ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเสร็จสมบูรณ์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ในบทความนี้เราจะเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่ามันเป็นอย่างไร โต๊ะ ค่าตรีโกณมิติ, ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์. ลองพิจารณาความหมายพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุม 0,30,45,60,90,...,360 องศากัน มาดูวิธีใช้ตารางเหล่านี้ในการคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน
ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า ตารางโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จากมุม 0, 30, 45, 60, 90,... องศา คำจำกัดความของปริมาณเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันของมุม 0 และ 90 องศาได้:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, โคแทนเจนต์จาก 00 จะไม่ถูกกำหนดไว้
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, แทนเจนต์จาก 90 0 จะไม่แน่นอน

หากคุณหารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมตั้งแต่ 30 ถึง 90 องศา เราได้รับ:

บาป 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
บาป 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, ตาล 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
บาป 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, เปล 60 0 = √3/3

ให้เราแสดงค่าที่ได้รับทั้งหมดในรูปแบบ ตารางตรีโกณมิติ:

ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!

หากเราใช้สูตรลดตารางของเราจะเพิ่มขึ้นโดยบวกค่ามุมได้มากถึง 360 องศา มันจะมีลักษณะดังนี้:

นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของคาบ ตารางสามารถเพิ่มขึ้นได้หากเราแทนที่มุมด้วย 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม ในตารางนี้ สามารถคำนวณค่าของมุมทั้งหมดที่สอดคล้องกับจุดในวงกลมเดียวได้

มาดูวิธีใช้ตารางในการแก้ปัญหากัน
ทุกอย่างง่ายมาก เนื่องจากค่าที่เราต้องการอยู่ที่จุดตัดของเซลล์ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น หา cos ของมุม 60 องศา ในตารางจะมีลักษณะดังนี้:

ในตารางสุดท้ายของค่าหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิติเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่ในตารางนี้เป็นไปได้ที่จะหาว่าแทนเจนต์จากมุม 1,020 องศาเป็นเท่าใด = -√3 ลองตรวจสอบ 1,020 0 = 300 0 +360 0 *2 ลองหามันโดยใช้ตาราง

โต๊ะแบรดิส. สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ตาราง Bradis แบ่งออกเป็นหลายส่วน ประกอบด้วยตารางโคไซน์และไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ซึ่งแบ่งออกเป็นสองส่วน (tg ของมุมสูงถึง 90 องศา และ ctg ของมุมเล็ก)

ไซน์และโคไซน์

tg ของมุมเริ่มต้นจาก 00 ลงท้ายด้วย 760, ctg ของมุมที่เริ่มต้นด้วย 140 ลงท้ายด้วย 900

tg สูงถึง 900 และ ctg ของมุมเล็ก ๆ

มาดูวิธีใช้ตาราง Bradis ในการแก้ปัญหากัน

ลองหาการกำหนดบาป (การกำหนดในคอลัมน์ที่ขอบด้านซ้าย) 42 นาที (การกำหนดอยู่บนบรรทัดบนสุด) จากทางแยกเรามองหาการกำหนด = 0.3040

ค่านาทีจะแสดงด้วยช่วงเวลาหกนาที จะทำอย่างไรถ้าค่าที่เราต้องการอยู่ในช่วงเวลานี้พอดี ขอเวลา 44 นาที แต่ในตารางมีเพียง 42 เราเอา 42 เป็นพื้นฐานแล้วใช้คอลัมน์เพิ่มเติมทางด้านขวา ทำการแก้ไขครั้งที่ 2 แล้วบวกกับ 0.3040 + 0.0006 เราได้ 0.3046

สำหรับ sin 47 นาที เราใช้เวลา 48 นาทีเป็นพื้นฐาน และลบ 1 การแก้ไขออก เช่น 0.3057 - 0.0003 = 0.3054

เมื่อคำนวณ cos เราก็ทำงานคล้ายกับ sin เพียงแต่เราใช้แถวล่างสุดของตารางเป็นพื้นฐาน เช่น cos 20 0 = 0.9397

ค่าของมุม tg สูงถึง 90 0 และมุมเตียงเล็กนั้นถูกต้องและไม่มีการแก้ไข เช่น หา tg 78 0 37min = 4.967


และ CTG 20 0 13 นาที = 25.83

เราได้ดูตารางตรีโกณมิติพื้นฐานแล้ว เราหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างยิ่ง หากคุณมีคำถามใด ๆ เกี่ยวกับตารางอย่าลืมเขียนไว้ในความคิดเห็น!

หมายเหตุ: กันชนผนังเป็นแผ่นกันชนสำหรับปกป้องผนัง ตามลิงค์ กันชนติดผนังไร้กรอบ (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) และค้นหาข้อมูลเพิ่มเติม

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

|บีดี| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย = ทีจีเอ็กซ์	ย = ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ ในกรณีนี้ปรากฎว่า สูตรต่อไปนี้.

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
ก.กร, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับ คนงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกร 2555

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อันดับแรก อัตราส่วนตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาโดยนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินที่แม่นยำและนำทางโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลม ในขณะที่ในหลักสูตรของโรงเรียน การคำนวณเหล่านี้จะศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมระนาบ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในคริสต์สหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายมาจาก ตะวันออกโบราณถึงกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหน้าจั่ว

ความสัมพันธ์ไซน์ โคไซน์ และความสัมพันธ์อื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของ sin A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น

เรามาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณกัน

ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยการสุ่ม คำว่า π ในตารางเป็นชื่อเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากลเมื่อคำนวณเป็นเรเดียนความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:

คลื่นไซน์	โคไซน์
y = บาปx	y = cos x
โอดีแซด [-1; 1]	โอดีแซด [-1; 1]
บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 ที่ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin (-x) = - sin x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่	cos (-x) = cos x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคู่
	ฟังก์ชันเป็นแบบคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
sin x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่สามและสี่ หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 และ 3 หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
ลดลงในช่วงเวลา [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงตามช่วงเวลา
อนุพันธ์ (บาป x)’ = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - sin x

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจที่สัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน

1. Y = สีแทน x
2. แทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
4. Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:

1. Y = เปล x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
4. คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
5. Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x ถูกต้อง

ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานสำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

จากคำจำกัดความตรีโกณมิติของฟังก์ชัน $\sin$, $\cos$, $\tan$ และ $\cot$ คุณสามารถค้นหาค่าของมุม $0$ และ $90$ องศา:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ ไม่ได้กำหนดไว้;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ ไม่ได้ถูกกำหนด

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน เมื่อศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะพบฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ และ $90°$

พบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่ระบุเป็นองศาและเรเดียน ตามลำดับ ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งานจะถูกป้อนลงในตารางที่เรียกว่า ตารางตรีโกณมิติ, ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติและอื่น ๆ

เมื่อใช้สูตรลดขนาด ตารางตรีโกณมิติสามารถขยายเป็นมุม $360°$ และตามด้วย $2\pi$ เรเดียน:

การใช้คุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทำให้แต่ละมุมซึ่งจะแตกต่างจากที่ทราบอยู่แล้ว 360°$ สามารถคำนวณและบันทึกลงในตารางได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม $0°$ จะมีค่าเท่ากันสำหรับมุม $0°+360°$ และสำหรับมุม $0°+2 \cdot 360°$ และสำหรับมุม $0°+3 \cdot 360°$ และอื่น ๆ.

เมื่อใช้ตารางตรีโกณมิติ คุณสามารถกำหนดค่าของทุกมุมของวงกลมหนึ่งหน่วยได้

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน คุณควรจดจำค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวบรวมไว้ในตารางตรีโกณมิติเพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

การใช้โต๊ะ

ในตาราง ก็เพียงพอที่จะค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการและค่าของมุมหรือเรเดียนที่ต้องคำนวณฟังก์ชันนี้ ที่จุดตัดของแถวที่มีฟังก์ชันและคอลัมน์ที่มีค่าเราจะได้ค่าที่ต้องการของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด

ในรูป คุณสามารถดูวิธีหาค่าของ $\cos⁡60°$ ซึ่งเท่ากับ $\frac(1)(2)$

ตารางตรีโกณมิติแบบขยายจะใช้ในลักษณะเดียวกัน ข้อดีของการใช้คือการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของเกือบทุกมุมตามที่กล่าวไปแล้ว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาค่า $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 ได้อย่างง่ายดาย °$:

ตาราง Bradis ของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

ความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่ามุมใดๆ ก็ตามสำหรับค่าจำนวนเต็มเป็นองศาและค่าจำนวนเต็มเป็นนาทีนั้นได้มาจากการใช้ตาราง Bradis ตัวอย่างเช่น ค้นหาค่าของ $\cos⁡34°7"$ ตารางจะแบ่งออกเป็น 2 ส่วน ได้แก่ ตารางค่า $\sin$ และ $\cos$ และตารางค่า $ \tan$ และ $\cot$

ตาราง Bradis ช่วยให้สามารถรับค่าโดยประมาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยความแม่นยำถึงทศนิยมสูงสุด 4 ตำแหน่ง

การใช้ตาราง Bradis

เมื่อใช้ตาราง Bradis สำหรับไซน์ เราจะพบ $\sin⁡17°42"$ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางไซน์และโคไซน์ เราจะพบค่าขององศา - $17°$ และในบรรทัดบนสุด เราค้นหามูลค่าของนาที - $42"$ ที่จุดตัดเราได้รับค่าที่ต้องการ:

$\sin17°42"=0.304$.

หากต้องการค้นหาค่า $\sin17°44"$ คุณต้องใช้การแก้ไขทางด้านขวาของตาราง ในกรณีนี้ สำหรับค่า $42"$ ซึ่งอยู่ในตาราง คุณต้องเพิ่มการแก้ไขสำหรับ $2 "$ ซึ่งเท่ากับ $0.0006$ เราได้รับ:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

ในการค้นหาค่า $\sin17°47"$ เรายังใช้การแก้ไขทางด้านขวาของตาราง เฉพาะในกรณีนี้ เราจะใช้ค่า $\sin17°48"$ เป็นพื้นฐานและลบการแก้ไขสำหรับ $1"$ : :

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

เมื่อคำนวณโคไซน์ เราทำการกระทำที่คล้ายกัน แต่เราดูที่องศาในคอลัมน์ด้านขวา และนาทีในคอลัมน์ด้านล่างของตาราง ตัวอย่างเช่น $\cos20°=0.9397$

ไม่มีการแก้ไขค่าแทนเจนต์ที่สูงถึง $90°$ และโคแทนเจนต์มุมเล็ก ตัวอย่างเช่น ลองหา $\tan 78°37"$ ซึ่งตามตารางจะเท่ากับ $4.967$

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้นอะโพเรียอันโด่งดังของเขาขึ้นมา ซึ่งอันที่มีชื่อเสียงที่สุดคืออะโพเรีย “จุดอ่อนและเต่า” นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ใช้งานได้ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาเป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักลับมีดก็ดึงแขนเสื้อของเขาออก ทรัมป์เอซและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือมัลติเซต ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลขขนาดใหญ่ 12345 ไม่อยากหลอกหัว ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับกันดู ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ แต่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันนำไปสู่ ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว แสดงว่ามันไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

ลงชื่อที่ประตู เขาเปิดประตูแล้วพูดว่า:

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้จะเป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ