ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เวกเตอร์ปกติโดยตรง (เวกเตอร์ปกติ)

แนวคิดของเส้นตรงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเวกเตอร์ทิศทาง บ่อยครั้งเมื่อเกิดปัญหา จะสะดวกกว่าที่จะพิจารณาแทนการใช้สายตรง ภายใน ของวัสดุนี้เราจะวิเคราะห์ว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงคืออะไรในอวกาศและบนระนาบ และเราจะบอกคุณว่าเวกเตอร์นั้นใช้ทำอะไรได้บ้าง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ในย่อหน้าแรก เราจะกำหนดคำจำกัดความและแสดงแนวคิดหลักในภาพประกอบ เสริมด้วย ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเวกเตอร์ทิศทาง ต่อไป เราจะดูว่าเวกเตอร์ของเส้นและทิศทางโต้ตอบกันในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอย่างไร และเราจะคำนวณพิกัดของเวกเตอร์นี้ได้อย่างไรหากเรารู้สมการของเส้นตรง กฎทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีแก้ไขปัญหาเช่นเคย

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ เราจำเป็นต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าเส้นตรงคืออะไร และจะวางตำแหน่งในอวกาศและบนเครื่องบินได้อย่างไร นอกจากนี้ สิ่งสำคัญคือต้องระลึกถึงแนวคิดของเวกเตอร์ที่ศึกษาก่อนหน้านี้ เราได้เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้วในบทความแยกต่างหาก หากจำเป็น ให้ค้นหาและอ่านบทความเหล่านี้อีกครั้ง

ให้เรากำหนดว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร

คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์นำทางเส้นตรงคือเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งอยู่บนเส้นที่กำหนดหรือบนเส้นขนานกับมัน

ปรากฎว่าเส้นตรงแต่ละเส้นมี ชุดอนันต์เวกเตอร์ทิศทาง ยิ่งไปกว่านั้น ทุกเส้นจะขนานกันตามคำจำกัดความที่กล่าวไว้ เพราะมันอยู่บนเส้นตรงเส้นหนึ่งหรือเส้นตรงอีกเส้นขนานกับมัน ปรากฎว่าถ้า a → เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a เราก็สามารถแสดงเวกเตอร์ทิศทางอีกตัวเป็น t · a → สำหรับค่า t ใดๆ ที่สอดคล้องกับจำนวนจริงได้

นอกจากนี้ จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นขนานสองเส้นจะตรงกัน: ถ้าเส้น a และ 1 ขนานกัน เวกเตอร์ a → จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของทั้ง a และ 1

ข้อสรุปประการที่สาม ตามคำจำกัดความ: หากเรามีเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a แล้วมันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติใดๆ ของเส้นเดียวกัน

ลองยกตัวอย่างเวกเตอร์ทิศทาง: ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสำหรับแกน O x , O y และ O z เวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเวกเตอร์พิกัด i → , j → และ k →

วิธีการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการของเส้นตรง

สมมติว่าเรามีเส้นตรงเส้นหนึ่งที่มีเวกเตอร์ทิศทางอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อันดับแรก เราจะวิเคราะห์กรณีนี้ด้วยระบบคาร์ทีเซียนแบบแบน O x y จากนั้นด้วยระบบ O x y z ที่อยู่ในอวกาศสามมิติ

1. เส้นตรงใน O x y สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการของเส้นตรงในระนาบ ในกรณีนี้ พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงดั้งเดิม และถ้าเรารู้สมการของเส้นตรง เราจะคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของมันได้อย่างไร? วิธีนี้ทำได้ง่ายหากเรากำลังจัดการกับสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริก

สมมติว่าเรามีกรณีมาตรฐานของสมการที่ดูเหมือน x - x 1 a x = y - y 1 ay ด้วยความช่วยเหลือของมัน เส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) ถูกระบุบนระนาบ

ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราจำเป็นต้องนำตัวเลขจากตัวส่วนของสมการมาตรฐานของเส้นตรง

ลองยกตัวอย่างงาน

ตัวอย่างที่ 1

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จะมีการกำหนดเส้นตรงซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ x - 1 4 = y + 1 2 - 3 คำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางตัวใดตัวหนึ่งของเส้น

สารละลาย

จากสมการเราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้ทันที เรานำตัวเลขมาเป็นตัวส่วนแล้วเขียน: 4, - 3 นี่จะเป็นคำตอบที่เราต้องการ

คำตอบ: 4 , - 3 .

หากเส้นตรงอธิบายด้วยสมการประเภทพาราเมตริก เราต้องดูค่าสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์ พวกมันจะสอดคล้องกับพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางที่เราต้องการ

ตัวอย่างที่ 2

เรามีเส้นตรงที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ระบบสมการพาราเมทริก x = - 1 y = 7 - 5 · แลง โดยมี แล ∈ R ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง

สารละลาย

ขั้นแรก ลองเขียนสมการพาราเมตริกเหล่านี้ใหม่ในรูปแบบ x = - 1 + 0 · แลม y = 7 - 5 · แลม มาดูความน่าจะเป็นกัน พวกเขาจะบอกพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ทิศทาง – a → = (0, 5) เมื่อพิจารณาว่าเวกเตอร์ทิศทางทั้งหมดของเส้นตรงเส้นหนึ่งจะเป็นเส้นตรง เราสามารถระบุเวกเตอร์เหล่านั้นได้ในรูปแบบ t · a → หรือ 0, - 5 · t โดยที่ t สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ได้ เราเขียนเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัดในบทความแยกต่างหาก

คำตอบ: 0, - 5 ตัน, t ∈ R, t ≠ 0

ตอนนี้เรามาดูกรณีของวิธีการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในรูปแบบ A x + B y + C = 0 ถ้า A = 0 สมการเดิมสามารถเขียนใหม่เป็น B y + C = 0 กำหนดเส้นตรงที่จะขนานกับแกน x ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้เวกเตอร์พิกัด i → = 1, 0 เป็นเวกเตอร์ทิศทางได้

และถ้า B = 0 เราก็สามารถเขียนสมการเส้นตรงเป็น A x + C = 0 เส้นตรงที่อธิบายจะขนานกับแกนพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์พิกัด j → = 0, 1 จะเป็นแนวทางด้วย พิจารณางานเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3

เรามีเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการทั่วไป x - 2 = 0 ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางใดๆ

สารละลาย

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สมการดั้งเดิมจะสอดคล้องกับเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาเวกเตอร์พิกัด j → = (0, 1) ได้ เขาจะเป็นไกด์ให้เธอ

คำตอบ: (0 , 1)

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่มีสัมประสิทธิ์เดียวใน A x + B y + C = 0 เท่ากับ 0? จากนั้นเราสามารถใช้วิธีการต่างๆ ได้หลายวิธี

1. เราสามารถเขียนสมการพื้นฐานใหม่เพื่อให้กลายเป็นมาตรฐานได้ จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์สามารถนำมาจากค่าของมันได้

2. คุณสามารถคำนวณจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไกด์แยกกันได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณจะต้องหาพิกัดของจุดสองจุดที่แตกต่างกันของเส้นเดิม

3. วิธีที่สามคือการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ใดๆ ที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = A, B

วิธีที่ง่ายที่สุดคือวิธีแรก ลองอธิบายด้วยปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

มีเส้นตรงบนระนาบ ซึ่งกำหนดโดยสมการ 3 x + 2 y - 10 = 0 เขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางใดๆ

สารละลาย

มาเขียนสมการดั้งเดิมใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน ก่อนอื่น ลองย้ายพจน์ทั้งหมดจากด้านซ้าย ยกเว้น 3 x ไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน เราจะได้รับ:

3 x + 2 ปี - 10 = 0 ⇔ 3 x = - 2 ปี + 10

เราแปลงความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและรับ:

3 x = - 2 ปี + 10 ⇔ 3 x = - 2 (y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3

จากที่นี่เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางที่เราต้องการได้แล้ว: -2, 3

คำตอบ: -2, 3

มันง่ายที่จะลดรูปแบบทั่วไปของสมการเช่นสมการของเส้นตรงในส่วน x a + y b = 1 และสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k x + b ดังนั้นหากคุณพบพวกมันใน ปัญหาการหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง คุณก็ใช้วิธีนี้ได้เช่นกัน

คำจำกัดความ 2

เวกเตอร์ a → = (a x , a y , a z) เป็นตัวนำสำหรับเส้นตรง แสดงโดยใช้:

1) สมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ดังนั้นในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง คุณจะต้องนำตัวเลขจากตัวส่วนหรือสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์ในสมการที่เกี่ยวข้อง

พิจารณางานเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 5

เส้นตรงในอวกาศกำหนดโดยสมการในรูปแบบ x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 ระบุว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้จะมีพิกัดอะไร

สารละลาย

ในสมการบัญญัติ ตัวเลขที่จำเป็นจะปรากฏในตัวส่วนทันที ปรากฎว่าคำตอบจะเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด 4, 0, - 3 พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางทั้งหมดของเส้นที่กำหนดสามารถเขียนเป็น 4 · t, 0, - 3 · t โดยมีเงื่อนไขว่า t เป็นจำนวนจริง

คำตอบ: 4 ตัน, 0, - 3 ตัน, t ∈ R, t ≠ 0

ตัวอย่างที่ 6

คำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางใดๆ สำหรับเส้นที่กำหนดในอวกาศโดยใช้สมการพาราเมตริก x = 2 y = 1 + 2 · แลมซี = - 4 - แลมบ์

สารละลาย

ลองเขียนสมการเหล่านี้ใหม่ในรูปแบบ x = 2 + 0 · แลมซี = 1 + 2 · แลมซ = - 4 - 1 · แลมบ์

จากบันทึกนี้เราสามารถแยกพิกัดของเวกเตอร์ที่เราต้องการได้ โดยจะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ด้านหน้าพารามิเตอร์

คำตอบ: 0, 2, - 1

ลองดูอีกกรณีหนึ่ง วิธีการคำนวณพิกัดที่ต้องการหากเส้นได้รับจากสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบในรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0?

มีสองวิธี คุณสามารถเขียนสมการนี้ในรูปแบบพาราเมตริก โดยที่พิกัดที่ต้องการจะมองเห็นได้ แต่คุณสามารถใช้วิธีอื่นได้ มาอธิบายกันดีกว่า

ขอให้เราจำไว้ว่าเวกเตอร์ปกติของเครื่องบินคืออะไร ตามคำนิยาม วัตถุนั้นจะอยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบเดิม ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ทิศทางใดๆ ของเส้นตรงที่อยู่ในนั้นจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติใดๆ ของเส้นนั้น

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่เกิดจากจุดตัดของระนาบสองระนาบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 จะตั้งฉากกัน ถึงเวกเตอร์ปกติ n 1 → = (A 1, B 1, C 1) และ n 2 → = (A 2, B 2, C 2) นั่นคือ ในฐานะเวกเตอร์ทิศทาง เราสามารถหาผลคูณของเวกเตอร์ n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) และ n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2)

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - นี่คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่ระนาบดั้งเดิมตัดกัน

มาแก้ปัญหาที่ใช้แนวทางนี้กัน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่แสดงโดยใช้สมการ x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0

สารละลาย

ลองหาผลคูณของเวกเตอร์ปกติสองตัวของระนาบ x + 2 y + 3 z - 1 = 0 และ 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 มีพิกัดดังต่อไปนี้: 1, 2, 3 และ 2, 4, - 4

เราจะได้รับ:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → · 2 · (- 4) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 - - k → · 2 2 - ผม → 3 4 - เจ → 1 (- 4) = - 20 ผม → + 10 เจ → + 0 k →

ปรากฎว่าเวกเตอร์ n 1 → × n 2 → = - 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 – นี่คือเวกเตอร์ทิศทาง เราต้องการตรง

คำตอบ: - 20 , 10 , 0

ในตอนท้ายของบทความ เราสังเกตว่าความสามารถในการคำนวณเวกเตอร์ทิศทางจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาหลายอย่าง เช่น การเปรียบเทียบเส้นสองเส้น การพิสูจน์ความขนานและความตั้งฉาก การคำนวณมุมระหว่างเส้นตัดกันหรือเส้นตัดขวาง เป็นต้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

อะไรเป็นเรื่องปกติ? ด้วยคำพูดง่ายๆ, ปกติจะตั้งฉาก นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด แน่นอนว่า เส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง) และเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ก็ไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง)

การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าการใช้เวกเตอร์นำทาง:

ถ้าเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

หากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางต้องถูก "ดึงออก" ออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้ง่ายๆ

เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ ให้เราตรวจสอบมุมตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:

เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสมการของเส้นตรงโดยให้จุดหนึ่งจุดกับเวกเตอร์ปกติ? หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงก็จะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน - นี่คือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา

จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยให้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

วิธีแก้ไข: ใช้สูตร:

เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว มาตรวจสอบกัน:

1) “ลบ” พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: – ใช่ จริงๆ แล้วเวกเตอร์ดั้งเดิมได้มาจากเงื่อนไข (หรือควรได้รับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการหรือไม่:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการนั้นประกอบขึ้นอย่างถูกต้องแล้ว เราจะทำงานส่วนที่สองที่ง่ายกว่าให้เสร็จ เรานำเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:

คำตอบ:

ในรูปวาดสถานการณ์จะเป็นดังนี้:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการฝึกอบรมงานที่คล้ายกันสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะเน้นไปที่สมการเส้นบนระนาบที่พบได้น้อยกว่า แต่ยังรวมถึงสมการประเภทเส้นบนเครื่องบินที่สำคัญด้วย

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ เช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากเทอมอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการที่อยู่ทางด้านขวา)

หากพูดในเชิงเปรียบเทียบแล้ว นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" งานทั่วไปคือการแสดงสมการทั่วไปของเส้นเป็นสมการของเส้นในส่วนต่างๆ สะดวกยังไง? สมการของเส้นตรงในส่วนช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งอาจมีความสำคัญมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูงบางข้อ

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกัน เรารีเซ็ต "y" ให้เป็นศูนย์ และสมการจะอยู่ในรูปแบบ . ได้รับจุดที่ต้องการโดยอัตโนมัติ: .

เช่นเดียวกับแกน – จุดที่เส้นตรงตัดกับแกนพิกัด

การกระทำที่ฉันเพิ่งอธิบายโดยละเอียดนั้นเป็นการกระทำด้วยวาจา

โดยให้เป็นเส้นตรง เขียนสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ และกำหนดจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด

วิธีแก้ไข: ลองลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ ขั้นแรกเราย้ายคำศัพท์อิสระไปทางด้านขวา:

หากต้องการให้อยู่ทางขวา ให้หารแต่ละเทอมในสมการด้วย –11:

การสร้างเศษส่วนสามชั้น:

จุดตัดของเส้นตรงกับแกนพิกัดปรากฏขึ้น:

คำตอบ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการติดไม้บรรทัดแล้ววาดเส้นตรง

เห็นได้ง่ายว่าเส้นนี้ถูกกำหนดโดยส่วนสีแดงและสีเขียวโดยเฉพาะ จึงเป็นที่มาของชื่อ - "สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ"

แน่นอนว่าการหาคะแนนจากสมการนั้นไม่ใช่เรื่องยากนัก แต่งานก็ยังมีประโยชน์ อัลกอริธึมที่พิจารณาจะต้องค้นหาจุดตัดของระนาบด้วยแกนพิกัด เพื่อลดสมการของเส้นลำดับที่สองเป็นรูปแบบมาตรฐาน และในปัญหาอื่นๆ ดังนั้นเส้นตรงสองสามเส้นสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ:

วาดสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ และกำหนดจุดตัดกันด้วยแกนพิกัด

คำตอบและคำตอบในตอนท้าย อย่าลืมว่าคุณสามารถวาดทุกอย่างได้หากต้องการ

จะเขียนสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นตรงได้อย่างไร?

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงมีความเกี่ยวข้องกับเส้นตรงในอวกาศมากกว่า แต่หากไม่มีเส้นตรง นามธรรมของเราก็จะไร้ประโยชน์

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ ระบบจะกำหนดสมการพาราเมตริกของเส้นนี้:

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

การแก้ปัญหาสิ้นสุดลงก่อนที่จะเริ่มด้วยซ้ำ:

พารามิเตอร์ “te” สามารถรับค่าใดก็ได้ตั้งแต่ “ลบอนันต์” ถึง “บวกอนันต์” และค่าพารามิเตอร์แต่ละค่าจะสอดคล้องกับจุดเฉพาะบนระนาบ ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วเราจะได้ประเด็น .

ปัญหาผกผัน: จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าจุดเงื่อนไขจะเป็นของบรรทัดที่กำหนดหรือไม่

ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการพาราเมตริกผลลัพธ์:

จากสมการทั้งสองจะเป็นไปตามนั้น กล่าวคือ ระบบมีความสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

พิจารณางานที่มีความหมายเพิ่มเติม:

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง

วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไข เส้นถูกกำหนดไว้ ปริทัศน์. ในการเขียนสมการพาราเมตริกของเส้น คุณจำเป็นต้องรู้เวกเตอร์ทิศทางและจุดบางจุดของเส้นนี้

ลองหาเวกเตอร์ทิศทาง:

ตอนนี้คุณต้องค้นหาจุดที่เป็นของเส้น (ใคร ๆ ก็ทำ) เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จะสะดวกในการเขียนสมการทั่วไปใหม่ในรูปแบบของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงประเด็น

มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงกัน:

และสุดท้ายก็เป็นงานสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงหากทราบจุดที่เป็นของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติ

มีมากกว่าหนึ่งวิธีในการกำหนดงาน เวอร์ชันหนึ่งของโซลูชันและคำตอบในตอนท้าย

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: วิธีแก้: มาหาความชันกัน:

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4: วิธีแก้ไข: มาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตร:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6: วิธีแก้ไข: ใช้สูตร:

คำตอบ: (แกน y)

ตัวอย่างที่ 8: สารละลาย: มาสร้างสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุด:

คูณทั้งสองข้างด้วย –4:

และหารด้วย 5:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10: สารละลาย: เราใช้สูตร:

ลดลง -2:

เวกเตอร์โดยตรง:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 12:
ก) สารละลาย: มาแปลงสมการกันเถอะ:

ดังนั้น:

คำตอบ:

ข) สารละลาย: มาแปลงสมการกันเถอะ:

ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 15: สารละลาย: ก่อนอื่น เรามาสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงที่จุดหนึ่งกันก่อน และเวกเตอร์ปกติ :

คูณด้วย 12:

เราคูณด้วยอีก 2 เพื่อกำจัดเศษส่วนหลังจากเปิดวงเล็บที่สอง:

เวกเตอร์โดยตรง:
มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงจากจุดหนึ่งกันดีกว่า และเวกเตอร์ทิศทาง :
คำตอบ:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน
ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น มุมระหว่างเส้นตรง

เรายังคงพิจารณาเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุดเหล่านี้ต่อไป

จะหาระยะทางจากจุดถึงเส้นได้อย่างไร?
จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?
จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นเกิดขึ้นพร้อมกันหากค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ค่าเท่ากันคงอยู่

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่ .

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันถ้าหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรนั้นไม่เป็นสัดส่วน นั่นคือไม่มีค่า "แลมบ์ดา" ดังกล่าวที่ความเท่าเทียมกันถืออยู่

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายความว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อความสอดคล้องกันมาก แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

การแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการศึกษาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” สามารถพบได้โดยตรงจากความสัมพันธ์ของเวกเตอร์ทิศทางเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม ก็เป็นไปได้เช่นกันโดยอาศัยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเอง: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองข้อมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

เส้นจึงตรงกัน

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

วิธีแก้ไข: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตัวอย่างเรขาคณิตดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

เส้นทางที่สั้นที่สุดอยู่ที่จุดสิ้นสุด

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด จากนั้นพิกัดของมันคือคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ซึ่งเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนระนาบ

หาจุดตัดกันของเส้น

วิธีแก้ไข: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบกราฟิกโดยใช้สมการ 2 ตัว ไม่ทราบค่า 2 ตัว

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

คำตอบแบบเต็มและคำตอบในตอนท้าย:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไขเป็นที่ทราบกันว่า . คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และการใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เราได้ข้อสรุปว่าเส้นตรงตั้งฉากกัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง มีหลายการกระทำในปัญหา ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบจุดต่อจุด

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ระยะทางในเรขาคณิตมักแสดงด้วยอักษรกรีก "p" ตัวอย่างเช่น: – ระยะทางจากจุด “m” ถึงเส้นตรง “d”

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

วิธีแก้ไข: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

จะสร้างจุดที่สมมาตรรอบเส้นตรงได้อย่างไร?

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง . ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ขั้นกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือมุม "ราสเบอร์รี่" ที่ตรงกันข้ามก็ถือเป็นเช่นนี้

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถใช้เป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) มาคำนวณกัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์:

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

มีวิธีแก้ไขที่สาม แนวคิดคือการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ในที่นี้เราไม่ได้พูดถึงมุมเชิงมุมอีกต่อไป แต่ "แค่เกี่ยวกับมุมหนึ่ง" นั่นคือผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกอย่างแน่นอน ประเด็นก็คือคุณอาจได้มุมป้าน (ไม่ใช่มุมที่คุณต้องการ) ในกรณีนี้ คุณจะต้องจองว่ามุมระหว่างเส้นตรงเป็นมุมที่เล็กกว่า และลบอาร์คโคไซน์ผลลัพธ์จากเรเดียน “pi” (180 องศา)

หามุมระหว่างเส้น.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ลองแก้ปัญหาด้วยสองวิธี

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3: วิธีแก้ไข: ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ลองเขียนสมการของเส้นตรงที่ต้องการโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

หมายเหตุ: ที่นี่สมการแรกของระบบคูณด้วย 5 จากนั้นสมการที่ 2 ลบทีละเทอมจากสมการที่ 1
คำตอบ:

ระดับ 9 . ระนาบและเส้นตรงในอวกาศ

9.1. สมการทั่วไปของระนาบ เวกเตอร์ปกติ

9.3. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบสองเส้น เส้นตรง และระนาบของเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ

9.1. สมการทั่วไปของระนาบ เวกเตอร์ปกติ

สมการทั่วไปของระนาบในอวกาศมีรูปแบบคือ โดยที่
- ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข
- พิกัดของจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน

สมการนี้ได้มาจากการแก้ปัญหาต่อไปนี้

ปัญหาที่ 1. จงหาสมการของระนาบที่ผ่าน จุดนี้
ตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

สารละลาย. ให้เราแสดงระนาบที่ต้องการด้วย
. เรายังใช้ข้อสรุปต่อเนื่องดังต่อไปนี้:

ให้เราสังเกตความคล้ายคลึงที่สมบูรณ์ระหว่างสมการทั่วไปของเส้นตรงบนเครื่องบิน
และสมการทั่วไปของระนาบในอวกาศ

จากการแก้ปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่าจากสมการทั่วไปของระนาบเราสามารถหาเวกเตอร์ได้ทันที
ตั้งฉากกับเครื่องบิน เวกเตอร์นี้เรียกว่า ปกติ(หรือ เวกเตอร์ปกติ) ไปยังเครื่องบิน เช่น จากสมการระนาบทั่วไป
(ในสมการนี้) เราจะได้เวกเตอร์ปกติดังต่อไปนี้
. ค่าสัมประสิทธิ์ ไม่มีความหมายพิเศษใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้เราบอกได้แค่ว่าเมื่อใด
เครื่องบินแล่นผ่านจุดกำเนิด
, และเมื่อ
ไม่ผ่านจุดกำเนิด ควรสังเกตด้วยว่าสมการ
ตั้งอยู่ในพื้นที่
เครื่องบินตามปกติ
ซึ่งแสดงว่าระนาบนี้วิ่งขนานกับแกน
. มันคือสมการเดียวกัน
บนพื้นผิว
กำหนดเส้นตรง

ในทำนองเดียวกันสมการ
ในที่ว่าง
แสดงถึงสมการทั่วไปของระนาบพิกัด
. เส้นปกติของระนาบนี้คือเวกเตอร์หน่วย
- เวกเตอร์หน่วยของทิศทางของแกนบวก
.

เมื่อค้นหาสมการของระนาบ มักใช้สภาพของมุมตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว (ดังที่ทำในปัญหาที่ 1) และเงื่อนไขของระนาบร่วมของเวกเตอร์สามตัวมักจะถูกนำมาใช้

ตัวอย่างที่ 1. จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด

สารละลาย. ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุดทั้งสามนี้ไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน (หากจุดเหล่านี้อยู่บนเส้นเดียวกัน ก็จะมีระนาบจำนวนมากที่ประกอบด้วยจุดเหล่านี้) ลองหาเวกเตอร์กัน พิกัดของพวกเขาไม่เป็นสัดส่วน ดังนั้นคะแนน
อย่านอนบนเส้นตรงเดียวกันและมีเครื่องบินเพียงลำเดียวผ่านไป เรามาค้นหาเครื่องบินลำนี้ซึ่งเราแสดงว่า
, สองทาง.

1) - เครื่องบินร่วม
ผลคูณของเวกเตอร์
เท่ากับศูนย์

สมการระนาบทั่วไป
.

2)
- เวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
, เพราะ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์
, ขนาน
. การใช้เหตุผลเพิ่มเติมจะทำซ้ำวิธีแก้ปัญหาของปัญหาที่ 1

สมการระนาบทั่วไป
.

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาสมการของระนาบ
,ผ่านจุด
ขนานไปกับเครื่องบิน
:
.

สารละลาย.
:- เวกเตอร์ปกติไปยังระนาบ
. เวกเตอร์เดียวกันทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ
. ยังคงต้องทำซ้ำวิธีแก้ปัญหา 1

สมการระนาบทั่วไป
.

ตัวอย่างที่ 3. ค้นหามุมไดฮีดรัลที่ระนาบตัดกัน
และ
.

:
,
:
.

สารละลาย. มุมไดฮีดรัล (ป้านหรือเฉียบพลัน) ระหว่างระนาบจะเท่ากับมุมระหว่างเส้นปกติ

:,
:.

- มุมป้าน

. มุมไดฮีดรัลเฉียบพลันระหว่าง
และ
เท่ากับ
.

9.2. เส้นตรงในอวกาศ
:สมการแบบบัญญัติและพาราเมตริก

1). ตรงไปในอวกาศ
สามารถกำหนดเป็นเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบได้ ผลก็คือระบบสมการระนาบสองอัน
,

(1)

กำหนดเส้นตรงในอวกาศ
ที่ เงื่อนไขบังคับอะไรเป็นเรื่องปกติ
,
ไม่ขนานกับระนาบเหล่านี้ ถ้า และ
ขนานกันแล้วก็ระนาบ
,
ขนานกันหรือบังเอิญ ในทั้งสองกรณี ระบบ (1) จะไม่สร้างเส้นตรงอีกต่อไป

ความคิดเห็น การตั้งค่าระบบโดยตรง (1) ไม่สะดวกนักเพราะว่า จากนั้นจะไม่เห็นทิศทางของเส้นหรือจุดใดๆ บนเส้นนี้ ข้อมูลนี้สามารถหาได้จากระบบ (1) โดยการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น

สิ่งที่พึงประสงค์มากกว่าในแง่ของข้อสังเกตที่ทำขึ้นคือสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นตรง
.

2). สมการ Canonical ของเส้นในอวกาศ
ดูเหมือน

. (2)

ที่นี่
- เมื่อระบุตัวเลขแล้ว จะมีความหมายทางเรขาคณิตดังนี้
- พิกัดของจุดคงที่
เป็นเส้นตรง

- พิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง ตรง.

- พิกัดของจุดใดก็ได้บนเส้น

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง
ดูเหมือน

(3)

ความหมายทางเรขาคณิตปริมาณ
และปริมาณ
เช่นเดียวกับข้างต้น

จะได้สมการ (2), (3) โดยการแก้ตัวแปรเชิงพื้นที่ ภารกิจที่ 2จากบทที่ 8

ความคิดเห็นเส้นบนเครื่องบินมีเส้นปกติซึ่งเหมือนกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ที่ทำให้คุณสามารถกำหนดทิศทางของเส้นตรงนี้ได้ สำหรับเส้นตรงในอวกาศ เวกเตอร์ปกติไม่สมเหตุสมผล, เพราะ มีเวกเตอร์จำนวนอนันต์ตั้งฉากกับเส้นอวกาศที่มีทิศทางต่างกัน และเวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉากกับเส้นนี้ไม่ได้ให้คำตอบที่ชัดเจนเกี่ยวกับทิศทางของมัน

ตัวอย่างที่ 4. ค้นหาสมการมาตรฐานของเส้นตรง
ซึ่งกำหนดให้เป็นจุดตัดกันของระนาบสองระนาบ
:
และ
:
.

ระบบสมการ
กำหนดเส้นตรง
ในอวกาศเพราะว่า เวกเตอร์ปกติกับเครื่องบิน
และ
และพวกนี้คือเวกเตอร์
และ
ไม่ขนานกัน ค้นหาจุดคงที่สองจุด
บนเส้นตรง
.

1. แทนค่าลงในระบบ
, เราได้รับ

.

ความหมายทางเรขาคณิตของจุด
: นี่คือจุดตัดของเส้นนี้
กับเครื่องบิน
.

2. แทนค่าลงในระบบ
, เราได้รับ

.

จุด
นี่คือจุดตัดของเส้นตรง
กับเครื่องบิน
.

3. - เวกเตอร์โดยตรง
.

4. พิกัดเวกเตอร์
สัดส่วน

. นี่คือสมการมาตรฐานของเส้นตรง
.

5. หมายเหตุ เวกเตอร์โดยตรง
สามารถหาได้จากเวกเตอร์
และ
. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ
พร้อมกัน เพราะฉะนั้น, ขนานไปกับเส้น
และรับใช้ผู้อื่น (เทียบกับเวกเตอร์ ) เวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ อนึ่ง:
ซึ่งบ่งบอกถึงความขนานของเวกเตอร์ด้วย ตรง
. ด้วยแนวทางนี้สมการมาตรฐานของเส้นตรง
จะได้รับหลังจากทำคะแนน 1., 4. และ 5. ของวิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้เสร็จแล้ว มีเพียงคำตอบเท่านั้นที่จะอยู่ในแบบฟอร์มแล้ว
.

ตัวอย่างที่ 5. ค้นหาสมการพาราเมตริกของเส้นตรง
,ผ่านจุด
ตั้งฉากกับเครื่องบิน
:
.

สารละลาย.
- เวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
. เวกเตอร์นี้ขนานกับเส้นตรง
และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นเวกเตอร์ทิศทางของมัน เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 6. ค้นหาสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นตรง
,ผ่านจุด
ขนานไปกับเส้น
:
.

สารละลาย.
- เวกเตอร์โดยตรง
. เวกเตอร์เดียวกันคือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่ต้องการ
. เพราะฉะนั้น,

พิกัดเวกเตอร์
สัดส่วน

- สมการมาตรฐานของเส้นตรง


- สมการพาราเมตริกของเส้นตรง
.

9.3. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบสองระนาบ เส้นตรงและระนาบ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศ

ระยะทาง จากจุด
ไปยังระนาบหาได้จากสูตร
.

ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ที่สุดเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบสองระนาบ เส้นตรงและระนาบ เส้นสองเส้นในอวกาศสามารถแยกได้จากเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและเส้นปกติไปยังระนาบ

ตัวอย่างที่ 8. ค้นหาระยะทาง จากจุด
ช่องทางด้านบน
.

สารละลาย. .

ตัวอย่างที่ 9. ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด เครื่องบิน
:
ขนานไปกับเครื่องบิน
:
?

สารละลาย. ระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากของพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน
และ
, เช่น. จะต้องมี
. ความเท่าเทียมกันสองเท่านี้ไม่เป็นที่พอใจไม่ว่าในกรณีใด ๆ , เพราะ
. ดังนั้นเครื่องบิน
และ
ไม่ขนานกันสำหรับค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด .

ตัวอย่างที่ 10. ที่ค่าพารามิเตอร์ใด
ตรง
:
อยู่ในเครื่องบิน
:
?

โดย สมการบัญญัติตรง
ลองเขียนสมการพาราเมตริกของมันลงไป

.

ทุกจุดของเส้น
เป็นไปตามสมการระนาบ

คำตอบ:
.

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน
- เวกเตอร์โดยตรง
และ
เป็นจุดคงที่บนเส้นนี้
- เวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
. ต่อไป เราจะสร้างห่วงโซ่แห่งการให้เหตุผล

ตัวอย่างที่ 11. ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

:
และ
:
.

สารละลาย. เส้นในอวกาศสามารถตัดกัน, ตัดกันที่จุดหนึ่ง, สามารถขนานกัน, สามารถตรงกันได้ มาดูกันว่ากรณีใดในสี่กรณีนี้ที่ถูกนำมาใช้ในตัวอย่างนี้

จากสมการ
เราส่งออก: และ
.

จากสมการ
เราส่งออก:
และ
.

.

ถ้าตรง
และ
ตัดกันหรือขนานหรือตรงกัน แล้วก็เวกเตอร์สามเท่า
- เครื่องบินร่วม และถ้าตรง
และ
จะถูกตัดกัน จากนั้นก็เป็นแฝดสามของเวกเตอร์
-ไม่ใช่ระนาบ ลองหาผลคูณของเวกเตอร์ทั้งสามตัวนี้กัน

ทรอยก้า
-ไม่ใช่ระนาบ

ตรง
และ
ผสมข้ามพันธุ์

ตัวอย่างที่ให้ไว้ในบทที่ 8 และ 9 แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงพลังของวิธีเวกเตอร์และบทบาทพิเศษของเงื่อนไข: ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัว ความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว coplanarity ของเวกเตอร์สามตัวเมื่อค้นหาสมการของเส้นและระนาบ

การบ้าน.

1. จงหาสมการทั่วไปของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด

2. ค้นหาสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่เป็นจุดตัดของระนาบ

3. หาจุดตัดของเส้นที่ผ่านจุดนั้น
ตั้งฉากกับเครื่องบิน
ด้วยเครื่องบินลำนี้

ตรงบนเครื่องบิน

สมการทั่วไปของเส้นตรง

ก่อนที่จะแนะนำสมการทั่วไปของเส้นตรงบนเครื่องบิน เรามาแนะนำกันก่อน คำจำกัดความทั่วไปเส้น

คำนิยาม. สมการของแบบฟอร์ม

ฉ (เอ็กซ์,ย )=0 (1)

เรียกว่าสมการเส้นตรง ลในระบบพิกัดที่กำหนด หากพิกัดเป็นไปตามนี้ เอ็กซ์และ ที่จุดใดที่อยู่บนเส้น ลและไม่เป็นไปตามพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นนี้

ระดับของสมการ (1) เป็นตัวกำหนด สั่งซื้อทางไลน์. เราจะบอกว่าสมการ (1) กำหนด (เซต) เส้นตรง ล.

คำนิยาม. สมการของแบบฟอร์ม

อา+บู+C=0 (2)

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ตามอำเภอใจ ก, ใน, กับ (กและ ในไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน) ให้นิยามเส้นตรงบางเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สมการนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรง.

สมการ (2) คือสมการของดีกรีแรก ดังนั้น เส้นตรงทุกเส้นจึงเป็นเส้นของลำดับแรก และในทางกลับกัน ทุกเส้นของลำดับแรกจะเป็นเส้นตรง

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษสามกรณีเมื่อสมการ (2) ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์บางส่วนเป็นศูนย์

1)ถ้า ค=0แล้วสมการจะมีรูปแบบ อา+วู=0และกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดเพราะว่า พิกัด (0,0) เป็นไปตามสมการนี้

2)ถ้า บี=0 (A≠0) จากนั้นสมการจะมีรูปแบบ ขวาน+C=0และกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด การแก้สมการนี้สำหรับตัวแปร เอ็กซ์เราได้รับสมการของแบบฟอร์ม x=ก, ที่ไหน ก=-ค/ก, ก- ขนาดของส่วนที่ถูกตัดออกด้วยเส้นตรงบนแกนแอบซิสซา ถ้า ก=0 (ค=0 อู๋(รูปที่ 1a) ดังนั้นตรง x=0กำหนดแกนพิกัด

3)ถ้า ก=0 (บี≠0) จากนั้นสมการจะมีรูปแบบ วู+C=0และกำหนดเส้นตรงขนานกับแกน x การแก้สมการนี้สำหรับตัวแปร ที่เราได้รับสมการของแบบฟอร์ม ย=ข, ที่ไหน ข = -С/В, ข- ขนาดของส่วนที่ตัดเส้นตรงบนแกนพิกัด ถ้า ข = 0 (ค=0) จากนั้นเส้นตรงจะตรงกับแกน โอ้(รูปที่ 1ข) ดังนั้นตรง ย=0กำหนดแกน x

ก) ข)

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ.

ให้สมการได้รับ อา+บู+C=0โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีสัมประสิทธิ์ใดเป็นศูนย์ ลองถ่ายโอนสัมประสิทธิ์กัน กับไปทางขวาแล้วหารด้วย -กับทั้งสองส่วน

โดยใช้สัญกรณ์ที่แนะนำในย่อหน้าแรกเราได้สมการของเส้นตรง " ในส่วน»:

มีชื่อนี้เพราะว่าตัวเลข กและ ขคือค่าของส่วนที่เส้นตรงตัดบนแกนพิกัด

ตัวอย่าง 2x-3y+6=0. เขียนสมการ "ในส่วน" สำหรับเส้นนี้และสร้างเส้นนี้

สารละลาย

ในการสร้างเส้นตรงนี้ ให้เราพลอตบนแกน โอ้ส่วนของเส้น ก=-3และบนแกน อู๋ส่วนของเส้น ข =2. เราลากเส้นตรงผ่านจุดที่ได้รับ (รูปที่ 2)

สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ให้สมการได้รับ อา+บู+C=0โดยมีเงื่อนไขว่าสัมประสิทธิ์ ในไม่เท่ากับศูนย์ ลองทำการแปลงต่อไปนี้กัน

สมการ (4) โดยที่ เค =-มี/บีเรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เค.

คำนิยาม. มุมเอียงที่ให้ไว้ ตรงไปที่แกน โอ้เรียกมุมกันดีกว่า α ซึ่งจำเป็นต้องหมุนแกน โอ้เพื่อให้ทิศทางบวกเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางใดทิศทางหนึ่งของเส้นตรง

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน โอ้เท่ากับความชันคือ เค =ทีกา. มาพิสูจน์กัน –เอ/บีเท่าเทียมกันจริงๆ เค. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ∆OAV(รูปที่ 3) เราแสดงออก ทีกา,เรามาทำการแปลงที่จำเป็นและรับ:

Q.E.D.

ถ้า เค = 0แล้วเส้นตรงจะขนานกับแกน โอ้และสมการของมันมีรูปแบบ ย=ข.

ตัวอย่าง. เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป 4x+2y-2=0. เขียนสมการด้วยความชันของเส้นนี้

สารละลาย. ลองทำการแปลงแบบเดียวกับที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:

ที่ไหน เค=-2, ข=1.

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดกับความชันที่กำหนด

ปล่อยให้ประเด็นได้รับ ม 0 (x 0,ย 0)เส้นตรงและความชันของมัน เค. ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบ (4) โดยที่ ข- ยังไม่ทราบหมายเลข ตั้งแต่จุด ม 0เป็นของเส้นที่กำหนด จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการ (4): การแทนที่นิพจน์สำหรับ ขใน (4) เราได้สมการที่ต้องการของเส้นตรง:

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M(1,2) และเอียงไปทางแกน โอ้ที่มุม 45 0

สารละลาย. เค =ทีกา =ทีจี 45 0 =1. จากที่นี่: .

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ให้สองคะแนน ม.1 (x1,ปี1)และ ม.2 (x2,ปี2). ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบ (5) โดยที่ เคยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์:

ตั้งแต่จุด ม.2เป็นของเส้นที่กำหนด จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการ (5): แสดงจากที่นี่และแทนที่เป็นสมการ (5) เราจะได้สมการที่ต้องการ:

หากสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกต่อการท่องจำมากกว่า:

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (1,2) และ M 2 (-2,3)

สารละลาย. . การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนและทำการแปลงที่จำเป็นจะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง:

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ล. 1และ ลิตร 2:

ล. 1: , , และ

ลิตร 2: , ,

φ คือมุมระหว่างพวกเขา () จากรูปที่ 4 ชัดเจน: .

จากที่นี่หรือ

l 2 ขนานกัน φ=0 และ ทีจีφ =0. จากสูตร (7) ตามนั้น เหตุใด เค 2 =เค 1. ดังนั้น เงื่อนไขของการขนานกันของเส้นตรงสองเส้นคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ถ้าตรง ล. 1และ ลิตร 2ตั้งฉากกัน φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงทั้งสองมีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ความเป็นเชิงเส้นของสมการเส้นตรงและการกลับกันของสมการ


เวกเตอร์ตรงและปกติ

เวกเตอร์เส้นปกติคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

เวกเตอร์โดยตรงคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงที่กำหนดหรือเส้นขนานกับเวกเตอร์นั้น

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

เส้นตรงสามารถลากผ่านจุดใดก็ได้ไม่จำกัดจำนวน

จากจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใดๆ ก็สามารถลากเส้นตรงเส้นเดียวได้

เส้นตรงสองเส้นที่แยกออกจากกันในระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรืออยู่

ขนาน (ต่อจากอันที่แล้ว)

ในพื้นที่สามมิติ มีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้น:

• เส้นตัดกัน

• เส้นขนาน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง เส้น— เส้นโค้งพีชคณิตลำดับแรก: เส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ได้รับบนระนาบโดยสมการระดับแรก (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำนิยาม. เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

และคงที่ เอ, บีไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ เอ, บีและ กับกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. ค = 0, ก ≠0, บี ≠ 0- เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน อู๋

. B = C = 0, A ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน อู๋

. ก = ค = 0, บี ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้

สามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ ในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับสิ่งใด ๆ ที่ได้รับ

เงื่อนไขเริ่มต้น

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นตรง กำหนดโดยสมการ

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

สารละลาย. ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x - y + C = 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

ลองแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราได้รับ: 3 - 2 + C = 0 ดังนั้น

ค = -1 ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในอวกาศ ม 1 (x 1 , ปี 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2, z 2),แล้ว สมการของเส้น,

ผ่านจุดเหล่านี้:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เป็นศูนย์ ควรตั้งค่าตัวเศษที่สอดคล้องกันให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = เคเรียกว่า ความลาดชัน ตรง.

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย. เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการเส้นตรงโดยใช้จุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0นำไปสู่:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์

สมการของเส้นตรงกับความชัน k

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่งานได้

เส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว (α 1 , α 2)ซึ่งมีส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

เอเอ 1 + บีเอ 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย. เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำนิยามที่ว่า

ค่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: ขวาน + Ay + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x = 1, y = 2เราได้รับ ค/เอ = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย -С เราจะได้:

หรือที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์คือค่าสัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัดกัน

ตรงกับแกน โอ้,ก ข- พิกัดจุดตัดของเส้นกับแกน อู๋

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0ค้นหาสมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติตรง.

ถ้าสมการทั้งสองข้าง ขวาน + วู + C = 0หารด้วยจำนวน ซึ่งถูกเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน μ*C< 0.

ร- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

ก φ - มุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0. จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้น:

คอส φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

คำนิยาม. ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2ตามด้วยมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดให้เป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า เค 1 = เค 2. เส้นสองเส้นตั้งฉากกัน

ถ้า k 1 = -1/ k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง ขวาน + วู + C = 0และ A 1 x + B 1 ปี + C 1 = 0ขนานเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 = แลมบ์ดา, B 1 = แลมบ์. ถ้ายัง ซ 1 = แลซแล้วเส้นก็ตรงกัน พิกัดจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น

พบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม. เส้นที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1, ย 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + ข

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ทฤษฎีบท. หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),แล้วระยะห่างถึงเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์. ปล่อยให้ประเด็น ม 1 (x 1, ย 1)- ฐานของฉากตั้งฉากหลุดจากจุดหนึ่ง มสำหรับที่กำหนด

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด มและ ม.1:

(1)

พิกัด x1และ เวลา 1สามารถพบได้เป็นการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ในแนวตั้งฉาก

ให้เส้นตรง หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว