ระยะห่างระหว่างระนาบสองระนาบขนานกัน และ เท่ากัน วิธีหาระยะห่างระหว่างเครื่องบิน

ระยะห่างระหว่างระนาบขนานสองระนาบแสดงโดยสูตร:

เราไม่ทราบพิกัดของจุดและเราไม่จำเป็นต้องรู้เนื่องจากสามารถวาดตั้งฉากระหว่างระนาบได้ทุกที่

ลองหาระยะห่างระหว่างระนาบขนานของตัวอย่างที่ 8:

ตัวอย่างที่ 10

.

สารละลาย: เราใช้สูตร:

คำตอบ:

หลายๆ คนคงมีคำถามว่า ค่าสัมประสิทธิ์สามค่าแรกของระนาบเหล่านี้เท่ากัน แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป! ใช่ไม่เสมอไป

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาระยะห่างระหว่างระนาบขนาน

ตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์: แต่นั่นหมายความว่าระนาบขนานกันจริงๆ สัมประสิทธิ์สามตัวแรกเป็นสัดส่วนแต่ไม่เท่ากัน แต่สูตร. มีไว้เพื่อการจับคู่อัตราต่อรอง!

มีสองวิธีแก้ไข:

1) ค้นหาจุดที่เป็นของเครื่องบินใด ๆ ตัวอย่างเช่น พิจารณาเครื่องบิน ในการหาจุด วิธีที่ง่ายที่สุดคือการทำให้พิกัดสองตัวเป็นศูนย์ มารีเซ็ต "X" และ "Z" จากนั้น:

ดังนั้นประเด็นจึงเป็นของระนาบนี้ ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งได้ ตามที่กล่าวไว้ในหัวข้อที่แล้ว

2) วิธีที่สองเกี่ยวข้องกับเคล็ดลับเล็กๆ น้อยๆ ที่คุณต้องใช้เพื่อใช้สูตร ! นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

เครื่องบินที่ตัดกัน

กรณีที่สาม ซึ่งเป็นกรณีที่พบบ่อยที่สุด เมื่อเครื่องบินสองลำตัดกันตามเส้นตรงเส้นหนึ่ง:

ระนาบสองอันตัดกันถ้าหากว่าสัมประสิทธิ์ของพวกมันสำหรับตัวแปรเท่านั้น ไม่สมส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ฉันจะทราบทันที ข้อเท็จจริงที่สำคัญ: หากระนาบตัดกัน ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเช่นนั้น กำหนดสมการของเส้นในอวกาศ. แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับเส้นอวกาศในภายหลัง

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเครื่องบิน . มาสร้างระบบสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน:

จากสมการสองสมการแรกเป็นไปตามนั้น แต่จากสมการที่สามเป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายความว่า ระบบไม่สอดคล้องกันและเครื่องบินก็ตัดกัน

การตรวจสอบสามารถทำได้ "ฟุ่มเฟือย" ในบรรทัดเดียว:

เราได้พูดถึงระนาบขนานไปแล้ว ตอนนี้เรามาพูดถึงระนาบตั้งฉากกัน แน่นอนว่าสามารถวาดระนาบตั้งฉากจำนวนอนันต์ไปยังระนาบใดๆ ได้ และเพื่อที่จะแก้ไขระนาบตั้งฉากที่เฉพาะเจาะจง คุณจำเป็นต้องรู้สองประเด็น:

ตัวอย่างที่ 12

ให้เครื่องบิน . สร้างระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดและผ่านจุดต่างๆ

สารละลาย: เราเริ่มวิเคราะห์สภาพ เรารู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ทราบสองจุดแล้ว คุณสามารถหาเวกเตอร์ที่ขนานกับระนาบที่กำหนดได้ ไม่พอ. คงจะดีไม่น้อยหากขุดหาเวกเตอร์ที่เหมาะสมอีกตัวหนึ่งสักแห่ง เนื่องจากระนาบจะต้องตั้งฉาก เวกเตอร์ระนาบปกติจึงเป็นเช่นนั้น

การวาดแผนผังช่วยในการให้เหตุผลดังกล่าว:

เพื่อให้เข้าใจปัญหาได้ดีขึ้น ให้พล็อตเวกเตอร์ปกติจากจุดหนึ่งในระนาบ

ควรสังเกตว่าสามารถวางจุดสองจุดในอวกาศได้ตามต้องการและสามารถหันระนาบตั้งฉากมาหาเราจากมุมที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนแล้วว่าเหตุใดจุดหนึ่งจึงไม่กำหนดระนาบตั้งฉาก - ระนาบตั้งฉากจำนวนอนันต์จะ "หมุน" รอบจุดเดียว เราจะไม่พอใจกับเวกเตอร์ตัวเดียว (โดยไม่มีจุดใดๆ) เวกเตอร์นั้นฟรีและจะ "ประทับตรา" เราด้วยระนาบตั้งฉากจำนวนอนันต์ (ซึ่งโดยวิธีการทั้งหมดจะขนานกัน) ในเรื่องนี้ จุดสองจุดให้โครงสร้างที่เข้มงวดน้อยที่สุด

วิเคราะห์อัลกอริทึมแล้ว เราแก้ปัญหา:

1) ลองหาเวกเตอร์กัน

2) จากสมการ ลองลบเวกเตอร์ปกติ: .

3) ลองเขียนสมการของระนาบโดยใช้จุด (เราสามารถหา และ) กับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว:

ด้วยสิ่งนี้ เครื่องคิดเลขออนไลน์คุณสามารถค้นหาระยะห่างระหว่างเครื่องบินได้ มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย หากต้องการค้นหาระยะห่างระหว่างระนาบ ให้ใส่องค์ประกอบของสมการเครื่องบินลงในเซลล์แล้วคลิกปุ่ม "แก้ไข"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนจะต้องกรอกในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็ม หรือ ตัวเลขทศนิยม. ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

ระยะห่างระหว่างระนาบ-ทฤษฎี

อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างระนาบประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. การตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
2. การหาจุดที่แน่นอน ม 0 บนเครื่องบินลำแรก
3. การคำนวณระยะห่างระหว่างจุด ม 0 และระนาบที่สอง

เวกเตอร์ปกติของสมการ (2") มีรูปแบบดังนี้:

เป็นของเครื่องบิน (1):

สมการทั่วไปของระนาบคือ:

ลองแทนค่าต่างๆ กัน เอบีซีดี 1 , ดี 2 นิ้ว (9):

มาลดความซับซ้อนและแก้โจทย์กัน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินคดีทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คำนิยาม.เราจะโทร ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบระยะทางขั้นต่ำจากจุดที่กำหนดไปยังจุดของระนาบ m

เพราะ ระยะทางต่ำสุดจากจุดที่กำหนดไปยังจุดของเส้นใดๆ ที่วางอยู่บนระนาบ m คือระยะห่างจากจุดที่กำหนดไปยังฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนเส้นนั้น ระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงระนาบ m เท่ากับระยะห่างจากจุดนี้ถึงฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงไปบนระนาบ m

ลองหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดโดยสมการ
(4) . สมการของเส้นตั้งฉากหลุดจากจุดหนึ่ง
บนเครื่องบินมีรูปแบบดังนี้
(12) . มาทดแทนกันเถอะ (12) วี (4) :.
(13) . เพราะ ระยะทาง จากจุด
ถึงจุดใดก็ได้บนระนาบเท่ากับ
(14) . โดยเฉพาะระยะห่างถึงระนาบจากจุดเริ่มต้นของระบบคือ
(15) . เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากเป็นหน่วย สูตร (14) สามารถเขียนเป็น
(14’) , ก (15) :
(15’) . ในกรณีที่เวกเตอร์ปกติเป็นหน่วย ค่าสัมบูรณ์ของเทอมอิสระจะมีหน่วยเป็น (4) เท่ากับระยะห่างจากเครื่องบิน

คำแถลง.เนื่องจากระนาบขนานสามารถมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกันได้ แล้วเวกเตอร์ปกติของระนาบขนานจะอยู่ในแนวเดียวกัน ระยะทางจากจุดทั้งหมดของระนาบขนานหนึ่งในสองระนาบไปยังระนาบอีกระนาบจะเท่ากัน แท้จริงแล้วระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่ง
ไปยังระนาบที่ลากผ่านจุดนั้น
ขนานไปกับระนาบนี้ (4) ด้วยเวกเตอร์ทิศทาง โดยอาศัยอำนาจตาม (14) เท่ากับ
. เหล่านั้น. เท่ากับระยะทาง จากจุด
สู่เครื่องบินลำเดียวกัน

คำนิยาม.เราจะเรียกเลขหมายเท่ากับระยะทางนี้ ระยะห่างระหว่างระนาบสองระนาบขนานกัน.

หากเขียนสมการของระนาบทั้งสองในรูป: (17) แล้วระยะห่างระหว่างพวกมันจะเท่ากับระยะห่างจากจุด
นอนอยู่บนเครื่องบินลำที่สองก่อนลำแรก เนื่องจากความสัมพันธ์ (14) , ระยะนี้เท่ากัน
, แต่เพราะว่า จุด
อยู่บนระนาบที่สอง จากนั้นก็เป็นเวกเตอร์ เป็นไปตามสมการของระนาบนี้เช่น เราได้รับ:
(18) .

23. การลดสมการของเส้นโค้งอันดับสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานด้วยการจำแนกประเภทของประเภทที่เป็นไปได้ในกรณีของ δ≠0

ขอให้เราแก้ไขระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบและพิจารณาสมการทั่วไปของดีกรีที่สอง (1)

Def: เซตของจุดที่พิกัดเป็นไปตามสมการที่ 1 เรียกว่า เส้นโค้งลำดับที่สอง. กลุ่มสมาชิกอาวุโส (2) ถือได้ว่าเป็นรูปแบบกำลังสองของพิกัด (x, y) ของเวกเตอร์ x เนื่องจากเมทริกซ์เป็นแบบสมมาตร ดังนั้น  พื้นฐานออร์โธนอร์มอล
ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ a ซึ่งเมทริกซ์ของรูปกำลังสองเป็นเส้นทแยงมุมและเป็นจำนวนจริง ให้เมทริกซ์ P= เป็นเมทริกซ์ของการเปลี่ยนจากฐาน e ไปเป็นฐาน . แล้ว
. แล้ว (5)
. เมื่อคำนึงถึง 5 เราเขียนรูปแบบกำลังสอง 2 (6) นอกจากนี้
(ได้มาอย่างง่าย ๆ โดยการคูณ P T AP) ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้ว รูปแบบกำลังสองสามารถเขียนได้เป็น
. เนื่องจาก P T P=I เมทริกซ์ P จึงเป็นมุมตั้งฉากและในเชิงเรขาคณิต การเปลี่ยนจากพื้นฐานหนึ่งไปอีกพื้นฐานหนึ่งจะสอดคล้องกับการหมุนของ y บางตัว
เป้าหมายทวนเข็มนาฬิกา
. เนื่องจากความถูกต้องของ 5.6 เราจึงเขียนสมการ 1 ใหม่ในพิกัดใหม่ (10)

มาใส่กันเถอะ (11)
. จากนั้น แล 1 แล 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA

วิธี

มาแบ่งกรณีกัน:

1)

(13)
. นอกจากนี้:
,
,
.

ก)สมมติว่านั่นคือ แล ทั้งหมดมีเครื่องหมายเดียวกัน ดังนั้นตำแหน่งของจุดซึ่งพิกัดตรงตามเงื่อนไข 13 คือ:

วงรีถ้าเครื่องหมายของ c อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ แล

“วงรีจินตภาพ” ถ้าเครื่องหมาย c = เครื่องหมาย แล

ชี้ถ้า c=0

ใน)อนุญาต
เช่น แลมบ์ดา 1 และแลบบ์ 2 มีสัญลักษณ์ต่างกัน แล้วจะ 13 ครับ

ก. สมการไฮเปอร์โบลา:
, ถ้าเอฟซี≠0

ข. และคู่ของเส้นตัดกัน ถ้า c=0

การลดสมการของเส้นโค้งอันดับสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานพร้อมการจำแนกประเภทที่เป็นไปได้ในกรณีนี้ δ =0

ค่าคงที่เส้นโค้งลำดับที่สอง คำนิยาม สมการบัญญัติเส้นโค้งลำดับที่สองในค่าคงที่

Def: เส้นโค้งไม่แปรเปลี่ยนเรียกว่าฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ของสมการของเส้นโค้งที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อย้ายจากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

ทฤษฎีบท.สำหรับเส้นโค้งลำดับที่สอง
,
,
เป็นค่าคงที่ การพิสูจน์พิจารณา 2 กรณี: 1) การแปลแบบขนาน (ตัวแปรถูกเปลี่ยน, วงเล็บถูกเปิด, จัดกลุ่ม) 2) การหมุนโดยใช้ P (โดยใช้ P จะลดลงเป็นแนวทแยง D = P T AP จากนั้นจึงคำนวณค่าคงที่ของ D)

เส้นโค้งรูปไข่		- วงรี
		- วงรี
เส้นโค้งไฮเปอร์โบลิก		ไฮเปอร์โบลา
		เส้นตัดกันคู่หนึ่ง
		พาราโบลา
		คู่ของเส้นคู่ขนาน

การลดสมการของพื้นผิวลำดับที่สองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานด้วยการจำแนกประเภทในกรณีที่ทั้งหมด λ ฉัน แตกต่างจากศูนย์

ในกรณีที่ แลม i ทั้งหมดแตกต่างจากศูนย์ พื้นผิว โดยการแปลงรูปแบบกำลังสองโดยใช้เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง P (เช่นเดียวกับในเส้นโค้งสำหรับเมทริกซ์ 3x3 เท่านั้น) จากนั้นเปลี่ยนพิกัดและนำพวกมันมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน จะถูกแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้: จากนั้นเราก็มีดังต่อไปนี้

			ทรงรี
			ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
			ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น
			ทรงรีจินตภาพ
	 λi มีเครื่องหมายเดียวกัน		กรวยจินตภาพ

การลดสมการของพื้นผิวอันดับสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานด้วยการจำแนกประเภทในกรณีที่หนึ่งใน แล ฉัน ­ เท่ากับศูนย์

อนุญาต เพื่อความแน่นอน แล 3 = 0 จากนั้นสมการพื้นผิวจะอยู่ในรูปแบบ:
(4). ถ้าตอนตี 4
จากนั้นสมการจะกลายเป็นสมการของพื้นผิวทรงกระบอก
(5). เราจะถือว่า c≤0 อีกครั้ง ไม่เช่นนั้นเราจะคูณ 5 ด้วย -1

			กระบอกรี
			กระบอกไฮเปอร์โบลิก
			ทรงกระบอกรีจินตภาพ
	θi ของเครื่องหมายเดียวกัน		เครื่องบินสองลำที่ตัดกันในจินตนาการ	เส้นตรง x=0, y=0
	☺ ของสัญญาณต่างๆ
	ถ้า λi มีเครื่องหมายเดียวกัน		พาราโบลอยด์รูปไข่
	หากมีอาการต่างกัน		พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก

การลดสมการของพื้นผิวลำดับที่สองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานด้วยการจำแนกประเภทในกรณีที่สองของ λ ฉัน มีค่าเท่ากับศูนย์

อนุญาต
จากนั้นสมการพื้นผิวจะอยู่ในรูปแบบ: (7) . นี่คือคู่ ระนาบขนานต่างกันเมื่อ แล 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

ถ้า 2 ≠ 0 หรือ 3 ≠0 เราจะทำการแทนที่ โดยสมมติว่า:
,
. เมื่อแทน 7 เราจะได้:
, ที่ไหน
. นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองบนระนาบหรือ กระบอกพาราโบลา.

ทฤษฎีบท 1: สเปซ R สามารถแยกย่อยเป็นผลรวมโดยตรงของสเปซย่อยที่ไม่แปรเปลี่ยน N 0 (p) และ M (p) ในกรณีนี้ สเปซย่อย N 0 (p) ประกอบด้วยเฉพาะเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แล = 0 และในสเปซย่อย M (p) การแปลงจะกลับด้านได้ (กล่าวคือ แล = 0 ไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะของ การเปลี่ยนแปลง A ในสับสเปซ M ( พี) .

การพิสูจน์:เพื่อพิสูจน์ข้อความแรกก็เพียงพอแล้วสำหรับเราที่จะแสดงว่าจุดตัดของสเปซย่อย N 0 (p) และ M 0 (p) เท่ากับศูนย์ ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม นั่นคือปล่อยให้มีเวกเตอร์ y≠0 โดยที่ yM (p) และ yN 0 (p) เนื่องจาก yM (p) ดังนั้น y=A p x

แต่จากความเท่าเทียมกัน (8) และ (9) จะตามมาว่ามีเวกเตอร์ x โดยที่ A p x≠0 และในเวลาเดียวกัน A 2 p x = A p y = 0

ซึ่งหมายความว่า x เป็นเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องของการแปลง A ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ lam=0 ซึ่งไม่อยู่ในสับสเปซ N 0 (p) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก N 0 (p) ประกอบด้วยเวกเตอร์ดังกล่าวทั้งหมด

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าจุดตัดของ N 0 (p) และ M 0 (p) เท่ากับศูนย์ เนื่องจากผลรวมของขนาดของสเปซย่อยเหล่านี้เท่ากับ n (นี่คือเคอร์เนลและรูปภาพของการแปลง A p) จึงเป็นไปตามที่สเปซ R ถูกสลายเป็นผลรวมโดยตรงของสเปซย่อยเหล่านี้:

R = ม(พี) N0(พี)

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ประโยคที่สองของทฤษฎีบทนั่นคือ ว่าในสับสเปซ M (p) การแปลง A ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ อันที่จริงหากไม่เป็นเช่นนั้น ใน M ​​(p) ก็จะมีเวกเตอร์ x≠0 ในลักษณะที่ A p x=0

แต่ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่า xN 0 (p) เช่น คือเวกเตอร์ร่วมของ M (p) และ N 0 (p) และเราได้พิสูจน์แล้วว่าเวกเตอร์ดังกล่าวสามารถเป็นศูนย์ได้เท่านั้น

ทฤษฎีบท 2:ปล่อยให้การเปลี่ยนแปลง A ของปริภูมิ R มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน k แล 1 ,….,แลม k . จากนั้น R สามารถสลายตัวเป็นผลรวมโดยตรงของสเปซย่อยที่ไม่แปรเปลี่ยน k N แลม 1 (p 1) ,….,N แลมบ์ (pk) :

R = ยังไม่มีข้อความ แล 1 (หน้า 1) ….ยังไม่มีข้อความ เอชเค (pk)

แต่ละซับสเปซ N γi (pi) ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ i

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละ i จะมีตัวเลข p i ดังนั้นสำหรับ xN แลมบ์ i (pi) ทั้งหมด

เนื้อหาในบทความนี้ช่วยให้คุณมีทักษะในการกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบขนานสองอันโดยใช้วิธีพิกัด เรามากำหนดระยะห่างระหว่างระนาบขนาน รับสูตรในการคำนวณ และพิจารณาทฤษฎีโดยใช้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

ระยะห่างระหว่างระนาบขนานคือระยะห่างจากจุดใดๆ ของระนาบขนานอันใดอันหนึ่งที่กำลังพิจารณาไปยังระนาบอื่น

ให้ระนาบขนาน ϒ 1 และ ϒ 2 สองอัน จากจุดใดก็ได้ M 1 ของระนาบ ϒ 1 เราลดตั้งฉาก M 1 H 1 ลงในระนาบอื่น ϒ 2 ความยาวของเส้นตั้งฉาก M 1 H 1 จะเป็นระยะห่างระหว่างระนาบที่กำหนด

คำจำกัดความของระยะห่างระหว่างระนาบขนานนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

ถ้าระนาบสองระนาบขนานกัน จุดทั้งหมดบนระนาบขนานอันใดอันหนึ่งจะมีระยะห่างเท่ากันจากระนาบอีกอัน

การพิสูจน์

สมมติว่ามีระนาบขนานกัน ϒ 1 และ ϒ 2 เพื่อให้ได้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบท จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดต่างๆ ของระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งนั้นเท่ากัน ให้จุดที่กำหนด M 1 และ M 2 บนเครื่องบิน ϒ 1 และจากนั้นจุดตั้งฉาก M 1 H 1 และ M 2 H 2 จะถูกทิ้งลงบนเครื่องบิน ϒ 2 ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ว่า M 1 H 1 = M 2 H 2

เส้นตรง M 1 H 1 และ M 2 H 2 ขนานกันเนื่องจากตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน ตามสัจพจน์เกี่ยวกับระนาบเดียวที่ผ่านจุดที่แตกต่างกันสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน เราสามารถยืนยันได้ว่าระนาบเดียวผ่านเส้นขนานสองเส้น เราจะสมมติว่ามีระนาบหนึ่ง ϒ 3 ผ่านเส้นตรงขนานสองเส้น M 1 H 1 และ M 2 H 2 ความจริงที่ชัดเจนก็คือระนาบ ϒ 3 ตัดกันระนาบ ϒ 1 และ ϒ 2 ตามแนวเส้นตรง M 1 M 2 และ H 1 H 2 ซึ่งไม่ตัดกันดังนั้นจึงขนานกัน (ไม่เช่นนั้นระนาบที่กำหนดจะมีจุดร่วม) ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากการขนานกันตามเงื่อนไขของปัญหา) ดังนั้นเราจึงสังเกตรูปสี่เหลี่ยม M 1 M 2 H 1 H 2 ซึ่งมีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่คือ M 1 M 2 N 1 N 2 – สี่เหลี่ยมด้านขนาน (ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา – สี่เหลี่ยม) ดังนั้น ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จึงเท่ากัน ซึ่งหมายถึง | ม 1 ยังไม่มี 1 | = | ม 2 ยังไม่มี 2 | . Q.E.D.

โปรดสังเกตด้วยว่าระยะห่างระหว่างระนาบขนานคือระยะห่างที่น้อยที่สุดระหว่างจุดที่กำหนดของระนาบเหล่านี้

การหาระยะห่างระหว่างระนาบขนาน

ตามโปรแกรมสำหรับเกรด 10 - 11 ระยะห่างระหว่างระนาบขนานถูกกำหนดโดยการสร้างแนวตั้งฉากจากจุดใดก็ได้ของระนาบหนึ่งลดลงไปยังระนาบอื่น หลังจากนั้นจึงหาความยาวของเส้นตั้งฉากนี้ (โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เครื่องหมายของความเท่าเทียมกัน หรือความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม หรือนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุม)

ในกรณีที่ระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยมแล้วหรือระบุได้ เราก็มีโอกาสที่จะกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบขนานโดยใช้วิธีพิกัด

ปล่อยให้มีช่องว่างสามมิติ และในนั้นมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและระนาบขนานสองระนาบ ϒ 1 และ ϒ 2 ขอให้เราค้นหาระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้ โดยอาศัยนิยามของระยะห่างระหว่างระนาบที่ระบุข้างต้น เหนือสิ่งอื่นใด

ในข้อมูลเริ่มต้น - ระนาบ ϒ 1 และ ϒ 2 และเราสามารถกำหนดพิกัด (x 1, y 1, z 1) ของจุดใดจุดหนึ่ง M 1 ที่เป็นของหนึ่งในระนาบที่กำหนด: ปล่อยให้มันเป็นระนาบ ϒ 1 นอกจากนี้เรายังได้สมการปกติของระนาบ ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos แล · z - p = 0 ในกรณีนี้ ระยะทางที่ต้องการ | ม 1 ยังไม่มี 1 | จะเท่ากับระยะทางจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงระนาบ ϒ 2 (สอดคล้องกับสมการปกติ cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0) จากนั้นเราคำนวณระยะทางที่ต้องการโดยใช้สูตร: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p ที่มาของสูตรนี้สามารถศึกษาได้ในหัวข้อการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

มาสรุปกัน ในการกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบสองระนาบขนานกัน คุณต้อง:

คำจำกัดความ 2

ค้นหาพิกัด (x 1, y 1, z 1) ของจุดใดจุดหนึ่ง M 1 ที่เป็นของหนึ่งในระนาบดั้งเดิม

ให้นิยามสมการปกติของอีกระนาบหนึ่งเป็น cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

คำนวณระยะทางที่ต้องการโดยใช้สูตร: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p

ถ้าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ระนาบ ϒ 1 ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปของระนาบ A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 และระนาบ ϒ 2 – โดยสมการทั่วไป A · x + B · y + C · z + D 2 = 0 ดังนั้นจะต้องคำนวณระยะห่างระหว่างระนาบขนานโดยใช้สูตร:

ม 1 ชม 1 = ง 2 - ง 1 ก 2 + ข 2 + ค 2

มาแสดงวิธีการกันเถอะ สูตรนี้ได้รับ.

ปล่อยให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) เป็นของระนาบ ϒ 1 ในกรณีนี้ พิกัดของจุดนี้จะสอดคล้องกับสมการของระนาบ A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 หรือความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: A · x 1 + B · y 1 + ค · z 1 + ง 1 = 0 . จากตรงนี้ เราได้: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะเป็นประโยชน์ต่อเราในภายหลัง

ระนาบ ϒ 2 จะถูกอธิบาย สมการปกติระนาบ A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 หรือ - A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย ของหมายเลข D 2) อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าใดๆ ของ D 2 ระยะทาง | ม 1 ยังไม่มี 1 | สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

M 1 H 1 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

ตอนนี้เราใช้ความเท่าเทียมกันที่ได้รับก่อนหน้านี้ A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 = - D 1 และแปลงสูตร:

ม 1 ชม 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อกำหนดระนาบขนานสองระนาบ ϒ 1 และ ϒ 2 อธิบายด้วยสมการ x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 และ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ตามลำดับ มีความจำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบที่กำหนด

สารละลาย

มาแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี

1. สมการของระนาบในส่วนต่างๆ ซึ่งระบุไว้ในคำชี้แจงปัญหา ทำให้สามารถกำหนดพิกัดของจุด M 1 ที่เป็นของระนาบที่อธิบายโดยสมการนี้ได้ ที่จุด M 1 เราใช้จุดตัดของระนาบ ϒ 1 และแกน O x ดังนั้นเราจึงมี: M 1 1 6 , 0 , 0 .

ให้เราแปลงสมการทั่วไปของระนาบ ϒ 2 ให้เป็นรูปแบบปกติ:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 ซ - 4 = 0

ลองคำนวณระยะทาง | ม 1 ยังไม่มี 1 | จากจุด M 1 1 6 , 0 , 0 ถึงระนาบ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

ม 1 ชม 1 = 3 5 1 6 - 2 5 0 + 2 3 5 0 - 4 = 1 10 - 4 = 3 9 10

นี่คือวิธีที่เราได้ระยะห่างที่ต้องการระหว่างระนาบขนานดั้งเดิม

1. ให้เราแปลงสมการของระนาบเป็นส่วน ๆ ให้เป็นสมการทั่วไปของระนาบ:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

ให้เราเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x, y, z ในสมการทั่วไปของระนาบ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันสุดขีดด้วย 2:

3 x - 2 ปี + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 ปี + 4 3 z - 40 = 0

ลองใช้สูตรหาระยะห่างระหว่างระนาบขนาน:

ม 1 ชม 1 = ง 2 - ง 1 ก 2 + บี 2 + ค 2 = - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 = 3 9 10.

คำตอบ: 3 9 10 .

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อพิจารณาจากระนาบขนานสองระนาบ อธิบายโดยสมการ: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 และ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 จำเป็นต้องค้นหาระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้

สารละลาย

การใช้วิธีที่สองในการแก้ไขปัญหาดังกล่าวจะสะดวกกว่า ลองคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย 2 แล้วสัมประสิทธิ์ในสมการของระนาบจะเท่ากัน: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 และ 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0 ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตร:

ม 1 ชม 1 = - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 = 7 196 = 1 2

อย่างไรก็ตาม ลองหาคำตอบด้วยวิธีแรก: สมมติว่าจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) เป็นของระนาบ 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 ดังนั้น พิกัดของจุดนี้จึงสอดคล้องกับสมการของระนาบ และความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

6 x 1 + 4 ปี 1 - 12 z 1 + 3 = 0

ให้ y 1 = 0, z 1 = 0 แล้ว x 1: 6 x 1 + 4 0 - 12 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

ดังนั้นจุดจึงได้รับพิกัดที่แน่นอน: M 1 - 1 2, 0, 0

ลองแปลงสมการทั่วไปของระนาบ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ให้เป็นรูปแบบปกติ:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

ในกรณีนี้ ระยะห่างที่ต้องการระหว่างระนาบคือ: 3 7 · - 1 2 + 2 7 · 0 - 6 7 · 0 - 6 7 · 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

คำตอบ: 1 2 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter