จำกัดการเปลี่ยนแปลง ผ่านไปสู่ขีดจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน

หากลำดับมาบรรจบกันเป็นศูนย์:

แล้วเรียกว่าลำดับที่เล็กที่สุด ว่ากันว่าคำทั่วไปของมันมีค่าน้อยมาก ลำดับ (84.3) และ (84.4) มีจำนวนน้อยมาก

หากเราใช้การกำหนดแนวคิดเรื่องลิมิตกับกรณีของลำดับไม่สิ้นสุด เช่น กับกรณีที่ลิมิตเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้คำจำกัดความต่อไปนี้ของลำดับไม่สิ้นสุด (เทียบเท่ากับที่ให้ไว้ข้างต้น) : ลำดับเรียกว่า infinitesimal ถ้าสำหรับจำนวนที่กำหนดใด ๆ มีจำนวน N ที่จะมีความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทั้งหมด

ขอให้เราสร้างทฤษฎีบทที่มีประโยชน์เกี่ยวกับลำดับที่เล็กที่สุด (และพิสูจน์ทฤษฎีแรกเป็นตัวอย่าง)

ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของลำดับที่เล็กที่สุดสองลำดับขึ้นไปนั้นเป็นลำดับที่เล็กที่สุด

เราดำเนินการพิสูจน์ในกรณีของการบวกของสองลำดับ ปล่อยให้ลำดับมีน้อยมาก ถ้า เป็นลำดับที่ได้รับจากการเพิ่มเข้าไป ก็จะมีค่าน้อยที่สุดเช่นกัน อันที่จริง ให้ระบุจำนวนบวกตามอำเภอใจ e เนื่องจากมีจำนวนน้อยมาก จึงมีจำนวน N ที่จะน้อยกว่าจำนวนที่ ในทำนองเดียวกัน สำหรับลำดับที่สอง เราสามารถระบุตัวเลข (โดยทั่วไป แตกต่างกัน) โดยที่เมื่อเรามี Now ถ้ามากกว่าตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด ก็พร้อมกัน

แต่แล้วโดยคุณสมบัติ “โมดูลัสของผลรวมไม่เกินผลรวมของโมดูลัส” (ข้อ 74 คุณสมบัติ 13) เราพบว่า

ซึ่งจะพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ: ลำดับที่เล็กที่สุดจะอ่านว่า “ค่าที่มากกว่าของตัวเลขสองตัว N และ .

ทฤษฎีบท 2. สินค้า ลำดับที่จำกัดสำหรับลำดับที่บรรจบกันเป็นศูนย์ ก็คือลำดับที่บรรจบกันเป็นศูนย์

จากทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามที่ผลิตภัณฑ์โดยเฉพาะ ค่าคงที่ด้วยค่าเล็กน้อย เช่นเดียวกับที่ผลคูณของค่าจิ๋วหลายค่าต่อกันเป็นปริมาณที่น้อยมาก แท้จริงแล้วปริมาณคงที่ย่อมเป็นปริมาณที่จำกัดเสมอ เช่นเดียวกับสิ่งเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ผลคูณของค่าเล็กน้อยสองค่าสามารถตีความได้ว่าเป็นผลคูณของค่าเล็กน้อยและค่าจำกัด

ทฤษฎีบท 3 ผลหารของการหารลำดับที่มาบรรจบกันเป็นศูนย์ด้วยลำดับที่มีขีดจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ก็คือลำดับที่บรรจบกันเป็นศูนย์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้อนุญาตให้เราใช้ค่าเล็กน้อยในการพิสูจน์ทฤษฎีบทลิมิต (ทฤษฎีบท 6-8)

ทฤษฎีบท 4 เทอมทั่วไปของลำดับที่มีขีดจำกัดสามารถแสดงเป็นผลรวมของขีดจำกัดนี้และค่าที่น้อยที่สุด

การพิสูจน์. ให้ลำดับได้รับเช่นนั้น

จากคำจำกัดความของขีดจำกัดจะเป็นดังนี้:

เพื่อสนองความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ให้เราแสดงว่า แล้วเราจะได้สิ่งนั้นมาเพื่อ ค่าที่ระบุจะ

กล่าวคือมีปริมาณไม่สิ้นสุด แต่

และนี่พิสูจน์ทฤษฎีบทของเรา

สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท 5 ถ้าพจน์ทั่วไปของลำดับแตกต่างจากค่าคงที่ใดๆ ด้วยค่าที่น้อยที่สุด ค่าคงที่นี้จะเป็นขีดจำกัดของลำดับนี้

ตอนนี้เราจะพิจารณากฎสำหรับการส่งผ่านขีดจำกัดที่กำหนดในทฤษฎีบทสามข้อต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 6 ขีดจำกัดของผลรวมของลำดับตั้งแต่สองลำดับขึ้นไปที่มีขีดจำกัดคือ เท่ากับผลรวมขีดจำกัดเหล่านี้:

การพิสูจน์. ให้ลำดับได้รับเช่นนั้น

จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 4 เราสามารถเขียนได้:

โดยที่ลำดับเล็กๆ น้อยๆ มีอยู่บ้าง มาบวกสองตัวสุดท้ายกัน:

ปริมาณที่เป็นผลรวมของค่าคงที่สองค่า a และ b จะเป็นค่าคงที่ และเนื่องจากผลรวมของลำดับที่เล็กที่สุดสองลำดับ ตามทฤษฎีบทที่ 1 จึงมีลำดับที่เล็กที่สุด จากที่นี่และจากทฤษฎีบท 5 เราสรุปได้ว่า

และนี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

การพิสูจน์ที่เราเพิ่งดำเนินการสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีของผลรวมพีชคณิตของลำดับที่กำหนดจำนวนเท่าใดก็ได้

ปล่อยให้ลำดับของตัวเลขที่กำหนดหมายเลขใหม่ x 1 , x 2 ,..., xn ,... ได้รับ ซึ่งเราแสดงโดยย่อหรือ (x n) ลำดับนี้สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของจำนวน n: x n =f(n) หรือ x 1 =f(1), x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. . .

ลำดับใด ๆ จะถูกระบุหากมีการระบุกฎสำหรับการก่อตัวของสมาชิก ตามกฎแล้วลำดับจะได้รับจากสูตรของรูปแบบ x n =f(n) หรือ x n =f(x n-1), x n =f(x n-1, x n-2) ฯลฯ โดยที่ .

ตัวอย่าง.ลำดับที่ 2, 4, 8, 16, .. . กำหนดโดยสูตร x n =2 n ; ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต a 1 , a 2 ,..., a n , .. . สามารถกำหนดได้จากสูตร a n =a 1 q n-1 หรือ n =a n-1 q ; หมายเลขฟีโบนัชชี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . ถูกกำหนดโดยสูตร x n =x n-1 +x n-2, n=3, 4, ..., x 1 =1, x 2 =1

กราฟลำดับตัวเลข(x n) ประกอบด้วยเซตของจุด M n (n;f(n)) บนระนาบ nOx นั่นคือ กราฟลำดับตัวเลขประกอบด้วยจุดแยก

ลำดับ (x n) กล่าวกันว่าจะเพิ่มขึ้นหากเงื่อนไขของแบบฟอร์มเป็นที่พอใจ

ลำดับ (x n) เรียกว่าการลดลงหากตรงตามเงื่อนไขของแบบฟอร์ม

ลำดับ (x n) เรียกว่าไม่เพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขของแบบฟอร์ม

ลำดับ (x n) เรียกว่าไม่ลดลงหากตรงตามเงื่อนไขของแบบฟอร์ม:

ลำดับดังกล่าวเรียกว่าโมโนโทนิก ลำดับที่เหลือจะไม่ซ้ำซากจำเจ

บริเวณใกล้เคียงเรียกว่า ลำดับอนันต์วัตถุใด ๆ ที่มีลักษณะเหมือนกัน

ตัวอย่าง.ชุดตัวเลข - ชุดตัวเลข จำนวนฟังก์ชั่น - ช่วงการทำงาน.

ลำดับองค์ประกอบของอนุกรมมีความสำคัญ โดยการเปลี่ยนลำดับ เราจะได้แถวอื่นจากองค์ประกอบเดียวกัน

เราสนใจเฉพาะอนุกรมตัวเลขและผลรวมของมัน ซึ่งเขียนอย่างเป็นทางการในตอนนี้ (ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์ ไม่ใช่เป็นทางการ) นั่นคือผลรวมของสมาชิกทั้งหมดในลำดับจำนวนอนันต์ u 1, u 2,..., u n,.. ., หรือ u 1 + u 2 +...+u n +.. .. ชุดนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบกะทัดรัด

เครื่องหมาย - เครื่องหมาย "ซิกมา" หรือเครื่องหมายของผลรวม การบวกตามลำดับขององค์ประกอบทั้งหมด u n จากขีดจำกัดล่าง n=1 (ระบุที่ด้านล่าง อาจเป็นค่าอนันต์จำกัดหรือลบก็ได้) จนถึงขีดจำกัดบน (ระบุที่ top อาจเป็นตัวเลขใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับขีดจำกัดล่าง รวมถึงค่าอนันต์บวก)

ตัวเลข u n (n=1, 2, ...) เรียกว่าสมาชิกของอนุกรม และ u n เป็นศัพท์ทั่วไปของอนุกรม

ตัวอย่าง.ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน จะมีการกำหนดให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด: a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

ตัวอย่าง. อนุกรมตัวเลขฮาร์มอนิก- ซีรีย์ของแบบฟอร์ม: . ด้านล่างเราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติม

ชุดตัวเลขจะได้รับการพิจารณา นั่นคือแต่ละองค์ประกอบจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันหากมีการระบุกฎสำหรับการค้นหาสมาชิกร่วมหรือบางข้อ ฟังก์ชันตัวเลขข้อโต้แย้งตามธรรมชาติ หรือคุณ n =f(n)

ตัวอย่าง. ถ้า แล้วอนุกรมจะได้รับหรือในรูปแบบย่อ:

ถ้าตั้งค่า อนุกรมตัวเลขฮาร์มอนิกจากนั้นคำทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปแบบ และชุดข้อมูลเองก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ขอให้เรากำหนดผลรวมอันจำกัดของอนุกรมและลำดับของผลรวมอันจำกัดดังกล่าว

ผลรวมสุดท้ายของพจน์ n แรกของอนุกรมเรียกว่าผลรวมส่วนที่ n และเขียนแทนด้วย S n:

ผลรวมนี้พบได้ตามกฎปกติสำหรับการสรุปตัวเลข ผลรวมดังกล่าวอาจมีจำนวนไม่สิ้นสุด กล่าวคือ สำหรับแต่ละชุดเราสามารถพิจารณาชุดที่ประกอบด้วยผลรวมบางส่วน: S 1, S 2,..., S n, .. . หรือลำดับผลรวมบางส่วนที่สร้างขึ้นสำหรับอนุกรมนี้:

ลำดับจะถูกผูกจากด้านบนถ้ามีตัวเลข M ร่วมกับสมาชิกทั้งหมดของลำดับที่สมาชิกทั้งหมดของลำดับไม่เกิน นั่นคือ หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ลำดับของตัวเลขจะมีขอบเขตอยู่ด้านล่างหากมีตัวเลข m ร่วมกันสำหรับสมาชิกทั้งหมดของลำดับที่เกินสมาชิกทั้งหมดของลำดับ กล่าวคือ หากตรงตามเงื่อนไข:

ลำดับของตัวเลขจะถูกจำกัดถ้ามีตัวเลข m และ M เหมือนกันกับสมาชิกทั้งหมดของลำดับที่ตรงตามเงื่อนไข:

เรียกหมายเลข a ขีดจำกัดของลำดับหมายเลข(x n) ถ้ามีจำนวนน้อยจนพจน์ทั้งหมดของลำดับยกเว้นจำนวนจำกัดของเทอมแรก ตกไปอยู่ในละแวกใกล้เคียงของตัวเลข a นั่นคือสุดท้ายแล้วพวกมันจะควบแน่นรอบๆ จุดก ดังนั้นทุกจุด x i, i=N 0, N 0 +1, N 0 +2, ... จะต้องตกอยู่ในช่วงเวลา ลำดับ ในกรณีนี้หมายเลข N 0 ขึ้นอยู่กับหมายเลขที่เลือกนั่นคือ (รูปที่ 7.1) .

ในทางคณิตศาสตร์ การมีอยู่ของขีดจำกัดลำดับสามารถเขียนได้เป็น:

ความจริงข้อนี้เขียนไว้สั้นๆ ในรูปแบบ หรือ และพวกเขาบอกว่ามันมาบรรจบกันที่เลข a ถ้าลำดับไม่มีขีดจำกัด เรียกว่าไดเวอร์เจนต์

จากคำจำกัดความของขีดจำกัด มันจะตามมาทันที: หากคุณละทิ้ง เพิ่ม หรือเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขจำนวนจำกัดของลำดับ การลู่เข้าจะไม่ถูกละเมิด (นั่นคือ ถ้าลำดับดั้งเดิมมาบรรจบกัน ลำดับที่แก้ไขก็จะมาบรรจบกัน) และขีดจำกัด ของลำดับดั้งเดิมและผลลัพธ์จะเท่ากัน

ตัวอย่างให้เราสมมุติว่า ที่ไหนนั่นคือ . ข้อเท็จจริงข้อนี้พิสูจน์ได้ง่าย แต่สำหรับตอนนี้เราถือว่ามันเป็นข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้ว แล้ว , : . มาหาค่าของตัวเลขกัน (ถ้ามีจำนวนดังกล่าว) ลองพิจารณาดู . ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริง:

ดังนั้นหากเราเอาตัวเลข แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็จะเป็นที่พอใจ ตัวอย่างเช่น ด้วยค่า เราจะได้ตัวเลข N 0 =99 นั่นคือ |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

ตอนนี้ให้เราให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันสองประการของขีดจำกัดของฟังก์ชัน: การใช้ขีดจำกัดของลำดับและการใช้ความสอดคล้องของย่านใกล้เคียงเล็กๆ ของอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชัน จากความพึงพอใจของคำจำกัดความหนึ่งจะเป็นไปตามความพึงพอใจของอีกคำจำกัดความหนึ่ง ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ ยกเว้นบางทีสำหรับจุด x=x 0 ซึ่งเป็นจุดจำกัดของ D(f) ณ จุดนี้ฟังก์ชันอาจไม่ได้ระบุ (ไม่ได้กำหนด) หรืออาจมีช่องว่าง

กลศาสตร์ควอนตัมมีกลศาสตร์แบบคลาสสิกเป็นกรณีจำกัด คำถามเกิดขึ้นว่าการเปลี่ยนแปลงไปสู่ขีดจำกัดนี้บรรลุผลสำเร็จได้อย่างไร

ในกลศาสตร์ควอนตัม อิเล็กตรอนถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นที่กำหนดค่าต่างๆ ของพิกัดของมัน สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับฟังก์ชันนี้จนถึงตอนนี้ก็คือว่ามันเป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น ในกลศาสตร์คลาสสิก อิเล็กตรอนถือเป็นอนุภาควัสดุที่เคลื่อนที่ไปตามวิถีโคจรที่กำหนดโดยสมการการเคลื่อนที่โดยสมบูรณ์ ความสัมพันธ์ ในแง่หนึ่งคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างควอนตัมและกลศาสตร์คลาสสิก เกิดขึ้นในพลศาสตร์ไฟฟ้าระหว่างคลื่นและทัศนศาสตร์เรขาคณิต ในทัศนศาสตร์คลื่น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบางระบบ (สมการของแมกซ์เวลล์) ในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต การพิจารณาการแพร่กระจายของแสงตามวิถีโคจรบางอย่าง - รังสี - ได้รับการพิจารณา

การเปรียบเทียบนี้ช่วยให้เราสรุปได้ว่าการเปลี่ยนผ่านจากกลศาสตร์ควอนตัมไปสู่กลศาสตร์คลาสสิกเป็นขีดจำกัดนั้น เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันกับการเปลี่ยนจากคลื่นเป็นทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต

ให้เราระลึกว่าการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายนี้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างไร (ดู II, § 53) เลต และ เป็นส่วนประกอบของสนามใดๆ ในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า มันสามารถแสดงในรูปแบบและ - ด้วยแอมพลิจูดจริง a และเฟส (อันหลังเรียกว่า eikonal ในทัศนศาสตร์เรขาคณิต) กรณีจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตสอดคล้องกับความยาวคลื่นสั้น ซึ่งแสดงออกมาทางคณิตศาสตร์ด้วยการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ในระยะทางสั้นๆ ซึ่งหมายความว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เฟสนั้นถือว่ามีขนาดใหญ่ในค่าสัมบูรณ์

ดังนั้นเราจึงดำเนินการจากสมมติฐานที่ว่ากรณีจำกัดของกลศาสตร์คลาสสิกสอดคล้องกับกลศาสตร์ควอนตัมกับฟังก์ชันคลื่นของรูปแบบ โดยที่ a เป็นฟังก์ชันที่แปรผันอย่างช้าๆ และรับค่าที่มาก ดังที่ทราบกันดีว่าในกลศาสตร์นั้น วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคสามารถกำหนดได้จากหลักการแปรผัน ซึ่งสิ่งที่เรียกว่าการกระทำ 5 ของระบบกลไกจะต้องมีน้อยที่สุด (หลักการของการกระทำน้อยที่สุด) ในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต เส้นทางของรังสีถูกกำหนดโดยสิ่งที่เรียกว่าหลักการแฟร์มาต์ ซึ่ง "ความยาวเส้นทางแสง" ของรังสีควรมีน้อยที่สุด กล่าวคือ ความแตกต่างในเฟสของมันที่จุดสิ้นสุดและที่จุดเริ่มต้นของ เส้นทาง.

จากการเปรียบเทียบนี้ เราสามารถโต้แย้งได้ว่าเฟสของฟังก์ชันคลื่นในกรณีจำกัดแบบคลาสสิกควรเป็นสัดส่วนกับการกระทำทางกล S ของระบบทางกายภาพที่กำลังพิจารณา กล่าวคือ ควรเป็น ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเรียกว่าค่าคงที่ของพืชและเขียนแทนด้วยตัวอักษร มีมิติแห่งการกระทำ (เนื่องจากไม่มีมิติ) และเท่ากับ

ดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นของระบบทางกายภาพ "เกือบคลาสสิก" (หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่ากึ่งคลาสสิก) จึงมีรูปแบบ

ค่าคงที่ของพลังค์มีบทบาทสำคัญในปรากฏการณ์ควอนตัมทั้งหมด ขนาดสัมพัทธ์ของมัน (เมื่อเทียบกับปริมาณอื่นในมิติเดียวกัน) จะกำหนด "ระดับของควอนตัม" ของระบบทางกายภาพเฉพาะ การเปลี่ยนผ่านจากกลศาสตร์ควอนตัมไปเป็นกลศาสตร์คลาสสิกสอดคล้องกับระยะขนาดใหญ่และสามารถอธิบายอย่างเป็นทางการว่าเป็นการเปลี่ยนผ่านไปสู่ขีดจำกัด (เช่นเดียวกับการเปลี่ยนจากคลื่นเป็นทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตสอดคล้องกับการเปลี่ยนผ่านไปสู่ขีดจำกัดของความยาวคลื่นเท่ากับศูนย์

เราได้ชี้แจงรูปแบบจำกัดของฟังก์ชันคลื่นแล้ว แต่คำถามยังคงอยู่ว่ามันเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกตามวิถีโคจรอย่างไร ในกรณีทั่วไป การเคลื่อนที่ที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นจะไม่เปลี่ยนเป็นการเคลื่อนที่ตามวิถีการเคลื่อนที่เฉพาะแต่อย่างใด การเชื่อมต่อกับการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกนั้นอยู่ในความจริงที่ว่าหากในช่วงเวลาเริ่มต้นใด ๆ ฟังก์ชันคลื่นและการกระจายความน่าจะเป็นของพิกัดได้รับจากนั้นในอนาคตการกระจายนี้จะ "เคลื่อนที่" ตามกฎหมายของกลศาสตร์คลาสสิกกำหนด (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูที่ . ท้ายมาตรา 17)

เพื่อให้ได้การเคลื่อนไหวตามวิถีบางอย่างจำเป็นต้องเริ่มจากฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบพิเศษซึ่งแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากศูนย์เฉพาะในพื้นที่ขนาดเล็กมากเท่านั้น (ที่เรียกว่าแพ็กเก็ตคลื่น) ขนาดของภูมิภาคนี้ สามารถมีแนวโน้มเป็นศูนย์พร้อมกับ d จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าในกรณีกึ่งคลาสสิก แพ็กเก็ตคลื่นจะเคลื่อนที่ไปในอวกาศตามแนววิถีคลาสสิกของอนุภาค

สุดท้าย ตัวดำเนินการทางกลควอนตัมในขีดจำกัดจะต้องลดลงเพียงเพื่อคูณด้วยปริมาณทางกายภาพที่สอดคล้องกัน

ฟังก์ชันบางฟังก์ชัน f จะมีแนวโน้มไปทางเลข A เนื่องจาก x มีแนวโน้มไปที่จุด x0 เมื่อผลต่าง f(x) – A มีค่าน้อยตามอำเภอใจ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์ |f(x) –A| จะน้อยกว่าจำนวนคงที่ใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า h > 0 เนื่องจากโมดูลัสของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ |∆x| ลดลง

จำกัดทาง

การค้นหาหมายเลข A นี้โดยใช้ฟังก์ชัน f เรียกว่า ทะลุขีดจำกัด. ในหลักสูตรของโรงเรียน การผ่านไปจนถึงขีดจำกัดจะเกิดขึ้นในสองกรณีหลัก

1. ผ่านไปยังลิมิตในอัตราส่วน ∆f/∆x เมื่อค้นหาอนุพันธ์

2. เมื่อพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องที่จุด x0 ถ้า f(x) มีแนวโน้มเป็น f(x0) ในขณะที่ x มีแนวโน้มเป็น x0 ในกรณีนี้: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f
ซึ่งหมายความว่า |∆f| จะเล็กสำหรับเล็ก |∆x| หากอธิบายเป็นคำพูด การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันที่พบในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เช่น ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันกำลัง และอื่นๆ จะต่อเนื่องกันในทุกจุดในพื้นที่ที่ถูกกำหนดไว้ กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้จะแสดงเป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง

วิธีสร้างกราฟของฟังก์ชัน "ตามจุด" ที่เรามักใช้นั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงข้อนี้ แต่ก่อนที่จะใช้งานจำเป็นต้องค้นหาว่าฟังก์ชันดังกล่าวจะต่อเนื่องจริงหรือไม่ สำหรับกรณีง่ายๆ นี้สามารถทำได้ตามคำจำกัดความของความต่อเนื่องที่เราให้ไว้ข้างต้น

ตัวอย่างเช่น ลองพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมีความต่อเนื่องที่ทุกจุดบนเส้นจำนวน y = k*x + ข.

ตามคำจำกัดความ เราต้องแสดงว่า |∆f| จะน้อยกว่าจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ h>0 สำหรับค่าน้อย |∆x|

|∆ฉ| = |ฉ(x0 +∆x) – ฉ(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

หากเราใช้ |∆x| >h/|k| สำหรับ k ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น |∆f| จะน้อยกว่า h>0 ใดๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

กฎเกณฑ์สำหรับการก้าวข้ามขีดจำกัด

เมื่อใช้การดำเนินการจำกัด ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้

1. ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องกันที่จุด x0 แล้ว ∆f มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในขณะที่ ∆x มีแนวโน้มเป็นศูนย์

2. ถ้าฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์อยู่ที่จุด x0 แล้ว ∆f/∆x มีแนวโน้มเป็น f'(x0) โดยที่ ∆x มีแนวโน้มเป็นศูนย์

3. ให้ f(x) มีแนวโน้มไปที่ A, g(x) มีแนวโน้มไปที่ B เนื่องจาก x มีแนวโน้มไปที่ x0 แล้ว:

f(x) + g(x) มีแนวโน้มไปที่ A + B;