ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน เปิดบทเรียนพีชคณิตในหัวข้อ “ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์กับโคไซน์ในมุมเดียวกัน” (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10)

และกราฟไซน์เป็นแบบคลื่นต่อคลื่น
แกน x วิ่งหนี

จากเพลงของนักเรียน

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การศึกษา: ที่มาของสูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน (จำนวน) เรียนรู้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของตัวเลขจากค่าที่กำหนดของหนึ่งในนั้น
• การพัฒนา: สอนให้วิเคราะห์ เปรียบเทียบ สร้างการเปรียบเทียบ สรุปและจัดระบบ พิสูจน์และหักล้าง กำหนดและอธิบายแนวคิด...
• การศึกษา: ส่งเสริมทัศนคติที่ดีต่อการทำงานและทัศนคติเชิงบวกต่อความรู้

การออมเพื่อสุขภาพ: การสร้างบรรยากาศทางจิตวิทยาที่สะดวกสบายในห้องเรียน บรรยากาศแห่งความร่วมมือ: นักเรียน - ครู

อุปกรณ์ระเบียบวิธีของบทเรียน:

ฐานวัสดุและเทคนิค: ห้องคณิตศาสตร์

การสนับสนุนการสอนสำหรับบทเรียน: หนังสือเรียน สมุดบันทึก โปสเตอร์ในหัวข้อบทเรียน ตาราง คอมพิวเตอร์ ดิสก์ หน้าจอ โปรเจ็กเตอร์

วิธีการทำกิจกรรม: ทำงานเป็นกลุ่มและเดี่ยวที่โต๊ะและกระดานดำ

ประเภทของบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการเรียนรู้ความรู้ใหม่

ระหว่างชั้นเรียน

1. เวลาจัดงาน: ทักทาย ตรวจสอบการเข้างานของนักเรียน กรอกบันทึก

2. การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน: ทำให้นักเรียนมีอารมณ์ในการทำงาน และนำแผนการสอนมาให้พวกเขา

3. การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการบ้าน บนหน้าจอเป็นภาพการบ้านที่ทำเสร็จแล้วถูกต้อง นักเรียนแต่ละคนตรวจสอบพร้อมคำอธิบายด้านหน้าโดยละเอียดและบันทึกความถูกต้องของการดำเนินการไว้ในบัตรงานบทเรียน

ใบงานของบทเรียน

S/o – ความนับถือตนเอง

O/t – การประเมินเพื่อน

4. อัพเดตความรู้ เตรียมรับรู้เนื้อหาใหม่ๆ

ขั้นต่อไปของบทเรียนของเราคือการเขียนตามคำบอก เราเขียนคำตอบสั้น ๆ - เรามีภาพวาดบนสไลด์

การเขียนตามคำบอก (การทำซ้ำข้อมูลที่จำเป็นด้วยวาจา):

1. กำหนด:

• ไซน์ของมุมแหลม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• โคไซน์ของมุมแหลม B ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• แทนเจนต์ของมุมแหลม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลม B ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• เรากำหนดข้อจำกัดอะไรกับไซน์และโคไซน์เมื่อพิจารณาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก.

2. กำหนด:

• ไซน์ของมุม ก ก.
• โคไซน์ของมุม กผ่านพิกัด (ซึ่ง) ของจุดที่ได้รับจากการหมุนจุด (1;0) รอบจุดกำเนิดเป็นมุม ก.
• แทนเจนต์ของมุม ก.
• โคแทนเจนต์ของมุม ก.

3. เขียนเครื่องหมายของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมที่ได้จากการหมุนจุด P(1;0) เป็นมุม

4. สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ให้ระบุสี่ส่วน ประสานงานเครื่องบิน.

เด็กตรวจสอบการเขียนตามคำบอกบนสไลด์ร่วมกับครู อธิบายข้อความแต่ละข้อและให้คะแนนตนเองในการ์ดบทเรียน

5. จากประวัติศาสตร์ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติรูปแบบใหม่นี้มอบให้โดยนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 ลีโอนาร์ด ออยเลอร์- สวิสโดยกำเนิด ปีที่ยาวนานทำงานในรัสเซียและเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาแนะนำคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรและพิสูจน์สูตรการลดลงที่คุณยังไม่เคยเจอ และระบุคลาสของฟังก์ชันคู่และคี่

6. การแนะนำวัสดุใหม่:

สิ่งสำคัญไม่ได้เป็นเพียงการแจ้งให้นักเรียนทราบถึงข้อสรุปสุดท้ายเท่านั้น แต่เพื่อให้นักเรียนมีส่วนร่วมในการค้นหาทางวิทยาศาสตร์ด้วยการวางคำถามเพื่อปลุกความอยากรู้อยากเห็นของพวกเขาให้มีส่วนร่วมในการวิจัยซึ่งช่วย เพื่อให้นักเรียนมีพัฒนาการทางจิตในระดับที่สูงขึ้น

ดังนั้นเมื่อแนะนำวัสดุใหม่ฉันจึงสร้างสถานการณ์ที่เป็นปัญหา - จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ในมุมเดียวกันได้ง่ายขึ้นและมีเหตุผลมากขึ้นได้อย่างไร - ผ่านสมการของวงกลมหน่วยหรือผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นตัวเลือกต่างๆ เป็นตัวเลือกแรกและตัวที่สอง - บนหน้าจอจะมีสไลด์พร้อมเงื่อนไขและภาพวาด ยังไม่มีวิธีแก้ไข

ตัวเลือกที่ 1 สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ผ่านสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมีเท่ากับ 1x 2 +y 2 =1; บาป 2 + cos 2 = 1

ตัวเลือก 2 สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: OB 2 +AB 2 =OA 2 - และเราได้ sin 2 +คอส 2 = 1

พวกเขาเปรียบเทียบผลลัพธ์และสรุป: สิ่งสำคัญคือความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าของตัวอักษรใด ๆ ที่รวมอยู่ในนั้น? นักศึกษาต้องตอบว่านี่คืออัตลักษณ์

(สไลด์แสดงวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องสำหรับทั้งตัวเลือกที่หนึ่งและตัวเลือกที่สอง)

เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง - ตัวตน

โปรดจำไว้ว่าเรารู้อัตลักษณ์อื่นใดในพีชคณิต - สูตรการคูณแบบย่อ:

ก 2 -ข 2 =(ก-ข)(ก+ข)

(ก-ข) 2 =ก 2 -2ab+ข 2,

(ก+ข) 3 =ก 3 +3a 2 ข+3ab 2 +ข 2 ,

(ก-ข) 3 =ก 3 -3a 2 ข+3ab 3 -ข 3 ,

ก 3 -ข 3 =(ก-ข)(ก 2 +ab+ข 2)

ก 3 +ข 3 =(ก+ข)(ก 2 -ab+ข 2)

ปัญหาต่อไปคือเหตุใดเราจึงได้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก - sin 2 +cos 2 =1

ถูกต้อง - เพื่อค้นหาจากค่าไซน์, โคไซน์หรือแทนเจนต์ที่รู้จัก - ค่าของฟังก์ชันอื่น ๆ ทั้งหมด

ตอนนี้คุณและฉันสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานได้ตลอดเวลา แต่สิ่งสำคัญคือต้องมีข้อโต้แย้งเดียวกัน

การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ:

ตัวเลือกที่ 1 – แสดงไซน์ผ่านโคไซน์ของมุม

ตัวเลือกที่ 2 – แสดงโคไซน์ผ่านไซน์ของมุม คำตอบที่ถูกต้องอยู่ในสไลด์

คำถามของครู: มีใครลืมใส่เครื่องหมาย + และ - บ้างไหม? มุมจะเป็นเท่าไหร่? - ใครก็ได้.

ในสูตรนี้ เครื่องหมายที่อยู่หน้ารูทขึ้นอยู่กับอะไร? ซึ่งมุม (อาร์กิวเมนต์) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เรากำหนดนั้นตั้งอยู่

เราแสดงที่คณะกรรมการ 2 นักเรียนหมายเลข 457 – ตัวเลือกที่ 1 - 1, ตัวเลือกที่ 2 - 2.

สไลด์แสดงวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง

ทำงานอิสระเพื่อจดจำอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

1. ค้นหาความหมายของสำนวน:

2. แสดงเลข 1 ผ่านมุม ก, ถ้า

มีการตรวจสอบร่วมกัน - บนสไลด์ที่เสร็จแล้วและการประเมินผลงาน - ทั้งโดยการประเมินตนเองและโดยการประเมินของเพื่อน

6. การรวมวัสดุใหม่ (ตามเทคโนโลยีของ G.E. Khazankin - เทคโนโลยีของงานสนับสนุน)

งาน 1. คำนวณ ……….. ถ้า ………………………………………………………….

นักเรียน 1 คนบนกระดานอย่างอิสระ - จากนั้นสไลด์พร้อมคำตอบที่ถูกต้อง

ภารกิจที่ 2 คำนวณ………. ถ้า……………………………………………………………..

นักเรียนคนที่ 2 บนกระดาน จากนั้นสไลด์พร้อมเฉลยคำตอบที่ถูกต้อง

7. นาทีพลศึกษา ฉันรู้ว่าคุณเป็นผู้ใหญ่แล้วและคิดว่าคุณไม่เหนื่อยเลย โดยเฉพาะตอนนี้ที่บทเรียนดำเนินไปอย่างแข็งขันจนเวลาดูเหมือนจะยาวขึ้นสำหรับเราตามทฤษฎีของ A. Einstein ทฤษฎีสัมพัทธภาพ แต่มาทำยิมนาสติกสำหรับหลอดเลือดสมองกันดีกว่า:

• หมุนและเอียงศีรษะ ขวา-ซ้าย ขึ้น-ลง
• การนวดบริเวณไหล่และหนังศีรษะ - แขนจากมือ ใบหน้า และด้านหลังศีรษะ - จากบนลงล่าง
• ยกไหล่ขึ้นและผ่อนคลายลง เราทำแบบฝึกหัดแต่ละครั้ง 5-6 ครั้ง!

ให้เราค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์……………………………………………………………………………………………………… ……………………

มีการศึกษาใหม่ในหัวข้อนี้ - มุมในอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่สองจะเป็นเท่าใด

สิ่งสำคัญคือการกำหนดชุดที่ความเสมอภาคเหล่านี้เต็มไป ทำเครื่องหมายจุดในรูปที่ไม่มีแทนเจนต์และโคเทนเจนต์ของมุมนั้น

นักเรียนคนที่ 3 บนกระดานดำ ความเท่าเทียมกันมีผลใช้ได้สำหรับ……………………….

ภารกิจที่ 3 คำนวณ………ถ้า……………….

งาน 4. คำนวณ….. ถ้า……………………………………………………………

นักเรียนที่เหลือทำงานในสมุดบันทึก

1 การสนับสนุน…………………………………………………………………………………………………

2 การสนับสนุน…………………………………………………………………………………………………………………

3 การสนับสนุน การประยุกต์อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในการแก้ปัญหา

8. ปริศนาอักษรไขว้ อนาโตล ฟรองซ์ เคยกล่าวไว้ว่า “การเรียนรู้ต้องสนุก...เพื่อย่อยความรู้ คุณต้องซึมซับความรู้ด้วยความอยากอาหาร”

เพื่อทดสอบความรู้ของคุณในหัวข้อนี้ คุณจะได้รับการเสนอปริศนาอักษรไขว้

1. สาขาคณิตศาสตร์ที่กำลังศึกษาอยู่ คุณสมบัติของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์...
2. อับซิสซาของจุดบนวงกลมหน่วย
3. อัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์
4. ไซน์คือ…..จุดบนวงกลมหน่วย
5. ความเท่าเทียมกันที่ไม่ต้องการการพิสูจน์และเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ก็เรียกว่า......

หลังจากตรวจสอบปริศนาอักษรไขว้แล้ว เด็กๆ จะให้คะแนนตัวเองในแผนที่บทเรียน ครูให้คะแนนแก่นักเรียนที่มีความกระตือรือร้นเป็นพิเศษในบทเรียน ผลลัพธ์คือคะแนนเฉลี่ยของงานในบทเรียน

9. สั่งให้ครูทำการบ้านให้เสร็จ

10. ครูสรุปบทเรียน

11. การบ้าน: ย่อหน้าที่ 25 (ก่อนภารกิจที่ 5), หมายเลข 459 (คู่), 460 (คู่), 463*(4) หนังสือเรียนโดย Sh.A Alimov “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์”., 10-11, “การตรัสรู้”., M., 2548

เรื่อง: สูตรตรีโกณมิติ (25 ชั่วโมง)
บทที่ 6 – 7: ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน
เป้า:ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็น:

ทราบ:

การกำหนดคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน (ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาส ชุดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

เข้าใจ:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถใช้ได้เฉพาะกับอาร์กิวเมนต์เดียวกันเท่านั้น อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่ง

นำมาใช้:

ความสามารถในการเลือกอย่างถูกต้อง สูตรที่ต้องการเพื่อแก้ไขงานเฉพาะ ความสามารถในการทำงานกับเศษส่วนอย่างง่าย ความสามารถในการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

การวิเคราะห์:

วิเคราะห์ข้อผิดพลาดในตรรกะของการให้เหตุผล

สังเคราะห์:

แนะนำวิธีการแก้ตัวอย่างของคุณเอง สร้างคำไขว้โดยใช้ความรู้ที่คุณได้รับ

ระดับ:

ความรู้และทักษะในหัวข้อนี้เพื่อใช้ในส่วนอื่นของพีชคณิต

อุปกรณ์: เค้าโครง วงกลมตรีโกณมิติ, เครื่องจ่าย วัสดุอ้างอิงพร้อมสูตรและตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย การนำเสนอ แผ่นงานสำหรับงานอิสระ ความคืบหน้าของบทเรียน:

เวลาจัดงาน.

ทักทาย. การสื่อสารจุดประสงค์ของบทเรียนและแผนการสอน

การอัพเดตความรู้และทักษะ

นักเรียนจะได้รับการ์ดบทเรียนและคำอธิบายเกี่ยวกับวิธีการทำงานร่วมกับพวกเขา คำถามจะปรากฏบนหน้าจอ นักเรียนจดคำตอบลงในสมุดบันทึก ครูแสดงคำตอบที่ถูกต้องบนหน้าจอ หลังจากทำแบบสำรวจเสร็จแล้ว นักเรียนจะเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน ภารกิจที่ 1

มุม 1 เรเดียนอยู่ในควอเตอร์ใด และมีค่าประมาณเท่าใด

(ในไตรมาสแรก 1 rad 57.3 0)

คำใดหายไปจากคำจำกัดความของฟังก์ชันไซน์?

ไซน์ของมุม  เรียกว่า ............ จุดของวงกลมหน่วย (บวช)

คำใดหายไปในคำจำกัดความของฟังก์ชันโคไซน์?

โคไซน์ของมุม เรียกว่า ............ จุดของวงกลมหน่วย (abscissa)

ไซน์สามารถรับค่าอะไรได้บ้าง?

()

คำอธิบายของวัสดุใหม่

และ ขอให้เราพรรณนาวงกลมหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O สมมติว่าโดยการหมุนรัศมี OA เท่ากับ R ด้วยมุม  จะได้รัศมี OB (รูปที่ 5) แล้วตามคำนิยาม
ที่ไหน – abscissa ของจุด B – มันเป็นระเบียบ ตามมาว่าจุด B เป็นของวงกลม ดังนั้นพิกัดจึงเป็นไปตามสมการ
การใช้ประโยชน์จากสิ่งที่เราได้รับ
(1). เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง - ตัวตน เรียกว่าความเท่าเทียมกัน (1) อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในความเท่าเทียมกัน (1)  สามารถรับค่าใดก็ได้ เสร็จสิ้นการบันทึกด้วยตัวคุณเอง:
1.
กรุณาตรวจสอบว่ารายการของคุณถูกต้อง เพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียนของคุณ งานหมายเลข 2 มาต่อกันเลย เราได้รับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการมัน? ถูกต้อง - เพื่อค้นหาค่าโคไซน์จากค่าไซน์ที่รู้จักค่าหนึ่งและในทางกลับกัน ตอนนี้คุณและฉันสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานได้ตลอดเวลา แต่สิ่งสำคัญคือต้องมีข้อโต้แย้งเดียวกัน ในสมุดบันทึก นักเรียนจะถูกขอให้แสดงไซน์ผ่านโคไซน์และโคไซน์ผ่านไซน์อย่างอิสระจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน นักเรียนสองคนถูกเรียกไปที่คณะกรรมการเพื่อตรวจสอบ คนหนึ่งถูกขอให้แสดงไซน์ผ่านโคไซน์ คนที่สองคือโคไซน์ผ่านไซน์ คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนหน้าจอ:
นักเรียนตรวจสอบคำตอบและเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน ภารกิจที่ 3 ในสูตรเหล่านี้ เครื่องหมายที่อยู่หน้ารูทขึ้นอยู่กับอะไร? (ขึ้นอยู่กับว่ามุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เรากำหนดอยู่ในจตุภาคใด)
ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณ
ถ้า
กำหนดไตรมาสที่มุมนั้นตั้งอยู่ . ไตรมาส – III โปรดจำไว้ว่าไซน์ในไตรมาสที่สามเป็นลบเช่น ในสูตร (2) คุณต้องใส่เครื่องหมาย "-" ไว้หน้ารูท: ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ
ถ้า
เรากำหนดไตรมาสที่มุมตั้งอยู่ Quarter – IV, โคไซน์ในไตรมาสที่สี่เป็นบวก ดังนั้นในสูตร (3) จำเป็นต้องมีเครื่องหมาย "+" ก่อนรูท:
มาหาคำตอบกันตอนนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์. ตามคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เมื่อคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราจะได้:


จากความเท่าเทียมกัน (4) เราสามารถแสดงออกได้
ผ่าน
และในทางกลับกัน:


ความเท่าเทียมกัน (4) – (6) เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดนั้น
สมเหตุสมผล เช่น เมื่อใด
ตอนนี้ให้เราได้สูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคไซน์ รวมถึงโคแทนเจนต์และไซน์ของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน หารความเท่ากันทั้งสองข้าง (1) ด้วย
, เราได้รับ:
เหล่านั้น.

ถ้าเท่ากันทั้งสองข้าง (1) หารด้วย
แล้วเราจะได้:
เหล่านั้น.

ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่ได้รับเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากค่าที่รู้จักของหนึ่งในนั้น
ตัวอย่างที่ 1 เรามาดูกันว่าจะรู้หรือไม่ว่า
สารละลาย:

ในการค้นหาโคแทนเจนต์ของมุม  สะดวกในการใช้สูตร (6):

คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2 เป็นที่ทราบกันว่า
. มาหาคนอื่นกันเถอะ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. สารละลาย:

ลองใช้สูตรกัน (7). เรามี:

,
. ตามเงื่อนไขของปัญหา มุม  คือมุมของ 1/4 ดังนั้นโคไซน์จึงเป็นค่าบวก วิธี



คำตอบ:
ความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เดียวกันทำให้สามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติได้
ตัวอย่างที่ 3 มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:
สารละลาย:ลองใช้สูตร:
. เราได้รับ:

การรวมบัญชี

และตอนนี้หน้าจอจะแสดงรูบริกการประเมินตนเองในหัวข้อนี้ ทำเครื่องหมายว่าคุณต้องการไปถึงระดับใดในวันนี้

ฉันเข้าใจหัวข้อนี้และสามารถแก้ไขตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึมโดยดูที่สมุดบันทึก แต่ด้วยความช่วยเหลือของคำถามนำ (การ์ด - คำแนะนำ)

ฉันเข้าใจหัวข้อและสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึม ดูสมุดบันทึก โดยใช้คำแนะนำของครู

ฉันเข้าใจหัวข้อและสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริธึม โดยดูที่สมุดบันทึก โดยไม่ต้องถามคำถามหรือคำแนะนำ

ฉันเข้าใจหัวข้อนี้และสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริธึมได้โดยไม่ต้องดูสมุดบันทึก

ไม่ว่าคุณจะเลือกระดับใด ขั้นแรกให้ตรวจสอบงานทั้งหมดที่ฉันมอบให้คุณอย่างรอบคอบ จากนั้นจึงทำงานให้สอดคล้องกับระดับที่คุณเลือก (มีงานอยู่ตรงหน้าคุณในสี่ตัวเลือก จำนวนตัวเลือกสอดคล้องกับ ระดับความภาคภูมิใจในตนเอง)

1 ตัวเลือก

คำแนะนำ:

ตัวเลือกที่ 4

เอาล่ะ เรามาตรวจสอบคำตอบกันดีกว่า คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนหน้าจอ และนักเรียนตรวจงานและเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน ภารกิจที่ 4 ประเมินตัวเองโดยใช้แผนที่บทเรียน คำนวณคะแนนของคุณและวางไว้บนการ์ด

การบ้าน.
เขียนสูตรที่ได้รับทั้งหมดลงในสมุดอ้างอิง ตามตำราเลขที่ 459 (3, 5), เลขที่ 460 (1)

6

บทเรียนสาธารณะในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ในหัวข้อ “ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกัน” (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10)

เป้า: การรับรู้ของนักเรียนและการรับรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสิ่งใหม่ สื่อการศึกษาทำความเข้าใจความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ในวัตถุประสงค์ของการศึกษา

เกี่ยวกับการศึกษา : ที่มาของสูตรความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกัน (จำนวน) เรียนรู้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าของไซน์และโคไซน์จากค่าที่กำหนดของหนึ่งในนั้น

พัฒนาการ : สอนวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สร้างการเปรียบเทียบ สรุปและจัดระบบ พิสูจน์และหักล้าง นิยามและอธิบายแนวคิด พัฒนาและปรับปรุงความสามารถในการประยุกต์ความรู้ของนักเรียนในสถานการณ์ต่างๆ พัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถของนักเรียนความสามารถในการกำหนดสูตรพูดน้อย

เกี่ยวกับการศึกษา: ปลูกฝังทัศนคติที่ดีต่อการทำงานและทัศนคติเชิงบวกต่อความรู้ ปลูกฝังความถูกต้องแม่นยำให้กับผู้เรียน มีความสามารถในการฟังและแสดงความคิดเห็น วัฒนธรรมของพฤติกรรม

ประหยัดสุขภาพ : สร้างบรรยากาศทางจิตใจที่สะดวกสบายในห้องเรียน บรรยากาศแห่งความร่วมมือ นักเรียน-ครู

ความรู้และทักษะ: คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน (ไซน์ โคไซน์) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาส ชุดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติยูความสามารถในการเลือกสูตรที่เหมาะสมเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ ทำงานกับเศษส่วนอย่างง่าย แปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

ในระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน:

ตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน การเปิดเว็บไซต์ครูบนคอมพิวเตอร์ (ภาคผนวก 1)

งานปากเปล่าในหัวข้อที่ครอบคลุม : “สัญญาณของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์”

บนโต๊ะ:

ออกกำลังกาย:

จัดเรียงจำนวนไตรมาสของระนาบพิกัดและกำหนดสัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

งานอิสระในหัวข้อ: “สัญญาณของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์”

นักเรียนเปิดส่วน “การมอบหมายบทเรียนวิชาตรีโกณมิติ” บนเว็บไซต์ การทดสอบตัวเอง

(นักเรียนทำภารกิจที่ 1 ตรวจสอบงานและประเมินตนเอง)

คำอธิบายของวัสดุใหม่

บนโต๊ะ:

x = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* ตาล α = , α≠ …

ย= … α, … ≤ บาป α≤ … กะรัต α = , α≠ …

ออกกำลังกาย: เพิ่มสูตร

ครู : “คุณและฉันศึกษาแต่ละแนวคิดแยกกัน คุณคิดว่าหัวข้อใดสมเหตุสมผลที่จะศึกษาต่อไป”

( คำตอบที่แนะนำ: "การพึ่งพาระหว่างแนวคิดเหล่านี้")

หัวข้อของบทเรียนถูกกำหนดไว้: “ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ในมุมเดียวกัน”

ครู : “มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้”

การใช้สมการวงกลมหน่วย

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ครู : “ลองดูทั้งสองอันแล้วเลือกอันที่สมเหตุสมผลที่สุด”

บนโต๊ะ:

นักเรียนได้รับความเท่าเทียมกันเพราะ 2 α + บาป 2 α = 1

ครู : “เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ยุติธรรมสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร?

( คำตอบที่แนะนำ : ตัวตน)

ครู : “จำไว้ว่าตัวตนเรียกว่าอะไรเพราะ 2 α + บาป 2 α = 1 »

เสริมสร้างเนื้อหาที่เรียนรู้

ครู: “เปิดตำราเรียนหน้า 147 หมายเลข 457 (2;4)” (นักเรียนที่ถูกเรียกให้แก้บนกระดาน)

ข) ครู: “ดำเนินการต่อกับภารกิจที่ 2 เรากำลังดำเนินการกับทางเลือกต่างๆ" (การอภิปรายเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้รับ)

บนโต๊ะ:

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2

ครู: “ในสูตรเหล่านี้รากมีเครื่องหมายนำหน้า”±» . อะไรเป็นตัวกำหนดว่าจะต้องใส่เครื่องหมายใดลงในสูตร”

(คำตอบที่แนะนำ: “ มุมการหมุนของจุด P(1;0)” ตั้งอยู่จากไตรมาสใด)

ข) ครู: “ดำเนินภารกิจหมายเลข 3 ต่อไป” (นักเรียนแก้ปัญหา ตรวจสอบบนกระดาน)

สรุปบทเรียน

ครู: "ทำได้ดี! เราจะสรุปบทเรียนโดยใช้ปริศนาอักษรไขว้” (ภารกิจที่ 4) (นักเรียนทำงานเป็นคู่ที่คอมพิวเตอร์)

7) การสะท้อนกลับในรูปแบบของแบบสอบถาม (ภาคผนวก 2)

ครู: “สรุปผลการเรียนของคุณในชั้นเรียนโดยทำแบบทดสอบให้เสร็จสิ้น”

8) การบ้าน

§25, เลขที่ 456, 457(1;3),460(1;3)

รายงาน

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ- สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ซึ่งช่วยให้คุณค้นหาฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องรู้ฟังก์ชันอื่นด้วย

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

เอกลักษณ์นี้บอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติทำให้สามารถคำนวณไซน์ของมุมหนึ่งได้เมื่อทราบโคไซน์ของมันและในทางกลับกัน .

เมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมักใช้เอกลักษณ์นี้ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ของมุมหนึ่งด้วยหนึ่งมุมและดำเนินการแทนที่ในลำดับย้อนกลับ

การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

อัตลักษณ์เหล่านี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สุดท้ายแล้ว ถ้าคุณดูมัน ตามนิยามแล้ว พิกัด y คือไซน์ และแอบซิสซา x เป็นโคไซน์ จากนั้นแทนเจนต์จะเท่ากับอัตราส่วน \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)และอัตราส่วน \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- จะเป็นโคแทนเจนต์

ให้เราเพิ่มว่าเฉพาะมุม \alpha ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในนั้นสมเหตุสมผลแล้ว อัตลักษณ์จะยังคงอยู่ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ตัวอย่างเช่น: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่าง \frac(\pi)(2)+\pi z, ก ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- สำหรับมุม \alpha ที่ไม่ใช่ \pi z, z คือจำนวนเต็ม

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ข้อมูลประจำตัวนี้ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่างเท่านั้น \frac(\pi)(2) z. มิฉะนั้น โคแทนเจนต์หรือแทนเจนต์จะไม่ถูกกำหนด

จากประเด็นข้างต้น เราจึงได้สิ่งนั้นมา tg \อัลฟา = \frac(y)(x), ก ctg \alpha=\frac(x)(y). มันเป็นไปตามนั้น tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่มันเข้าท่า จึงเป็นตัวเลขผกผันซึ่งกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์และไซน์

tg^(2) \อัลฟา + 1=\frac(1)(\cos^(2) \อัลฟา)- ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา และ 1 เท่ากับกำลังสองผกผันของโคไซน์ของมุมนี้ ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ทั้งหมดยกเว้น \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \อัลฟา=\frac(1)(\sin^(2)\อัลฟา)- ผลรวมของ 1 และกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา เท่ากับกำลังสองผกผันของไซน์ของมุมที่กำหนด ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ใดๆ ที่แตกต่างจาก \pi z

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา \sin \alpha และ tg \alpha if \cos \อัลฟา=-\frac12และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ฟังก์ชัน \sin \alpha และ \cos \alpha มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1. แทนลงในสูตรนี้ \cos \อัลฟา = -\frac12, เราได้รับ:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

สมการนี้มี 2 วิธี:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สอง ไซน์เป็นบวก ดังนั้น \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ในการหา tan \alpha เราใช้สูตร tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา \cos \alpha และ ctg \alpha ถ้า และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แทนลงในสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1หมายเลขที่กำหนด \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), เราได้รับ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. สมการนี้มีสองคำตอบ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สองโคไซน์เป็นลบ ดังนั้น \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ในการค้นหา ctg \alpha เราใช้สูตร ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). เรารู้ค่าที่สอดคล้องกัน

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).