ระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือไม่? เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

ก 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ก 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ก 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

สารละลาย.เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปสำหรับระบบสมการ

ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

วิธีเกาส์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนระบบเอกพันธ์นี้ในพิกัด:

เมทริกซ์ระบบ

ระบบที่อนุญาตมีรูปแบบ: (อาร์ เอ = 2, n= 3) ระบบให้ความร่วมมือและไม่แน่นอน วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ( x 2 – ตัวแปรอิสระ): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => เอ็กซ์โอ = . ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของสารละลายเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาว่า ระบบนี้เวกเตอร์อิสระเชิงเส้นหรือเชิงเส้นตรง:

1. ก 1 = { -20, -15, - 4 }, ก 2 = { –7, -2, -4 }, ก 3 = { 3, –1, –2 }.

สารละลาย.พิจารณาระบบสมการเอกพันธ์ ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

หรือในรูปแบบขยาย (ตามพิกัด)

ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้าไม่เสื่อมก็มีวิธีแก้ไขเฉพาะตัว ในกรณีของระบบเอกพันธ์ จะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระจากกัน หากระบบเสื่อมลง ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นระบบจึงขึ้นอยู่กับ

เราตรวจสอบระบบเพื่อความเสื่อม:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

ระบบไม่เสื่อมสภาพและด้วยเหตุนี้พาหะ ก 1 , ก 2 , ก 3 เป็นอิสระเชิงเส้น

งานค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น:

1. ก 1 = { -4, 2, 8 }, ก 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ก 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ก 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ก 1 = { -7, 5, 19 }, ก 2 = { -5, 7 , -7 }, ก 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ก 1 = { 1, 2, -2 }, ก 2 = { 0, -1, 4 }, ก 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ก 1 = { 1, 8 , -1 }, ก 2 = { -2, 3, 3 }, ก 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ก 1 = { 1, 2 , 3 }, ก 2 = { 2, -1 , 1 }, ก 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ก 1 = {0, 1, 1 , 0}, ก 2 = {1, 1 , 3, 1}, ก 3 = {1, 3, 5, 1}, ก 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ก 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ก 2 = {2, 3 , 2, 1}, ก 3 = {4, 4, 4, -3}, ก 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. จงพิสูจน์ว่าระบบเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงถ้ามี:

ก) สอง เวกเตอร์ที่เท่ากัน;

b) เวกเตอร์สัดส่วนสองตัว

ภารกิจที่ 1ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ระบบของเวกเตอร์จะถูกระบุโดยเมทริกซ์ของระบบ ซึ่งคอลัมน์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์

.

สารละลาย.ปล่อยให้ผลรวมเชิงเส้น เท่ากับศูนย์ เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัดแล้ว ระบบต่อไปนี้สมการ:

.

ระบบสมการดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยม เธอมีทางออกเดียวเท่านั้น . ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น

ภารกิจที่ 2ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

.

สารละลาย.เวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ดูปัญหาที่ 1) ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ . สัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ ถูกกำหนดจากระบบสมการ

.

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเช่นเดียวกับระบบสามเหลี่ยม

ดังนั้นระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น. เมทริกซ์ชนิดเดียวกันกับในปัญหาที่ 1 เรียกว่า สามเหลี่ยม และในปัญหาที่ 2 – ก้าวเป็นรูปสามเหลี่ยม . คำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นั้นแก้ไขได้ง่ายถ้าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมขั้น หากเมทริกซ์ไม่มีรูปแบบพิเศษให้ใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้น เพื่อรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคอลัมน์ จึงสามารถลดให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันไดได้

การแปลงสตริงเบื้องต้นเมทริกซ์ (EPS) การดำเนินการต่อไปนี้บนเมทริกซ์เรียกว่า:

1) การจัดเรียงบรรทัดใหม่

2) การคูณสตริงด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มสตริงอื่นลงในสตริงคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้

ภารกิจที่ 3ค้นหาระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดและคำนวณอันดับของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.ให้เราลดเมทริกซ์ของระบบโดยใช้ EPS ให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได เพื่ออธิบายขั้นตอนนี้ เราแสดงบรรทัดที่มีจำนวนเมทริกซ์ที่จะแปลงด้วยสัญลักษณ์ คอลัมน์หลังลูกศรระบุการดำเนินการในแถวของเมทริกซ์ที่กำลังแปลงซึ่งจะต้องดำเนินการเพื่อให้ได้แถวของเมทริกซ์ใหม่

.

แน่นอนว่าสองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ผลลัพธ์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น คอลัมน์ที่สามคือผลรวมเชิงเส้น และคอลัมน์ที่สี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสองคอลัมน์แรก เวกเตอร์ เรียกว่าพื้นฐาน พวกมันสร้างระบบย่อยที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ และอันดับของระบบคือสาม

พื้นฐานพิกัด

ภารกิจที่ 4ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตซึ่งมีพิกัดที่ตรงตามเงื่อนไข .

สารละลาย. ฉากนี้เป็นเครื่องบินที่ผ่านจุดกำเนิด พื้นฐานตามอำเภอใจบนระนาบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานที่เลือกถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ เมื่อคุณสามารถค้นหาฐานโดยใช้พิกัดได้

พิกัด ช่องว่างไม่ใช่พิกัดบนระนาบ เนื่องจากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกเขาไม่เป็นอิสระ ตัวแปรอิสระและ (เรียกว่าอิสระ) จะกำหนดเวกเตอร์บนระนาบโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นจึงสามารถเลือกเป็นพิกัดใน แล้วพื้นฐาน ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่อยู่ในและสอดคล้องกับเซตของตัวแปรอิสระ และ , นั่นคือ .

ภารกิจที่ 5ค้นหาฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในอวกาศซึ่งมีพิกัดคี่เท่ากัน

สารละลาย. ให้เราเลือกพิกัดในอวกาศเช่นเดียวกับในปัญหาที่แล้ว

เพราะ แล้วตามด้วยตัวแปรอิสระ กำหนดเวกเตอร์โดยไม่ซ้ำกันจากและเป็นพิกัด พื้นฐานที่สอดคล้องกันประกอบด้วยเวกเตอร์

ภารกิจที่ 6ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดในแบบฟอร์ม , ที่ไหน – ตัวเลขที่กำหนดเอง

สารละลาย. เมทริกซ์แต่ละตัวจากสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในรูปแบบ:

ความสัมพันธ์นี้คือการขยายตัวของเวกเตอร์จากเทียบกับพื้นฐาน
พร้อมพิกัด .

ภารกิจที่ 7ค้นหามิติและพื้นฐานของเส้นตรงของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.เมื่อใช้ EPS เราจะแปลงเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์ของระบบเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได

.

คอลัมน์ เมทริกซ์สุดท้ายมีความเป็นอิสระเชิงเส้นและคอลัมน์ แสดงเป็นเส้นตรงผ่านพวกมัน ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นพื้นฐาน , และ .

ความคิดเห็น. พื้นฐานใน ถูกเลือกอย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ มาเป็นพื้นฐานด้วย .

เวกเตอร์ คุณสมบัติ และการกระทำกับเวกเตอร์

เวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น

เวกเตอร์คือชุดรวมของจำนวนจริงที่มีจำนวนจำกัดตามลำดับ

การดำเนินการ: 1. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. การบวกเวกเตอร์ (อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. เวกเตอร์ 0=(0,0…0)---n E n – n มิติ (ปริภูมิเชิงเส้น) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ 0 = เวกเตอร์ x

ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ n ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงเส้น n มิติ เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งจะต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น

ทฤษฎีบท. เซตของเวกเตอร์ลำดับที่ 1 จำนวน n+ ใดๆ ของปริภูมิเชิงเส้น n มิติของปรากฏการณ์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข การลบเวกเตอร์

ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นจะต้องตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ หากเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการขยายในเวกเตอร์หน่วยพื้นฐาน จากนั้นเมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดที่สอดคล้องกันจะถูกเพิ่มเข้าไป

ลองพิจารณาเรื่องนี้โดยใช้ตัวอย่างของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน อนุญาต

มาแสดงกันเถอะ

จากภาพที่ 3 ชัดเจนว่า

ผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัดใดๆ สามารถพบได้โดยใช้กฎรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 4): เพื่อสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัด ก็เพียงพอที่จะรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ตามมาแต่ละอันเข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า และสร้างเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย

คุณสมบัติของการดำเนินการบวกเวกเตอร์:

ในนิพจน์เหล่านี้ m, n คือตัวเลข

ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ เทอมที่สองคือเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ในทิศทางแต่มีความยาวเท่ากับเวกเตอร์

ดังนั้นการดำเนินการลบเวกเตอร์จึงถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการบวก

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิดและสิ้นสุดที่จุด A (x1, y1, z1) เรียกว่าเวกเตอร์รัศมีของจุด A และเขียนแทนง่ายๆ เนื่องจากพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุด A การขยายตัวในหน่วยเวกเตอร์จึงมีรูปแบบ

เวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด A(x1, y1, z1) และสิ้นสุดที่จุด B(x2, y2, z2) สามารถเขียนได้เป็น

โดยที่ r 2 คือเวกเตอร์รัศมีของจุด B; r 1 - เวกเตอร์รัศมีของจุด A

ดังนั้นการขยายตัวของเวกเตอร์ในหน่วยเวกเตอร์จึงมีรูปแบบ

ความยาวเท่ากับระยะห่างระหว่างจุด A และ B

การคูณ

ดังนั้นในกรณีที่เกิดปัญหาระนาบ ผลคูณของเวกเตอร์โดย a = (ax; ay) คูณจำนวน b จะถูกหาได้จากสูตร

a b = (ขวาน b; ay b)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2) คูณ 3

3 ก = (3 1; 3 2) = (3; 6)

ดังนั้น ในกรณีที่เกิดปัญหาเชิงพื้นที่ ผลคูณของเวกเตอร์ a = (ax; ay; az) ตามจำนวน b จะพบได้จากสูตร

a b = (ขวาน b; ay b; az b)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2; -5) คูณ 2

2 ก = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

ผลคูณดอทของเวกเตอร์และ มุมระหว่างเวกเตอร์และอยู่ที่ไหน ; ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะได้ดังนี้

โดยที่ ตัวอย่างเช่น คือขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์

เวกเตอร์กำลังสองแบบสเกลาร์:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท:

สินค้าดอทในพิกัด

ถ้า ที่

มุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์ - มุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์เหล่านี้ (มุมที่เล็กที่สุด)

ครอสโปรดัค (ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว) -นี่เป็นเวกเตอร์เทียมที่ตั้งฉากกับระนาบที่สร้างจากปัจจัยสองประการ ซึ่งเป็นผลมาจากการดำเนินการไบนารี่ "การคูณเวกเตอร์" บนเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิดสามมิติ ผลคูณไม่สามารถสับเปลี่ยนหรือเชื่อมโยงได้ (เป็นสารต้านสับเปลี่ยน) และแตกต่างจากผลคูณดอทของเวกเตอร์ ในปัญหาทางวิศวกรรมและฟิสิกส์หลายๆ อย่าง คุณจะต้องสามารถสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีอยู่สองตัวได้ - ผลคูณของเวกเตอร์ให้โอกาสนี้ ผลคูณไขว้มีประโยชน์สำหรับ "การวัด" เส้นตั้งฉากของเวกเตอร์ - ความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของความยาวหากพวกมันตั้งฉากกัน และจะลดลงเหลือศูนย์หากเวกเตอร์ขนานกันหรือขนานกัน

ผลคูณไขว้ถูกกำหนดไว้เฉพาะในช่องว่างสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เช่นเดียวกับผลคูณสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับหน่วยเมตริกของปริภูมิแบบยุคลิด

ต่างจากสูตรในการคำนวณเวกเตอร์ผลคูณสเกลาร์จากพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติ สูตรสำหรับผลคูณไขว้นั้นขึ้นอยู่กับการวางแนวของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ "chirality"

เส้นตรงของเวกเตอร์

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เท่ากับ 0) สองตัวจะถูกเรียกว่าคอลลิเนียร์หากพวกมันอยู่บนเส้นคู่ขนานหรืออยู่บนเส้นเดียวกัน คำพ้องความหมายที่ยอมรับได้ แต่ไม่แนะนำคือเวกเตอร์ "ขนาน" เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีทิศทางที่เหมือนกัน ("โคไดนามิก") หรือทิศทางตรงกันข้าม (ในกรณีหลังบางครั้งเรียกว่า "แอนติคอลลิเนียร์" หรือ "แอนติขนาน")

ผลคูณผสมของเวกเตอร์( ก ข ค)- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ b และ c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

บางครั้งเรียกว่าสามเท่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ น่าจะเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ (แม่นยำกว่านั้นคือ pseudoscalar)

ความหมายทางเรขาคณิต: โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมจะมีค่าเท่ากับตัวเลขของปริมาตรของเส้นขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ (ก,ข,ค) .

คุณสมบัติ

ผลิตภัณฑ์แบบผสมมีความเบ้สมมาตรโดยคำนึงถึงข้อโต้แย้งทั้งหมด: กล่าวคือ จ. การจัดเรียงปัจจัยสองประการใหม่จะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ ผลคูณผสมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้านขวา (ในรูปแบบออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ และ:

ผลคูณผสมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้านซ้าย (ในรูปแบบออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ และนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ถ้าเวกเตอร์สองตัวใดขนานกัน แล้วเวกเตอร์ตัวที่สามจะเกิดผลคูณผสมเท่ากับศูนย์

หากเวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง (นั่นคือ coplanar อยู่ในระนาบเดียวกัน) ผลคูณที่ผสมกันจะเท่ากับศูนย์

ความหมายทางเรขาคณิต - ผลคูณผสมมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์กับปริมาตรของเส้นขนาน (ดูรูป) ที่เกิดจากเวกเตอร์และ เครื่องหมายขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้ถนัดขวาหรือถนัดซ้าย

ระนาบร่วมของเวกเตอร์

เวกเตอร์สามตัว (หรือมากกว่า) เรียกว่า coplanar ถ้าพวกมันถูกลดขนาดลงสู่จุดกำเนิดร่วมและอยู่ในระนาบเดียวกัน

คุณสมบัติของระนาบร่วม

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสามเวกเตอร์เป็นศูนย์ แล้วเวกเตอร์ทั้งสามนั้นก็ถูกพิจารณาว่าเป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์สามตัวที่มีเวกเตอร์คอลลิเนียร์คู่หนึ่งคือโคพลานาร์

ผลคูณผสมของเวกเตอร์โคพลานาร์ นี่คือเกณฑ์สำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์สามตัว

เวกเตอร์โคพลานาร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง นี่เป็นเกณฑ์สำหรับการทำงานร่วมกันด้วย

ในปริภูมิ 3 มิติ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน 3 ตัวจะก่อตัวเป็นพื้นฐาน

เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

ระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเป็นอิสระคำนิยาม. เรียกว่าระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญอย่างน้อยหนึ่งตัวของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ มิฉะนั้นนั่นคือ หากเพียงผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยของเวกเตอร์ที่กำหนดเท่านั้นที่เท่ากับเวกเตอร์ว่าง เวกเตอร์จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น.

ทฤษฎีบท (เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น). เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นเป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัวจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ

1) หากในบรรดาเวกเตอร์มีเวกเตอร์ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว ระบบเวกเตอร์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ในความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น หาก สมมุติว่า เรามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ ▲

2) ถ้าในบรรดาเวกเตอร์มีรูปแบบเชิงเส้นตรง ระบบขึ้นอยู่กับจากนั้นทั้งระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

แท้จริงแล้ว ให้เวกเตอร์ , , เป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ามีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่แล้วสมมุติว่า เรายังได้รับผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ด้วย

2. พื้นฐานและมิติ คำนิยาม. ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ พื้นฐานของปริภูมินี้หากเวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบนี้ กล่าวคือ สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัวจะมีจำนวนจริง จนมีความเสมอภาคคงอยู่ ความเสมอภาค นี้เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานและตัวเลข ถูกเรียกว่า พิกัดของเวกเตอร์สัมพันธ์กับฐาน(หรือ ในพื้นฐาน) .

ทฤษฎีบท (บนเอกลักษณ์ของการขยายตัวโดยคำนึงถึงพื้นฐาน). เวกเตอร์ทุกตัวในอวกาศสามารถขยายเป็นฐานได้ ในทางเดียวนั่นคือ พิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวบนพื้นฐาน ถูกกำหนดไว้อย่างไม่คลุมเครือ