอยู่ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จำกัด ( ณ จุดหนึ่ง) เรียกว่าอนุพันธ์ (ณ จุดนั้น)

กระบวนการคำนวณอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. กระบวนการย้อนกลับ - การค้นหา แอนติเดริเวทีฟ - บูรณาการ.

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกลของอนุพันธ์..

กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 1 อนุพันธ์ผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

(ยู±วี)" = ยู"±วี"

ผลที่ตามมา อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตจำกัดของฟังก์ชันอนุพันธ์จะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของเงื่อนไขที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น,

(คุณ - วี + ว)" = คุณ" - วี" + ว"

อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันถูกกำหนดโดย

ทฤษฎีบท 2 อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันจะเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันแรกและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง บวกกับผลคูณของฟังก์ชันที่สองและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่ง นั่นคือ

(ยูวี)" = คุณ"วี + ยูวี"

ข้อพิสูจน์ 1. สามารถดึงตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ (cv)" = cv" (c = const)

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลบวกของผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่ละตัวกับฟังก์ชันอื่นทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น (uvw)" = u"vw + uv"w + uvw"

อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

แสดงได้ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 3 อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนแสดงโดย

ทฤษฎีบท 4 ถ้า y = f(u) และ u = (ф(x)) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ของมันได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน y = f (ф(x)) มีอยู่และเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ เช่น

เข้าบ่อยมาก. การทดสอบทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับอนุพันธ์ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมา เช่น y = sin(cos5x) อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเท่ากับ -5sin5x*sin(cos5x)

ดูตัวอย่างการคำนวณฟังก์ชันที่ซับซ้อนในวิดีโอต่อไปนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้นของอาร์กิวเมนต์อย่างง่าย	การทำงานย = ฉ (เคเอ็กซ์+บี )	อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้นของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน
ย=xn	ย=nxn−1	ย=(เคเอ็กซ์+ข)n	ย=nเค(เคเอ็กซ์+ข)n−1
		ย=(เคเอ็กซ์+ข)

ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์

ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง เมื่อถึงจุดนั้น ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกัน

โปรดทราบว่าการสนทนาไม่เป็นความจริง: ฟังก์ชันต่อเนื่องอาจไม่มีอนุพันธ์

เช่น ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่
แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่านี้ เนื่องจาก ณ จุดนั้น
กราฟิกฟังก์ชั่น
ไม่มีแทนเจนต์

ดังนั้นความต่อเนื่องของฟังก์ชันจึงมีความจำเป็น แต่ไม่ใช่ สภาพที่เพียงพอความแตกต่างของฟังก์ชัน

4.4. อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของฟังก์ชัน

การค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยตรงตามคำจำกัดความ (หัวข้อ 4.1) มักเกี่ยวข้องกับปัญหาบางประการ ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันต่างๆ จะถูกสร้างความแตกต่างโดยใช้กฎและสูตรจำนวนหนึ่ง

ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชั่น
และ
แยกแยะได้ ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์จากนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันต่างๆ ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้
,
,(โดยกำหนดว่า
) และในที่นั้น

;

,
.

ผลที่ตามมา

1.
, ที่ไหน
.

2. ถ้า
, ที่.

3.
, ที่ไหน
.

4.6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

อนุญาต
และ
, แล้ว
− ฟังก์ชันเชิงซ้อนพร้อมอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูและข้อโต้แย้งที่เป็นอิสระ เอ็กซ์.

ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชั่น
มีอนุพันธ์
ตรงจุด เอ็กซ์และฟังก์ชัน
มีอนุพันธ์
ในจุดที่เหมาะสม
แล้วจึงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ตรงจุด เอ็กซ์มีอนุพันธ์
ซึ่งพบได้จากสูตร:

หรือ
=.

โดยสรุปได้ดังนี้ ( กฎลูกโซ่): อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของส่วนประกอบ.

กฎนี้ใช้กับฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ระดับกลางจำนวนหนึ่ง (จำนวนหนึ่ง)

ถ้าอย่างนั้น
,
,
,
, ที่

4.7. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ถ้า
และ
− ฟังก์ชันหาอนุพันธ์แบบผกผันร่วมกัน และ
, ที่

หรือ
,

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันเท่ากับส่วนกลับของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด.

เขียนลงไป:

หรือ .

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

,
, แล้ว
,
. เรามี
.

ดังนั้น,
.

4.8. ตารางอนุพันธ์

เพื่อความสะดวกและทำให้กระบวนการหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานหลักและกฎของการหาอนุพันธ์จะถูกสรุปไว้ในตาราง

ความแตกต่าง		ความแตกต่าง
			,

	,
	, .
	,
	, ถ้า ,
	, ถ้า ,

4.9. ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ในทางปฏิบัติ คุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยที่สุด เราจะแสดงตัวอย่างวิธีการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว

1.
,เค- หมายเลข

;

2.
.

;

3.
.

;

4.
.

;

5.
.

;

6.
.

;

7.
.

8.
.

9.
.

10.
.

ในกรณีของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตารางอนุพันธ์สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบทั่วไปได้

สูตรสำหรับแยกฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานจากอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง (
)

4.10. อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

การพึ่งพาระหว่างตัวแปร เอ็กซ์และ ยสามารถระบุได้ในรูปของสมการสองสมการ:

ที่ไหน ที- ตัวแปรเสริม (พารามิเตอร์)

การทำงาน
ที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน
, ที่ไหน
.

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะได้:

เพราะ
, ที่

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

4.11 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย

หากสมการกำหนดฟังก์ชันโดยนัย ให้ค้นหาอนุพันธ์ของ ที่โดย เอ็กซ์เราจำเป็นต้องแยกแยะสมการนี้ด้วย เอ็กซ์ขณะกำลังพิจารณาอยู่ ที่เป็นหน้าที่ของ เอ็กซ์แล้วแก้สมการผลลัพธ์ด้วยความเคารพ ,แสดงออก ผ่าน เอ็กซ์และ ที่.

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: .

;

4.12. การหาอนุพันธ์ลอการิทึม

ในหลายกรณีเมื่อจำเป็นต้องหาผลคูณของหลายปัจจัยหรือผลหารซึ่งทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยหลายปัจจัยตลอดจนเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
, นำมาใช้ การแยกส่วนลอการิทึม.