วิธีขยายฐานของลอการิทึม นิพจน์ลอการิทึม
องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจากภาษากรีก มาจากคำว่า ตัวเลข หรือ พลัง หมายถึง เลขยกกำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อหาเลขท้าย
ประเภทของลอการิทึม
- log a b – ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – ลอการิทึมทศนิยม (ลอการิทึมถึงฐาน 10, a = 10);
- ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมถึงฐาน e, a = e)
วิธีการแก้ลอการิทึม?
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยก b ขึ้นเป็นฐาน a ผลลัพธ์ที่ได้จะออกเสียงดังนี้: “ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a” วิธีแก้ปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องหากำลังที่กำหนดเป็นตัวเลขจากตัวเลขที่ระบุ มีกฎพื้นฐานบางประการในการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการแปลงสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้พวกมันจะเป็นการแก้ปัญหา สมการลอการิทึมพบอนุพันธ์แล้ว อินทิกรัลได้รับการแก้ไข และดำเนินการอื่นๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว การแก้ลอการิทึมนั้นจะใช้สัญกรณ์แบบง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติพื้นฐาน:
สำหรับใดๆ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใด ๆ ; ใช่ > 0
- บันทึก a b = b – ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
- บันทึก 1 = 0
- โลกา ก = 1
- บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y
- บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
- บันทึก a 1/x = -บันทึก x
- บันทึก a x p = p บันทึก a x
- log a k x = 1/k log a x สำหรับ k ≠ 0
- บันทึก a x = บันทึก a c x c
- log a x = log b x/ log b a – สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่
- บันทึก a x = 1/บันทึก x a
วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนในการแก้ปัญหา
- ขั้นแรก เขียนสมการที่ต้องการ
โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานคือ 10 รายการจะถูกย่อให้สั้นลง ส่งผลให้มีลอการิทึมฐานสิบ ถ้ามันคุ้มค่า จำนวนธรรมชาติ e จากนั้นเราเขียนมันลงไป โดยลดเหลือลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือกำลังที่เลขฐานถูกยกขึ้นเพื่อให้ได้เลข b
วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การคำนวณระดับนี้โดยตรง ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึมจะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาตัวตนหลักได้โดยย้อนกลับไปในบทความเล็กน้อย
เมื่อบวกและลบลอการิทึมด้วยตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันแต่มีฐานเท่ากัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมตัวเดียวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรในการย้ายไปยังฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)
หากคุณใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องพิจารณา และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงจำนวนบวก แต่ไม่เท่ากับ 1 จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์
มีหลายกรณีที่การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมเป็นตัวเลขได้ มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลเพราะเลขยกกำลังจำนวนมากเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยให้กำลังของตัวเลขเป็นลอการิทึม
เมื่อสังคมพัฒนาและการผลิตมีความซับซ้อนมากขึ้น คณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้นด้วย การเคลื่อนไหวจากง่ายไปสู่ซับซ้อน จากการบัญชีธรรมดาโดยใช้วิธีการบวกและการลบด้วยการทำซ้ำซ้ำ ๆ เรามาถึงแนวคิดของการคูณและการหาร การลดการดำเนินการคูณซ้ำๆ กลายเป็นแนวคิดเรื่องการยกกำลัง ตารางแรกของการพึ่งพาตัวเลขบนฐานและจำนวนการยกกำลังถูกรวบรวมในศตวรรษที่ 8 โดย Varasena นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย จากนั้นคุณสามารถนับเวลาที่เกิดลอการิทึมได้
ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์
การฟื้นตัวของยุโรปในศตวรรษที่ 16 ยังช่วยกระตุ้นการพัฒนากลศาสตร์อีกด้วย ต ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเกี่ยวข้องกับการคูณและการหาร ตัวเลขหลายหลัก- โต๊ะโบราณก็บริการดีมาก พวกเขาทำให้สามารถแทนที่การดำเนินการที่ซับซ้อนด้วยการดำเนินการที่ง่ายกว่า - การบวกและการลบ ก้าวสำคัญไปข้างหน้าคือผลงานของนักคณิตศาสตร์ Michael Stiefel ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 ซึ่งเขาตระหนักถึงความคิดของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้ตารางได้ไม่เพียงแต่สำหรับองศาในรูปแบบเท่านั้น หมายเลขเฉพาะแต่ยังสำหรับคนมีเหตุผลตามอำเภอใจด้วย
ในปี 1614 ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ ซึ่งพัฒนาแนวคิดเหล่านี้ ได้แนะนำคำศัพท์ใหม่ว่า "ลอการิทึมของตัวเลข" เป็นครั้งแรก มีการรวบรวมตารางที่ซับซ้อนใหม่เพื่อคำนวณลอการิทึมของไซน์และโคไซน์ รวมถึงแทนเจนต์ สิ่งนี้ทำให้การทำงานของนักดาราศาสตร์ลดลงอย่างมาก
ตารางใหม่เริ่มปรากฏขึ้น ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ใช้อย่างประสบความสำเร็จมาตลอด สามศตวรรษ- เวลาผ่านไปนานมากก่อนที่การดำเนินการใหม่ในพีชคณิตจะได้รูปแบบที่เสร็จสมบูรณ์ ให้คำจำกัดความของลอการิทึมและศึกษาคุณสมบัติของลอการิทึม
เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นที่มีการถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ มนุษยชาติจึงละทิ้งโต๊ะโบราณที่ทำงานอย่างประสบความสำเร็จตลอดศตวรรษที่ 13
วันนี้เราเรียกลอการิทึมของ b ว่าเป็นฐานของ x ซึ่งเป็นกำลังของ a ที่ทำให้ b เขียนเป็นสูตร: x = log a(b)
ตัวอย่างเช่น บันทึก 3(9) จะเท่ากับ 2 ซึ่งจะชัดเจนหากคุณทำตามคำจำกัดความ ถ้าเรายก 3 ยกกำลัง 2 เราจะได้ 9
ดังนั้น คำจำกัดความที่จัดทำขึ้นจึงกำหนดข้อจำกัดเพียงข้อเดียว คือ ตัวเลข a และ b ต้องเป็นจำนวนจริง
ประเภทของลอการิทึม
คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรียกว่าลอการิทึมจริง และจริงๆ แล้วคือคำตอบของสมการ a x = b ตัวเลือก a = 1 ถือเป็นเส้นเขตแดนและไม่เป็นที่สนใจ ข้อควรสนใจ: 1 กำลังใด ๆ เท่ากับ 1
มูลค่าที่แท้จริงของลอการิทึมกำหนดเฉพาะเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มากกว่า 0 และฐานต้องไม่เท่ากับ 1
สถานที่พิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เล่นลอการิทึม ซึ่งจะตั้งชื่อตามขนาดของฐาน:
กฎและข้อจำกัด
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมคือกฎ: ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมลอการิทึม บันทึก abp = บันทึก ก(b) + บันทึก ก(p)
รูปแบบหนึ่งของข้อความนี้จะเป็น: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) ฟังก์ชันผลหารจะเท่ากับผลต่างของฟังก์ชัน
จากกฎสองข้อก่อนหน้านี้ จะสังเกตได้ง่ายว่า: log a(b p) = p * log a(b)
คุณสมบัติอื่น ๆ ได้แก่ :
ความคิดเห็น อย่าทำผิดพลาดทั่วไป เพราะค่าลอการิทึมของผลรวมไม่ได้เป็นเช่นนั้น เท่ากับผลรวมลอการิทึม
เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่การค้นหาลอการิทึมเป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลานาน นักคณิตศาสตร์ใช้สูตรที่รู้จักกันดีของทฤษฎีลอการิทึมของการขยายตัวพหุนาม:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n) โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ซึ่งกำหนดความแม่นยำของการคำนวณ
ลอการิทึมที่มีฐานอื่นคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์
เนื่องจากวิธีนี้ใช้แรงงานมากและ เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติยากต่อการนำไปใช้ เราใช้ตารางลอการิทึมที่คอมไพล์ไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้งานทั้งหมดเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด
ในบางกรณีมีการใช้กราฟลอการิทึมที่ออกแบบมาเป็นพิเศษซึ่งให้ความแม่นยำน้อยกว่า แต่ช่วยเร่งความเร็วในการค้นหาค่าที่ต้องการได้อย่างมาก เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = log a(x) ซึ่งสร้างขึ้นบนหลายจุด ทำให้คุณสามารถใช้ไม้บรรทัดธรรมดาเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นได้ วิศวกรใช้สิ่งที่เรียกว่ากระดาษกราฟเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้มาเป็นเวลานาน
ในศตวรรษที่ 17 เงื่อนไขการคำนวณแอนะล็อกเสริมครั้งแรกปรากฏขึ้นซึ่ง ศตวรรษที่ 19ได้รับการดูเสร็จแล้ว ที่สุด อุปกรณ์ที่ดีเรียกว่ากฎสไลด์ แม้จะมีความเรียบง่ายของอุปกรณ์ แต่รูปลักษณ์ภายนอกของมันช่วยเร่งกระบวนการคำนวณทางวิศวกรรมทั้งหมดได้อย่างมาก และนี่เป็นเรื่องยากที่จะประเมินค่าสูงไป ปัจจุบันมีเพียงไม่กี่คนที่คุ้นเคยกับอุปกรณ์นี้
การถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทำให้การใช้อุปกรณ์อื่นๆ ไร้จุดหมาย
สมการและอสมการ
ในการแก้สมการและอสมการต่างๆ โดยใช้ลอการิทึม จะใช้สูตรต่อไปนี้:
- การย้ายจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่ง: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- อันเป็นผลมาจากตัวเลือกก่อนหน้า: log a(b) = 1 / log b(a)
เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน จะมีประโยชน์ที่จะรู้:
- ค่าลอการิทึมจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าหรือทั้งคู่ น้อยกว่าหนึ่ง- หากมีการละเมิดเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ ค่าลอการิทึมจะเป็นลบ
- หากใช้ฟังก์ชันลอการิทึมกับด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการ และฐานของลอการิทึมมากกว่า 1 แสดงว่าสัญญาณของอสมการยังคงอยู่ ไม่อย่างนั้นมันจะเปลี่ยนไป
ปัญหาตัวอย่าง
ลองพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับการใช้ลอการิทึมและคุณสมบัติต่างๆ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการ:
พิจารณาตัวเลือกในการวางลอการิทึมลงในกำลัง:
- ปัญหาที่ 3 คำนวณ 25^log 5(3) วิธีแก้ไข: ในเงื่อนไขของปัญหา รายการจะคล้ายกับรายการต่อไปนี้ (5^2)^log5(3) หรือ 5^(2 * log 5(3)) ลองเขียนให้แตกต่างออกไป: 5^log 5(3*2) หรือกำลังสองของตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นกำลังสองของฟังก์ชันได้ (5^log 5(3))^2 การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม นิพจน์นี้จะเท่ากับ 3^2 คำตอบ: จากการคำนวณเราได้ 9
การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ
เนื่องจากเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ จึงดูเหมือนห่างไกลจากความเป็นจริง ชีวิตจริงที่ลอการิทึมได้มาอย่างกะทันหัน คุ้มค่ามากเพื่ออธิบายวัตถุ โลกแห่งความเป็นจริง- เป็นการยากที่จะหาวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้ สิ่งนี้ไม่เพียงนำไปใช้กับความรู้ทางธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาขาความรู้ด้านมนุษยธรรมด้วย
การพึ่งพาลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการขึ้นต่อกันของตัวเลข:
กลศาสตร์และฟิสิกส์
ในอดีต กลศาสตร์และฟิสิกส์ได้รับการพัฒนาโดยใช้วิธีการวิจัยทางคณิตศาสตร์มาโดยตลอด และในขณะเดียวกันก็ทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจในการพัฒนาคณิตศาสตร์ รวมถึงลอการิทึมด้วย ทฤษฎีกฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ขอให้เรายกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่างในการอธิบายกฎฟิสิกส์โดยใช้ลอการิทึม
ปัญหาในการคำนวณปริมาณที่ซับซ้อนเช่นความเร็วของจรวดสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตร Tsiolkovsky ซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีการสำรวจอวกาศ:
V = I * ln (M1/M2) โดยที่
- วี – ความเร็วสุดท้ายอากาศยาน.
- ฉัน – แรงกระตุ้นเฉพาะของเครื่องยนต์
- M 1 – มวลเริ่มต้นของจรวด
- M 2 – มวลสุดท้าย
อีกตัวอย่างที่สำคัญ- ใช้ในสูตรของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนอย่าง Max Planck ซึ่งทำหน้าที่ประเมินสถานะสมดุลในอุณหพลศาสตร์
S = k * ln (Ω) โดยที่
- S – คุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์
- k – ค่าคงที่ของ Boltzmann
- Ω คือน้ำหนักทางสถิติของสถานะต่างๆ
เคมี
ไม่ชัดเจนคือการใช้สูตรในวิชาเคมีที่มีอัตราส่วนของลอการิทึม ขอยกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่าง:
- สมการเนิร์สต์ คือสภาวะของศักย์รีดอกซ์ของตัวกลางที่สัมพันธ์กับแอคติวิตีของสารและค่าคงที่สมดุล
- การคำนวณค่าคงที่เช่นดัชนีการสลายอัตโนมัติและความเป็นกรดของสารละลายก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีฟังก์ชันของเรา
จิตวิทยาและชีววิทยา
และยังไม่ชัดเจนว่าจิตวิทยาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างไร ปรากฎว่าฟังก์ชันนี้อธิบายความแรงของความรู้สึกได้ดีว่าเป็นอัตราส่วนผกผันของค่าความเข้มของการกระตุ้นต่อค่าความเข้มที่ต่ำกว่า
หลังจากตัวอย่างข้างต้น จึงไม่น่าแปลกใจอีกต่อไปที่หัวข้อลอการิทึมมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาชีววิทยา ปริมาตรทั้งหมดสามารถเขียนเกี่ยวกับรูปแบบทางชีววิทยาที่สอดคล้องกับเกลียวลอการิทึม
พื้นที่อื่นๆ
ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของโลกจะเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความเกี่ยวข้องกับหน้าที่นี้ และมันจะควบคุมกฎทั้งหมด โดยเฉพาะเมื่อกฎแห่งธรรมชาติเกี่ยวข้องกัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- คุ้มค่าที่จะหันมาใช้เว็บไซต์ MatProfi และมีตัวอย่างมากมายในกิจกรรมต่อไปนี้:
รายการสามารถไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานของฟังก์ชันนี้แล้ว คุณสามารถดำดิ่งสู่โลกแห่งปัญญาอันไม่มีที่สิ้นสุด
ในอัตราส่วน
สามารถกำหนดภารกิจในการค้นหาตัวเลขทั้งสามตัวจากอีกสองตัวที่กำหนดได้ ถ้าให้ a และ N ไว้ จะหาได้โดยการยกกำลัง ถ้า N และ a ถูกกำหนดโดยการหารากของดีกรี x (หรือยกกำลัง) ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่ เมื่อให้ a และ N เราต้องค้นหา x
ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง:
คำนิยาม. ลอการิทึมของเลข N ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้เลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย
ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจึงถูกพบเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a กระทู้
มีความหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์หลักของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องลอการิทึม โดย คำจำกัดความนี้ฐานของลอการิทึม a จะเป็นค่าบวกเสมอและแตกต่างจากความสามัคคี เลขลอการิทึม N เป็นบวก จำนวนลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ความเท่าเทียมกันจึงบังเกิด โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา
สารละลาย. การจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ยกกำลัง ดังนั้น
คุณสามารถจดบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา
สารละลาย. เรามี
ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนเลขลอการิทึมเป็นกำลังของฐานด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล- ในกรณีทั่วไป เช่น ฯลฯ ไม่สามารถดำเนินการนี้ได้ เนื่องจากลอการิทึมมีค่าไม่ลงตัว ให้เราใส่ใจกับประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำชี้แจงนี้ ในย่อหน้าที่ 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการกำหนดกำลังจริงใดๆ ของจำนวนบวกที่กำหนด นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้
ลองดูคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม
คุณสมบัติ 1 ถ้าตัวเลขและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับ 1 และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับ 1 ตัวเลขและฐานก็จะเท่ากัน
การพิสูจน์. อนุญาต ตามคำจำกัดความของลอการิทึมที่เรามีและที่ไหน
ในทางกลับกัน ให้ จากนั้น ตามคำนิยาม
คุณสมบัติ 2 ลอการิทึมของหนึ่งถึงฐานใดๆ เท่ากับศูนย์
การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม (กำลังศูนย์ของฐานบวกใดๆ เท่ากับ 1 ดู (10.1)) จากที่นี่
Q.E.D.
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี
ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติถัดไปของลอการิทึม ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลข a และ b สองตัวอยู่บนด้านเดียวกันของเลขตัวที่สาม c ถ้าทั้งสองมีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราจะบอกว่าพวกมันอยู่คนละด้านของ c
คุณสมบัติ 3 ถ้าตัวเลขและฐานอยู่ด้านเดียวกัน ลอการิทึมจะเป็นค่าบวก หากตัวเลขและฐานอยู่ตรงข้ามกัน ลอการิทึมจะเป็นลบ
การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังของ a มากกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังจะน้อยกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก
มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:
เราจะจำกัดตัวเองให้วิเคราะห์สิ่งแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเอง
ปล่อยให้ในความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังไม่สามารถเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นจึงเป็นบวก กล่าวคือ ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดด้านล่างนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:
วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของเลขหนึ่ง
b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิต ในกรณีนี้ ฐานจะมากกว่าเลขลอการิทึมไม่สำคัญ
c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่ฝั่งตรงข้ามของความสามัคคี
ช) ; ทำไม
ง) ; ทำไม
คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: ช่วยให้ทราบลอการิทึมของตัวเลขบางจำนวนเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ผลหารผลหารระดับของแต่ละรายการ
คุณสมบัติ 4 (กฎลอการิทึมผลคูณ) ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนบวกหลายจำนวนกับฐานที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้กับฐานเดียวกัน
การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่ให้มาเป็นบวก
สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เราจะเขียนค่าความเท่าเทียมกัน (26.1) ซึ่งกำหนดลอการิทึม:
จากนี้เราจะพบกับ
เมื่อเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของนิพจน์แรกและนิพจน์สุดท้าย เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:
โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง ตัวเลขติดลบสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว
โดยทั่วไปหากผลคูณของปัจจัยหลายประการเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยเหล่านี้
คุณสมบัติ 5 (กฎสำหรับการรับลอการิทึมของผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวก เท่ากับความแตกต่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหาร ให้อยู่ในฐานเดียวกัน การพิสูจน์. เราก็หามาเรื่อยๆ
Q.E.D.
คุณสมบัติ 6 (กฎลอการิทึมกำลัง) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับลอการิทึมของจำนวนนั้นคูณด้วยเลขชี้กำลัง
การพิสูจน์. ให้เราเขียนเอกลักษณ์หลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับตัวเลข:
Q.E.D.
ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:
ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการจินตนาการถึงวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6
ตัวอย่างที่ 4 นำลอการิทึมมาเป็นฐาน a:
ก) (สันนิษฐานว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก)
b) (สันนิษฐานว่า )
วิธีแก้ไข ก) สะดวกในการยกกำลังเศษส่วนในนิพจน์นี้:
จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) ตอนนี้เราสามารถเขียนได้:
เราสังเกตเห็นว่าการดำเนินการกับลอการิทึมของตัวเลขง่ายกว่าการดำเนินการกับตัวเลขเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ
นั่นคือเหตุผลที่ใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูย่อหน้าที่ 29)
การกระทำผกผันของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ กล่าวคือ ศักยภาพคือการกระทำที่ใช้ค้นหาตัวเลขจากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ศักยภาพไม่ใช่การดำเนินการพิเศษใดๆ แต่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มฐานให้เป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"
เมื่อเพิ่มศักยภาพ เราต้องใช้กฎที่ผกผันกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีปัจจัยอยู่ข้างหน้า ของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการโพเทนเชียลจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบสิ่งนั้น
สารละลาย. ในการเชื่อมต่อกับกฎศักยภาพที่ระบุไว้ เราจะถ่ายโอนปัจจัย 2/3 และ 1/3 ที่ยืนอยู่หน้าเครื่องหมายลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ไปเป็นเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ
ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:
เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายของห่วงโซ่ความเสมอภาคนี้ เราได้ปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน (ตอนที่ 25)
คุณสมบัติ 7 ถ้าฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าจะมีลอการิทึมที่มากกว่า (และค่าที่น้อยกว่าจะมีค่าที่น้อยกว่า) ถ้าฐานมีค่าน้อยกว่า 1 จำนวนที่มากกว่าจะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า (และค่าที่น้อยกว่า อันหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า)
คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดให้เป็นกฎสำหรับการหาลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองด้านเป็นบวก:
เมื่อลอการิทึมอสมการเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้ และเมื่อลอการิทึมเป็นฐานที่น้อยกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม (ดูย่อหน้าที่ 80 ด้วย)
การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีเมื่อ ถ้า แล้ว และ เมื่อรับลอการิทึม เราได้
(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่
กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง
ลอการิทึมที่มีฐาน aเป็นฟังก์ชันของ y (x) = บันทึก a xผกผันกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a: x (y) = ก.
ลอการิทึมทศนิยมคือลอการิทึมของฐานของตัวเลข 10 : บันทึก x ≡ บันทึก 10 x.
ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมของฐานของ e: ln x ≡ บันทึก อี x.
2,718281828459045...
;
.
กราฟของลอการิทึมได้มาจากกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยการสะท้อนกราฟด้วยความเคารพต่อเส้นตรง y = x ทางด้านซ้ายคือกราฟของฟังก์ชัน y(x) = บันทึก a x สำหรับสี่ค่าฐานลอการิทึม 2 :ก= 8 :ก= 1/2 , ก = 1/8 และ ก = 1 - กราฟจะแสดงว่าเมื่อ > 0 < a < 1 ลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ เมื่อ x เพิ่มขึ้น การเติบโตจะช้าลงอย่างมาก ที่
ลอการิทึมลดลงอย่างน่าเบื่อ
คุณสมบัติของลอการิทึม
โดเมน ชุดของค่า เพิ่มขึ้น ลดลง ลอการิทึมคือฟังก์ชั่นโมโนโทนิค
มันจึงไม่มีสุดโต่ง คุณสมบัติหลักของลอการิทึมแสดงอยู่ในตาราง | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
โดเมนของคำจำกัดความ | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
ช่วงของค่า | โมโนโทน | เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ |
ลดลงอย่างน่าเบื่อ 0 | ศูนย์, y = 1 | ศูนย์, y = 1 |
x= 0 | จุดตัดกับแกนพิกัด x = | จุดตัดกับแกนพิกัด x = |
+ ∞ | - ∞ | |
- ∞ | + ∞ |
เลขที่
ค่านิยมส่วนตัว เรียกว่าลอการิทึมฐาน 10ลอการิทึมทศนิยม
และแสดงไว้ดังนี้: ลอการิทึมถึงฐานจ เรียกว่า:
ลอการิทึมธรรมชาติ
สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึมที่เกิดจากคำจำกัดความของฟังก์ชันผกผัน:
คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา
สูตรทดแทนเบสลอการิทึม
คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหาลอการิทึม เมื่อใช้ลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์ศักยภาพ
คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของเงื่อนไขจะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย
การพิสูจน์สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม
สูตรที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมตามมาจากสูตรสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและจากคำจำกัดความของฟังก์ชันผกผัน
.
พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
.
แล้ว
:
.
ลองใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดู
;
.
ให้เราพิสูจน์สูตรการแทนที่ฐาน
สมมติว่า c = b เรามี:
ฟังก์ชันผกผัน ค่าผกผันของลอการิทึมถึงฐาน a คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ด้วยเลขชี้กำลัง a
ด้วยเลขชี้กำลัง a
ถ้าอย่างนั้น
อนุพันธ์ของลอการิทึม
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัส x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
การหาสูตร > > > ลอการิทึมถึงฐาน.
;
.
ในการหาอนุพันธ์ของลอการิทึม จะต้องลดค่าลงเหลือฐาน
อินทิกรัลของลอการิทึมคำนวณโดยการอินทิเกรตตามส่วน:
ดังนั้น,
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน z:
.
มาแสดงออกกันเถอะ จำนวนเชิงซ้อน zผ่านโมดูล รและการโต้แย้ง φ
:
.
จากนั้น เมื่อใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราจะได้:
.
หรือ
อย่างไรก็ตามข้อโต้แย้ง φ
ไม่ได้กำหนดไว้โดยเฉพาะ ถ้าใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
แล้วมันจะเป็นตัวเลขเดียวกันสำหรับที่แตกต่างกัน n.
ดังนั้นลอการิทึมซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว
การขยายซีรีย์พาวเวอร์
เมื่อการขยายตัวเกิดขึ้น:
วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและเราจะให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณถึงคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:
ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขยกกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1
ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x
ลอการิทึมตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ- แสดงว่า ln.
ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและอสมการ เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b
เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b
บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c aถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1
จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ
หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก