เราศึกษาหัวข้อต่อไป” การแก้สมการ" เราคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้วและกำลังทำความคุ้นเคยต่อไป สมการกำลังสอง.

ก่อนอื่นเราจะมาดูกันว่าสมการกำลังสองคืออะไรและเขียนไว้อย่างไร ปริทัศน์และให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนี้ เราจะใช้ตัวอย่างเพื่อดูรายละเอียดวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ต่อไป เราจะไปยังการแก้สมการที่สมบูรณ์ รับสูตรราก ทำความคุ้นเคยกับการแบ่งแยกสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เรามาติดตามความเชื่อมโยงระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์กัน

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเริ่มการสนทนาเกี่ยวกับสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสองตลอดจนคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนี้คุณสามารถพิจารณาประเภทหลักได้ สมการกำลังสอง: ลดและไม่ลด รวมทั้งสมการสมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ไม่ใช่ศูนย์

สมมติทันทีว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการระดับที่สอง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิตระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ระบุช่วยให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 เป็นต้น เหล่านี้คือสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a, b และ c ถูกเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าค่าแรก หรือค่าสูงสุด หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 b คือค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x และ c คือเทอมอิสระ .

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองในรูปแบบ 5 x 2 −2 x −3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองเท่ากับ −2 และเทอมอิสระเท่ากับ −3 โปรดทราบว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังตัวอย่างที่เพิ่งให้ไป รูปแบบย่อของสมการกำลังสองคือ 5 x 2 −2 x−3=0 แทนที่จะเป็น 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ/หรือ b เท่ากับ 1 หรือ −1 พวกมันมักจะไม่แสดงอย่างชัดเจนในสมการกำลังสอง ซึ่งเนื่องมาจากลักษณะเฉพาะของการเขียนเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ของ y เท่ากับ −1

สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลง

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลงจะมีความโดดเด่น ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งเรียกค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ให้สมการกำลังสอง. มิฉะนั้นสมการกำลังสองจะเป็น มิได้ถูกแตะต้อง.

ตาม คำจำกัดความนี้, สมการกำลังสอง x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 เป็นต้น – กำหนดให้ในแต่ละค่าสัมประสิทธิ์แรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง A 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ค่าสัมประสิทธิ์นำจะแตกต่างจาก 1

จากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดค่าใดๆ โดยการหารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์นำ คุณก็จะได้ค่าที่ลดลงแล้ว การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่า กล่าวคือ สมการกำลังสองลดลงที่ได้ในลักษณะนี้จะมีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองที่ยังไม่ได้ลดแบบเดิม หรือไม่มีรากในลักษณะเดียวกัน

ให้เราดูตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลงไปเป็นสมการที่ลดลง

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดรูปที่สอดคล้องกัน

สารละลาย.

เราแค่ต้องหารทั้งสองด้านของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกัน (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 แล้ว (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 จากที่ไหน . นี่คือวิธีที่เราได้สมการกำลังสองลดลงซึ่งเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความของสมการกำลังสองมีเงื่อนไข a≠0 เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 + b x + c = 0 เป็นกำลังสอง เนื่องจากเมื่อ a = 0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นในรูปแบบ b x + c = 0

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ทั้งแบบเดี่ยวและแบบรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

เรียกสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 ไม่สมบูรณ์ถ้ามีสัมประสิทธิ์ b, c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์

ในทางกลับกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดแตกต่างจากศูนย์

ชื่อดังกล่าวไม่ได้รับมาโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

ถ้าสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +0·x+c=0 และจะเทียบเท่ากับสมการ a·x 2 +c=0 ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +b·x+0=0 ก็สามารถเขียนใหม่เป็น a·x 2 +b·x=0 และด้วย b=0 และ c=0 เราจะได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองโดยสมบูรณ์ตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขา - สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้นสมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0.2=0 เป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จากข้อมูลในย่อหน้าที่แล้วมีดังนี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามประเภท:

• a·x 2 =0 ค่าสัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a·x 2 +b·x=0 เมื่อ c=0

ให้เราตรวจสอบเพื่อดูว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้รับการแก้ไขอย่างไร

ก x 2 = 0

มาเริ่มด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือสมการที่มีรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากสมการดั้งเดิมโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ แน่นอนว่ารากของสมการ x 2 =0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 =0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ p จะมีอสมการ p 2 >0 อยู่ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 ไม่เคยเกิดขึ้นเลย

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 =0 มีรากเดียว x=0

ตามตัวอย่าง เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4 x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 โดยมีรากเพียงตัวเดียวคือ x=0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รากเพียงตัวเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
−4 x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้รับการแก้ไขอย่างไร โดยสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์และ c≠0 นั่นคือสมการในรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม รวมถึงการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทำให้เกิดสมการที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการแปลงสมการสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 ได้ดังต่อไปนี้:

• ย้าย c ไปทางด้านขวา ซึ่งจะได้สมการ a x 2 =−c
• และหารทั้งสองข้างด้วย a เราก็จะได้

สมการที่ได้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 ดังนั้น ) หรือค่าบวก (ตัวอย่างเช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากตามเงื่อนไข c≠0 มาดูกรณีต่างๆ แยกกัน

ถ้า แล้วสมการนั้นไม่มีราก ข้อความนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนี้ไปว่าเมื่อ แล้วสำหรับจำนวนใด ๆ p ความเท่าเทียมกันไม่สามารถเป็นจริงได้

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการแตกต่างกัน ในกรณีนี้ ถ้าเราจำประมาณ ได้ รากของสมการก็จะชัดเจนทันที มันคือตัวเลข เนื่องจาก เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นก็เป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่นใดที่สามารถแสดงได้ เช่น ในทางที่ขัดแย้งกัน มาทำกัน.

ให้เราแสดงถึงรากของสมการที่เพิ่งประกาศเป็น x 1 และ −x 1 . สมมติว่าสมการนี้มีราก x 2 มากกว่าหนึ่งราก แตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่รากของมันลงในสมการแทน x จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลขทำให้เราสามารถลบค่าจริงทีละเทอมได้ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขดังนั้นการลบส่วนที่ตรงกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 −x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนผลลัพธ์ที่เท่ากันใหม่ได้เป็น (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน จะได้ว่า x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 =−x 1 ดังนั้นเราจึงเกิดความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเราบอกว่ารากของสมการ x 2 แตกต่างจาก x 1 และ −x 1 นี่พิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

ให้เราสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการนั้น

• ไม่มีรากถ้า
• มีสองราก และ ถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กันก่อน หลังจากย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการแล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบ 9 x 2 =−7 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราจะได้ผลลัพธ์ที่ เนื่องจากทางด้านขวาปรากฏ จำนวนลบดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมที่ไม่สมบูรณ์ 9 x 2 +7=0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกอันหนึ่ง −x 2 +9=0 เราย้ายเก้าไปทางด้านขวา: −x 2 =−9 ตอนนี้เราหารทั้งสองข้างด้วย −1 เราจะได้ x 2 = 9 ทางด้านขวาจะมีจำนวนบวกซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . จากนั้นเราเขียนคำตอบสุดท้ายลงไป: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a x 2 + b x = 0 ช่วยให้คุณสามารถแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ. แน่นอนว่าเราทำได้ โดยอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะนำตัวประกอบร่วม x ออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เทียบเท่าในรูปแบบ x·(a·x+b)=0 และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a·x+b=0 ซึ่งสมการหลังเป็นเส้นตรงและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 +b·x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

การเอา x ออกจากวงเล็บจะได้สมการ มันเทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ เราแก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์: และหารจำนวนคละด้วย เศษส่วนทั่วไปเราพบ ดังนั้นรากของสมการดั้งเดิมคือ x=0 และ

หลังจากได้ฝึกปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว สามารถเขียนคำตอบของสมการดังกล่าวได้สั้นๆ ดังนี้

คำตอบ:

x=0 , .

Discriminant คือสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองนั้นมีสูตรรากอยู่ มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สูตรหารากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a ค- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง. รายการโดยพื้นฐานหมายความว่า .

การรู้ว่าสูตรรากได้มาอย่างไรและใช้ในการหารากของสมการกำลังสองอย่างไรมีประโยชน์ ลองคิดดูสิ

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 ลองทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองต่อไปนี้
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย: . หลังจากนี้สมการจะอยู่ในรูปแบบ
• ในขั้นนี้เป็นไปได้ที่จะโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เรามี .
• และมาแปลงนิพจน์ทางด้านขวาด้วย:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่เทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้าแล้วเมื่อเราตรวจสอบ สิ่งนี้ช่วยให้คุณทำ ข้อสรุปดังต่อไปนี้เกี่ยวกับรากของสมการ:

• ถ้า แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบที่แท้จริง
• ถ้า สมการนั้นจะมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นได้เพียงรากเท่านั้น
• ถ้า , แล้ว หรือ ซึ่งเหมือนกับ หรือ นั่นคือสมการมีสองราก

ดังนั้น การมีอยู่หรือไม่มีรากของสมการ และสมการกำลังสองดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4·a 2 จะเป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือโดยเครื่องหมายของนิพจน์ b 2 −4·a·c นิพจน์นี้ b 2 −4 a c ถูกเรียก จำแนกสมการกำลังสองและกำหนดไว้ในจดหมาย ดี. จากที่นี่ สาระสำคัญของการแบ่งแยกนั้นชัดเจน - ขึ้นอยู่กับค่าและเครื่องหมายของมัน พวกเขาสรุปว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หมายเลขของพวกเขาคืออะไร - หนึ่งหรือสอง

ลองกลับไปที่สมการแล้วเขียนใหม่โดยใช้สัญลักษณ์แยกแยะ: และเราก็ได้ข้อสรุป:

• ถ้า D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• ในที่สุด ถ้า D>0 สมการจะมีรากสองอัน หรือซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบหรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมพวกเราได้รับ .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง ซึ่งมีลักษณะดังนี้ โดยที่ตัวแยกแยะ D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4·a·c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ด้วยการแยกแยะเชิงบวก คุณสามารถคำนวณรากที่แท้จริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ ทั้งสองสูตรจะให้ค่ารากเท่ากัน ซึ่งสอดคล้องกับคำตอบเฉพาะของสมการกำลังสอง และด้วยการแบ่งแยกเชิงลบเมื่อพยายามใช้สูตรหารากของสมการกำลังสองเราต้องเผชิญกับการสกัด รากที่สองจากจำนวนลบที่พาเราไปเกินขอบเขตหลักสูตรของโรงเรียน ด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่กัน คอนจูเกตที่ซับซ้อนรากซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากในการคำนวณค่าของสมการได้ทันที แต่สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรามักจะไม่พูดถึงเรื่องที่ซับซ้อน แต่พูดถึงรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ ขอแนะนำก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง เพื่อค้นหาตัวแยกแยะก่อน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่านั้นไม่เป็นลบ (มิฉะนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนั้นไม่มีรากจริง) แล้วจึงคำนวณค่าของรากเท่านั้น

การให้เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถเขียนได้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 คุณต้อง:

• โดยใช้สูตรจำแนก D=b 2 −4·a·c คำนวณค่าของมัน
• สรุปว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากตัวแยกแยะเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้า D=0;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากหากตัวแยกแยะเป็นบวก

ตรงนี้เราเพิ่งทราบว่าหากการแบ่งแยกเท่ากับศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรได้ โดยจะให้ค่าเดียวกันกับ

คุณสามารถไปยังตัวอย่างของการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ลองพิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามตัวที่มีการแบ่งแยกเชิงบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับวิธีแก้ปัญหาแล้ว เมื่อเปรียบเทียบแล้ว ก็จะสามารถแก้สมการกำลังสองอื่นๆ ได้ เอาล่ะ.

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ x 2 +2·x−6=0

สารละลาย.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1, b=2 และ c=−6 ตามอัลกอริธึมคุณต้องคำนวณการแบ่งแยกก่อน ในการทำเช่นนี้เราจะแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรจำแนกที่เรามี D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. เนื่องจาก 28>0 กล่าวคือ ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ สมการกำลังสองจึงมีรากจำนวนจริง 2 ค่า มาหาพวกมันโดยใช้สูตรรูต เราได้ ตรงนี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ได้โดยทำ ย้ายตัวคูณไปไกลกว่าเครื่องหมายรูทตามด้วยการลดเศษส่วน:

คำตอบ:

เรามาดูตัวอย่างทั่วไปถัดไปกันดีกว่า

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

สารละลาย.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่าเป็น นั่นคือ

คำตอบ:

x=3.5.

ยังคงต้องพิจารณาแก้สมการกำลังสองด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5·y 2 +6·y+2=0

สารละลาย.

นี่คือค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5, b=6 และ c=2 เราแทนค่าเหล่านี้เป็นสูตรแยกแยะที่เรามี ง=ข 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. การแบ่งแยกเป็นลบ ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราจะใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การกระทำด้วย จำนวนเชิงซ้อน :

คำตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

โปรดทราบอีกครั้งว่าหากการแบ่งแยกสมการกำลังสองเป็นลบ ในโรงเรียนพวกเขามักจะเขียนคำตอบทันทีโดยระบุว่าไม่มีรากจริงและไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่ที่สอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4·a·c ช่วยให้คุณได้สูตรที่มีรูปแบบกะทัดรัดมากขึ้น ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์เลขคู่สำหรับ x (หรือเพียงแค่กับ a สัมประสิทธิ์ที่มีรูปแบบ 2·n เป็นต้น หรือ 14· ln5=2·7·ln5 ) ให้เราพาเธอออกไป

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +2 n x+c=0 มาหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −ac)จากนั้นเราใช้สูตรราก:

ให้เราแสดงนิพจน์ n 2 −ac c เป็น D 1 (บางครั้งก็แทน D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a·c

เห็นได้ง่ายว่า D=4·D 1 หรือ D 1 =D/4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 คือส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D . นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้การมีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสองอีกด้วย

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2·n คุณต้องมี

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 แล้วหารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

ลองพิจารณาแก้ตัวอย่างโดยใช้สูตรรูตที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x −32=0 .

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือ คุณสามารถเขียนสมการกำลังสองเดิมใหม่ได้ในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 โดยที่ a=5, n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ จำแนก: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองอัน มาหาพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เหมาะสม:

โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้สูตรปกติในการหารากของสมการกำลังสองได้ แต่ในกรณีนี้ จะต้องดำเนินการคำนวณเพิ่มเติม

คำตอบ:

ลดรูปสมการกำลังสองให้ง่ายขึ้น

บางครั้ง ก่อนที่จะเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้รูปแบบของสมการนี้ง่ายขึ้น” ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณ การแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x−6=0 จะง่ายกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0

โดยทั่วไป การทำให้รูปแบบของสมการกำลังสองง่ายขึ้นทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ คุณสามารถจัดสมการ 1100 x 2 −400 x −600=0 ให้ง่ายขึ้นโดยการหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับสมการกำลังสอง ซึ่งไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้สมการทั้งสองข้างมักจะหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เราจะได้สมการกำลังสองที่เทียบเท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0

และการคูณทั้งสองข้างของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการโดยตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองข้างของสมการกำลังสองคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 ก็จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4·x−18=0

โดยสรุปของประเด็นนี้ เราสังเกตว่าพวกมันมักจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์สูงสุดของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทุกพจน์ ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองข้างด้วย −1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติเราจะย้ายจากสมการกำลังสอง −2 x 2 −3 x+7=0 ไปยังวิธีแก้ปัญหา 2 x 2 +3 x−7=0

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ ขึ้นอยู่กับสูตรราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและนำไปใช้ได้มากที่สุดจากทฤษฎีบทของเวียตต้านั้นมีรูปแบบ และ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น เมื่อดูที่รูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x + 22 = 0 เราสามารถบอกได้ทันทีว่าผลรวมของรากเท่ากับ 7/3 และผลคูณของรากเท่ากับ 22 /3.

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณสามารถรับการเชื่อมต่ออื่นๆ ได้หลายอย่างระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองผ่านค่าสัมประสิทธิ์:

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.

สูตรหารากของสมการกำลังสอง จะพิจารณากรณีของรากจริง หลายราก และซับซ้อน การแยกตัวประกอบ ตรีโกณมิติกำลังสอง. การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการหารากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของระดับที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

ต่อไปเราถือว่ามันเป็นจำนวนจริง
ลองพิจารณาดู จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หากการแบ่งแยกเป็นบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากที่แท้จริงที่แตกต่างกันสองแบบ:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองจะมีรูปแบบ:
.
ถ้าค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจำนวนจริงพหุคูณ (เท่ากัน) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตเชิงซ้อนสองตัว:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนของรากที่แท้จริงและจินตภาพ:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าคุณสร้าง กราฟของฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลา จุดตัดกันของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
ที่ กราฟจะตัดแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟแตะแกน x ณ จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ข้ามแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

เราทำการเปลี่ยนแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพหุนามของดีกรี 2 ในรูปแบบ:
.
นี่แสดงให้เห็นว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือ และ เป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

สารละลาย

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองประการ:
;
;
.

จากตรงนี้ เราจะได้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2x2+7x+3ตัดแกน x ที่จุดสองจุด

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันตัดผ่านแกนแอบซิสซา (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

คำตอบ

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการดั้งเดิม (2.1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากค่าจำแนกเป็นศูนย์ สมการจึงมีรากหลายค่า (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติจะมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ที่จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้คือรากของสมการดั้งเดิม (2.1) เพราะรากนี้ถูกแยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
ดังนั้นรากดังกล่าวจึงมักเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาเชื่อว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

คำตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ลองเขียนสมการดั้งเดิม (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ข้ามแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันไม่ตัดแกน x (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.

ฉันหวังว่าหลังจากศึกษาบทความนี้แล้ว คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

การใช้การแบ่งแยกจะแก้ได้เฉพาะสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะใช้วิธีการอื่น ซึ่งคุณจะพบได้ในบทความ “การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์”

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์? นี้ สมการของรูปแบบ ขวาน 2 + b x + c = 0โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เราจำเป็นต้องคำนวณค่าจำแนก D

ง = ข 2 – 4เอซี

เราจะเขียนคำตอบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ

ถ้าตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ (D< 0),то корней нет.

ถ้าตัวแยกแยะเป็นศูนย์ แล้ว x = (-b)/2a เมื่อตัวจำแนกเป็นจำนวนบวก (D > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x2– 4x + 4= 0.

ง = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการที่ 2 x2 + x + 3 = 0

ง = 1 2 – 4 2 3 = – 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการที่ 2 x2 + 5x – 7 = 0.

ง = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

คำตอบ: – 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้แผนภาพในรูปที่ 1

การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการนี้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

ก x2 + bx + คมิฉะนั้นคุณอาจทำผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณอาจตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 จากนั้นสมการจะมีราก 2 อัน และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น ถ้าสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ขั้นแรกให้เขียนสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานก่อน (เอกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดควรมาก่อน นั่นคือ ก x2 แล้วมีน้อยลง – บีเอ็กซ์แล้วก็เป็นสมาชิกฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ในเทอมที่สอง คุณสามารถใช้สูตรอื่นได้ มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันดีกว่า ถ้าในสมการกำลังสองสมบูรณ์ เทอมที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ (b = 2k) คุณสามารถแก้สมการได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าลดลงถ้าสัมประสิทธิ์ที่ x2 เท่ากับหนึ่ง และสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + px + q = 0. สมการดังกล่าวสามารถให้ไว้สำหรับการแก้โจทย์ หรือหาได้โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ ก, ยืนอยู่ที่ x2 .

รูปที่ 3 แสดงแผนภาพสำหรับแก้กำลังสองลดลง
สมการ ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x2 + 6x – 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1

ง = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3

คุณจะสังเกตได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการนี้เป็นเลขคู่ นั่นคือ b = 6 หรือ b = 2k โดยที่ k = 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพของรูป D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3. เมื่อสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 ลงตัวและทำการหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x – 2 = 0 แก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3.

อย่างที่คุณเห็น เมื่อแก้สมการนี้โดยใช้สูตรต่างกัน เราก็ได้รับคำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเชี่ยวชาญสูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1 อย่างถี่ถ้วนแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้เสมอ

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

มากกว่า ด้วยวิธีง่ายๆ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่ z ออกจากวงเล็บ คุณจะได้รับ: z(аz + b) = 0 สามารถเขียนตัวประกอบได้: z=0 และ аz + b = 0 เนื่องจากทั้งสองค่าสามารถให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ได้ ในสัญกรณ์ az + b = 0 เราเลื่อนอันที่สองไปทางขวาด้วยเครื่องหมายอื่น จากตรงนี้ เราจะได้ z1 = 0 และ z2 = -b/a เหล่านี้คือรากเหง้าของต้นฉบับ

ถ้ามี สมการที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ аz² + с = 0 ในกรณีนี้หาได้โดยการย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมายด้วย ผลลัพธ์จะเป็น az² = -с ด่วน z² = -c/a หารากแล้วเขียนคำตอบสองวิธี - รากที่สองที่เป็นบวกและลบ

บันทึก

ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนในสมการ ให้คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อกำจัดเศษส่วนออก

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการกำลังสองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทั้งเด็กนักเรียนและนักเรียน บางครั้งสิ่งนี้สามารถช่วยผู้ใหญ่ได้เช่นกัน ชีวิตธรรมดา. มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ

การแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองในรูปแบบ a*x^2+b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ x คือตัวแปรที่ต้องการ a, b, c คือค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมาย “+” สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย “-” ได้

ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของเวียตาหรือค้นหาตัวจำแนก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการค้นหาการแบ่งแยกเนื่องจากค่าบางค่าของ a, b, c ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้

ในการค้นหาการแบ่งแยก (D) คุณต้องเขียนสูตร D=b^2 - 4*a*c ค่า D สามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับศูนย์ได้ ถ้า D มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ จะมีสองราก ถ้า D = 0 ก็จะเหลือเพียงรากเดียวเท่านั้น พูดให้ตรงกว่านั้นคือเราสามารถพูดได้ว่า D ในกรณีนี้มีสองรากที่เท่ากัน แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ a, b, c ลงในสูตรแล้วคำนวณค่า

หลังจากที่คุณพบการแบ่งประเภทแล้ว ให้ใช้สูตรเพื่อค้นหา x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a โดยที่ sqrt คือฟังก์ชันที่หมายถึงการหารากที่สองของจำนวนที่กำหนด หลังจากคำนวณนิพจน์เหล่านี้แล้ว คุณจะพบรากสองอันของสมการของคุณ หลังจากนั้นจึงถือว่าสมการได้รับการแก้ไขแล้ว

ถ้า D น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ายังมีรากอยู่ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียนในทางปฏิบัติ นักศึกษามหาวิทยาลัยควรทราบว่าตัวเลขติดลบปรากฏอยู่ใต้ราก พวกเขากำจัดมันโดยเน้นส่วนจินตภาพนั่นคือ -1 ใต้รูทจะเท่ากับองค์ประกอบจินตภาพ "i" เสมอซึ่งคูณด้วยรูทด้วยจำนวนบวกเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า D=sqrt(-20) หลังจากการแปลง เราจะได้ D=sqrt(20)*i หลังจากการเปลี่ยนแปลงนี้ การแก้สมการจะลดลงเหลือเพียงการค้นหารากตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบทของ Vieta ประกอบด้วยการเลือกค่าของ x(1) และ x(2) มีการใช้สมการที่เหมือนกันสองสมการ: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. และมาก จุดสำคัญคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าสัมประสิทธิ์ b จำไว้ว่าเครื่องหมายนี้อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในสมการ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าการคำนวณ x(1) และ x(2) นั้นง่ายมาก แต่เมื่อแก้โจทย์แล้ว คุณจะต้องเลือกตัวเลข

องค์ประกอบของการแก้สมการกำลังสอง

ตามกฎของคณิตศาสตร์ บางค่าสามารถแยกตัวประกอบได้: (a+x(1))*(b-x(2))=0 หากคุณสามารถแปลงสมการกำลังสองนี้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ คุณก็สบายใจได้เลย เขียนคำตอบ x(1) และ x(2) จะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกันในวงเล็บ แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นอกจากนี้อย่าลืมเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณอาจขาดคำศัพท์บางคำไป หากเป็นเช่นนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ หากไม่มีสิ่งใดอยู่ข้างหน้า x^2 หรือ x สัมประสิทธิ์ a และ b จะเท่ากับ 1

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้คุณสามารถทำได้ แก้สมการกำลังสอง.

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี:
- การใช้วิจารณญาณ
- ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta (ถ้าเป็นไปได้)

นอกจากนี้คำตอบจะแสดงเป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่การประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ และไม่ใช่เช่นนี้: \(x_1 = 0.247; \ควอด x_2 = -0.05\)

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมความพร้อม การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการที่จะทำให้มันเสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านในวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง

ตัวอักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
นอกจากนี้, ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่เป็นทศนิยมเท่านั้น แต่ยังเป็นเศษส่วนสามัญด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถแยกออกจากส่วนทั้งหมดด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้
เช่น คุณสามารถเข้าได้ ทศนิยมเช่นนี้: 2.5x - 3.5x^2

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ทั้งส่วนแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บได้. ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

ตัดสินใจ

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

แต่ละสมการ
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ดูเหมือน
\(ขวาน^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4 ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0 ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการกำลังสอง.

คำนิยาม.
สมการกำลังสองเรียกว่าสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \)

ตัวเลข a, b และ c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวแรก ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ตัวที่สอง และตัวเลข c คือพจน์อิสระ

ในแต่ละสมการของรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ \(a \neq 0\) ระดับสูงสุดตัวแปร x เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จึงเป็นที่มาของชื่อ: สมการกำลังสอง

โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการระดับ 2 เนื่องจากด้านซ้ายเป็นพหุนามของระดับ 2

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่า ให้สมการกำลังสอง. ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \ควอด x^2-6x=0, \ควอด x^2-8=0 \)

หากในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 สัมประสิทธิ์ b หรือ c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์. ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในตอนแรก b=0 ในส่วนที่สอง c=0 ในส่วนที่สาม b=0 และ c=0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0 โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน 2 =0

ลองพิจารณาแก้สมการของแต่ละประเภทเหล่านี้กัน

ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) ให้เลื่อนเทอมอิสระไปทางด้านขวาแล้วหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ลูกศรขวา x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

เนื่องจาก \(c \neq 0 \) ดังนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ถ้า \(-\frac(c)(a)>0\) สมการจะมีรากที่สอง

ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \ลูกศรขวา \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \ลูกศรขวา \left\( \begin (อาร์เรย์)(ล.) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(อาร์เรย์) \right. \)

ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) มีสองรากเสมอ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ดังนั้นจึงมีรากเดียวคือ 0

สูตรหารากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้สมการกำลังสองซึ่งทั้งสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบและเทอมอิสระไม่เป็นศูนย์

ให้เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป และผลที่ได้คือสูตรสำหรับราก สูตรนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองใดๆ ได้

แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0

เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองรีดิวซ์ที่เท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ลองแปลงสมการนี้โดยเลือกกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \ลูกศรขวา \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \ลูกศรขวา \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \ลูกศรขวา \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \ลูกศรขวา x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \ลูกศรขวา \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” ในภาษาละติน - discriminator) มันถูกกำหนดด้วยตัวอักษร D นั่นคือ
\(D = ข^2-4ac\)

ตอนนี้ เมื่อใช้สัญลักษณ์แบ่งแยก เราจะเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)

เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีสองราก
2) ถ้า D=0 แล้วสมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของการแบ่งแยก สมการกำลังสองสามารถมีรากสองอัน (สำหรับ D > 0) หนึ่งราก (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีราก (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สิ่งนี้ ตามสูตรแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณจำแนกและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้าตัวจำแนกเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรราก ถ้าตัวจำแนกเป็นลบ ให้เขียนว่าไม่มีราก

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลคูณคือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมากับค่าตรงข้าม เครื่องหมาย และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ สมการกำลังสองลดรูปใดๆ ที่มีรากจะมีคุณสมบัตินี้

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ

เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)