C 29 แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

การพัฒนา เปิดบทเรียน

พีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ในหัวข้อ: " สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติ- กำลังแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง"

ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม ม.ส.ว. 16 คารากันดา

เบเคโนวา จี.เอ็ม.

คารากันดา 2015

“คณิตศาสตร์ไม่สามารถเรียนรู้ได้ด้วยการสังเกต”

Larry Niven - ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์

หัวข้อบทเรียน:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติ

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. เพื่อให้ประสบความสำเร็จในการฝึกฝนและการประยุกต์ใช้ความรู้จากนักเรียนทุกคนในชั้นเรียนเมื่อแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

2. ส่งเสริม: ก) การพัฒนาการควบคุมตนเองและการเรียนรู้ด้วยตนเอง

b) ความสามารถในการใช้งาน ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ,

c) การพัฒนาความรู้และความแม่นยำทางคณิตศาสตร์

3. พัฒนาความสามารถในการแสดงความคิดอย่างมีประสิทธิภาพและรัดกุม มีความอดทนต่อมุมมองของเพื่อนร่วมชั้น และได้รับความพึงพอใจจากผลงานที่ได้รับ

ประเภทบทเรียน:บทเรียนผสมผสานกับแนวทางที่แตกต่างและเป็นรายบุคคล โดยมีองค์ประกอบของการเรียนรู้เชิงพัฒนาการและขั้นสูง

สถานที่เรียน:บทเรียนที่สามในหัวข้อนี้ (หลัก) ในสองบทเรียนแรกนักเรียนได้เรียนรู้คำจำกัดความของตรีโกณมิติกำลังสองเรียนรู้ที่จะค้นหารากของมันทำความคุ้นเคยกับอัลกอริทึมสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองและสิ่งนี้จะช่วยได้ในอนาคต การแก้สมการ, การลดเศษส่วน, การแปลงนิพจน์พีชคณิต

โครงสร้างบทเรียน:

1 การอัพเดตความรู้ด้วยแนวทางที่แตกต่างให้กับผู้เรียน

2 การควบคุมคือการทดสอบความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ด้วยตนเอง

3 การนำเสนอเนื้อหาใหม่เป็นส่วนหนึ่งของวิธีการค้นหา

4 การรวมเบื้องต้นของสิ่งที่ได้เรียนรู้ซึ่งเป็นแนวทางที่แตกต่างเป็นรายบุคคล

5 ความเข้าใจลักษณะทั่วไปของความรู้

6 การบ้านโดยใช้การเรียนรู้จากปัญหา

อุปกรณ์: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ ไวท์บอร์ดธรรมดา การ์ดงาน หนังสือเรียนพีชคณิต 8 กระดาษถ่ายเอกสารและกระดาษเปล่า สัญลักษณ์โหงวเฮ้ง

ความคืบหน้าของบทเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)

1. ทักทายนักเรียน การตรวจสอบความพร้อมสำหรับบทเรียน

2. สื่อสารจุดประสงค์ของบทเรียน

ด่านที่ 1

“การทำซ้ำเป็นบ่อเกิดของการเรียนรู้”

1. ตรวจการบ้าน หมายเลข 476 (b,d), หมายเลข 474, หมายเลข 475

2. งานเดี่ยวบนการ์ด (4 คน) (ระหว่างตรวจการบ้าน) (5 นาที)

ด่านที่สอง

“เชื่อแต่ยืนยัน”

ทดสอบการทำงานด้วยการควบคุมตนเอง

ทดสอบงาน (ผ่านกระดาษคาร์บอน) พร้อมการทดสอบตัวเอง

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือก ม. II

1) 2)

2. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

คำตอบ

เพื่อทดสอบการทำงาน

“เชื่อ แต่ต้องพิสูจน์”

1. ค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง:

І ตัวเลือก ІІ รูปแบบ nต

2. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6) 3) 7 (X-3) (X+3)

คำตอบที่โดดเด่นบางประการที่ควรทราบ

คำถามสำหรับนักเรียน:

คุณคิดว่าเราจะใช้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองได้ที่ไหน?

ถูกต้อง: เมื่อแก้สมการ

เมื่อลดเศษส่วน

ในการแปลงนิพจน์พีชคณิต

ด่านที่สาม

” ทักษะและแรงงานจะบดขยี้ทุกสิ่งลง”(10 นาที)

1. พิจารณาการใช้การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเมื่อลดเศษส่วน นักเรียนทำงานบนกระดานดำ

ลดเศษส่วน:

2. ทีนี้ลองพิจารณาการใช้การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองในการแปลงนิพจน์พีชคณิต

หนังสือเรียน. พีชคณิต 8 หน้า 126 หมายเลข 570 (ข)

ตอนนี้แสดงวิธีการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง

ด่านที่ 4

“จงตีในขณะที่เหล็กยังร้อน!”

งานอิสระ (13 นาที)

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 1

ลดเศษส่วน:

5. ฉันตระหนักว่า…….

6. ตอนนี้ฉันทำได้แล้ว…….

7. ฉันรู้สึกว่า…..

8. ฉันซื้อ….

9. ฉันเรียนรู้…….

10. ฉันทำได้แล้ว………

11.ฉันสามารถ….

12. ฉันจะพยายาม......

13. ฉันรู้สึกประหลาดใจ…..

14. เขาให้บทเรียนชีวิตแก่ฉัน….

15. ฉันต้องการ….

ข้อมูลเกี่ยวกับการบ้าน: นำการบ้านของคุณไปบทเรียนถัดไป งานอิสระซึ่งเราได้รับเมื่อสัปดาห์ที่แล้ว

ทำงานอิสระที่บ้าน

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 1

№ 560 (ก,ค) หมายเลข 560 (ข,ง)

№ 564 (ก,ค) ฉบับที่ 564(ข,ง)

№ 566 (ก) ฉบับที่ 566 (ข)

№ 569 (ก) ฉบับที่ 569 (ข)

№ 571 (ก,ค) ฉบับที่ 571 (ข,ง)

บทเรียนจบลงแล้ว

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองหมายถึง การมอบหมายงานของโรงเรียนที่ทุกคนต้องเผชิญไม่ช้าก็เร็ว ทำอย่างไร? สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองคืออะไร? ลองคิดดูทีละขั้นตอนด้วยความช่วยเหลือของตัวอย่าง

สูตรทั่วไป

ตรีโกณมิติกำลังสองถูกแยกตัวประกอบโดยการแก้สมการกำลังสอง นี่เป็นปัญหาง่ายๆ ที่สามารถแก้ไขได้หลายวิธี โดยการค้นหาส่วนจำแนกโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ก็มีวิธีแก้แบบกราฟิกเช่นกัน สองวิธีแรกมีการศึกษาในโรงเรียนมัธยมปลาย

สูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

อัลกอริทึมสำหรับการทำงานให้สำเร็จ

ในการที่จะแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง คุณจำเป็นต้องรู้ทฤษฎีบทของ Vita มีโปรแกรมแก้โจทย์อยู่ในมือ สามารถหาคำตอบแบบกราฟิกได้ หรือมองหารากของสมการระดับ 2 โดยใช้สูตรจำแนก หากให้ค่าตรีโกณมิติกำลังสองและจำเป็นต้องแยกตัวประกอบ อัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1) เปรียบเทียบนิพจน์ดั้งเดิมให้เป็นศูนย์เพื่อให้ได้สมการ

2) ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน (ถ้าจำเป็น)

3) ค้นหารากโดยใช้วิธีการใดก็ได้ที่รู้จัก วิธีกราฟิกจะใช้ดีที่สุดหากทราบล่วงหน้าว่ารากเป็นจำนวนเต็มและจำนวนน้อย ต้องจำไว้ว่าจำนวนรากเท่ากับระดับสูงสุดของสมการนั่นคือสมการกำลังสองมีสองราก

4) แทนค่า เอ็กซ์เข้าสู่การแสดงออก (1)

5) เขียนการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง

การฝึกฝนช่วยให้คุณเข้าใจในที่สุดว่างานนี้ทำอย่างไร ตัวอย่างแสดงการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

จำเป็นต้องขยายนิพจน์:

ลองใช้อัลกอริทึมของเรา:

1) x 2 -17x+32=0

2) ข้อกำหนดที่คล้ายกันลดลง

3) เมื่อใช้สูตรของ Vieta เป็นการยากที่จะหารากสำหรับตัวอย่างนี้ ดังนั้นจึงควรใช้นิพจน์สำหรับการเลือกปฏิบัติ:

ส=289-128=161=(12.69) 2

4) ลองแทนที่รากที่เราพบเป็นสูตรพื้นฐานสำหรับการสลายตัว:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) จากนั้นคำตอบจะเป็นดังนี้:

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

ตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาที่พบโดยผู้จำแนกประเภทนั้นสอดคล้องกับสูตร Vieta หรือไม่:

14,845 . 2,155=32

สำหรับรากเหล่านี้ ทฤษฎีบทของเวียตาถูกนำมาใช้ ซึ่งพบว่าถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าการแยกตัวประกอบที่เราได้รับก็ถูกต้องเช่นกัน

ในทำนองเดียวกัน เราขยาย 12x 2 + 7x-6

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

ในกรณีก่อนหน้านี้ ผลเฉลยไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนจริง ซึ่งหาได้ง่ายถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขอยู่ตรงหน้า ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งรากจะซับซ้อน: ตัวประกอบ x 2 + 4x + 9 เมื่อใช้สูตรของเวียตา จะไม่สามารถหารากได้ และค่าแบ่งแยกจะเป็นค่าลบ รากจะอยู่บนระนาบเชิงซ้อน

ด=-20

จากนี้ เราได้รากที่เราสนใจ -4+2i*5 1/2 และ -4-2i * 5 1/2 ตั้งแต่ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

เราได้รับการสลายตัวที่ต้องการโดยการแทนที่รากลงในสูตรทั่วไป

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คุณต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ 23x 2 -14x+7

เรามีสมการ 23x 2 -14x+7 =0

ด=-448

ซึ่งหมายความว่ารากคือ 14+21.166i และ 14-21.166ก. คำตอบจะเป็น:

23x 2 -14x+7 =23(เอ็กซ์- 14-21,166i )*(เอ็กซ์- 14+21,166i ).

ให้เรายกตัวอย่างที่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องอาศัยความช่วยเหลือจากผู้เลือกปฏิบัติ

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องย่อยสลาย สมการกำลังสอง x 2 -32x+255. แน่นอนว่าสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก แต่ในกรณีนี้ การค้นหารากจะเร็วกว่า

x 1 = 15

x 2 = 17

วิธี x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17)

โลกกำลังจมอยู่ใน จำนวนมากตัวเลข การคำนวณใด ๆ เกิดขึ้นได้ด้วยความช่วยเหลือ

ผู้คนเรียนรู้ตัวเลขเพื่อหลีกเลี่ยงการถูกหลอกในชีวิตบั้นปลาย ต้องใช้เวลาอย่างมากในการศึกษาและกำหนดงบประมาณของคุณเอง

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนที่มีบทบาทสำคัญในชีวิต ที่โรงเรียน เด็กๆ ศึกษาตัวเลข แล้วจึงลงมือทำ

การดำเนินการกับตัวเลขแตกต่างอย่างสิ้นเชิง: การคูณ การขยาย การบวก และอื่นๆ นอกจากสูตรง่ายๆ แล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ยังใช้การกระทำที่ซับซ้อนกว่าอีกด้วย มีสูตรจำนวนมากที่สามารถใช้ค้นหาค่าต่างๆ ได้

ที่โรงเรียน ทันทีที่พีชคณิตปรากฏขึ้น สูตรลดความซับซ้อนจะถูกเพิ่มเข้าไปในชีวิตของนักเรียน มีสมการที่มีตัวเลขที่ไม่รู้จักสองตัวแต่จงหา ด้วยวิธีง่ายๆมันจะไม่ทำงาน trinomial คือการรวมกันของสาม monomials ที่ใช้ วิธีการง่ายๆการลบและการบวก ตรีโกณมิติแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและค่าแบ่งแยก

สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

มีสองที่ถูกต้องและ โซลูชั่นง่ายๆตัวอย่าง:

• เลือกปฏิบัติ;
• ทฤษฎีบทของเวียตตา

ตรีโกณมิติกำลังสองจะมีค่ากำลังสองที่ไม่ทราบค่าและมีตัวเลขที่ไม่มีกำลังสองด้วย ตัวเลือกแรกในการแก้ปัญหาใช้สูตรของ Vieta มันเป็นสูตรง่ายๆหากตัวเลขที่อยู่นำหน้าค่าที่ไม่รู้จักจะเป็นค่าต่ำสุด

สำหรับสมการอื่นๆ ที่มีตัวเลขอยู่หน้าค่าที่ไม่ทราบ จะต้องแก้สมการโดยใช้ตัวจำแนก นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่า แต่การแบ่งแยกนั้นถูกใช้บ่อยกว่าทฤษฎีบทของเวียตามาก

ขั้นแรก หากต้องการค้นหาตัวแปรทั้งหมดของสมการ จำเป็นต้องยกตัวอย่างให้เป็น 0 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของตัวอย่างได้ และคุณจะพบว่าตัวเลขได้รับการปรับอย่างถูกต้องหรือไม่

เลือกปฏิบัติ

1. จำเป็นต้องทำให้สมการเท่ากับ 0

2. เลขแต่ละตัวก่อน x จะเรียกว่าเลข a, b, c เนื่องจากไม่มีตัวเลขอยู่หน้าสี่เหลี่ยม x แรก จึงเท่ากับ 1

3. ตอนนี้การแก้สมการเริ่มต้นจากการแบ่งแยก:

4. ตอนนี้เราพบสิ่งที่จำแนกแล้วและพบ x สองอัน ข้อแตกต่างคือในกรณีหนึ่ง b จะนำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก และอีกกรณีหนึ่งด้วยเครื่องหมายลบ:

5. เมื่อแก้ตัวเลขสองตัวได้ผลลัพธ์คือ -2 และ -1 แทนลงในสมการดั้งเดิม:

6. ในตัวอย่างนี้ ปรากฎว่ามีสองอัน ตัวเลือกที่ถูกต้อง- หากทั้งสองคำตอบเหมาะสม แสดงว่าคำตอบแต่ละข้อเป็นจริง

สมการที่ซับซ้อนมากขึ้นก็แก้ได้โดยใช้การแบ่งแยกเช่นกัน แต่ถ้าค่าจำแนกตัวเองน้อยกว่า 0 แสดงว่าตัวอย่างไม่ถูกต้อง เมื่อค้นหา discriminant จะอยู่ที่รากเสมอ และค่าลบไม่สามารถอยู่ที่รากได้

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ใช้เพื่อแก้ปัญหาง่ายๆ โดยที่ x ตัวแรกไม่นำหน้าด้วยตัวเลข นั่นคือ a=1 หากตัวเลือกตรงกัน การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

เพื่อแก้โจทย์ตรีโกณมิติใดๆจำเป็นต้องเพิ่มสมการให้เป็น 0 ขั้นตอนแรกของทฤษฎีบทจำแนกและเวียตนามไม่แตกต่างกัน

2. ตอนนี้ความแตกต่างระหว่างทั้งสองวิธีเริ่มต้นขึ้นแล้ว ทฤษฎีบทของ Vieta ไม่เพียงแต่ใช้การคำนวณแบบ "แห้ง" เท่านั้น แต่ยังใช้ตรรกะและสัญชาตญาณด้วย แต่ละหมายเลขมีตัวอักษร a, b, c ของตัวเอง ทฤษฎีบทนี้ใช้ผลรวมและผลคูณของตัวเลขสองตัว

จดจำ! เมื่อบวกเลข b จะมีเครื่องหมายตรงกันข้ามเสมอ แต่เลข c ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง!

การแทนที่ค่าข้อมูลในตัวอย่าง , เราได้รับ:

3. ใช้วิธีลอจิกแทนตัวเลขที่เหมาะสมที่สุด พิจารณาตัวเลือกโซลูชันทั้งหมด:

1. ตัวเลขคือ 1 และ 2 เมื่อบวกแล้วจะได้ 3 แต่ถ้าเราคูณเราจะไม่ได้ 4 มันไม่เข้ากัน
2. ค่า 2 และ -2 เมื่อคูณแล้วจะได้ -4 แต่เมื่อบวกแล้วกลับกลายเป็น 0 ไม่เหมาะ
3. หมายเลข 4 และ -1 เนื่องจากการคูณเกี่ยวข้องกับค่าลบ หมายความว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นลบ เหมาะสำหรับการเพิ่มและคูณ ตัวเลือกที่ถูกต้อง

4. สิ่งที่เหลืออยู่คือการตรวจสอบโดยวางตัวเลขและดูว่าตัวเลือกที่เลือกนั้นถูกต้องหรือไม่

5. ต้องขอบคุณการตรวจสอบออนไลน์ เราได้เรียนรู้ว่า -1 ไม่ตรงตามเงื่อนไขของตัวอย่าง ดังนั้นจึงเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง

เมื่อเพิ่มค่าลบในตัวอย่าง คุณต้องใส่ตัวเลขไว้ในวงเล็บ

วิชาคณิตศาสตร์จะมีอยู่เสมอ งานง่ายๆและซับซ้อน วิทยาศาสตร์เองก็ประกอบด้วยปัญหา ทฤษฎีบท และสูตรที่หลากหลาย หากคุณเข้าใจและใช้ความรู้อย่างถูกต้อง ปัญหาในการคำนวณก็ไม่สำคัญ

คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องท่องจำอย่างต่อเนื่อง คุณต้องเรียนรู้ที่จะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาและเรียนรู้สูตรต่างๆ ตามข้อสรุปเชิงตรรกะค่อยๆเป็นไปได้ที่จะแก้ไขปัญหาและสมการที่คล้ายกัน วิทยาศาสตร์ดังกล่าวอาจดูเป็นเรื่องยากมากเมื่อมองแวบแรก แต่ถ้าใครดำดิ่งสู่โลกแห่งตัวเลขและปัญหา มุมมองก็จะเปลี่ยนไปอย่างมากใน ด้านที่ดีกว่า.

ความเชี่ยวชาญด้านเทคนิคยังคงเป็นที่ต้องการมากที่สุดในโลกเสมอ ตอนนี้ในโลก เทคโนโลยีที่ทันสมัยคณิตศาสตร์ได้กลายเป็นคุณลักษณะที่ขาดไม่ได้ในทุกสาขาวิชา เราต้องจำไว้เสมอ คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์คณิตศาสตร์.

การขยายตรีโกณมิติโดยใช้วงเล็บ

นอกเหนือจากการแก้ไขวิธีการปกติแล้วยังมีอีกวิธีหนึ่งคือการสลายตัวเป็นวงเล็บ ใช้สูตรเวียต้า

1. จัดให้สมการเท่ากับ 0

ขวาน 2 +บเอ็กซ์+ค= 0

2. รากของสมการยังคงเหมือนเดิม แต่แทนที่จะเป็นศูนย์ ตอนนี้ใช้สูตรการขยายในวงเล็บ

ขวาน 2 + bx+ ค = ก (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. ผลเฉลย x=-1, x=3

ตัวอย่างที่ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

สารละลาย

เราเอา x ออกมา 2 นอกวงเล็บ:
.
2 + x - 6 = 0:
.
รากของสมการ:
, .

.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 1.2

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

สารละลาย

ลองเอา x ออกจากวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 + 6 x + 9 = 0:
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกเป็นศูนย์ รากของสมการจึงเป็นทวีคูณ: ;
.

จากนี้เราจะได้การแยกตัวประกอบของพหุนาม:
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 1.3

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่ 5:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

สารละลาย

เราเอา x ออกมา 3 นอกวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 - 2 x + 10 = 0.
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ รากของสมการจึงซับซ้อน: ;
, .

การแยกตัวประกอบของพหุนามมีรูปแบบ:
.

หากเราสนใจการแยกตัวประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จริง:
.

คำตอบ

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่มีพหุนามกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 2.1

แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง:
x 4 + x 2 - 20.

สารละลาย

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข).

;
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2.2

แยกตัวประกอบพหุนามที่ลดเป็นกำลังสอง:
x 8 + x 4 + 1.

สารละลาย

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข):

;

;
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2.3 กับพหุนามที่เกิดซ้ำ

แยกตัวประกอบพหุนามส่วนกลับ:
.

สารละลาย

พหุนามส่วนกลับมีดีกรีคี่ จึงมีราก x = - 1 - หารพหุนามด้วย x - (-1) = x + 1- เป็นผลให้เราได้รับ:
.
มาทำการทดแทนกัน:
, ;
;


;
.

คำตอบ

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีรากจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 3.1

แยกตัวประกอบพหุนาม:
.

สารละลาย

สมมุติว่าสมการนี้

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

ดังนั้นเราจึงพบรากสามประการ:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
เนื่องจากพหุนามดั้งเดิมมีดีกรีสาม จึงไม่มีรากเกินสามราก เนื่องจากเราพบรากสามอัน จึงเป็นเรื่องง่าย แล้ว
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 3.2

แยกตัวประกอบพหุนาม:
.

สารละลาย

สมมุติว่าสมการนี้

มีรากทั้งหมดอย่างน้อยหนึ่งอัน แล้วมันก็เป็นตัวหารของจำนวน 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรูททั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
-2, -1, 1, 2 .
เราแทนที่ค่าเหล่านี้ทีละค่า:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
ถ้าเราสมมุติว่าสมการนี้มีรากของจำนวนเต็ม สมการนั้นจะเป็นตัวหารของตัวเลข 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรูททั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
1, 2, -1, -2 .
แทน x = ได้เลย -1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบราก x อีกอันหนึ่ง 2 = -1 - อาจเป็นไปได้ที่จะหารพหุนามด้วย ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ แต่เราจะจัดกลุ่มคำศัพท์:
.

เนื่องจากสมการ x 2 + 2 = 0 ไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้นการแยกตัวประกอบของพหุนามจะมีรูปแบบ