ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติในมุมเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน

ในบทความนี้เราจะมาดูอย่างละเอียด ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานคือความเท่าเทียมกันที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และอนุญาตให้เราค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก

ให้เราแสดงรายการอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่เราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ทันที มาเขียนมันลงในตาราง แล้วเราจะให้ผลลัพธ์ของสูตรเหล่านี้พร้อมคำอธิบายที่จำเป็นด้านล่าง

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง

บางครั้งพวกเขาไม่ได้พูดถึงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่แสดงอยู่ในตารางด้านบน แต่เกี่ยวกับข้อมูลเดียว อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใจดี - คำอธิบายข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างง่าย: ความเท่าเทียมกันจะได้มาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักหลังจากหารทั้งสองส่วนด้วยและตามลำดับ และความเท่าเทียมกันได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก และ ติดตามจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในย่อหน้าต่อไปนี้

นั่นคือความเท่าเทียมกันที่เป็นที่สนใจเป็นพิเศษซึ่งได้รับชื่อของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

ก่อนที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะให้สูตรดังนี้ ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งเท่ากัน ทีนี้เรามาพิสูจน์กัน

ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานมักใช้เมื่อใด การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ- ช่วยให้ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งถูกแทนที่ด้วยหนึ่ง ไม่บ่อยนักที่อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานจะถูกนำมาใช้ในลำดับย้อนกลับ: หน่วยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมใดๆ

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์

อัตลักษณ์ที่เชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับไซน์และโคไซน์ของมุมมองเดียวและ ปฏิบัติตามทันทีจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตามคำนิยามแล้ว ไซน์คือลำดับของ y โคไซน์คือค่าแอบซิสซาของ x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของค่าพิกัดต่อค่าแอบซิสซา นั่นคือ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของแอบซิสซาต่อพิกัด นั่นคือ .

ขอบคุณความชัดเจนของตัวตนและ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มักไม่ได้ถูกกำหนดผ่านอัตราส่วนของแอบซิสซาและพิกัด แต่ผ่านอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ของมุมนี้ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์

โดยสรุปของย่อหน้านี้ก็ควรสังเกตว่าอัตลักษณ์และ เกิดขึ้นสำหรับทุกมุมที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในนั้นสมเหตุสมผล ดังนั้นสูตรนี้ใช้ได้กับค่าใดๆ ก็ตาม นอกเหนือจาก (ไม่เช่นนั้นตัวส่วนจะมีศูนย์และเราไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์) และสูตร - สำหรับทั้งหมด แตกต่างจาก โดยที่ z คือค่าใดๆ

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ชัดเจนยิ่งขึ้นอีกด้วย เอกลักษณ์ตรีโกณมิติกว่าสองอันก่อนหน้าคือเอกลักษณ์ที่เชื่อมแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งของแบบฟอร์ม - เห็นได้ชัดว่ามันคงไว้สำหรับมุมอื่นๆ ที่ไม่ใช่ มิฉะนั้น จะไม่ได้นิยามแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์

หลักฐานของสูตร ง่ายมาก ตามคำจำกัดความและจากที่ไหน - การพิสูจน์อาจดำเนินการแตกต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจาก , ที่ .

ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่เข้าท่าคือ

“ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์” - 1) เขียนทฤษฎีบทของไซน์สำหรับสามเหลี่ยมที่กำหนด: หามุม B เขียนสูตรการคำนวณ: ทฤษฎีบทของไซน์: หาความยาวของด้าน BC ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม 2) เขียนทฤษฎีบทโคไซน์เพื่อคำนวณด้านของ MC: งานอิสระ:

“ การแก้อสมการตรีโกณมิติ” - ค่า y ทั้งหมดในช่วงเวลา MN 1. การสร้างกราฟของฟังก์ชัน: ช่วงเวลาที่เหลือ เส้นตรง y=-1/2 ตัดกับไซนัสอยด์ด้วยจำนวนจุดที่ไม่สิ้นสุด และวงกลมตรีโกณมิติที่จุด A จำนวนอนันต์ช่องว่าง และบนไซน์ซอยด์ ช่วงของค่า x ใกล้เคียงกับจุดกำเนิดมากที่สุดโดยที่ sinx>-1/2

“สูตรตรีโกณมิติ” - สูตรสำหรับการแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ สูตรการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม สูตรการบวก โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม?. สูตร มุมคู่- เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกัน (3) และ (4) ทีละเทอม เราจะได้: ให้เราได้รับสูตรเสริมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาได้

“ การแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด” - cos x วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ บาป อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่มีตัวแปรอยู่ในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

“Sin and cos” - จริงหรือไม่ที่โคไซน์ของ 6.5 มากกว่าศูนย์? ไซน์ของ 60° เท่ากับ?? จริงมั้ยที่คอส? เอ็กซ์ - จิบ? x = 1? สาขาคณิตศาสตร์ที่กำลังศึกษาอยู่ คุณสมบัติของไซน์, โคไซน์... บทเรียนพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ อับซิสซาของจุดบนวงกลมหน่วย อัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์...

“ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม” - งานปากเปล่า องค์ประกอบที่ไม่รู้จัก สามเหลี่ยม. ด้านสี่เหลี่ยมของรูปสามเหลี่ยม บอกทฤษฎีบทโคไซน์. ทฤษฎีบท. ทฤษฎีบทโคไซน์ การแก้ปัญหาบนกระดาษสี่เหลี่ยม มุมและด้านข้าง บอกทฤษฎีบทโคไซน์. งานตามแบบที่เสร็จแล้ว ข้อมูลที่แสดงในภาพ

มีการนำเสนอทั้งหมด 21 เรื่อง

เรื่อง: สูตรตรีโกณมิติ(25 ชั่วโมง)
บทที่ 6 – 7: ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน
เป้า:ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็น:

ทราบ:

การกำหนดคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน (ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาส ชุดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

เข้าใจ:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถใช้ได้เฉพาะกับอาร์กิวเมนต์เดียวกันเท่านั้น อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่ง

นำมาใช้:

ความสามารถในการเลือกอย่างถูกต้อง สูตรที่ต้องการเพื่อแก้ไขงานเฉพาะ ความสามารถในการทำงานกับเศษส่วนอย่างง่าย ความสามารถในการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

การวิเคราะห์:

วิเคราะห์ข้อผิดพลาดในตรรกะของการให้เหตุผล

สังเคราะห์:

แนะนำวิธีการแก้ตัวอย่างของคุณเอง สร้างคำไขว้โดยใช้ความรู้ที่คุณได้รับ

ระดับ:

ความรู้และทักษะในหัวข้อนี้เพื่อใช้ในส่วนอื่นของพีชคณิต

อุปกรณ์: เค้าโครง วงกลมตรีโกณมิติ, เครื่องจ่าย วัสดุอ้างอิงพร้อมสูตรและตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย การนำเสนอ แผ่นงานสำหรับงานอิสระ ความคืบหน้าของบทเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กร.

สวัสดี. การสื่อสารจุดประสงค์ของบทเรียนและแผนการสอน

การอัพเดตความรู้และทักษะ

นักเรียนจะได้รับการ์ดบทเรียนและคำอธิบายเกี่ยวกับวิธีการทำงานร่วมกับพวกเขา คำถามจะปรากฏบนหน้าจอ นักเรียนจดคำตอบลงในสมุดบันทึก ครูแสดงคำตอบที่ถูกต้องบนหน้าจอ หลังจากทำแบบสำรวจเสร็จแล้ว นักเรียนจะเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน ภารกิจที่ 1

มุม 1 เรเดียนอยู่ในควอเตอร์ใด และมีค่าประมาณเท่าใด

(ในไตรมาสแรก 1 rad. 57.3 0)

คำใดหายไปจากคำจำกัดความของฟังก์ชันไซน์?

ไซน์ของมุม  เรียกว่า ............ จุดของวงกลมหน่วย (บวช)

คำใดหายไปในคำจำกัดความของฟังก์ชันโคไซน์?

โคไซน์ของมุม เรียกว่า ............ จุดของวงกลมหน่วย (abscissa)

ไซน์สามารถรับค่าอะไรได้บ้าง?

()

คำอธิบายของวัสดุใหม่

และ ขอให้เราพรรณนาวงกลมหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O สมมติว่าโดยการหมุนรัศมี OA เท่ากับ R ด้วยมุม  จะได้รัศมี OB (รูปที่ 5) แล้วตามคำนิยาม
ที่ไหน – abscissa ของจุด B – มันเป็นระเบียบ ตามมาว่าจุด B เป็นของวงกลม ดังนั้นพิกัดจึงเป็นไปตามสมการ
การใช้ประโยชน์จากสิ่งที่เราได้รับ
(1). เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง - ตัวตน เรียกว่าความเท่าเทียมกัน (1) อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในความเท่าเทียมกัน (1)  สามารถรับค่าใดก็ได้ เสร็จสิ้นการบันทึกด้วยตัวคุณเอง:
1.
กรุณาตรวจสอบว่ารายการของคุณถูกต้อง เพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียนของคุณ งานหมายเลข 2 มาต่อกันเลย เราได้รับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการมัน? ถูกต้อง - เพื่อค้นหาค่าโคไซน์จากค่าไซน์ที่รู้จักค่าหนึ่งและในทางกลับกัน ตอนนี้คุณและฉันสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานได้ตลอดเวลา แต่สิ่งสำคัญคือต้องมีข้อโต้แย้งเดียวกัน ในสมุดบันทึก นักเรียนจะถูกขอให้แสดงไซน์ผ่านโคไซน์และโคไซน์ผ่านไซน์อย่างอิสระจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน นักเรียนสองคนถูกเรียกไปที่คณะกรรมการเพื่อตรวจสอบ คนหนึ่งถูกขอให้แสดงไซน์ผ่านโคไซน์ คนที่สองคือโคไซน์ผ่านไซน์ คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนหน้าจอ:
นักเรียนตรวจสอบคำตอบและเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน งานหมายเลข 3 ในสูตรเหล่านี้ เครื่องหมายที่อยู่หน้ารูทขึ้นอยู่กับอะไร? (ขึ้นอยู่กับว่ามุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เรากำหนดอยู่ในจตุภาคใด)
ตัวอย่างที่ 1 - คำนวณ
ถ้า
กำหนดไตรมาสที่มุมนั้นตั้งอยู่ - ไตรมาส – III โปรดจำไว้ว่าไซน์ในไตรมาสที่สามเป็นลบเช่น ในสูตร (2) คุณต้องใส่เครื่องหมาย "-" ไว้หน้ารูท: ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ
ถ้า
เรากำหนดไตรมาสที่มุมตั้งอยู่ Quarter – IV, โคไซน์ในไตรมาสที่สี่เป็นบวก ดังนั้นในสูตร (3) จำเป็นต้องมีเครื่องหมาย "+" ก่อนรูท:
มาหาคำตอบกันตอนนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์- ตามคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เมื่อคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราจะได้:


จากความเท่าเทียมกัน (4) เราสามารถแสดงออกได้
ผ่าน
และในทางกลับกัน:


ความเท่าเทียมกัน (4) – (6) เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดนั้น
สมเหตุสมผล เช่น เมื่อใด
ตอนนี้ให้เราได้สูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคไซน์ รวมถึงโคแทนเจนต์และไซน์ของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน หารความเท่ากันทั้งสองข้าง (1) ด้วย
เราได้รับ:
เหล่านั้น.

ถ้าเท่ากันทั้งสองข้าง (1) หารด้วย
แล้วเราจะได้:
เหล่านั้น.

ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่ได้รับเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากค่าที่รู้จักของหนึ่งในนั้น
ตัวอย่างที่ 1 เรามาดูกันว่าจะรู้หรือไม่ว่า
สารละลาย:

ในการค้นหาโคแทนเจนต์ของมุม  สะดวกในการใช้สูตร (6):

คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2 เป็นที่ทราบกันว่า
- ลองหาฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ทั้งหมดกัน สารละลาย:

ลองใช้สูตรกัน (7). เรามี:

,
- ตามเงื่อนไขของปัญหา มุม  คือมุมของ 1/4 ดังนั้นโคไซน์จึงเป็นค่าบวก วิธี



คำตอบ:
ได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เดียวกันจะทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น
ตัวอย่างที่ 3 มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:
สารละลาย:ลองใช้สูตร:
- เราได้รับ:

การรวมบัญชี

และตอนนี้หน้าจอจะแสดงรูบริกการประเมินตนเองในหัวข้อนี้ ทำเครื่องหมายว่าคุณต้องการไปถึงระดับใดในวันนี้

ฉันเข้าใจหัวข้อนี้และสามารถแก้ไขตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึมโดยดูที่สมุดบันทึก แต่ด้วยความช่วยเหลือของคำถามนำ (การ์ด - คำแนะนำ)

ฉันเข้าใจหัวข้อและสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึม ดูสมุดบันทึก โดยใช้คำแนะนำของครู

ฉันเข้าใจหัวข้อและสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริธึม โดยดูที่สมุดบันทึก โดยไม่ต้องถามคำถามหรือคำแนะนำ

ฉันเข้าใจหัวข้อนี้และสามารถแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริธึมได้โดยไม่ต้องดูสมุดบันทึก

ไม่ว่าคุณจะเลือกระดับใด ขั้นแรกให้ตรวจสอบงานทั้งหมดที่ฉันมอบให้คุณอย่างรอบคอบ จากนั้นจึงทำงานให้สอดคล้องกับระดับที่คุณเลือก (มีงานอยู่ตรงหน้าคุณในสี่ตัวเลือก จำนวนตัวเลือกที่สอดคล้องกับระดับ ของการเห็นคุณค่าในตนเอง)

1 ตัวเลือก

คำแนะนำ:

ตัวเลือกที่ 4

เอาล่ะ เรามาตรวจสอบคำตอบกันดีกว่า คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนหน้าจอ และนักเรียนตรวจงานและเพิ่มคะแนนลงในการ์ดบทเรียน ภารกิจที่ 4 ประเมินตัวเองโดยใช้แผนที่บทเรียน คำนวณคะแนนของคุณและวางไว้บนการ์ด

การบ้าน.
เขียนสูตรที่ได้รับทั้งหมดลงในสมุดอ้างอิง ตามตำราเลขที่ 459 (3, 5), เลขที่ 460 (1)

6

และกราฟไซน์เป็นแบบคลื่นต่อคลื่น
แกน x วิ่งหนี

จากเพลงของนักเรียน

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การศึกษา: ที่มาของสูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน (จำนวน) เรียนรู้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของตัวเลขจากค่าที่กำหนดของหนึ่งในนั้น
• การพัฒนา: สอนให้วิเคราะห์ เปรียบเทียบ สร้างการเปรียบเทียบ สรุปและจัดระบบ พิสูจน์และหักล้าง กำหนดและอธิบายแนวคิด...
• การศึกษา: ส่งเสริมทัศนคติที่ดีต่อการทำงานและทัศนคติเชิงบวกต่อความรู้

การออมเพื่อสุขภาพ: การสร้างบรรยากาศทางจิตวิทยาที่สะดวกสบายในห้องเรียน บรรยากาศแห่งความร่วมมือ: นักเรียน - ครู

อุปกรณ์ระเบียบวิธีของบทเรียน:

ฐานวัสดุและเทคนิค: ห้องคณิตศาสตร์

การสนับสนุนการสอนสำหรับบทเรียน: หนังสือเรียน สมุดบันทึก โปสเตอร์ในหัวข้อบทเรียน ตาราง คอมพิวเตอร์ ดิสก์ หน้าจอ โปรเจ็กเตอร์

วิธีการทำกิจกรรม: ทำงานเป็นกลุ่มและเดี่ยวที่โต๊ะและกระดานดำ

ประเภทของบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการเรียนรู้ความรู้ใหม่

ความก้าวหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร: ทักทาย ตรวจสอบการเข้างานของนักเรียน ลงทะเบียน

2. การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน: ทำให้นักเรียนมีอารมณ์ในการทำงาน และนำแผนการสอนมาให้พวกเขา

3. การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการบ้าน บนหน้าจอเป็นภาพการบ้านที่ทำเสร็จแล้วถูกต้อง นักเรียนแต่ละคนตรวจสอบพร้อมคำอธิบายด้านหน้าโดยละเอียดและบันทึกความถูกต้องของการดำเนินการไว้ในบัตรงานบทเรียน

ใบงานของบทเรียน

S/o – ความนับถือตนเอง

O/t – การประเมินเพื่อน

4. อัพเดตความรู้ เตรียมรับรู้เนื้อหาใหม่ๆ

ขั้นต่อไปของบทเรียนของเราคือการเขียนตามคำบอก เราเขียนคำตอบสั้น ๆ - เรามีภาพวาดบนสไลด์

การเขียนตามคำบอก (การทำซ้ำข้อมูลที่จำเป็นด้วยวาจา):

1. กำหนด:

• ไซน์ของมุมแหลม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• โคไซน์ของมุมแหลม B ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• แทนเจนต์ของมุมแหลม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลม B ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
• เรากำหนดข้อจำกัดอะไรกับไซน์และโคไซน์เมื่อพิจารณาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก.

2. กำหนด:

• ไซน์ของมุม ก ก.
• โคไซน์ของมุม กผ่านพิกัด (ซึ่ง) ของจุดที่ได้รับจากการหมุนจุด (1;0) รอบจุดกำเนิดเป็นมุม ก.
• แทนเจนต์ของมุม ก.
• โคแทนเจนต์ของมุม ก.

3. เขียนเครื่องหมายของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมที่ได้จากการหมุนจุด P(1;0) เป็นมุม

4. สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ให้ระบุส่วนสี่ของระนาบพิกัด

เด็กตรวจสอบการเขียนตามคำบอกบนสไลด์ร่วมกับครู อธิบายข้อความแต่ละข้อและให้คะแนนตนเองในการ์ดบทเรียน

5. จากประวัติศาสตร์ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติรูปแบบใหม่นี้มอบให้โดยนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 ลีโอนาร์ด ออยเลอร์- สวิสโดยกำเนิด เป็นเวลาหลายปีทำงานในรัสเซียและเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาแนะนำคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรและพิสูจน์สูตรการลดลงที่คุณยังไม่เคยเจอ และระบุคลาสของฟังก์ชันคู่และคี่

6. การแนะนำวัสดุใหม่:

สิ่งสำคัญไม่ได้เป็นเพียงการแจ้งให้นักเรียนทราบถึงข้อสรุปสุดท้ายเท่านั้น แต่เพื่อให้นักเรียนมีส่วนร่วมในการค้นหาทางวิทยาศาสตร์ด้วยการวางคำถามเพื่อปลุกความอยากรู้อยากเห็นของพวกเขาให้มีส่วนร่วมในการวิจัยซึ่งช่วย เพื่อให้นักเรียนมีพัฒนาการทางจิตในระดับที่สูงขึ้น

ดังนั้นเมื่อแนะนำวัสดุใหม่ฉันจึงสร้างสถานการณ์ที่เป็นปัญหา - จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ในมุมเดียวกันได้ง่ายขึ้นและมีเหตุผลมากขึ้นได้อย่างไร - ผ่านสมการของวงกลมหน่วยหรือผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นตัวเลือกต่างๆ เป็นตัวเลือกแรกและตัวที่สอง - บนหน้าจอจะมีสไลด์พร้อมเงื่อนไขและภาพวาด ยังไม่มีวิธีแก้ไข

ตัวเลือกที่ 1 สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ผ่านสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมีเท่ากับ 1x 2 +y 2 =1; บาป 2 + cos 2 = 1

ตัวเลือก 2 สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: OB 2 +AB 2 =OA 2 - และเราได้ sin 2 +คอส 2 = 1

พวกเขาเปรียบเทียบผลลัพธ์และสรุป: สิ่งสำคัญคือความเท่าเทียมกันสำหรับค่าตัวอักษรใด ๆ ที่รวมอยู่ในนั้น? นักศึกษาต้องตอบว่านี่คืออัตลักษณ์

(สไลด์แสดงวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องสำหรับทั้งตัวเลือกที่หนึ่งและตัวเลือกที่สอง)

เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง - ตัวตน

โปรดจำไว้ว่าเรารู้อัตลักษณ์อื่นใดในพีชคณิต - สูตรการคูณแบบย่อ:

ก 2 -ข 2 =(ก-ข)(ก+ข)

(ก-ข) 2 =ก 2 -2ab+ข 2,

(ก+ข) 3 =ก 3 +3a 2 ข+3ab 2 +ข 2 ,

(ก-ข) 3 =ก 3 -3a 2 ข+3ab 3 -ข 3 ,

ก 3 -ข 3 =(ก-ข)(ก 2 +ab+ข 2)

ก 3 +ข 3 =(ก+ข)(ก 2 -ab+ข 2)

ปัญหาต่อไปคือเหตุใดเราจึงได้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก - sin 2 +cos 2 =1

ถูกต้อง - เพื่อค้นหาจากค่าไซน์, โคไซน์หรือแทนเจนต์ที่รู้จัก - ค่าของฟังก์ชันอื่น ๆ ทั้งหมด

ตอนนี้คุณและฉันสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานได้ตลอดเวลา แต่สิ่งสำคัญคือต้องมีข้อโต้แย้งเดียวกัน

การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ:

ตัวเลือกที่ 1 – แสดงไซน์ผ่านโคไซน์ของมุม

ตัวเลือกที่ 2 – แสดงโคไซน์ผ่านไซน์ของมุม คำตอบที่ถูกต้องอยู่ในสไลด์

คำถามของครู: มีใครลืมใส่เครื่องหมาย + และ - บ้างไหม? มุมจะเป็นเท่าไหร่? - ใครก็ได้.

ในสูตรนี้ เครื่องหมายที่อยู่หน้ารูทขึ้นอยู่กับอะไร? ซึ่งมุม (อาร์กิวเมนต์) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เรากำหนดนั้นตั้งอยู่

เราแสดงที่คณะกรรมการ 2 นักเรียนหมายเลข 457 – ตัวเลือกที่ 1 - 1, ตัวเลือกที่ 2 - 2.

สไลด์แสดงวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง

งานอิสระเกี่ยวกับการจดจำอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

1. ค้นหาความหมายของสำนวน:

2. แสดงเลข 1 ผ่านมุม ก, ถ้า

มีการตรวจสอบร่วมกัน - บนสไลด์ที่เสร็จแล้วและการประเมินผลงาน - ทั้งโดยการประเมินตนเองและโดยการประเมินของเพื่อน

6. การรวมวัสดุใหม่ (ตามเทคโนโลยีของ G.E. Khazankin - เทคโนโลยีของงานสนับสนุน)

งาน 1. คำนวณ ……….. ถ้า ………………………………………………………….

นักเรียน 1 คนบนกระดานอย่างอิสระ - จากนั้นสไลด์พร้อมคำตอบที่ถูกต้อง

ภารกิจที่ 2 คำนวณ………. ถ้า……………………………………………………………..

นักเรียนคนที่ 2 บนกระดาน จากนั้นสไลด์พร้อมเฉลยคำตอบที่ถูกต้อง

7. นาทีพลศึกษา ฉันรู้ว่าคุณเป็นผู้ใหญ่แล้วและคิดว่าคุณไม่เหนื่อยเลย โดยเฉพาะตอนนี้ที่บทเรียนดำเนินไปอย่างแข็งขันจนเวลาดูเหมือนจะยาวขึ้นสำหรับเราตามทฤษฎีของ A. Einstein ทฤษฎีสัมพัทธภาพ แต่มาทำยิมนาสติกสำหรับหลอดเลือดสมองกันดีกว่า:

• หมุนและเอียงศีรษะ ขวา-ซ้าย ขึ้น-ลง
• การนวดบริเวณไหล่และหนังศีรษะ - แขนจากมือ ใบหน้า และด้านหลังศีรษะ - จากบนลงล่าง
• ยกไหล่ขึ้นแล้ว "โยน" ไหล่ลงอย่างผ่อนคลาย เราทำแบบฝึกหัดแต่ละครั้ง 5-6 ครั้ง!

ให้เราค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์……………………………………………………………………………………………………… …………………

มีการศึกษาใหม่ในหัวข้อนี้ - มุมในอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่สองจะเป็นเท่าใด

สิ่งสำคัญคือการกำหนดชุดที่ความเสมอภาคเหล่านี้เต็มไป ทำเครื่องหมายจุดในรูปที่ไม่มีแทนเจนต์และโคเทนเจนต์ของมุมนั้น

นักเรียนคนที่ 3 บนกระดานดำ ความเท่าเทียมกันมีผลใช้ได้สำหรับ……………………….

ภารกิจที่ 3 คำนวณ………ถ้า……………….

งาน 4. คำนวณ….. ถ้า……………………………………………………………

นักเรียนที่เหลือทำงานในสมุดบันทึก

1 การสนับสนุน…………………………………………………………………………………………………

2 การสนับสนุน…………………………………………………………………………………………………………………

3 การสนับสนุน การประยุกต์อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในการแก้ปัญหา

8. ปริศนาอักษรไขว้ อนาโตล ฟรองซ์ เคยกล่าวไว้ว่า “การเรียนรู้ต้องสนุก...เพื่อย่อยความรู้ คุณต้องซึมซับความรู้ด้วยความอยากอาหาร”

เพื่อทดสอบความรู้ของคุณในหัวข้อนี้ คุณจะได้รับการเสนอปริศนาอักษรไขว้

1. สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์...
2. อับซิสซาของจุดบนวงกลมหน่วย
3. อัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์
4. ไซน์คือ…..จุดบนวงกลมหน่วย
5. ความเท่าเทียมกันที่ไม่ต้องการการพิสูจน์และเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น

เรียกว่า......

หลังจากตรวจสอบปริศนาอักษรไขว้แล้ว เด็กๆ จะให้คะแนนตัวเองในแผนที่บทเรียน ครูให้คะแนนแก่นักเรียนที่มีความกระตือรือร้นเป็นพิเศษในบทเรียน ผลลัพธ์คือคะแนนเฉลี่ยของงานในบทเรียน

9. สั่งให้ครูทำการบ้านให้เสร็จ

10. ครูสรุปบทเรียน