สูตรพีชคณิตสำหรับการคูณแบบย่อ สูตรคูณแบบย่อ
เมื่อคำนวณพหุนามพีชคณิต ให้ใช้เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น สูตรคูณแบบย่อ - มีทั้งหมดเจ็ดสูตรดังกล่าว คุณต้องรู้จักพวกเขาทั้งหมดด้วยใจ
ควรจำไว้ว่าแทนที่จะเป็น a และ b ในสูตร สามารถเป็นตัวเลขหรือพหุนามพีชคณิตอื่นๆ ได้
ความแตกต่างของกำลังสอง
ผลต่างของกำลังสองของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของผลต่างของตัวเลขเหล่านี้และผลรวมของมัน
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข)
กำลังสองของผลรวม
กำลังสองของผลรวมของตัวเลขสองตัว เท่ากับกำลังสองจำนวนแรกบวกสองเท่าผลคูณของจำนวนแรก และจำนวนที่สองบวกกำลังสองของจำนวนที่สอง
(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2
โปรดทราบว่าด้วยสูตรคูณแบบย่อนี้ มันจึงเป็นเรื่องง่าย ค้นหากำลังสองจำนวนมากโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือการคูณยาวๆ เรามาอธิบายด้วยตัวอย่าง:
ค้นหา 112 2
ให้เราแยก 112 เป็นผลรวมของตัวเลขที่เราจำกำลังสองได้ดี2
112 = 100 + 1
ลองเขียนผลรวมของตัวเลขในวงเล็บและวางสี่เหลี่ยมไว้เหนือวงเล็บ
112 2 = (100 + 12) 2
ลองใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544
โปรดจำไว้ว่าสูตรผลรวมกำลังสองใช้ได้กับพหุนามพีชคณิตใดๆ ก็ได้
(8a + ค) 2 = 64a 2 + 16ac + ค 2
คำเตือน!!!
(ก + ข) 2 ไม่เท่ากับ a 2 + b 2
ผลต่างกำลังสอง
กำลังสองของผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสองของจำนวนแรกลบด้วยสองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและตัวที่สองบวกกับกำลังสองของจำนวนที่สอง
(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2
นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การจดจำการเปลี่ยนแปลงที่มีประโยชน์มาก:
(ก - ข) 2 = (ข - ก) 2
สูตรข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยเพียงแค่เปิดวงเล็บ:
(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2 = ข 2 - 2ab + ก 2 = (ข - ก) 2
ลูกบาศก์ของผลรวม
ลูกบาศก์ของผลรวมของตัวเลขสองตัว เท่ากับลูกบาศก์จำนวนแรกบวกสามผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรก และตัวที่สองบวกสามผลคูณของจำนวนแรกและกำลังสองของจำนวนที่สองบวกกำลังสามของจำนวนที่สอง
(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3
มันค่อนข้างง่ายที่จะจำสูตรที่ดู "น่ากลัว" นี้
เรียนรู้ว่า 3 มาที่จุดเริ่มต้น
พหุนามสองตัวที่อยู่ตรงกลางมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 3
ในจำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์คือ 1 (a 0 = 1, b 0 = 1) สังเกตได้ง่ายว่าในสูตรมีระดับ a ลดลงและระดับ b เพิ่มขึ้น คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้:
(ก + ข) 3 = ก 3 ข 0 + 3a 2 ข 1 + 3a 1 ข 2 + ข 3 0 = 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3
คำเตือน!!!
(ก + ข) 3 ไม่เท่ากับ a 3 + b 3
ลูกบาศก์ความแตกต่าง
กำลังสามของผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสามของจำนวนแรกลบสามคูณด้วยผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรกและตัวที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและกำลังสองของวินาทีลบลูกบาศก์ ของวินาที
(ก - ข) 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3
สูตรนี้จำได้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า แต่คำนึงถึงการสลับเครื่องหมาย "+" และ "-" เท่านั้น เทอมแรก a 3 นำหน้าด้วย "+" (ตามกฎของคณิตศาสตร์ เราไม่ได้เขียนไว้) ซึ่งหมายความว่าเทอมถัดไปจะนำหน้าด้วย "-" จากนั้นอีกครั้งด้วย "+" เป็นต้น
(ก - ข) 3 = + 3 - 3เอ 2 ข + 3เอบี 2 - ข 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3
ผลรวมของลูกบาศก์ ( อย่าสับสนกับผลรวมลูกบาศก์!)
ผลรวมของลูกบาศก์เท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขสองตัวและกำลังสองบางส่วนของผลต่าง
ก 3 + ข 3 = (ก + ข)(ก 2 - ab + ข 2)
ผลรวมของลูกบาศก์เป็นผลคูณของสองวงเล็บ
วงเล็บแรกคือผลรวมของตัวเลขสองตัว
วงเล็บที่สองคือกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างระหว่างตัวเลข กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่างคือนิพจน์:
เอ 2 - เอบี + ข 2
กำลังสองนี้ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากตรงกลางแทนที่จะเป็นผลคูณสองเท่า กลับเป็นผลคูณของตัวเลขตามปกติ
ความแตกต่างของลูกบาศก์ (อย่าสับสนกับลูกบาศก์ส่วนต่าง!!!)
ผลต่างของลูกบาศก์เท่ากับผลคูณของผลต่างของตัวเลขสองตัวและกำลังสองบางส่วนของผลรวม
ก 3 - ข 3 = (ก - ข)(ก 2 + ab + ข 2)
ระมัดระวังในการเขียนป้ายควรจำไว้ว่าสูตรทั้งหมดที่ระบุข้างต้นใช้จากขวาไปซ้ายด้วย
วิธีง่ายๆ ในการจำสูตรคูณแบบย่อ หรือ... สามเหลี่ยมปาสคาล
มีปัญหาในการจำสูตรคูณแบบย่อใช่หรือไม่? สาเหตุก็ช่วยได้ง่าย คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าภาพสามเหลี่ยมของปาสคาลนั้นเรียบง่ายเพียงใด จากนั้นคุณจะจำสูตรเหล่านี้ได้ทุกที่ทุกเวลาหรือจำไม่ได้ แต่คืนค่า
สามเหลี่ยมปาสกาลคืออะไร? สามเหลี่ยมนี้ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เข้าสู่การขยายตัวของระดับทวินามของรูปแบบใดๆ ให้เป็นพหุนาม
เรามาขยายความกัน เช่น:
ในรายการนี้ จำได้ง่ายว่ากำลังสามของตัวเลขแรกอยู่ที่จุดเริ่มต้น และกำลังสามของตัวเลขที่สองอยู่ท้ายสุด แต่สิ่งที่อยู่ตรงกลางนั้นยากที่จะจดจำ และแม้แต่ความจริงที่ว่าในแต่ละเทอมต่อมาระดับของปัจจัยหนึ่งจะลดลงตลอดเวลาและการเพิ่มขึ้นครั้งที่สอง - สังเกตและจดจำได้ไม่ยาก สถานการณ์จะยากขึ้นเมื่อจดจำค่าสัมประสิทธิ์และเครื่องหมาย (เป็นบวกหรือลบ ?)
ก่อนอื่นเลย อัตราต่อรอง ไม่จำเป็นต้องจดจำมัน! เราวาดรูปสามเหลี่ยมของปาสคาลอย่างรวดเร็วที่ระยะขอบของสมุดบันทึกและนี่คือ - สัมประสิทธิ์ที่อยู่ตรงหน้าเราแล้ว เราเริ่มวาดด้วยสามหน่วย ด้านบนหนึ่ง ด้านล่างสองหน่วย ไปทางขวาและซ้าย ใช่แล้ว มันเป็นสามเหลี่ยมอยู่แล้ว:
บรรทัดแรกซึ่งมี 1 เป็นศูนย์ ลำดับที่หนึ่ง สอง สาม และต่อๆ ไป ในการรับบรรทัดที่สองคุณจะต้องกำหนดบรรทัดที่ขอบอีกครั้งและตรงกลางเขียนหมายเลขที่ได้รับโดยการเพิ่มตัวเลขสองตัวที่อยู่ด้านบน:
เราเขียนบรรทัดที่สาม: อีกครั้งตามขอบของหน่วย และอีกครั้งเพื่อให้ได้หมายเลขถัดไปในบรรทัดใหม่ เราจะเพิ่มตัวเลขที่อยู่ด้านบนในหมายเลขก่อนหน้า:
อย่างที่คุณอาจเดาได้ เราได้ค่าสัมประสิทธิ์จากการขยายตัวของทวินามเป็นพหุนามในแต่ละบรรทัด:
มันง่ายกว่าที่จะจำเครื่องหมาย: อันแรกเหมือนกับในทวินามขยาย (เราขยายผลรวม - นั่นหมายถึงบวก, ความแตกต่าง - นั่นหมายถึงลบ) จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน!
นี่เป็นสิ่งที่มีประโยชน์มาก - สามเหลี่ยมปาสคาล ใช้มัน!
สูตรการคูณแบบย่อ (FMF) ใช้เพื่อยกกำลังและคูณตัวเลขและนิพจน์ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณได้กระชับและรวดเร็วยิ่งขึ้น
ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรพื้นฐานสำหรับการคูณแบบย่อ จัดกลุ่มไว้ในตาราง พิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ และยังกล่าวถึงหลักการพิสูจน์สูตรสำหรับการคูณแบบย่อด้วย
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
เป็นครั้งแรกที่หัวข้อ FSU ได้รับการพิจารณาภายในกรอบของหลักสูตรพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ด้านล่างมี 7 สูตรพื้นฐาน
สูตรคูณแบบย่อ
- สูตรกำลังสองของผลรวม: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- สูตรผลต่างกำลังสอง: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- สูตรผลรวมลูกบาศก์: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- สูตรลูกบาศก์ส่วนต่าง: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- สูตรผลต่างกำลังสอง: a 2 - b 2 = a - b a + b
- สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- สูตรหาผลต่างของลูกบาศก์: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
ตัวอักษร a, b, c ในนิพจน์เหล่านี้อาจเป็นตัวเลข ตัวแปร หรือนิพจน์ใดก็ได้ เพื่อความสะดวกในการใช้งาน ควรเรียนรู้สูตรพื้นฐานทั้ง 7 สูตรด้วยใจจริง มาวางไว้ในตารางแล้วนำเสนอด้านล่างโดยใช้กรอบล้อมรอบ
สูตรสี่สูตรแรกช่วยให้คุณสามารถคำนวณกำลังสองหรือกำลังสามของผลรวมหรือผลต่างของสองนิพจน์ตามลำดับ
สูตรที่ห้าคำนวณความแตกต่างระหว่างกำลังสองของนิพจน์โดยการคูณผลรวมและผลต่าง
สูตรที่หกและเจ็ดตามลำดับคือการคูณผลรวมและผลต่างของนิพจน์ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม
สูตรการคูณแบบย่อบางครั้งเรียกว่าอัตลักษณ์การคูณแบบย่อ ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากความเสมอภาคทุกอย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว
เมื่อแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ มักใช้สูตรการคูณแบบย่อโดยสลับด้านซ้ายและขวา วิธีนี้จะสะดวกเป็นพิเศษเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม
สูตรคูณแบบย่อเพิ่มเติม
อย่าจำกัดตัวเองอยู่เพียงหลักสูตรพีชคณิตเกรด 7 และเพิ่มสูตรอีกสองสามสูตรลงในตาราง FSU ของเรา
ก่อนอื่น เรามาดูสูตรทวินามของนิวตันกันก่อน
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + - + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn
โดยที่ C n k คือสัมประสิทธิ์ทวินามที่ปรากฏในหมายเลขบรรทัด n ในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามคำนวณโดยใช้สูตร:
C n k = n ! เค! · (น - เค) ! = n (n - 1) (n - 2) . - (น - (เค - 1)) เเค !
ดังที่เราเห็น FSF สำหรับกำลังสองและกำลังสามของผลต่างและผลรวมเป็นกรณีพิเศษของสูตรทวินามของนิวตันสำหรับ n=2 และ n=3 ตามลำดับ
แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากมีผลรวมมากกว่าสองพจน์ที่ต้องยกกำลัง? สูตรกำลังสองของผลรวมของคำศัพท์สาม, สี่คำขึ้นไปจะมีประโยชน์
ก 1 + ก 2 + . - + และ 2 = ก 1 2 + ก 2 2 + . - + n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . - + 2 ก 1 ก n + 2 ก 2 ก 3 + 2 ก 2 ก 4 + . - + 2 ก 2 ก n + 2 ก n - 1 ก
อีกสูตรหนึ่งที่อาจมีประโยชน์คือสูตรสำหรับผลต่างระหว่างกำลังที่ n ของสองเทอม
n - b n = a - b n - 1 + n - 2 b + n - 3 b 2 + . - + ก 2 bn - 2 + bn - 1
โดยทั่วไปสูตรนี้แบ่งออกเป็นสองสูตร - สำหรับเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ ตามลำดับ
สำหรับตัวชี้วัด 2 ล้านตัว:
ก 2 ม. - ข 2 ม. = ก 2 - ข 2 ก 2 ม. - 2 + ก 2 ม. - 4 ข 2 + ก 2 ม. - 6 ข 4 + . - + ข 2 ม. - 2
สำหรับเลขชี้กำลังคี่ 2m+1:
ก 2 ม. + 1 - ข 2 ม. + 1 = ก 2 - ข 2 ก 2 ม. + ก 2 ม. - 1 ข + ก 2 ม. - 2 ข 2 + . - +ข 2 ม
อย่างที่คุณเดา ความแตกต่างของกำลังสองและความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษของสูตรนี้สำหรับ n = 2 และ n = 3 ตามลำดับ สำหรับผลต่างของลูกบาศก์ b จะถูกแทนที่ด้วย - b
จะอ่านสูตรคูณแบบย่อได้อย่างไร?
เราจะให้สูตรที่เหมาะสมสำหรับแต่ละสูตร แต่ก่อนอื่น เราจะเข้าใจหลักการอ่านสูตรก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการทำเช่นนี้คือการยกตัวอย่าง ลองใช้สูตรแรกสำหรับกำลังสองของผลรวมของตัวเลขสองตัวกัน
ก + ข 2 = ก 2 + 2 ก ข + ข 2 .
พวกเขาพูดว่า: กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมกำลังสองของนิพจน์แรก, สองเท่าของผลคูณของนิพจน์และกำลังสองของนิพจน์ที่สอง
สูตรอื่นๆ ทั้งหมดจะอ่านในลักษณะเดียวกัน สำหรับกำลังสองของผลต่าง a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 เราเขียนว่า:
กำลังสองของผลต่างระหว่างสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้ ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง
ลองอ่านสูตร a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ลูกบาศก์ของผลรวมของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของลูกบาศก์ของนิพจน์เหล่านี้ นำผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรกเป็นสามเท่าในวินาที และเพิ่มเป็นสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์ที่สองด้วย การแสดงออกครั้งแรก
เรามาอ่านสูตรหาผลต่างของลูกบาศก์ a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 กัน กำลังสามของความแตกต่างระหว่างสองนิพจน์ a และ b เท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรกลบด้วยผลคูณสามของกำลังสองของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สอง บวกด้วยผลคูณสามของกำลังสองของนิพจน์ที่สองและนิพจน์แรก ลบลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง
สูตรที่ห้า a 2 - b 2 = a - b a + b (ผลต่างของกำลังสอง) อ่านได้ดังนี้: ผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์เท่ากับผลคูณของความแตกต่างและผลรวมของทั้งสองนิพจน์
เพื่อความสะดวก จะมีการเรียกนิพจน์เช่น 2 + a b + b 2 และ a 2 - a b + b 2 ตามลำดับ กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง
เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ คุณสามารถอ่านสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ได้ดังนี้:
ผลรวมของลูกบาศก์ของสองนิพจน์เท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้กับกำลังสองบางส่วนของผลต่าง
ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของนิพจน์ทั้งสองเท่ากับผลคูณของความแตกต่างระหว่างนิพจน์เหล่านี้กับกำลังสองบางส่วนของผลรวม
หลักฐานของ FSU
การพิสูจน์ FSU นั้นค่อนข้างง่าย จากคุณสมบัติของการคูณ เราจะคูณส่วนของสูตรในวงเล็บ
เช่น ลองพิจารณาสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง
ก - ข 2 = ก 2 - 2 ก ข + ข 2 .
หากต้องการยกนิพจน์ยกกำลัง 2 คุณต้องคูณนิพจน์นี้ด้วยตัวมันเอง
ก - ข 2 = ก - ข ก - ข .
มาขยายวงเล็บ:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว FSU ที่เหลือได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน
ตัวอย่างการสมัคร FSU
จุดประสงค์ของการใช้สูตรคูณแบบย่อคือการคูณและเพิ่มนิพจน์ยกกำลังอย่างรวดเร็วและกระชับ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ขอบเขตทั้งหมดของการใช้ FSU มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการย่อนิพจน์ ลดเศษส่วน และแยกตัวประกอบพหุนาม ลองยกตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 สสส
มาลดความซับซ้อนของนิพจน์ 9 y - (1 + 3 y) 2.
เราใช้สูตรผลรวมของกำลังสองแล้วได้:
9 ปี - (1 + 3 ปี) 2 = 9 ปี - (1 + 6 ปี + 9 ปี 2) = 9 ปี - 1 - 6 ปี - 9 ปี 2 = 3 ปี - 1 - 9 ปี 2
ตัวอย่างที่ 2 สสส
ลองลดเศษส่วน 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 กัน.
เราสังเกตว่านิพจน์ในตัวเศษคือผลต่างของลูกบาศก์ และในตัวส่วนคือผลต่างของกำลังสอง
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
เราลดและรับ:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU ยังช่วยคำนวณค่าของนิพจน์อีกด้วย สิ่งสำคัญคือต้องสามารถสังเกตได้ว่าจะใช้สูตรที่ไหน ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง
ลองยกกำลังสองหมายเลข 79 กัน แทนที่จะคำนวณยุ่งยาก มาเขียนกันดีกว่า:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
ดูเหมือนว่าการคำนวณที่ซับซ้อนจะดำเนินการได้อย่างรวดเร็วเพียงใช้สูตรคูณแบบย่อและตารางสูตรคูณ
อื่น จุดสำคัญ- การระบุกำลังสองของทวินาม นิพจน์ 4 x 2 + 4 x - 3 สามารถแปลงเป็น 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในการบูรณาการ
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ต้นกำเนิดของโครงการนี้มีสูตรเล็กๆ ที่ฉันสังเกตเห็นในปีนี้ แม่นยำยิ่งขึ้นนี่คือรูปแบบระหว่างตัวเลข สงสัยมานานแล้วว่าสูตรนี้คืออะไร คนละคนสันนิษฐานอย่างแน่นอน ตัวเลือกที่แตกต่างกัน- แน่นอนว่าสูตรนี้เกี่ยวข้องกับกำลังสองของตัวเลข และฉันไม่รู้ว่ามีใครคิดมาก่อนฉันหรือเปล่า ฉันจึงตัดสินใจนำเสนอซึ่งนอกเหนือจากรูปแบบนี้แล้ว ฉันยังพูดถึงบางเรื่องอีกด้วย หัวข้อที่น่าสนใจ- ฉันจึงตัดสินใจสร้างโครงการวิจัยนี้ขึ้นมา
กำลังสองของผลรวม
เริ่มจากพื้นฐานกันก่อน แน่นอนว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ทุกคน (ไม่ต้องพูดถึงเด็กนักเรียนที่มีอายุมากกว่า) จะรู้สูตรนี้ แต่ถึงกระนั้นหากต้องการรวมเนื้อหาเข้าด้วยกันก็ควรตรวจสอบความรู้นี้
(x+y)²=x²+2xy+y²
ซึ่งอ่านว่า >.
ผลต่างกำลังสอง
แต่ความยากลำบากเริ่มเกิดขึ้นในหัวข้อนี้แล้ว น่าเสียดายที่ไม่ใช่นักเรียนทุกคนที่จำสูตรนี้ บางคนอาจสับสน แต่ฉันหวังว่าจะไม่มีใครในชั้นเรียนทำผิดทั้งในการบันทึกเสียงหรือการใช้ถ้อยคำ
(x-y)²=x²-2xy+y²
และสูตรนี้อ่านว่า: >.
ประวัติเล็กน้อย. เราจึงจำสูตรสองสูตรแรกสำหรับการคูณแบบย่อได้ ปรากฎว่าไม่มีอะไรผิดปกติ!
คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าใครเป็นคนคิดสูตรทั้งสองนี้ขึ้นมา: กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง บางแหล่งบอกว่าเป็น Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ นี่เป็นการค้นพบที่ไม่เหมือนใครอย่างแท้จริง เนื่องจากเรารู้ว่าเขามีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช
ความแตกต่างของกำลังสอง
ตอนนี้เรามาถึงสูตรสุดท้ายที่เกี่ยวข้องกับกำลังสองของตัวเลขแล้ว ในสไลด์ถัดไป ผมจะพิสูจน์ว่าทำไมจึงเป็นสไลด์สุดท้าย ในระหว่างนี้ เรามาลองจำความแตกต่างของกำลังสองกันดีกว่า
x²-y²=(x+y)(x-y)
ควรจำไว้ว่าสามารถสลับตัวคูณได้
ผลต่างระหว่างกำลังสองของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของผลรวมและผลต่างของตัวเลขเหล่านี้
ผลรวมของกำลังสอง
แต่หลักสูตรของโรงเรียนไม่ได้สอนแนวคิดของสูตรการคูณแบบย่อนี้ เนื่องจากไม่มีอยู่จริง ตอนนี้เราจะดูว่าทำไม
- กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างสามารถขยายได้ไม่เพียงแต่ตามสูตรที่ให้ไว้ข้างต้นเท่านั้น สามารถแสดงได้ดังนี้: (x+y)²=(x+y)(x+y) และ (x-y)²=(x-y)(x-y)
- จากข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรการคูณแบบย่อสามสูตรแรกสามารถแสดงเป็นผลคูณของพหุนามสองตัว จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าผลรวมของกำลังสองสามารถแทนเป็นผลคูณของพหุนามสองตัวได้
- แต่นั่นล่ะ ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ถูกใช้ไปแล้ว ผลคูณกำลังสองเป็นผลคูณของผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ ผลคูณกำลังสองเป็นผลคูณของผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ และผลต่างของกำลังสองเป็นผลคูณของผลรวมและผลต่าง ซึ่งหมายความว่าผลรวมของกำลังสองไม่สามารถแทนค่าเป็นสูตรคูณแบบย่อได้
สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่สมบูรณ์
หากต้องการทำซ้ำสูตรการคูณแบบย่อเพิ่มเติม เราต้องจำคำศัพท์อีกคำหนึ่งด้วย เราดูแนวคิดเรื่องผลรวมกำลังสองและผลต่างกำลังสอง ((x+y)²=x²+2xy+y² และ (x-y)²=x²-2xy+y²) แล้วกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์คืออะไร? เราจะต้องมีกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง ผลรวมกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์คือ x²+xy+y² (ผลรวมของกำลังสองของเลขแรก ผลคูณของเลขตัวแรกคูณเลขตัวที่สองและตัวที่สอง) และกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างคือ x²-xy+ y² (กำลังสองของตัวเลขแรกลบผลคูณของตัวเลขแรกด้วยวินาที บวกด้วยกำลังสองของตัวเลขที่สอง) ดังที่เราเห็นในทั้งสองกรณี แทนที่จะเป็นผลคูณสองเท่าของเลขตัวแรกและตัวที่สอง ผลคูณของเลขตัวแรกและตัวที่สองจะปรากฏขึ้น
ผลรวมของลูกบาศก์
เรามาถึงช่วงเวลาที่ฉันสงสัยว่าน้อยคนจะจำได้ ถึงเวลาทดสอบความรู้ของคุณ
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้กับกำลังสองบางส่วนของผลรวม
ความแตกต่างของลูกบาศก์
และตอนนี้เราจำสูตรอื่นได้ซึ่งคล้ายกับสูตรก่อนหน้ามาก
x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
อ่านว่า: >.
ลูกบาศก์ของผลรวม
สูตรนี้และสูตรต่อไปนี้จำยากนิดหน่อย แต่ก็ยังหวังว่าจะมีนักเรียนในชั้นเรียนที่ความจำดี ซึ่งเราจะตรวจสอบต่อไป
(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³
กำลังสามของผลรวมของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของจำนวนแรก, สามครั้งเป็นผลคูณของผลคูณของเลขยกกำลังสองของเลขตัวแรกและตัวที่สอง, สามครั้งเป็นผลคูณของเลขตัวแรกและผลคูณของเลขที่สองยกกำลังสอง และกำลังสามของเลขตัวที่สอง
ลูกบาศก์ความแตกต่าง
และในที่สุดก็มาถึงสูตรสุดท้าย เรียนอยู่ชั้น ป.7
(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³
กำลังสามของผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสามของจำนวนแรกลบสามคูณด้วยผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรกและตัวที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและกำลังสองของวินาทีลบลูกบาศก์ ของจำนวนที่สอง
ในทางปฏิบัติมักใช้สูตรนิพจน์แบบย่อดังนั้นจึงแนะนำให้เรียนรู้ด้วยใจจริง จนถึงขณะนี้จะให้บริการเราอย่างซื่อสัตย์ซึ่งเราแนะนำให้พิมพ์ออกมาและเก็บไว้ต่อหน้าต่อตาคุณตลอดเวลา:
สูตรสี่สูตรแรกจากตารางสูตรคูณแบบย่อที่คอมไพล์แล้วช่วยให้คุณสามารถยกกำลังสองและยกกำลังสามของผลรวมหรือผลต่างของสองนิพจน์ได้ ส่วนที่ห้ามีจุดประสงค์เพื่อการคูณความแตกต่างและผลรวมของสองนิพจน์โดยย่อ และสูตรที่หกและเจ็ดใช้ในการคูณผลรวมของสองนิพจน์ a และ b ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่าง (นี่คือสิ่งที่เรียกว่านิพจน์ในรูปแบบ a 2 −a b+b 2) และผลต่างของสอง นิพจน์ a และ b ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม (a 2 + a·b+b 2 ) ตามลำดับ
เป็นที่น่าสังเกตว่าแต่ละความเท่าเทียมกันในตารางมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว สิ่งนี้อธิบายว่าทำไมสูตรการคูณแบบย่อจึงเรียกว่าอัตลักษณ์การคูณแบบย่อ
เมื่อแก้ตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแยกตัวประกอบพหุนามแล้ว FSU มักจะใช้ในรูปแบบที่มีการสลับด้านซ้ายและขวา:
ข้อมูลระบุตัวตนสามรายการสุดท้ายในตารางมีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกสูตร a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) ผลต่างของสูตรกำลังสอง, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - สูตรผลรวมของลูกบาศก์, ก a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - ความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์- โปรดทราบว่าเราไม่ได้ตั้งชื่อสูตรที่เกี่ยวข้องโดยจัดเรียงส่วนที่ใหม่จากตารางก่อนหน้า
สูตรเพิ่มเติม
การเพิ่มข้อมูลประจำตัวอีกสองสามรายการลงในตารางสูตรคูณแบบย่อนั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย
พื้นที่การประยุกต์ใช้สูตรคูณแบบย่อ (FSU) และตัวอย่าง
วัตถุประสงค์หลักของสูตรคูณแบบย่อ (fsu) อธิบายได้ด้วยชื่อนั่นคือประกอบด้วยนิพจน์การคูณแบบย่อ อย่างไรก็ตาม ขอบเขตการใช้ FSU นั้นกว้างกว่ามาก และไม่จำกัดเพียงการคูณสั้นๆ เรามาแสดงรายการทิศทางหลักกัน
ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีการใช้สูตรคูณแบบย่อในการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน ส่วนใหญ่มักใช้สูตรเหล่านี้ในกระบวนการ ลดความซับซ้อนของการแสดงออก.
ตัวอย่าง.
ลดรูปนิพจน์ 9·y−(1+3·y) 2
สารละลาย.
ในนิพจน์นี้ การยกกำลังสองสามารถดำเนินการแบบย่อได้ 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)- สิ่งที่เหลืออยู่คือการเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน: 9 ปี−(1 2 +2 1 3 ปี+(3 ปี) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
