วิธีแก้สมการกำลังสอง องค์ประกอบของการแก้สมการกำลังสอง

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้ปัญหา สมการกำลังสอง//นักวิทยาศาสตร์หนุ่ม. 2559. ฉบับที่ 6.1. พ.17-20..02.2019).



โครงงานของเราเกี่ยวกับวิธีแก้สมการกำลังสอง เป้าหมายของโครงการ: เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาทุกสิ่ง วิธีที่เป็นไปได้การแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของคุณ

“สมการกำลังสอง” คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + bx + ค = 0, ที่ไหน ก, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( ก ≠ 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

ใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักเมื่อ 4,000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ การค้นพบแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณ มีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง เม็ดเดียวกันมีวิธีแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้วิธีการเสริมกำลังสองเพื่อแก้สมการที่มีรากที่เป็นบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล Euclid คิดวิธีแก้โจทย์เรขาคณิตแบบทั่วไปขึ้นมา นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเป็นลบอยู่ในรูป สูตรพีชคณิตเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พระพรหมคุปตะ(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

พระพรหมคุปตะได้วางกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้เหลือรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบังเกิดความรุ่งโรจน์ใน การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัล-คอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c

3) “รากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 = c

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับอัล-คอวาริซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญับร์และอัลมูคาบัล แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนจนถึงศตวรรษที่ 17 จะไม่คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในทางปฏิบัติโดยเฉพาะมันไม่สำคัญกับงาน เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ Al-Khwarizmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแบบจำลองของอัลควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน “หนังสือลูกคิด” ที่เขียนขึ้นในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนัชชี. ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ

หนังสือเล่มนี้มีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือเล่มนี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bх = с สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ b, c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieta แต่ Vieta เท่านั้นที่จำได้ รากที่เป็นบวก. นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ทาร์ทาเกลีย, คาร์ดาโน, บอมเบลลีหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณความพยายาม จิราร์ด, เดการ์ต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

ลองดูหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจากหลักสูตรของโรงเรียน:

1. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
3. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
4. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง
5. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ได้ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

จำไว้ว่าในการแก้สมการกำลังสองข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่มีผลคูณเป็น 6 และมีผลรวมเป็น 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

นำสัมประสิทธิ์แรกมาคูณด้วยพจน์อิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ - 15 และมีผลรวมเท่ากับ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 หากต้องการค้นหารากของสมการดั้งเดิม ให้หารรากผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปยังเทอมอิสระแล้วทำการทดแทนและรับสมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; เอ็กซ์ 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ให้ได้

1. ถ้า a+ b + c = 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1

2. ถ้า a - b + c = 0 หรือ b = a + c แล้ว x 1 = - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น x 1 = 1, x 2 = -208/345

คำตอบ: x 1 =1; เอ็กซ์ 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0) จากนั้น x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; เอ็กซ์ 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานมีความซับซ้อนมากขึ้น

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1. โนโมแกรม

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและปัจจุบันถูกลืมไปแล้ว ซึ่งอยู่ที่หน้า 83 ของคอลเลคชัน: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.

ตารางที่ 22 โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0. โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากค่าสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นซม.) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วน

ซึ่งหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อนแล้ว จะได้สมการ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายถึง เครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ:8.0; 1.0.

2) ใช้โนโมแกรมเพื่อแก้สมการ

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.เอ็กซ์ 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้กำหนดไว้ดังนี้: “กำลังสองและสิบรากเท่ากับ 39”

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้ด้านอื่น ๆ ของแต่ละรูปเป็น 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละรูปคือ 2.5x จากนั้นตัวเลขที่ได้จะเสร็จสมบูรณ์ลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ใหม่ โดยเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่อันที่มุม สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันด้านข้างของแต่ละตัวคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มเติมอีกสี่รูป (6.25∙4 = 25) กล่าวคือ S = x 2 + 10x = 25 เมื่อแทนที่ x 2 + 10x ด้วยเลข 39 เราจะได้ S = 39 + 25 = 64 ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ABCD กล่าวคือ ส่วน AB = 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของกำลังสองเดิมที่เราได้รับ

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

หากจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้วพหุนามนี้จะหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0 หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2,x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วนสมการระดับสูงกว่า สมการกำลังสอง และในวิชาตรีโกณมิติระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เลขชี้กำลัง และ สมการลอการิทึม. หลังจากศึกษาวิธีการแก้สมการกำลังสองที่พบทั้งหมดแล้ว เราสามารถแนะนำให้เพื่อนร่วมชั้นของเรานอกเหนือจากวิธีมาตรฐานให้แก้ด้วยวิธีถ่ายโอน (6) และแก้สมการโดยใช้คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าถึงได้ง่ายกว่า เพื่อความเข้าใจ

วรรณกรรม:

1. แบรดิส วี.เอ็ม. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไขแล้ว - อ.: การศึกษา, 2558
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู. / เอ็ด. วี.เอ็น. อายุน้อยกว่า - ม.: การศึกษา, 2507.

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5

"นั่นคือสมการของดีกรีที่หนึ่ง ในบทเรียนนี้เราจะดู สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร?

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากค่ากำลังสูงสุดที่ไม่ทราบค่าคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

“a”, “b” และ “c” เป็นตัวเลขที่กำหนด

• “a” คือค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด
• “b” คือสัมประสิทธิ์ที่สอง
• “c” เป็นสมาชิกฟรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c = 0"

มาฝึกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกันดีกว่า

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

สมการ	ราคาต่อรอง
ก = 5 ข = −14 ค = 17
ก = −7 ข = −13 ค = 8

1

3

= 0

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• ก = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

x 2 - 8 = 0

• ก = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ต่างจากสมการเชิงเส้นตรงที่มีการใช้วิธีการพิเศษในการแก้สมการกำลังสอง สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้องมี:

• ลดสมการกำลังสองเป็น ลักษณะทั่วไป"ขวาน 2 + bx + c = 0" นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

มาดูตัวอย่างวิธีใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสองกัน มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 − 3x − 4 = 0

สมการ “x 2 − 3x − 4 = 0” ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” แล้ว และไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้นอีก เพื่อแก้ปัญหาเราเพียงแค่ต้องสมัคร สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

สามารถใช้แก้สมการกำลังสองใดก็ได้

ในสูตร "x 1;2 = " มักจะแทนที่นิพจน์ที่รุนแรง
“b 2 − 4ac” สำหรับตัวอักษร “D” และเรียกว่า discriminant แนวคิดของการเลือกปฏิบัติจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ขั้นแรกให้ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากได้

เอ็กซ์ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x = 3
คำตอบ: x = 3

มีบางครั้งที่สมการกำลังสองไม่มีราก สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสูตรที่อยู่ใต้รูทกลายเป็น จำนวนลบ.

มากกว่า ด้วยวิธีง่ายๆ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่ z ออกจากวงเล็บ คุณจะได้รับ: z(аz + b) = 0 สามารถเขียนตัวประกอบได้: z=0 และ аz + b = 0 เนื่องจากทั้งสองค่าสามารถให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ได้ ในสัญกรณ์ az + b = 0 เราเลื่อนอันที่สองไปทางขวาด้วยเครื่องหมายอื่น จากตรงนี้ เราจะได้ z1 = 0 และ z2 = -b/a เหล่านี้คือรากเหง้าของต้นฉบับ

ถ้ามี สมการที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ аz² + с = 0 ในกรณีนี้หาได้โดยการย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมายด้วย ผลลัพธ์จะเป็น az² = -с ด่วน z² = -c/a หารากแล้วเขียนคำตอบสองวิธี - รากที่สองที่เป็นบวกและลบ

บันทึก

ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนในสมการ ให้คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อกำจัดเศษส่วนออก

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการกำลังสองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทั้งเด็กนักเรียนและนักเรียน บางครั้งสิ่งนี้สามารถช่วยผู้ใหญ่ได้เช่นกัน ชีวิตธรรมดา. มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ

การแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองในรูปแบบ a*x^2+b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ x คือตัวแปรที่ต้องการ a, b, c คือค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมาย “+” สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย “-” ได้

ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของเวียตาหรือค้นหาตัวจำแนก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการค้นหาการแบ่งแยกเนื่องจากค่าบางค่าของ a, b, c ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้

ในการค้นหาการแบ่งแยก (D) คุณต้องเขียนสูตร D=b^2 - 4*a*c ค่า D สามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับศูนย์ได้ ถ้า D มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ จะมีสองราก ถ้า D = 0 ก็จะเหลือเพียงรากเดียวเท่านั้น พูดให้ตรงกว่านั้นคือเราสามารถพูดได้ว่า D ในกรณีนี้มีสองรากที่เท่ากัน แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ a, b, c ลงในสูตรแล้วคำนวณค่า

หลังจากที่คุณพบการแบ่งประเภทแล้ว ให้ใช้สูตรเพื่อค้นหา x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a โดยที่ sqrt เป็นฟังก์ชันที่หมายถึงสารสกัด รากที่สองจากหมายเลขนี้ หลังจากคำนวณนิพจน์เหล่านี้แล้ว คุณจะพบรากสองอันของสมการของคุณ หลังจากนั้นจึงถือว่าสมการได้รับการแก้ไขแล้ว

ถ้า D น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ายังมีรากอยู่ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียนในทางปฏิบัติ นักศึกษามหาวิทยาลัยควรทราบว่าตัวเลขติดลบปรากฏอยู่ใต้ราก พวกเขากำจัดมันโดยเน้นส่วนจินตภาพนั่นคือ -1 ใต้รูทจะเท่ากับองค์ประกอบจินตภาพ "i" เสมอซึ่งคูณด้วยรูทด้วยจำนวนบวกเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า D=sqrt(-20) หลังจากการแปลง เราจะได้ D=sqrt(20)*i หลังจากการเปลี่ยนแปลงนี้ การแก้สมการจะลดลงเหลือเพียงการค้นหารากตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบทของ Vieta ประกอบด้วยการเลือกค่าของ x(1) และ x(2) มีการใช้สมการที่เหมือนกันสองสมการ: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. และมาก จุดสำคัญคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าสัมประสิทธิ์ b จำไว้ว่าเครื่องหมายนี้อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในสมการ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าการคำนวณ x(1) และ x(2) นั้นง่ายมาก แต่เมื่อแก้โจทย์แล้ว คุณจะต้องเลือกตัวเลข

องค์ประกอบของการแก้สมการกำลังสอง

ตามกฎของคณิตศาสตร์ บางค่าสามารถแยกตัวประกอบได้: (a+x(1))*(b-x(2))=0 หากคุณสามารถแปลงสมการกำลังสองนี้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ คุณก็สบายใจได้เลย เขียนคำตอบ x(1) และ x(2) จะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกันในวงเล็บ แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นอกจากนี้อย่าลืมเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณอาจขาดคำศัพท์บางคำไป หากเป็นเช่นนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ หากไม่มีสิ่งใดอยู่ข้างหน้า x^2 หรือ x สัมประสิทธิ์ a และ b จะเท่ากับ 1

ฉันหวังว่าหลังจากศึกษาบทความนี้แล้ว คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เมื่อใช้ discriminant จะแก้ได้เฉพาะสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะใช้วิธีการอื่น ซึ่งคุณจะพบได้ในบทความ “การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์”

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์? นี้ สมการของรูปแบบ ขวาน 2 + b x + c = 0โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เราจำเป็นต้องคำนวณค่าจำแนก D

ง = ข 2 – 4เอซี

เราจะเขียนคำตอบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ

ถ้าตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ (D< 0),то корней нет.

ถ้าตัวแยกแยะเป็นศูนย์ แล้ว x = (-b)/2a เมื่อตัวจำแนกเป็นจำนวนบวก (D > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x2– 4x + 4= 0.

ง = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการที่ 2 x2 + x + 3 = 0

ง = 1 2 – 4 2 3 = – 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการที่ 2 x2 + 5x – 7 = 0.

ง = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

คำตอบ: – 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้แผนภาพในรูปที่ 1

การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการนี้เขียนเป็นพหุนาม มุมมองมาตรฐาน

ก x2 + bx + คมิฉะนั้นคุณอาจทำผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณอาจตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 จากนั้นสมการจะมีราก 2 อัน และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น หากสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน อันดับแรก สมการกำลังสองที่สมบูรณ์จะต้องเขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน (เอกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดควรมาก่อน นั่นคือ ก x2 แล้วมีน้อยลง – บีเอ็กซ์แล้วก็เป็นสมาชิกฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ในเทอมที่สอง คุณสามารถใช้สูตรอื่นได้ มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันดีกว่า ถ้าในสมการกำลังสองสมบูรณ์ เทอมที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ (b = 2k) คุณสามารถแก้สมการได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าลดลงถ้าสัมประสิทธิ์ที่ x2 เท่ากับหนึ่ง และสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + px + q = 0. สมการดังกล่าวสามารถให้ไว้สำหรับการแก้โจทย์ หรือหาได้โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ ก, ยืนอยู่ที่ x2 .

รูปที่ 3 แสดงแผนภาพสำหรับแก้กำลังสองลดลง
สมการ ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x2 + 6x – 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1

ง = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3

คุณจะสังเกตได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการนี้เป็นเลขคู่ นั่นคือ b = 6 หรือ b = 2k โดยที่ k = 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพของรูป D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3. เมื่อสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 ลงตัวและทำการหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x – 2 = 0 แก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3.

อย่างที่คุณเห็น เมื่อแก้สมการนี้โดยใช้สูตรต่างกัน เราก็ได้รับคำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเชี่ยวชาญสูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1 อย่างถี่ถ้วนแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้เสมอ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา