การแก้สมการทั้งหมด สมการเศษส่วน

ในบทความนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเจ็ดประเภทซึ่งสามารถลดให้เป็นกำลังสองได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร ในกรณีส่วนใหญ่ การเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่การทดแทนนั้นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย และเป็นการยากที่จะเดาด้วยตัวเอง

สำหรับสมการแต่ละประเภท ผมจะอธิบายวิธีเปลี่ยนแปลงตัวแปรในสมการนั้น จากนั้นจึงแสดงวิธีแก้ไขโดยละเอียดในวิดีโอสอนที่เกี่ยวข้อง

คุณมีโอกาสที่จะแก้สมการต่อไปด้วยตนเอง จากนั้นตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยบทเรียนวิดีโอ

มาเริ่มกันเลย

1 - (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

โปรดทราบว่าทางด้านซ้ายของสมการมีผลคูณของวงเล็บสี่วงเล็บ และทางด้านขวาจะมีตัวเลข

1. ลองจัดกลุ่มวงเล็บเป็นสองเพื่อให้ผลรวมของพจน์อิสระเท่ากัน

2. คูณพวกมัน

3. เรามาแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรกัน

ในสมการของเรา เราจะจัดกลุ่มวงเล็บแรกเข้ากับวงเล็บที่สาม และวงเล็บเหลี่ยมที่สองกับวงเล็บที่สี่ เนื่องจาก (-1)+(-4)=(-7)+2:

ณ จุดนี้ การแทนที่ตัวแปรจะชัดเจน:

เราได้สมการ

คำตอบ:

2 .

สมการประเภทนี้คล้ายกับสมการก่อนหน้าโดยมีความแตกต่างอย่างหนึ่ง: ทางด้านขวาของสมการคือผลคูณของตัวเลข และ และได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง:

1. เราจัดกลุ่มวงเล็บเป็นสองเพื่อให้ผลคูณของเงื่อนไขอิสระเหมือนกัน

2. คูณวงเล็บแต่ละคู่

3. เรานำ x ออกจากตัวประกอบแต่ละตัว

4. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย .

5. เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร

ในสมการนี้ เราจัดกลุ่มวงเล็บแรกเข้ากับวงเล็บที่สี่ และวงเล็บที่สองกับวงเล็บที่สาม เนื่องจาก:

โปรดทราบว่าในแต่ละวงเล็บ ค่าสัมประสิทธิ์ at และเทอมอิสระจะเท่ากัน ลองแยกตัวประกอบออกจากแต่ละวงเล็บ:

เนื่องจาก x=0 ไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม เราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เราได้รับ:

เราได้รับสมการ:

คำตอบ:

3 .

โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองมีตรีนามกำลังสอง ซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าและพจน์อิสระเท่ากัน ให้เราเอา x ออกจากวงเล็บ เหมือนในสมการประเภทที่สอง เราได้รับ:

หารทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วย x:

ตอนนี้เราสามารถแนะนำการแทนที่ตัวแปรได้:

เราได้รับสมการสำหรับตัวแปร t:

4 .

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับค่าที่อยู่ตรงกลาง สมการนี้เรียกว่า ส่งคืนได้ .

เพื่อแก้ปัญหานั้น

1. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย (เราทำได้เนื่องจาก x=0 ไม่ใช่รากของสมการ) เราได้:

2. มาจัดกลุ่มคำศัพท์ในลักษณะนี้:

3. ในแต่ละกลุ่ม ให้นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

4. มาแนะนำการเปลี่ยน:

5. แสดงผ่านนิพจน์:

จากที่นี่

เราได้สมการสำหรับ t:

คำตอบ:

5. สมการเอกพันธ์

สมการที่มีโครงสร้างเป็นเนื้อเดียวกันสามารถพบได้เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และตรีโกณมิติ ดังนั้นคุณจึงต้องสามารถจดจำสมการได้

สมการเอกพันธ์มีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

ในความเท่าเทียมกันนี้ A, B และ C คือตัวเลข และสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลมแสดงถึงนิพจน์ที่เหมือนกัน นั่นคือ ทางด้านซ้ายของสมการเอกพันธ์มีผลรวมของ monomials ที่มีดีกรีเท่ากัน (ในกรณีนี้ ระดับของ monomials คือ 2) และไม่มีพจน์อิสระ

เพื่อตัดสินใจ สมการเอกพันธ์, หารทั้งสองข้างด้วย

ความสนใจ! เมื่อแบ่งด้านขวาและด้านซ้ายของสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่ทราบค่า คุณอาจสูญเสียรากได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากของนิพจน์ที่เราหารทั้งสองข้างของสมการนั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

ไปทางแรกกันเลย เราได้รับสมการ:

ตอนนี้เราขอแนะนำการแทนที่ตัวแปร:

ให้เราลดความซับซ้อนของนิพจน์และรับสมการกำลังสองสำหรับ t:

คำตอบ:หรือ

7 .

สมการนี้มีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณจะต้องเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ทางด้านซ้ายของสมการ

หากต้องการเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็ม คุณต้องเพิ่มหรือลบผลคูณสองเท่า จากนั้นเราจะได้กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการแทนที่ตัวแปรได้สำเร็จ

เริ่มต้นด้วยการค้นหาผลิตภัณฑ์สองเท่า นี่จะเป็นกุญแจสำคัญในการแทนที่ตัวแปร ในสมการของเรา ผลคูณสองเท่าจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูกันว่าอะไรจะสะดวกกว่าสำหรับเรา - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง ก่อนอื่นมาพิจารณาผลรวมของนิพจน์:

ยอดเยี่ยม! นิพจน์นี้เท่ากับสองเท่าของผลคูณทุกประการ จากนั้น เพื่อที่จะได้กำลังสองของผลรวมในวงเล็บ คุณต้องบวกและลบผลคูณสองเท่า:

ก่อนอื่น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีทำงานกับเศษส่วนตรรกยะโดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจำเป็นต้องเรียนรู้สูตรการคูณแบบย่อ และการเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องง่าย - จำเป็นต้องจดจำแม้ว่าบทบาทของคำศัพท์จะเป็นไซน์ ลอการิทึม และรากก็ตาม

อย่างไรก็ตาม เครื่องมือหลักยังคงเป็นการแยกตัวประกอบของเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ สามารถทำได้สามวิธี:

1. จริงๆ แล้ว ตามสูตรการคูณแบบย่อ จะทำให้คุณสามารถยุบพหุนามให้เป็นตัวประกอบได้ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป
2. การใช้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองผ่านการแยกแยะ วิธีการเดียวกันนี้ทำให้สามารถยืนยันได้ว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติใดๆ ได้เลย
3. วิธีการจัดกลุ่มเป็นเครื่องมือที่ซับซ้อนที่สุด แต่เป็นวิธีเดียวที่จะได้ผลหากสองวิธีก่อนหน้านี้ไม่ได้ผล

ตามที่คุณอาจเดาได้จากชื่อวิดีโอนี้ เราจะพูดถึงเศษส่วนตรรกยะอีกครั้ง เมื่อไม่กี่นาทีที่แล้ว ฉันเรียนบทเรียนกับนักเรียนเกรด 11 จบ และเราได้วิเคราะห์สำนวนเหล่านี้อย่างชัดเจนที่นั่น นั่นเป็นเหตุผล บทเรียนนี้จะมีไว้สำหรับนักเรียนมัธยมปลายโดยเฉพาะ

ตอนนี้หลายคนคงมีคำถาม: “ทำไมนักเรียนเกรด 10-11 จึงควรศึกษาเรื่องง่ายๆ เช่น เศษส่วนตรรกยะ เพราะสิ่งนี้สอนในเกรด 8” แต่ปัญหาคือคนส่วนใหญ่ "ผ่าน" หัวข้อนี้ไป ในเกรด 10-11 พวกเขาจำไม่ได้แล้วว่าต้องคูณ หาร ลบ และบวกอย่างไร เศษส่วนตรรกยะตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 และด้วยความรู้ง่ายๆ นี้เองที่ได้สร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น การแก้ลอการิทึม สมการตรีโกณมิติ และนิพจน์ที่ซับซ้อนอื่น ๆ อีกมากมาย ดังนั้นจึงแทบไม่มีอะไรต้องทำเลยหากไม่มีเศษส่วนตรรกยะในโรงเรียนมัธยม

สูตรการแก้ปัญหา

มาทำธุรกิจกันเถอะ ก่อนอื่น เราต้องการข้อเท็จจริงสองประการ - สูตรสองชุด ก่อนอื่น คุณต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อ:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — ผลต่างของกำลังสอง;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ คือกำลังสองของผลรวมหรือส่วนต่าง ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ คือผลรวมของลูกบาศก์
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ คือผลต่างของลูกบาศก์

ไม่พบพวกมันในรูปแบบที่บริสุทธิ์ในตัวอย่างใด ๆ หรือในการแสดงออกที่จริงจังอย่างแท้จริง ดังนั้น งานของเราคือการเรียนรู้ที่จะเห็นโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นภายใต้ตัวอักษร $a$ และ $b$ เช่น ลอการิทึม ราก ไซน์ ฯลฯ คุณสามารถเรียนรู้ที่จะเห็นสิ่งนี้ได้ผ่านการฝึกฝนอย่างต่อเนื่องเท่านั้น นี่คือเหตุผลว่าทำไมการแก้เศษส่วนตรรกยะจึงมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สูตรที่สองที่ชัดเจนคือการสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ เป็นราก

เราได้จัดการกับส่วนทางทฤษฎีแล้ว แต่จะแก้เศษส่วนตรรกยะจริงซึ่งครอบคลุมอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ได้อย่างไร? ตอนนี้เราจะฝึก

ภารกิจที่ 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

ลองใช้สูตรข้างต้นเพื่อแก้เศษส่วนตรรกยะ ก่อนอื่น ผมอยากอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องแยกตัวประกอบเลย ความจริงก็คือเมื่อมองแวบแรกในส่วนแรกของงาน คุณต้องการลดลูกบาศก์ด้วยกำลังสอง แต่สิ่งนี้เป็นสิ่งต้องห้ามอย่างเคร่งครัด เนื่องจากเป็นเงื่อนไขในตัวเศษและตัวส่วน แต่ไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นปัจจัย

ย่อมาจากอะไรกันแน่? การลดลงคือการใช้กฎพื้นฐานในการทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสมบัติหลักของเศษส่วนคือเราสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันนอกเหนือจาก "ศูนย์" ในกรณีนี้ เมื่อเราลด ในทางกลับกัน เราก็หารด้วยจำนวนเดียวกัน ซึ่งต่างจาก "ศูนย์" อย่างไรก็ตาม เราต้องหารพจน์ทั้งหมดในตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และเรามีสิทธิ์ลดตัวเศษด้วยตัวส่วนก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งคู่แล้ว. มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ตอนนี้คุณต้องดูว่ามีกี่พจน์ในองค์ประกอบหนึ่งๆ แล้วดูว่าจะใช้สูตรใด

มาแปลงแต่ละนิพจน์ให้เป็นคิวบ์ที่แน่นอน:

ลองเขียนตัวเศษใหม่:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\ซ้าย (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

มาดูตัวส่วนกัน. ลองขยายมันโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ ขวา)\]

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่สองของนิพจน์กัน:

เศษ:

มันยังคงต้องหาตัวส่วน:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

มาเขียนโครงสร้างทั้งหมดใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

ความแตกต่างของการคูณเศษส่วนตรรกยะ

ข้อสรุปที่สำคัญจากการก่อสร้างเหล่านี้คือ:

• ไม่ใช่ทุกพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบได้
• แม้ว่าจะสลายตัวไปแล้ว แต่คุณต้องดูอย่างละเอียดว่าสูตรการคูณแบบย่อคืออะไร

ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรก เราต้องประมาณว่ามีพจน์อยู่กี่พจน์ (หากมีสองพจน์ สิ่งที่เราทำได้คือขยายพจน์ด้วยผลรวมของผลต่างของกำลังสอง หรือด้วยผลรวมหรือผลต่างของลูกบาศก์ และถ้า มีสามค่า ดังนั้นนี่ โดยไม่ซ้ำกัน ไม่ว่าจะเป็นกำลังสองของผลรวมหรือกำลังสองของผลต่าง) มันมักจะเกิดขึ้นที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบเลย อาจเป็นเส้นตรง หรือตัวแบ่งแยกของมันจะเป็นลบ

ปัญหาหมายเลข 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

โดยทั่วไปแผนการแก้ปัญหานี้ไม่แตกต่างจากครั้งก่อน - จะมีการดำเนินการมากขึ้นและจะมีความหลากหลายมากขึ้น

เริ่มจากเศษส่วนแรกกันก่อน: ดูตัวเศษแล้วทำการแปลงที่เป็นไปได้:

ตอนนี้เรามาดูตัวส่วนกัน:

ด้วยเศษส่วนที่สอง: ไม่สามารถทำอะไรได้เลยในตัวเศษ เนื่องจากมันเป็นนิพจน์เชิงเส้น และเป็นไปไม่ได้ที่จะลบตัวประกอบใดๆ ออกจากมัน ลองดูตัวส่วน:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

ไปที่เศษส่วนที่สามกัน. เศษ:

ลองดูตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

มาเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \ขวา))\]

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

อย่างที่คุณเห็น ไม่ใช่ทุกอย่างและไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตรการคูณแบบย่อเสมอไป - บางครั้งก็เพียงพอที่จะใส่ค่าคงที่หรือตัวแปรออกจากวงเล็บ อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เกิดขึ้นเช่นกัน เมื่อมีคำศัพท์มากมายหรือถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทำให้สูตรการคูณแบบย่อโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ ในกรณีนี้เราใช้เครื่องมือสากลมาช่วย กล่าวคือ วิธีการจัดกลุ่ม นี่คือสิ่งที่เราจะนำไปใช้ในปัญหาถัดไป

ปัญหาหมายเลข 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

มาดูส่วนแรกกัน:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\ขวา)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

มาเขียนนิพจน์ดั้งเดิมใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (ข)^(2))+25-10a)(((ก)^(2))-((b)^(2)))\]

ตอนนี้เรามาดูวงเล็บที่สอง:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \ขวา)\]

เนื่องจากไม่สามารถจัดกลุ่มสององค์ประกอบได้ เราจึงจัดกลุ่มสามรายการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

ตอนนี้เรามาเขียนโครงสร้างทั้งหมดของเราใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีอะไรสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ที่นี่

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เราหาการจัดกลุ่มได้และได้รับเครื่องมืออันทรงพลังอีกอย่างหนึ่งที่ขยายขีดความสามารถของการแยกตัวประกอบ แต่ปัญหาอยู่ที่ว่าใน ชีวิตจริงไม่มีใครยกตัวอย่างที่ละเอียดกว่านี้ให้เราได้ โดยที่มีเศษส่วนหลายตัวที่คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน แล้วถ้าเป็นไปได้ ให้ลดขนาดลง การแสดงออกที่แท้จริงจะซับซ้อนกว่านี้มาก

เป็นไปได้มากว่านอกเหนือจากการคูณและการหารแล้วจะมีการลบและการบวกวงเล็บทุกประเภทโดยทั่วไปคุณจะต้องคำนึงถึงลำดับของการกระทำด้วย แต่ที่แย่ที่สุดคือเวลาลบบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันพวกเขาจะต้องถูกลดทอนให้เหลือสิ่งเดียวทั่วไป ในการทำเช่นนี้ แต่ละรายการจะต้องถูกแยกตัวประกอบ จากนั้นจึงแปลงเศษส่วนเหล่านี้: ให้เศษส่วนที่คล้ายกันและอีกมากมาย ทำอย่างไรให้ถูกต้อง รวดเร็ว และในขณะเดียวกันก็ได้คำตอบที่ถูกต้องชัดเจน? นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงตอนนี้โดยใช้โครงสร้างต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

ปัญหาหมายเลข 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \ขวา)\]

ลองเขียนเศษส่วนแรกแล้วลองแยกกัน:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

มาดูวินาทีกันต่อ มาคำนวณการแบ่งแยกของตัวส่วนทันที:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นเราจึงเขียนดังนี้:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

เราจะเขียนตัวเศษแยกกัน:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

ด้วยเหตุนี้ พหุนามนี้จึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

เราได้ทำเต็มที่เท่าที่เราจะทำได้และย่อยสลายแล้ว

ดังนั้นเราจึงเขียนโครงสร้างเดิมของเราใหม่และได้รับ:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

พูดตามตรง มันไม่ใช่งานยากเลย ทุกอย่างแยกตัวประกอบได้ง่าย เงื่อนไขที่คล้ายกันลดลงอย่างรวดเร็ว และทุกอย่างก็ลดลงอย่างสวยงาม ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้กันดีกว่า

ปัญหาหมายเลข 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

ก่อนอื่นมาจัดการกับวงเล็บแรกกันก่อน จากจุดเริ่มต้น เราจะแยกตัวประกอบของเศษส่วนที่สองออกจากกัน:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ทีนี้มาทำงานกับเศษส่วนที่สองกันดีกว่า:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ ซ้าย(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและเขียนว่า:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

ประเด็นสำคัญ

ข้อเท็จจริงสำคัญของบทเรียนวิดีโอวันนี้อีกครั้ง:

1. คุณจำเป็นต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อด้วยใจจริง ไม่ใช่แค่รู้ แต่ต้องสามารถเห็นสำนวนที่คุณจะพบในปัญหาจริงด้วย กฎที่ยอดเยี่ยมสามารถช่วยเราได้: หากมีพจน์สองพจน์ แสดงว่าเป็นผลต่างของกำลังสอง หรือผลต่างหรือผลรวมของลูกบาศก์ ถ้าเป็นสาม ก็อาจเป็นได้เพียงกำลังสองของผลรวมหรือผลต่างเท่านั้น
2. ถ้าโครงสร้างใดๆ ไม่สามารถขยายโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อได้ เราก็จะใช้สูตรมาตรฐานสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติหรือวิธีจัดกลุ่มก็ได้
3. หากมีบางอย่างไม่ได้ผล ให้ดูที่นิพจน์ต้นฉบับอย่างละเอียดเพื่อดูว่าจำเป็นต้องมีการแปลงใดๆ หรือไม่ บางทีแค่เอาตัวประกอบออกจากวงเล็บก็เพียงพอแล้ว และนี่มักจะเป็นเพียงค่าคงที่
4. ในนิพจน์ที่ซับซ้อนที่คุณต้องดำเนินการหลายอย่างติดต่อกันอย่าลืมส่งผลด้วย ตัวส่วนร่วมและหลังจากนั้น เมื่อเศษส่วนทั้งหมดถูกลดขนาดลงแล้ว อย่าลืมนำค่าเดียวกันนั้นมาในตัวเศษใหม่ แล้วแยกตัวประกอบตัวเศษใหม่อีกครั้ง - บางทีอาจมีบางอย่างลดลง

นั่นคือทั้งหมดที่ผมอยากบอกคุณวันนี้เกี่ยวกับเศษส่วนตรรกยะ หากบางอย่างไม่ชัดเจน ก็ยังมีวิดีโอบทช่วยสอนมากมายบนเว็บไซต์ รวมถึงงานอื่นๆ มากมาย การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- ดังนั้นคอยติดตาม!

พูดง่ายๆ ก็คือสมการเหล่านี้ซึ่งมีตัวแปรในตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

ตัวอย่าง ไม่ สมการตรรกยะเศษส่วน:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

สมการตรรกยะเศษส่วนแก้ได้อย่างไร?

สิ่งสำคัญที่ต้องจำเกี่ยวกับสมการตรรกยะเศษส่วนคือคุณต้องเขียนลงไป และหลังจากพบรากแล้ว อย่าลืมตรวจสอบเพื่อยอมรับได้ มิฉะนั้นอาจเกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องและการตัดสินใจทั้งหมดจะถือว่าไม่ถูกต้อง

อัลกอริธึมการแก้ปัญหาแบบเศษส่วน สมการตรรกยะ:

จดบันทึกและ “แก้ไข” ODZ

คูณแต่ละพจน์ในสมการด้วยตัวส่วนร่วมแล้วลบเศษส่วนที่ได้ ตัวส่วนจะหายไป

เขียนสมการโดยไม่ต้องเปิดวงเล็บ

แก้สมการผลลัพธ์

ตรวจสอบรากที่พบด้วย ODZ

เขียนคำตอบของคุณถึงรากที่ผ่านการทดสอบในขั้นตอนที่ 7

ไม่ต้องจำอัลกอริธึม สมการที่แก้ได้ 3-5 ข้อแล้วมันจะจำเอง

ตัวอย่าง - แก้สมการตรรกยะเศษส่วน \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

สารละลาย:

คำตอบ: \(3\).

ตัวอย่าง - ค้นหารากของสมการเศษส่วน \(=0\)

สารละลาย:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		เราจดบันทึกและ "แก้ไข" ODZ เราขยาย \(x^2+7x+10\) ตามสูตร: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) โชคดีที่เราพบ \(x_1\) และ \(x_2\) แล้ว
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		แน่นอนว่า ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนคือ \((x+2)(x+5)\) เราคูณสมการทั้งหมดด้วยมัน
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		การลดเศษส่วน
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		การเปิดวงเล็บ
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
\(2x^2+9x-5=0\)		การหารากของสมการ
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		รากหนึ่งไม่ตรงกับ ODZ ดังนั้นเราจึงเขียนเฉพาะรากที่สองในคำตอบ

คำตอบ: \(\frac(1)(2)\)

การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

คู่มืออ้างอิง

สมการตรรกยะคือสมการที่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ที่เป็นตรรกยะ

(โปรดจำไว้ว่า: นิพจน์ตรรกยะคือนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วนที่ไม่มีราก รวมถึงการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ หรือการหาร เช่น 6x; (m – n)2; x/3y เป็นต้น)

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะลดลงเป็นรูปแบบ:

ที่ไหน ป(x) และ ถาม(x) เป็นพหุนาม

ในการแก้สมการดังกล่าว ให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย Q(x) ซึ่งสามารถทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องได้ ดังนั้นเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วนจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่พบ

สมการตรรกยะเรียกว่าทั้งหมดหรือพีชคณิต หากไม่ได้หารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร

ตัวอย่างของสมการตรรกยะทั้งหมด:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

หากในสมการตรรกยะมีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (x) สมการนั้นเรียกว่าตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างสมการตรรกยะเศษส่วน:

15
x + - = 5x – 17
x

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะแก้ได้ดังนี้:

1) ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย

2) แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด;

3) แยกสิ่งที่ลดตัวส่วนร่วมของเศษส่วนออกจากรากของมัน

ตัวอย่างการแก้สมการจำนวนเต็มและสมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 ลองแก้สมการทั้งหมดกัน

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

สารละลาย:

การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นี่คือ 6 หาร 6 ด้วยตัวส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเศษของแต่ละเศษส่วน เราได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสิ่งนี้:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

เนื่องจากด้านซ้ายและด้านขวามีตัวส่วนเท่ากัน จึงสามารถละเว้นได้ จากนั้นเราจะได้สมการที่ง่ายกว่า:

3(x – 1) + 4x = 5x

เราแก้ไขมันโดยการเปิดวงเล็บและรวมคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

การหาตัวส่วนร่วม นี่คือ x(x – 5) ดังนั้น:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

ทีนี้ เรากำจัดตัวส่วนออกอีกครั้ง เพราะมันเหมือนกันทุกนิพจน์. เราลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ถือสมการให้เป็นศูนย์และรับสมการกำลังสอง:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0

หลังจากแก้สมการกำลังสองแล้ว เราก็พบรากของมัน: –2 และ 5

ลองตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

ที่ x = –2 ตัวส่วนร่วม x(x – 5) จะไม่หายไป ซึ่งหมายความว่า –2 คือรากของสมการดั้งเดิม

ที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์ และสองในสามนิพจน์นั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าเลข 5 ไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ: x = –2

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

คำตอบ: -2,2;6.

ตัวอย่างที่ 2

เรามาพูดถึงกันต่อ การแก้สมการ- ในบทความนี้เราจะลงรายละเอียดเกี่ยวกับ สมการตรรกยะและหลักการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรตัวเดียว ขั้นแรก เรามาดูกันว่าสมการประเภทใดที่เรียกว่าตรรกยะ ให้คำจำกัดความของสมการตรรกยะตรรกยะทั้งหมดและสมการตรรกยะเศษส่วน และยกตัวอย่าง ต่อไป เราจะได้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ และแน่นอน เราจะพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมด

การนำทางหน้า

จากคำจำกัดความที่ระบุไว้ เราจะยกตัวอย่างสมการตรรกยะหลายตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ล้วนเป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

จากตัวอย่างที่แสดง เห็นได้ชัดว่าสมการตรรกยะและสมการประเภทอื่นสามารถมีตัวแปรตัวเดียวหรือสอง สาม ฯลฯ ได้ ตัวแปร ในย่อหน้าต่อไปนี้ เราจะพูดถึงการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรตัวเดียว การแก้สมการในสองตัวแปรและจำนวนมากของพวกเขาสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ

นอกจากการหารสมการตรรกยะด้วยจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักแล้ว ยังแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนอีกด้วย ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

สมการตรรกยะเรียกว่า ทั้งหมดถ้าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม

คำนิยาม.

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งส่วนของสมการตรรกยะเป็น การแสดงออกที่เป็นเศษส่วนแล้วสมการนี้จึงถูกเรียกว่า มีเหตุผลเป็นเศษส่วน(หรือตรรกยะเศษส่วน)

เห็นได้ชัดว่าสมการทั้งหมดไม่มีการหารด้วยตัวแปร ในทางกลับกัน สมการตรรกยะเศษส่วนจำเป็นต้องมีการหารด้วยตัวแปร (หรือตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้น 3 x+2=0 และ (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– นี่คือสมการตรรกยะทั้งหมด ทั้งสองส่วนเป็นนิพจน์ทั้งหมด A และ x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 เป็นตัวอย่างของสมการตรรกยะเศษส่วน

เมื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เราใส่ใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองที่ทราบจนถึงจุดนี้เป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

การแก้สมการทั้งหมด

วิธีหลักวิธีหนึ่งในการแก้สมการทั้งหมดคือการลดสมการให้เท่ากัน สมการพีชคณิต- ซึ่งสามารถทำได้เสมอโดยทำการแปลงสมการที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

• ขั้นแรก นิพจน์จากด้านขวาของสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจะถูกถ่ายโอนไปยังด้านซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามเพื่อให้ได้ศูนย์ทางด้านขวา
• หลังจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการจะได้ผลลัพธ์ มุมมองมาตรฐาน.

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม ดังนั้น ในกรณีที่ง่ายที่สุด การแก้สมการทั้งหมดจะลดลงเหลือเพียงการแก้สมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง และในกรณีทั่วไป เป็นการแก้สมการพีชคณิตระดับ n เพื่อความชัดเจน มาดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการทั้งหมด 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

สารละลาย.

ให้เราลดคำตอบของสมการทั้งหมดนี้ลงเหลือเพียงคำตอบของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ในการทำสิ่งนี้ ประการแรก เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย ด้วยเหตุนี้เราจึงได้สมการ 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0- และประการที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้ายให้เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานโดยดำเนินการตามที่จำเป็น: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6- ดังนั้นการแก้สมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจึงลดลงเหลือคำตอบ สมการกำลังสอง x 2 −5 x−6=0 .

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49มันเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากจำนวนจริงสองตัว ซึ่งเราพบโดยใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:

เพื่อให้แน่ใจจริงๆ เรามาทำกันเลย ตรวจสอบรากที่พบของสมการ- ขั้นแรกเราตรวจสอบรูท 6 แล้วแทนที่มันแทนตัวแปร x ในสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3ซึ่งก็เหมือนกัน 63=63 นี่เป็นเรื่องจริง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขดังนั้น x=6 จึงเป็นรากของสมการจริงๆ ตอนนี้เราตรวจสอบรูต −1 แล้ว เรามี 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3จากที่ไหน 0=0 . เมื่อ x=−1 สมการดั้งเดิมจะเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=−1 จึงเป็นรากของสมการด้วย

คำตอบ:

6 , −1 .

ควรสังเกตด้วยว่าคำว่า "ระดับของสมการทั้งหมด" มีความเกี่ยวข้องกับการเป็นตัวแทนของสมการทั้งหมดในรูปแบบของสมการพีชคณิต ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง:

คำนิยาม.

พลังของสมการทั้งหมดเรียกว่าดีกรีของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่า

ตามคำจำกัดความนี้ สมการทั้งหมดจากตัวอย่างที่แล้วมีดีกรีที่สอง

นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของการแก้สมการตรรกยะทั้งหมด หากไม่ใช่เพื่อสิ่งเดียว…. ดังที่ทราบกันดีว่าการแก้สมการพีชคณิตระดับที่สูงกว่าระดับที่สองนั้นสัมพันธ์กับปัญหาที่สำคัญและสำหรับสมการระดับที่สูงกว่าระดับที่สี่นั้นไม่มี สูตรทั่วไปราก. ดังนั้น ในการแก้สมการทั้งหมดขององศาที่ 3, 4 และสูงกว่า จึงมักจำเป็นต้องหันไปใช้วิธีแก้อื่นๆ

ในกรณีเช่นนี้เป็นแนวทางในการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดโดยยึดตาม วิธีการแยกตัวประกอบ- ในกรณีนี้ จะปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ขั้นแรก ต้องแน่ใจว่ามีศูนย์ทางด้านขวาของสมการ โดยจะย้ายนิพจน์จากด้านขวาของสมการทั้งหมดไปทางซ้าย
• จากนั้น นิพจน์ผลลัพธ์ทางด้านซ้ายจะแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ซึ่งช่วยให้เราสามารถไปยังชุดสมการที่ง่ายกว่าหลายชุดได้

อัลกอริธึมที่กำหนดสำหรับการแก้สมการทั้งหมดผ่านการแยกตัวประกอบจำเป็นต้องมีคำอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้สมการทั้งหมด (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

สารละลาย.

ก่อนอื่น ตามปกติ เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้ายของสมการ โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้ (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . เห็นได้ชัดว่าไม่แนะนำให้แปลงด้านซ้ายมือของสมการผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากจะให้สมการพีชคณิตระดับที่สี่ของรูปแบบ x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0ซึ่งทางแก้ไขก็ยาก

ในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่าทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ที่เราสามารถทำได้ x 2 −10 x+13 ดังนั้นจึงนำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ เรามี (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0- สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการทั้งหมดดั้งเดิม และในทางกลับกัน สามารถถูกแทนที่ด้วยชุดสมการกำลังสองสองตัว x 2 −10·x+13=0 และ x 2 −2·x−1=0 การค้นหารากโดยใช้สูตรรากที่รู้จักผ่านการแยกแยะนั้นไม่ใช่เรื่องยาก พวกมันคือรากที่ต้องการของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

ยังมีประโยชน์สำหรับการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดอีกด้วย วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่- ในบางกรณี ช่วยให้คุณสามารถย้ายไปยังสมการที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของสมการทั้งหมดเดิมได้

ตัวอย่าง.

ค้นหารากที่แท้จริงของสมการตรรกยะ (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

สารละลาย.

การลดสมการตรรกยะทั้งหมดนี้ให้เป็นสมการพีชคณิต หากพูดแบบเบาๆ ไม่ใช่ความคิดที่ดี เนื่องจากในกรณีนี้ เราจะต้องแก้สมการระดับที่ 4 ที่ไม่มี รากที่มีเหตุผล- ดังนั้นคุณจะต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาอื่น

ตรงนี้จะเห็นว่าคุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ y และแทนที่นิพจน์ x 2 +3·x ด้วยตัวแปรนั้นได้ การแทนที่นี้นำเราไปสู่สมการทั้งหมด (y+1) 2 +10=−2·(y−4) ซึ่งหลังจากย้ายนิพจน์ −2·(y−4) ไปทางซ้ายและการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ในภายหลัง ที่เกิดขึ้นตรงนั้น ลดลงเหลือสมการกำลังสอง y 2 +4·y+3=0 รากของสมการนี้ y=−1 และ y=−3 หาได้ง่าย เช่น สามารถเลือกได้ตามทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา

ตอนนี้เราไปยังส่วนที่สองของวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งก็คือ การดำเนินการแทนที่แบบย้อนกลับ หลังจากดำเนินการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้สมการสองสมการ x 2 +3 x=−1 และ x 2 +3 x=−3 ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น x 2 +3 x+1=0 และ x 2 +3 x+3 =0 . เมื่อใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะหารากของสมการแรกได้ และสมการกำลังสองที่สองไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากการแบ่งแยกของมันคือลบ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 )

คำตอบ:

โดยทั่วไป เมื่อเราจัดการกับสมการระดับสูงทั้งหมด เราต้องเตรียมพร้อมเสมอที่จะค้นหาวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานหรือเทคนิคเทียมในการแก้ปัญหาเหล่านั้น

การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ประการแรก มันจะมีประโยชน์ที่จะเข้าใจวิธีการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ p(x) และ q(x) เป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์จำนวนเต็ม จากนั้นเราจะแสดงวิธีลดคำตอบของสมการตรรกยะเศษส่วนอื่น ๆ ให้เป็นคำตอบของสมการประเภทที่ระบุ

วิธีหนึ่งในการแก้สมการขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนที่เป็นตัวเลข u/v โดยที่ v เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เช่นนั้นเราจะพบ ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้) จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษของมันคือ เท่ากับศูนย์ ถ้าเช่นนั้น u=0 ก็คือเท่านั้น จากข้อความนี้ การแก้สมการจะลดลงจนเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อ p(x)=0 และ q(x)≠0

ข้อสรุปนี้สอดคล้องกับสิ่งต่อไปนี้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน- ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของแบบฟอร์ม คุณต้องมี

• แก้สมการตรรกยะทั้งหมด p(x)=0 ;
• และตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 เป็นไปตามแต่ละรูทที่พบหรือไม่
• ถ้าเป็นจริง รากนี้ก็คือรากของสมการดั้งเดิม
• หากไม่พอใจแสดงว่ารากนี้ไม่เกี่ยวข้องนั่นคือไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

ลองดูตัวอย่างการใช้อัลกอริธึมที่ประกาศเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

นี่คือสมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ โดยที่ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0

ตามอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนประเภทนี้ เราต้องแก้สมการ 3 x−2=0 ก่อน นี่คือสมการเชิงเส้นที่มีรากเป็น x=2/3

ยังคงต้องตรวจสอบรูทนี้นั่นคือตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไข 5 x 2 −2≠0 หรือไม่ เราแทนตัวเลข 2/3 ลงในนิพจน์ 5 x 2 −2 แทน x และเราได้ เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น x=2/3 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

2/3 .

คุณสามารถแก้สมการตรรกยะเศษส่วนได้จากตำแหน่งที่ต่างออกไปเล็กน้อย สมการนี้เทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็ม p(x)=0 บนตัวแปร x ของสมการดั้งเดิม นั่นคือคุณสามารถยึดติดกับสิ่งนี้ได้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน :

• แก้สมการ p(x)=0 ;
• ค้นหา ODZ ของตัวแปร x;
• หารากที่อยู่ในขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้ - เป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการเศษส่วนโดยใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแก้สมการกำลังสอง x 2 −2·x−11=0 รากของมันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์ที่สองคู่ที่เรามี ง 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, และ .

ประการที่สอง เราค้นหา ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ x 2 +3·x≠0 ซึ่งเหมือนกับ x·(x+3)≠0 โดยที่ x≠0, x≠−3

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบในขั้นตอนแรกรวมอยู่ใน ODZ หรือไม่ เห็นได้ชัดว่าใช่ ดังนั้น สมการเศษส่วนดั้งเดิมจึงมีรากอยู่ 2 ราก

คำตอบ:

โปรดทราบว่าแนวทางนี้จะทำกำไรได้มากกว่าวิธีแรกหาก ODZ หาได้ง่าย และมีประโยชน์อย่างยิ่งหากรากของสมการ p(x) = 0 นั้นไม่มีเหตุผล เช่น หรือเป็นตรรกยะ แต่มีตัวเศษค่อนข้างมากและ /หรือตัวส่วน เช่น 127/1101 และ −31/59 เนื่องจากในกรณีดังกล่าว การตรวจสอบเงื่อนไข q(x)≠0 จะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณอย่างมาก และเป็นการง่ายกว่าที่จะแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องโดยใช้ ODZ

ในกรณีอื่นๆ เมื่อแก้สมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรากของสมการ p(x) = 0 เป็นจำนวนเต็ม จะมีประโยชน์มากกว่าหากใช้อัลกอริธึมตัวแรกที่ให้มา นั่นคือขอแนะนำให้ค้นหารากของสมการทั้งหมดทันที p(x)=0 จากนั้นตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ แทนที่จะค้นหา ODZ แล้วจึงแก้สมการ p(x)=0 บน ODZ นี้ เนื่องจากในกรณีเช่นนี้ โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะง่ายกว่าการค้นหา DZ

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสองตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นความแตกต่างที่ระบุ

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

ก่อนอื่น มาหารากของสมการทั้งหมดกันก่อน (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0แต่งโดยใช้ตัวเศษของเศษส่วน ด้านซ้ายของสมการนี้คือผลคูณ และด้านขวาเป็นศูนย์ ดังนั้นตามวิธีการแก้สมการผ่านการแยกตัวประกอบ สมการนี้จึงเทียบเท่ากับชุดของสมการสี่ตัว 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . สมการทั้งสามนี้เป็นสมการเชิงเส้นและสมการหนึ่งเป็นกำลังสอง เราแก้ได้ จากสมการแรกเราพบ x=1/2 จากสมการที่สอง - x=6 จากสมการที่สาม - x=7, x=−2 จากสมการที่สี่ - x=−1

เมื่อค้นพบรากแล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวหารของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการดั้งเดิมหายไปหรือไม่ แต่การกำหนด ODZ ตรงกันข้ามนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เพราะสำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องแก้ สมการพีชคณิตระดับที่ห้า ดังนั้นเราจะละทิ้งการค้นหา ODZ เพื่อไปตรวจสอบราก ในการดำเนินการนี้ เราจะแทนที่ทีละรายการแทนตัวแปร x ในนิพจน์ x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112ได้รับหลังจากการแทนที่ และเปรียบเทียบกับศูนย์: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ดังนั้น 1/2, 6 และ −2 จึงเป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม และ 7 และ −1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ:

1/2 , 6 , −2 .

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการตรรกยะเศษส่วน

สารละลาย.

ก่อนอื่น เรามาค้นหารากของสมการกันก่อน (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0- สมการนี้เทียบเท่ากับชุดของสมการสองตัว: กำลังสอง 5·x 2 −7·x−1=0 และเชิงเส้น x−2=0 เมื่อใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะพบราก 2 อัน และจากสมการที่สองเราจะได้ x=2

การตรวจสอบว่าตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ค่าที่พบของ x หรือไม่นั้นค่อนข้างไม่เป็นที่พอใจ และการกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ในสมการดั้งเดิมนั้นค่อนข้างง่าย ดังนั้นเราจะดำเนินการผ่าน ODZ

ในกรณีของเรา ODZ ของตัวแปร x ของสมการเศษส่วนดั้งเดิมประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นจำนวนที่ตรงตามเงื่อนไข x 2 +5·x−14=0 รากของสมการกำลังสองนี้คือ x=−7 และ x=2 ซึ่งเราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับ ODZ: ประกอบด้วย x ทั้งหมดในลักษณะที่

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบและ x=2 อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้หรือไม่ รากจึงอยู่ในสมการเดิม ดังนั้น x=2 จึงไม่อยู่ในสมการเดิม ดังนั้น รากจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ:

นอกจากนี้ จะเป็นประโยชน์หากแยกกันในกรณีที่ตัวเลขอยู่ในตัวเศษในสมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ นั่นคือเมื่อ p(x) แทนด้วยตัวเลขบางตัว ในเวลาเดียวกัน

• ถ้าจำนวนนี้ไม่ใช่ศูนย์ สมการก็ไม่มีราก เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับศูนย์ ถ้าหากตัวเศษเท่ากับศูนย์เท่านั้น
• ถ้าตัวเลขนี้เป็นศูนย์ รากของสมการจะเป็นตัวเลขใดๆ จาก ODZ

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการมีจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นค่า x ใดๆ ของเศษส่วนนี้จึงไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

คำตอบ:

ไม่มีราก

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

ตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการเศษส่วนนี้มีศูนย์ ดังนั้นค่าของเศษส่วนนี้จึงเป็นศูนย์สำหรับค่า x ใดๆ ที่สมเหตุสมผล กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้สมการนี้คือค่า x ใดๆ จาก ODZ ของตัวแปรนี้

ยังคงต้องกำหนดค่าที่ยอมรับได้ในช่วงนี้ รวมค่าทั้งหมดของ x ซึ่ง x 4 +5 x 3 ≠0 ผลเฉลยของสมการ x 4 +5 x 3 =0 คือ 0 และ −5 เนื่องจากสมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x 3 (x+5)=0 และในทางกลับกัน จะเท่ากับการรวมกันของสองสมการ x 3 =0 และ x +5=0 จากจุดที่มองเห็นรากเหล่านี้ได้ ดังนั้นช่วงของค่าที่ยอมรับได้ที่ต้องการคือ x ใดๆ ยกเว้น x=0 และ x=−5

ดังนั้น สมการตรรกยะเศษส่วนจึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ยกเว้นศูนย์และลบห้า

คำตอบ:

ในที่สุดก็ถึงเวลาพูดคุยเกี่ยวกับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบใดก็ได้ สามารถเขียนเป็น r(x)=s(x) โดยที่ r(x) และ s(x) เป็นนิพจน์ที่เป็นตรรกยะ และอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่าวิธีแก้ปัญหามาจากการแก้สมการในรูปแบบที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

เป็นที่ทราบกันดีว่าการถ่ายโอนพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามจะทำให้เกิดสมการที่เท่ากัน ดังนั้นสมการ r(x)=s(x) จึงเทียบเท่ากับสมการ r(x)−s(x )=0.

เรายังรู้ด้วยว่าค่าใดๆ ที่เท่ากับนิพจน์นี้เป็นไปได้ ดังนั้น เราจึงสามารถแปลงนิพจน์ตรรกยะทางด้านซ้ายของสมการ r(x)−s(x)=0 ให้เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เท่ากันของรูปแบบได้เสมอ

ดังนั้นเราจึงย้ายจากสมการเศษส่วนแบบเดิม r(x)=s(x) ไปเป็นสมการ และผลเฉลยของสมการดังที่เราพบข้างต้น จะลดลงเป็นการแก้สมการ p(x)=0

แต่ที่นี่มีความจำเป็นต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าเมื่อแทนที่ r(x)−s(x)=0 ด้วย และจากนั้นด้วย p(x)=0 ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x อาจขยายได้ .

ด้วยเหตุนี้ สมการดั้งเดิม r(x)=s(x) และสมการ p(x)=0 ที่เรามาถึงอาจไม่เท่ากัน และโดยการแก้สมการ p(x)=0 เราก็สามารถหารากได้ นั่นจะเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิม r(x)=s(x) คุณสามารถระบุและไม่รวมรากที่ไม่เกี่ยวข้องในคำตอบได้โดยการตรวจสอบหรือตรวจสอบว่ารากเหล่านั้นเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

มาสรุปข้อมูลนี้ใน อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x)- ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x) คุณจำเป็นต้อง

• รับศูนย์ทางด้านขวาโดยย้ายนิพจน์จากด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม
• ดำเนินการกับเศษส่วนและพหุนามทางด้านซ้ายของสมการ เพื่อแปลงให้เป็นเศษส่วนตรรกยะของรูปแบบ
• แก้สมการ p(x)=0
• ระบุและกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ซึ่งทำได้โดยการแทนที่รากเหล่านั้นลงในสมการดั้งเดิม หรือโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะแสดงห่วงโซ่การแก้สมการตรรกยะเศษส่วนทั้งหมด:
.

ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างต่างๆ พร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของกระบวนการแก้ปัญหาเพื่อชี้แจงกลุ่มข้อมูลที่กำหนด

ตัวอย่าง.

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

สารละลาย.

เราจะดำเนินการตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่เพิ่งได้รับ ขั้นแรก เราย้ายเทอมจากด้านขวาของสมการไปทางซ้าย แล้วจึงไปที่สมการ

ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแปลงนิพจน์เศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ เราจะลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วมและลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์: . เราก็เลยมาถึงสมการ

ในขั้นตอนถัดไป เราต้องแก้สมการ −2·x−1=0 เราพบ x=−1/2

ยังคงต้องตรวจสอบว่าตัวเลขที่พบ −1/2 ไม่ใช่รากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิมหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถตรวจสอบหรือค้นหา VA ของตัวแปร x ของสมการดั้งเดิมได้ เรามาสาธิตทั้งสองแนวทางกัน

เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบ เราแทนตัวเลข −1/2 ลงในสมการดั้งเดิมแทนที่จะเป็นตัวแปร x และเราได้สิ่งเดียวกัน −1=−1 การทดแทนให้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าจุดสุดท้ายของอัลกอริทึมดำเนินการผ่าน ODZ อย่างไร ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการดั้งเดิมคือเซตของตัวเลขทั้งหมดยกเว้น −1 และ 0 (ที่ x=−1 และ x=0 ตัวส่วนของเศษส่วนจะหายไป) ราก x=−1/2 ที่พบในขั้นตอนก่อนหน้าเป็นของ ODZ ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

−1/2 .

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องแก้สมการเศษส่วน มาดูขั้นตอนทั้งหมดของอัลกอริทึมกันดีกว่า

ขั้นแรก เราย้ายเทอมจากด้านขวาไปทางซ้าย เราจะได้

ประการที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้าย: . ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ x=0

รากของมันชัดเจน - เป็นศูนย์

ในขั้นตอนที่สี่ ยังคงต้องค้นหาว่ารากที่พบนั้นไม่เกี่ยวข้องกับสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิมหรือไม่ เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิม จะได้นิพจน์ออกมา แน่นอนว่ามันไม่สมเหตุสมผลเพราะมันมีการหารด้วยศูนย์ เมื่อเราสรุปได้ว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงไม่มีราก

7 ซึ่งนำไปสู่สมการ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าการแสดงออกในตัวส่วนของด้านซ้ายจะต้องเท่ากับของด้านขวานั่นคือ . ตอนนี้เราลบออกจากทั้งสองด้านของสาม: . โดยการเปรียบเทียบจากที่ไหนและต่อไป

การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่ารากทั้งสองที่พบเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

คำตอบ:

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.